Нижние Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля
Статья посвящена развитию теории нижних Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля в Rⁿ, n > 2. Для таких классов отображений установлен целый ряд теорем о локальном поведении и, в частности, доказан аналог известной теоремы Геринга о локальной липшицевости, приведены различные теоремы об оценке иска...
Saved in:
| Published in: | Український математичний вісник |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2015
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140880 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Нижние Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля / Р.Р. Салимов // Український математичний вісник. — 2015. — Т. 12, № 4. — С. 484-510. — Бібліогр.: 75 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859932300877234176 |
|---|---|
| author | Салимов, Р.Р. |
| author_facet | Салимов, Р.Р. |
| citation_txt | Нижние Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля / Р.Р. Салимов // Український математичний вісник. — 2015. — Т. 12, № 4. — С. 484-510. — Бібліогр.: 75 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний вісник |
| description | Статья посвящена развитию теории нижних Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля в Rⁿ, n > 2. Для таких классов отображений установлен целый ряд теорем о локальном поведении и, в частности, доказан аналог известной теоремы Геринга о локальной липшицевости, приведены различные теоремы об оценке искажения евклидовых расстояний, установлена оценка меры образа шара и, как следствие, получен аналог леммы Икома–Шварца.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:08:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 12 (2015), № 4, 484 – 510
Нижние Q-гомеоморфизмы
относительно p-модуля
Руслан Р. Салимов
(Представлена В. Я. Гутлянским)
Аннотация. Статья посвящена развитию теории нижних Q-гомео-
морфизмов относительно p-модуля в Rn, n > 2. Для таких классов
отображений установлен целый ряд теорем о локальном поведении и,
в частности, доказан аналог известной теоремы Геринга о локальной
липшицевости, приведены различные теоремы об оценке искажения
евклидовых расстояний, установлена оценка меры образа шара и,
как следствие, получен аналог леммы Икома–Шварца.
2010 MSC. 30C65, 30C75.
Ключевые слова и фразы. p-модуль семейства кривых, p-ёмкость
конденсатора, отображения квазиконформные в среднем, нижние Q-
гомеоморфизмы относительно p-модуля, локальное поведение.
1. Введение
Модули семейств кривых и поверхностей являются основным ин-
струментом для исследования в геометрической теории функций.
Развитие метода модулей, происходившее в последнее время, тесно
связано с современными классами отображений, см., напр., моногра-
фии [2,12], и уравнениями в частных производных, см., напр., моно-
графии [3] и [6]. Смотри также недавние книги по теории модулей и
ёмкостей [5] и [6], а также следующие статьи и монографии [7]– [55]
и дальнейшие ссылки в них.
Следуя [12, разд. 9.2, гл. 9], далее k-мерной поверхностью S в
Rn называется произвольное непрерывное отображение S : ω → Rn,
где ω — открытое множество в Rk := Rk ∪ {∞} и k = 1, . . . , n − 1.
Функцией кратности поверхности S называется число прообразов
N(S, y) = cardS −1(y) = card {x ∈ ω : S(x) = y}, y ∈ Rn .
Статья поступила в редакцию 09.11.2015
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут математики НАН України
Р. Р. Салимов 485
Другими словами, символ N(S, y) обозначает кратность накрытия
точки y поверхностью S. Известно, что функция кратности являе-
тся полунепрерывной снизу, и, значит, измерима относительно прои-
звольной хаусдорфовой меры Hk, см., [12, разд. 9.2].
Для борелевской функции ρ : Rn → [0,∞] ее интеграл над по-
верхностью S определяется равенством∫
S
ρ dA :=
∫
Rn
ρ(y)N(S, y) dHky . (1.1)
Пусть Γ — семейство k-мерных поверхностей S. Борелева фун-
кция ρ : Rn → [0,∞] называется допустимой для семейства Γ, пишут
ρ ∈ admΓ, если ∫
S
ρk dA > 1
для каждой поверхности S ∈ Γ. Пусть p ∈ (1,∞) — заданное фикси-
рованное число. Тогда p-модулем семейства Γ называется величина
Mp(Γ) = inf
ρ∈admΓ
∫
Rn
ρp(x) dm(x) .
Будем говорить, что свойство P имеет место для p-почти всех (p-
п.в.) k-мерных поверхностей S семейства Γ, если подсемейство всех
поверхностей семейства Γ, для которых свойство P нарушается, име-
ет p-модуль нуль.
Говорят, см. [12, разд. 9.2], что измеримая по Лебегу функция
ρ : Rn → [0,∞] является обобщённо p-допустимой для семейства Γ,
состоящего из (n − 1) — мерных поверхностей S в Rn, пишут ρ ∈
extp admΓ, если ∫
S
ρn−1(x) dA > 1 (1.2)
для p-почти всех S ∈ Γ.
В работе [44, разд. 13], Ф. Геринг определил K-квазиконформ-
ное отображение как гомеоморфизм, изменяющий модуль кольцевой
области не более чем в K раз. Следующее понятие мотивировано
кольцевым определением Геринга.
Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2, x0 ∈ D, Q : D → (0,∞) —
измеримая по Лебегу функция. Гомеоморфизм f : D → D′ будем на-
зывать нижним Q-гомеоморфизмом относительно p-модуля в то-
чке x0, если
Mp (fΣR) > inf
ρ∈extp admΣR
∫
R
ρp(x)
Q(x)
dm(x) (1.3)
486 Нижние Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля
для каждого кольца
R = R(x0, ε1, ε2) = {x ∈ Rn : ε1 < |x− x0| < ε2} , 0 < ε1 6 ε2 < d0,
где d0 = dist(x0, ∂D) , а ΣR обозначает семейство всех сфер
S(x0, r) = {x ∈ Rn : |x− x0| = r} , r ∈ (ε1, ε2) . (1.4)
Развиваемая в работе теория нижних Q-гомеоморфизмов относи-
тельно p-модуля применима, в частности, к отображениям квазикон-
формным в среднем, см. [13,40], и к так называемым (p, q)-квазикон-
формным отображениям, см. [8], которые использовались при изуче-
нии проблемы Ю. Решетняка о суперпозиции функций пространств
Соболева, см. напр., [8–11].
Заметим, что соответствующий плоский случай был изучен в ра-
боте [62], где установлено, что любой гомеоморфизм f конечного
искажения на плоскости является нижним Q-гомеоморфизмом отно-
сительно p-модуля.
В работах [63, 64] и [65] приводятся приложения нижних Q-го-
меоморфизмов к исследованию локального и граничного поведения
гомеоморфных решений с обобщенными производными и к задаче
Дирихле для уравнений Бельтрами с вырождением.
Исторически нижним Q-гомеоморфизмам относительно p-модуля
предшествовали Q-гомеоморфизмы, которые исследовались в рабо-
тах [23,66–68]. Кроме того, Q-отображения допускающие точки ветв-
ления, изучались в работах [20,69,70,72].
2. О емкости конденсатора
Следуя работе [51], пару E = (A,C), где A ⊂ Rn — открытое
множество и C — непустое компактное множество, содержащееся в
A, называем конденсатором. Конденсатор E называется кольцевым
конденсатором, если G = A \ C — кольцо, т.е., если G — область,
дополнение которой Rn \ G состоит в точности из двух компонент.
Говорят также, что конденсатор E = (A,C) лежит в области D, если
A ⊂ D. Очевидно, что если f : D → Rn — непрерывное, открытое
отображение и E = (A,C) — конденсатор в D, то (fA, fC) также
конденсатор в fD. Далее fE = (fA, fC).
Функция u : A → R абсолютно непрерывна на прямой, имеющей
непустое пересечение с A, если она абсолютно непрерывна на любом
отрезке этой прямой, заключенном в A. Функция u : A → R прина-
длежит классу ACL (абсолютно непрерывна на почти всех прямых),
Р. Р. Салимов 487
если она абсолютно непрерывна на почти всех прямых, параллельных
любой координатной оси.
Обозначим через C0(A) множество непрерывных функций u : A→
R1 с компактным носителем, W0(E) =W0(A,C) — семейство неотри-
цательных функций u : A → R1 таких, что 1) u ∈ C0(A), 2) u(x) > 1
для x ∈ C и 3) u принадлежит классу ACL. Также обозначим
|∇u| =
√√√√ n∑
i=1
(
∂u
∂xi
)2
. (2.1)
Пусть D — область в Rn , n > 2. E ,F ⊆ D− произвольные
множества. Обозначим через ∆(E,F ;D) семейство всех кривых γ :
[a, b] → Rn , которые соединяют E и F в D , т.е. γ(a) ∈ E , γ(b) ∈ F
и γ(t) ∈ D при a < t < b .
При p > 1 величину
capp E = capp (A,C) = inf
u∈W0(E)
∫
A
|∇u|p dm(x) (2.2)
называют p-ёмкостью конденсатора E .
В дальнейшем при p > 1 мы будем использовать равенство
capp E =Mp(∆(∂A, ∂C;A \ C)) (2.3)
см. [28, теорема 1].
Известно, что при p > 1
capp E > (infmn−1 σ)
p
[m(A \ C)]p−1
, (2.4)
где mn−1 σ — (n− 1)-мерная мера Лебега C∞-многообразия σ, явля-
ющегося границей σ = ∂U ограниченного открытого множества U ,
содержащего C и содержащегося вместе со своим замыканием U в A,
а точная нижняя грань берется по всем таким σ, см. [13, предложение
5].
Известно, что при 1 < p < n
capp E > nΩ
p
n
n
(
n− p
p− 1
)p−1
[m(C)]
n−p
n , (2.5)
где Ωn — объем единичного шара в Rn, см., напр., [50, неравенство
(8.9)].
488 Нижние Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля
Если множество C связно, то при n−1 < p 6 n имеет место оценка
(capp E)n−1 > γ
d(C)p
m(A)1−n+p
, (2.6)
где d(C) — диаметр множества C, γ — положительная константа,
зависящая только от размерности n и p , см. [13, предложение 6].
3. Переход к верхним оценкам
Ниже приведен критерий нижних Q-гомеоморфизмов относитель-
но p-модуля при p > n−1, см. теорему 3.7 в монографии [2]. Впервые
критерий был доказан при p = n в работе [18, теорема 2.1], см. также
монографию [12, теорема 9.2].
Лемма 3.1. Пусть D — область в Rn, n > 2, x0 ∈ D. Предположим,
что Q : D → (0,∞) — измеримая функция. Гомеоморфизм f : D →
Rn является нижним Q-гомеоморфизмом в точке x0 относительно
p-модуля при p > n− 1 тогда и только тогда, когда
Mp(fΣR) >
ε2∫
ε1
dr
||Q|| n−1
p−n+1
(x0, r)
∀ 0 < ε1 6 ε2 < d0, (3.1)
где d0 = dist(x0, ∂D) , ΣR — семейство всех сфер S(x0, r) = {x ∈ Rn :
|x− x0| = r}, r ∈ (ε1, ε2), и
∥Q∥ n−1
p−n+1
(x0, r) =
∫
S(x0,r)
Q
n−1
p−n+1 (x) dA
p−n+1
n−1
. (3.2)
Инфимум в (1.3) достигается только для функции
ρ0(x) =
(
Q(x)
∥Q∥ n−1
p−n+1
(|x− x0|)
) 1
p−n+1
. (3.3)
Ниже мы используем стандартные соглашения, что a/∞ = 0 для
a ̸= ∞, a/0 = ∞, если a > 0, и 0 · ∞ = 0, см., напр., [19].
Пусть (X,µ) — измеримое пространство с конечной мерой µ, и
пусть φ : X → R — измеримая функция. Для любого измеримого
множества E ⊂ X обозначим
−
∫
E
φ(x) dµ(x) =
1
µ(E)
∫
E
φ(x) dµ(x) . (3.4)
Р. Р. Салимов 489
Лемма 3.2. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2. Предположим,
что Q : D → (0,∞) — измеримая по Лебегу функция и f : D → D′ —
нижний Q-гомеоморфизм в точке x0 относительно p-модуля при
p > n− 1. Тогда имеет место оценка
M p
p−n+1
(∆(fS1, fS2, fD)) 6
ε2∫
ε1
dr
∥Q∥ n−1
p−n+1
(x0, r)
− n−1
p−n+1
, (3.5)
где Sj = S(x0, εj), j = 1, 2.
Доказательство. Действительно, пусть 0 < ε1 < ε2 < d(x0, ∂D) и
Si = S(x0, εi), i = 1, 2. Согласно неравенствам Хессе и Цимера (см.,
напр., [47] и [55]),
M p
p−n+1
(f (∆(S1, S2, D))) 6 1
M
n−1
p−n+1
p (fΣR)
, (3.6)
поскольку fΣR ⊂ Σ(fS1, fS2, fD) , где ΣR обозначает совокупность
всех сфер с центром в точке x0, расположенных между сферами S1
и S2, а Σ(fS1, fS2, fD) состоит из всех (n− 1)-мерных поверхностей
в fD, отделяющих fS1 и fS2. Из соотношения (3.6) по лемме 3.1
вытекает заключение леммы 3.2.
Лемма 3.3. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2. Предположим,
что Q : D → (0,∞) — измеримая по Лебегу функция такая, что
∥Q∥ n−1
p−n+1
(x0, r) ̸= ∞ для п.в. r ∈ (0, d0), d0 = dist (x0, ∂D) и f : D →
D′ — нижний Q-гомеоморфизм в точке x0 относительно p-модуля
при p > n− 1. Полагаем
η0(t) =
{ 1
I ∥Q∥ n−1
p−n+1
(x0,t)
, если t ∈ (ε1, ε2),
0, если t /∈ (ε1, ε2),
(3.7)
где
∥Q∥ n−1
p−n+1
(x0, r) =
∫
S(x0,r)
Q
n−1
p−n+1 (x) dA
p−n+1
n−1
(3.8)
и
I = I(x0, ε1, ε2) =
ε2∫
ε1
dr
||Q|| n−1
p−n+1
(x0, r)
. (3.9)
490 Нижние Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля
Тогда имеет место оценка
I
− n−1
p−n+1 =
∫
R
Q
n−1
p−n+1 (x) η
p
p−n+1
0 (|x− x0|) dm(x)
6
∫
R
Q(x)
n−1
p−n+1 η
p
p−n+1 (|x− x0|) dm(x) (3.10)
для любой измеримой функции η : (ε1, ε2) → [0,∞], такой что
ε2∫
ε1
η(r)dr = 1. (3.11)
Доказательство. Если I = ∞, то левая часть соотношения (3.10)
равна нулю и неравенство в этом случае очевидно. Если I = 0, то
∥Q∥ n−1
p−n+1
(x0, r) = ∞ для п.в. r ∈ (ε1, ε2) и обе части неравенства
(3.10) равны бесконечности по теореме Фубини. Пусть теперь 0 <
I <∞. Тогда ∥Q∥ n−1
p−n+1
(x0, r) ̸= 0 и η0(r) ̸= ∞ п.в. в (ε1, ε2). Полагая
α(r) = η(r) · ∥Q∥ n−1
p−n+1
(x0, r)
и
ω(r) =
1
∥Q∥ n−1
p−n+1
(x0, r)
,
по стандартным соглашениям будем иметь, что η(r) = α(r)ω(r) п.в.
в (ε1, ε2) и что
C :=
∫
R
Q
n−1
p−n+1 (x) η
p
p−n+1 (|x− x0|) dm(x) =
ε2∫
ε1
α
p
p−n+1 (r)ω(r) dr.
Применяя неравенство Иенсена с весом, см. теорему 2.6.2 в [74], к
выпуклой функции φ(t) = t
p
p−n+1 , заданной в интервале Ω = (ε1, ε2),
с вероятностной мерой
ν(E) =
1
I
∫
E
ω(r) dr,
получаем что(
−
∫
α
p
p−n+1 (r)ω(r) dr
) p−n+1
p
> −
∫
α(r)ω(r) dr =
1
I
,
Р. Р. Салимов 491
где мы также использовали тот факт, что η(r) = α(r)ω(r) удовлетво-
ряет соотношению (3.11). Таким образом,
C > I
− n−1
p−n+1 ,
что и доказывает (3.10).
Лемма 3.4. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2. Предположим,
что Q : D → (0,∞) — измеримая по Лебегу функция такая, что
∥Q∥ n−1
p−n+1
(x0, r) ̸= ∞ для п.в. r ∈ (0, d0), d0 = dist (x0, ∂D) и f : D →
D′ — нижний Q-гомеоморфизм в точке x0 относительно p-модуля
при p > n− 1. Тогда для fE =
(
fB(x0, ε2), fB(x0, ε1)
)
имеет место
оценка
cap p
p−n+1
fE 6
∫
R
Q
n−1
p−n+1 (x) η
p
p−n+1 (|x− x0|) dm(x) , (3.12)
для каждого кольца R = R(x0, ε1, ε2), 0 < ε1 < ε2 < d0 и любой
измеримой по Лебегу функции η : (ε1, ε2) → [0,∞], такой что
ε2∫
ε1
η(r)dr = 1. (3.13)
Доказательство. Рассмотрим сферическое кольцо
R = R(x0, ε1, ε2)
с 0 < ε1 < ε2 < d0 = dist (x0, ∂D). Пусть Γ∗ = ∆(fS1, fS2, fR),
где Sj = S(x0, rj), j = 1, 2 и E =
(
B (x0, ε2) , B (x0, ε1)
)
— кольцевой
конденсатор в D. Тогда
(
fB (x0, ε2) , fB (x0, ε1)
)
— кольцевой кон-
денсатор в D′ и, согласно (2.3), имеем равенство
cap p
p−n+1
(
fB (x0, ε2) , fB (x0, ε1)
)
=M p
p−n+1
(Γ∗) , (3.14)
а ввиду гомеоморфности f, равенство
△ (∂fB (x0, ε2) , ∂fB (x0, ε1) ; fR) = f (△ (∂B(x0, ε2), ∂B(x0, ε1);R)) .
Из соотношений (3.14) и (3.10) по лемме 3.2 вытекает заключение
леммы 3.4.
492 Нижние Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля
4. Гельдеровость и липшицевость нижних
Q-гомеоморфизмов
Лемма 4.1. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2. Предположим,
что Q : D → (0,∞) — измеримая по Лебегу функция и f : D → D′ —
нижний Q-гомеоморфизм в точке x0 относительно p-модуля при
p > n. Если для λ > 1 и σ > 0
εσ
λε∫
ε
dr
∥Q∥ n−1
p−n+1
(x0, r)
> Cx0 , (4.1)
для любого 0 < ε < dist (x0,∂D)
λ , то
cap p
p−n+1
(
fB (x0, λε) , fB (x0, ε)
)
6 C
− n−1
p−n+1
x0 ε
σ(n−1)
p−n+1 . (4.2)
Доказательство. Рассмотрим сферическое кольцо
R = R(x0, ε1, ε2) ⊂ D
с 0 < ε1 < ε2. Тогда
(
B (x0, ε2) , B (x0, ε1)
)
— кольцевой конденсатор
в D и
(
fB (x0, ε2) , fB (x0, ε1)
)
— кольцевой конденсатор в D′.
Пусть Γ∗ = ∆(fS1, fS2, fR), где Sj = S(x0, rj), j = 1, 2. Тогда
согласно (2.3), имеем равенство
cap p
p−n+1
(
fB (x0, ε2) , fB (x0, ε1)
)
=M p
p−n+1
(Γ∗) . (4.3)
По лемме 3.2 получаем, что
cap p
p−n+1
(
fB (x0, ε2) , fB (x0, ε1)
)
6
ε2∫
ε1
dr
∥Q∥ n−1
p−n+1
(x0, r)
− n−1
p−n+1
,
(4.4)
где ∥Q∥ n−1
p−n+1
(x0, r) =
( ∫
S(x0,r)
Q
n−1
p−n+1 (x) dA
) p−n+1
n−1
.
Далее, выбирая в (4.4) ε1 = ε < dist (x0,∂D)
λ и ε2 = λε, получим
cap p
p−n+1
(
fB (x0, λε) , fB (x0, ε)
)
6
λε∫
ε
dr
∥Q∥ n−1
p−n+1
(x0, r)
−
n−1
p−n+1
.
(4.5)
Р. Р. Салимов 493
Из условия (4.1) вытекает оценка
cap p
p−n+1
(
fB (x0, λε) , fB (x0, ε)
)
6 C
− n−1
p−n+1
x0 ε
σ(n−1)
p−n+1 . (4.6)
Теорема 4.1. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2. Предположим,
что Q : D → (0,∞) — измеримая по Лебегу функция и f : D → D′ —
нижний Q-гомеоморфизм в точке x0 относительно p-модуля при
p > n. Если для λ > 1 и σ > 0
εσ
λε∫
ε
dr
∥Q∥ n−1
p−n+1
(x0, r)
> Cx0 (4.7)
для любого 0 < ε < dist (x0,∂D)
λ , то
m
(
fB(x0, ε)
)
6 ν0C
− n
p−n
x0 ε
σn
p−n , (4.8)
где ν0 — положительная постоянная, зависящая только от n и p.
Доказательство. Пусть ε ∈
(
0, dist (x0,∂D)
λ
)
. Рассмотрим конденсатор
(
fB (x0, λε) , fB (x0, ε)
)
.
В силу леммы 4.1, имеем оценку:
cap p
p−n+1
(
fB (x0, λε) , fB (x0, ε)
)
6 C
− n−1
p−n+1
x0 ε
σ(n−1)
p−n+1 . (4.9)
Используя соотношение (2.5), получаем
cap p
p−n+1
(
fB (x0, λε) , fB (x0, ε)
)
> ν1 [m(fB(x0, ε))]
n(p−n+1)−p
n(p−n+1) ,
(4.10)
где ν1 — константа, зависящая только от размерности пространства
n и p.
Комбинируя (4.9) и (4.10), заключаем, что
m
(
fB(x0, ε)
)
6 ν0C
− n
p−n
x0 ε
σn
p−n , (4.11)
где ν0 — положительная постоянная, зависящая только от n и p.
494 Нижние Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля
Теорема 4.2. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2. Предположим,
что Q : D → (0,∞) — измеримая по Лебегу функция и f : D → D′ —
нижний Q-гомеоморфизм в точке x0 относительно p-модуля при
p ∈
(
n, n+ 1
n−2
)
. Если для λ > 1 и σ > 0
εσ
λε∫
ε
dr
∥Q∥ n−1
p−n+1
(x0, r)
> Cx0 (4.12)
для любого 0 < ε < δ0 6 dist (x0,∂D)
λ2
, то
|f(x)− f(x0)| 6 ν0C
− 1
p−n
x0 |x− x0|
σ
p−n (4.13)
для всех x ∈ B(x0, δ0) и ν0 — положительная константа, зависящая
только от размерности пространства n, p, λ и σ.
Доказательство. Полагаем ε = |x− x0| < δ0. Рассмотрим конденса-
тор (
fB (x0, λε) , fB (x0, ε)
)
. (4.14)
Из леммы 4.1 следует оценка
cap p
p−n+1
(
fB (x0, λε) , fB (x0, ε)
)
6 C
− n−1
p−n+1
x0 ε
σ(n−1)
p−n+1 . (4.15)
С другой стороны, согласно неравенству (2.6), получаем
cap p
p−n+1
(
fB (x0, λε) , fB (x0, ε)
)
>
(
ν1
dj1(fB (x0, ε))
mj2(fB(x0, λε))
) 1
n−1
,
(4.16)
где j1 = p
p−n+1 , j2 = 1 − n + p
p−n+1 , ν1 — положительная константа,
зависящая только от размерности пространства n и p.
Из (4.15) и (4.16) следует, что
d
(
fB (x0, ε)
)
6 ν2C
−(n−1)2
p
x0 ε
σ(n−1)2
p [m(fB(x0, λε))]
(1−n)(p−n+1)+p
p ,
(4.17)
где ν2 — положительная константа, зависящая только от размерности
пространства n и p.
Из теоремы 4.1 вытекает оценка для меры образа шара B(x0, λε)
m(fB(x0, λε)) 6 ν3C
− n
p−n
x0 λ
σn
p−n ε
σn
p−n , (4.18)
Р. Р. Салимов 495
где ν3 — положительная константа, зависящая только от размерности
пространства n и p.
Наконец, комбинируя (4.17) и (4.18), получаем
d
(
fB (x0, ε)
)
6 ν0C
− 1
p−n
x0 ε
σ
p−n ,
где ν0 — положительная константа, зависящая только от размерности
пространства n, p, λ и σ.
Оценка искажения расстояний вытекает из очевидного неравен-
ства d
(
fB (x0, ε)
)
> |f(x)− f(x0)|.
Ниже приведен аналог известной теоремы Геринга о локальной
липшицевости, см. [46, теорема 2].
Теорема 4.3. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2. Предположим,
что Q : D → (0,∞) — измеримая по Лебегу функция и f : D → D′ —
нижний Q-гомеоморфизм в точке x0 относительно p-модуля при
p ∈
(
n, n+ 1
n−2
)
. Если
1
ωn−1rn−1
∫
S(x0,r)
Q
n−1
p−n+1 (x) dA
p−n+1
n−1
6 qx0 (4.19)
для п.в. r ∈
(
0, dist (x0,∂D)
e2
)
, то
|f(x)− f(x0)| 6 ν0 q
1
p−n
x0 |x− x0| (4.20)
для всех x ∈ B(x0, δ0), где 0 < δ 6 dist (x0,∂D)
e2
и ν0 — положительная
константа, зависящая только от размерности пространства n и
p.
Доказательство. Из условия (4.19 ) теоремы вытекает оценка
∥Q∥ n−1
p−n+1
(x0, r) =
∫
S(x0,r)
Q
n−1
p−n+1 (x) dA
p−n+1
n−1
6 ω
p−n+1
n−1
n−1 qx0 r
p−n+1 .
(4.21)
Пусть λ = e и σ = p− n.
εp−n
eε∫
ε
dr
∥Q∥ n−1
p−n+1
(x0, r)
> εp−n
ω
p−n+1
n−1
n−1 qx0
eε∫
ε
dr
rp−n+1
> en−p
ω
p−n+1
n−1
n−1 qx0
.
(4.22)
496 Нижние Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля
Применяя теорему 4.2, получаем оценку
|f(x)− f(x0)| 6 ν0 q
1
p−n
x0 |x− x0| (4.23)
для всех x ∈ B(x0, δ0), где ν0 — положительная постоянная, завися-
щая только от n и p.
Следствие 4.1. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2. Предполо-
жим, что f : D → D′ — нижний Q-гомеоморфизм относительно
p-модуля при p ∈
(
n, n+ 1
n−2
)
. Если Q(x) 6 K для п.в. x ∈ D, то
|f(x)− f(x0)| 6 ν0K
1
p−n |x− x0| (4.24)
для каждого x0 ∈ D и x ∈ B(x0, δ0), δ0 6 dist (x0,∂D)
e2
, где ν0 — по-
ложительная константа, зависящая только от размерности про-
странства n и p.
Лемма 4.2. Пусть Q ∈ Lα(B(x0, r0)), α > n
p−n , p > n. Тогда при
λ > 1 имеет место оценка
εσ
λε∫
ε
dr
∥Q∥ n−1
p−n+1
(x0, r)
> c0
∥Q∥α
(4.25)
для любого ε < r0
λ , где ∥Q∥α =
( ∫
B(x0,r0)
Qα(x) dm(x)
) 1
α
, σ = α(p−n)−n
α
и c0 — положительная постоянная, зависящая только от n, p, λ и
α.
Доказательство. Пусть λ > 1. Заметим, что
(λ− 1)ε =
λε∫
ε
∥Q∥
n−1
p
n−1
p−n+1
(x0, r) ·
dr
∥Q∥
n−1
p
n−1
p−n+1
(x0, r)
. (4.26)
Применяя теорему Фубини и неравенство Гельдера с
q =
p
p− n+ 1
, q′ =
p
n− 1
имеем λε∫
ε
dr
∥Q∥ n−1
p−n+1
(x0, r)
−
n−1
p−n+1
6
∫
R
Q
n−1
p−n+1 (x) dm(x)
((λ− 1)ε)
p
p−n+1
, (4.27)
Р. Р. Салимов 497
где R = R(x0, ε, λε).
Применяя еще раз неравенство Гельдера с
q =
α(p− n+ 1)
n− 1
> 1, q′ =
α(p− n+ 1)
α(p− n+ 1)− n+ 1
имеем λε∫
ε
dr
∥Q∥ n−1
p−n+1
(x0, r)
−
n−1
p−n+1
6 c1 ε
θ
∫
R
Qα(x) dm(x)
n−1
α(p−n+1)
,
(4.28)
где θ = (n−1)(αp−αn−n)
α(p−n+1) и c1 — положительная постоянная, зависящая
только от n, p, λ и α. Отсюда получаем
εσ
λε∫
ε
dr
∥Q∥ n−1
p−n+1
(x0, r)
> c0
∥Q∥α
, (4.29)
где ∥Q∥α =
( ∫
B(x0,r0)
Qα(x) dm(x)
) 1
α
, σ = α(p−n)−n
α и c0 — положи-
тельная постоянная, зависящая только от n, p, λ и α.
Теорема 4.4. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2. Предположим,
что Q : D → (0,∞) — измеримая по Лебегу функция и f : D → D′ —
нижний Q-гомеоморфизм в точке x0 относительно p-модуля при
p ∈
(
n, n+
1
n− 2
)
с Q ∈ Lα(B(x0, δ0)), δ0 6
dist (x0, ∂D)
4
, α >
n
p− n
.
Тогда
|f(x)− f(x0)| 6 ν0∥Q∥
1
p−n
α |x− x0|1−
n
α(p−n) (4.30)
для всех x ∈ B(x0, δ0), где ∥Q∥α =
( ∫
B(x0,δ0)
Qα(x) dm(x)
) 1
α
— норма
в пространстве Lα(B(x0, δ0)) и ν0 — положительная постоянная,
зависящая только от n, p и α.
Доказательство. Пусть λ = 2. Поскольку Q ∈ Lα(B(x0, δ0)) и α >
n
p−n , то из Леммы 4.2 следует, что функция Q удовлетворяет условию
(4.12) с σ = α(p−n)−n
α , Cx0 = c0
∥Q∥α . Применяя теорему 4.2, получаем
оценку
|f(x)− f(x0)| 6 ν0 ∥Q∥
1
p−n
α |x− x0|1−
n
α(p−n) (4.31)
498 Нижние Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля
для всех x ∈ B(x0, δ0), где ∥Q∥α =
( ∫
B(x0,δ0)
Qα(x) dm(x)
) 1
α
— нор-
ма в пространстве Lα(B(x0, δ0)) и ν0 — положительная постоянная,
зависящая только от n, p и α.
5. О логарифмической гельдеровости
Ниже приведена лемма об оценке искажения p
p−n+1 -емкости обра-
за сферического конденсатора.
Лемма 5.1. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2. Предположим,
что Q : D → (0,∞) — измеримая по Лебегу функция такая, что
∥Q∥ n−1
p−n+1
(x0, r) ̸= ∞ для п.в. r ∈ (0, d0), d0 = dist (x0, ∂D) и f : D →
D′ — нижний Q-гомеоморфизм в точке x0 относительно p-модуля
при p > n. Если∫
R(x0,ε1,ε2)
Q
n−1
p−n+1 (x) dm(x)
|x− x0|
p
p−n+1
6 Cx0 lnκ
(
ε2
ε1
)
, 0 6 κ <
p
p− n+ 1
(5.1)
для любых 0 < ε1 < ε2 < dist (x0, ∂D) , то
cap p
p−n+1
(
fB(x0, ε2), fB(x0, ε1)
)
6 Cx0 lnϵ
(
ε2
ε1
)
, (5.2)
где ϵ = κ(p−n+1)−p
p−n+1 .
Доказательство. Пусть x0 ∈ D. Рассмотрим сферическое кольцо
R = R(x0, ε1, ε2) = {x : ε1 < |x0 − x| < ε2},
с произвольными ε1 и ε2 такими, что 0 < ε1 < ε2 < d0. Тогда
E =
(
B(x0, ε2), B(x0, ε1)
)
— конденсатор в D, а
fE =
(
fB (x0, ε2) , fB (x0, ε1)
)
— конденсатор в D ′. Заметим, что функция
η(t) =
{ 1
t ln
(
ε2
ε1
) , если t ∈ (ε1, ε2),
0, если t /∈ (ε1, ε2) .
Р. Р. Салимов 499
удовлетворяет условию (3.13). Тогда в силу Леммы 3.4 имеем
cap p
p−n+1
fE 6 ln
− p
p−n+1
(
ε2
ε1
) ∫
R(x0,ε1,ε2)
Q
n−1
p−n+1 (x) dm(x)
|x− x0|p
. (5.3)
Из условия (5.1) вытекает оценка (5.2).
Теорема 5.1. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2. Предположим,
что Q : D → (0,∞) — измеримая по Лебегу функция такая, что
∥Q∥ n−1
p−n+1
(x0, r) ̸= ∞ для п.в. r ∈ (0, d0), d0 = dist (x0, ∂D) и f :
D → D′ — нижний Q-гомеоморфизм в точке x0 ∈ D относительно
p-модуля при p > n. Если∫
R(x0,ε1,ε2)
Q
n−1
p−n+1 (x) dm(x)
|x− x0|
p
p−n+1
6 Cx0 lnκ
(
ε2
ε1
)
, 0 6 κ <
p
p− n+ 1
(5.4)
для любых 0 < ε1 < ε2 < dist (x0, ∂D), то
m
(
fB(x0, ε)
)
6 ν0C
nγ
x0 ln−nθ
(
1
ε
)
(5.5)
для всех ε < δ0 6 min{1, dist2 (x0, ∂D) }, где γ = p−n+1
(n−1)(p−n) , θ =
p−κ(p−n+1)
(n−1)(p−n) и ν0 — положительная постоянная, зависящая только
от n, p и κ.
Доказательство. Пусть ε < δ0 6 min{1, dist2 (x0, ∂D). Рассмотрим
конденсатор Eε =
(
B(x0,
√
ε), B(x0, ε)
)
. В силу леммы 5.1, имеем
оценку:
cap p
p−n+1
fEε 6 ν1Cx0 ln
κ(p−n+1)−p
p−n+1
(
1
ε
)
, (5.6)
где ν1 — положительная постоянная, зависящая только от n, p и κ.
Используя соотношение (2.5), получаем
cap p
p−n+1
fEε > ν2 [m(fB(x0, ε))]
(p−n)(n−1)
n(p−n+1) , (5.7)
где ν2 — константа, зависящая только от размерности пространства
n и p.
Комбинируя (5.6) и (5.7), заключаем, что
m
(
fB(x0, ε)
)
6 ν0C
n(p−n+1)
(n−1)(p−n)
x0 ln
−n(p−κ(p−n+1))
(n−1)(p−n)
(
1
ε
)
, (5.8)
где ν0 — положительная постоянная, зависящая только от n, p и κ.
500 Нижние Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля
Теорема 5.2. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2. Предположим,
что Q : D → (0,∞) — измеримая по Лебегу функция такая, что
∥Q∥ n−1
p−n+1
(x0, r) ̸= ∞ для п.в. r ∈ (0, d0), d0 = dist (x0, ∂D) и f :
D → D′ — нижний Q-гомеоморфизм в точке x0 ∈ D относительно
p-модуля при p ∈
(
n, n+ 1
n−2
)
. Если
∫
R(x0,ε1,ε2)
Q
n−1
p−n+1 (x) dm(x)
|x− x0|
p
p−n+1
6 Cx0 lnκ
(
ε2
ε1
)
, 0 6 κ <
p
p− n+ 1
(5.9)
для любых 0 < ε1 < ε2 < dist (x0, ∂D), то
|f(x)− f(x0)| 6 ν0C
γ
x0 ln−θ
1
|x− x0|
, (5.10)
для всех x ∈ B(x0, δ0), где γ = p−n+1
(n−1)(p−n) , θ = p−κ(p−n+1)
(n−1)(p−n) , δ0 6
min{1,dist4 (x0, ∂D)} и ν0 — положительная постоянная, зависящая
только от n, p и κ.
Доказательство. Полагаем ε = |x− x0| < δ0. Рассмотрим конденса-
тор
Eε =
(
B
(
x0,
√
ε
)
, B(x0, ε)
)
.
Из леммы 5.1 следует оценка
cap p
p−n+1
fEε 6 ν1Cx0 ln
κ(p−n+1)−p
p−n+1
(
1
ε
)
, (5.11)
где ν1 — положительная постоянная, зависящая только от n, p и κ.
С другой стороны, согласно неравенству (2.6), получаем
cap p
p−n+1
fEε >
(
ν2
d
p
p−n+1 (fB(x0, ε))
m
1−n+ p
p−n+1 (fB(x0,
√
ε))
) 1
n−1
, (5.12)
где ν2 — положительная константа, зависящая только от размерности
пространства n и p.
Из (5.11) и (5.12) следует, что
d
(
fB(x0, ε)
)
6 ν3C
j1
x0 lnj2
(
1
ε
)
mj3(fB(x0,
√
ε)) , (5.13)
где j1 = (n−1)(p−n+1)
p , j2 = (κ(p−n+1)−p)(n−1)
p , j3 = (1−n)(p−n+1)+p
p и
ν3 — положительная константа, зависящая только от размерности
пространства n,p и κ.
Р. Р. Салимов 501
Из теоремы 5.1 вытекает оценка для меры образа шара B(x0,
√
ε)
m(fB(x0,
√
ε)) 6 ν4C
n(p−n+1)
(n−1)(p−n)
x0 ln
−n(p−κ(p−n+1))
(n−1)(p−n)
(
1
ε
)
, (5.14)
где ν4 — положительная константа, зависящая только от размерности
пространства n,p и κ.
Наконец, комбинируя (5.13) и (5.14), получаем
d
(
fB(x0, ε)
)
6 ν0C
p−n+1
(n−1)(p−n)
x0 ln
− p−κ(p−n+1)
(n−1)(p−n)
1
ε
,
где ν0 — положительная константа, зависящая только от размерно-
сти пространства n,p и κ. Оценка искажения расстояний вытекает из
очевидного неравенства d
(
fB(x0, ε)
)
> |f(x)− f(x0)|.
Следствие 5.1. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2. Предполо-
жим, что f : D → D′ — нижний Q-гомеоморфизм в точке x0 ∈ D
относительно p-модуля, p ∈
(
n, n+ 1
n−2
)
, Q(x) ∈ L n
p−n
(B(x0, δ0)) и
δ0 6 min{1,dist4(x0, ∂D)}. Тогда имеем
|f(x)− f(x0)| 6 ν0∥Q∥
1
p−n
n
p−n
ln
− p
n(p−n)
1
|x− x0|
(5.15)
для всех x ∈ B(x0, δ0), где ∥Q∥ n
p−n
=
( ∫
B(x0,δ0)
Q
n
p−n (x) dm(x)
) p−n
n
—
норма в пространстве L n
p−n
(B(x0, δ0)) и ν0 — положительная по-
стоянная, зависящая только от n и p.
Доказательство. Действительно, применяя неравенство Гельдера с
q = n(p−n+1)
(p−n)(n−1) и q′ = n(p−n+1)
p , получаем
∫
R
Q
n−1
p−n+1 (x)dm(x)
|x− x0|
p
p−n+1
6
∫
R
Q
q(n−1)
p−n+1 (x)dm(x)
1
q
∫
R
dm(x)
|x− x0|n
1
q′
,
где R = R(x0, ε1, ε2). Следовательно,
∫
R
Q
n−1
p−n+1 (x) dm(x)
|x− x0|
p
p−n+1
6 µ0
∫
B(x0,δ0)
Q
n
p−n (x) dm(x)
j1 (
ln
(
ε2
ε1
))j2
,
где j1 =
(p−n)(n−1)
n(p−n+1) , j2 =
p
n(p−n+1) , µ0 = ω
p
n(p−n+1)
n−1 .
Применяя теорему 5.2 c κ = p
n(p−n+1) и Cx0 = ω
p
n(p−n+1)
n−1 ∥Q∥
n−1
p−n+1
n
p−n
,
получаем оценку (5.15).
502 Нижние Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля
Теорема 5.3. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2. Предположим,
что Q : D → (0,∞) — измеримая по Лебегу и f : D → D′ — нижний
Q-гомеоморфизм в точке x0 ∈ D относительно p-модуля при p ∈(
n, n+ 1
n−2
)
. Если
∥Q∥ n−1
p−n+1
(x0, r) 6 Qx0r (5.16)
для п.в. r ∈ (0, d0), d0 = dist (x0, ∂D), то
|f(x)− f(x0)| 6 ν0Q
1
p−n
x0 ln
− 1
p−n
1
|x− x0|
(5.17)
для всех x ∈ B(x0, δ0), где δ0 6 min{1,dist4 (x0, ∂D)} и ν0 — положи-
тельная постоянная, зависящая только от n и p.
Доказательство. Пусть R = R(x0, ε1, ε2), 0 < ε1 < ε2 < d0. Исполь-
зуя условие (5.16) и теорему Фубини, получаем
∫
R
Q
n−1
p−n+1 (x)dm(x)
|x− x0|
p
p−n+1
=
ε2∫
ε1
|Q∥
n−1
p−n+1
n−1
p−n+1
(x0, r)dr
r
p
p−n+1
6 Q
n−1
p−n+1
x0 ln
(
ε2
ε1
)
.
Применяя теорему 5.2 c κ = 1 и Cx0 = Q
n−1
p−n+1
x0 , получаем оценку
(5.17).
6. Точные оценки меры образа шара
В этом разделе получена оценка меры образа шара при нижних
Q-гомеоморфизмах в Rn, n > 2 . Впервые оценка площади образа кру-
га при квазиконформных отображениях встречается в монографии
М. А. Лаврентьева, см. [75]. В. И. Кругликовым была получена оцен-
ка меры образа шара для отображений квазиконформных в среднем
в Rn, см. в [13, лемма 9 ].
Теорема 6.1. Пусть Q : Bn → (0,∞) — измеримая по Лебегу фун-
кция и f : Bn → Bn — нижний Q-гомеоморфизм в нуле относитель-
но p-модуля. Тогда при p = n имеет место оценка
m(fBr) 6 Ωn · exp
−nω
1
n−1
n−1
1∫
r
dτ
∥Q∥ n−1(τ)
, (6.1)
Р. Р. Салимов 503
а при p > n
m(fBr) 6 Ωn
1 + ω
p−n+1
n−1
n−1 (p− n)
1∫
r
dτ
∥Q∥ n−1
p−n+1
(τ)
−
n
p−n
, (6.2)
где Br = {x ∈ Rn : |x| 6 r}, Ωn — объем единичного шара в Rn,
ωn−1 — площадь единичной сферы Sn−1 в Rn и
∥Q∥ n−1
p−n+1
(τ) =
∫
Sτ
Q
n−1
p−n+1 (x) dA
p−n+1
n−1
, Sτ = {x ∈ Rn : |x| = τ}.
(6.3)
Доказательство. Рассмотрим сферическое кольцо Rt = {x ∈ Bn :
t < |x| < t+△t}, 0 < t < t+∆t < 1. Пусть
(
Bt+△t, Bt
)
— конденсатор.
Тогда
(
fBt+△t, fBt
)
— кольцевой конденсатор в Rn и согласно (2.3)
имеем
cap p
p−n+1
(
fBt+△t, fBt
)
=M p
p−n+1
(△(∂fBt+△t, ∂fBt; fRt)). (6.4)
В силу неравенства (2.4) получим
cap p
p−n+1
(
fBt+△t, fBt
)
> [infmn−1 σ]
p
p−n+1[
m
(
fBt+∆t \ fBt
)] n−1
p−n+1
, (6.5)
где mn−1 σ — (n− 1)-мерная мера Лебега C∞-многообразия σ, явля-
ющегося границей σ = ∂U ограниченного открытого множества U ,
содержащего fBt и содержащегося вместе со своим замыканием U в
fBt+△t, а точная нижняя грань берется по всем таким σ.
С другой стороны, в силу леммы 3.2, имеем
cap p
p−n+1
(
fBt+△t, fBt
)
6
t+△t∫
t
dτ
∥Q∥ n−1
p−n+1
(τ)
−
n−1
p−n+1
. (6.6)
Комбинируя неравенства (6.5) и (6.6), получим
[infmn−1 σ]
p
p−n+1[
m
(
fBt+∆t \ fBt
)] n−1
p−n+1
6
t+△t∫
t
dτ
∥Q∥ n−1
p−n+1
(τ)
−
n−1
p−n+1
.
Далее, воспользовавшись изопериметрическим неравенством
infmn−1 σ > nΩ
1
n
n
(
m(fBt)
)n−1
n ,
504 Нижние Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля
получим
nΩ
1
n
n
(
m(fBt)
)n−1
n 6
m
(
fBt+∆t \ fBt
)
t+△t∫
t
dτ
∥Q∥ n−1
p−n+1
(τ)
n−1
p
. (6.7)
Полагая Φ(t) := m (fBt), из соотношения (6.7) имеем, что
nΩ
1
n
nΦ
n−1
n (t) 6
Φ(t+∆t)−Φ(t)
∆t
1
∆t
t+△t∫
t
dτ
∥Q∥ n−1
p−n+1
(τ)
n−1
p
. (6.8)
Заметим, что в силу леммы 3.2 и гомеоморфности отображения
f ,
∥Q∥−1n−1
p−n+1
(τ) ∈ L1
loc(0, 1).
Устремляя в неравенстве (6.8) ∆t к нулю, и учитывая монотонное
возрастание функции Φ(t) по t ∈ (0, 1), для п.в. t имеем существова-
ние производной Φ′(t) и
n
p
n−1Ω
p
n(n−1)
n
∥Q∥ n−1
p−n+1
(t)
6 Φ′(t)
Φ
p
n (t)
. (6.9)
Рассмотрим неравенство (6.9) при p > n. Интегрируя обе части
неравенства по t ∈ [r, 1] и учитывая, что
1∫
r
Φ′(t)
Φ
p
n (t)
dt 6 n
n− p
(
Φ
n−p
n (1)− Φ
n−p
n (r)
)
,
см., напр., [19, теорема IV. 7.4 ], получим
n
p
n−1Ω
p
n(n−1)
n
1∫
r
dt
∥Q∥ n−1
p−n+1
(t)
6 n
p− n
(
Φ
n−p
n (r)− Φ
n−p
n (1)
)
. (6.10)
Из неравенства (6.10) получаем, что
Φ(r) 6
Φ
n−p
n (1) + n
p−n+1
n−1 Ω
p
n(n−1)
n (p− n)
1∫
r
dt
∥Q∥ n−1
p−n+1
(t)
−
n
p−n
.
Р. Р. Салимов 505
Наконец, учитывая, что m(fBn) 6 Ωn и ωn−1 = nΩn, приходим к
(6.2).
Осталось рассмотреть случай p = n. В этом случае неравенство
(6.9) примет вид:
n
n
n−1Ω
1
n−1
n
∥Q∥n−1(t)
6 Φ′(t)
Φ(t)
. (6.11)
Интегрируя обе части неравенства (6.11) по t ∈ [r, 1], учитывая, что
1∫
r
Φ′(t)
Φ(t)
dt 6 ln
Φ(1)
Φ(r)
,
см., напр., [19, теорема IV. 7.4 ], получим
n
n
n−1Ω
1
n−1
n
1∫
r
dt
∥Q∥n−1(t)
6 ln
Φ(1)
Φ(r)
.
И, следовательно, имеем
exp
nω 1
n−1
n−1
1∫
r
dt
∥Q∥n−1(t)
6 Φ(1)
Φ(r)
,
а потому
Φ(r) 6 Φ(1) exp
−nω
1
n−1
n−1
1∫
r
dt
∥Q∥n−1(t)
,
что и приводит нас к неравенству (6.1) поскольку Φ(1) 6 Ωn.
7. Оценки для нижних пределов
Из теоремы 6.1, приведенной в предыдущем параграфе, следует
аналог известной леммы Икома–Шварца, см. [48, предложение 1].
Теорема 7.1. Пусть Q : Bn → (0,∞) — измеримая по Лебегу фун-
кция и f : Bn → Bn — нижний Q-гомеоморфизм в нуле относитель-
но p-модуля с нормировкой f(0) = 0. Тогда при p > n имеет место
оценка
lim inf
x→0
|f(x)|
1 + ω
p−n+1
n−1
n−1 (p− n)
1∫
|x|
dτ
∥Q∥ n−1
p−n+1
(τ)
1
p−n
6 1, (7.1)
506 Нижние Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля
а при p = n
lim inf
x→0
|f(x)| exp
ω 1
n−1
n−1
1∫
|x|
dτ
∥Q∥ n−1(τ)
6 1 , (7.2)
где ωn−1 — площадь единичной сферы Sn−1 в Rn и
∥Q∥ n−1
p−n+1
(τ) =
∫
Sτ
Q
n−1
p−n+1 (x) dA
p−n+1
n−1
, Sτ = {x ∈ Rn : |x| = τ}.
(7.3)
Доказательство. Учитывая, что f(0) = 0, получаем
Ωn
(
min
|x|=r
|f(x)|
)n
6 m(fBr) (7.4)
и, следовательно,
min
|x|=r
|f(x)| 6 n
√
m(fBr)
Ωn
. (7.5)
Таким образом, учитывая неравенства (6.1) и (6.2), имеем
lim inf
x→0
|f(x)|
Rp(|x|)
= lim inf
r→0
min
|x|=r
|f(x)|
Rp(r)
6 lim inf
r→0
n
√
m(fBr)
Ωn
· 1
Rp(r)
6 1 ,
где
Rp(r) =
1 + ω
p−n+1
n−1
n−1 (p− n)
1∫
r
dτ
∥Q∥ n−1
p−n+1
(τ)
−
1
p−n
при p > n и
Rp(r) = exp
−ω
1
n−1
n−1
1∫
r
dτ
∥Q∥ n−1(τ)
при p = n. Теорема доказана.
Литература
[1] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Moduli in Modern Mapping
Theory, Springer Monographs in Mathematics, Springer, New York etc., 2009,
367 p.
[2] Д. А. Ковтонюк, Р. Р. Салимов, Е. А. Севостьянов, К теории отображений
классов Соболева и Орлича–Соболева, К.: Наук. думка, 2013, 303 с.
Р. Р. Салимов 507
[3] B. Bojarski, V. Gutlyanskii, O. Martio, V. Ryazanov, Infinitesimal Geometry
of Quasiconformal and Bi-Lipschitz Mappings in the Plane // EMS Tracts in
Mathematics, 19, EMS Publishing House, Zürich, 2013, 205 p.
[4] V. Gutlyanskii, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, The Beltrami Equation:
A Geometric Approach, Developments of Mathematics, 26, Springer, New York
etc., 2012, 301 p.
[5] В. Н. Дубинин, Емкости конденсаторов и симметризация в геометриче-
ской теории функций комплексного переменного, Владивосток: Дальнаука,
2009, 390 с.
[6] A. Vasil’ev, Moduli of families of curves for conformal and quasiconformal
mappings, Lecture Notes in Math., 1788, Springer–Verlag, Berlin–New York,
2002.
[7] В. В. Асеев, Модули семейств локально квазисимметрических поврехно-
стей // Сиб. матем. журнал, 30 (1989), No. 3, 9–15.
[8] С. К. Водопьянов, А. Д. Ухлов, Операторы суперпозиции в пространствах
Соболева // Изв. вузов. Матем., 10 (2002), 11–33.
[9] S. K. Vodop’yanov, Description of composition operators of Sobolev spaces //
Doklady Mathematics, 71 (2005), No. 1, 5–9.
[10] S. K. Vodop’yanov, Composition operators on Sobolev spaces // Complex
Analysis and Dynamical Systems II, Contemporary Mathematics Series, 382
(2005), 401–415.
[11] С. К. Водопьянов, А. Д. Ухлов, Операторы суперпозиции в пространствах
Лебега и дифференцируемость квазиаддитивных функций множества //
Владикавк. матем. журнал, 4 (2002), No. 1, 11–33.
[12] В. М. Гольдштейн, Ю. Г. Решетняк, Введение в теорию функций с обоб-
щёнными производными и квазиконформные отображения, Наука, Новоси-
бирск, 1983.
[13] В. И. Кругликов, Ёмкости конденсаторов и пространственные отображе-
ния, квазиконформные в среднем // Матем. сборник, 130 (1986), No. 2, 185–
206.
[14] С. Л. Крушкаль, Р. Кюнау, Квазиконформные отображения – новые мето-
ды и приложения, Новосибирск: Наука, 1984.
[15] В. С. Кудьявин, Оценки искажения расстояния при отображениях, квази-
конформных в среднем // Динамика сплош. ср., 52 (1981), 168–171.
[16] В. С. Кудьявин, Локальные и граничные свойства отображений, квазикон-
формных в среднем // Сб. науч. тр. ИМ СО АН СССР, Новосибирск, (1981),
168–171.
[17] В. С. Кудьявин, Поведение класса отображений, квазиконформных в сре-
днем, в изолированной особой точке // Докл. АН СССР, 277 (1984), No. 5,
1056–1058.
[18] Д. Ковтонюк, В. Рязанов, К теории нижних Q-гомеоморфизмов // Укр.
мат. вiсник, 5 (2008), No. 2, 157–181.
[19] L. V. Kovalev, Monotonicity of generalized reduced modulus // Zapiski Nauch.
Sem. POMI, 276 (2001), 219–236.
[20] Г. В. Кузьмина, Модули семейств кривых и квадратичные дифференциа-
лы // Тр. МИАН СССР, 139 (1980), 3–241.
508 Нижние Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля
[21] В. М. Миклюков, Конформное отображение нерегулярной поверхности и
его применения, Изд-во ВолГУ, Волгоград, 2005.
[22] Ю. Г. Решетняк, Пространственные отображения с ограниченным иска-
жением, Наука: Новосибирск, 1982.
[23] В. И. Рязанов, Е. А. Севостьянов, Равностепенно непрерывные классы коль-
цевых Q-гомеоморфизмов // Сиб. матем. журнал, 48 (2007), No. 6, 1361–
1376.
[24] А. Ю. Солынин, Модули и экстремально-метрические проблемы // Алге-
бра и анализ, 11 (1999), No. 1, 3–86.
[25] А. В. Сычев, Модули и пространственные квазиконформные отображения,
Новосибирск: Наука, 1983.
[26] Б. В. Шабат, Метод модулей в пространстве // Докл. АН СССР, 130
(1960), 1210–1213.
[27] Б. В. Шабат, К теории квазиконформных отображений в пространстве //
Докл. АН СССР, 132 (1960), 1045–1048.
[28] В. А. Шлык, О равенстве p-емкости и p-модуля // Сиб. матем. журнал, 34
(1993, No. 6, 216–221.
[29] Cazacu C. Andreian, Foundations of quasiconformal mappings. Handbook of
complex analysis: geometric function theory, Vol. 2, Elsevier, Amsterdam, 2005,
687–753.
[30] Cazacu C. Andreian, On the length-area dilatation // Complex Var. Theory
Appl., 50 (2005), No. 7–11, 765–776.
[31] Cazacu C. Andreian, Moduli inequalities for quasiregular mappings // Ann.
Acad. Sci. Fenn. Math., 2 (1976), 17–28.
[32] Cazacu C. Andreian, Modules and quasiconformality, Symposia Mathematica
18, Academic Press, London, 1976, 519–534.
[33] Cazacu C. Andreian, A generalization of the quasiconformality, in Topics in
Analysis, Colloquium on Mathematical Analysis, Jyvaskyla, 1970, Lecture Notes
in Mathematics, 419 (1974), 4–17.
[34] P. Caraman, n-dimensional quasiconformal mappings, Haessner Publishing,
Newfoundland, NJ, 1974.
[35] M. Cristea, Dilatations of homeomorphisms satisfying some modular inequaliti-
es // Rev. Roumaine Math. Pures Appl., 56 (2011), No. 4, 275–282.
[36] M. Cristea, Open discrete mapping having local ACLn inverses // Complex Var.
Elliptic Equ., 55 (2010), No. 1–3, 61–90.
[37] M. Cristea, Local homeomorphisms having local ACLn inverses // Complex Var.
Elliptic Equ., 53 (2008), No. 1, 77–99.
[38] M. Cristea, Mappings of finite distortion: Zoric’s theorem, and equicontinuity
results // Rev. Roumaine Math. Pures Appl., 52 (2007), No. 5, 539–554.
[39] M. Cristea, Mappings of finite distortion: boundary extension // Rev. Roumaine
Math. Pures Appl., 51 (2006), No. 5–6, 607–631.
[40] A. Golberg, Homeomorphisms with integrally restricted moduli. Complex analysis
and dynamical systems IV. Part 1 // Contemp. Math., 553 (2011), 83–98.
[41] A. Golberg, Directional dilatations in space // Complex Var. Elliptic Equ., 55
(2010), No. 1–3, 13–29.
Р. Р. Салимов 509
[42] A. Golberg, Homeomorphisms with finite mean dilatations // Contemporary
Math., 382 (2005), 177–186.
[43] A. Golberg, V. Gutlyanskii, On Lipschitz continuity of quasiconformal mappings
in space // J. Anal. Math., 109 (2009), 233–251.
[44] F. W. Gehring, Rings and quasiconformal mappings in space // Trans. Amer.
Math. Soc., 103 (1962), 353–393.
[45] F. W. Gehring, Quasiconformal mappings in Complex Analysis and its Appli-
cations, V. 2, International Atomic Energy Agency, Vienna, 1976.
[46] F. W. Gehring, Lipschitz mappings and the p-capacity of ring in n-space //
Advances in the theory of Riemann surfaces (Proc. Conf. Stonybrook, N.Y.,
(1969), Ann. of Math. Studies, 66 (1971), 175–193.
[47] J. Hesse, A p-extremal length and p-capacity equality // Arc. Mat., 13 (1975),
131–144.
[48] K. Ikoma, On the distortion and correspondence under quasiconformal mappings
in space // Nagoya Math. J., 25 (1965), 175–203.
[49] O. Lehto, K. Virtanen, Quasiconformal Mappings in the Plane, Springer–Verlag,
New York, 1973.
[50] V. Maz’ya, Lectures on isoperimetric and isocapacitary inequalities in the theory
of Sobolev spaces // Contemp. Math., 338 (2003), 307—340.
[51] O. Martio, S. Rickman, J. Väisälä, Definitions for quasiregular mappings //
Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. Math., 448 (1969), 1–40.
[52] J. Väisälä, Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings, Lecture Notes
in Math., 229, Springer–Verlag, Berlin, 1971.
[53] J. Väisälä, Two new characterizations for quasiconformality // Ann. Acad. Sci.
Fenn. Ser. A1 Math., 362 (1965), 1–12.
[54] M. Vuorinen, Conformal Geometry and Quasiregular Mappings, Lecture Notes
in Math., 1319, Springer-Verlag, Berlin, 1988, 209 p.
[55] W. P. Ziemer, Extremal length and p-capacity // The Michigan Mathematical
Journal, 16 (1969), No. 1, 43–51.
[56] В. Г. Мазья, Пространства С.Л. Соболева, ЛГУ, Ленинград, 1985, 416 с.
[57] Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов, Об отображениях в классах
Орлича-–Соболева на римановых многообразиях // Укр. матем. вiсник, 8
(2011), No. 3, 319—342.
[58] T. Iwaniec, P. Koskela, J. Onninen, Mappings of finite distortion:
Compactness // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. Math., 27 (2002), No. 2, 391–
417.
[59] D. A. Kovtonyuk, V. I. Ryazanov, R. R. Salimov, E. A. Sevost’yanov, On mappi-
ngs in the Orlicz-Sobolev classes // Ann. Univ. Bucharest, Ser. Math., 3(LXI)
(2012), No. 1, 67–78.
[60] Д. А. Ковтонюк, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов, Е. А. Севостьянов, Граничное
поведение классов Орлича–Соболева // Матем. заметки, 95 (2014), No. 4,
564–576.
[61] Д. А. Ковтонюк, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов, Е. А. Севостьянов, К теории
классов Орлича–Соболева // Алгебра и анализ, 25 (2013), No. 6, 50–102.
510 Нижние Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля
[62] Р. Р. Салимов, Нижние оценки p-модуля и отображения класса Соболева //
Алгебра и анализ, 26 (2014), No. 6, 143–171.
[63] T. Lomako, R. Salimov, E. Sevost’yanov, On equicontinuity of solutions to the
Beltrami equations // Ann. Univ. Bucharest, Math. Ser., LIX (2010), No. 2,
263–274.
[64] V. Ryazanov, R. Salimov, U. Srebro, E. Yakubov, On Boundary Value Problems
for the Beltrami Equations // Contemp. Math., 591 (2013), 211–242.
[65] Д. А. Ковтонюк, И. В. Петков, В. И. Рязанов , Р. Р. Салимов, Граничное
поведение и задача Дирихле для уравнений Бельтрами // Алгебра и анализ,
25 (2013), No. 4, 101–124.
[66] Р. Р. Салимов, Абсолютная непрерывность на линиях и дифференцируе-
мость одного обобщения квазиконформных отображений // Изв. РАН. Сер.
матем., 72 (2008), No. 5, 141–148.
[67] Р. Р. Салимов, Об оценке меры образа шара // Сиб. матем. журн., 53 (2012),
No. 4, 920–930.
[68] Р. Р. Салимов, On finitely Lipschitz space mappings // Сиб. электрон. матем.
изв., 8 (2011).
[69] Р. Р. Салимов, О липшицевости одного класса отображений // Матем. за-
метки, 94(2013), No. 4, 591–599.
[70] Р. Р. Салимов, О кольцевых Q-отображениях относительно неконформно-
го модуля // Дальневост. матем. журн., 14 (2014), No. 2, 257–269.
[71] Р. Р. Салимов, Е.А. Севостьянов, Теория кольцевых Q-отображений в гео-
метрической теории функций // Матем. сб., 201 (2010), No. 6, 131–158.
[72] Е. А. Севостьянов, О пространственных отображениях с интегральными
ограничениями на характеристику // Алгебра и анализ, 24 (2012), No. 1,
131–156.
[73] C. Сакс, Теория интеграла, М.: Издательство иностранной литературы,
1949, 495 с.
[74] T. Ransford, Potential Theory in the Complex Plane, Cambridge University
Press, 1995, 244 p.
[75] М. А. Лаврентьев, Вариационный метод в краевых задачах для систем
уравнений эллиптического типа, М., 1962, 136 с.
Сведения об авторах
Руслан Радикович
Салимов
Институт математики НАН Украины
E-Mail: ruslan623@yandex.ru
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-140880 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1810-3200 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:08:56Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Салимов, Р.Р. 2018-07-17T15:27:00Z 2018-07-17T15:27:00Z 2015 Нижние Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля / Р.Р. Салимов // Український математичний вісник. — 2015. — Т. 12, № 4. — С. 484-510. — Бібліогр.: 75 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC: 30C65, 30C75 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140880 Статья посвящена развитию теории нижних Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля в Rⁿ, n > 2. Для таких классов отображений установлен целый ряд теорем о локальном поведении и, в частности, доказан аналог известной теоремы Геринга о локальной липшицевости, приведены различные теоремы об оценке искажения евклидовых расстояний, установлена оценка меры образа шара и, как следствие, получен аналог леммы Икома–Шварца. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Нижние Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля The lower Q-homeomorphisms relative to a p-modulus Article published earlier |
| spellingShingle | Нижние Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля Салимов, Р.Р. |
| title | Нижние Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля |
| title_alt | The lower Q-homeomorphisms relative to a p-modulus |
| title_full | Нижние Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля |
| title_fullStr | Нижние Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля |
| title_full_unstemmed | Нижние Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля |
| title_short | Нижние Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля |
| title_sort | нижние q-гомеоморфизмы относительно p-модуля |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140880 |
| work_keys_str_mv | AT salimovrr nižnieqgomeomorfizmyotnositelʹnopmodulâ AT salimovrr thelowerqhomeomorphismsrelativetoapmodulus |