Напряженное состояние разветвленных оболочек вращения с учетом поперечных сдвигов и обжатия
На основі некласичної оболонкової моделі, яка враховує поперечні зсуви та обтиск, розроблена методика визначення напруженого стану оболонок обертання з розгалуженою формою меридіану. Для розв’язання відповідних двовимірних задач в неоднозв’язних областях проведено зведення їх до одновимірних задач з...
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2015
|
| Series: | Прикладная механика |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140997 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Напряженное состояние разветвленных оболочек вращения с учетом поперечных сдвигов и обжатия / Е.И. Беспалова, Г.П. Урусова // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 54-65. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-140997 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1409972025-02-10T00:54:01Z Напряженное состояние разветвленных оболочек вращения с учетом поперечных сдвигов и обжатия Stress State of Ramified Shells of Revolution with Allowance for Transverse Shears and Swaging Беспалова, Е.И. Урусова, Г.П. На основі некласичної оболонкової моделі, яка враховує поперечні зсуви та обтиск, розроблена методика визначення напруженого стану оболонок обертання з розгалуженою формою меридіану. Для розв’язання відповідних двовимірних задач в неоднозв’язних областях проведено зведення їх до одновимірних задач з подальшим роз’язанням методом ортогональної прогонки з автоматичним виконанням умов спряження. Ефект обтиску та аналіз напружень оболонкової системи в залежності від її параметрів проілюстровано на прикладі розрахунку реальної конструкції з відгалуженнями. The technique for stress analysis of shells of revolution with a branched meridian considering transverse shears and reduction is developed using nonclassical shell model. To solve the associated two-dimensional problems in not simply connected domains, they are reduced to one-dimensional ones, which are solved by the sweep orthogonal method with automatic satisfying matching conditions. The effect of reduction and analysis of stress state of shell system depending on its parameters are demonstrated by the example of calculation of a real shell with branches. 2015 Article Напряженное состояние разветвленных оболочек вращения с учетом поперечных сдвигов и обжатия / Е.И. Беспалова, Г.П. Урусова // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 54-65. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140997 ru Прикладная механика application/pdf Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
На основі некласичної оболонкової моделі, яка враховує поперечні зсуви та обтиск, розроблена методика визначення напруженого стану оболонок обертання з розгалуженою формою меридіану. Для розв’язання відповідних двовимірних задач в неоднозв’язних областях проведено зведення їх до одновимірних задач з подальшим роз’язанням методом ортогональної прогонки з автоматичним виконанням умов спряження. Ефект обтиску та аналіз напружень оболонкової системи в залежності від її параметрів проілюстровано на прикладі розрахунку реальної конструкції з відгалуженнями. |
| format |
Article |
| author |
Беспалова, Е.И. Урусова, Г.П. |
| spellingShingle |
Беспалова, Е.И. Урусова, Г.П. Напряженное состояние разветвленных оболочек вращения с учетом поперечных сдвигов и обжатия Прикладная механика |
| author_facet |
Беспалова, Е.И. Урусова, Г.П. |
| author_sort |
Беспалова, Е.И. |
| title |
Напряженное состояние разветвленных оболочек вращения с учетом поперечных сдвигов и обжатия |
| title_short |
Напряженное состояние разветвленных оболочек вращения с учетом поперечных сдвигов и обжатия |
| title_full |
Напряженное состояние разветвленных оболочек вращения с учетом поперечных сдвигов и обжатия |
| title_fullStr |
Напряженное состояние разветвленных оболочек вращения с учетом поперечных сдвигов и обжатия |
| title_full_unstemmed |
Напряженное состояние разветвленных оболочек вращения с учетом поперечных сдвигов и обжатия |
| title_sort |
напряженное состояние разветвленных оболочек вращения с учетом поперечных сдвигов и обжатия |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2015 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140997 |
| citation_txt |
Напряженное состояние разветвленных оболочек вращения с учетом поперечных сдвигов и обжатия / Е.И. Беспалова, Г.П. Урусова // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 54-65. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT bespalovaei naprâžennoesostoânierazvetvlennyhoboločekvraŝeniâsučetompoperečnyhsdvigoviobžatiâ AT urusovagp naprâžennoesostoânierazvetvlennyhoboločekvraŝeniâsučetompoperečnyhsdvigoviobžatiâ AT bespalovaei stressstateoframifiedshellsofrevolutionwithallowancefortransverseshearsandswaging AT urusovagp stressstateoframifiedshellsofrevolutionwithallowancefortransverseshearsandswaging |
| first_indexed |
2025-12-02T07:33:49Z |
| last_indexed |
2025-12-02T07:33:49Z |
| _version_ |
1850380994060746752 |
| fulltext |
2015 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 51, № 4
54 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2015, 51, № 4
Е .И . Б е с п а л о в а , Г .П .У р у с о в а
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ РАЗВЕТВЛЕННЫХ
ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ С УЧЕТОМ ПОПЕРЕЧНЫХ СДВИГОВ И ОБЖАТИЯ
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАН Украины, г. Киев, Украина,
e-mail: metod@inmech. kiev.ua
Abstract. The technique for stress analysis of shells of revolution with a branched me-
ridian considering transverse shears and reduction is developed using nonclassical shell
model. To solve the associated two-dimensional problems in not simply connected domains,
they are reduced to one-dimensional ones, which are solved by the sweep orthogonal
method with automatic satisfying matching conditions. The effect of reduction and analysis
of stress state of shell system depending on its parameters are demonstrated by the example
of calculation of a real shell with branches.
Key words: branched shells, stress-strain state, nonclassical shell model, transverse
shears, transverse reduction, effect of reduction, analysis.
Введение.
В расчетной практике упругих конструкций многие объекты современной техни-
ки моделируются тонкостенными системами в виде составных оболочек вращения с
разветвленной формой меридиана. Это, к примеру, отдельные элементы паровых и
газовых турбин, корпуса ракет и ракетных двигателей, вращающиеся валы с насажен-
ными на них дисками, оребрённые трубопроводы, наземные емкости различного на-
значения на цилиндрических или конических опорах.
Разработка подходов к решению задач статики для таких объектов началась около
полувека назад и продолжается в настоящее время, охватывая все более сложные
процессы деформирования и привлекая новые методы численного анализа [1, 2, 4, 5,
6, 9, 14]. Одной из важных проблем этой области является выбор модели деформиро-
вания, которая отражала бы достоверную картину напряженного состояния в местах
ветвления оболочек. В этих местах, как известно, в силу конструктивных особенно-
стей системы возникают существенные локализованные напряжения, описание кото-
рых возможно либо в пространственной постановке теории упругости, либо по обо-
лочечным моделям, учитывающим поперечное обжатие. В большинстве же работ по
разветвленным системам, как и в более простом случае оболочек без разветвлений,
исследование проведено на основе классической модели Кирхгоффа – Лява и сдвиго-
вых моделей первого порядка Тимошенко – Рейсснера [1, 2, 4, 5, 10, 14, 16, 17].
Так, классическая модель оболочек использована для анализа осесимметричного
и неосесиметричного напряжённо-деформированного состояния (НДС) разветвлен-
ных оболочечных систем в [4, 5]; учёту физической нелинейности материала при ис-
следовании осесимметричных процессов термопластичности одной из первых посвя-
щена работа [1]; геометрически нелинейное состояние оболочек при термосиловом
нагружении рассмотрено в [2]. На основе уточненной сдвиговой модели Тимошенко в
[10, 14] рассмотрены задачи термопластического состояния и колебаний разветвлен-
ных оболочек в линейной и нелинейной постановках.
Для решения соответствующих одномерных и двумерных линейных (нелиней-
ных) краевых задач применяются различные методы прикладной математики: разно-
55
стные, вариационные и проекционные, конечных элементов, итерационные и др. [4 –
9, 11 – 13, 15]. Среди них по критерию реализации условий сопряжения отдельных
оболочек можно выделить два подхода. В первом подходе заимствована идеология
строительной механики для статически неопределимых систем с построением част-
ных решений задачи при действии единичных обобщенных сил и последующим удов-
летворением условиям сопряжения. Это, в основном, методы суперэлементов и сег-
ментные методы. Во втором подходе использовано сведение к одномерным задачам с
последующим их решением методами прогонки. Применение процедуры прогонки на
этапе решения одномерных задач позволяет реализовать условия сопряжения в еди-
ном процессе решения задачи в целом [1, 4, 5].
В данной работе исследование НДС составных оболочек вращения с разветвлен-
ной формой меридиана проведено на основе неклассической модели, где кроме попе-
речных сдвигов дополнительно учтено поперечное обжатие. Для решения соответст-
вующих двумерных задач использовано сведение их к одномерным задачам, которые
решаются методом ортогональной прогонки С.К. Годунова с автоматическим удовле-
творением условиям сопряжения составных элементов.
1. Постановка задачи.
Рассмотрена оболочечная система, координатная (в частном случае, срединная)
поверхность которой образована вращением некоторой плоской многосвязной кусоч-
но-гладкой кривой вокруг прямолинейной оси 0 z (рис. 1). Эта поверхность отнесена к
криволинейной системе координат , , где изменяется по образующей-
меридиану, а – центральный угол в плоскости поперечного сечения const .
Толщина оболочек изменяется по нормали к выбранной поверхности и характеризу-
ется переменной .
Рис. 1
Условимся, что некоторая односвязная кусочно-гладкая кривая является основ-
ным меридианом, а отходящие от него в точках 0 consti ( 1, 1i N ) незамкнутые
кривые – ветвями. Соответственно, оболочку, образованную основным меридианом,
называем основной оболочкой, а оболочки, образованные ветвями – ответвленными
оболочками. Точки многосвязности меридиана 0 consti , в которых сопрягаются
координатные поверхности основной оболочки и ее ответвлений, назовем (как это
принято и в [1, 4]) узловыми точками. Все узловые точки принадлежат основному
меридиану. В каждой узловой точке 0
i может сопрягаться разное количество ветвей
iM ( 1, ip M ), которые, как и основная оболочка, отнесены к локальной системе ко-
ординат 0[ , ]ip ip ip
Nip . Если из этого узла выходит одна ветвь, то ip i , а при
рассмотрении основного меридиана – 0ip . Сечения 0
0 и 0
0N соответ-
ствуют торцам основной оболочки, а сечения 0
0
ip
i и ip
Nip являются, соот-
56
ветственно, линией контакта с основной оболочкой и торцом p -го ответвления. За-
метим, что в отдельных случаях выбор основной оболочки является неоднозначным,
но результаты решения задачи от этого не зависят.
Каждая ветвь системы, как и основная оболочка, может быть выполнена из ряда
последовательно сопрягаемых соосных относительно 0z оболочек вращения, иметь
переменную по образующей толщину или состоять из ряда идеально контактирую-
щих между собой слоев. Материал составляющих слоев является линейно-упругим,
подчиняется обобщенному закону Гука во всем диапазоне действующих нагрузок и
может быть изотропным и (или) ортотропным.
На торцах основной оболочки и неузловых контурах ответвлений ( ip ip
Nip ) до-
пускаются любые физически непротиворечивые граничные условия, а на линиях кон-
такта 0
0
ip
i в общей системе координат 0x z формулируются условия сопря-
жения в виде условий равновесия статических и условий неразрывности кинематиче-
ских характеристик напряженного состояния.
Оболочечную систему рассмотрим при воздействии неосесимметричных нагру-
зок, распределенных произвольным образом в окружном и меридиональном направ-
лениях, а также усилий-моментов, заданных на граничных контурах основной обо-
лочки и (или) ее ответвлений.
2. Методика решения.
Исследование НДС таких разветвленных систем проведено на основе неклассиче-
ской модели оболочек, учитывающей поперечные сдвиги и обжатие при следующей
линейной аппроксимации всех компонент вектора перемещений по толщине [3]:
( , , ) ( , ) ( , ); ( , , ) ( , ) ( , );j ju u u v
( , , ) ( , ) ( , ) ( 1, , )j
ru w j J , (1)
где , ,j j ju u u – перемещения точек j -го слоя оболочки; , ,u v w – перемещения точек
координатной поверхности 0 в направлениях , , , соответственно; , –
полные углы поворота прямолинейного элемента; – поперечная нормальная де-
формация; J – количество слоев оболочки.
В качестве основных неизвестных, описывающих на основе принятой модели
НДС рассматриваемой системы, выберем вектор–функцию
Q
N
U
со следующими
статическими
, , , , ,
T
x zQ T T T M M P
(2)
и кинематическими
, , , , ,
T
x zU u u v
(3)
компонентами.
Здесь xT , zT и xu , zu – соответственно, радиальные и осевые усилия и перемещения,
выраженные формулами: cos sinxT T Q ; sin coszT T Q , cosxu u
sinw , sin coszu u w ; T , T , Q – нормальное, сдвиговое и перерезываю-
щее усилия в сечении const ; M , M – изгибающий и крутящий моменты, а
P – момент первого порядка от касательного напряжения поперечного сдвига в
этом же сечении; – угол, образованный нормалью к координатной поверхности
и осью вращения.
57
Относительно этих неизвестных соответствующая двумерная краевая задача для
основной оболочки (индекс ip принимаем равным 0 ) и ее разветвлений ( 1, 1i N ,
1, ip M ) может быть сформулирована в векторно-матричном виде для следующей
системы дифференциальных уравнений:
2
0 1 2 2
ip ip ip ip
ip
N N N
A N A A q
; 0 ,ip ip ip
Nip ; 0,2 (4)
при граничных условиях на торцевых контурах основной оболочки
0 0
0 0 ,B N b
0 0
0 ; (5)
0 0
0 0,N NB N b
, 0 0
0N ; (6)
условиях сопряжения в ее узловых сечениях
1
lM
ip
i i
p
Q Q Q
; (7)
ip
i iU U U
; 0
ip ip ( 1, 1i N ); (8)
граничных условиях на торцевых контурах ответвлений
,ip ip
Nip NipB N b
; ip ip
Nip (9)
и условиях периодичности в окружном направлении
, 2 ,N N
. (10)
Ненулевые элементы матриц ip
jA ( 0,1,2j ) приведены в [3], знаками «–», «+»
отмечены значения рассматриваемых функций при подходе к узловой линии, со-
ответственно, слева и справа, знаком « * » – значения усилий – моментов и пере-
мещений, вызванные наличием ветвей; векторы ipq
, 0
0b
, 0
0Nb
и ip
Nipb
определяют
заданные распределенные нагрузки, воздействия на граничных торцах основной
оболочки и ответвлений.
Ввиду замкнутости оболочечной системы и периодичности всех факторов НДС в
окружном направлении (10), искомое решение задачи представим в виде разложений
в тригонометрические ряды Фурье
0
sin
, , 1,12,
cosn nk
k
k
N N N n
k
(11)
где выражение в квадратных скобках означает, что часть компонент вектор-
функции N
– ( , , , , , , ,x z x zT T M P u u ) представлены по cos k , а часть –
( , , ,T M v ) – по sin k .
Соответственно, двумерная краевая задача (4) – (10) для каждого номера гар-
моники k сводится к последовательности одномерных краевых задач 12-го по-
рядка относительно функциональных коэффициентов { , ,k xk zkN T T
,kT ,kM
,kM , , , , , , }k xk zk k k k kP u u v следующего вида:
ip ipk
kk kip
dN
A N q
d
; 0 ,ip ip ip
Nip (12)
58
при граничных условиях на концах основного меридиана
0 0
0 0 ,k k kB N b
0 0
0 ; (13)
0 0
0 0N k k N kB N b
, 0 0
0N ; (14)
условиях сопряжения в его узловых точках
1
lM
ipk
ik ik
p
Q Q Q
; (15)
ipk
ik ikU U U
, 0
ip ip (16)
и граничных условиях на неузловых концах разветвлений
,ip ip
Nipk NipkB N b
, ip ip
Nip . (17)
Элементы матрицы ip
kA 2
0 1 2
ip ip ipA kA k A с учетом представления (11) приведе-
ны в [3] (в дальнейшем индекс k опускаем).
Алгоритм решения одномерных задач о НДС оболочек вращения с разветвлённой
формой меридиана методом ортогональной прогонки С.К. Годунова изложен в [1, 4] в
случае классической модели оболочек и в [10] – в случае учета поперечных сдвигов.
Здесь он обобщен для случая оболочечной модели (1), учитывающей не только попе-
речные сдвиги , , но и поперечное обжатие .
Согласно методу прогонки Годунова С.К. решение краевой задачи (12) – (17)
ipN N
примем в виде линейной комбинации
7
ip ip ip ipN Z C N
, (18)
составленной из решений 6-ти задач Коши для однородной системы (12) при задании
начальных условий некоторой матрицей с линейно-независимыми столбцами. Здесь
{ , 1,6; 1,12}ip ip
jnZ z j n – матрица решений задач Коши; { , 1,6}ip ip
jC c j
– вектор
неизвестных коэффициентов в (18); 7
ipN
– частное решение неоднородной системы (12).
Учитывая статическую (2) и кинематическую (3) составляющие вектора ipN
представим матрицу ipZ как две соответствующие матрицы ip
QZ и ip
UZ порядка ( 6 6 )
каждая. Тогда (18) запишем в виде
7
ip ip ip ip
QQ Z C Q
; 7
ip ip ip ip
UU Z C U
. (19)
Выразим неизвестные коэффициенты ipC
каждой ветви ( 1, 1; 1, ii N p M ) че-
рез неизвестные коэффициенты 0C
основной оболочки из условий совместности пе-
ремещений в узле (16)
1 0 0 1 0
7 7( ) ( ) ( )ip ip ip ip
UU UC Z Z C Z U U
. (20)
Используя (20), выразим из (19) статические составляющие ветвей ipQ
( 1, 1; 1, ii N p M ):
1 0 0 1 0
77 7( ) ( ) ( )ip ip ip ip ip ip ip ip
UU UQ QQ Q Z Z Z C Q Z Z U U
. (21)
59
На прямом ходе прогонки для основной оболочки условия перехода через i -ый
узел имеют вид (15) с учетом полученной зависимости (21), а коэффициенты 0C
в
представлении (18) определяются из граничных условий (14) согласно процедуре ме-
тода С.К. Годунова.
Таким образом, общая схема определения НДС разветвленных оболочек враще-
ния для отдельного номера гармоники k в представлении (11) состоит в следующем:
1) для каждой ветви оболочечной системы проводим прямой ход решения за-
дачи от точки ip ip
Nip с построением матрицы ipZ и вектора 7
ipN
в точке со-
пряжения 0
ip ip ;
2) находим решение задачи для основной оболочки с перестройкой решений задач
Коши в узловых точках согласно условиям сопряжения (15) с учетом (21) для сопря-
гаемых ветвей;
3) находим решение задачи для каждой ветви при заданных граничных условиях
(17) и полученных условиях сопряжения в узловых точках 0
ip ip .
3. Примеры решения задач.
На основе разработанной методики приведены результаты расчета двух состав-
ных оболочечных систем с разветвлениями. Первая задача является модельной и слу-
жит для косвенного подтверждения работоспособности методики. Во второй задаче
на примере фрагмента реальной разветвленной конструкции проведено сравнение с
аналитическим решением для частного случая геометрических параметров, исследо-
вано НДС в зависимости от жесткостных характеристик ее элементов и проанали-
зировано влияние учета обжатия на расчетные значения прогиба и напряжений на
линии контакта.
3.1. Рассмотрена оболочечная система, состоящая из трех элементов: цилиндра
радиуса R (I) и двух конических оболочек (II, III), сопряженных с ним по общей
линии контакта s l и образующих с осью вращения углы и – , соответст-
венно ( s -длина меридиана в текущей точке). Форма меридиана-образующей сис-
темы схематически приведена на рис. 2, а. Все составляющие элементы изготов-
лены из одного и того же ортотропного материала, соответствующего волокни-
стому стеклопластику, а также имеют одинаковые толщину h и длину l . Левый
торец цилиндра 0s – жестко закреплен, все остальные края системы – свобод-
ны. На систему действует нормальная нагрузка 0( , ) cos2nq s q , равномерно
распределенная по всей образующей.
а б
Рис. 2
Решение задачи представим для следующих исходных данных:
0100R l ; / 0,7l R ; / 0,01h R ; 030 ; 05,7sE E ; 01,4E E E ;
60
00,575s sG G E ; 00,281G E ; 0,277s ; 0,068 .
Для подтверждения работоспособности методики рассмотрены два расчет-
ных варианта:
А – основная оболочка состоит из элементов I и II, а коническая оболочка III яв-
ляется ответвлением;
Б – основная оболочка состоит из элементов I и III, а коническая оболочка II явля-
ется ответвлением.
Результаты решения задачи приведены на рис. 2 для амплитудных значений радиаль-
ного перемещения 4
0 0/10xu E q (рис. 2, а) и изгибающего момента
0
/sM q (рис. 2, б).
Сплошные линии соответствуют варианту А, треугольниками нанесены результаты
расчета по варианту Б. Как видно, решение задачи не зависит от конкретного выбора
основного меридиана и его разветвлений, что может служить косвенным подтвержде-
нием работоспособности методики. Следует отметить, что максимальные значения
радиальных перемещений конуса II почти втрое превышают соответствующие значе-
ния конуса Ш, в то время как величины изгибающих моментов на этих участках сис-
темы различаются несущественно.
3.2. Рассмотрена оболочечная система цилиндр – кольцевая пластина, модели-
рующая участок трубопровода с наружным оребрением (рис. 3, а – общий вид систе-
мы). Замкнутый тонкостенный цилиндр постоянной толщины ch с радиусом средин-
ной поверхности R укреплен кольцевыми пластинами толщины plh . Пластины име-
ют одинаковую длину pl pll r R и равномерно расположены по длине цилиндра с
шагом b ( plr -наружный радиус пластин). Цилиндр нагружен внутренним давлением
интенсивности 0q и, как и пластина, является изотропным, но может иметь другие
физико-механические свойства материала. В силу периодичности расположения
кольцевых ребер в цилиндре выделен участок конечной длины cl b , сопряженный в
центральном сечении / 2cz l с кольцевой пластиной. На торцах выделенного участ-
ка приняты условия симметрии, наружный контур пластины – свободен, в сечении
/ 2cz l сформулированы условия сопряжения. Расчётный фрагмент сопряжения ци-
линдра и пластины представлен на рис. 3, б.
а б
Рис. 3
Для сравнения с аналитическим решением [5] (в частном случае одинаковых же-
сткостных характеристик цилиндра и пластины) проведены расчеты по классической
модели оболочек и по модели, учитывающей поперечные сдвиги и обжатие. Эти ре-
зультаты получены при следующих исходных данных: 0,1R м ; c plh h =5·10-3 м;
0,2cl b м; 0,2plr м; c plE E =2·9,81·104MПa; μ=0,3; 0q =9,81MПa и представ-
лены в табл. 1 для прогиба w и изгибающего момента sM цилиндра, радиального
перемещения xu и усилия xT пластины.
61
Таблица 1
Цилиндр
z є [0, cl /2]
Пластина
x є [0, lpl] / cz l ,
x/2lpl
Модели
w·105,м sM /9,81;Н xu ·105,м xT /9,81; kН/м
0
[ 5 ]
K-L
R
8,489
8,489
8,489
0,667
0,6669
0,643
3,453
3,453
2,790
-17,56
-17,56
-14,21
0,1
[ 5 ]
K-L
R
8,549
8,549
8,500
0,695
0,6949
1,071
3,028
3,028
2,440
-10,40
-10,40
-8,384
0,2
[ 5 ]
K-L
R
8,700
8,700
8,697
-1,607
-1,607
-1,623
2,747
2,747
2,214
-6,092
-6,091
-4,908
0,3
[ 5]
K-L
R
8,460
8,459
8,399
-10,82
-10,82
-10,93
2,558
2,558
2,061
-3,292
-3,292
-2,653
0,4
[ 5]
K-L
R
6,388
6,388
6,079
-12,19
-12,19
-11,96
2,428
2,428
1,957
-1,373
-1,373
-1,106
0,5
[ 5]
K-L
R
3,453
3,453
2,790
76,36
76,36
91,06
2,341
2,341
1,886
0
0
0
Расчеты по классической модели (K – L) оболочек полностью совпали с аналити-
ческим решением задачи [5]. С ними качественно согласуются результаты, получен-
ные по модели с учетом обжатия (R), существенно различаясь только в окрестности
линии сопряжения ( / 0,4cz l ). Это свидетельствует об эффекте учета поперечной
деформации в проведенных расчетах.
На примере этой же оболочечной системы при разных жесткостях ее состав-
ляющих элементов более детально проиллюстрируем влияние учета поперечного
обжатия на ее НДС.
а б
Рис. 4
Относительную жесткость пластины и цилиндра будем характеризовать пара-
метром lg( / )pl cE E [ 5;5] ( cE fixed ). Для предельного значения 5
напряженное состояние системы практически соответствует состоянию гладкого
цилиндра, а для 5 – цилиндра с защемлением на линии контакта / 2cs l . Эти
данные для значений прогиба ( / 2)cw l , м и напряжений на внутренней поверхности
(индекс «-») ( / 2)s cl , МПа и ( / 2)cl
, МПа на линии контакта представлены на
62
рис. 4, а и рис. 4, б, соответственно. Как видно, цилиндр и пластина деформируются
как единое целое фактически только в диапазоне [ 2;1,5] . При этом для
0,5 максимальными становятся меридиональные напряжения внутренней по-
верхности цилиндра.
а б
Рис. 5
Для полноты картины, на рис. 5, а представлены распределения прогиба 0/w w
и напряжения на внутренней поверхности 0/s s (рис. 5, б) по образующей ци-
линдра [0; ]cs l , а на рис. 6, а – меридионального перемещения 0/xu w и напряже-
ния на внутренней поверхности 0/s s (рис. 6, б) по образующей пластины
[0; ]pls l при 0; 1; 5 ( 0w и 0s
– прогиб и меридиональное напряжение глад-
кого цилиндра). Значение прогиба на линии контакта цилиндра и пластины при их
равных жесткостях ( 0 ) снижается более, чем на 60% по сравнению с гладким
цилиндром ( 5 ) и более, чем на 90%, когда жесткость пластины на порядок
выше жесткости цилиндра ( 1 ). Меридиональное напряжение более, чем в 3
( 0 ) и 4 ( 1 ) раза превышает напряжения гладкого цилиндра. Аналогичная
картина наблюдается для перемещений пластины.
а б
Рис. 6
Для оценки влияния учета обжатия сопоставлены данные проведенных расчетов с ре-
зультатами, полученными по классической модели оболочек Кирхгофа – Лява. Значения
характеристик НДС на линии контакта / 2cs l приведены на рис. 7 для прогиба
0( / 2) /cw w l w (рис. 7, а), меридионального 0( / 2) /s s c sl (рис. 7, б) и окружного
0( / 2) /cl (рис. 7, в) напряжений, полученные согласно модели Кирхгофа – Лява
(K – L) и по модели с учетом поперечных сдвигов и обжатия (R) в диапазоне изменения
[ 0,25;1,5] ( 0 0 0, ,sw – значения прогиба и соответствующих напряжений гладкого
цилиндра). Классическая теория оболочек для всех значений дает завышенные величины
прогиба и заниженные величины напряжений в этом сечении цилиндра. Уточнения значе-
63
ний прогиба, связанные с учетом обжатия, становятся более существенными с возрастанием
жесткости пластины . Если при равных жесткостях пластины и цилиндра ( 0 ) уточне-
ние / 100K L R K Lf f f составляло порядка 20%, то уже при 0,5 – порядка 60%.
Учет обжатия для меридиональных напряжений влияет значительно меньше и составляет
10 – 15% в рассмотренном диапазоне ; в тоже время уточнение окружных напряжений
может превышать 40% ( 0 ). Поскольку в данной конструкции меридиональные напря-
жения при 0,5 превышают окружные, то уточнение эквивалентного напряжения
( 2 2
э s s ) находится в пределах 15% – 20%. В ситуациях, близких к критиче-
ским, такое уточнение эквивалентного напряжения может оказаться существенным при
оценке перехода системы в пластическое состояние.
а б
в
Рис. 7
В заключение отметим, что разработанная методика позволяет дополнительно
оценить влияние подкрепляющих пластин в рассмотренной конструкции на величину
предельного давления в цилиндре. Это влияние будем характеризовать параметром
/c pl cq q , где cq и c plq – предельные давления гладкого цилиндра и цилиндра,
подкрепленного кольцевыми пластинами.
Анализ НДС данной оболочечной системы показал, что максимальные растяги-
вающие напряжения имеют место на внутренней поверхности цилиндра под пласти-
ной ( ( / 2) / (0) 2,83s c sl при 0 ), а максимальные сжимающие напряжения,
способствующие переходу в пластическое состояние, – на наружной поверхности
(индекс «+») этого же сечения ( ( / 2) / (0) 0,83s c sl при 0 ). Для перехода
цилиндра в пластическое состояние по всей длине и толщине оценку предельного
давления проводим по напряжениям на внутренней поверхности в наиболее удален-
ном от пластины сечении 0z или z l . Таким образом, используя условие пла-
стичности Мизеса, определяем предельное давление из равенства
64
0
2 2
1
( (0)) ( (0)) (0) (0)p sp p sp p
q
q
,
где – предел текучести материала, индекс p принимает обозначения p c и
p c pl , соответственно, для гладкого цилиндра и цилиндра с пластиной.
В результате для параметра имеем следующее выражение:
2 2
2 2
( (0)) ( (0)) (0) (0)
( (0)) ( (0)) (0) (0)
sc c sc c
sc pl c pl sc pl c pl
. (22)
Проиллюстрируем зависимость предельного давления в цилиндре (параметр
(22)) от расстояния между пластинами (параметр / plb h ) для случая, когда мате-
риалы пластины и цилиндра имеют одинаковые упругие свойства (параметр
lg( / )pl cE E =0) и толщины ( c plh h ). Эти данные приведены в табл. 2.
Таблица 2
b ,м / plb h 0(0) /sc pl s
0(0) /c pl s
0,3 60 1,000 2,000 1,00
0,2 40 1,016 2,001 1,00
0,15 30 1,025 2,004 0,998
0,05 10 0,244 1,243 1,52
0,01 2 0,979 0,310 1,998
0,005 1 0,982 0,446 2,03
Как видно из результатов расчета, наличие подкреплений не оказывает влияния на
предельное давление в цилиндре при значительном расстоянии между пластинами
(при 30 имеем 1 , т.е. c pl cq q ) и вдвое увеличивает его значение при частом
их расположении (при 2 имеем 2 , т.е. 2c pl cq q ). Для промежуточных зна-
чений ( 2 30 ) предельное давление возрастает на величину ( * в диапазоне
*1 2 ). В частности, при 10 имеем * 1,52 .
Выводы.
Предложена методика определения напряженно–деформированного состояния
составных соосных оболочек вращения с разветвленной формой меридиана на основе
неклассической модели, учитывающей поперечные сдвиги и обжатие. Для решения
соответствующих одномерных задач 12-го порядка в неодносвязных областях обоб-
щен алгоритм, разработанный в [1, 4] для систем 6-го, 8-го (классическая модель) и в
[10] 10-го (уточненная модель Тимошенко) порядков.
Эффект учета обжатия в сравнении с классической моделью оболочек исследован на
примере конкретной оболочечной системы с разными упругими свойствами ее составляю-
щих элементов. Показано, что учет обжатия проявляется лишь в окрестности линии контак-
та оболочек и в зависимости от различия в их упругих характеристиках может составлять по-
рядка 60% для перемещений, 40% – для окружных и 20% – для меридиональных напряжений.
Р Е ЗЮМ Е . На основі некласичної оболонкової моделі, яка враховує поперечні зсуви та об-
тиск, розроблена методика визначення напруженого стану оболонок обертання з розгалуженою фор-
мою меридіану. Для розв’язання відповідних двовимірних задач в неоднозв’язних областях проведе-
но зведення їх до одновимірних задач з подальшим роз’язанням методом ортогональної прогонки з
автоматичним виконанням умов спряження. Ефект обтиску та аналіз напружень оболонкової систе-
ми в залежності від її параметрів проілюстровано на прикладі розрахунку реальної конструкції з
відгалуженнями.
65
1. Галишин А.З. Исследование осесимметричного термоупруго-пластического напряжённо - деформиро-
ванного состояния разветвлённых оболочек при простых процессах нагружения // Прикл. механика. –
1984. – 20, № 8. – С. 46 – 50.
2. Ганеева М.С., Косолапова Л.А., Моисеева В.Е. Нелинейное деформирование оболочечной конструкции с
разветвляющимся меридианом под действием неосесимметричного термосилового нагружения // Изв.
вузов. Авиац. техника. – 2001. – № 1. – С. 3 – 7.
3. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Голуб Г.П. Статика анизотропных оболочек с конечной сдвиго-
вой жёсткостью. – К.: Наук. думка 1987. – 216 с.
4. Григоренко Я.М., Гололобов В.И., Криворучко Л.Д., Лобкова Н.А., Семенова В.В. Расчет напряжен-
ного состояния конструкций в виде оболочек вращения с разветвлениями // Прикл. механика. –
1984. – 20, № 7. – С. 101 – 104.
5. Егоров М.И., Корягин B.C., Федоров В.И. и др. Расчет осесимметричного напряженного состояния
разветвленных составных оболочек вращения // Пробл. прочности. – 1974. – № 5. – С. 25 – 30.
6. Benjeddou A., Hamdi MA. A new B-spline finite element for the dynamic analysis of shells of revolution
// European Journal of Finite Elements. – 1994. – 3. – Р. 101 – 127.
7. Bespalova E.I. Finite Integral Transform Method in Static Problems for Inhomogeneous Plates // Int.
Appl. Mech. – 2014. – 50, N 6. – P. 651 – 663.
8. Bushnell D. Stress, Stability and Vibration of Complex, Branched Shells of Revolution // Computers &
Structures. – 1974. – 4. – P. 399 – 435.
9. Dzhabrailov A.Sh, Klochkov Yu.V., Nikolaev A.P. The finite element analysis of shells of revolution with
a branching meridian // Russian Aeronautics (Iz VUZ). – 2009. – 52, N 1. – P. 22 – 29.
10. Galishin A.Z., Merzlyakov V.A., Shevchenko Yu.N. Application of the Newton Method for Calculating the Axi-
symmetric Thermoelastoplastic State of Flexible Laminar Branched Shells Using the Shear Model // Mech. of
Compos. Mater. – 2001. – 37, N 3. – P. 189 – 200.
11. Goldfield Y. Mixed Formulation for Sensitivity Analysis of Laminated Conical Shells // AIAA Journal. –
2011. – 49, N 8. – P. 1816 – 1819.
12. Grigorenko Ya.M., Grigorenko A.Ya. The Problems of Statical and Dynamical Deformation of Anisot-
ropic Inhomogeneous Shells with Variable Parameters and Their Numerical Solution (Review) // Int.
Appl. Mech. – 2013. – 49, N 2. – P. 123 – 193.
13.Grigorenko Ya. M. Rozhok L.S. Applying Discrete Fourier Series to Solve Problems of the Stress State of
Hollow Noncircular Cylinders // Int. Appl. Mech. – 2014 – 50, N 2. – P. 105 – 127.
14. Kayran A., Yavuzbalkan E. Free-Vibration Analysis of Ring-Stiffened Branched Composite Shells of
Revolution // AIAA Journal. – 2010. – 48, N 4. – P. 749 – 762.
15. Santos, H., Soares, C. M. M., Soares, C. A. M., Reddy, J. N. A Semi-Analytical Finite Element Model
for the Analysis of Laminated 3D Axisymmetric Shells: Bending, Free-Vibration and Buckling //
Compos. Struct. – 2005. – 71, N 3 – 4. – P. 273 – 281.
16. Toorani, M. H., Lakis, A. A. General Equations of Anisotropic Plates and Shells Including Transverse
Shear Deformations, Rotatory Inertia and Initial Curvature Effects // J. of Sound and Vibration. – 2000.
– 237, N 4. – P. 561 – 615.
17. Whitney, J. M. The Effect of Transverse Shear Deformation on the Bending of Laminated Plates // J. of
Compos. Mater. – 1969. – 3, N 3. – P. 534 – 547.
Поступила 04.07.2013 Утверждена в печать 19.02.2015
|