Збіжність на дійсній осі рядів Фур'є по системах раціональних функцій
В роботi розглядаються ортонормованi на дiйснiй осi R системи рацiональних функцiй {Φn(z)}, n ∊ Z, якi визначаються фiксованими наборами точок. Наводиться компактний вигляд аналогiв ядер Дiрiхле систем {Φn(t)}, n ∊ Z, на дiйснiй осi R; а також дослiджуються питання збiжностi в просторах Lp(R), p >...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний вісник |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140875 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Збіжність на дійсній осі рядів Фур'є по системах раціональних функцій / С.О. Чайченко // Український математичний вісник. — 2015. — Т. 12, № 3. — С. 403-426. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860259703966138368 |
|---|---|
| author | Чайченко, С.О. |
| author_facet | Чайченко, С.О. |
| citation_txt | Збіжність на дійсній осі рядів Фур'є по системах раціональних функцій / С.О. Чайченко // Український математичний вісник. — 2015. — Т. 12, № 3. — С. 403-426. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний вісник |
| description | В роботi розглядаються ортонормованi на дiйснiй осi R системи рацiональних функцiй {Φn(z)}, n ∊ Z, якi визначаються фiксованими наборами точок. Наводиться компактний вигляд аналогiв ядер Дiрiхле систем {Φn(t)}, n ∊ Z, на дiйснiй осi R; а також дослiджуються питання збiжностi в просторах Lp(R), p > 1; та поточкової збiжностi рядiв Фур’є по системах {Φn(t)}, n ∊ Z; за умови виконання певних обмежень на послiдовностi полюсiв цих систем. Отримуються твердження, якi є аналогами класичних ознак Жордана–Дiрiхле та Дiнi-Лiпшиця збiжностi рядiв Фур’є за тригонометричною системою.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:53:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 12 (2015), № 3, 403 – 426
Збiжнiсть на дiйснiй осi рядiв Фур’є по
системах рацiональних функцiй
Станiслав О. Чайченко
(Представлена В. Я. Гутлянським)
Анотацiя. В роботi розглядаються ортонормованi на дiйснiй осi R
системи рацiональних функцiй {Φn(z)}, n ∈ Z, якi визначаються фi-
ксованими наборами точок a := {ak}∞k=0, (Im ak > 0) i b := {bk}∞k=1,
(Im bk < 0). Наводиться компактний вигляд аналогiв ядер Дiрiхле
систем {Φn(t)}, n ∈ Z, на дiйснiй осi R, а також дослiджуються пи-
тання збiжностi в просторах Lp(R), p > 1, та поточкової збiжностi
рядiв Фур’є по системах {Φn(t)}, n ∈ Z, за умови виконання певних
обмежень на послiдовностi полюсiв цих систем. Отримуються твер-
дження, якi є аналогами класичних ознак Жордана–Дiрiхле та Дiнi–
Лiпшиця збiжностi рядiв Фур’є за тригонометричною системою.
2010 MSC. 46E30, 42A10, 41A17, 41A20, 41A25, 41A27, 41A30.
Ключовi слова та фрази. Рацiональна функцiя, система Такена-
ки–Мальмквiста, умова Бляшке.
1. Ортонормована система рацiональних функцiй
на дiйснiй осi
Нехай a := {ak}∞k=0, (Im ak > 0) — довiльна послiдовнiсть компле-
ксних чисел, якi лежать в верхнiй пiвплощинi C+ := {z ∈ C : Im z >
0}. Тодi
Φ+
0 (z) :=
√
Im a0
z − a0
, Φ+
n (z) :=
√
Im an
z − an
B+
n (z), n = 1, 2, . . . , (1)
де
B+
0 (z) := 1, B+
n (z) :=
n−1∏
k=0
χ+
k
z − ak
z − ak
, χ+
k :=
|1 + a2k|
1 + a2k
, n = 1, 2, . . . .
— n-добуток Бляшке з нулями в точках ak, k = 0, 1, . . . , n− 1.
Стаття надiйшла в редакцiю 17.10.2015
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут математики НАН України
404 Збiжнiсть на дiйснiй осi рядiв Фур’є...
Систему функцiй {Φ+
n (z)}∞0 запровадив М.М. Джрбашян [1] за
аналогiєю, як це зробили С. Такенака i Ф. Мальмквiст (див. [2, 3]) у
випадку простору Гардi H2 в одиничному крузi. Зокрема, в [1] пока-
зано, що система {Φ+
n (z)}∞0 є ортонормованою на дiйснiй осi R, тобто
1
π
∞∫
−∞
Φ+
n (x)Φ
+
m(x)dx =
{
0, n ̸= m,
1, n = m,
n,m = 0, 1, 2, . . . .
Нехай, далi, b := {bk}∞k=1, (Im bk < 0) — довiльна послiдовнiсть
комплексних чисел, якi лежать в нижнiй пiвплощинi C− := {z ∈ C :
Im z < 0}. Тодi
Φ−
1 (z) :=
√
− Im b1
z − b1
, Φ−
n (z) :=
√
− Im bn
z − bn
B−
n (z), n = 2, 3, . . . ,
де
B−
1 (z) := 1, B−
n (z) :=
n−1∏
k=1
χ−
k
z − bk
z − bk
, χ−
k :=
|1 + b2k|
1 + b2k
, n = 2, 3, . . . .
— n-добуток Бляшке з нулями в точках bk, k = 1, 2, . . . , n− 1.
Лема 1. Система функцiй {Φ−
n (z)}∞1 є ортонормованою на дiйснiй
осi R, тобто
1
π
∞∫
−∞
Φ−
n (x)Φ
−
m(x)dx =
{
0, n ̸= m,
1, n = m,
n,m = 1, 2, . . . .
Доведення. Вiдзначимо спочатку, що
1
π
∞∫
−∞
Φ−
n (x)Φ
−
n (x)dx =
1
π
∞∫
−∞
|Φ−
n (x)|2dx
=
− Im bn
π
∞∫
−∞
dx
|x− b̄n|2
= 1, (n = 1, 2, . . .).
Покладаючи тепер, що 1 ≤ m ≤ n − 1, (n ≥ 2), розглянемо iнте-
грали
1
π
∞∫
−∞
Φ−
n (x)Φ
−
m(x)dx =
√
Im bn Im bm
π
∞∫
−∞
n−1∏
k=m+1
(x− bk)χ
−
k
n∏
k=m
(x− b̄k)
dx.
С. О. Чайченко 405
В цiй рiвностi праворуч пiд знаком iнтегралу стоїть рацiональний
дрiб з полюсами в точках bk, k = m,m+1, . . . , n, якi лежать в верхнiй
пiвплощинi C+ комплексної площини. При цьому очевидно, що при
|z| → ∞, z ∈ C, цей дрiб має порядок O(|z|−2), що гарантує збiжнiсть
iнтегралу. Тому застосовуючи iнтегральну теорему Кошi для нижньої
пiвплощини C−, отримуємо
1
π
∞∫
−∞
Φ−
n (x)Φ
−
m(x)dx = 0.
Нарештi, перейшовши до спряжених значень, переконуємося в
тому, що остання рiвнiсть виконується для довiльних натуральних
n ̸= m. Лему доведено.
Лема 2. Для довiльних z, ζ ∈ C, z ̸= ζ i n = 0, 1, 2, . . . , m = 1, 2, . . . ,
справджуються рiвностi
n−1∑
k=0
Φ+
k (ζ)Φ
+
k (z) =
1
2i(ζ − z)
[
1−B+
n (ζ)B
+
n (z)
]
, (2)
m−1∑
k=1
Φ−
k (ζ)Φ
−
k (z) =
1
2i(ζ − z)
[
B−
m(ζ)B−
m(z)− 1
]
, (3)
де
∑−1
k=0 =
∑0
k=1 = 0.
Рiвностi (2) i (3) є аналогами формули Христофеля–Дарбу для
ортогональних многочленiв. Вони також вiдомi в лiтературi пiд на-
звою тотожностi М.М. Джрбашяна. Доведення рiвностi (2) наведено
в роботах [1,4]. Для того, щоб переконатися в справедливостi рiвностi
(3) скористаємося методом, запропонованим в [4].
Доведення. Розглянемо тотожнiсть
(1− x1) + (1− x2)x1 + (1− x3)x1x2 + . . .+ (1− xm−1)x1x2 · · ·xm−2 =
= 1− x1x2 · · ·xm−1, (4)
яка справджується для будь-яких комплексних чисел x1, x2, . . . , xm−1,
m ∈ N.
Покладемо
xk =
(z − bk)(ζ − bk)
(z − bk)(ζ − bk)
.
406 Збiжнiсть на дiйснiй осi рядiв Фур’є...
Тодi
1− xk =
(z − bk)(ζ − bk)− (z − bk)(ζ − bk)
(z − bk)(ζ − bk)
=
2i Im bk
(z − bk)(ζ − bk)
(ζ − z)
i згiдно з (4)
m−1∑
k=1
(1− xk)
k−1∏
j=1
xj =
m−1∑
k=1
2i Im bk
(z − bk)(ζ − bk)
(ζ − z)
k−1∏
j=1
(z − bj)(ζ − bj)
(z − bj)(ζ − bj)
= 1−
m−1∏
j=1
(z − bj)(ζ − bj)
(z − bj)(ζ − bj)
.
Роздiливши обидвi частини рiвностi на 2i(ζ − z) i врахувавши те,
що
k−1∏
j=1
(z − bj)(ζ − bj)
(z − bj)(ζ − bj)
=
k−1∏
j=1
χ−
j
z − bj
z − bj
·
k−1∏
j=1
χ −
j
ζ − bj
ζ − bj
= B−
k (z)B
−
k (ζ)
bk ∈ C− i
m−1∑
k=1
Im bk
(z − bk)(ζ − dk)
k−1∏
j=1
(z − bj)(ζ − bj)
(z − bj)(ζ − aj)
= −
m−1∑
k=1
√
− Im bk
z − bk
Bk(z)
√
− Im bk
ζ − bk
Bk(ζ) = −
m−1∑
k=1
Φ−
k (z)Φ
−
k (ζ),
одержимо (3). Лему доведено.
Позначимо тепер
Φn(z) =
{
Φ+
n (z), n = 0, 1, 2, . . . ,
Φ−
−n(z), n = −1,−2, . . . .
(5)
Лема 3. Система функцiй {Φn(z)}, n ∈ Z є ортонормованою на
дiйснiй осi R, тобто
1
π
∞∫
−∞
Φn(x)Φm(x)dx =
{
0, n ̸= m,
1, n = m,
n,m ∈ Z. (6)
С. О. Чайченко 407
Доведення. Якщо n,m = 0, 1, 2, . . . , або n,m = −1,−2, . . . , то рiв-
нiсть (6) випливає з ортонормованостi систем функцiй {Φ+
n (z)}∞0 i
{Φ−
k (z)}
∞
1 . Нехай тепер n = −1,−2, . . . , m = 0, 1, 2, . . .. Тодi
1
π
∞∫
−∞
Φn(x)Φm(x)dx =
1
π
∞∫
−∞
Φ−
−n(x)Φ
+
m(x)dx
=
√
− Im b−n Im am
π
∞∫
−∞
1
x− b−n
−n−1∏
j=1
χ−
j
x− bj
x− bj
× 1
x− am
m−1∏
l=0
χ+
l
x− al
x− al
dx
=
√
− Im b−n Im am
π
∞∫
−∞
1
x− b−n
−n−1∏
j=1
χ−
j
x− bj
x− bj
× 1
x− am
m−1∏
l=0
χ+
l
x− al
x− al
dx. (7)
В рiвностi (7) пiд знаком iнтегралу стоїть рацiональний дрiб з по-
люсами в точках bj , j = 1, 2, . . . ,−n, та al, l = 0, 1, . . . ,m, якi лежать
в верхнiй пiвплощинi C+ комплексної площини. При цьому очевидно,
що при |z| → ∞, z ∈ C, цей дрiб має порядок O(|z|−2), що гарантує
збiжнiсть iнтегралу. Тому застосовуючи iнтегральну теорему Кошi
для нижньої пiвплощини C−, отримуємо
1
π
∞∫
−∞
Φ−
−n(x)Φ
+
m(x)dx = 0, n = −1,−2, . . . , m = 0, 1, 2, . . . .
Мiркуючи аналогiчно у випадку m = −1,−2, . . . , n = 0, 1, 2, . . . ,
остаточно переконуємося в справедливостi рiвностi (6). Лему доведе-
но.
З формул (2) i (3), отримуємо рiвнiсть
n−1∑
k=−m+1
Φk(ζ)Φk(z) =
1
2i(ζ − z)
[m−1∏
k=1
z − bk
z − bk
·
m−1∏
k=1
ζ − bk
ζ − bk
−
n−1∏
k=0
z − ak
z − ak
·
n−1∏
k=0
ζ − ak
ζ − ak
]
=
1
2i(ζ − z)
[
B−
m(z)B−
m(ζ)−B+
n (z)B
+
n (ζ)
]
.
408 Збiжнiсть на дiйснiй осi рядiв Фур’є...
2. Зображення ядра Дiрiхле системи {Φn(z)}
на дiйснiй осi
Позначимо через
Dn,m(a;b;x; t) :=
n−1∑
k=−m+1
Φk(x)Φk(t), x, t ∈ R, m, n ∈ N,
— ядро системи {Φn(z)}, n ∈ Z на дiйснiй осi R.
Отримаємо зручне для подальших дослiджень зображення для
величини Dn,m(a;b;x; t). Має мiсце наступне твердження.
Лема 4. Нехай a = {ak}∞k=0 (Imak > 0) i b0 = {bk}∞k=1 (Im bk < 0) —
довiльнi послiдовностi комплексних чисел, якi лежать, вiдповiдно,
в верхнiй C+ i нижнiй C− пiвплощинах комплексної площини.
Тодi для довiльних x, t ∈ R i m, n ∈ N справджується формула
Dn,m(a;b;x; t) =
1
2i(t− x)
[
exp
(
− 2i
t∫
x
m−1∑
k=1
Im bk du
(u− Re bk)2 + (Im bk)2
)
− exp
(
− 2i
t∫
x
n−1∑
k=0
Im ak du
(u− Re ak)2 + (Im ak)2
)]
. (8)
Доведення. Нехай bk = βk + iγk, βk ∈ R, γk < 0. Виконуючи перетво-
рення, з урахуванням того, що x, t ∈ R, знаходимо
B−
m(x)B−
m(t) =
m−1∏
k=1
x− bk
x− bk
·
m−1∏
k=1
t− bk
t− bk
=
m−1∏
k=1
(x− βk)− iγk
(x− βk) + iγk
m−1∏
k=1
(t− βk) + iγk
(t− βk)− iγk
=
m−1∏
k=1
(x− βk)− iγk
(x− βk) + iγk
m−1∏
k=1
(t− βk) + iγk
(t− βk)− iγk
=
m−1∏
k=1
√
(x− βk)2 + γ2k(cos arctg
γk
x−βk
− i sin arctg γk
x−βk
)√
(x− βk)2 + γ2k(cos arctg
γk
x−βk
+ i sin arctg γk
x−βk
)
×
m−1∏
k=1
√
(t− βk)2 + γ2k(cos arctg
γk
t−βk
+ i sin arctg γk
t−βk
)√
(t− βk)2 + γ2k(cos arctg
γk
t−βk
− i sin arctg γk
t−βk
)
С. О. Чайченко 409
=
m−1∏
k=1
(cos arctg γk
x−βk
− i sin arctg γk
x−βk
)(cos arctg γk
t−βk
+ i sin arctg γk
t−βk
)
(cos arctg γk
x−βk
+ i sin arctg γk
x−βk
)(cos arctg γk
t−βk
− i sin arctg γk
t−βk
)
=
m−1∏
k=1
exp
[
2i
(
arctg
γk
t− βk
− arctg
γk
x− βk
)]
.
Помiтивши, що(
arctg
γk
· − βk
)′
= − γk
(· − βk)2 + γ2k
,
отримуємо
m−1∏
k=1
x− bk
x− bk
·
m−1∏
k=1
t− bk
t− bk
=
m−1∏
k=1
exp
[
2i
(
arctg
γk
t− βk
− arctg
γk
x− βk
)]
= exp
[
2i
m−1∑
k=1
(
arctg
γk
t− βk
− arctg
γk
x− βk
)]
= exp
[
− 2i
m−1∑
k=1
t∫
x
γkdu
(u− βk)2 + γ2k
]
.
Використовуючи аналогiчнi мiркування для величини B+
n (z)B
+
n (ζ)
отримуємо рiвнiсть (8). Лему доведено.
3. Постановка задачi, iсторична довiдка та формулю-
вання основних результатiв
Нехай, як i ранiше,
a := {ak}∞k=0, (Im ak > 0), b := {bk}∞k=1, (Im bk < 0)
— довiльнi послiдовностi комплексних чисел, якi лежать, вiдповiдно,
в верхнiй C+ i нижнiй C− пiвплощинах комплексної площини C.
В роботi [5] було показано, що система рацiональних функцiй
1
z − ā0
,
1
z − b̄1
,
1
z − ā1
,
1
z − b̄1
, . . . , (9)
буде замкненою вiдносно простору Lp(R), p > 1, тодi i тiльки тодi,
коли ряди
σ(a) :=
∞∑
k=0
| Im ak|
1 + |ak|2
, σ(b) :=
∞∑
k=1
| Im bk|
1 + |bk|2
,
410 Збiжнiсть на дiйснiй осi рядiв Фур’є...
розбiгаються. Ортогоналiзацiя системи (9) на дiйснiй осi R приводить
до системи {Φn(x)}, x ∈ R, n ∈ Z, тому довiльнiй функцiї f ∈ L2(R)
можна поставити у вiдповiднiсть її ряд Фур’є за системою {Φn(x)} :
f(x) ∼
∞∑
k=−∞
ckΦk(x), x ∈ R, (10)
де
ck =
1
π
∞∫
−∞
f(x)Φk(x)dx, k = 0,±1,±2, . . . ,
частиннi суми якого
Sn,m(f ;a;b;x) =
n−1∑
k=−m+1
ckΦk(x),
за умови розбiжностi рядiв σ(a) i σ(b) збiгаються в середньо квадра-
тичному до функцiї f(x), тобто
lim
n,m→∞
1
π
∞∫
−∞
|f(x)− Sn,m(f ;x)|2dx = 0.
Проте формальний ряд Фур’є вигляду (10) може бути записаний
для довiльної функцiї f ∈ Lp(R), p ≥ 1 i для частиних сум цього ряду
будемо мати
Sn,m(f ;a;b;x) =
n∑
k=−m
ckΦk(x) =
1
π
∞∫
−∞
f(t)
[ n∑
k=−m
Φk(t)Φk(x)
]
dt
=
1
π
∞∫
−∞
f(t)Dn,m(a;b;x; t) dt. (11)
Наша мета — дослiдити питання збiжностi в метриках просторiв
Lp(R), p > 1, а також поточкової збiжностi частинних сум
Sn,m(f ;a;b;x) ряду Фур’є (10) до вiдповiдної функцiї f при m,n →
∞.
Зазначимо, що екстремальнi задачi про наближення на дiйснiй осi
за допомогою рацiональних функцiй з фiксованими полюсами беруть
свiй початок з робот С.Н. Бернштейна. Так в монографiї [6] було побу-
довано рацiональний дрiб, який найменше вiдхиляється вiд нуля на
С. О. Чайченко 411
дiйснiй осi, а також вперше наведено розв’язок задачi щодо набли-
ження в рiвномiрнiй метрицi функцiй, за допомогою рацiональних
дробiв, знаменники яких заданi i не змiнюють знака на дiйснiй осi,
а чисельники — полiноми фiксованого степеня з невизначеними кое-
фiцiєнтами. Питання, пов’язанi з дослiдженням умов повноти систем
вигляду (9), збiжностi в метриках просторiв Lp(R), p ∈ [1;∞], набли-
жуючих агрегатiв, побудованих за цими системами, розглядались в
роботi [5]. Н.I. Ахиєзер [7], дослiджуючи задачi вагового полiномi-
ального наближення, вперше встановив точнi величини найкращих
вагових наближень на дiйснiй осi ядер
Ax+D
x2 + λ
, (ImA = ImD = 0, λ > 0) (12)
для ваги певного вигляду.
Розкладом в ряд Фур’є за системою (1) вперше займався
М.М. Джрбашян [1]. Ним був розвинений метод, що дозволив отри-
мати розв’язання екстремальних задач про найкращi рацiональнi на-
ближення ядра Кошi
1
z − x
, Im z ̸= 0
на всiй дiйснiй осi −∞ < x < ∞ як в рiвномiрнiй, так i в середньо
квадратичнiй метрицi. Запропонований метод базувався на викори-
станнi ортогональної системи (1) та певних бiортогональних на всiй
дiйснiй осi R систем рацiональних функцiй з фiксованими полюсами.
Використовуючи метод М.М. Джрбашяна в роботi [8] було розв’язано
аналогiчнi екстремальнi задачi для ядер (12). В роботах В.М. Русака
(див. монографiю [9]) були побудованi рацiональнi оператори типу
Фейєра, Валле–Пуссена та Джексона та дослiджено апроксимацiйнi
властивостi цих операторiв. В роботi [4] обчислено величини найкра-
щих наближень ядра Кошi на дiйснiй осi R деякими пiдпросторами з
Lq(R). Наведено застосування отриманого результату до обчислення
точних верхнiх меж поточкових вiдхилень функцiй з одиничної кулi
простору ГардiHp, 2 ≤ p <∞, вiд певних iнтерполяцiйних операторiв
з вузлами iнтерполяцiї в заданiй системi точок верхньої пiвплощини
i певних лiнiйних середнiх рядiв Фур’є за системою (1).
Для спрощення мiркувань, в цiй роботi будемо вважати, що вiдпо-
вiднi члени послiдовностей a = {ak}∞k=0 i b = {bk}∞k=1 є взаємоспряже-
ними, тобто bk = āk−1, (k = 1, 2, . . .). Тодi, зображення спектральної
функцiї (8) i частинної суми (11) у випадку m = n + 1 приймають
вигляд
Dn,n+1(a; ā;x; t) =
1
(t−x) sin
(
t∫
x
[
n−1∑
k=0
2 Im ak
(u−Re ak)2+(Im ak)2
]
du
)
, (13)
412 Збiжнiсть на дiйснiй осi рядiв Фур’є...
i
Sn,n+1(f ;a; ā;x) := Sn(f ;a;x) =
1
π
∞∫
−∞
f(t)Dn,n+1(a; ā;x; t) dt,
де a = {ak}∞k=0 i ā = {āk−1}∞k=1.
Сформулюємо основнi результати роботи.
Теорема 1. Нехай послiдовнiсть a := {ak}∞k=0 задовольняє умову
lim
n→∞
n−1∑
k=0
| Im ak|
1 + |ak|2
= +∞. (14)
Тодi для довiльної функцiї f ∈ Lp(R), 1 < p < ∞, її ряд Фур’є за
системою (5) збiгається до цiєї функцiї в метрицi простору Lp(R),
тобто
lim
n→∞
∞∫
−∞
|f(x)− Sn(f ;a;x)|pdx = 0, 1 < p <∞.
Позначимо
σn :=
n−1∑
k=0
| Im ak|
1 + |ak|2
, ςn :=
n−1∑
k=0
1
(Im ak)2
. (15)
Теорема 2. Нехай функцiя f ∈ L1(R) i має обмежену варiацiю на
R. Тодi якщо послiдовнiсть a := {ak}∞k=0 не має граничних точок на
дiйснiй осi R, задовольняє умову (14) i рiвномiрно по n ∈ N вико-
нується спiввiдношення ςn/σn ≤ const, то в кожнiй точцi x0 ∈ R
справджується рiвнiсть
lim
n→∞
Sn(f ;a;x0) =
f(x0 − 0) + f(x0 + 0)
2
.
Наслiдок 1. Якщо виконанi всi умови теореми 2 i x0 — точка не-
перервностi функцiї f, то
lim
n→∞
Sn(f ;a;x0) = f(x0).
Теорема 3. Нехай функцiя f ∈ L1(R) i в точцi x0 iснують граничнi
значення f(x0 − 0) i f(x0 + 0). Тодi якщо iснують iнтеграли
δ∫
0
f(x0 − y)− f(x0 − 0)
y
dy,
δ∫
0
f(x0 + y)− f(x0 + 0)
y
dy, (16)
С. О. Чайченко 413
a послiдовнiсть a := {ak}∞k=0 не має граничних точок на дiйснiй осi
R, задовольняє умову (14) i рiвномiрно по n ∈ N виконується спiв-
вiдношення ςn/σn ≤ const, то
lim
n→∞
Sn(f ;a;x0) =
f(x0 − 0) + f(x0 + 0)
2
.
Якщо для послiдовностi a := {ak}∞k=0 знайдуться додатнi сталi C1
i C2, якi не залежать вiд k i такi, що 0 < C1 ≤ |ak| ≤ C2, k ∈ N,
то очевидно, що така послiдовнiсть задовольняє умовам теорем 2 i
3. Вiдзначимо також, що умови цих теорем можуть виконуватись i
для послiдовностей, у яких |ak| → ∞, n→ ∞. Наприклад, якщо для
дiйсної та уявної частин a := {ak}∞k=0 при n → ∞ справджуються
рiвностi
|Re ak| = O(kα), 0 ≤ α ≤ 3
4
, | Im ak| = O(kβ),
1
2
< β ≤ 1,
то, як нескладно переконатись, послiдовнiсть a := {ak}∞k=0 не має
граничних точок на дiйснiй осi R, задовольняє умову (14) i ςn/σn ≤
const.
4. Допомiжнi твердження
Отримаємо спочатку зручне iнтегральне зображення для частин-
них сум Sn(f ;a;x) ряду Фур’є за системою (5). Має мiсце наступне
твердження.
Лема 5. Якщо f ∈ Lp(R), p ≥ 1, то для довiльного x ∈ R виконує-
ться рiвнiсть
Sn(f ;a;x) =
1
π
∞∫
0
f(x− y)
sin yµn(−y;x)
y
dy
+
1
π
∞∫
0
f(x+ y)
sin yµn(y;x)
y
dy, (17)
де
µn(y;x) :=
1
y
x+y∫
x
[ n−1∑
k=0
2 Im ak
(u− Re ak)2 + (Im ak)2
]
du. (18)
414 Збiжнiсть на дiйснiй осi рядiв Фур’є...
Доведення. Розiб’ємо iнтеграл по всiй осi на два iнтеграли по промiж-
ках (−∞;x) i (x;∞), пiсля чого виконаємо замiну змiнних. Беручи до
уваги (13), знаходимо
Sn(f ;a;x) =
1
π
∞∫
−∞
f(t)Dn,n+1(a; ā; t;x) dt
=
1
π
(
x∫
−∞
+
∞∫
x
)f(t)Dn,n+1(a; ā; t;x) dt
=
1
π
∞∫
0
f(x− y)Dn,n+1(a; ā;x− y;x) dy
+
1
π
∞∫
0
f(x+ y)Dn,n+1(a; ā;x+ y;x) dy
=
1
π
∞∫
0
f(x− y)
y
sin
( x∫
x−y
[ n−1∑
k=0
2 Im ak
(u− Re ak)2 + (Im ak)2
]
du
)
dy
+
1
π
∞∫
0
f(x+ y)
y
sin
( x+y∫
x
[ n−1∑
k=0
2 Im ak
(u− Re ak)2 + (Im ak)2
]
du
)
dy.
Звiдси, враховуючи позначення (18), отримуємо рiвнiсть (17). Ле-
му доведено.
Лема 6. При кожних фiксованих x ∈ R i y > 0 cправджуються
оцiнки: ∣∣∣∣[yµn(±y;x)]′y∣∣∣∣ ≥ 1
1 + (|x|+ y)2
n−1∑
k=0
| Im ak|
1 + |ak|2
, (19)
|µn(±y;x)| ≥
1
1 + (|x|+ y)2
n−1∑
k=0
| Im ak|
1 + |ak|2
. (20)
Доведення. На пiдставi спiввiдношення (18) знаходимо
[yµn(y;x)]
′
y =
d
dy
x+y∫
x
[ n−1∑
k=0
2 Im ak
(u− Re ak)2 + (Im ak)2
]
du
С. О. Чайченко 415
=
n−1∑
k=0
2 Im ak
([y + x]− Re ak)2 + (Im ak)2
. (21)
Звiдси, враховуючи нерiвнiсть
(1+(|x|+y)2)(1+(Re ak)
2+(Im ak)
2) ≥ ([t+x]−Re ak)
2+(Im ak)
2, (22)
яка виконується для довiльних x ∈ R, y > 0 i 0 ≤ t ≤ y, отриму-
ємо оцiнку (19) для величини [yµn(y;x)]
′
y. Величина |[yµn(−y;x)]′y|
оцiнюється аналогiчно.
Оскiльки
µn(y;x) =
1
y
x+y∫
x
[ n−1∑
k=0
2 Im ak
(u− Re ak)2 + (Im ak)2
]
du
=
1
y
y∫
0
[ n−1∑
k=0
2 Im ak
([t+ x]− Re ak)2 + (Im ak)2
]
dt,
то знову застосовуючи нерiвнiсть (22) одержуємо оцiнку (20) для ве-
личини µn(y;x). Величина µn(−y;x) оцiнюється аналогiчно. Лему до-
ведено.
Лема 7. Рiвномiрно вiдносно x ∈ R i y > 0 виконуються оцiнки:∣∣∣∣[yµn(±y;x)]′′y2∣∣∣∣ ≤ n−1∑
k=0
1
(Im ak)2
, (23)
∣∣∣∣[µn(±y;x)]′y∣∣∣∣ ≤ n−1∑
k=0
1
(Im ak)2
, (24)
∣∣∣∣[µn(±y;x)]′′y2∣∣∣∣ ≤ 8
3
n−1∑
k=0
1
(Im ak)3
. (25)
Доведення. На пiдставi спiввiдношення (21) знаходимо
[yµn(y;x)]
′′
y2 =
d
dy
[
n−1∑
k=0
2 Im ak
([x+ y]− Re ak)2 + (Im ak)2
]
= −
n−1∑
k=0
4 Im ak([y + x]− Re ak)(
([y + x]− Re ak)2 + (Im ak)2
)2 .
416 Збiжнiсть на дiйснiй осi рядiв Фур’є...
Звiдси, беручи до уваги очевиднi нерiвностi
2 Im ak(v − Re ak)
(v − Re ak)2 + (Im ak)2
≤ 1, (26)
i
1
(v − Re ak)2 + (Im ak)2
≤ 1
(Im ak)2
, (27)
при v = t+ x, отримуємо нерiвнiсть (23) для величини |[yµn(y;x)]′′y2 |.
Величина |[yµn(−y;x)]′′y2 | оцiнюється аналогiчно.
Для доведення оцiнки (24) слiд зауважити, що
[µn(y;x)]
′
y =
1
y2
y∫
0
[ n−1∑
k=0
2 Im ak
([y + x]− Re ak)2 + (Im ak)2
−
n−1∑
k=0
2 Im ak
([t+ x]− Re ak)2 + (Im ak)2
]
dt
=
1
y2
y∫
0
n−1∑
k=0
2 Im ak(t−y)[(y+x−Re ak)+(t+x−Re ak)]
[(y+x−Re ak)2+(Im ak)2][(t+x−Re ak)2+(Im ak)2]
=
1
y2
y∫
0
(t− y)
n−1∑
k=0
[
2 Im ak(y+x−Re ak)
(y+x−Re ak)2+(Im ak)2
· 1
(t+x−Re ak)2+(Im ak)2
+
2 Im ak(t+ x− Re ak)
(t+ x− Re ak)2 + (Im ak)2
· 1
(y + x− Re ak)2 + (Im ak)2
]
dt.
Звiдси, знову використовуючи нерiвностi (26)–(27) при v = t + x i
v = y + x, отримуємо∣∣∣∣[µn(y;x)]′y∣∣∣∣ ≤ 2
n−1∑
k=0
1
(Im ak)2
· 1
y2
y∫
0
(y − t)dt =
n−1∑
k=0
1
(Im ak)2
,
що i доводить оцiнку (24) для [µn(y;x)]
′
y. Модуль величини [µn(−y;x)]′y
оцiнюється аналогiчно.
Далi знаходимо
[µn(y;x)]
′′
y2 =
d
dy
[
1
y
n−1∑
k=0
2 Im ak
([y + x]− Re ak)2 + (Im ak)2
− 1
y2
y∫
0
n−1∑
k=0
2 Im ak dt
([t+ x]− Re ak)2 + (Im ak)2
]
С. О. Чайченко 417
=
2
y3
y∫
0
n−1∑
k=0
2 Im ak dt
([t+ x]− Re ak)2 + (Im ak)2
− 2
y2
n−1∑
k=0
2 Im ak
([y + x]− Re ak)2 + (Im ak)2
−1
y
n−1∑
k=0
4 Im ak(x+ y − Re ak)
([t+ x]− Re ak)2 + (Im ak)2
,
звiдки, виконуючи елементарнi перетворення, одержуємо
[µn(y;x)]
′′
y2 =
2
y3
y∫
0
(y − t)
n−1∑
k=0
2 Im ak
(y + x− Re ak)2 + (Im ak)2
×
[
y + t+ 2x− 2Re ak
(t+ x− Re ak)2 + (Im ak)2
− 2(y + x− Re ak)
([y + x]− Re ak)2(Im ak)2
]
dt
=
2
y3
y∫
0
n−1∑
k=0
[
4 Im ak(y + x− Re ak)
2
[(t+ x− Re ak)2 + (Im ak)2][(y + x− Re ak)2 + (Im ak)2]2
+
4 Im ak(y + x− Re ak)(t+ x− Re ak)
[(t+ x− Re ak)2 + (Im ak)2][(y + x− Re ak)2 + (Im ak)2]2
− 2 Im ak
[(y + x− Re ak)2 + (Im ak)2][(t+ x− Re ak)2 + (Im ak)2]
]
(y − t)2dt.
Нарештi використовуючи нерiвностi (26)–(27) при v = t+x i v = y+x,
отримуємо
|[µn(y;x)]′′y2 | ≤
2
y3
y∫
0
n−1∑
k=0
4(y − t)2
(Im ak)3
dt =
8
3
n−1∑
k=0
1
(Im ak)3
,
що i доводить оцiнку (25) для [µn(y;x)]
′′
y2 . Величина [µn(−y;x)]′′y2 оцi-
нюється аналогiчно. Лему доведено.
Лема 8. Нехай послiдовнiсть a := {ak}∞k=0 не має граничних точок
на дiйснiй осi R, задовольняє умову (14) i рiвномiрно по n ∈ N викону-
ється спiввiдношення ςn/σn ≤ const. Тодi, якщо функцiя φ ∈ L(R+),
то
lim
n→∞
∞∫
0
φ(y) sin[yµn(±y;x)]dy = 0. (28)
418 Збiжнiсть на дiйснiй осi рядiв Фур’є...
Доведення. Зафiксуємо число ε > 0. Очевидно, що для довiльної
функцiї φ ∈ L(R+), завжди iснує число θ = θ(ε) > 0 таке, що
∞∫
θ
|φ(y)|dy ≤ ε
3
. (29)
За теоремою Вейєрштрасса на вiдрiзку [0; θ] можна знайти полi-
ном P (y) = P (φ; y), який забезпечує оцiнку
θ∫
0
|φ(y)− P (y)|dy ≤ ε
3
. (30)
Зi спiввiдношень (29) i (30) випливає∣∣∣∣∣
∞∫
0
φ(y) sin[yµn(±y;x)]dy
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
θ∫
0
P (y) sin[yµn(±y;x)]dy
+
∞∫
θ
φ(y) sin[yµn(±y;x)]dy +
θ∫
0
[φ(y)− P (y)] sin[yµn(±y;x)]dy
∣∣∣∣∣
≤
∣∣∣∣∣
θ∫
0
P (y) sin[yµn(±y;x)]dy
∣∣∣∣∣+ 2ε
3
,
при цьому рiвномiрно по n = 0, 1, 2, . . . .
Отже, для завершення доведення леми залишилось показати, що
iснує натуральне число n0 = n0(ε) > 0, таке що для всiх натуральних
n > n0 виконується нерiвнiсть∣∣∣∣∣
θ∫
0
P (y) sin[yµn(±y;x)]dy
∣∣∣∣∣ ≤ ε
3
. (31)
Нехай
M1 = max
0≤y≤θ
|P (y)|, M2 = max
0≤y≤θ
|P ′(y)|.
Iнтегруючи частинами, знаходимо
θ∫
0
P (y) sin[yµn(±y;x)]dy = − P (y)
[yµn(±y;x)]′y
cos[yµn(±y;x)]
∣∣∣∣θ
0
С. О. Чайченко 419
+
θ∫
0
P ′(y)
[yµn(±y;x)]′y
cos[yµn(±y;x)]dy
−
θ∫
0
P (y)[yµn(±y;x)]′′y2
([yµn(±y;x)]′y)2
cos[yµn(±y;x)]dy.
Застосуємо пiд знаками iнтегралiв з правої частини одержаної рiв-
ностi оцiнки (19)–(23). Враховуючи позначення (15), отримуємо∣∣∣∣∣
θ∫
0
P (y) sin[yµn(±y;x)]dy
∣∣∣∣∣ ≤ 2M1(1 + (|x|+ θ)2)
σn
+
M2θ(1 + (|x|+ θ)2)
σn
+
M1θ(1 + (|x|+ θ)2)2ςn
σ2n
.
Звiдси, при виконаннi (14) i умови ςn/σn ≤ const випливає спiв-
вiдношення (31). Лему доведено.
Лема 9. Нехай послiдовнiсть a := {ak}∞k=0 не має граничних точок
на дiйснiй осi R, задовольняє умову (14) i рiвномiрно по n ∈ N вико-
нується спiввiдношення ςn/σn ≤ const. Тодi для довiльного δ > 0 при
кожному фiксованому x ∈ R
lim
n→∞
δ∫
0
sin[yµn(±y;x)]
y
dy =
π
2
. (32)
Доведення. Зафiксуємо x ∈ R i число δ > 0. Маємо рiвнiсть
δ∫
0
sin[yµn(±y;x)]
y
dy =
δ∫
0
sin[yµn(±y;x)]
yµn(±y;x)
d[yµn(±y;x)]
−
δ∫
0
sin[yµn(±y;x)]
[µn(±y;x)]′
µn(±y;x)
dy := I1(n;x)− I2(n;x). (33)
Позначивши v = yµn(±y;x), отримуємо
I1(n;x) =
δµn(±δ;x)∫
0
sin v
v
dv. (34)
420 Збiжнiсть на дiйснiй осi рядiв Фур’є...
Скориставшись нерiвнiстю (22), знаходимо
yµn(±y;x) =
y∫
0
[ n−1∑
k=0
2 Im ak
([t± x]− Re ak)2 + (Im ak)2
]
dt
≥ y
1 + (|x|+ y)2
n−1∑
k=0
| Im ak|
1 + |ak|2
, y > 0,
звiдки випливає, що при виконаннi умови (14) справджується спiв-
вiдношення
δµn(±δ;x) ≥
δ
1 + (|x|+ δ)2
n−1∑
k=0
| Im ak|
1 + |ak|2
→ ∞, n→ ∞.
Беручи до уваги цей факт, знаходимо
lim
n→∞
I1(n;x) = lim
n→∞
δµn(±δ;x)∫
0
sin v
v
dv =
∞∫
0
sin v
v
dv =
π
2
. (35)
Далi, iнтегруючи частинами, знаходимо
|I2(n;x)| =
[µn(±y;x)]′y cos[yµn(±y;x)]
µn(±y;x)[yµn(±y;x)]′y
∣∣∣∣δ
0
−
δ∫
0
cos[yµn(±y;x)]
[µn(±y;x)]′′y2
µn(±y;x)[yµn(±y;x)]′y
dy
+
δ∫
0
cos[yµn(±y;x)]
(
[µn(±y;x)]′y
)2
[µn(±y;x)]2[yµn(±y;x)]′y
dy
+
δ∫
0
cos[yµn(±y;x)]
[µn(±y;x)]′y[yµn(±y;x)]′′y2
µn(±y;x)([yµn(±y;x)]′y)2
dy. (36)
За умовою теореми послiдовнiсть a := {ak}∞k=0 не має граничних
точок на дiйснiй осi R, отже
n−1∑
k=0
1
(Im ak)3
≤ Cςn.
С. О. Чайченко 421
Беручи до уваги цей факт i застосовуючи в правiй частинi спiввiдно-
шення (36) нерiвностi (19)–(20), а також (23)–(25), знаходимо
|I2(n;x)| ≤ C
(
ςn
σ2n
[1 + (|x|+ δ)2] +
ςn
σ2n
[1 + (|x|+ δ)2]2δ+
+
ς2n
σ3n
[1 + (|x|+ δ)2]3δ
)
, (37)
де ςn i σn — послiдовностi, визначенi спiввiдношеннями (15).
Оскiльки за умовою леми ςn/σn ≤ const, то при кожному фiксо-
ваному x ∈ R будемо мати
lim
n→∞
|I2(n;x)| = 0. (38)
Поєднуючи тепер рiвностi (33), (35) i (38), отримуємо твердження
леми. Лему доведено.
Нарештi доведемо лему.
Лема 10. Нехай послiдовнiсть a := {ak}∞k=0 задовольняє умову (14) i
рiвномiрно по n ∈ N виконується спiввiдношення ςn/σn ≤ const. Тодi
якщо функцiя g(y) ∈ L(R+) i монотонно зростає на промiжку [0;∞),
то для довiльного числа δ > 0 при кожному фiксованому x ∈ R
lim
n→∞
δ∫
0
g(y)
sin[yµn(±y;x)]
y
dy =
π
2
g(+0). (39)
Доведення. Зафiксуємо x ∈ R i число δ > 0. Оскiльки справджується
рiвнiсть
δ∫
0
g(y)
sin[yµn(±y;x)]
y
dy
= g(+0)
δ∫
0
sin[yµn(±y;x)]
y
dy +
δ∫
0
[g(y)− g(+0)]
sin[yµn(±y;x)]
y
dy,
то на пiдставi леми 9 достатньо довести, що другий iнтеграл з правої
частини цiєї рiвностi прямує до нуля при n→ ∞.
Для доведення цього факту вiзьмемо ε > 0, виберемо h < δ так,
щоб
0 ≤ g(y)− g(+0) < ε, 0 < y ≤ h,
422 Збiжнiсть на дiйснiй осi рядiв Фур’є...
i розiб’ємо цей iнтеграл на два:
i1(x;n) + i2(x;n) := (
h∫
0
+
δ∫
h
)[g(y)− g(+0)]
sin[yµn(±y;x)]
y
dy.
Враховуючи обмеженiсть iнтегралiв вигляду
h∫
0
sin[yµn(±y;x)]
y
dy, h > 0,
що є наслiдком леми 9, та застосовуючи другу теорему про середнє,
при кожному фiксованому x ∈ R отримуємо
|i1(x;n)| = [g(h)− g(+0)]
∣∣∣∣
h∫
θ
sin[yµn(±y;x)]
y
dy
∣∣∣∣ ≤ εC1(x), (40)
при цьому рiвномiрно вiдносно n ∈ N.
Покладемо
φ(y) :=
{
0, 0 ≤ y < h,
g(y)−g(+0)
y , h ≤ y.
Очевидно, що φ ∈ L(R+). Враховуючи це, на пiдставi леми 8 отриму-
ємо оцiнку
|i2(x;n)| < εC2(x), n > n0(ε). (41)
Зi спiввiдношень (40)–(41) випливає рiвнiсть
lim
n→∞
(i1(x;n) + i2(x;n)) = 0,
що i доводить лему.
5. Доведення основних результатiв
Одержимо тепер основнi твердження щодо збiжностi на дiйснiй
осi рядiв Фур’є за ортонормованою системою (5).
Доведення теореми 1. Покажемо спочатку, що для довiльної фун-
кцiї f ∈ Lp(R), p > 1, виконується нерiвнiсть
∞∫
−∞
|Sn(f ;a;x)|pdx ≤Mp
∞∫
−∞
|f(x)|pdx.
С. О. Чайченко 423
На пiдставi леми 5 зображення частинної суми ряду Фур’є за си-
стемою {Φn(z)}, n ∈ Z може бути записане у виглядi
Sn(f ;a;x) = lim
ε→0+
1
π
∞∫
ε
g(x+ y)− g(x− y)
y
dy, (42)
де
g(x± y) = f(x± y) sin
(
± yµn(±y;x)
)
,
a величини µn(±y;x) визначаються рiвнiстю (18).
В книзi [10, c. 149] доведено, що для довiльної функцiї φ ∈ Lp(R),
p > 1, формула (яку називають перетворенням Гiльберта)
H(f ;x) := lim
ε→0+
∞∫
ε
φ(x+ t)− φ(x− t)
t
dt,
майже скрiзь визначає функцiю H(f) ∈ Lp(R) i виконується нерiв-
нiсть
∞∫
−∞
|H(f ;x)|pdx ≤Mp
∞∫
−∞
|f(x)|pdx,
де Mp — додатна стала, яка залежить тiльки вiд p.
Використовуючи факт обмеженостi перетворення Гiльберта в
просторах Lp(R) при p > 1, з урахуванням того, що функцiя g ∈
Lp(R), на пiдставi спiввiдношення (42) отримуємо
∞∫
−∞
|Sn(f ;a;x)|pdx =
∞∫
−∞
|H(g;x)|pdx ≤Mp
∞∫
−∞
|f(x)|pdx,
що i треба було довести.
Перейдемо тепер до доведення твердження теореми. Оскiльки за
умовою f ∈ Lp(R), то з результатiв роботи [5] випливає, що функцiя f
може бути як завгодно точно наближена за допомогою дробiв вигляду
(9). Тобто для довiльного ε > 0 iснує скiнченна лiнiйна комбiнацiя
Tn0(x) =
n0∑
k=0
Ak(x− āk)
−1 +
n0∑
k=1
Bk(x− ak)
−1,
така, що
∞∫
−∞
|f(x)− Tn0(x)|pdx ≤ ε.
424 Збiжнiсть на дiйснiй осi рядiв Фур’є...
Оскiльки система (5) є результатом ортогоналiзацiї системи (9),
то
Tn0(x) =
n0∑
k=0
A′
kΦ
+
k (x) +
n0∑
k=1
B′
kΦ
−
k (x),
i
Sn(Tn0 ;x) = Tn0(x), n0 ≤ n.
Вiдзначив це, отримуємо
∞∫
−∞
|f(x)− Sn(f ;x)|pdx ≤
∞∫
−∞
|f(x)− Tn0(x)|pdx+
+
∞∫
−∞
|Sn(f − Tn0 ;x)|pdx ≤ (1 + Cp)ε.
Теорему доведено.
Доведення теореми 2. Враховуючи факт сумовностi функцiї f на
R, з леми 8 випливає, що зображення (17) може бути подане у виглядi
Sn(f ;a;x0) =
1
π
δ∫
0
f(x0 − y)
sin yµn(−y;x0)
y
dy+
+
1
π
δ∫
0
f(x0 + y)
sin yµn(y;x0)
y
dy + o(1), n→ ∞, (43)
де δ — довiльне додатнe число.
За умовою теореми функцiя f(·) має обмежену варiацiю на R,
отже може бути поданою у виглядi рiзницi двох монотонно зростаю-
чих функцiй. Застосовуючи лему 10 до кожної монотонної складової
функцiї f , отримуємо
lim
n→∞
Sn(f ;a;x0) =
1
π
· π
2
[f(x0−0)+f(x0+0)] =
1
2
[f(x0−0)+f(x0+0)],
що i треба було довести. Теорему доведено.
Доведення теореми 3. З теореми 1 випливає, що
f(x0 − 0) + f(x0 + 0)
2
=
1
π
δ∫
0
f(x0 − 0)
sin yµn(−y;x0)
y
dy
С. О. Чайченко 425
+
1
π
δ∫
0
f(x0 + 0)
sin yµn(y;x0)
y
dy + o(1), n→ ∞, (44)
де δ — довiльне додатнe число.
Зi спiввiдношень (43) i (44) отримуємо
Sn(f ;a;x0)−
f(x0 − 0) + f(x0 + 0)
2
=
1
π
δ∫
0
f(x0)− f(x0 − 0)
y
sin yµn(−y;x0) dy
+
1
π
δ∫
0
f(x0 + y)f(x0 + 0)
y
sin yµn(y;x0) dy + o(1), n→ ∞,
звiдки, внаслiдок збiжностi iнтегралiв (16) на пiдставi леми 8 випли-
ває твердження теореми. Теорему доведено.
Лiтература
[1] М. М. Джрбашян, Биортогональные системы рациональных функций и наи-
лучшее приближение ядра Коши на вещественной оси // Матем. сб., 94
(1974), No. 3, 418–444.
[2] S. Takenaka, On the orthogonal functions and a new formula of interpolation //
Japanese Journal of Mathematics, 2 (1925), 129–145.
[3] F. Malmquist, Sur la détermination d’une classe de fonctions analytiques par
leurs valeurs dans un ensemble donné de points // Comptes rendus du sixiene
congres des mathematiciens scandinares, Copenhagen, (1926), 253–259.
[4] В. В. Савчук, C. O. Чайченко, Найкращi наближення ядра Кошi на дiйснiй
осi // Укр. мат. журн., 66 (2014), No. 11, 1540–1549.
[5] H. Kober, A note on approximation by rational functions // Proc. of Edinburg
Math. Soc., 7 (1944), No. 3, 123–133.
[6] С. Н. Бернштейн, Экстремальные свойства полиномов и наилучшее прибли-
жение непрерывных функций одной вещественной переменной. Л.-М.: ОН-
ТИ, 1937.
[7] Н. И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965.
[8] A. A. Восканян, О некоторых экстремальных задачах теории приближения
на всей вещественной оси // Изв. АН АрССР, XIV (1979), No. 2, 107–123.
[9] В. Н. Русак, Рациональные функции как аппарат приближения. Минск: Изд.
БГУ им. В.И.Ленина, 1979.
426 Збiжнiсть на дiйснiй осi рядiв Фур’є...
[10] Э. Ч. Титчмарш, Введение в теорию интегралов Фурье. М.-Л.: ОГИЗ, 1948.
Вiдомостi про авторiв
Станiслав
Олегович
Чайченко
Донбаський державний
педагогiчний унiверситет
E-Mail: s.chaichenko@gmail.com
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-140875 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1810-3200 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:53:42Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чайченко, С.О. 2018-07-17T14:19:00Z 2018-07-17T14:19:00Z 2015 Збіжність на дійсній осі рядів Фур'є по системах раціональних функцій / С.О. Чайченко // Український математичний вісник. — 2015. — Т. 12, № 3. — С. 403-426. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1810-3200 2010 MSC: 46E30, 42A10, 41A17, 41A20, 41A25, 41A27, 41A30 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140875 В роботi розглядаються ортонормованi на дiйснiй осi R системи рацiональних функцiй {Φn(z)}, n ∊ Z, якi визначаються фiксованими наборами точок. Наводиться компактний вигляд аналогiв ядер Дiрiхле систем {Φn(t)}, n ∊ Z, на дiйснiй осi R; а також дослiджуються питання збiжностi в просторах Lp(R), p > 1; та поточкової збiжностi рядiв Фур’є по системах {Φn(t)}, n ∊ Z; за умови виконання певних обмежень на послiдовностi полюсiв цих систем. Отримуються твердження, якi є аналогами класичних ознак Жордана–Дiрiхле та Дiнi-Лiпшиця збiжностi рядiв Фур’є за тригонометричною системою. uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Збіжність на дійсній осі рядів Фур'є по системах раціональних функцій Convergence of Fourier series on the systems of rational functions on the real axis Article published earlier |
| spellingShingle | Збіжність на дійсній осі рядів Фур'є по системах раціональних функцій Чайченко, С.О. |
| title | Збіжність на дійсній осі рядів Фур'є по системах раціональних функцій |
| title_alt | Convergence of Fourier series on the systems of rational functions on the real axis |
| title_full | Збіжність на дійсній осі рядів Фур'є по системах раціональних функцій |
| title_fullStr | Збіжність на дійсній осі рядів Фур'є по системах раціональних функцій |
| title_full_unstemmed | Збіжність на дійсній осі рядів Фур'є по системах раціональних функцій |
| title_short | Збіжність на дійсній осі рядів Фур'є по системах раціональних функцій |
| title_sort | збіжність на дійсній осі рядів фур'є по системах раціональних функцій |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140875 |
| work_keys_str_mv | AT čaičenkoso zbížnístʹnadíisníiosírâdívfurêposistemahracíonalʹnihfunkcíi AT čaičenkoso convergenceoffourierseriesonthesystemsofrationalfunctionsontherealaxis |