К теории устойчивости композитных цилиндрических оболочек

Розроблено методику розрахунку стійкості шаруватих циліндричних оболонок з врахуванням анізотропії, що зумовлена наявністю в пакеті шарів з однією площиною симетрії. Розв’язувальну систему диференціальних рівнянь отримано на основі гіпотез Тимошенка в переміщеннях. Досліджено залежність критичних на...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2015
Hauptverfasser:	Семенюк, Н.П., Трач, В.М., Жукова, Н.Б.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2015
Schriftenreihe:	Прикладная механика
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141002
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	К теории устойчивости композитных цилиндрических оболочек / Н.П. Семенюк, В.М. Трач, Н.Б. Жукова // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 98-111. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-141002
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1410022025-02-23T18:18:44Z К теории устойчивости композитных цилиндрических оболочек To the Theory of Stability of Composite Cylindrical Shells Семенюк, Н.П. Трач, В.М. Жукова, Н.Б. Розроблено методику розрахунку стійкості шаруватих циліндричних оболонок з врахуванням анізотропії, що зумовлена наявністю в пакеті шарів з однією площиною симетрії. Розв’язувальну систему диференціальних рівнянь отримано на основі гіпотез Тимошенка в переміщеннях. Досліджено залежність критичних навантажень від напрямків армування моношарів, їх кількості, товщини, поперечної зсувної жорсткості при осьовому стиску. A technique of analysis of stability of the layered cylindrical shells is developed with allowance for anisotropy that is caused by presence in the layer package the layers with one plane of symmetry. The system of differential equations is obtained basing on Timoshenko hypotheses in displacements. A dependence of critical loads on directions of reinforcing the monolayers, their number, thickness, and is studied for the case of axial compression. 2015 Article К теории устойчивости композитных цилиндрических оболочек / Н.П. Семенюк, В.М. Трач, Н.Б. Жукова // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 98-111. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141002 ru Прикладная механика application/pdf Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Розроблено методику розрахунку стійкості шаруватих циліндричних оболонок з врахуванням анізотропії, що зумовлена наявністю в пакеті шарів з однією площиною симетрії. Розв’язувальну систему диференціальних рівнянь отримано на основі гіпотез Тимошенка в переміщеннях. Досліджено залежність критичних навантажень від напрямків армування моношарів, їх кількості, товщини, поперечної зсувної жорсткості при осьовому стиску.
format	Article
author	Семенюк, Н.П. Трач, В.М. Жукова, Н.Б.
spellingShingle	Семенюк, Н.П. Трач, В.М. Жукова, Н.Б. К теории устойчивости композитных цилиндрических оболочек Прикладная механика
author_facet	Семенюк, Н.П. Трач, В.М. Жукова, Н.Б.
author_sort	Семенюк, Н.П.
title	К теории устойчивости композитных цилиндрических оболочек
title_short	К теории устойчивости композитных цилиндрических оболочек
title_full	К теории устойчивости композитных цилиндрических оболочек
title_fullStr	К теории устойчивости композитных цилиндрических оболочек
title_full_unstemmed	К теории устойчивости композитных цилиндрических оболочек
title_sort	к теории устойчивости композитных цилиндрических оболочек
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2015
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141002
citation_txt	К теории устойчивости композитных цилиндрических оболочек / Н.П. Семенюк, В.М. Трач, Н.Б. Жукова // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 98-111. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT semenûknp kteoriiustojčivostikompozitnyhcilindričeskihoboloček AT tračvm kteoriiustojčivostikompozitnyhcilindričeskihoboloček AT žukovanb kteoriiustojčivostikompozitnyhcilindričeskihoboloček AT semenûknp tothetheoryofstabilityofcompositecylindricalshells AT tračvm tothetheoryofstabilityofcompositecylindricalshells AT žukovanb tothetheoryofstabilityofcompositecylindricalshells
first_indexed	2025-11-24T06:27:59Z
last_indexed	2025-11-24T06:27:59Z
_version_	1849652076589613056
fulltext	2015 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 51, № 4 98 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2015, 51, № 4 Н .П .С е м е н ю к , В .М .Т р а ч , Н . Б .Жу к о в а К ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ КОМПОЗИТНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК Институт механики им.С.П.Тимошенко НАН Украины, ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; compos@inmech.kiev.ua Abstract. A technique of analysis of stability of the layered cylindrical shells is devel- oped with allowance for anisotropy that is caused by presence in the layer package the lay- ers with one plane of symmetry. The system of differential equations is obtained basing on Timoshenko hypotheses in displacements. A dependence of critical loads on directions of reinforcing the monolayers, their number, thickness, and is studied for the case of axial compression. Key words: layered cylindrical shell, anisotropic material, Timoshenko hypotheses, stability, axial compression, transverse shear stiffness. Введение. Цилиндрические оболочки из композитов широко используются в различных кон- струкциях современной техники. Во многих случаях условия их эксплуатации таковы, что в оболочках возникают сжимающие напряжения, которые могут достигать крити- ческих значений. Величины этих напряжений могут быть известны из предварительно проведенных испытаний или получены расчетным путем. В настоящее время разрабо- таны методы расчета устойчивости оболочек из композитов с использованием мате- матических моделей различной степени точности [1 – 7, 9]. Независимо от кинемати- ческих соотношений и уравнений равновесия используемой теории в большинстве ра- бот принимается структурная идеализация композита, материал которого имеет три плоскости симметрии. Такая модель обоснована тем, что при изготовлении оболочек слоистый пакет формируется с учетом анизотропии, возникающей от несовпадения направлений армирования с осями оболочки. При этом выбирается подходящее чередо- вание элементарных слоев различного направления так, что при их взаимодействии внутренние напряжения взаимно уравновешиваются. Известно [3, 20], что это справед- ливо, если количество слоев стремится к бесконечности, а толщина слоев – к нулю. Очевидно, что элементарный слой композита не может быть тоньше, чем диаметр волокон, а толщина оболочки в различных изделиях имеет ограничения. Поэтому су- ществует необходимость в разработке методов решения задач теории оболочек, в том числе и задач о нелинейном деформировании и устойчивости оболочек из композитов с использованием более общей модели композита с наименьшим уровнем симметрии материала. В работах [18, 19] экспериментально и с использованием численных методов (МКЭ) показано, что цилиндрическая оболочка, изготовленная навивкой на цилиндри- ческую оправу четырех слоев  , s    , теряет устойчивость по форме с наклоненны- ми к оси вмятинами, т.е. закручивается при нагружении только в направлении оси. Этот эффект учитывался в ряде работ, которые указаны в [3, 18]. Однако у рассмотренных оболочек, как и в случае изотропных и ортотропных, наблюдаются существенные несо- ответствия между экспериментом и теорией. Начальное закритическое поведение и чувствительность к несовершенствам анизотропных оболочек с использованием асимптотического метода Койтера [11, 12], рассмотрены в ряде работ [3, 15 – 17]. 99 В монографии [3] изложены решения ряда задач о нелинейном деформировании и устойчивости оболочек нулевой гауссовой кривизны и оболочек отрицательной кри- визны при взаимодействии растяжения, изгиба и кручения, которые возникают в ре- зультате структурной несбалансированности пакета слоев. В работах [18 – 21], как и в [3, 10], в основу разработанных расчетных моделей положены уравнения теории ани- зотропных оболочек Кирхгофа – Лява. Для оболочек из композитов, если они не очень тонкие, важным фактором, влияющим на их критические нагрузки, является пониженная сопротивляемость поперечным сдвигам. В настоящей работе для решения задачи об устойчивости анизотропных оболочек из композитов используется теория оболочек Тимошенко – Миндлина. Аналитиче- ское решение получено в комплексных тригонометрических рядах, оно более точное, чем одночленное в виде формул, но менее общее, чем решение с помощью МКЭ. Его преимуществом является возможность проведения параметрических исследований без значительных затрат времени при использовании вычислительной техники. §1. Постановка задачи. Основные соотношения и уравнения. Полагаем, что оболочка изготовлена из композита, состоящего из монослоев ар- мированного высокомодульными волокнами связующего. Главные направления упру- гости такого слоя определяются осями 1, 2, 3, первая из которых коллинеарна с во- локнами, а две другие лежат в плоскости изотропии. Так как монослой имеет малую толщину, то ось 2 примем лежащей в его плоскости, а ось 3 – перпендикулярно к ней. Эта ось имеет такое же направление, как и ось z системы координат оболочки. В теории оболочек Тимошенко – Миндлина [5] напряжения zz принимают равными нулю; следовательно, и 33 0  . Зависимости между напряжениями и деформациями для монослоя при учете этого условия преобразуются к виду 11 1211 11 12 2222 22 4423 23 5513 13 6612 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b b b b b b b                                                  ; (1.1) 1 2 11 12 2 11 1 22 22 1 2 1 2 ; ; ; 1 1 E E b b b b b             44 23 55 13; ;b G b G   66 12 12 13 .b G G G      Поверхность приведения оболочки задаем в системе координат ,x y , которые мо- гут не совпадать с осями 1, 2. Пусть оси 1, 2 повернуты вокруг оси z на некоторый угол  . Соотношения уп- ругости (1.1) относительно осей ,x y примут вид 11 12 16 12 22 26 44 45 45 55 16 26 66 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 0 xx xx yy yy yz yz xz xz xy xy b b b b b b b b b b b b b                                                       (1.2) где ijb – константы упругости, которые выражаются через исходные ijb с помощью линейных зависимостей от тригонометрических функций угла  . В векторно- матричном виде имеем равенства: 100 11 1 2 3 22 1 2 3 12 4 3 66 5 3 16 2 3 26 2 3 55 8 9 44 8 9 45 9 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 cos 2 2 0 0 0 2 sin 2 2 0 0 0 2 cos 4 2 0 0 0 sin 4 2 0 0 0 2 0 0 0 0 b u u u b u u u b u u b u u b u u b u u b u u b u u b u                                                                      ;         (1.3)  1 11 22 12 66 1 3 3 2 4 ; 8 u b b b b     2 11 22 1 ; 2 u b b   3 11 22 12 66 1 2 4 ; 8 u b b b b     4 11 22 12 66 1 6 4 ; 8 u b b b b     5 11 22 12 66 1 2 4 ; 8 u b b b b    8 55 44 ,u b b  9 55 44u b b  . Соотношения (1.2) имеют вид, характерный для анизотропного тела с одной плоскостью симметрии [8]. Отметим особенность этих соотношений, связанную с наличием коэффициентов матрицы упругих констант 16 26 45, ,b b b   . Согласно выраже- ниям (1.3), эти константы могут быть положительными, отрицательными или равны- ми нулю в зависимости от угла  . Этот факт существенным образом, как показано ниже, влияет на жесткостные параметры слоистых оболочек. Если оболочка состоит из N монослоев однонаправленного композита, то в соот- ветствие с гипотезами Тимошенко соотношения упругости можно представить в та- ком виде: 11 11 12 16 11 12 16 22 12 22 26 12 22 26 12 16 26 66 16 26 66 11 11 12 16 11 12 16 22 12 22 26 12 22 26 12 16 26 66 12 26 66 23 44 45 13 45 55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T C C C B B B T C C C B B B T C C C B B B M B B B D D D M B B B D D D M B B B D D D T C C T C C                                11 22 12 11 22 12 23 13                                                       (1.4) 1 1 ; ; N N k k ij ij ij ij k k k C C B C S         2 1 ( ); , 1, 2, 6; N k k ij ij ij k k D D C S i j     ,k k ij ijC D жесткости k -го монослоя: 31 , 12 k k ij ij k ij k ijC b t D t b   ; kS – значение координаты z , определяющей поло- жение срединной поверхности k -го слоя). Линеаризованные выражения для деформаций ij и приращений кривизн и кру- чения через перемещения , ,u v w и углы поворота ,  приняты в таком виде: 11 22 12 1 2; ; ; u v w y R                101 1̀3 23; ; w w v x y R             2 2 11 1 22 2 12 1 2; ; ;k k k k k t t R R         (1.5) 1 2 1 2; ; ; ;k k t t x y x y                1 2; . v u x y        Уравнения равновесия в окрестности критической точки в начале закритического состояния запишем в перемещениях, подставив в уравнения равновесия [4, 5] вместо усилий и моментов их выражения через деформации (1.4), заменив последние пере- мещениями согласно (1.5). Получим пять уравнений относительно пяти разрешающих функций , , , ,u v w   . Представим их в виде   0 115 0 1 0 22 2 0, 1, ... , 5,ij j i j T u m S i T                 где im – векторы-строки, компонентами которых являются производные от переме- щений, т.е. имеем 2 2 2 1 2 2, , ; u w u w m x x y y x              2 2 2 2 2 2 2 1 2 , , ; v v w v w v m x x y R x y R y R                  (1.6) 2 2 2 3 2 2 2 1 2 , , ; w w v w v w m x x y R x y R y R                  4 5(0, 0, 0), (0, 0, 0),m m  0 0 0 11 22, 2 ,T S T – докритические усилия сжатия и кручения, изменяющиеся пропорциональ- но коэффициенту  ; ij ju – дифференциальные операторы от перемещений 1( ,ju u u 2 3 4 5, , , )u v u w u u     . Приведем выражения этих операторов, составляющих основу расчетной модели: 2 2 2 11 11 16 16 66 66 662 2 2 1 2 1 2 ; u u u u C C B C B D x R x y R R y                      2 2 2 12 16 12 16 12 66 26 26 162 2 2 1 1 2 1 ; v v v v C C C B B C B D x R R x y R R y                        13 12 12 26 26 262 1 1 1 2 1 ; w w w C B C B D R R x R R R y                   2 2 2 14 11 16 16 66 662 2 1 1 2 ;B B D B D x R x y R y                        102 2 2 2 15 16 12 66 66 26 262 2 1 1 ;B B B D B D x R x y R y                         2 2 2 21 16 16 12 66 12 66 26 262 2 2 2 2 1 1 1 1 ; u u u u C B C C D D C D R x R R x y R y                              2 2 2 22 66 66 26 26 26 22 222 2 2 1 1 1 1 2 ; v v v v C B C B D C D R x R R x y R y                             23 26 26 22 222 2 1 1 1 ; w w w C D C D R R x R y                     2 2 2 24 16 16 66 12 12 26 262 2 1 1 1 ;B D B B D B D R x R x y R y                                2 2 2 25 66 66 26 26 22 222 2 1 1 1 2 ;B D B D B D R x R x y R y                               3 3 31 12 26 26 11 16 163 2 3 3 12 66 66 26 262 3 1 1 1 1 3 2 1 2 ; u u u u u C C B B B D R x R R x x R x y u u B B D B D R x y R y                                          3 3 32 26 22 22 16 12 12 663 2 3 3 26 26 22 222 3 1 1 1 1 2 2 1 3 ; v v v v v C C B B B D B R x R R y x R x y v v B D B D R x y R y                                          33w  2 2 2 22 22 12 12 26 26 22 662 2 1 1 1 1 1 1 2 ; w w w C B w B D B D B D R R R R x R x y R y                                         3 3 3 3 34 12 26 11 16 12 26 263 2 2 3 1 1 3 2 ;B B D D D D D R x R y x x y x y y                               3 3 3 35 26 22 16 12 66 223 2 3 1 1 2 ;B B D D D D R x R y x x y y                        2 2 2 41 11 16 16 66 662 2 1 1 2 ; u u u u B B D B D x R x y R y                     2 2 2 42 16 12 12 66 26 26 452 2 1 1 1 ; v v v v B B D B B D C v x R x y R y R                       103 43 12 12 55 26 26 45 1 1 1 1 ; w w w B D C B D C R R x R R y                             2 2 2 44 11 16 66 552 22 ;D D D C x x y y                  2 2 2 45 16 12 66 26 452 2 ;D D D D C x x y y                 2 2 2 51 11 66 66 12 26 262 2 1 1 ; u u u u B B D B B D x R x y R y                      2 2 2 52 66 26 26 22 22 442 2 1 1 1 2 ; v v v v B B D B D C v x R x y R y R                      53 26 26 45 22 22 44 1 1 1 1 ; w w w B D C B D C R R x R R y                               2 2 2 54 16 66 12 26 452 2 ;D D D D C x x yy y                 2 2 2 55 66 26 22 442 22D D D C x x y y                . §2. Разрешающая система уравнений и ее решение. Для построения системы уравнений, которую удобно использовать для получения аналитического решения, представим все переменные, разрешающие функции и же- сткости в безразмерном виде. Полагаем 2 2; ; ; ; ;x R y R u t u R v t v R w t w      ; ;t R t R          1 1 1 11 11 0 12 16 16 0 13 66 66 66 0; 2( ) ; ( 2 ) ;a C C a C B R C a C B R D R C           1 1 1 2 21 16 0 22 12 66 12 66 0 23 26 26 26 0; ( ) ; ( 2 ) ;a C C a C C B R B R C a C B R D R C           1 1 2 31 12 12 0 32 26 26 26 0( ) ; ( 2 ) ;b R C B R C t b R C B R D R C t           1 1 1 41 11 0 42 16 16 0 43 66 66 0/ ; (2 ) ; ( ) ;a B C t a B D R C t a B D R C t          1 1 1 51 16 0 52 12 66 66 0 53 26 66 0; ( ) ; ( ) ;a B C t a B B D R C t a B D R C t         2 2 2 2 11 16 16 0 12 12 66 12 66 0( ) ; ( ) ;a C B R C a C C D R D R C         2 22 13 26 26 0 21 66 66 0( ) ; ( ) ;a C D R C a C B R C       2 22 2 22 26 26 26 0 23 22 22 0(2 ) ; ( ) ;a C B R D R C a C D R C        2 22 2 31 26 26 0 32 22 22 0( ) ; ( ) ;b R C D R C t b R C D R C t      104    2 2 41 16 16 0 42 66 12 12 66 0( ) ; ( ) ;a B D R C t a B B D R D R C t         2 2 43 26 26 0 51 66 66 0( ) ; ( ) ;a B D R C t a B D R C t       2 2 52 26 26 0 53 22 22 02( ) ; ( ) ;a B D R C t a B D R C t           3 3 3 3 11 12 0 12 26 26 0 11 11 0 12 16 16 0; ( ) ; ; (3 ) ;b C C b C B R C c B C R c B D R C         3 3 13 12 66 66 0 14 26 26 0( 2 2 ) ; ( ) ;c B B D R C R c B D R C R            3 3 3 3 21 26 0 22 22 22 0 21 16 0 22 12 66 12 0; ( ) ; ; ( 2 2 ) ;b C C b C B R C c B C R c B B D R C R          3 3 23 26 26 0 24; 22 22 0(2 2 ) ; ( ) ;c B D R C R c B D R C R         3 3 3 33 12 12 0 34 26 26 0 35 22 22 0( ) ; 2( ) ; ( ) ;a B D R C t a B D R C t a B D R C t             3 3 3 3 41 12 0 42 26 0 41 11 0 42 16 0; ; ; 3 ;b B C t b B C t c D C tR c D C tR       3 3 43 12 66 0 44 26 0( 2 ) ; ;c D D C tR c D C tR        3 3 3 51 26 0 52 22 0 51 16 0; ; ;b B C t b B C t c D C tR        3 3 3 52 12 66 0 53 26 0 54 22 0( 2 ) ; 3 ; ;c D D C tR c D C tR c D C tR         4 4 4 11 11 0 12 16 16 0 13 66 66 0; (2 2 ) ( ); ( ) ;a B C t a B D R C t a B D R C t          4 4 4 21 16 0 22 12 12 66 0 23 26 26 0; ( ) ; ( ) ;a B C t a B D R B C t a B D R C t       4 31b   12 12 0 55 0( ( ) ) ;R B D R t C t RC C t      4 32 26 26 0 44 0( ) ;b R B D R t C t RC C t             4 4 4 42 2 2 2 41 11 0 42 16 0 43 66 0 51 16 0; 2 ; ; ;a D C t a D C t a D C t a D C t       4 42 2 52 12 66 0 53 26 0( ) ; ;a D D C t a D C t        5 5 5 11 16 0 12 12 66 66 0 13 26 26 0; ( ) ( ) ; ( ) ( ) ;a B C t a B B D R C t a B D R C t           5 5 5 21 66 0 22 26 26 0 23 22 22 0; (2 2 ) ; ( ) ;a B C t a B D R C t a B D R C t            5 5 31 26 26 0 45 0 32 22 22 0 44 0( ) ; ( ) ; R R b B D R C t RC C t b B D R C t RC C t t t                5 5 5 52 2 2 2 41 16 0 42 12 16 0 43 26 0 51 66 0; ( ) ; ; ;a D C t a D D C t a D C t a D C t        5 52 2 52 66 0 53 22 02 ; .a D C t a D C t  105 Для записи уравнений (1.6) в безразмерном виде целесообразно использовать ком- пактность векторных операций. Если представить как векторы ( ) – совокупность вторых производных от некоторой функции ( ), 1( ) – первых и 2 ( ) – третьих ана- логично, т.е. 2 2 2 12 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , ; ( ) , ;                             3 3 3 3 2 3 2 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , ,                      а также как векторы – столбцы     1 2 3 1 2( , , ) ; ( , ) ;i ii i i T i i T k k k k k k kA a a a B b b    1 2 3 4( , , , ) , , 1, ... , 5,i i i i i T k k k k kC c c c c k i  ( , , , , ) ,TU u v w   то можем записать оператор  iL от вектора U в таком виде:                         1 2 3 4 5 i i i i i iL U u A v A w A A A          . Это дает возможность получить систему уравнений устойчивости менее громозд- кую, чем исходная (1.6), и более доступную для получения аналитического решения. Представим ее в таком виде:     2 2 3 1 2 32 0;t s q q u u u w L U ha ha ha a                          2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 0;t s q v v w v w L U ha ha ha v h h                                     (2.1)                     3 3 3 3 3 1 1 2 1 1 2 2 2 22 3 3 3 3 3 1 3 1 4 2 4 1 5 2 5 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u B u C v B u C b w h w A B C B C                       2 2 2 22 2 3 0;t s q w w v w v u a a h a w h h                                           4 45 55 45 1 1 0;L U v h h            5 77 45 77 1 1 0L U v h h         . 45 45 0 55 55 0 77 44 0( ; ; ;C R C t C R C t C R C t     0 11C C , но может быть выбрана рав- ной любой другой жесткости ijC или их комбинации). Решение уравнений (2.1) будем искать при граничных условиях 11 110; ; 0; 0; 0;t v o w m      при 0; .L R  Учитывая полноту системы тригонометрических функций, представим переме- щения в виде комплексных двойных тригонометрических рядов 106 , , , , , , cos ; sin ; sin ;i n i n i n m n m m n m m n m m n m n m n u u l l v v l l w w l l         , , cos ;i n m n m m n l l     , , sin i n m n m m n l l     ( , 1, 1, 2, 3, ... , 0, 1, 2, ...).ml m R L i m n     Для определения коэффициентов этих рядов получим систему алгебраических уравнений, выполнив интегрирование системы (2.1) по методу Бубнова – Галеркина. Эта система имеет такой вид: , , , , , , , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 11 , 13 , , ( ) 0;m k m k m k m k m k m k m k m n m n m n m n m n m n m n m n X u X v X w X X Y u Y w           , , , , , , , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 22 , 23 , , ( ) 0;m k m k m k m k m k m k m k m n m n m n m n m n m n m n m n X u X v X w X X Y u Y w           , , , , , 31 , 32 , 33 , 34 , 325 , , m k m k m k m k m k m n m n m n m n m n m n X u X v X w X X       , , 31 , 32 , 33 ,( ) 0;m k m k m n m n m nY u Y v Y w     , , , , , 41 , 42 , 43 , 44 , 45 , , 0;m k m k m k m k m k m n m n m n m n m n m n X u X v X w X X        , , , , , 51 , 52 , 53 , 54 , 55 , , 0m k m k m k m k m k m n m n m n m n m n m n X u X v X w X X        . (2.2) Система распадается по индексам n , но остается связанной по индексам m и k . Коэффициенты ijX и ijY вычисляются по формулам:      1 1 12 2 11 11 13 12( ) ( , ) ;k m m mX a l a n ia n l m k         1 1 12 2 12 21 23 22( ) ( , ) ;k m m mX a l a n m k ia n l       1 1 13 31 32 ( , ) ;k m mX b l ib n m k        1 1 12 2 14 41 43 42( ) ( , ) ;k m m mX a l a n ia n l m k         1 1 12 2 15 51 53 52( ) ( , ) ;k m m mX a l a n m k ia n l         2 2 22 2 21 11 13 12( ) ( , ) ;k m m mX a l a n m k ia n l         2 2 212 2 22 21 23 22( ) ( , );k m m mX a l a n ia n l m k       2 2 23 31 32( , ) ;k m mX b l m k ib n        2 2 22 2 24 41 43 42( ) ( , ) ;k m m mX a l a n m k ia n l         2 2 22 2 25 51 53 52( ) ( , ) ;k m m mX a l a n ia n l m k               3 3 3 3 3 33 2 2 3 31 11 12 11 13 12 14( , ) ( ) ( ) ( , ) ;k k m m m m m mX b l ib n m k c l c l n i c n l c n m k                    3 3 3 3 3 33 2 2 3 32 21 22 21 23 22 24( , ) ( ) ( , ) ( ) ;k k m m m m m mX b l m k ib n c l c l n m k i c n l c n                3 3 3 32 2 33 22 33 35 34 1 ( ) ( , ) ;k k m m m mX b a l a n i a k m n l h       107            3 3 3 3 3 33 2 2 3 34 41 42 41 43 42 44( , ) ( ) ( , ) ;k k k m m m m m m mX b l ib n m k c l c l n ic n l m k ic n                     3 3 3 3 3 33 2 2 3 35 51 52 51 53 52 54( , ) ( ) ( , ) ( ) ;k k m m m m m mX b l m k ib n c l c l n m k ii c n l c n               4 4 42 2 41 11 13 12( ) ( , );k m m mX a l a n ia n l m k         4 4 42 2 42 21 23 22 45( ) ( , ) ( , );k m m mX a l a n m k ia n l m k          4 4 43 31 32 ( , );k m mX b l ib n m k        4 4 42 2 44 41 43 42 55 1 ( ) ( , ) ;k k m m m mX a l a n ia n l m k h             4 4 12 2 45 51 53 52 45 1 ( ) ( , ) ( , ) ;k m m mX a l a n m k ia n l m k h             5 5 52 2 51 11 13 12( ) ( , ) ;k m m mX a l a n m k ia n l         5 5 52 2 52 21 23 22 77( ) ( / ) ;k k m m m mX a l a n ia n l m k          5 5 53 31 32( , ) ;k m mX b l m k ib n        5 5 52 2 54 41 43 42 45 1 ( ) ( , ) ( , );k m m mX a l a n m k ia n l m k h             5 5 52 2 55 51 53 52 75 1 ( ) ( , ) ;k k m m m mX a l a n ia n l m k h        , 2 2 11 2 ( , ) ;m k k k t m m s m q mY ha l ha i n l m k ha n     , 13 m k k q m mY a l  ; , 2 2 22 ( 2) 2 ( , ) ;m k k t m q m s mY h a l a n ha i n l m k       , 23 (2 3 ) ( , ) ;m k s m qY a l a i n m k  , 31 m k k q m mY ha l  ; , 2 32 2 ( , ) 3 ;m k k s m q mY ha l m k ha i n    , 2 2 33 ( 2) 2 ( , ) ,m k k t m q m s mY a l a n a i n l m k       где k m – функция Кронекера;  ( , ) 2 1 ( ) 1 ( )m k m k m k     , числа ,m k m k – нечетные. Система алгебраических уравнений (2.2) однородна. Она имеет нетривиальное решение при равном нулю определителе. Значение c , при котором определитель равен нулю, определяет величину критической нагрузки. Если жесткости 16 26,C C не равны нулю, то при осевой нагрузке или внешнем давлении в оболочке возникают также усилия сдвига S [3]. Изложенная выше расчетная модель использована для исследования устойчиво- сти оболочек из композитов, состоящих из слоев с различной ориентацией главных направлений упругости. §3. Числовые результаты и их анализ. При исследовании устойчивости оболочек из композитов во многих работах [13 – 21] рассмотрены конфигурации структур, состоящие из повторяющихся сочетаний (0°, 90°, + 45°, – 45°). Основываясь на установленных автором статьи [14] принципах оп- тимизации, в работах [20, 21] получен ряд вариантов 48-слойных цилиндрических оболочек с углами армирования, близкими к оптимальным. 108 Однако подобные однородные структуры не исчерпывают возможных вариантов конфигураций пакета слоев и распределения углов армирования. Кроме того, необхо- димо выяснить, какое влияние на изучаемые критические состояния оказывает толщина оболочки и пониженная сопротивляемость поперечным сдвигам. Приводимые ниже примеры расчета направлены на получение соответствующей информации (ограничен- ной рамками используемой теории и вариантов рассмотренных оболочек). Вначале рассмотрим устойчивость при осевой нагрузке анизотропных бороалюми- ниевых оболочек, состоящих из N слоев с такими механическими характеристиками: 1 229,6E  ГПа; 2 142,7E  ГПа; 12 58,6G  ГПа; 13 12G G ; 23 54,5G  ГПа; 1 0,2  ; 2 1 2 1/E E  . Направления, обозначенные цифрами 1, 2, 3 совпадают с главными направления- ми упругости слоев. Полагаем, что оболочки радиусом R  1 м, длиной L  2 м армированы под раз- личными углами к образующей (оси x ) оболочки (в первом примере 1N  ). Угол  в формулах (1.3) изменяется от 0° до / 2 . Так как аргумент тригонометрических функций в (1.3) кратный  , то при больших значениях  результат будет повторяться с периодом / 2 . На рис. 1 показаны графики в осях   – . /anis ort    , где anis – критическое значение осевого напряжения оболочки c винтовым армированием, ort – осевое напряжение для той же оболочки, вычисленное без учета в соотношениях упругости коэффициентов 16 16,C D . Пунктирные кривые 1 – 3 получены с использова- нием теории Кирхгофа–Лява [3], сплошные 4 – 6 – согласно предлагаемой методике. Кривые 1–3 получены, соответственно, для оболочек толщиной t  0,01м; 0,05м; 0,1м. Рис. 1 Характерной особенностью результатов на рис.1 является то, что при учете де- формаций поперечного сдвига влияние винтовой анизотропии на критические нагруз- ки значительно меньше, чем без ее учета. С увеличением толщины также происходит уменьшение эффекта анизотропии. Как известно, с увеличением количества слоев механические свойства композита приближаются к свойствам ортотропного материа- ла. О том, какое влияние при этом оказывает пониженная сдвиговая жесткость, дают представленные кривые на рис. 2. Сплошные кривые 2, 4, 8, 12 вычислены с исполь- зованием теории оболочек Тимошенко – Миндлина, пунктирные – теории Кирхгофа – Лява. Толстые кривые в нижней и верхней группе кривых описывают зависимость критических значений осевой нагрузки от угла армирования  для ортотропного ма- териала. Как видно, при расчете оболочек на основании уточненной теории при 109 16 26 6 0iC C D   , но с 6 0iB  , дискретный характер структуры оболочек проявляет- ся при большем количестве слоев, чем в классической теории. Рис. 2 Рис. 3 Кривые на рис. 3 также обнаруживают существенное различие между расчетными критическими нагрузками, полученными по указанным двум теориям (здесь по оси ординат отложены значения критических напряжений для бороалюминиевой оболоч- ки толщиной 0,1t  м). Цифры возле кривых – число слоев оболочки N , для которых они вычислены. Индекс «s» или «а» возле N обозначает симметричную или асимме- тричную структуру слоистого пакета, «ort» – ортотропную. Четырехслойные оболоч- ки имеют армирование ( , )S  и ( , )a  , 48-слойные имеют 24 слоя до срединной поверхности и такое же количество с противоположной стороны также с симметрич- ным и асимметричным армированием [20]. Для ортотропных оболочек кривые ( )  имеют точки излома, в которых происходит смена форм потери устойчивости (кривые гладкого вида имеют место для анизотропных оболочек). Отметим, что эта особен- ность кривых ( )  наблюдается не только для оболочек, у которых жесткости 6 6,i iC D или 6iB достаточно велики (небольшое количество слоев), но и в тех вариан- тах, когда они весьма малы. На рис. 3 кривые 48, а и 48 а (пунктирная) имеют различ- 110 ный вид (предположительно, анизотропией при таком количестве слоев можно было бы пренебречь). Еще одна особенность в характере зависимости ( )  установлена для анизотропных оболочек малой толщины при использовании классической теории и теории оболочек Тимошенко – Миндлина. Рис. 4 На рис. 4 представлены кривые 1к и 1т, полученные для тонкой ( /R t =112) 48- слойной оболочки симметричной структуры [20]. В окрестности максимальной нагруз- ки кривая 1т имеет участок немного вогнутый там, где кривая 1к строго выпуклая. Мак- симум на кривой 1т смещен влево, где   41°. Кривые 2 и 2к вычислены для оболоч- ки с такими же механическими и геометрическими параметрами, но с асимметричным расположением слоев относительно срединной поверхности. Здесь максимум смещен влево к 30°, но величина его незначительно отличается от максимума при симметрич- ном пакете слоев. Какой из этих вариантов оптимизации предпочтительнее на прак- тике можно определить, исследуя чувствительность к несовершенствам [3]. Заключение. Получено решение задачи об устойчивости слоистых цилиндрических оболочек с учетом анизотропии, обусловленной наличием в пакете слоев с одной плоскостью симметрии. В рассматриваемой постановке такие слои появляются из-за того, что у них главные оси упругости не совпадают с направлениями линий главных кривизн поверхности, на которой задана гауссова система координат. Разрешающая система дифференциальных уравнений равновесия в начале закритической траектории получена на основании гипотез Тимошенко в перемещениях. Решение аппроксимируется двой- ными тригонометрическими рядами в комплексной форме. Граничные условия свобод- ного опирания по перемещениям удовлетворяются точно, по усилию и моментам – ин- тегрально. Для получения однородной алгебраической системы уравнений относи- тельно коэффициентов рядов использована процедура метода Бубнова – Галеркина. Исследована зависимость критических значений осевых сжимающих напряжений от направлений армирования монослоев, от их количества и толщины, от их попереч- ной сдвиговой жесткости. В отличие от ортотропных оболочек в рассматриваемой постановке глубже проявляется дискретный характер структуры слоистого пакета, несмотря на то, что, как и в классической теории, здесь используется единая гипотеза для всей совокупности слоев. В зависимости от количества слоев, от их четности или нечетности, от симметрии или антисимметрии, от их однородности или неоднородно- сти будут равными нулю (или неравными) некоторые из коэффициентов в соотноше- 111 ниях обобщенного закона Гука. Это порождает ряд механических эффектов таких, например, как закручивание при осевом сжатии. Если при сравнении результатов расчета на устойчивость оболочек из композитов на основании ортотропной классической и уточненной теорий основной эффект свя- зан с уменьшением критических нагрузок при увеличении их толщины, то при учете анизотропии пониженная сдвиговая жесткость композитов весьма существенно влия- ет в окрестности максимумов на кривой ( )  , в частности, при подходе к значениям, которые близки к оптимальным, в случае также тонких оболочек. Р Е ЗЮМ Е . Розроблено методику розрахунку стійкості шаруватих циліндричних оболонок з врахуванням анізотропії, що зумовлена наявністю в пакеті шарів з однією площиною симетрії. Роз- в’язувальну систему диференціальних рівнянь отримано на основі гіпотез Тимошенка в переміщеннях. Досліджено залежність критичних навантажень від напрямків армування моношарів, їх кількості, товщини, поперечної зсувної жорсткості при осьовому стиску. 1. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Ортотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, коле- бания. – Новосибирск: Наука, 2001. – 288 с. 2. Бабич Д.В., Кошевой И.К. Об устойчивости перекрестно армированных идеальных и слабо искрив- ленных цилиндрических оболочек // Прикл. механика. – 1988. – 24, № 1. – С. 114 – 118. 3. Баженов В.А., Семенюк М.П., Трач В.М. Нелінійне деформування, стійкість і закритична поведінка анізотропних оболонок. – К.: Каравела, 2010. – 352 с. 4. Ванин Г.Л., Семенюк Н.П., Емельянов Р.Ф. Устойчивость оболочек из армированных материалов. – К.: Наук. думка, 1978. – 212 с. 5. Ванин Г.Л., Семенюк Н.П. Устойчивость оболочек из композиционных материалов с несовершен- ствами. – К.: Наук. думка, 1987. – 200с. 6. Гавриленко Г.Д. Устойчивость ортотропных цилиндрических оболочек с учетом моментности док- ритического состояния // Прикл. механика. – 1968. – 5, № 3. – С. 36 – 42. 7. Гузь А.Н., Бабич И.Ю. Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек. – К. Вища шк., 1980. – 168 с. 8. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. – М.: Наука, 1977. — 416 с. 9. Рикардс Р.Л., Тетерс Г.А. Устойчивость оболочек из композитных материалов. – Рига: Зинатне, 1974. – 310 с. 10. Семенюк Н.П., Жукова Н.Б. Начальное закритическое поведение слоистых цилиндрических обо- лочек из композитов // Механика композитных материалов. – 1987. – №1. – С. 88 – 93. 11. Budiansky B. Theory of Buckling and Post-bucking Behavior of Elastic Structures // Adv. Appl. Mech. – 1974. – 14. – P. 2 – 65. 12. Koiter W.T. Elastic stability and post-buckling behavior //Proc. Symp.Nonlinear Problems. – Madison: Univ.of Wisconsin Press, 1963. – P. 257 – 275. 13. Nemeth N.P. Nondimensional parameters and equations for buckling of anisotropic shallow shells // J.Appl.Mech. – 1994. – 61, N3. – P. 664 – 669. 14. Onoda J. Optimale laminate configuration of cylindrical shells for axial buckling // AIAA J. – 1985. – 23, N 7. – P. 1093 – 1098. 15. Semenyuk N.P. Stability of Corrugated Arches under External Pressure // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 2. – P. 211 – 219. 16. Semenyuk N.P. On Nonlinear Deformation of Shells under Finite Angles of Rotations and Small Elasto- plastic Strains // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 2. – P. 34 – 44. 17. Semenyuk N.P., Zhukova N.B. Stability abd Postcritical Behavior of Corrugated Cylindrical Panels un- der External Pressure // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 6. – P. 701 – 714. 18. Simitses G.J. Analysis of anisotropic laminated cylindrical shells subjected to destabilizing loads. Part 1: Theory and solution procedure // Compos. Struct. –1991. – 19, N 2. – P. 167 – 181. 19. Soldatos K.P. On the buckling and vibration antisymmetric angle-ply laminated circular cylindrical shells // Int.J.Eng.Sci. – 1983. – 21, N 3. – P. 217 – 222. 20. Weaver P.M. The Effect of Extension-Twist Anisotropy on Compression Buckling in Cylindrical Shells // Composite Part B: Engineering. – 2003. – 34, N3. – P. 251 – 260. 21. Weaver P.M., Driesen J.R., Roberts P. The effect of flexural-twist anisotropy on compression buckling of quasi-isotropic laminated cylindrical shells // Composite Struct. – 2002. – 55. – P. 195 – 204. Поступила 12.07.2013 Утверждена в печать 19.02.2015

К теории устойчивости композитных цилиндрических оболочек

Institution

Ähnliche Einträge