Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона на полиномиальных инвариантных соотношениях
Рассмотрены условия существования специального класса полиномиальных решенийуравнений Кирхгофа–Пуассона задачи о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопическихсил. На основании исследования решений редуцированных уравнений получены новые случаи интегрируемости указанной задачи. I...
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2017 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2017
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140935 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона на полиномиальных инвариантных соотношениях / А.В. Зыза // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2017. — Вип 47. — С. 25-35. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-140935 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Зыза, А.В. 2018-07-19T16:49:16Z 2018-07-19T16:49:16Z 2017 Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона на полиномиальных инвариантных соотношениях / А.В. Зыза // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2017. — Вип 47. — С. 25-35. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140935 531.38 Рассмотрены условия существования специального класса полиномиальных решенийуравнений Кирхгофа–Пуассона задачи о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопическихсил. На основании исследования решений редуцированных уравнений получены новые случаи интегрируемости указанной задачи. Integration of Kirchhoff–Poisson equations on polynomial invariant relations We consider existence conditions for a special class of polynomial solutions of Kirchhoff–Poisson equations in the problem about gyrostat under potential and gyroscopic forces. New cases of integrability of this problem are obtained based on the investigation of reduced equations. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона на полиномиальных инвариантных соотношениях Integration of Kirchhoff–Poisson equations on polynomial invariant relations Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона на полиномиальных инвариантных соотношениях |
| spellingShingle |
Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона на полиномиальных инвариантных соотношениях Зыза, А.В. |
| title_short |
Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона на полиномиальных инвариантных соотношениях |
| title_full |
Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона на полиномиальных инвариантных соотношениях |
| title_fullStr |
Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона на полиномиальных инвариантных соотношениях |
| title_full_unstemmed |
Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона на полиномиальных инвариантных соотношениях |
| title_sort |
интегрирование уравнений кирхгофа–пуассона на полиномиальных инвариантных соотношениях |
| author |
Зыза, А.В. |
| author_facet |
Зыза, А.В. |
| publishDate |
2017 |
| language |
Russian |
| container_title |
Механика твердого тела |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Integration of Kirchhoff–Poisson equations on polynomial invariant relations |
| description |
Рассмотрены условия существования специального класса полиномиальных решенийуравнений Кирхгофа–Пуассона задачи о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопическихсил. На основании исследования решений редуцированных уравнений получены новые случаи интегрируемости указанной задачи.
Integration of Kirchhoff–Poisson equations on polynomial invariant relations We consider existence conditions for a special class of polynomial solutions of Kirchhoff–Poisson equations in the problem about gyrostat under potential and gyroscopic forces. New cases of integrability of this problem are obtained based on the investigation of reduced equations.
|
| issn |
0321-1975 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140935 |
| citation_txt |
Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона на полиномиальных инвариантных соотношениях / А.В. Зыза // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2017. — Вип 47. — С. 25-35. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT zyzaav integrirovanieuravneniikirhgofapuassonanapolinomialʹnyhinvariantnyhsootnošeniâh AT zyzaav integrationofkirchhoffpoissonequationsonpolynomialinvariantrelations |
| first_indexed |
2025-11-25T21:22:33Z |
| last_indexed |
2025-11-25T21:22:33Z |
| _version_ |
1850551162407747584 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2017. Вып. 47
УДК 531.38
c©2017. А.В. Зыза
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КИРХГОФА–ПУАССОНА
НА ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ИНВАРИАНТНЫХ
СООТНОШЕНИЯХ
Рассмотрены условия существования специального класса полиномиальных решений урав-
нений Кирхгофа–Пуассона задачи о движении гиростата под действием потенциальных и
гироскопических сил. На основании исследования решений редуцированных уравнений по-
лучены новые случаи интегрируемости указанной задачи.
Ключевые слова: полиномиальное решение, гиростат, уравнения Кирхгофа–Пуассона,
потенциальные и гироскопические силы.
Введение. Актуальность построения решений уравнений движения ги-
ростата, имеющего неподвижную точку, отмечена многими учеными в об-
ласти аналитической механики (см., например, работы Ф. Кляйна и А. Зом-
мерфельда [1], П.В. Харламова [2]). Классические подходы в использова-
нии уравнений Лагранжа второго рода или уравнений Гамильтона при-
менимы лишь в ограниченном числе случаев. Как показано Н. Ковалевским,
С.А. Чаплыгиным, П.В. Харламовым, А.И. Докшевичем, Е.И.Харламовой,
уравнения движения гиростата, записанные в компонентах момента количе-
ства движения и единичного вектора оси симметрии силового поля, позволя-
ют проводить построение новых решений в замкнутом виде. Обзор результа-
тов, полученных в динамике гиростата, приведен в книгах [3, 4].
Полиномиальные классы решений уравнений движения гиростата в раз-
личных силовых полях относятся к наиболее изученным.
В задачах о движении твердого тела и гиростата под действием силы тя-
жести полиномиальные решения получены Н.Ковалевским, С.А.Чаплыги-
ным, П.В. Харламовым и другими. Все они отвечают случаю, когда центры
масс твердого тела, имеющего неподвижную точку, и гиростата с неподвиж-
ной точкой лежат на главной оси эллипсоида инерции. В таком же пред-
положении построены полиномиальные решения для уравнений Кирхгофа–
Пуассона [5–9] и для уравнений движения гиростата в магнитном поле с уче-
том эффекта Барнетта–Лондона [10, 11].
В данной статье продолжено исследование полиномиальных решений
уравнений Кирхгофа–Пуассона [5–9]. Построены новые решения, которые
можно описать с помощью двух полиномиальных и одного рационального
инвариантных соотношений.
1. Постановка задачи. Рассмотрим движение заряженного и намагни-
ченного гиростата с неподвижной точкой в поле потенциальных и гироскопи-
ческих сил. Потенциальные силы возникают при взаимодействии магнитов с
постоянным магнитным полем, электрических зарядов с электрическим по-
лем и при ньютоновском притяжении масс. Центры ньютоновского и куло-
25
А.В. Зыза
новского притяжений лежат на оси, проходящей через неподвижную точку
параллельно вектору, характеризующему направление постоянного магнит-
ного поля. Гироскопические силы определяются действием магнитного поля
на движущиеся в пространстве электрические заряды и циклическим движе-
нием роторов в теле-носителе. Движение такого гиростата описывается диф-
ференциальными уравнениями класса Г. Кирхгофа [12], которые в векторном
виде таковы
A
.
ω = (Aω + λ)× ω + ω ×Bν + ν × (Cν − s),
.
ν = ν × ω. (1)
Эти уравнения допускают три первых интеграла
Aω ·ω−2(s ·ν)+(Cν ·ν) = 2E0, 2(Aω+λ) ·ν− (Bν ·ν) = 2k0, ν ·ν = 1. (2)
Здесь ω = (p, q, r) – вектор угловой скорости гиростата; ν = (ν1, ν2, ν3) –
единичный вектор, характеризующий направление оси симметрии силовых
полей; λ = (λ1, 0, 0) – гиростатический момент; s = (s1, 0, 0) – вектор обоб-
щенного центра масс; A – тензор инерции гиростата, построенный в непод-
вижной точке; B и C – симметричные матрицы третьего порядка; точка над
переменными обозначает относительную производную, E0 и k0 – постоянные
интегралов.
Запишем уравнения (1) и интегралы (2) в скалярном виде, полагая
A = diag(A1, A2, A3), B = diag(B1, B2, B3), C = diag(C1, C2, C3):
A1ṗ = (A2 −A3)qr +B3qν3 −B2rν2 + (C3 − C2)ν2ν3;
A2q̇ = (A3 −A1)pr +B1rν1 −B3pν3 + (C1 −C3)ν1ν3 − λ1r − s1ν3;
A3ṙ = (A1 −A2)pq −B1qν1 +B2pν2 + (C2 − C1)ν1ν2 + λ1q + s1ν2;
(3)
ν̇1 = rν2 − qν3, ν̇2 = pν3 − rν1, ν̇3 = qν1 − pν2; (4)
A1p
2 +A2q
2 +A3r
2 − 2s1ν1 +C1ν
2
1 + C2ν
2
2 + C3ν
2
3 = 2E0;
2(A1p+ λ1)ν1 + 2A2qν2 + 2A3rν3 − (B1ν
2
1 +B2ν
2
2 +B3ν
2
3) = 2k0;
ν21 + ν22 + ν23 = 1.
(5)
Поставим задачу об исследовании условий существования у уравнений
(3), (4) решений вида
q2 = Q(p) =
n
∑
k=0
bkp
k, r2 = R(p) =
m
∑
i=0
cip
i,
ν1 = ϕ(p) =
l
∑
j=0
ajp
j, ν2 =
ψ(p)
p
q, ν3 = κ(p)r,
ψ(p) =
n1
∑
i=0
gip
i, κ(p) =
m1
∑
j=0
fjp
j,
(6)
26
Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона
где n,m, l, n1,m1 – натуральные числа или нули; bk, ci, aj , gi, fj – неизвестные
постоянные, подлежащие определению.
Если в (6) g0 = 0, то получаем класс полиномиальных решений, усло-
вия существования которого в рассматриваемой задаче полностью изучены в
работах [5, 6].
Подставим выражения (6) в уравнения (3), (4) и геометрический интеграл
из (5):
ṗ =
Φ(p)
pϕ′(p)
√
Q(p)R(p), Φ(p) = ψ(p)− pκ(p); (7)
(Q(p)ψ2(p)p−2)′Φ(p) = 2ϕ′(p)ψ(p)(pκ(p) − ϕ(p));
(R(p)κ2(p))′Φ(p) = 2ϕ′(p)κ(p)p(ϕ(p)− ψ(p));
}
(8)
A1Φ(p) = ϕ′(p)[(C3 − C2)ψ(p)κ(p)+
+B3κ(p)p−B2ψ(p) + (A2 −A3)p],
A2Q
′(p)Φ(p) = 2ϕ′(p)p[(C1 −C3)ϕ(p)κ(p)−
−κ(p)(B3p+ s1) +B1ϕ(p) + (A3 −A1)p− λ1],
A3R
′(p)Φ(p) = 2ϕ′(p)[(C2 − C1)ϕ(p)ψ(p) + ψ(p)(B2p+ s1)−
−B1ϕ(p)p + (A1 −A2)p
2 + λ1p];
(9)
(ϕ2(p) +R(p)κ2(p)− 1)p2 +Q(p)ψ2(p) = 0. (10)
В уравнениях (7)–(9) штрихом обозначена производная по переменной p.
После интегрирования уравнений (8), (9) зависимость p от времени t находим
из дифференциального уравнения (7).
2. Одно новое частное решение. Рассмотрим случай когда в (6)
n = 4, m = 4, l = 2, n = 1, m1 = 0. Тогда
q2 = Q(p) = b4p
4 + b3p
3 + b2p
2 + b1p+ b0,
r2 = R(p) = c4p
4 + c3p
3 + c2p
2 + c1p+ c0,
ν1 = ϕ(p) = a2p
2 + a1p+ a0, ν2 =
ψ(p)
p
q, ν3 = κ(p)r,
ψ(p) = g1p+ g0, κ(p) = f0.
(11)
Подставим значения для компонент векторов ω и ν из (11) в уравнения (8)–
(10) и потребуем их выполнение при всех p. Получим систему уравнений на
27
А.В. Зыза
параметры задачи и коэффициенты решения (11):
αg1f0 +B3f0 −B2g1 +A2 −A3 = 0, A1(g1 − f0)− 2a2µ = 0,
A1g0 − a1µ = 0, 2b4g1µ+A1a2 = 0,
(2b4g0 + 3b3g1)µ− 2A1(f0 − a1) = 0,
(b3g0 + 2b2g1)µ+ 2A1a0 = 0, b1 = 0, b0 = 0, 2c4f0µ−A1a2 = 0,
3c3f0µ− 2A1(a1 − g1) = 0, c2f0µ+A1(g0 − a0) = 0,
c1 = 0, 2A2b4µ−A1(βf0 +B1)a2 = 0,
3A2b3µ− 2A1((βf0 +B1)a1 −B3f0 +A3 −A1) = 0,
A2b2µ−A1((βf0 +B1)a0 − f0s1 − λ1) = 0, a20 + b2g
2
0 + c0f
2
0 − 1 = 0,
2A3c4µ+A1((α+ β)g1 +B1)a2 = 0, (α+ β)a0 − s1 = 0,
3A3c3µ+ 2A1((α+ β)(a1g1 + a2g0)−B2g1 +B1a1 +A2 −A1) = 0,
A3c2µ+A1((α + β)(a0g1 + a1g0)−B2g0 +B1a0 − λ1 − g1s1) = 0.
(12)
Здесь α = C3 − C2, β = C1 − C3, µ = (αf0 −B2)g0.
Система уравнений (12) совместна относительно параметров A1, A2, A3,
B3, g0, f0. Запишем решение этой системы так
b4 = −
(A1 + µ2)(A1 + 4µ2)A2(A1f0)
2
µ21µ2g
2
0
,
b3 =
2(A1 + µ2)(A1 + 4µ2)(A2 − µ2)A1f0
3µ1µ22g0
,
b2 = −
A1
12(A1 + µ2)A2µ
3
2
[4(B3f0)
4 + 8(A1 +A2 − 2A3)(B3f0)
3+
+4(A2
1 − (A2 + 6A3)A1 + 2(2A2
2 − 3A2A3 + 3A2
3))(B3f0)
2+
+2((3A2 − 4A3)A
2
1 − 4(3A2
2 −A2A3 − 3A2
3)A1 + 4(A2 −A3)(3A
2
2 −A2A3+
+2A2
3))B3f0 + (3A2
2 − 6A2A3 + 4A2
3)A
2
1 − 4(A2 −A3)(3A
2
2 − 3A2A3−
−2A2
3)A1 ++4(3A2
2 +A2
3)(A2 −A3)
2], b1 = 0, b0 = 0,
c4 = −
(A1 + µ2)(A1 + 4µ2)
2(A1A2f0)
2
µ31µ2g
2
0
,
c3 =
2(A1 + µ2)(A1 + 4µ2)
2A1A
2
2f0
3(µ1µ2)2g0
,
c2 = −
A1A2(A1 + 4µ2)
12µ1µ
3
2(A1 + µ2)
[8(B3f0)
3 − 8(A1 − 5A2 + 3A3)(B3f0)
2+
+2(A2
1 − 4(A2 − 2A3)A1 + 4(7A2 − 3A3)(A2 −A3))B3f0 + (3A2 − 2A3)A
2
1+
+8(A2 −A3)A3A1 + 8(3A2 −A3)(A2 −A3)
2], c1 = 0,
28
Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона
a2 = −
2(A1 + µ2)(A1 + 4µ2)A1A2f
2
0
µ21g0
, a1 =
(A1 + 4µ2)A1A2f0
µ1µ2
,
a0 = −
g0
12µ22(A1 + µ2)
[−4(B3f0)
3 − 4(5A1 −A2 − 3A3)(B3f0)
2+
+2(A2
1 − 4(4A2 − 5A3)A1 + 2(5A2 + 3A3)(A2 −A3))B3f0 + (3A2−
−2A3)A
2
1 − 4(A2 −A3)(3A2 − 5A3)A1 + 4(3A2 +A3)(A2 −A3)
2],
c0 = −(a20 + b2g
2
0 − 1)f−2
0 , g1 = −
(A1 + 4µ2)A2f0
µ1
,
B1 = −
1
2(A1 − 2µ2)f0
[4(B3f0)
2 + 4(A1 +A2 − 3A3)B3f0+
+(3A2 − 2A3)A1 − 8(A2 −A3)A3],
B2 = −
1
(A1 + 4µ2)(A1 − 2µ2)A2f0
[4(3A1 − 2A2)(B3f0)
3 + 4(3A2
1 + (5A2−
−9A3)A1 − 4A2(A2 −A3))(B3f0)
2 + ((25A2 − 24A3)A
2
1 + 2(A2 −A3)(A2−
−18A3)A1 − 8A2(A2 −A3)
2)B3f0 + 6A1(A2 −A3)
2(2A1 −A2 − 2A3)],
α = −
1
(A1 + 4µ2)(A1 − 2µ2)A2f
2
0
[8(B3f0)
4 + 16(A1 +A2 − 2A3)(B3f0)
3+
+2(4A2
1 + (17A2 − 24A3)A1 + 4(A2 −A3)(A2 − 6A3))(B3f0)
2+
+2(A1 +A2 −A3)((9A2 − 8A3)A1 − 16A3(A2 −A3))B3f0+
+(A2 −A3)((9A2 − 8A3)A
2
1 − 16(A2 −A3)A3A1 − 8A3(A2 −A3)
2)],
β =
1
2(A1 + 4µ2)(A1 − 2µ2)f20
[4(3A1 − 4A3)(B3f0)
2+
+4(3A2
1 + (3A2 − 5A3)A1 − 8A3(A2 −A3))B3f0 + (9A2 − 10A3)A
2
1−
−8(A2 −A3)A1A3 − 16A3(A2 −A3)
2],
(13)
s1 =
µ21g0
24(A1 + µ2)(A1 + 4µ2)(A1 − 2µ2)µ22A2f
2
0
[−4(B3f0)
3 − 4(5A1−
−A2 − 3A3)(B3f0)
2 + 2(A2
1 − 4(4A2 − 5A3)A1+
+2(5A2 + 3A3)(A2 −A3))B3f0 + (3A2 − 2A3)A
2
1−
−4(A2 −A3)(3A2 − 5A3)A1 + 4(3A2 +A3)(A2 −A3)
2],
λ1 = −
µ1g0
24(A1 + µ2)(A1 + 4µ2)(A1 − 2µ2)µ
2
2A2f0
[−8(9A1 − 8A2)(B3f0)
4−
−4(18A2
1 + 3(11A2 − 24A3)A1 − 16A2(3A2 − 4A3))(B3f0)
3 − 12(2(7A2−
−9A3)A
2
1 + (A2
2 − 33A2A3 + 36A2
3)A1 − 16A2(A2 −A3)(A2−
−2A3))(B3f0)
2 + 2(5A2A
3
1 − 6(11A2
2 − 28A2A3 + 18A2
3)A
2
1+
+6(A2 −A3)(7A
2
2 + 9A2A3 − 24A2
3)A1 + 32A2(A2 − 4A3)(A2−
29
А.В. Зыза
−A3)
2)B3f0 +A2(9A2 − 10A3)A
3
1 − 12(A2 −A3)(3A
2
2−
−8A2A3 + 6A2
3)A
2
1 + 12(3A2
2 −A2A3 − 6A2
3)(A2−
−A3)
2A1 − 64A2A3(A2 −A3)
3].
Здесь
µ1 = 4(B3f0)
2 + 4(A1 +A2 − 2A3)B3f0 + (3A2 − 4A3)A1 − 4A3(A2 −A3),
µ2 = A2 −A3 +B3f0.
Решение (11) при условиях (13) будет действительным, например, при
выполнении неравенств
c0 > 0 и b2 > 0. (14)
Зависимость переменной p от времени получим из дифференциального урав-
нения (7)
ṗ =
µ
A1
√
(b4p2 + b3p+ b2)(c4p4 + c3p3 + c2p2 + c0), (15)
µ =
µ1µ2g0
(A1 + 4µ2)A2f0
.
Рассмотрим численный пример решения (11), (13), (15) дифференциаль-
ных уравнений движения гиростата (3), (4) при условиях (14).
Пусть
A1 = a, A2 =
4
3
a, A3 =
5
4
a, B3 = b, f0 = −
a
5b
,
g0 = −
a2
5b2
(
0 < a <
(
134888180
92214083
)1/4
b
)
.
Тогда из (11), (13) получим
B1 =
147
37
b, B2 = −
19321
9472
b,
α = (C3 − C2) =
280493b2
18944a
, β = (C1 − C3) = −
38825b2
1184a
,
λ =
(
−
127491481a2
24598784b
, 0, 0
)
, s =
(
735586413a
245987840
, 0, 0
)
,
q2 = p2Q∗(p), Q∗(p) =
3392000
794983
b2p2
a2
−
491840
16513
bp
a
+
1192521
72716
,
r2 = R(p) = −
2170880000
803727813
b2p4
a2
+
868352000
50083929
bp3
a
−
5606400
6126323
p2+
+
5(134888180b4 − 92214083a4)
26977636(ab)2
,
ν1 = ϕ(p) =
67840
340707
p2 −
2560
2359
ap
b
−
2159
12985
a2
b2
,
ν2 = −
(
128a
1011b
p+
a2
5b2
)
√
Q∗(p), ν3 = −
a
5b
r.
(16)
30
Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона
Функцию p = p(t) находим из уравнения (15). При этом зависимость
p = p(t) выражается функциями времени, получаемыми в результате обра-
щения гиперэллиптических интегралов.
Полученное решение (15), (16) характеризуется одним линейным инвари-
антным соотношением r = f−1
0 ν3 и не является частным случаем решения
[13].
3. Второе новое частное решение. Случай n = 3, m = 2, l = 2,
n1 = 1, m1 = 1. Пусть теперь полиномы решения (6) имеют вид
q2 = Q(p) = b3p
3 + b2p
2 + b1p+ b0, r2 = R(p) = c2p
2 + c1p+ c0,
ν1 = ϕ(p) = a2p
2 + a1p+ a0, ν2 =
ψ(p)
p
q, ν3 = κ(p)r,
ψ(p) = g1p+ g0, κ(p) = f1p+ f0.
(17)
Подставим полиномы из (17) в первое динамическое уравнение системы (9).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях многочленов, стоя-
щих в левой и правой частях этого уравнения, заключаем, что оно при a1 6= 0
может быть тождеством по p только при выполнении условия
α̃q1 +B3 = 0, α̃ = C3 − C2. (18)
Тогда в силу (18) первое уравнение из (9) упрощается:
Φ(p) = ϕ′(p)(d1p+ d0)A
−1
1 ,
d1 = α̃(g1f0 + g0f1) +B3f0 −B2g1 +A2 −A3,
d0 = (α̃f0 −B2)g0.
(19)
Соотношения (19) позволяют упростить другие уравнения исследуемой
системы (8), (9). Исключим функцию Φ(p) из уравнений (8) и второго и тре-
тьего уравнений системы (9). Подставим в упрощенные уравнения, геометри-
ческий интеграл (10) и в функцию Φ(p) из (19) полиномы (17). Требование
того, чтобы полученные равенства при условии (18) были тождествами по p
приводит к следующей системе уравнений на параметры задачи и коэффи-
циенты решения (17):
2a2d1 +A1f1 = 0, 2a2d0 + a1d1 +A1(f0 − g1) = 0, a1d0 −A1g0 = 0,
b0 = 0, b1 = 0, η1d1 + 2A1(a2 − f1) = 0, η2d1 + η1d0 + 2A1(a1 − f0) = 0,
C1 = C3,
η2d0 + 2A1a0 = 0, γ2d1 − 2A1a2 = 0, γ1d1 + γ2d0 + 2A1(g1 − a1) = 0,
γ0d1 + γ1d0 + 2A1(g0 − a0) = 0, γ0d0 = 0,
3b3d1A2 + 2A1(B3f1 − a2B1) = 0, A2(3b3d0 + 2b2d1) + 2A1(f1s1 +B3f0−
−a1B1 +A1 −A3) = 0, b2d0A2 +A1(f0s1 + λ1 −B1a0) = 0, α̃g1 +B1 = 0,
31
А.В. Зыза
c2d1A3 +A1(α̃(a2g0 + a1g1)−B2g1 +B1a1 +A2 −A1) = 0, (20)
A3(2c2d0 + c1d1) + 2A1(α̃(a1g0 + a0g1)−B2g0 +B1a0 − s1g1 − λ1) = 0,
c1d0A3 + 2A1(α̃a0 − s1)g0 = 0, a20 − 1 + b2g
2
0 + c0f
2
0 = 0.
Здесь η1 = 3b3g1, η2 = 2b2g1 + b3g0, γ0 = 2c0f1 + c1f0, γ1 = 3c1f1 + 2c2f0,
γ2 = 4c2f1.
Система алгебраических уравнений (18), (20) разрешима относительно не-
нулевых параметров A2, B3, a2, a1. Обозначая h = a2f
−1
1 , запишем решение
этой системы в виде
C1 = C3, B1 = B3, α = C3 − C2 =
B2
3
A2
,
A1 =
a1B3
12h2A2(2A2(h− 1)− 3a1B3)(2A2(h+ 2) + 3a1B3)
×
×{(h+ 2)(12A3
2h
3 + 4(3A2 − 4a1B3)A
2
2h
2 − ((46A2 + 9a1B3)a1B3+
+24A2
2)A2h+ (2A2 − 3a1B3)(4A2 − 3a1B3)a1B3) + µ̃
√
∆};
A3 =
6A1A2h
2 − (3A1 + a1B3)a1B3h+ a21B
2
3
µ̃h2
;
B2 =
(−4A2
2h
2 + 2(3a1B3 + 2(3A1 − 2A2))A2h− 3a21B
2
3)B3
2µ̃A2h
;
s1 = −
(h− 1)(10A1A2h
2 − (4A1A2 + (21A1 − a1B3)a1B3)h+ 8a21B
2
3)
6µ̃h2f2
,
λ1 =
h− 1
12µ̃2h3a1B2
3f2
{8(6A1 − 5a1B3)A1A
3
2h
4 + 4(−a31B
3
3+
+(35a1B3 − 16A2)a1B3A1 + 24A2
1A2)A
2
2h
3 + 2(4(a1B3)
3−
−(81A1 + 20A2)(a1B3)
2 + 2(38A2 − 27A1)A1a1B3 + 8A1A2(2A2−
−9A1))A2a1B3h
2 + (−3a31B
3
3 + 7(9A1 + 8A2)(a1B3)
2 + 4(9A1−
−16A2)A2a1B3 + 32A1A
2
2)(a1B3)
2h+ 8(A2 − 3a1B3)(a1B3)
4},
(21)
c2 = −h2, a0 = δ1f
−1
1 , c0 = δ2f
−2
1 ,
c1 =
h
3µ̃a1B
2
3f1
{4A2
2(3A1 − a1B3)h
2 + 2(−3a21B
2
3 + (9A1 − 8A2)a1B3+
+12A1A2)A2h− (16A2
2 + 3(4A2 − 3a1B3)a1B3)a1B3},
b3 = 4(1− h)hB3f1(3A2)
−1, b1 = 0, b0 = 0, g1 = −A2B
−1
3 , g0 = δ3f
−1
1 ,
b2 =
1
3µ̃hA2a1B3
{12A1A
2
2h
4 + 2(−9(a1B3)
2 + 2(5A1 − 3A2)a1B3+
+12A1A2)A2h
3 + (17(a1B3)
2 + 3(A1 − 4A2)a1B3 + 2A2(A1 − 12A2))×
×a1B3h
2 − (10(a1B3)
2 + 3(A1 − 4A2)a1B3 + 4A1A2)a1B3h+ 2(a1B3)
3},
32
Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона
f0 =
4(A1−a1B3)A2
2h
2+2((3A1−4A2+3a1B3)a1B3+4A1A2)A2h−3(a1B3)3
2µ̃ha1B2
3
,
f1 =
√
δ21 + δ2f
2
0 + δ23b2.
Здесь
µ̃ = 2(h+ 2)A2 − 3a1B3,
∆ = (h+ 2)(36(A2h− a1B3)A
3
1h
4 − (59(a1B3)
2+
+156A2a1B3 + 108A2
2)A
2
2h
3 + 6((27A2 + 11a1B3)(a1B3)
2+
+4A2
2(3A2 + 10a1B3))A2h
2 − 3(4A2
2(4A2 + 7a1B3)−
−(4A2 + 3a1B3)(a1B3)
2)a1B3h+ 2((2A2 − 3a1B3)a1B3)
2),
δ1 = −
A2
2(µ̃ha1B2
3)
2
{4A1A
2
2h
3 + 2(−3(a1B3)
2 + (3A1 − 2A2)a1B3+
+4A1A2)A2h
2 − 2(−3(a1B3)
2 + 2A2a1B3 + 4A2
2)a1B3h+
+(4A2 − 3a1B3)(a1B3)
2}(2A1A2h
2+
+(−(a1B3)
2 + 3A1a1B3 + 4A1A2)h− 2(a1B3)
2),
δ2 = −
1
12(µ̃a1B
2
3)
2
(4(A1 − a1B3)A
2
2h
2 + 2(3(a1B3)
2+
+(3A1 − 4A2)a1B3 + 4A1A2)A2h− 3(a1B3)
3)(4(3A1 − a1B3)A
2
2h
2−
−2(3(a1B3)
2 + (8A2 − 9A1)a1B3−
−12A1A2)A2h+ a1B3(9(a1B3)
2 − 12A2a1B3 − 16A2
2)),
δ3 = −
A2(2A1A2h
2 + ((3A1 − a1B3)a1B3 + 4A1A2)h− 2(a1B3)
2)
2h2µ̃B2
3
.
Зависимость p от времени найдем из уравнения (7)
ṗ =
(d1p+ d0)
A1
√
(b3p+ b2)(c2p2 + c1p+ c0). (22)
Рассмотрим численный пример решения (17), (21), (22) уравнений (3), (4).
Пусть
A2 = a, B3 = b, a1 =
a
b
, h = 3 (a > 0, b > 0). (23)
Тогда из (21) получим
A1 =
5(25 + 7δ0)a
702
, A3 =
(67 + 25δ0)a
702
,
B1 = b, B2 =
5(2δ0 − 43)b
234
, (C3 − C2) =
b2
a
, C1 = C3,
λ =
(
5(421 + 43δ0)a
2
37908bf
, 0, 0
)
, s =
(
−
(457 + 25δ0)a
6318f
, 0, 0
)
.
(24)
33
А.В. Зыза
Решение (17) примет вид
q = p
√
Q̃∗(p), r =
√
R(p), (25)
ν1 = 3fp2 +
a
b
p+
5(23δ0 − 382)a2
972b2f
, ν2 =
(
−
a
b
p−
5(1 + δ0)a
2
324b2f
)
√
Q̃∗(p),
ν3 =
(
fp+
5(δ0 − 8)a
54b
)
√
R(p);
Q̃∗(p) = −
8fb
a
p+
140δ0 − 751
81
;
R(p) = −9p2 +
(5δ0 − 34)a
3fb
p+
5(37δ0 − 341)a2
162b2f2
.
В соотношениях из (24), (25) обозначено
δ0 =
√
82, f =
5a2
2916b2
√
5(165838δ0 − 1437071).
ṗ = (d1p+ d0)A
−1
1
√
Q̃∗(p)R(p), (26)
d1 = −
5(25 + 7δ0)a
4212
, d0 = −
25(599 + 32δ0)a
2
227448bf
,
где
(5δ0 − 34−
√
30δ0 − 204)a
54bf
< p <
(5δ0 − 34 +
√
30δ0 − 204)a
54bf
.
На указанном интервале функции Q̃∗(p) и R(p) принимают положительные
значения. Следовательно, действительность решения (23)–(26) установлена.
В приведенном примере (23)–(26) решения дифференциальных уравне-
ний (3), (4) присутствуют произвольные положительные параметры a и b.
Функция p = p(t) находится обращением эллиптического интеграла Лежанд-
ра третьего рода, полученного из (26). Это позволяет установить из (25) за-
висимость от времени всех переменных задачи.
Выводы. Исследованы условия существования обобщенного класса по-
линомиальных решений уравнений Кирхгофа–Пуассона. Построены два но-
вых решения этих уравнений. В первом решении квадраты проекций угло-
вой скорости на небарицентрические оси являются многочленами четвертой
степени от компоненты вектора угловой скорости на барицентрическую ось,
которая выражается в виде гиперэллиптической функции времени. Структу-
ра второго решения такова: квадраты второй и третьей компоненты векто-
ра угловой скорости являются полиномами третьего и второго порядков, со-
ответственно, от первой компоненты этого вектора, которая находится обра-
щением эллиптического интеграла Лежандра.
34
Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона
1. Klein F., Sommerfeld A. Über die Theorie des Kreisels. – New York: Johnson reprint corp.,
1965. – 996 p.
2. Харламов П.В. Современное состояние и перспективы развития классических задач
динамики твердого тела // Механика твердого тела. – 2000. – Вып. 30. – С. 1–13.
3. Гашененко И.Н., Горр Г.В., Ковалев А.М. Классические задачи динамики твердого
тела. – Киев: Наук. думка, 2012. – 401 с.
4. Горр Г.В., Ковалев А.М. Движение гиростата. – Киев: Наук. думка, 2013. – 408 с.
5. Горр Г.В., Зыза А.В. Полиномиальные решения в одной задаче о движении гиростата
с неподвижной точкой // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 1998. – № 6. – С. 12–21.
6. Зыза А.В. Один случай полиномиальных решений уравнений Кирхгофа–Пуассона //
Механика твердого тела. – 2010. – Вып. 40. – С. 103–109.
7. Зыза А.В. Новое решение уравнений движения гиростата под действием потенциаль-
ных и гироскопических сил // Тр. ИПММ НАНУ. – 2012. – 25. – С. 92–99.
8. Зыза А.В. О полиномиальных решениях с квадратичным инвариантным соотноше-
нием уравнений движения гиростата // Механика твердого тела. – 2013. – Вып. 43. –
С. 29–38.
9. Зыза А.В. Полиномиальное решение с линейным инвариантным соотношением урав-
нений Кирхгофа–Пуассона // Механика твердого тела. – 2015. – Вып. 45. – С. 63–69.
10. Зыза А.В. Новое решение уравнений движения гиростата в магнитном поле // Тр.
ИПММ. – 2015. – 29. – С. 51–59.
11. Зыза А.В., Ткаченко Д.Н. Полиномиальные решения в задаче о движении гиростата
в магнитном поле // Механика твердого тела. – 2016. – Вып. 46. – С. 55–63.
12. Горр Г.В., Мазнев А.В. Динамика гиростата, имеющего неповижную точку. – Донецк:
Изд-во ДонНУ, 2010. – 364 с.
13. Харламов П.В. О движении в жидкости тела, ограниченного многосвязной поверхнос-
тью // Журн. прикл. механики и техн. физики. – 1963. – № 4. – С. 17–29.
А.V. Zyza
Integration of Kirchhoff–Poisson equations on polynomial invariant relations
We consider existence conditions for a special class of polynomial solutions of Kirchhoff–Poisson
equations in the problem about gyrostat under potential and gyroscopic forces. New cases of
integrability of this problem are obtained based on the investigation of reduced equations.
Keywords: polynomial solutions, gyrostat, Kirchhoff–Poisson equation, potential and gyroscopic
forces.
ГОУ ВПО “Донецкий национальный ун-т”
z9125494@mail.ru
Получено 22.09.17
35
|