Устойчивость стационарных решений уравнений многотоковой модели синхронного гироскопа в кардановом подвесе
Изучается динамика гироскопа в кардановом подвесе, имеющего вертикальную наружную ось подвеса и снабженного синхронным электромотором, который приводит гироскоп (ротор) во вращение. Используется математическая модель электромотора, включающая дифференциальные уравнения для токов в обмотках ротора. М...
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2017 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2017
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140941 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Устойчивость стационарных решений уравнений многотоковой модели синхронного гироскопа в кардановом подвесе / Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2017. — Вип 47. — С. 87-100. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859620071973847040 |
|---|---|
| author | Коносевич, Б.И. Коносевич, Ю.Б. |
| author_facet | Коносевич, Б.И. Коносевич, Ю.Б. |
| citation_txt | Устойчивость стационарных решений уравнений многотоковой модели синхронного гироскопа в кардановом подвесе / Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2017. — Вип 47. — С. 87-100. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Изучается динамика гироскопа в кардановом подвесе, имеющего вертикальную наружную ось подвеса и снабженного синхронным электромотором, который приводит гироскоп (ротор) во вращение. Используется математическая модель электромотора, включающая дифференциальные уравнения для токов в обмотках ротора. Момент сил трения и какие-либо управляющие моменты относительно осей подвеса предполагаются отсутствующими. Момент сил трения относительно оси ротора является нелинейной функцией угловой скорости его вращения относительно статора. В работе доказано, что наличие минимумаполной приведеннойпотенциальной энергии является достаточным условием устойчивости стационарных движенийприбора(регулярных прецессий и равномерных вращений ротора). Таким образом, результат, полученный ранее с использованием упрощенной бестоковой модели синхронного электромотора, обобщен на случай многотоковой модели.
The subject of investigation is the dynamics of a gimbals mounted gyroscope placed on the immovable foundation in the field of gravity and supplied with the synchronous electric motor, which sets the gyroscope (rotor) in rotation. A mathematical model of the synchronous electric motor is taken that includes differential equations for electric currents in windings of the rotor. Frictional and control torques acting about the axis of gimbals are assumed to be zero. The frictional torque acting about the axis of the rotor is assumed to be nonlinear function of its angular velocity with respect to the stator. It is prooved that the condition of isolated minimum of the reduced potential energy is sufficient for stability of steady-state motions of the device (with respect to the components of the phase vector of its equations of motion written in the form of normal system of differential equation).
|
| first_indexed | 2025-11-29T01:45:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2017. Вып. 47
УДК 531.36, 531.38
c©2017. Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич
УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ
МНОГОТОКОВОЙ МОДЕЛИ СИНХРОННОГО ГИРОСКОПА
В КАРДАНОВОМ ПОДЕСЕ
Изучается динамика гироскопа в кардановом подвесе, имеющего вертикальную наружную
ось подвеса и снабженного синхронным электромотором, который приводит гироскоп (ро-
тор) во вращение. Используется математическая модель электромотора, включающая диф-
ференциальные уравнения для токов в обмотках ротора. Момент сил трения и какие-либо
управляющие моменты относительно осей подвеса предполагаются отсутствующими. Мо-
мент сил трения относительно оси ротора является нелинейной функцией угловой скорости
его вращения относительно статора.
В работе доказано, что наличие минимума полной приведенной потенциальной энергии яв-
ляется достаточным условием устойчивости стационарных движений прибора (регулярных
прецессий и равномерных вращений ротора). Таким образом, результат, полученный ранее
с использованием упрощенной бестоковой модели синхронного электромотора, обобщен на
случай многотоковой модели.
Ключевые слова: гироскоп в кардановом подвесе, синхронный электромотор, устойчи-
вость.
Введение. Гироскоп в кардановом подвесе является основным элемен-
том различных гироприборов и обладает рядом замечательных динамиче-
ских свойств, что делает его одним из наиболее интересных объектов ис-
следования в динамике системы твердых тел. В первых работах по теории
гироскопа в кардановом подвесе предполагалось, что ротор либо вращается
по инерции без трения, либо он вращается с постоянной угловой скоростью
относительно внутренней рамки подвеса. На практике быстро вращающийся
ротор испытывает значительное тормозящее воздействие сил трения, и для
поддержания вращения ротора используют электродвигатель. Его статором
является внутренняя “рамка” карданова подвеса, а ротором – ротор прибора.
Авторами данной работы проведен цикл исследований динамики гироско-
па в кардановом подвесе, снабженного электродвигателем асинхронного или
синхронного типа. При этом использовались известные модели электромото-
ров [1], в которых не учитывается изменение электрических токов, а прини-
маются упрощенные выражения для вращающего момента электромотора.
В частности, для гироскопа в кардановом подвесе с динамически и стати-
чески симметричным ротором, имеющего вертикальную наружную ось под-
веса и снабженного синхронным электроприводом ротора, было получено не-
обходимое и достаточное условие устойчивости его стационарных движений
– это условие минимума приведенной потенциальной энергии в точке, со-
ответствующей данному стационарному движению [2, 3]. Кроме того, для
синхронного гироскопа в кардановом подвесе было установлено свойство при-
тяжения стационарных движений, соответствующих точкам минимума при-
веденной потенциальной энергии [4, 5].
87
Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич
В настоящей работе также рассматривается гироскоп в кардановом подве-
се, снабженный синхронным электроприводом ротора, но при этом использу-
ется модель синхронного электромотора [6], в которой учитывается измене-
ние электрических токов в обмотках ротора. Предполагается, что наружная
ось карданова подвеса вертикальна, трение на осях подвеса отсутствует, а
момент сил трения относительно оси ротора является нелинейной функцией
угловой скорости его вращения относительно статора. Показано, что нали-
чие минимума приведенной потенциальной энергии и в этом случае является
достаточным условием устойчивости стационарных движений.
1. Математическая модель синхронного гироскопа в кардановом
подвесе. Работа синхронного электромотора описывается в [6] системой
дифференциальных уравнений с фазовым вектором (θ, θ̇, i0, i1, . . . , in2). Здесь
i0 – ток в обмотке возбуждения, in (n = 1, 2, . . . , n2) – токи в стержнях демп-
ферной обмотки, θ – угол между радиусом-вектором к стержню с током in2
и вектором напряженности вращающегося магнитного поля статора, θ̇ – про-
изводная угла θ по времени t. Эти уравнения содержат следующие параме-
тры: u – постоянное напряжение на обмотке возбуждения, R1 и L1 – активное
и индуктивное сопротивления обмотки возбуждения, R2 и L2 – активное и
индуктивное сопротивления стержней демпферной обмотки, B – напряжен-
ность магнитного поля статора, n1 – число витков в обмотке возбуждения,
n2 – число стержней в демпферной обмотке, S1 – площадь витка обмотки
возбуждения, S2 – площадь диаметрального сечения демпферной обмотки,
m ≥ 0 – коэффициент сильного регулирования, C – осевой момент инерции
ротора, M – момент сил сопротивления относительно оси ротора, ω > 0 –
угловая скорость вращения магнитного поля в статоре.
В первом уравнении системы (1) из [6], определяющем θ̈, откорректируем
знак перед mθ̇ и коэффициент при i0 sin(θ + π/4), домножив его на 4. Знаки
величин u, i0, in (n = 1, 2, . . . , n2) изменим на противоположные. Вместо тока
i0 введем переменную x по формуле i0 = x + u/R1, а вместо угла θ — угол
γ = θ + π/4. Обозначая через ϕ угол поворота ротора относительно статора,
имеем ϕ = γ + ωt+ const. Далее предполагается, что u > 0.
В данной работе принята обобщенная модель гироскопа в кардановом по-
двесе [7, 8] (рис. 1). Динамически симметричный и статически уравновешен-
ный гироскоп заключен в карданов подвес, составленный из двух “рамок”
произвольной формы. Внутренняя ось подвеса неколлинеарна наружной оси
подвеса и оси гироскопа и эти три оси, вообще говоря, не пересекаются в одной
точке. Наружная ось подвеса неподвижна и направлена вертикально (или же
эта ось невертикальна, но прибор статически уравновешен). Диссипативные
или управляющие моменты на осях подвеса отсутствуют. Внутренняя “рам-
ка” подвеса является статором синхронного электромотора, а гироскоп – его
ротором. Поэтому относительно оси ротора действуют вращающий момент
синхронного электромотора и момент сил трения. Положение такого прибо-
ра в каждый момент времени t определяют углы α, β поворота наружной и
внутренней “рамок” карданова подвеса и угол ϕ поворота ротора. Кинетичес-
88
Устойчивость стационарных решений уравнений многотоковой модели
Рис. 1. Гироскоп в кардановом подвесе:
a) общепринятая модель, b) обобщенная модель.
кая энергия прибора выражается формулой
T (α̇, β̇, ϕ̇, β) =
1
2
[
G(β)α̇2 +Hβ̇2 + Cϕ̇2 + 2N(β)α̇β̇ + 2Q(β)α̇ϕ̇+ 2Rβ̇ϕ̇
]
, (1)
где C – осевой момент инерции ротора, коэффициенты H,R зависят только
от постоянных механических параметров. Коэффициенты G,N,Q и потенци-
альная энергия силы тяжести U зависят от угла β по формулам
G(β) = g0 + g1 sin β + g2 cos β + g3 sin 2β + g4 cos 2β,
N(β) = n0 + n1 sin β + n2 cos β, Q(β) = q0 + q1 sin β,
U(β) = u0 + u1 sin β + u2 cosβ.
(2)
Здесь u0 – произвольная постоянная, а выражения остальных коэффициен-
тов формул (2) и величин H,R через механические параметры следуют из
формул (8)–(15) статьи [8]. Все эти выражения приведены в [9] и даны в
Приложении. При этом из формулы q1 = C sin θ2 sin θ3 следует, что q1 6= 0,
поскольку синусы углов, которые внутренняя ось подвеса образуют с наруж-
ной осью подвеса и осью ротора, отличны от нуля. Случаю уравновешенного
гироскопа соответствует U ≡ const.
При любом β кинетическая энергия (1) — положительно определенная
квадратичная форма угловых скоростей α̇, β̇, ϕ̇. Поэтому, согласно критерию
Сильвестра,
G(β) > 0, G(β)H −N2(β) > 0, G(β)C −Q2(β) > 0, J(β) > 0 (3)
при любом β. Здесь J(β) — определитель квадратичной формы 2T .
При сделанных предположениях обобщенными силами для лагранжевых
координат α, β, ϕ являются 0, −U ′ и правая часть того из уравнений электро-
мотора, которое определяет Cγ̈. Здесь штрихом обозначается дифференци-
рование по β.
89
Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич
Момент сил сопротивления относительно оси ротора предполагается в [6]
постоянной отрицательной величиной. В настоящей работе предполагается,
что момент сил сопротивления является нечетной непрерывно дифференци-
руемой монотонно убывающей нелинейной функцией M = M(ϕ̇) угловой
скорости ротора ϕ̇. При ϕ̇ 6= 0 знак этой функции противоположен знаку
ее аргумента.
Поскольку ϕ̇ = ω + γ̇, момент M(ϕ̇) представляется в виде
M(ϕ̇) = M(ω + γ̇) = −c0 +∆M(γ̇),
где
∆M(γ̇) = M(ω + γ̇)−M(ω), c0 = −M(ω) (c0 > 0).
Функция ∆M(γ̇) является монотонно убывающей вместе с M(ϕ̇), и поэтому
при γ̇ 6= 0 знак ∆M(γ̇) противоположен знаку γ̇. Таким образом, имеем
γ̇∆M(γ̇) < 0 (γ̇ 6= 0), ∆M(0) = 0. (4)
Пользуясь вместо ϕ переменной γ = ϕ−ωt, получаем следующие уравне-
ния движения синхронного гироскопа в кардановом подвесе
d
dt
[
α̇G(β) + β̇N(β) + (ω + γ̇)Q(β)
]
= 0,
d
dt
[
α̇N(β) + β̇H + (ω + γ̇)R
]
−
−α̇
[
α̇
2
G′(β) + β̇N ′(β) + (ω + γ̇)Q′(β)
]
= −U ′(β),
d
dt
[
α̇Q(β) + β̇R+ (ω + γ̇)C
]
= −mγ̇ +∆M(γ̇)−
−a1x sin γ − a2
n2
∑
n=1
in cos(γ −
π
4
+
2πn
n2
)− b0 sin γ − c0,
L1
d
dt
x = −R1x+ a1γ̇ sin γ,
L2
d
dt
in = −R2in + a2γ̇ cos(γ −
π
4
+
2πn
n2
), n = 1, 2, . . . , n2.
(5)
Здесь и далее штрих означает дифференцирование по β, через a1, a2, b0, c0
обозначены положительные постоянные
a1 = 4
√
2n1S1B, a2 = S2B/2, b0 = 4
√
2un1S1B/R1, c0 = −M(ω).
Вследствие последнего неравенства (3) уравнения (5) эквивалентны нор-
мальной системе порядка 6+n2 с фазовым вектором (α̇, β̇, γ̇, β, γ, x, i1, . . . , in2).
Уравнения (5) допускают интеграл
α̇G(β) + β̇N(β) + (ω + γ̇)Q(β) = p (p = const). (6)
90
Устойчивость стационарных решений уравнений многотоковой модели
Рассматривая равенство (6) как определение переменной p, перейдем в
уравнениях (5) к переменным (p, β̇, γ̇, β, γ, x, i1, . . . , in2). Для этого во второе
и третье уравнения (5) подставим вытекающее из (6) выражение
α̇ =
1
G(β)
[
p− β̇N(β)− (ω + γ̇)Q(β)
]
. (7)
Получаем преобразованную систему уравнений движения синхронного гиро-
скопа. Запишем ее, опустив аргумент β у функций (2):
d
dt
p = 0,
d
dt
[
1
G
(
(p− ωQ)N + β̇(GH −N2) + γ̇(GR −QN)
)
]
+
+
∂
∂β
[
1
2G
(
p− ωQ− β̇N − γ̇Q
)2
+ U
]
= 0,
d
dt
[
1
G
(
(p − ωQ)Q+ β̇(GR −QN) + γ̇(GC −Q2)
)
]
= −mγ̇+
+∆M(γ̇)− a1x sin γ − a2
n2
∑
n=1
in cos(γ −
π
4
+
2πn
n2
)− b0 sin γ − c0,
L1
d
dt
x = −R1x+ a1γ̇ sin γ,
L2
d
dt
in = −R2in + a2γ̇ cos(γ −
π
4
+
2πn
n2
), n = 1, 2, . . . , n2.
(8)
Так как G(β) > 0 при любом β согласно (3), то замена перемен-
ных (α̇, β̇, γ̇, β, γ, x, i1, . . . , in2) переменными (p, β̇, γ̇, β, γ, x, i1, . . . , in2) взаимно
однозначна и непрерывна в обе стороны. Поэтому устойчивость любого реше-
ния лагранжевой системы (5) эквивалентна устойчивости соответствующего
решения преобразованной системы (8).
Отбросив в (8) первое уравнение ṗ = 0, получаем приведенную систему
Sp, соответствующую данному значению p.
2. Стационарные решения. Далее предполагается, что
c0/b0 < 1. (9)
Тогда уравнения (5) имеют семейство стационарных решений
α̇ = Ω0, β̇ = 0, γ̇ = 0, β = β0, γ = γ0, x = 0, i1 = 0, . . . , in2 = 0, (10)
которые описывают равномерные вращения ротора с угловой скоростью ϕ̇ =
= ω (при Ω0 = 0) и регулярные прецессии ротора вокруг наружной оси под-
веса (при Ω0 6= 0). Решение вида (10) существует при данных Ω0, β0, γ0, если
выполнены два условия: постоянные Ω0, β0 связаны соотношением
−Ω0
[
1
2
Ω0G′(β0) + ωQ′(β0)
]
+ U ′(β0) = 0, (11)
91
Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич
а величина γ0 удовлетворяет уравнению
b0 sin γ + c0 = 0. (12)
Если значение β0 принадлежит промежутку, на котором неотрицателен дис-
криминант квадратного по Ω0 трехчлена в левой части (11), то при таком β0
уравнение (11) определяет два значения Ω0. В предположении (9) уравнение
(12) определяет два счетных набора значений ds, es величины γ0:
ds = γ(0) + 2πs, es = γ(1) + 2πs, s = 0,±1,±2, . . . , (13)
γ(0) = − arcsin c0/b0 ∈ (−π/2, 0), γ(1) = −π − γ(0) ∈ (−π,−π/2). (14)
Стационарному решению (10) системы (5) соответствует стационарное ре-
шение
p = p0, β̇ = 0, γ̇ = 0, β = β0, γ = γ0, x = 0, i1 = 0, . . . , in2 = 0 (15)
преобразованной системы (8), здесь p0 = Ω0G(β0)+ωQ(β0). Условие (11) при
этом переходит в условие, которое можно записать в виде U ′
∗
(p0, β0) = 0, где
U∗(p, β) =
[ p− ωQ(β)]2
2G(β)
+ U(β) (16)
— приведенная потенциальная энергия силы тяжести. Стационарные реше-
ния приведенной системы Sp имеют вид
β̇ = 0, γ̇ = 0, β = β0, γ = γ0, x = 0, in = 0 (n = 1, 2, . . . , n2). (17)
Здесь значения γ0 по-прежнему определяются уравнением (12), а значения
β0 определяются условием U ′
∗
(p, β) = 0.
В общем случае, когда функция U∗(p, β) не является постоянной по β,
условие U ′
∗
(p, β) = 0 определяет конечный набор значений угла β на каж-
дом 2π-периоде. Эти значения соответствуют точкам локального минимума
и локального максимума функции U∗(p, β) и, возможно, точкам ее перегиба
с горизонтальной касательной. Что касается случая постоянства функции
U∗(p, β), то в [10, 3] доказана следующая лемма.
Лемма 1. Существуют две конструкции гироскопа в кардановом подвесе
такие, что функция U∗(p, β) является постоянной по β при специальном
значении p величины p. Эти конструкции определены условиями (см. (2))
D1 : g2 = g3 = 0, u1 = u2 = 0, g21 + 8g4(g0 + g4) = 0 (g1, g4 6= 0).
D2 : g2 = g3 = g4 = 0, u2 = 0, 2u1g1 + ω2q21 = 0 (g1, u1 6= 0).
Для таких конструкций специальные значения постоянной p однозначно
определяются формулами
p = ωq0 − 2ωq1(g0 + g4)/g1 (случай D1),
p = ωq0 − ωq1g0/g1 (случай D2),
92
Устойчивость стационарных решений уравнений многотоковой модели
а приведенная потенциальная энергия силы тяжести (16) равна
U∗(p, β) = −4(p − p)g4
(p − p)g1 + 2(p− ωq0)(g1 − 4g4 sin β)
g1(g1 − 4g4 sinβ)2
(случай D1),
U∗(p, β) = (p− p)
(p − p)g1 − 2ωq1(g0 + g1 sin β)
2g1(g0 + g1 sin β)
(случай D2).
Следовательно, имеем следующую структуру множества стационарных
решений приведенной системы для синхронного гироскопа.
Лемма 2. В вырожденных случаях, когда выполнено одно из условий D1
или D2 и p = p, множество стационарных решений приведенной системы
Sp несчетно и состоит из точек (17), где β0 — любое, а γ0 принадлежит
счетному набору значений (13).
В остальных случаях множество стационарных решений приведенной
системы Sp счетно и состоит из изолированных точек (17), где счетное
число значений β0 определено условием U ′
∗
(p, β) = 0, а γ0 принадлежит
счетному набору значений (13). Следовательно, в невырожденных случа-
ях счетное множество стационарных решений системы Sp порождается
конечным числом точек (β0, γ0) квадрата [0, 2π)×[0, 2π) на плоскости (β, γ).
Условия D1, D2 не выполняются для прибора общепринятой конструкции,
так как в этом случае G(β) = g0 + g4 cos 2β и, следовательно, не выполняется
неравенство g1 6= 0.
Определение (12) стационарных значений γ0 угла γ можно записать в
виде dU1(γ)/dγ = 0, где
U1(γ) =
γ
∫
0
(b0 sinσ + c0) dσ = b0(1− cos γ) + c0γ (18)
– потенциальная энергия, связанная с синхронным электромотором. При
выполнении условия (9) определенным в (13), (14) значениям ds и es (s =
= 0,±1,±2, . . . ) угла γ соответствуют точки локального минимума и локаль-
ного максимума потенциальной энергии U1(γ).
Таким образом, если выделено некоторое стационарное решение (15) пре-
образованной системы (8), соответствующее определенным значениям p0, β0,
γ0, то для функции U∗(p
0, β) существуют четыре возможности: функция
U∗(p
0, β) переменной β в точке β = β0 имеет A) изолированный минимум,
B) изолированный максимум, C) перегиб, D) U∗(p
0, β) ≡ const. При этом для
функции U1(γ) существуют две возможности: функция U1(γ) в точке γ = γ0
имеет a) изолированный минимум, b) изолированный максимум. Комбинируя
эти возможности, получаем 8 типов стационарных решений преобразованной
системы (8), которые обозначаем следующим образом: Aa, Ba, Ca, Da, Ab,
Bb, Cb, Db. Для каждого из типов Da и Db выделяются два подтипа D1a,
D2a и D1b, D2b, которые существуют при выполнении условий D1, D2.
В [2, 3] устойчивость стационарных решений уравнений движения гиро-
скопа в кардановом подвесе изучалась на основе бестоковой модели синхрон-
93
Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич
ного электромотора. При этом функция U1(γ) всегда имела минимум в ста-
ционарной точке, т. е. вариант b с максимумом U1(γ) отсутствовал.
3. Энергетические соотношения. Для исследования устойчивости
стационарных решений воспользуемся функциями Ляпунова, которые полу-
чим, пользуясь теоремой об изменении энергии. Рассмотрим три варианта
теоремы об изменении энергии синхронного гироскопа в кардановом подвесе.
Вариант 1. Пусть функция E1 определена формулой
E1(α̇, β̇, γ̇, β, x, i1, . . . , in2) = T (α̇, β̇, ω + γ̇, β) + T1(x, i1, . . . , in2) + U(β),
где ω + γ̇ = ϕ̇, функция T (α̇, β̇, ϕ̇, β) выражается по формуле (1), а функция
T1(x, i1, . . . , in2) равна
T1(x, i1, . . . , in2) =
1
2
L1x
2 +
1
2
L2
n2
∑
n=1
i2n. (19)
Таким образом, имеем
E1(α̇, β̇, γ̇, β, x, i1, . . . , in2) =
1
2
[
G(β)α̇2 +Hβ̇2 + C(ω + γ̇)2+
+2N(β)α̇β̇ + 2Q(β)α̇(ω + γ̇) + 2Rβ̇(ω + γ̇)
]
+
1
2
L1x
2 +
1
2
L2
n2
∑
n=1
i2n + U(β).
Вычислив производную этой функции по t в силу системы уравнений (5),
получаем
Ė1(γ̇, γ, x, i1, . . . , in2) = −m(ω + γ̇)γ̇ + (ω + γ̇)∆M(γ̇)−R1x
2 −R2
n2
∑
n=1
i2n−
−ωa1x sin γ − ωa2
n2
∑
n=1
in cos(γ −
π
4
+
2πn
n2
)− (ω + γ̇)(b0 sin γ + c0).
Вариант 2. Пусть функция E2 определена формулой
E2(α̇, β̇, γ̇, β, γ, x, i1, . . . , in2) = T (α̇, β̇, γ̇, β) + T1(x, i1, . . . , in2) + U(β) + U1(γ).
Здесь T (α̇, β̇, γ̇, β) – это функция, которая получается из функции T (α̇, β̇, ϕ̇, β)
при использовании переменной γ̇ вместо ϕ̇. Таким образом, с учетом (1), (19)
имеем для E2 выражение
E2(α̇, β̇, γ̇, β, γ, x, i1, . . . , in2) =
1
2
[
G(β)α̇2 +Hβ̇2 + Cγ̇2 + 2N(β)α̇β̇+
+2Q(β)α̇γ̇ + 2Rβ̇γ̇
]
+
1
2
L1x
2 +
1
2
L2
n2
∑
n=1
i2n + U(β) + U1(γ).
(20)
94
Устойчивость стационарных решений уравнений многотоковой модели
Вычислив производную функции E2 по t в силу системы уравнений (5), по-
лучаем
Ė2(γ̇, x, i1, . . . , in2) = −mγ̇2 + γ̇∆M(γ̇)−R1x
2 −R2
n2
∑
n=1
i2n. (21)
Вариант 3. В формуле (20) для E2 заменяем величину α̇ ее выражением
(7). Вместо E2 получаем функцию
E3(p, β̇, γ̇, β, γ, x, i1, . . . , in2) =
= T∗(β̇, γ̇, β) + T1(x, i1, . . . , in2) + U∗(p, β) + U1(γ),
(22)
где
T∗(β̇, γ̇, β) =
1
2G(β)
{
β̇2[G(β)H −N2(β)]+
+2β̇γ̇[G(β)R −Q(β)N(β)] + γ̇2[G(β)C −Q2(β)]
}
,
а функции U∗(p, β), U1(γ) определены в (16), (18). Из неравенств Сильвестра
(3) следует, что при любом значении β функция T∗(β̇, γ̇, β) является опре-
деленно положительной квадратичной формой относительно β̇, γ̇. В опреде-
лении (22) функции E3 сумма T∗ + T1 — полная приведенная кинетическая
энергия, а сумма U∗ + U1 – полная приведенная потенциальная энергия рас-
сматриваемой электромеханической системы.
Очевидно, что производная функции E3 по t в силу преобразованной си-
стемы (8) и в силу приведенной системы Sp совпадает с производной (21)
функции E2 по t в силу системы (5), т. е.
Ė3(γ̇, x, i1, . . . , in2) = −mγ̇2 + γ̇∆M(γ̇)−R1x
2 −R2
n2
∑
n=1
i2n. (23)
Если изучается устойчивость некоторого стационарного решения (15) пре-
образованной системы (8), то значения p0, β0, γ0 рассматриваются как задан-
ные. В этом случае определим следующую функцию фазовых переменных
преобразованной системы
v(p, β̇, γ̇, β, γ, x, i1, . . . , in2) = T∗(β̇, γ̇, β) + T1(x, i1, . . . , in2)+
+U∗(p, β)− U∗(p
0, β0) + U1(γ)− U1(γ
0).
(24)
Она обращается в нуль на выделенном решении этой системы. Эта функция
только на константу отличается от функции (22) и поэтому имеет такую же
производную (23) по t в силу данной системы:
v̇(γ̇, x, i1, . . . , in2) = −mγ̇2 + γ̇∆M(γ̇)−R1x
2 −R2
n2
∑
n=1
i2n. (25)
95
Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич
4. Теорема об устойчивости стационарных решений. Покажем,
что для многотоковой модели синхронного гироскопа в кардановом подвесе
стационарное решение устойчиво в случае Aa. Этот результат распространя-
ет на случай многотоковой модели теоремы 1, 5 из [2, 3]. Его доказательство
основано на теореме Л. Сальвадори (теорема 2.3.1 в [11]). Она обобщает тео-
рему Рауса–Ляпунова, которая, в свою очередь, является обобщением широко
известного результата об устойчивости положения равновесия механической
системы, соответствующего минимуму ее потенциальной энергии.
Прежде чем сформулировать теорему Л. Сальвадори, приведем необхо-
димое для этого определение.
Пусть Ω – область в Rn, содержащая точку x = 0, I – неотрицательная
числовая полуось, f : I×Ω → Rn – непрерывная функция такая, что f(t, 0) ≡
≡ 0 и для любой пары (t0, x0) ∈ (I × Ω) система
ẋ = f(t, x) (26)
имеет единственное решение x(t, t0, x0), удовлетворяющее начальному усло-
вию x(t0, t0, x0) = x0. Правый максимальный интервал существования этого
решения обозначается через J+(t0, x0). Система (26) допускает нулевое реше-
ние x(t, 0, 0) ≡ 0.
Пусть также заданы две функции – скалярная функция V : I × Ω → R
и вектор-функция w : I × Ω → Rm (m < n), причем V (t, 0) ≡ 0, w(t, 0) ≡ 0.
Через ||.|| обозначим норму в Rn и Rm.
Определение (Л. Сальвадори [11]). Функция V называется положи-
тельно определенной на множествах Et(w = 0), если существует ε′ > 0 та-
кое, что для любого ε ∈ (0, ε′) найдутся α, β > 0 такие, что V (t, x) > α для
всех (t, x) ∈ I × Ω, удовлетворяющих условиям ε ≤ ||x|| ≤ ε′, ||w(t, x)|| < β.
Теорема 1 (Л. Сальвадори [11]). Пусть непрерывно дифференцируемая
функция V : I × Ω → R и непрерывная функция w : I × Ω → Rm удовлетво-
ряют условиям:
1) V (t, 0) ≡ 0, w(t, 0) ≡ 0, t ∈ I;
2) функция V положительно определена на множествах Et(w = 0);
3) производная функции V в силу системы (26) удовлетворяет неравен-
ству V̇ (t, x) ≤ 0, (t, x) ∈ I × Ω;
4) Ẇ (t, x) ≤ 0, где W (t, x) = ||w(t, x)||2.
Тогда нулевое решение системы (26) устойчиво.
В [12] дано обобщение теоремы 1.
Эта теорема сложна для применения, так как трудно проверяемым явля-
ется условие 2 положительной определенности V на множествах Et(w = 0).
Но, как отмечено в [11], в случае, когда функции V и w не зависят от t,
положительная определенность V на множествах Et(w = 0) означает, что в
точке x = 0 функция V имеет изолированный минимум на множестве точек
x ∈ Ω, удовлетворяющих условию w(x) = 0. Условие 4 автоматически выпол-
няется, когда функция w — векторный первый интеграл. Следовательно, для
96
Устойчивость стационарных решений уравнений многотоковой модели
автономной системы
ẋ = f(x) (27)
получаем такой результат.
Теорема 2. Пусть непрерывно дифференцируемая функция V : Ω → R и
непрерывная функция w : Ω → Rm удовлетворяют условиям:
1) V (0) = 0, w(0) = 0;
2) точка x = 0 является точкой строгого локального минимума функ-
ции V на множестве тех точек x ∈ Ω, где w(x) = 0;
3) производная функции V в силу системы (27) удовлетворяет неравен-
ству V̇ (x) ≤ 0, x ∈ Ω;
4) w(x) = const на решениях системы (27).
Тогда нулевое решение системы (27) устойчиво.
Теорема 2 сводит вопрос об устойчивости нулевого решения автономной
системы обыкновенных дифференциальных уравнений к более простой зада-
че об условном минимуме функции нескольких переменных.
Справедлива следующая теорема об устойчивости стационарных решений
уравнений многотоковой модели синхронного гироскопа в кардановом подве-
се в случае Aa.
Теорема 3. Если функция U∗(p
0, β) имеет изолированный локальный ми-
нимум при β = β0, а функция U1(γ) имеет локальный минимум при γ = γ0,
то решение (15) уравнений (8) устойчиво (по отношению к переменным,
образующим фазовый вектор (p, β̇, γ̇, β, γ, x, i1, . . . , in2) этих уравнений при
записи их в виде нормальной системы).
Доказательство. Воспользуемся теоремой 2 и покажем, что в качестве
функций V , w, фигурирующих в этой теореме, можно принять функцию v,
определенную в (24), и функцию p− p0. В самом деле, если w = p− p0, то, по
условию теоремы 3, при w = 0, т. е. при p = p0, разность U∗(p, β)−U∗(p
0, β0) в
определении v является определенно положительной функцией возмущения
β−β0. Далее, по условию теоремы 3, разность U1(γ)−U1(γ
0) является опре-
деленно положительной функцией возмущения γ− γ0, а функция T∗(β̇, γ̇, β),
как отмечено в п. 3, определенно положительна по отношению к возмущени-
ям β̇, γ̇ при любом β.
Следовательно, функция v, заданная формулой (24), является положи-
тельно определенной на множестве w = 0. Согласно (4), производная (25)
функции v в силу уравнений движения является знакопостоянной отрица-
тельной. Таким образом, все условия теоремы 2 выполнены, и поэтому реше-
ние (15) уравнений (8) устойчиво. �
Так как U∗(p
0, β) – аналитическая функция β, то изолированный минимум
при β = β0 она имеет только в случае, когда первая из ее производных по β,
отличных от нуля в точке β = β0, имеет четный порядок n и положительна,
т. е. имеют место соотношения
U ′
∗
(p0, β0) = 0, ..., U
(n−1)
∗ (p0, β0) = 0, U
(n)
∗ (p0, β0) > 0,
97
Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич
где n > 0 – четное. С учетом определения (16) функции U∗(p, β) и структуры
формул (2) в [10, 3] показано, что здесь n ≤ 6, так что n принимает одно из
значений 2, 4 или 6. Для уравновешенного гироскопа n ≤ 4.
5. Приложение. Выражения для кинетической и потенциальной
энергии. В этом приложении даны детальные выражения кинетической
энергии и потенциальной энергии силы тяжести для обобщенной механиче-
ской модели гироскопа в кардановом подвесе, кратко описанной в п. 1.
В соответствии с этой моделью, динамически и статически уравновешен-
ный ротор S3 установлен в кардановом подвесе, который образован двумя
твердыми телами S1, S2 произвольной формы (рис. 1, b). Здесь S1 – внутрен-
ний элемент (внутренняя "рамка") карданова подвеса, а S2 – его внешний
элемент (внешняя "рамка"). Пусть l0 – вертикальная ось, lk (k = 1, 2, 3) –
ось вращения тела Sk, Ck – центр масс тела Sk. Для того, чтобы опреде-
лить лагранжевы координаты и механические параметры, вводится декарто-
ва система кооординат O0e0
1e
0
2e
0
3, связанная с неподвижным основанием, и
декартовы системы координат Okek
1e
k
2e
k
3 (k = 1, 2, 3), связанные с телами Sk.
Здесь первый единичный вектор e0
1 системы координат O0e0
1e
0
2e
0
3 направ-
лен вверх вдоль вертикальной оси l0. Первый единичный вектор ek
1 системы
координат Okek
1e
k
2e
k
3 (k = 1, 2, 3) направлен вдоль оси lk. При этом из двух
возможных направлений выбирается такое, чтобы углы θk (k = 1, 2, 3) между
векторами ek
1 и e
k−1
1 удовлетворяли условиям θk ∈ [0, π/2].
Внешняя ось подвеса l1 предполагается вертикальной, и поэтому θ1 = 0.
Внутренняя ось подвеса l2 предполагается неколлинеарной внешней оси l1
и оси ротора l3. Поэтому θ2, θ3 ∈ (0, π/2], что позволяет определить вторые
единичные векторы ek
2 (k = 1, 2) через векторное произведение по формуле
ek
2 = e
k+1
1 × ek
1/ sin θ
k+1. Единичные векторы ek
2 (k = 0, 3) произвольны.
Третьи единичные векторы равны ek
3 = ek
1 × ek
2 (k = 0, 1, 2, 3).
Точка O3 совпадает с точкой C3, лежащей на оси ротора l3. Точки O2, O1
расположены на осях l2, l1 так, что координатная плоскость O2e2
2e
2
3 содержит
точку O3, координатная плоскость O1e1
2e
1
3 содержит точку O2. Пусть
sk = O
k
O
k+1 =
3
∑
i=1
ski e
k
i (k = 1, 2),
ck = O
k
C
k =
3
∑
i=1
cki e
k
i (k = 1, 2, 3).
Компоненты ski , c
k
i (i = 1, 2, 3) векторов sk, ck являются постоянными меха-
ническими параметрами. В соответствии с выбором точек O1 и O2, первые
компоненты векторов sk равны нулю: s11 = s21 = 0.
Пусть Ak
ij (i, j = 1, 2, 3) — компоненты тензора инерции тела Sk (k =
= 1, 2, 3) в системе координат Okek
1e
k
2e
k
3, связанной с этим телом, и пусть
mk — масса тела Sk. В случае, когда ротор S3 динамически симметричен
98
Устойчивость стационарных решений уравнений многотоковой модели
относительно оси l3, отличны от нуля только диагональные компоненты A3
11
и A3
22 = A3
33 его тензора инерции. Их удобно обозначать через C и A.
Положение рассматриваемой механической системы в каждый момент
времени t определяют углы α, β, ϕ поворота тел S1, S2, S3 вокруг осей l1, l2, l3.
Угол β отсчитывается в плоскости, ортогональной вектору e2
1 (т. е. оси l2), от
−e1
2 до e2
3. В случае общепринятой модели гироскопа в кардановом подвесе
это определение β совпадает со стандартным его определением, т. е. β = 0 в
положении, когда ось ротора ортогональна внешней оси подвеса (рис. 1, a).
Пользуясь введенными обозначениями, имеем для обобщенной модели ги-
роскопа в кардановом подвесе выражение кинетической энергии (1), где
G(β) = A1
11 + (m2 +m3)(s12s
1
2 + s13s
1
3) + 2m2c21s
1
3 sin θ
2+
+[A2
11 +m3(s22s
2
2 + s23s
2
3) + C cos2 θ3 +A sin2 θ3] cos2 θ2−
−[A2
12 sin 2θ
2 + 2s12(m
3s23 +m2c23)− 2s13(m
3s22 +m2c22) cos θ
2] cos β+
+
[(
A2
13 +
(C −A) sin 2θ3
2
)
sin 2θ2 − 2s12(m
3s22 +m2c22)−
−2s13(m
3s23 +m2c23) cos θ
2
]
sin β + (A2
22 +m3s23s
2
3 +A) sin2 θ2 cos2 β+
+(A2
33 +m3s22s
2
2 + C sin2 θ3 +A cos2 θ3) sin2 θ2 sin2 β−
−(A2
23 −m3s22s
2
3) sin
2 θ2 sin 2β,
H = A2
11 +m3(s22s
2
2 + s23s
2
3) + C cos2 θ3 +A sin2 θ3,
N(β) = [A2
11 +m3(s22s
2
2 + s23s
2
3) +C cos2 θ3 +A sin2 θ3] cos θ2−
−[A2
12 sin θ
2 + s12(m
3s23 +m2c23) cos θ
2 − s13(m
3s22 +m2c22)] cos β+
+[(A2
13 +
C −A
2
sin 2θ3) sin θ2 − s12(m
3s22 +m2c22) cos θ
2−
−s13(m
3s23 +m2c23)] sin β,
Q(β) = C cos θ2 cos θ3 + C sin θ2 sin θ3 sin β,
R = C cos θ3.
Потенциальная энергия силы тяжести выражается по формуле
U = U(β) = g
[
m1c11 +m2c21 cos θ
2 + (m2c22 +m3s22) sin θ
2 cos β+
+(m2c23 +m3s23) sin θ
2 sinβ
]
,
где g – ускорение свободного падения.
В [8] рассмотрена еще более общая модель гироскопа в кардановом под-
весе, предложенная в [7]. В этой модели ротор является динамически и ста-
тически неуравновешенным, а наружная ось подвеса невертикальна. Приве-
денные выше формулы следуют из формул (8)–(15) статьи [8] при θ1 = 0,
A3
22 = A3
33, A
3
23 = A3
12 = A3
13 = 0, c = 0.
В п. 1 вместо θ2, θ3 используются обозначения θ2, θ3.
99
Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич
1. Климов Д.М., Харламов С.А. Динамика гироскопа в кардановом подвесе. – М.: Наука,
1978. – 208 с.
2. Коносевич Ю.Б. Критерий устойчивости стационарных движений синхронного гиро-
скопа в кардановом подвесе // Механика твердого тела. – 2005. – Вып. 35. – С. 115 –
123.
3. Коносевич Б.И., Коносевич Ю.Б. Об устойчивости стационарных движений гироско-
па в кардановом подвесе, снабженного электродвигателем // Изв. РАН. Механика
твердого тела. – 2013. – № 3. – С. 57–73.
4. Коносевич Б.И., Коносевич Ю.Б. Асимптотическое поведение возмущенных стацио-
нарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе // Механика твердого
тела. – 2006. – Вып. 36. – С. 64–74.
5. Коносевич Б.И., Коносевич Ю.Б. Свойство притяжения стационарных движений ги-
роскопа в кардановом подвесе, снабженного электродвигателем // Изв. РАН. Меха-
ника твердого тела. – 2014. – № 4. – С. 3–14.
6. Леонов Г.А., Зарецкий А.М. Глобальная устойчивость и колебания динамических си-
стем, описывающих синхронные электрические машины // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. –
2012. – Вып. 4. – С. 18-27.
7. Харламов П.В. Составной пространственный маятник // Механика твердого тела. –
1972. – Вып. 4. – С. 73–82.
8. Коносевич Б.И. Скорость ухода оси ротора в обобщенной задаче о гироскопе в кар-
дановом подвесе // Механика твердого тела. – 1972. – Вып. 4. – С. 82–92.
9. Konosevich B., Konosevich Yu. Global attraction of steady motions of a gimbal-mounted
asynchronous gyroscope // Nonlinear Dynamics. – 2015. – 79, № 3. – P. 2005–2015. DOI
10.1007/s11071-14-1789-z
10. Коносевич Б.И. Об устойчивости стационарных движений асинхронного гироскопа в
кардановом подвесе // Механика твердого тела. – 1977. – Вып. 9. – С. 61–73.
11. Сальвадори Л. Об устойчивости движения // Механика. Период. сб. переводов. – 1970.
– 6 (124). – С. 3–19.
12. Коносевич Б.И., Игнатьев А.О. О критерии устойчивости Рауса–Ляпунова–Сальвадо-
ри // Докл. НАН Украины. – 1997. – № 10. – С. 78–79.
B.I. Konosevich, Yu.B. Konosevich
Stability of steady solutions of equations of a multi-current model of a gimbals
mounted synchronous gyroscope
The subject of investigation is the dynamics of a gimbals mounted gyroscope placed on the
immovable foundation in the field of gravity and supplied with the synchronous electric motor,
which sets the gyroscope (rotor) in rotation. A mathematical model of the synchronous electric
motor is taken that includes differential equations for electric currents in windings of the rotor.
Frictional and control torques acting about the axis of gimbals are assumed to be zero. The
frictional torque acting about the axis of the rotor is assumed to be nonlinear function of its
angular velocity with respect to the stator. It is prooved that the condition of isolated minimum
of the reduced potential energy is sufficient for stability of steady-state motions of the device
(with respect to the components of the phase vector of its equations of motion written in the
form of normal system of differential equation).
Keywords: gimbals mounted gyroscope, synchronous electric motor, stability.
ГУ “Ин-т прикл. математики и механики”, Донецк
konos.donetsk@yandex.ru
Получено 15.06.17
100
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-140941 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-29T01:45:28Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Коносевич, Б.И. Коносевич, Ю.Б. 2018-07-19T17:00:48Z 2018-07-19T17:00:48Z 2017 Устойчивость стационарных решений уравнений многотоковой модели синхронного гироскопа в кардановом подвесе / Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2017. — Вип 47. — С. 87-100. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140941 531.36, 531.38 Изучается динамика гироскопа в кардановом подвесе, имеющего вертикальную наружную ось подвеса и снабженного синхронным электромотором, который приводит гироскоп (ротор) во вращение. Используется математическая модель электромотора, включающая дифференциальные уравнения для токов в обмотках ротора. Момент сил трения и какие-либо управляющие моменты относительно осей подвеса предполагаются отсутствующими. Момент сил трения относительно оси ротора является нелинейной функцией угловой скорости его вращения относительно статора. В работе доказано, что наличие минимумаполной приведеннойпотенциальной энергии является достаточным условием устойчивости стационарных движенийприбора(регулярных прецессий и равномерных вращений ротора). Таким образом, результат, полученный ранее с использованием упрощенной бестоковой модели синхронного электромотора, обобщен на случай многотоковой модели. The subject of investigation is the dynamics of a gimbals mounted gyroscope placed on the immovable foundation in the field of gravity and supplied with the synchronous electric motor, which sets the gyroscope (rotor) in rotation. A mathematical model of the synchronous electric motor is taken that includes differential equations for electric currents in windings of the rotor. Frictional and control torques acting about the axis of gimbals are assumed to be zero. The frictional torque acting about the axis of the rotor is assumed to be nonlinear function of its angular velocity with respect to the stator. It is prooved that the condition of isolated minimum of the reduced potential energy is sufficient for stability of steady-state motions of the device (with respect to the components of the phase vector of its equations of motion written in the form of normal system of differential equation). ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Устойчивость стационарных решений уравнений многотоковой модели синхронного гироскопа в кардановом подвесе Stability of steady solutions of equations of a multi-current model of a gimbals mounted synchronous gyroscope Article published earlier |
| spellingShingle | Устойчивость стационарных решений уравнений многотоковой модели синхронного гироскопа в кардановом подвесе Коносевич, Б.И. Коносевич, Ю.Б. |
| title | Устойчивость стационарных решений уравнений многотоковой модели синхронного гироскопа в кардановом подвесе |
| title_alt | Stability of steady solutions of equations of a multi-current model of a gimbals mounted synchronous gyroscope |
| title_full | Устойчивость стационарных решений уравнений многотоковой модели синхронного гироскопа в кардановом подвесе |
| title_fullStr | Устойчивость стационарных решений уравнений многотоковой модели синхронного гироскопа в кардановом подвесе |
| title_full_unstemmed | Устойчивость стационарных решений уравнений многотоковой модели синхронного гироскопа в кардановом подвесе |
| title_short | Устойчивость стационарных решений уравнений многотоковой модели синхронного гироскопа в кардановом подвесе |
| title_sort | устойчивость стационарных решений уравнений многотоковой модели синхронного гироскопа в кардановом подвесе |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140941 |
| work_keys_str_mv | AT konosevičbi ustoičivostʹstacionarnyhrešeniiuravneniimnogotokovoimodelisinhronnogogiroskopavkardanovompodvese AT konosevičûb ustoičivostʹstacionarnyhrešeniiuravneniimnogotokovoimodelisinhronnogogiroskopavkardanovompodvese AT konosevičbi stabilityofsteadysolutionsofequationsofamulticurrentmodelofagimbalsmountedsynchronousgyroscope AT konosevičûb stabilityofsteadysolutionsofequationsofamulticurrentmodelofagimbalsmountedsynchronousgyroscope |