Аппроксимация в Lp линейными комбинациями индикаторов шаров
Рассматривается аппроксимация функций на подмножествах Rⁿ в пространстве Lp; 2 ≤ p < ∞ линейными комбинациями индикаторов шаров. Рассмотрен случай, когда радиусы шаров пропорциональны положительным нулям функции Бесселя....
Saved in:
| Published in: | Український математичний вісник |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2015
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140879 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Аппроксимация в Lp линейными комбинациями индикаторов шаров / О.А. Очаковская // Український математичний вісник. — 2015. — Т. 12, № 4. — С. 472-483. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-140879 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Очаковская, О.А. 2018-07-17T15:25:30Z 2018-07-17T15:25:30Z 2015 Аппроксимация в Lp линейными комбинациями индикаторов шаров / О.А. Очаковская // Український математичний вісник. — 2015. — Т. 12, № 4. — С. 472-483. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1810-3200 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140879 Рассматривается аппроксимация функций на подмножествах Rⁿ в пространстве Lp; 2 ≤ p < ∞ линейными комбинациями индикаторов шаров. Рассмотрен случай, когда радиусы шаров пропорциональны положительным нулям функции Бесселя. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Аппроксимация в Lp линейными комбинациями индикаторов шаров Approximation in Lp by linear combinations of the indicators of balls Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Аппроксимация в Lp линейными комбинациями индикаторов шаров |
| spellingShingle |
Аппроксимация в Lp линейными комбинациями индикаторов шаров Очаковская, О.А. |
| title_short |
Аппроксимация в Lp линейными комбинациями индикаторов шаров |
| title_full |
Аппроксимация в Lp линейными комбинациями индикаторов шаров |
| title_fullStr |
Аппроксимация в Lp линейными комбинациями индикаторов шаров |
| title_full_unstemmed |
Аппроксимация в Lp линейными комбинациями индикаторов шаров |
| title_sort |
аппроксимация в lp линейными комбинациями индикаторов шаров |
| author |
Очаковская, О.А. |
| author_facet |
Очаковская, О.А. |
| publishDate |
2015 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний вісник |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Approximation in Lp by linear combinations of the indicators of balls |
| description |
Рассматривается аппроксимация функций на подмножествах Rⁿ в пространстве Lp; 2 ≤ p < ∞ линейными комбинациями индикаторов шаров. Рассмотрен случай, когда радиусы шаров пропорциональны положительным нулям функции Бесселя.
|
| issn |
1810-3200 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140879 |
| citation_txt |
Аппроксимация в Lp линейными комбинациями индикаторов шаров / О.А. Очаковская // Український математичний вісник. — 2015. — Т. 12, № 4. — С. 472-483. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT očakovskaâoa approksimaciâvlplineinymikombinaciâmiindikatorovšarov AT očakovskaâoa approximationinlpbylinearcombinationsoftheindicatorsofballs |
| first_indexed |
2025-11-26T02:06:01Z |
| last_indexed |
2025-11-26T02:06:01Z |
| _version_ |
1850608007997554688 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 12 (2015), № 4, 472 – 483
Аппроксимация в Lp линейными
комбинациями индикаторов шаров
Оксана А. Очаковская
(Представлена В. Я. Гутлянским)
Аннотация. Рассматривается аппроксимация функций на подмно-
жествах Rn в пространстве Lp, 2 6 p < ∞ линейными комбинаци-
ями индикаторов шаров. Рассмотрен случай, когда радиусы шаров
пропорциональны положительным нулям функции Бесселя.
Ключевые слова и фразы. Аппроксимационная теорема Винера,
аппроксимация сдвигами.
1. Введение
Классическая теорема Винера о замыкании сдвигов утверждает,
что множество всех линейных комбинаций сдвигов функций fm ∈
L1(R1), m = 1, 2, . . . плотно в L1(R1) тогда и только тогда, когда
не существует точки x ∈ R1, в которой преобразования Фурье всех
функций fm равны нулю (см., например, [1–3]). Винер получил та-
кже необходимые и достаточные условия для замкнутости линейной
оболочки сдвигов заданных функций из L2(R1). В дальнейшем были
получены аналоги этих результатов Винера на некомпактных груп-
пах (см. [2]). Изучались также Lp–аналоги теорем Винера при p > 1.
В ряде работ (см., например, [4–6] и библиографию в этих работах)
изучались случаи, когда заданные функции fm имеют компактные
носители, а их сдвиги сосредоточены на различных подмножествах
евклидовых пространств. В данной работе мы рассматриваем аппро-
ксимацию функций из Lp, 2 6 p < +∞, линейными комбинация-
ми индикаторов шаров, радиусы которых пропорциональны положи-
тельным нулям функции Бесселя. Изучается также возможность по-
добной аппроксимации сдвигами некоторых финитных радиальных
функций.
Статья поступила в редакцию 16.06.2015
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут математики НАН України
О. А. Очаковская 473
2. Формулировки основных результатов
Как обычно, обозначим через E ′(H) пространство распределений с
компактным носителем на полупространстве H = {x ∈ Rn : xn > 0}.
Пусть также Jν — функция Бесселя первого рода порядка ν, Nλ =
{t > 0 : Jn/2(λt) = 0} и ∆ — оператор Лапласа в Rn.
Теорема 1. Пусть f ∈ Lp(H) при некотором p ∈ [2,+∞). Пусть
также функция f представима в виде
f = ∆u+ λ2u (1)
для некоторых u ∈ E ′(H), λ > 0. Тогда f является пределом сходя-
щейся в Lp(H) последовательности линейных комбинаций индика-
торов шаров с радиусами r ∈ Nλ, содержащихся в H.
В качестве следствий приведем следующие результаты, показыва-
ющие, что класс функций f ∈ Lp(H), удовлетворяющих условию те-
оремы 1, является достаточно широким.
Следствие 1. Пусть p ∈ [2,+∞) и функция f ∈ Lp(H) имеет ком-
пактный носитель, содержащийся в H. Пусть также множество
нулей преобразования Фурье функции f содержит сферу в Rn ра-
диуса λ > 0 с центром в нуле. Тогда для этой функции выполнено
утверждение теоремы 1.
Далее, положим BR = {x ∈ Rn : |x| < R} и BR — замыкание BR.
Символом u ∗ v обозначим свертку функций u, v ∈ L1(Rn).
Следствие 2. Пусть p ∈ [2,+∞) и функция u ∈ Lp(Rn) имеет ком-
пактный носитель. Пусть также вещественнозначная радиальная
функция v ∈ L1(Rn) удовлетворяет следующим условиям:
1) носитель v содержится в шаре BR для некоторого R > 0;
2) v непрерывна в нуле;
3) не существует функции w ∈ C(Rn), совпадающей с v почти
всюду.
Тогда, если носитель функции f = u∗ v содержится в H, то для
этой функции выполнено утверждение теоремы 1.
Следствие 3. Пусть p ∈ [2,+∞) и вещественная радиальная фун-
кция v ∈ Lp(Rn) удовлетворяет условиям 1)-3) из следствия 2.
Пусть также h = (h1, . . . , hn) ∈ Rn и hn > R. Тогда для функции
v(x− h) выполнено утверждение теоремы 1.
474 Аппроксимация в Lp линейными комбинациями...
Для множества A ⊂ Rn обозначим через χA индикатор этого мно-
жества. Если h ∈ Rn, положим
A+ h = {x ∈ Rn : x− h ∈ A}.
Следствие 4. Пусть A — непустое, измеримое, инвариантное от-
носительно вращений подмножество Rn, содержащееся в шаре BR и
функция χA непрерывна в нуле. Пусть также h = (h1, . . . , hn) ∈ Rn
и hn > R. Тогда при любом p ∈ [2,+∞) существует λ > 0 такое,
что функция χA+h является пределом последовательности линей-
ных комбинаций индикаторов шаров в H с радиусами r ∈ Nλ, сходя-
щейся в Lp(H).
Далее нам потребуется следующее определение (см. [4, раздел
3.2.3]).
Область O ⊂ Rn называется r–областью, если выполнены следу-
ющие условия:
а) каждая точка из O лежит в некотором замкнутом шаре
радиуса r, содержащемся в O;
б) множество центров всех замкнутых шаров радиуса r, содер-
жащихся в O, является связным.
Пусть λ > 0 и r ∈ Nλ. Рассмотрим функцию gλ,r : Rn → R1,
определённую равенством
gλ,r(x) =
Jn−2
2
(λ|x|)r(n−2)/2
|x|(n−2)/2Jn−2
2
(λr)
− 1, |x| < r,
0, |x| > r.
Можно показать, что gλ,r ∈ C(Rn) и удовлетворяет уравнению
∆gλ,r + λ2gλ,r = χr, (2)
где χr — индикатор шара Br и дифференцирование в (2) понимается
в смысле распределений.
Теорема 2. Пусть λ > 0 фиксировано и множество O ⊂ Rn со-
держит H и является ζ–областью при некотором ζ ∈ Nλ. То-
гда множество всевозможных линейных комбинаций функций вида
gλ,r(x − h), где r ∈ Nλ и supp gλ,r(x − h) ⊂ O, является плотным в
Lp(O) при любом p ∈ [2,+∞).
3. Вспомогательные утверждения
Сначала напомним некоторые обозначения.
О. А. Очаковская 475
Пусть Z+(Jn/2) = {ν1, ν2, . . . } — возрастающая последователь-
ность всех нулей функции Бесселя Jn/2, лежащих на (0,+∞).
Для x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn положим x′ = (x1, . . . , xn−1) ∈ Rn−1,
|x′| =
√
x21 + · · ·+ x2n−1. Пусть также (·, ·) — скалярное произведение
в Rn−1 и dx′ = dx1 · · · dxn−1 — лебегова мера в Rn−1.
Для µ > 0 рассмотрим функцию
φ(t) = φ(t, r, µ) =
{
(r2 − t2)
n−1
4 Jn−1
2
(µ
√
r2 − t2), |t| < r,
0, |t| > r.
Положим
φk,µ(t) = φ(t, νk, µ), k ∈ N.
Лемма 1. Пусть Mr = {x = (x′, xn) ∈ Rn : |xn| 6 r}, u ∈ Lp(Mr)
для некоторого p ∈ [1, 2] и
v(t) =
∫
Br
u(x′ + t, xn)dx, t ∈ Rn−1. (3)
Тогда v ∈ Lp(Rn−1) и
v̂(λ) =
(
2π
|λ|
)(n−1)/2 ∫ r
−r
û(λ, xn)φ(xn, r, |λ|)dxn (4)
для почти всех λ ∈ Rn−1, где û — преобразование Фурье функции
u(x′, xn) относительно переменной x′.
Доказательство. Из определения функции v и неравенства Гёльдера
имеем оценки
|v(t)| 6
∫
Br
|u(x′ + t, xn)|dx 6 c1
(∫
Br
|u(x′ + t, xn)|pdx
)1/p
, t ∈ Rn−1,
где постоянная c1 > 0 не зависит от t. Из этих неравенств получаем∫
Rn−1
|v(t)|pdt 6 c1
∫
Br
∫
Rn−1
|u(x′ + t, xn)|pdtdx
= c1
∫
Br
∫
Rn−1
|u(t, xn)|pdtdx
= c1
∫ r
−r
dxn
∫
|x′|6
√
r2−x2n
dx′
∫
Rn−1
|u(t, xn)|pdt 6 c2∥u∥pLp(Mr)
(5)
для некоторой положительной постоянной c2, не зависящей от фун-
кции u. Таким образом, получили, что v ∈ Lp(Rn−1).
476 Аппроксимация в Lp линейными комбинациями...
Докажем равенство (4). Прежде всего, установим, что
v̂(λ) =
∫
Br
ei(λ,x
′)û(λ, xn)dx. (6)
Сначала рассмотрим случай p = 1. Из определения преобразования
Фурье и определения v получаем
v̂(λ) =
∫
Rn−1
ei(λ,t)v(t)dt =
∫
Rn−1
ei(λ,t)
∫
Br
u(x′ + t, xn)dxdt.
Отсюда и из теоремы Фубини следует, что
v̂(λ) =
∫
Br
∫
Rn−1
ei(λ,t)u(x′ + t, xn)dxdt. (7)
Из последнего равенства с помощью замены переменной во внутрен-
нем интеграле получаем (6).
Предположим теперь, что p = 2. Для R > 0 рассмотрим функцию
vR(t) =
∫
Br
uR(x
′ + t, xn)dx, t ∈ Rn−1, (8)
где
uR(x
′, xn) =
{
u(x′, xn), |x′| 6 R
0, в противном случае.
Из определения uR имеем
∥uR − u∥L2(Mr) → 0 при R→ +∞. (9)
Кроме того, используя неравенство (5) для функции uR−u вместо
u, получаем
∥vR − v∥L2(Rn−1) 6 c2∥uR − u∥L2(Mr). (10)
Соотношения (9) и (10) показывают, что vR → v при R → +∞ в
пространстве L2(Rn−1).
Поскольку uR ∈ L(Mr), по доказанному выше имеем равенство
v̂R(λ) =
∫
Br
ei(λ,x
′)ûR(λ, xn)dx (11)
для почти всех λ ∈ Rn−1. Далее, пусть φ ∈ D(Rn−1). Из (11) следует,
что
О. А. Очаковская 477
∫
Rn−1
v̂R(λ)φ(λ)dλ =
∫
Br
∫
Rn−1
ei(λ,x
′)φ(λ)ûR(λ, xn)dxdλ
=
∫
Br
∫
Rn−1
ei(λ,x
′)φ(λ)û(λ, xn)dxdλ
+
∫
Br
∫
Rn−1
ei(λ,x
′)φ(λ)(ûR(λ, xn)− û(λ, xn))dxdλ. (12)
Обозначим через K носитель функции φ. Тогда модуль последнего
слагаемого в правой части равенства (12) не превосходит величины∫
Br
∫
K
|φ(λ)||(ûR(λ, xn)− û(λ, xn))|dxdλ. (13)
Применяя к интегралу в (6) неравенство Коши–Буняковского, полу-
чаем, что он не превосходит величины
c3
(∫
Mr
|ûR(λ, xn)− û(λ, xn)|2dxndλ
)1/2
, (14)
где c3 — положительная постоянная, не зависящая от R. По теореме
Планшереля∫
Rn−1
|ûR(λ, xn)− û(λ, xn)|2dλ = (2π)n
∫
Rn−1
|uR(x′, xn)−u(x′, xn)|2dx′,
(15)
то есть, выражение в (14) равно
c3
(
(2π)n
∫
Mr
|uR(λ, xn)− u(λ, xn)|2dxndλ
)1/2
. (16)
Учитывая условие (9) и произвольность функции φ ∈ D(Rn−1), отсю-
да и из (12) заключаем, что v̂R при R → ∞ сходится в пространстве
D′(Rn−1) распределений в Rn−1 к функции∫
Br
ei(λ,x
′)û(λ, xn)dxdλ.
С другой стороны, по теореме Планшереля имеем
∥v̂R − v̂∥L2(Rn−1) = (2π)n/2∥vR − v∥L2(Rn−1).
Из этого равенства вытекает, что v̂R сходится при R→ ∞ к функции
v̂ в пространстве L2(Rn−1). Сопоставляя это с тем, что было получено
478 Аппроксимация в Lp линейными комбинациями...
выше, приходим к равенству (6). Пусть теперь 1 < p < 2. В этом
случае функция u представима в виде u = u1 + u2, где u1 ∈ L1(Mr),
u2 ∈ L2(Mr). При этом
û(λ, xn) = û1(λ, xn) + û2(λ, xn). (17)
Определим функции v1 и v2 с помощью равенств (3) при u = u1, u2 со-
ответственно. Тогда по уже доказанному v1 ∈ L1(Rn−1, ) v2 ∈ L2(Rn−1)
и v̂ = v̂1 + v̂2. Отсюда и из соотношения (17) получаем равенство (6)
в общем случае. Далее, записывая интеграл в (6) в виде повторного,
находим
v̂(λ) =
(
2π
|λ|
)(n−1)/2 ∫ r
−r
û(λ, xn)
∫
ei(λ,x
′) dx′ dxn (18)
где внутренний интеграл вычисляется по шару
{x′ ∈ Rn−1 : x21 + · · ·+ x2n−1 6 r2 − x2n}.
Используя формулу для преобразования Фурье индикатора шара (см.
[7, теорема 4.15]), отсюда получаем утверждение леммы.
Лемма 2. Пусть f ∈ Lp(H) для некоторого p ∈ [1, 2] и∫
Br
f(x+ w)dx = 0 (19)
для всех r ∈ Z+(Jn/2), w ∈ {x ∈ Rn : xn > r}. Тогда существует
функция u ∈ C∞(H) такая, что △u + u = 0 и f = u в H почти
всюду.
Доказательство. Пусть ψ — произвольная функция класса C∞(Rn)
с носителем в шаре B1. Рассмотрим функцию
F (x) =
∫
H
f(u)ψ(x+ u) du, x ∈ H1 = {x ∈ R1, xn > 1}. (20)
Пусть r ∈ Z+(Jn/2), z = (t1, . . . , tn−1, y), где t ∈ (t1, . . . , tn−1) ∈ Rn−1
и y > r + 1. Из равенств (19) и (20) имеем∫
H
∫
Br
f(u)ψ(x+ z + u)du dx
=
∫
Br
F (x1 + t1, . . . , xn−1 + tn−1, xn + y) dx = 0 (21)
О. А. Очаковская 479
для всех t ∈ (t1, . . . , tn−1) ∈ Rn−1 и y > r+1. Предположим, что µ ≥ 0
и λ ∈ Rn−1 связаны соотношением µ = |λ|. Для краткости будем
обозначать через gλ(xn) преобразование Фурье функции F (x′, xn) по
переменной x′. Используя лемму 1, из равенства (21) получаем∫ νk
−νk
gλ(xn + y)φk,µ(xn) dxn = 0, (22)
для всех k ∈ N, y > νk + 1 и почти всех λ ∈ Rn−1. Повторяя теперь
рассуждения из доказательства теоремы 1 в работе [8], приходим к
требуемому утверждению.
4. Доказательства основных результатов
Доказательство теоремы 1. Поскольку носитель распределения не
увеличивается при действии на это распределение дифференциаль-
ного оператора, из равенства (1) следует, что supp f ⊂ H. Выберем
ненулевую функцию ϕ ∈ D(Rn), для которой supp v ⊂ H, где v = f∗ϕ.
В силу определения свертки это можно сделать, выбирая функцию
ϕ с носителем, содержащимся в шаре достаточно малого радиуса с
центром в нуле. Полагая w = u ∗ ϕ, из равенства (1) делаем вывод,
что
∆w + λ2w = v.
∆w + λ2w = v. (23)
Покажем теперь, что всякий линейный непрерывный функционал Ψ
на Lp(H), аннулирующий индикаторы всех шаров в H с радиусами
r ∈ Nλ, аннулирует v. По теореме Рисса об общем виде линейного
непрерывного функционала в пространстве Lp(H) любой такой фун-
кционал имеет вид
Ψ(g) =
∫
H
g(x)f(x)dx, g ∈ Lp(H), (24)
где f ∈ Lq(H), q = p/(p − 1). Поскольку Ψ аннулирует индикаторы
всех шаров в H с радиусами r ∈ Nλ, из (24) имеем∫
B
f(x)dx = 0 (25)
для любого шара B с радиусом r ∈ Nλ, содержащегося в H. В силу
эллиптичности оператора ∆ и леммы 2 из условия (25) следует, что
f почти всюду совпадает с вещественно-аналитической функцией на
H, удовлетворяющей уравнению
∆f + λ2f = 0 в H. (26)
480 Аппроксимация в Lp линейными комбинациями...
Используя соотношения (23), (24) и (26), получаем
Ψ(v) =
∫
H
f(x)v(x)dx =
∫
H
f(x)(∆w + λ2w)(x)dx
=
∫
H
w(x)(∆f + λ2f)(x)dx = 0,
как и утверждалось. Таким образом, свертка χA∗ϕ является пределом
последовательности линейных комбинаций индикаторов шаров в H
с радиусами r ∈ Nλ, сходящейся в пространстве Lp(H). Но функция
χA является пределом некоторой последовательности сверток {χA ∗
ϕm}∞m=1, сходящейся в Lp(H). Поэтому из произвольности ϕ следует
требуемое утверждение.
Доказательство следствия 1. Докажем, что f представима в виде
(1) для некоторого u ∈ E ′(H). Из [9, теорема 7.3.2] следует, что при
указанном условии уравнение (1) разрешимо в пространстве E ′(Rn).
Пусть K — выпуклая оболочка носителя функции f , тогда K содер-
жится в H. Из (1) следует, что △u+λ2u = 0 на открытом множестве
Rn\K для любого решения u ∈ E ′(Rn) уравнения (1). Из эллиптично-
сти оператора △ получаем, что u вещественно аналитична на Rn \K.
Таким образом, носитель u содержится в H и требуемое утверждение
доказано.
Доказательство следствия 2. Из определения функции f следует,
что f ∈ Lp(H) (см. [7, теорема 1.3]). Докажем, что множество нулей
преобразования Фурье функции f содержит сферу в Rn радиуса λ >
0 с центром в нуле. Из радиальности и интегрируемости функции
v следует, что v̂ также радиальная функция, непрерывная на Rn.
Отсюда и из определения преобразования Фурье вытекает, что
v̂(x) =
∫
Rn
v(y)e−i(y,x)dy =
∫
Rn
v(−y)e−i(y,x)dy = v̂(x),
то есть функция v̂ вещественнозначна. Предположим, что v̂ не обра-
щается в нуль в области Rn \ {0}. Тогда v̂ сохраняет знак в Rn \ {0}.
Следовательно, либо v̂ > 0, либо v̂ 6 0 в Rn. В силу условия 2) отсюда
вытекает (см. [4, теорема 1.6.2] ), что v̂ ∈ L1(Rn). Это означает, что
для почти всех x имеет место формула обращения
v(x) =
1
(2π)n
∫
Rn
v̂(y)ei(y,x)dy
(см. [4, теорема 1.6.2]). Из этой формулы следует, что v = w почти
всюду для некоторой функции w ∈ C(Rn). Это противоречит усло-
вию 3), поэтому v̂(y) = 0 для некоторого y ∈ Rn\{0}. Полагая λ = |y|,
О. А. Очаковская 481
отсюда и из радиальности v̂ заключаем, что v̂ = 0 на сфере |y| = λ в
Rn. В силу равенства f̂ = ûv̂ делаем вывод, что функция f удовлетво-
ряет условиям следствия 1 и требуемое утверждение доказано.
Доказательство следствия 3. Из условия и доказательства следс-
твия 2 вытекает, что функция f(x) = v(x−h) удовлетворяет условиям
следствия 1. Отсюда и из следствия 1 имеем требуемое утвержде-
ние.
Доказательство следствия 4. Из условия следует, что функция v =
χA удовлетворяет условиям следствия 3 при любом p ∈ [2,+∞).
Отсюда и из следствия 3 получаем требуемое утверждение.
Доказательство теоремы 2. Достаточно доказать, что всякий ли-
нейный непрерывный функционал Ψ на Lp(O), аннулирующий все
функции gλ,r(x − h) указанного вида, аннулирует все пространство
Lp(O). По теореме Рисса об общем виде линейного непрерывного
функционала в пространстве Lp(H) любой такой функционал име-
ет вид
Ψ(g) =
∫
O
g(x)f(x)dx, g ∈ Lp(O), (27)
где f ∈ Lq(O), q = p/(p − 1). Поскольку Ψ аннулирует указанные
выше функции, получаем, что
f ∗ gλ,r = 0 (28)
на области определения. Отсюда и из (2) вытекает, что
f ∗ (∆gλ,r + λ2gλ,r) = f ∗ χr = 0 (29)
для всех r ∈ Nλ. Из последнего равенства и леммы 2 заключаем, что в
полупространствеH функция f совпадает почти всюду с вещественно
аналитической функцией, удовлетворяющей уравнению
∆f + λ2f = 0. (30)
С другой стороны, из (28) вытекает, что
(∆f + λ2f) ∗ gλ,r = 0. (31)
Тогда из теоремы единственности для решений уравнения свертки
(см. [4, теорема 3.2.1]) получаем, что равенство (30) выполнено в
смысле распределений на всем O. В силу эллиптичности оператора
482 Аппроксимация в Lp линейными комбинациями...
∆ отсюда следует, что f совпадает почти всюду в O c вещественно
аналитической функцией. Кроме того, имеет место равенство
(f ∗ gλ,r)(x) = 2n/2−1Γ
(n
2
)
g̃λ,r(λ)f(x), (32)
где функция g̃λ,r задается равенством
g̃λ,r(z) =
∫
Br
gλ,r(x)In
2
−1(z|x|)dx (33)
и Iν(z) = Jν(z)z
−ν(см. [4, формула (1.7.9)]). Из определения g̃λ,r и
In
2
−1 имеем
g̃λ,r(λ) =
1
In
2
−1(λr)
∫
Br
(
I
n
2
− 1(λ|x|)
)2
dx−
∫
Br
In
2
−1(λ|x|)dx. (34)
Поскольку функция In
2
−1(λ|x|) принадлежит классу Vr(Rn) (см.,
например, [4, лемма 2.1.1]), второй интеграл в правой части равенства
(34) равен нулю. Учитывая, что первый интеграл в (34) положителен,
отсюда заключаем, что g̃λ,r(λ) ̸= 0. Теперь равенства (32) и (28) пока-
зывают, что f = 0 в O. Таким образом, Ψ(g) = 0 для всех g ∈ Lp(O)
и теорема 2 доказана.
Литература
[1] Н. И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимации, М.: Наука, 1965, 346 с.
[2] R. E. Edwards, Fourier series a modern introduction, New York: Springer, 1982,
514 p.
[3] L. H. Loomis, An introduction to abstrtact harmonic analysis, New Jersey: Pri-
nceton, 1953, 321 p.
[4] V. V. Volchkov, Integral Geometry and Convolution Equations, Dordrecht: Kluwer,
2003, 454 p.
[5] V. V. Volchkov, Vit. V. Volchkov, Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions
on Symmetric Spaces and the Heisenberg Group, London: Springer, 2009, 671 p.
[6] V. V. Volchkov, Vit. V. Volchkov, Offbeat Integral Geometry on Symmetric Spaces,
Basel: Birkhäuser, 2013, 592 p.
[7] И. Стейн, Г. Вейс, Введение в гармонический анализ на евклидовых пространс-
твах, М.: Мир, 1974, 523 с.
[8] О. А. Очаковская, Теоремы о шаровых средних для решений уравнения Гельм-
гольца на неограниченных областях // Изв. РАН. Сер. матем., 76 (2012),
No. 2, 161–170.
О. А. Очаковская 483
[9] Л. Хермандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными
производными: В 4-х т. Т. 1., М.: Мир, 1986, 462 с.
Сведения об авторах
Оксана
Александровна
Очаковская
Институт прикладной математики
и механики НАН Украины
E-Mail: ochakovskaja@yandex.ua
|