Частное решение задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа
В задаче о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа, соединенных сферическим шарниром, найдено решение, в котором угловая скорость одного из тел неподвижна в пространстве и коллинеарна моменту количества движения системы тел. Для этого решения получены явные зависимости от времени всех переменны...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2017
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140939 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Частное решение задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа / М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2017. — Вип 47. — С. 66-77. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-140939 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1409392025-02-23T18:19:35Z Частное решение задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа A particular solution of the problem of the inertial motion of two Lagrange gyroscopes Лесина, М.Е. Зиновьева, Я.В. В задаче о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа, соединенных сферическим шарниром, найдено решение, в котором угловая скорость одного из тел неподвижна в пространстве и коллинеарна моменту количества движения системы тел. Для этого решения получены явные зависимости от времени всех переменных задачи, уравнения подвижных и неподвижных аксоидов. В указанном решении центр шарнира описывает пространствен- In the problem of inertial motion of two Lagrange gyroscopes connected by a spherical hinge, a solution is found in which the angular velocity of one of the bodies is stationary in space and collinear with the momentum of the system of bodies. For this solution, explicit dependences on the time of all the variables of the problem, the equations of moving and fixed axoids are obtained. In this solution, the hinge center describes a spatial curve. 2017 Article Частное решение задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа / М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2017. — Вип 47. — С. 66-77. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140939 531.38 ru Механика твердого тела application/pdf Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В задаче о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа, соединенных сферическим шарниром, найдено решение, в котором угловая скорость одного из тел неподвижна в пространстве и коллинеарна моменту количества движения системы тел. Для этого решения получены явные зависимости от времени всех переменных задачи, уравнения подвижных и неподвижных аксоидов. В указанном решении центр шарнира описывает пространствен- |
| format |
Article |
| author |
Лесина, М.Е. Зиновьева, Я.В. |
| spellingShingle |
Лесина, М.Е. Зиновьева, Я.В. Частное решение задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа Механика твердого тела |
| author_facet |
Лесина, М.Е. Зиновьева, Я.В. |
| author_sort |
Лесина, М.Е. |
| title |
Частное решение задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа |
| title_short |
Частное решение задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа |
| title_full |
Частное решение задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа |
| title_fullStr |
Частное решение задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа |
| title_full_unstemmed |
Частное решение задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа |
| title_sort |
частное решение задачи о движении по инерции двух гироскопов лагранжа |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140939 |
| citation_txt |
Частное решение задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа / М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2017. — Вип 47. — С. 66-77. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT lesiname častnoerešeniezadačiodviženiipoinerciidvuhgiroskopovlagranža AT zinovʹevaâv častnoerešeniezadačiodviženiipoinerciidvuhgiroskopovlagranža AT lesiname aparticularsolutionoftheproblemoftheinertialmotionoftwolagrangegyroscopes AT zinovʹevaâv aparticularsolutionoftheproblemoftheinertialmotionoftwolagrangegyroscopes |
| first_indexed |
2025-11-24T06:27:56Z |
| last_indexed |
2025-11-24T06:27:56Z |
| _version_ |
1849652073433399296 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2017. Вып. 47
УДК 531.38
c©2017. М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева
ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ПО ИНЕРЦИИ
ДВУХ ГИРОСКОПОВ ЛАГРАНЖА
В задаче о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа, соединенных сферическим
шарниром, найдено решение, в котором угловая скорость одного из тел неподвижна в про-
странстве и коллинеарна моменту количества движения системы тел. Для этого решения
получены явные зависимости от времени всех переменных задачи, уравнения подвижных
и неподвижных аксоидов. В указанном решении центр шарнира описывает пространствен-
ную кривую.
Ключевые слова: система гироскопов Лагранжа, упругий сферический шарнир, подвиж-
ные и неподвижные аксоиды тел.
Постановка рассматриваемой в статье задачи дана в [1]. Ряд ее точных
решений на задаваемых инвариантных соотношениях (ИС) и условиях на
параметры получен в [1–8].
Данная статья является продолжением работы [8].
1. Исходные соотношения. В качестве уравнений движения по инер-
ции двух гироскопов Лагранжа S, S0, соединенных сферическим шарниром,
как и в [8], выбрана следуюшая система [1]:
Ġ1 = ω3G2 − ω2G3, Ġ2 = ω1G3 − ω3G1, Ġ3 = ω2G1 − ω1G2, (1)
здесь g = G1e1 + G2e2 + G3e3 – момент количества движения системы тел,
ω = ω1e1 + ω2e2 + ω3e3 – угловая скорость полуподвижного базиса Oe1e2e3,
связанного с телом S;
G1 = (A−N cos θ)ω1 + (A0 −N cos θ)Ω1,
G2 = (A−N cos θ)ω2 + (A0 cos θ −N)Ω2 − n0 sin θ,
G3 = (A0Ω2 −Nω2) sin θ + n+ n0 cos θ;
(2)
Ω = Ω1e1 +Ω2e02 +Ω3e03 – угловая скорость полуподвижного базиса Oe1e02e
0
3,
связанного с телом S0, который повернут на угол θ относительно Oe1e2e3.
Величины ωi и Ωi связаны соотношениями (4)∗, (5)∗
1 Угловые скорости
тел S и S0 таковы
ω∗ = ω1e1 + ω2e2 + (ω3 + ϕ̇)e3, (3)
Ω∗ = Ω1e1 +Ω2e02 + (Ω3 + Φ̇)e03, (4)
1Номера формул работы [8] снабжены звездочкой.
66
Частное решение задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа
ϕ̇, Φ̇ – скорости собственных вращений тел вокруг их осей динамической
симметрии Oe3 и Oe03. Для этой задачи в [1] найдены циклические интегралы
J(ω3 + ϕ̇) = n, J0(Ω3 + Φ̇) = n0, (5)
интеграл постоянства модуля момента количества движения системы тел
G2
1 +G2
2 +G2
3 = g2 (6)
и интеграл сохранения энергии системы
A(ω2
1 + ω2
2) +A0(Ω
2
1 +Ω2
2)− 2N(Ω1ω1 cos θ +Ω2ω2) + 2Π(θ) = 2h. (7)
Здесь J, J0 – осевые моменты тел; Π(θ) – потенциальная энергия упругого
элемента, N =
mm0
m+m0
ll0, A = B +
mm0
m+m0
l2, A0 = B0 +
mm0
m+m0
l20, B, B0
– экваториальные моменты; m,m0 – массы тел S и S0; l, l0 – расстояния от
точки O (точки пересечения осей Oe3 и Oe03) до центров масс тел C,C0.
2. Инвариантное соотношение. Зададим инвариантное соотношение
в виде
G3 = 0, (8)
тогда из (6) следует
G1 = g cosα, G2 = g sinα. (9)
Подставив эти значения в (1), находим
α̇ = −ω3, (10)
g(ω2 cosα− ω1 sinα) = 0. (11)
Вариант g = 0 изучен в монографии [1]. Полагая g 6= 0, из (11) находим
ω1 = σ cosα, ω2 = σ sinα. (12)
Из уравнений (15)∗ − (17)∗ определим σ, α̇, θ̇:
σ∆∗ = −
[
A0g sin θ sinα+ (A0 cos θ −N)n+ (A0 −N cos θ)n0
]
sin θ,
α̇∆∗ = −
[
(A0 cos θ −N)g sin θ sin α̇+ (A+A0 cos
2 θ − 2N cos θ)n+
+(A cos θ +A0 cos θ −N −N(cos θ)2)n0
]
sinα,
θ̇ =
[
g − (A+A0 − 2N cos θ)σ
]
(A0 −N cos θ)
cosα,
(13)
где
∆∗ = −(AA0 −N2) sin2 θ sinα.
67
М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева
Полученное в [8] уравнение Абеля второго рода (25)∗ устанавливает связь
между переменными α и θ:
dχ
du
= −
[A0Ngχ− (A−Nu)A0n+ (A0 −Nu)Nn0]χ
(A2
0 − 2A0Nu+N2)gχ+ (A+A0 − 2Nu)[(A0u−N)n+ (A0 −Nu)n0
] ,
(14)
где
χ = sin θ sinα, (15)
u = cos θ. (16)
Вариант, когда одно из тел закреплено в центре масс (N = 0) и цикли-
ческая постоянная n = 0, уравнение (14) имеет решение χ = const, изучен
в работе [8]. Изучим вариант, когда N 6= 0, а обе циклические постоянные
равны нулю
n = n0 = 0. (17)
При этих условиях угловые скорости движения тел перпендикулярны осям
их динамической симметрии. Из (5) следует, что
ω3 + ϕ̇ = 0, Ω3 + Φ̇ = 0.
При условиях (17) уравнение (14)
dχ
du
=
−A0Nχ
A2
0 − 2A0Nu+N2
имеет решение
χ(u) =
c∗
A0
√
A2
0 − 2A0Nu+N2, которое, вследствие (15), (16), можно запи-
сать в виде
sinα =
c∗
√
1 + b2 − 2bu
√
1− u2
, (18)
где b =
N
A0
, c∗ – постоянная интегрирования, в дальнейшем будем рассматри-
вать значения параметров |b| < 1, |c∗| < 1.
Подставив условия (17) и соотношение (18) в (13), находим
σ =
A0g
AA0 −N2
,
α̇ =
σc∗(u− b)
√
1 + b2 − 2bu
1− u2
, (19)
θ̇ =
−σ(1 + b2 − 2bu) cosα
1− bu
. (20)
Продифференцировав (16) с учетом (18), (20), имеем
u̇ =
σ(1 + b2 − 2bu)
√
1− u2 − c2
∗
(1 + b2 − 2bu)
1− bu
. (21)
68
Частное решение задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа
Запишем переменные Ωi, для этого внесем (18), (20) в (13)∗, (14)∗:
Ω1(u) =
σb(u− b)
1− bu
√
1−
c2
∗
(1 + b2 − 2bu)
1− u2
, (22)
Ω2(u) =
σbc∗
√
1 + b2 − 2bu
√
1− u2
, Ω3(u) =
−σc∗(1− bu)
√
1 + b2 − 2bu
1− u2
. (23)
Из интеграла энергии (7) после подстановки в него (12), (22), (23), (16), (18)
получим
2Π(u) = 2h∗ +A0σ
2
[
2(1− bu) +
4(1− b2)(1− b2c2
∗
)
1− bu
−
(1− b2)2(1− b2c2
∗
)
(1− bu)2
]
,
где 2h∗ – новая постоянная интеграла.
Из уравнения (21) определим связь времени t с u в виде
σt =
γ
2
+ arctg
(1 + b2 − 2b2c2
∗
) tg γ
2 − 2bD
1− b2
, (24)
где
γ = arcsin
u− bc2
∗
D
, D2 = (1− c2
∗
)(1− b2c2
∗
).
После преобразований из (24) получаем
tg(σt+ δ) =
u− b
√
1− u2 − c2
∗
(1 + b2 − 2bu)
, (25)
а из (18), (25) следует
cosα =
√
1− c2
∗
cos(σt+ δ)
√
c2
∗
+ (1− c2
∗
) cos(σt+ δ)
; (26)
здесь введено обозначение
tg δ = b
√
1− c2
∗
1− b2c2
∗
.
Из (25) находим зависимость u от t в виде
u(t) = b+
∆(t)
b
(1− b2c2
∗
) tg δ sin(σt+ δ), (27)
где
∆(t) =
√
1− tg2 δ cos2(σt+ δ) − tg δ sin(σt+ δ).
69
М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева
Теперь можно представить зависимости основных переменных Ωi в виде яв-
ных функций времени:
Ω1(t) =
σ
√
1− c2
∗
tg δ sin(σt+ δ) cos(σt+ δ)
√
1− tg2 δ cos2(σt+ δ)
√
c2
∗
+ (1− c2
∗
) cos2(σt+ δ)
, (28)
Ω2(t) =
bc∗σ
√
c2
∗
+ (1− c2
∗
) cos2(σt+ δ)
, (29)
Ω3(t) = −c∗σ
√
1− b2c2
∗
√
1− tg2 δ cos2(σt+ δ)
c2
∗
+ (1− c2
∗
) cos2(σt+ δ)
.
Найдем компоненты угловых скоростей (3), (4) тел S и S0 в неизменно
связанных с ними базисах с учетом условий (17):
ω∗
1 = ω1 cosϕ+ ω2 sinϕ, ω∗
2 = −ω1 sinϕ+ ω2 cosϕ, (30)
ω∗
3 = ω3 + ϕ̇ = 0, (31)
Ω∗
1 = Ω1 cos Φ + Ω2 sinΦ, Ω∗
2 = −Ω1 sinΦ + Ω2 cos Φ, (32)
Ω∗
3 = Ω3 + Φ̇ = 0. (33)
Из (31), (10) имеем ϕ̇− α̇ = 0, откуда следует
ϕ = α. (34)
Подставив (34), (12) в (30), получим
ω∗
1 = σ, ω∗
2 = 0, ω∗
3 = 0, (35)
т. е. угловая скорость тела S сохраняет направление в теле и в пространстве.
Аналогично получаем
G∗
1 = g, G∗
2 = 0, G∗
3 = 0, (36)
т. е. векторы g и ω
∗ коллинеарны. Из (33), (25) имеем
dΦ
dt
=
c∗σ
√
1− b2c2
∗
√
1− tg2 δ cos2(σt+ δ)
c2
∗
+ (1− c2
∗
) cos2(σt+ δ)
, (37)
откуда
Φ(t) = c∗
√
1− b2c2
∗
∫
√
1− tg2 δ cos2(σt+ δ)
c2
∗
+ (1− c2
∗
) cos2(σt+ δ)
σ dt , (38)
очевидно, что Φ(t) – эллиптическая функция от времени.
Таким образом, величины (35), (36), (32), (28), (29), (38) определяют за-
висимость основных переменных задачи от времени t в базисах, неизменно
связанных с телами S и S0.
70
Частное решение задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа
3. Подвижные аксоиды тел. Вначале запишем уравнение подвижно-
го аксоида [1] тела S
ξ(µ, t) =
µω∗
ω∗
+
ω∗ × v∗
ω2
∗
,
где µ – параметр, ω∗ – угловая скорость тела S, v∗ – скорость центра шарнира
O, указываемого вектором r∗ = C∗O, C∗ – центр масс системы тел. В [1] для
r∗ и v∗ получены соотношения
r∗ = −ae3 − a0e03,
v∗ = −a(ω2e1 − ω1e2)− a0(Ω2e1 − Ω1e02),
a =
ml
m+m0
, a0 =
m0l0
m+m0
.
Понадобятся представления векторов r∗, v∗ в базисах Oe1e2e3 и Oe1e02e
0
3.
Базис Oe1e02e
0
3 повернут на угол θ относительно Oe1e2e3, следовательно,
e02 = e2 cos θ + e3 sin θ, e03 = −e2 sin θ + e3 cos θ. (39)
Тогда
r∗ = e2a0 sin θ − e3(a+ a0 cos θ) = −e02a0 sin θ − e03(a cos θ + a0),
v∗ = v1e1 + v2e2 + v3e3, v∗ = v1e1 + v02e
0
2 + v03e
0
3,
(40)
здесь
v1 = −aω2 − a0Ω2, v2 = aω1 + a0Ω1 cos θ, v3 = a0Ω1 sin θ, (41)
v02 = aω1 cos θ + a0Ω1, v03 = −a0ω1 sin θ. (42)
Запишем представление вектора v∗ в базисе Oe∗1e
∗
2e3 с учетом (34)
v∗ = v∗1e
∗
1 + v∗2e
∗
2 + v∗3e3,
где
v∗1 = v1 cosα+ v2 sinα, v∗2 = −v1 sinα+ v2 cosα, v∗3 = v3. (43)
Внесем (41) в (43), получим
v∗1 = a(−ω2 cosα+ ω1 sinα)− a0(Ω2 cosα+Ω1u sinα),
v∗2 = a(ω2 sinα+ ω1 cosα) + a0(Ω2 sinα+Ω1u cosα),
v3 = a0Ω1
√
1− u2.
Подставим в них (12), (22), (23), (18), находим
v∗1(u) =
−a0bσc∗
1− bu
√
1 + b2 − 2bu
√
1− u2 − c2
∗
(1 + b2 − 2bu),
71
М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева
v∗2(u) = (a+ a0b)σ −
a0bσ
1− bu
[1− u2 − c2
∗
(1 + b2 − 2bu)],
v3(u) =
a0bσ(u− b)
1− bu
√
1− u2 − c2
∗
(1 + b2 − 2bu),
которые с учетом (27) принимают вид
v∗1(t) = −a0c∗σ
√
1− b2c2
∗
∆(t)
tg δ cos(σt+ δ)
√
1− tg2 δ cos2(σt+ δ)
,
v∗2(t) = (a+ a0b)σ −
a0σ
b
(1− b2c2
∗
)∆(t)
tg2 δ cos2(σt+ δ)
√
1− tg2 δ cos2(σt+ δ)
,
v3(t) =
a0σ
b
(1− b2c2
∗
)∆(t)
tg2 δ sin(σt+ δ) cos(σt+ δ)
√
1− tg2 δ cos2(σt+ δ)
.
(44)
Так как векторы ω
∗(t) и v∗(t) определены соотношениями (35), (44), получим
компоненты подвижного аксоида тела S в этом базисе:
ξ(µ, t) = ξ∗1(µ, t)e
∗
1 + ξ∗2(µ, t)e
∗
2 + ξ3(µ, t)e3,
ξ∗1 = µ, ξ∗2(t) =
−a0 tg δ cos(σt+ δ)
√
1− tg2 δ cos2(σt+ δ)
,
ξ3(t) = a+ a0b−
a0
b
(1− b2c2
∗
)∆(t)
tg2 δ cos2(σt+ δ)
√
1− tg2 δ cos2(σt+ δ)
.
(45)
Таким образом, соотношениями (45) определен подвижный аксоид тела S.
Подвижный аксоид тела S0 имеет вид
ξ
0 = µ
Ω∗
Ω∗
+
Ω∗ × v∗
Ω2
∗
. (46)
Представим его в полуподвижном базисе
ξ
0(µ, t) = ξ01(µ, t)e1 + ξ02(µ, t)e
0
2 + ξ03(µ, t)e
0
3.
Внесем (4), (17), (42) в (46) и получим
ξ01 = µ
Ω1
Ω∗
+
Ω2v
0
3
Ω2
∗
, ξ02 = µ
Ω2
Ω∗
−
Ω1v
0
3
Ω2
∗
, ξ03 = a0 +
a
Ω2
∗
(Ω1ω1u+ ω2Ω2).
Представим v03 и Ω1ω1u + ω2Ω2 как явные функции времени, для этого вос-
пользуемся соотношениями (42) и (26) – (29):
v03 =
−a0σ(1− b2c2
∗
)∆(t)
b
tg δ cos(σt+ δ),
Ω1ω1u+ ω2Ω2 = bσ2 −
σ2
b
(1− b2c2
∗
)∆(t)
tg2 δ cos2(σt+ δ)
√
1− tg2 δ cos2(σt+ δ)
.
(47)
72
Частное решение задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа
Отметим, что Ω2
∗
= Ω2
1 +Ω2
2, с учетом (28), (29), имеет вид
Ω2
∗
(t) = σ2 b
2 − tg2 δ cos2(σt+ δ)
1− tg2 δ cos2(σt+ δ)
. (48)
Компоненты подвижного аксоида в полуподвижном базисе таковы:
ξ01(µ, t) = µ
Ω1(t)
Ω∗(t)
+
Ω2(t)v
0
3(t)
Ω2
∗
(t)
, ξ02(µ, t) = µ
Ω2(t)
Ω∗(t)
−
Ω1(t)v
0
3(t)
Ω2
∗
(t)
,
ξ03(t) = a0 +
a
Ω2
∗
(t)
[
bσ2 −
σ2
b
(1− b2c2
∗
)∆(t)
tg2 δ cos2(σt+ δ)
√
1− tg2 δ cos2(σt+ δ)
]
.
(49)
В неизменно связанном с телом S0 базисе Oe0∗1 e0∗2 e0∗3 компоненты векторов
Ω∗ и ξ
0 имеют вид
Ω∗
1 = Ω1 cos Φ + Ω2 sinΦ, Ω∗
2 = −Ω1 sinΦ + Ω2 cos Φ, Ω∗
3 = 0, (50)
ξ0∗1 = ξ01 cos Φ + ξ02 sinΦ, ξ0∗2 = −ξ01 sinΦ + ξ02 cos Φ, ξ0∗3 = ξ03 . (51)
С учетом (50) соотношения (51) принимают вид
ξ0∗1 (µ, t) = µ
Ω∗
1(t)
Ω∗(t)
+
Ω∗
2(t)v
0
3(t)
Ω2
∗
(t)
, (52)
ξ0∗2 (µ, t) = µ
Ω∗
2(t)
Ω∗(t)
−
Ω∗
1(t)v
0
3(t)
Ω2
∗
(t)
. (53)
Соотношениями (52), (53), (49) определены компоненты подвижного аксоида
тела S0 в неизменно связанном с ним базисе. В этих соотношениях величины
Ω∗
1(t), Ω
∗
2(t), Ω∗(t) и v03(t) определяются функциями (28), (29), (38), (47), (48).
4. Неподвижный базис. Так как вектор ω∗ коллинеарен вектору g,
его нельзя использовать для построения неподвижного базиса. Поэтому в
алгоритме П.В.Харламова [9] будем использовать векторы Ω∗ и g. Вначале
вводим базис C∗eνeρeβ соотношениями
eν =
g
g
, eρ =
(eν ×Ω∗)× eν
Ωρ
, eβ =
eν ×Ω∗
Ωρ
.
Так как Ω∗ представлен в базисе Oe1e02e
0
3, в этом базисе запишем вектор eν ,
воспользовавшись формулами перехода (39), (8), (9):
eν = e1 cosα+ e02 sinα cos θ − e03 sinα sin θ, (54)
eρ =
−e1b sinα cosα sin θ + e02 sin θ(1− bu sin2 α) + e03[u− b+ b(1− u2 sin2 α)]
√
1− b2c2
∗
√
1 + b2 − 2bu
,
(55)
73
М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева
eβ =
e1(1− bu) sinα− e02(u− b) cosα+ e03 sin θ cosα
√
1− b2c2
∗
√
1 + b2 − 2bu
. (56)
Понадобятся компоненты векторов Ω∗, v∗(t), r∗(t) в этом базисе
Ων = Ω∗ · eν , Ωρ = Ω∗ · eρ, (57)
rν = r∗ · eν , rρ = r∗ · eρ, rβ = r∗ · eβ , (58)
vν = v∗ · eν , vρ = v∗ · eρ, vβ = v∗ · eβ . (59)
Внесем (22), (23), (54), (55) в (57), получим
Ων =
bσ[u− b+ bc2
∗
(1 + b2 − 2bu)]
1− bu
, (60)
Ωρ =
bσc∗
√
1− b2c2
∗
(1 + b2 − 2bu)
1− bu
, (61)
а подставив в них (27), находим Ων(t), Ωρ(t) в виде
Ων(t) = σ
tg δ sin(σt+ δ) + b2c2
∗
∆(t)
√
1− tg2 δ cos2(σt+ δ)
, Ωρ(t) = σ
bc∗
√
1− b2c2
∗
∆(t)
√
1− tg2 δ cos2(σt+ δ)
.
Базис C∗eνeρeβ вращается вокруг вектора eν с угловой скоростью β̇, которая
определяется по формуле β̇Ω2
ρ = eν · (Ω∗ × Ω̇∗). Продифференцируем Ω∗
1(t),
Ω∗
2(t), учтем (37), получим β̇Ω2
ρ = Ω2(Ω̇1 − Ω2Ω3) sinα sin θ, откуда
β̇ =
(1− b2)σ
1− bu
. (62)
Внесем (27) в (62), получим
β̇ = σ +
σ tg δ sin(σt+ δ)
√
1− tg2 δ cos2(σt+ δ)
,
откуда
β(t) = σt− arcsin(tg δ cos(σt+ δ)).
После преобразований находим
sin β = − tg δ cos(σt+ δ) cos σt+
√
1− tg2 δ cos2(σt+ δ) sinσt,
cos β = tg δ cos(σt+ δ) sin σt+
√
1− tg2 δ cos2(σt+ δ) cos σt.
(63)
Неподвижный базис C∗E1E2E3 таков:
E1 = eν , E2 = eρ cosβ − eβ sinβ, E3 = eρ sin β + eβ cos β, (64)
где eρ = E2 cos β−E3 sin β, eβ = E2 sin β+E3 cos β. Угловая скорость тела
S0 в неподвижном базисе представима в виде
Ω∗ = ΩνE1 +Ωρ cos βE2 +Ωρ sin βE3. (65)
74
Частное решение задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа
Запишем вектор r∗ в базисе Oe1e02e
0
3 с учетом формулы (39):
r∗ = −e02a0 sin θ − e03(a cos θ + a0). (66)
Подставив (66), (40), (54) – (56) в (58), (59), находим
rν = a0c∗
√
1 + b2 − 2bu,
rρ =
−(ab+ a0)
√
1− u2 − c2
∗
(1 + b2 − 2bu)
√
1− b2c2
∗
√
1 + b2 − 2bu
,
rβ =
−a(1− bu)− a0[u− b+ bc2
∗
(1 + b2 − 2bu)]
(1− b2c2
∗
)∆
;
(67)
vβ =
a0bσ(1− b2)[1 − u2 − c2
∗
(1 + b2 − 2bu)]
√
1− b2c2
∗
√
1 + b2 − 2bu(1− bu)
,
vν =
−a0bσc∗
√
1 + b2 − 2bu
√
1− u2 − c2
∗
(1 + b2 − 2bu)u2
1− u2
,
vρ =
a0bσ
√
1− u2 − c2
∗
(1 + b2 − 2bu)[−2b+ (1 + b2)u+ bc2
∗
(1 + b2 − 2bu)]
√
1− b2c2
∗
√
1 + b2 − 2bu(1− bu)
.
(68)
Согласно (64), компоненты вектора r∗ в неподвижном базисе имеют вид
X = rν , Y = rρ cos β − rβ sinβ, Z = rρ sinβ + rβ cos β. (69)
Подставив (27) в (67), внесем их в (69) и получим уравнения
X(t) = a0c∗
√
1− b2c2
∗
∆(t),
Y (t) = −
(
a+
a0
b
)
cos σt+
a0
b
(1− b2c2
∗
)∆(t) cos β(t),
Z(t) = −
(
a+
a0
b
)
sinσt+
a0
b
(1− b2c2
∗
)∆(t) sin β(t),
(70)
которые представляют собой параметрические уравнения точки O. Впервые
в этой задаче точка O движется по пространственной кривой, это движение
обеспечивается потенциальной энергией упругого элемента.
Так как v∗ = ṙ∗, то v∗ = Ẋ(t)E1 + Ẏ (t)E2 + Ż(t)E3,
v1(t) = Ẋ(t), v2(t) = Ẏ (t), v3(t) = Ż(t). (71)
5. Неподвижные аксоиды. Неподвижный аксоид тела S имеет вид [1]
ζ(µ, t) = r∗(t) +
µω∗
ω∗
+
ω∗ × v∗
ω2
∗
.
75
М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева
Векторы r∗(t), ω∗ в неподвижном пространстве заданы соотношениями (35),
(70), а компоненты вектора v∗(t) – (71), поэтому можем записать
ζ(µ, t) = r∗(t) + µE1 −
v3
σ
E2 +
v3
σ
E3,
ζ1(µ, t) = µ+X(t), ζ2(µ, t) = Y (t)−
v3
σ
, ζ3(µ, t) = Z(t) +
v3
σ
.
(72)
Уравнениями (72) задан неподвижный аксоид тела S. В своем движении под-
вижный аксоид (45) тела S катится по неподвижному аксоиду (72). Это дви-
жение сопровождается скольжением вдоль общей образующей аксоидов со
скоростью Vc =
ω∗v∗
ω∗
, которая, с учетом (35), (71), такова: Vc = vν(t) = Ẋ(t).
Неподвижный аксоид тела S0 записывается аналогично:
ζ
0(µ, t) = r∗(t) +
µΩ∗
Ω∗
+
Ω∗ × v∗
Ω2
∗
. (73)
Его представление в неподвижном базисе
ζ
0(µ, t) = ζ01 (µ, t)E1 + ζ02 (µ, t)E2 + ζ03 (µ, t)E3
получим, подставив (70), (71), (65) в (73):
ζ01 (µ, t) = X(t) + µ
Ων(t)
Ω∗(t)
cos β(t) +
Ωρ(t)
Ω2
∗
(t)
[Ż(t) cos β(t)− Ẏ (t) sin β(t)],
ζ02 (µ, t) = Y (t) + µ
Ωρ(t)
Ω∗(t)
cos β(t) +
1
Ω2
∗
(t)
[−Ων(t)Ż(t) + Ωρ(t)Ẋ(t) sin β(t)],
ζ03 (µ, t) = Z(t) + µ
Ωρ(t)
Ω∗(t)
sinβ(t) +
1
Ω2
∗
(t)
[Ων(t)Ẏ (t)− Ωρ(t)Ẋ(t) cos β(t)].
В результате подстановки (70), (71) находим
ζ01 (µ, t) = µ
Ων(t)
Ω∗(t)
−
abc∗
√
1− b2c2
∗
∆(t)
b2 − tg2 δ cos2(σt+ δ)
[
1− tg2 δ cos2(σt+ δ)
]
,
ζ02 (µ, t) = µ
Ωρ(t)
Ω∗(t)
cos β(t) +
a(1− b2c2
∗
)∆(t) tg δ sin(σt+ δ) cos σt
b2 − tg2 δ cos2(σt+ δ)
,
ζ03 (µ, t) = µ
Ωρ(t)
Ω∗(t)
sin β(t) +
a(1− b2c2
∗
)∆(t) tg δ sin(σt+ δ) sin σt
b2 − tg2 δ cos2(σt+ δ)
,
(74)
где
Ων(t)
Ω∗(t)
=
tg δ sin(σt+ δ) + b2c2
∗
∆(t)
√
b2 − tg2 δ cos2(σt+ δ)
,
Ωρ(t)
Ω∗(t)
=
bc∗
√
1− b2c2
∗
∆(t)
√
b2 − tg2 δ cos2(σt+ δ)
;
cos β(t), sin β(t) определены соотношениями (63).
Вычислим скорость скольжения подвижного аксоида тела S0 по непод-
вижному V 0
C =
Ω∗ · v∗
Ω∗
, которая, вследствие (60), (61), (68), (27), такова:
76
Частное решение задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа
V 0
C =
abc∗
√
1− b2c2
∗
∆(t) tg δ cos(σt+ δ)
√
b2 − tg2 δ cos2(σt+ δ)
. (75)
При движении тела S0 его подвижный аксоид (52), (53), (49) катится по
неподвижному аксоиду (74), это движение сопровождается скольжением со
скоростью (75).
Таким образом, угловая скорость тела S описывает цилиндрическую по-
верхность, образующая которой параллельна вектору E1 = e∗1, а направляю-
щей является пространственная кривая (70).
1. Лесина М.Е. Точные решения двух новых задач аналитической динамики систем со-
члененных тел. – Донецк: ДонГТУ, 1996. – 238 с.
2. Лесина М.Е., Зиновьева Я.В. Решение уравнения Абеля на инвариантном соотношении
специального вида // Механика твердого тела. – 2005. – Вып. 35. – С. 58–62.
3. Лесина М.Е., Зиновьева Я.В. Новое точное решение задачи о движении двух гироско-
пов Лагранжа, сочлененных упругим сферическим шарниром // Механика твердого
тела. – 2006. – Вып. 36. – С. 41–50.
4. Лесина М.Е., Зиновьева Я.В. Редукция системы двух уравнений с переменными коэф-
фициентами к уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами и построе-
ние нового решения задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа // Сб.
науч. тр. НГУ. – 2007. – Вып. 29. – С. 120–129.
5. Лесина М.Е., Зиновьева Я.В. Частное решение уравнения Абеля для случая, когда
одно из тел закреплено в центре масс // Сб. науч.-метод. работ. – Донецк: ДонНТУ,
2006. – Вып. 4. – С. 80–91.
6. Лесина М.Е., Зиновьева Я.В. Частное решение задачи о движении по инерции двух
гироскопов Лагранжа // Сб. науч.-метод. работ. – Донецк: ДонНТУ, 2007. – Вып. 5. –
С. 32–42.
7. Лесина М.Е., Зиновьева Я.В. Частное решение уравнений движения системы двух
гироскопов Лагранжа при одном условии, связывающем циклические постоянные //
Сб. науч.-метод. работ. – Донецк: ДонНТУ, 2007. – Вып. 5. – С.42–64.
8. Лесина М.Е., Зиновьева Я.В. Новое точное решение задачи о движении по инерции
двух гироскопов Лагранжа // Механика твердого тела. – См. статью в наст. сб. –
С. 55–65.
9. Харламов П.В. Кинематическое истолкование движения тела, имеющего неподвижную
точку // Прикл. математика и механика. – 1964. – 28, №3. – С. 502–507.
M.E.Lesina, Ya.V. Zinovjeva
A particular solution of the problem of the inertial motion of two Lagrange
gyroscopes
In the problem of inertial motion of two Lagrange gyroscopes connected by a spherical hinge, a
solution is found in which the angular velocity of one of the bodies is stationary in space and
collinear with the momentum of the system of bodies. For this solution, explicit dependences
on the time of all the variables of the problem, the equations of moving and fixed axoids are
obtained. In this solution, the hinge center describes a spatial curve.
Keywords: Lagrange gyroscopes system, elastic spherical hinge, movable and immovable axoids
of bodies.
ГУ “Ин-т прикл. математики и механики”, Донецк;
ГОУ ВПО “Донецкий национальный техн. ун-т”
zinovjevayana@gmail.com
Получено 09.10.17
77
|