Напряженное состояние нетонкой трансверсально-изотропной пластины с криволинейным отверстием
Побудовано розв’язок задачі про напружений стан трансверсально-ізотропної пластини, послабленої криволінійним отвором. В основу його покладено метод розвинення шуканих функцій в ряд Фур’є за поліномами Лежандра координати товщини і метод збурення форми границі. Приведено числові результати для пласт...
Saved in:
| Published in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2015
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141003 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Напряженное состояние нетонкой трансверсально-изотропной пластины с криволинейным отверстием / И.Ю. Хома, О.Г. Дашко // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 112-124. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860114687882952704 |
|---|---|
| author | Хома, И.Ю. Дашко, О.Г. |
| author_facet | Хома, И.Ю. Дашко, О.Г. |
| citation_txt | Напряженное состояние нетонкой трансверсально-изотропной пластины с криволинейным отверстием / И.Ю. Хома, О.Г. Дашко // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 112-124. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | Побудовано розв’язок задачі про напружений стан трансверсально-ізотропної пластини, послабленої криволінійним отвором. В основу його покладено метод розвинення шуканих функцій в ряд Фур’є за поліномами Лежандра координати товщини і метод збурення форми границі. Приведено числові результати для пластин з еліптичним, квадратним і трикутним отворами з закругленими кутами та дано їх аналіз.
A solution is built for the problem on the stress state of transversely isotropic plate weakened by a curvilinear hole. This solution is based on the method of expansion of unknown functions into the Fourier series by Legendre polynomials depending on coordinate thickness, and the method of disturbance of the boundary shape. The numerical results are shown and discussed for plates with elliptic, square, and triangle holes with rounded angles.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:36:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
2015 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 51, № 4
112 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2015, 51, № 4
И .Ю .Х о м а , О . Г .Д аш к о
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ НЕТОНКОЙ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-
ИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ С КРИВОЛИНЕЙНЫМ ОТВЕРСТИЕМ
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: reolog@inmech.kiev.ua
Abstract. A solution is built for the problem on the stress state of transversely isotropic
plate weakened by a curvilinear hole. This solution is based on the method of expansion of
unknown functions into the Fourier series by Legendre polynomials depending on coordi-
nate thickness, and the method of disturbance of the boundary shape. The numerical results
are shown and discussed for plates with elliptic, square, and triangle holes with rounded
angles.
Key words: transversely isotropic plate, stress state, hole, curvilinear, elliptical, square,
triangular.
Введение.
Задачи концентрации напряжений около круговых отверстий в изотропных и
трансверсально-изотропных пластинах рассмотрены многими авторами [1, 8 – 12, 17,
18]. Для решения соответствующих задач для пластин с отверстиями, отличными от
круговых, в [5, 7] предложен на базе однородных решений метод сингулярных инте-
гральных уравнений. Методом конечно-элементной дискретизации конечной области
в [19, 20] рассмотрены задачи концентрации напряжений в упругих пластинах с кру-
говым и эллиптическим отверстием. Анализ концентрации напряжений в упругих
пластинах с выемками проведен в [16]. В работе [11] для определения напряженного
состояния нетонких трансверсально-изотропных пластин с некруговыми отверстиями
применен метод разложения искомых функций в ряды Фурье по полиномам Лежандра
в сочетании с методом возмущения формы границы [2].
В данной работе приведены основные уравнения и рекуррентные соотношения,
необходимые для решения поставленной задачи в произвольном приближении. На
основании полученных равенств рассмотрены задачи о напряженном состоянии
трансверсально-изотропных пластин, ослабленных эллиптическим, квадратным и тре-
угольным с округленными углами отверстиями.
§1. Постановка задачи. Основные соотношения.
Предположим, что пластина толщиной 2h ( consth ), занимающая область
,S h h трехмерного пространства 3R , отнесена к декартовой системе коор-
динат ix ( 1,2,3i ). Примем, что 1 2,x x размещены на серединной плоскости S , а
3 ,x h h . Представим, следуя [6, 10], компоненты вектора перемещений
1 2 3, ,ju x x x и тензора напряжений 1 2 3, ,ij x x x в виде конечного ряда Фурье по
полиномам Лежандра kP координаты толщины
1 2 3 1 2 3
0
, , , , , ,
N
k k
j ij j ij k
k
u x x x x x x u x x P
, (1.1)
113
где 1 2( , )x x x S , 1
3 1,1h x , k
ju x , k
ij x – коэффициенты разложений,
определяемые формулами
( ) ( ) 1
1 2 3 1 2 3 32
1
, , , , , ,
h
k k
j ij j ij k
h
u x x k u x x x x x x P dx
h
. (1.2)
Относительно коэффициентов разложений (именуемых моментами) как функций
двух независимых переменных, получаем систему уравнений равновесия [13]
( ) 1 ( 2 1) ( )
3
0
2 1 0
K
k k s k
j j j
s
k h X
1, 2,3; 0,j k N , (1.3)
где 1,2 , 1 2K k (символ K обозначает целую часть числа
K ) и соотношения упругости, связывающие моменты напряжений ( )k
ij и деформа-
ций ( )k
ij , т.е.
( ) ( )k k
ij ijlm lmc . (1.4)
Здесь ijlmc – упругие постоянные материала, удовлетворяющие условиям симметрии:
ijlm jilm lmijc c c , ( )k
ij – моменты деформаций, определяемые формулами
( ) ( )k k
j ju 1,2 ; ( ) 1 ( )
3
k k
j jh u 1, 2,3j , (1.5)
в которых ( ) ( 1) ( 3)2 1 ...k k k
j j ju k u u , причем ( ) 0n
ju , если n N . В приведен-
ных равенствах по повторяющимся индексам подразумевается суммирование, причем
греческие буквы принимают значения 1, 2, а латинские – 1, 2, 3.
Свободные члены ( )k
jX в уравнениях (1.3) – функции вида
( ) 11
3 32 1
kk
j j jX k h , (1.6)
где 3 j и 3 j – напряжения, заданные на плоских гранях 3x h и 3x h , соответст-
венно.
Равенства (1.3) – (1.6) образуют замкнутую систему уравнений относительно вве-
денных неизвестных функций. Для однозначного их определения данную систему
необходимо дополнить граничными условиями, заданными на кривой S области S .
Пусть v
– орт внешней нормали; s
– орт касательной кривой vS и n v s
.
Очевидно, вектор n
направлен вдоль образующей цилиндрической поверхности
[ , ]v vS h h . Предположим, что на поверхности v задан вектор напряжений
v vv vs vnp v s n
. Тогда, используя формулы разложения (1.1), получаем на vS
граничные условия ( ) ( )
1
k k
vv f , ( ) ( )
2
k k
vs f , ( ) ( )
3
k k
vn f ( 0, )k N . Если же на поверх-
ности v задан вектор перемещений v s nu u v u s u n
, то граничные условия на
vS имеют вид ( ) ( )
1
k k
vu g , ( ) ( )
2
k k
su g , ( ) ( )
3
k k
nu g ( 0, )k N . Здесь ( ) ( )
1 2,k k
j jf f x x ,
( ) ( )
1 2,k k
j jg g x x 1, 2, 3j – моменты заданных функций точек кривой, опреде-
ляемы по формулам (1.2).
§2. Уравнения трансверсально-изотропной пластины.
Рассмотрим трансверсально-изотропную пластину, плоскость изотропии которой
совпадает с плоскостью S . Введем в области S комплексные переменные z x iy
и z x iy и связанные с ними дифференциальные операторы 2 z x i y ,
114
2 z x i y , где 1x x a , 2y x a , a – некоторый линейный размер плос-
кости S .
Приведенные в §1 уравнения для трансверсально-изотропной пластины распада-
ются на две независимые группы уравнений, описывающие, соответственно, симмет-
ричное и кососимметричное (по отношению к плоскости S ) деформирование пласти-
ны. При симметричном деформировании однородные ( ( ) 0k
jX ) уравнения (1.3) в
комплексной форме при 2N n ( 0,1,...,n ) имеют вид
(2 ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) 1 (2 1)
11 22 12 11 22
1
2 4 1 0
k
k k k k k s
z z
s
i k ah
0,k n ;
1
(2 1) (2 1) 1 (2 )
33
0
4 1 0
k
k k s
z z
s
k ah
1,k n , (2.1)
а соотношения упругости (1.4), (1.5) записываются таким образом:
(2 ) (2 ) (2 ) 1 (2 1)
11 22 12 66 13 3
1
2 4 1
n
k k k s
s k
c c e k c ah u
;
(2 ) (2 ) (2 ) (2 )
11 22 12 662 4k k k k
zi c u ; (2 ) (2 ) 1 (2 1)
33 13 33 3
1
4 1
n
k k s
s k
c e k c ah u
0,k n ;
(2 1) (2 1) 1 (2 )
44 32 4 1
n
k k s
z
s k
c u k ah u
1,k n (2.2)
( (2 1) (2 1) (2 1)
13 33
k k ki
; (2 ) (2 ) (2 )
1 2
k k ku u iu ; (2 ) (2 ) (2 )k k k
z ze u u ;
ijc ( , 1,2,3i j ), 44c , 66c – упругие постоянные, 11 12 662c c c ).
Подставляя выражения (2.2) в равенства (2.1), получим такую систему уравнений:
2 2
66 12 66
2 1 21 ( ) 1 ( )
2 1 3 44 2
1 1
2
4 1 2 0
k k
z
n n
s sk k
s z s
s s
c u c c e
k ah u c ah u
0,k n ;
2 1 2 2 11 ( ) 1 ( )
44 3 2 33 2 1 3
0 1
4 1 0
n n
k s sk k
s s
s s
c u k ah e c ah u
1,k n (2.3)
( 24 z z – оператор Лапласа;
44
2 1
13
,1 ;
, ;
k
s
c s k
c k s n
13
2
44
,1 ;
, ;
k
s
c s k
c k s n
2 1
2 1 ,1 ;
2 1 , ;
k
s
s s s k
k k k s n
2
2 1 ,1 ;
2 1 , ).
k
s
s s s k
k k k s n
Общее аналитическое решение системы (2.3) имеет вид [10]
2
0 * (0)
66
1
( ) ( ) ( )
n
l z l
l
c u z z z z a V
κ ;
2
2 * (2) (2)
66 2
1 1
( )
n n
l z l s z s
l s
c u z a V i b W
κ ;
115
2
2 (2 ) (2 )
66
1 1
n n
k k k
l z l s z s
l s
c u a V i b W
2,k n ;
2
1 * (1)
66 3 1
1
( ) ( )
n
l l
l
c u z z c V
κ ; (2.4)
2
(2 1) (2 1)
66 3
1
n
k k
l l
l
c u c V
2,k n ;
2
(2 ) (2 )
66
1
n
k k
l l
l
c e c V
1,k n ;
2
(0) * (0)
66
1
( ) ( )
n
e l l
l
c e z z c V
κ ,
где z , z – произвольные голоморфные функции, lV и sW – метагармониче-
ские функции, удовлетворяющие равенствам
2 0l l lV V ; 2 0s s sW W , (2.5)
в которых параметры 2
l и 2
s являются корнями соответствующих характеристиче-
ских уравнений, (2 )k
la , (2 )k
sb , (2 1)k
lc – безразмерные константы,
* 66
1 11
2
1
c
c c
κ ; * 13 66
1
1 11 33
2c c h
c c c a
κ ;
2
* 13 66
2 2
1 11 33
4
3
c c h
c c c a
κ .
В области S наряду с декартовыми рассмотрим полярные координаты ,r и вос-
пользуемся формулами преобразования компонент тензора напряжений. Учитывая
при этом значения функций (2.4), имеем равенства
2
(0) (0) (0)
1
4 ( ) ( ) 2
n
rr l l
l
z z d V
;
2
(0) (0)
33 3
1
n
l l
l
d V
;
2
(0) (0) (0) 2 (0) 2
1
2 4
n
i
rr r l z l
l
i e z z z a V
;
2
(2 ) (2 ) (2 )
1
2
n
k k k
rr l l
l
d V
;
2
(2 ) (2 )
33 3
1
n
k k
l l
l
d V
1,k n ; (2.6)
2
2(2 ) (2 ) (2 ) 2 (2 ) 2 (2 ) 2
*
1 1
2 4
n n
kk k k i k k
rr r l z l s z s
l s
i e z a V i b W
;
2
(2 1) (2 1) (2 1) (2 1)
3 3
1 1
2
n n
k k i k k
r l z l s z s
l s
i e p V i q W
( 2 *
* 2 κ , 2
* 0k ( 1k ); 2k
ld , 2
3
k
ld , 2 1k
lp , 2 1k
sq – постоянные вида
13(2 ) (2 ) (2 1)12 66
166 66
4 1 n
k k s
l l l
s k
k c ac c
d c c
c c h
;
33(2 ) (2 ) (2 1)13
3
166 66
4 1 n
k k s
l l l
s k
k c ac
d c c
c c h
;
(2 1) (2 1) (2 )44
66
4 1
2
2
n
k k s
l l l
s k
k ac
p c a
c h
;
44(2 ) (2 )
66
4 1
2
n
k l
s s
l k
k c a
q b
c h
).
116
Из равенств (2.6) при a R получаем на контуре кругового отверстия радиуса R
граничные условия
2
(0) (0) 2 (0) (0) 2 2
1
2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2
n
i i
rr r l l l z l
l
i z z e z z z d V a e V
;
2
2(2 ) (2 ) 2 (2 ) (2 ) 2 2 (2 ) 2 2
*
1 1
2 2
n n
kk k i k k i k i
rr r l l l z l s z s
l s
i e z d V a e V i b e W
1,k n ;
(2.7)
2
(2 1) (2 1) (2 1)
3
1 1
2Re
n n
k i k k
r l z l s z s
l s
e p V i q W
1,k n .
Напряжения (2 )k
r ( ,r ), (2 1)
3
k
r
на граничной кривой примем заданными. За-
метим, если на цилиндрической поверхности ,R h h заданы компоненты вектора
напряжений ,rj
( , ,3j r ), то, раскладывая их в ряды Фурье по полиномам
Лежандра координаты толщины 1
3h x и приравнивая коэффициенты разложения
( )m
rj
на контуре 1r к соответствующим значениям напряжений левой части
равенств (2.7), имеем
(2 ) (2 ) (2 ) (2 )
1
, ,k k k k
rr r rr r
r
r i r i
0,k n ;
(2 1) (2 1)
3 31
,k k
r rr
r
1,k n ,
где ( )m
rj – моменты заданных напряжений, определяемые формулами (1.2).
§3. Трансверсально-изотропная пластина с криволинейным отверстием.
На основании приведенных формул рассмотрим задачу о напряженном состоянии
нетонкой трансверсально-изотропной пластины с криволинейным отверстием, контур
L которого незначительно отличается от кругового контура радиуса R . Для решения
задачи воспользуемся эффективным приближенным методом возмущения формы
границы [2]. Полагаем, что гладкий криволинейный контур L области S описывает-
ся уравнениями
cos cosx m ; sin siny m , (3.1)
где x , y – безразмерные декартовые координаты; m – целое положительное число;
– малый параметр. При определенных значениях m и получаем соответствую-
щие формы отверстий: эллиптическую, квадратную и треугольную с закругленными
углами. Функцию, конформно отображающую внешнюю область единичного круга
на бесконечную область, ограниченную кривой (3.1), задаем формулой
z x iy f ( iz re ; ie ;
mf ; и – ортогональные криволинейные координаты).
(3.2)
Так как система координат , , повернута на некоторый угол относитель-
но 3, ,r x вокруг общей оси 1
3h x и в обеих системах имеют место разложения
в ряд по полиномам Лежандра вида (1.1), то по известным формулам преобразования
компонент тензора напряжений имеем соотношения
(2 ) (2 ) (2 ) 2 (2 ) (2 ) (2 )2 2k k k i k k k
rr ri e i
;
117
(2 ) (2 ) (2 ) (2 )k k k k
rr ; (2 ) (2 )
33
k k
0,k n (3.3)
(2 1) (2 1) (2 1) (2 1)
3 3
k k i k k
ri e i
1,k n
( ( ) ( ) ( , )m m
i j i j ( , , ,i j ), ( ) ( ) ( , )m m
ij ij r ( , , ,3i j r )).
Учитывая (3.2), связь между переменными ,r и , устанавливаем согласно
равенствам
r ; arctg Im Re , (3.4)
а экспонента ie определяется формулой [3]
ie
. (3.5)
В криволинейной системе координат краевые условия на границе L области S
записываем таким же способом, как и для пластины с круговым отверстием. Так, если
на поверхности ,L h h заданы компоненты вектора напряжений ,j
( , ,j ), то граничные условия на L имеют вид
2 2(2 ) (2 )
1
, ,k kk ki i
0,k n ;
2 1 2 1
1
,k k
1,k n .
Согласно формулам (3.4), основные уравнения (2.5) в переменных , будут
достаточно сложными, и получить их точное решение не представляется возможным.
Поэтому, следуя работам [3, 4], решение задачи определим в виде рядов по положи-
тельным степеням малого параметра , т.е.
( ) ( , )
0
, ,k k
i j i j
; ( ) ( , )
0
, ,k k
j ju u
. (3.6)
Естественно, пользуясь равенствами (3.3), необходимо и правые части (3.3) пред-
ставить в виде рядов по степеням параметра . Принимая во внимание формулу (3.5),
получаем
2
2
1 1 21 , , 2 , ...
2
ie i q q iq ;
2 2 2
1 1 21 2 , 2 , , ...ie i q q iq (3.7)
1 2
1
, Imq f f
; 2 2 2 2 2
2 4
1
, Im
2
q f f
.
Произвольные скалярные функции ,kF r (в частности, компоненты тензора
напряжений ( ) ,k
ij r ), согласно [3], представляем рядом
( ) ( )
0
1
, ,
!
k p k
p
p
F r L F
p
, (3.8)
118
в котором pL – операторы такого вида:
0 1L , 1L f f , 2 2
2L f 2 22 f f f .
Если учесть, что
1
2
i i
e
;
1
2
i i
e
и mf , то функции 1 ,q , 2 ,q примут вид
1 1
1
sin 1
m
m
q m
;
2
2 2( 1)
1
sin 2 1
2 m
m
q m
,
а операторы pL ( 1,2p ) запишем таким образом:
1
1 1
cos 1 sin 1
m
L m m
;
2 2
2 2 2 2 2
1 1 1
2 m
L
2 2
2 2 2
1 1 1
cos 2 1 2sin 2 1m m
.
Следует отметить, что члены ряда (3.8) определяются действием операторов pL
на соответствующие функции ( ) ,kF , которые получаем из ( ) ,kF r формаль-
ной заменой переменных ,r на , . Принимая во внимание разложения (3.6) –
(3.8), из равенств (3.3) после некоторых преобразований и сравнения выражений при
одинаковых степенях параметра получаем соотношения
(2 , ) (2 , ) ( ) (2 , ) (2 , )
1
0
k k j k j k j
rr
j
; (2 , ) ( ) (2 , )
1 33
0
k j k j
j
;
(2 , ) (2 , ) (2 , ) ( ) (2 , ) (2 , ) (2 , )
2
0
2 2k k k j k j k j k j
rr r
j
i i
; (3.9)
(2 1, ) (2 1, ) ( ) (2 1, ) (2 1, )
3 3 3
0
k k j k j k j
r
j
i i
.
Здесь ( )l
p – операторы такого вида: (0) 1p 1, 2,3p , (1)
1 1L , (1)
2 1 12L iq ,
(1)
3 1 1L iq , (2)
1 22 L , (2) 21
2 2 1 1 1 22 2 2L q i q L q , (2) 21
3 2 1 1 1 22 L q i q L q .
Моменты напряжений ( , )k j
ii , входящие в правые части равенств (3.9), записываем
согласно (3.8) на основании их аналитических выражений (2.7) в переменных ,z z
формальной заменой последних на переменные , (или равнозначно – заменой пе-
ременных ,r , соответственно, на , ). Следовательно, вводя обозначения
, , имеем формулы для напряжений:
2
(0, ) (0, ) (0) ( )
1
4 2
n
j j j
rr j j l l
l
d V
;
2
(0, ) (0) ( )
33 3
1
n
j j
l l
l
d V
;
2
(0, ) (0, ) (0, ) 2 (0) 2 ( )
1
2 4
n
j j j i j
rr r j l l
l
i e a V
;
119
2
(2 , ) (2 , ) (2 ) ( )
1
2
n
k j k j k j
rr l l
l
d V
;
2
(2 , ) (2 ) ( )
33 3
1
n
k j k j
l l
l
d V
; (3.10)
2
(2 , ) (2 , ) (2 , ) 2 (2 ) (2 ) 2 ( ) (2 ) 2 ( )
*
1 1
2 4
n n
k j k j k j i k k j k j
rr r j l l s s
l s
i e a V i b W
;
2
(2 1, ) (2 1, ) (2 1) ( ) (2 1) ( )
3 3
1 1
2
n n
k j k j i k j k j
r l l s s
l s
i e P V i q W
1,k n ,
где метагармонические функции ( )j
lV и ( )j
sW определяются равенствами
( ) 2 ( ) 0j j
l l lV V , ( ) 2 ( ) 0j j
s s sW W , в которых
2 2 2
2 2 2
1 1
4
–
оператор Лапласа.
Для бесконечной области S с границей L голоморфные функции j и
j примем в виде
( )
1
j n
j n
n
a
; ( )
1
j n
j n
n
b
, (3.11)
где ( )j
na и ( )j
nb – произвольные постоянные. Отметим, что вид метагармонических
функций ( )j
lV и ( )j
sW зависит от значений корней характеристических уравнений, ко-
торые могут быть действительными или комплексными. Пусть, в частности, имеется
12n ( 1n n ) вещественных положительных и 12 n n комплексно-сопряженных
корней. Тогда имеем
( ) ( , )j l j in
l n n l
n
V B K x e
11, 2l n ; ( ) (2 1, ) (1)
2 1 2 1
j l j in
l n n l
n
V C H x e
;
( ) (2 1, ) (2)
2 2 2 2
j l j in
l n n l
n
V D H x e
1, 1l n n . (3.12)
Здесь ( , )l j
nB , (2 1, )l j
nC , (2 1, )l j
nD – постоянные, удовлетворяющие равенствам
( , ) ( , )l j l j
n nB B , (2 1, ) (2 1, )1
nl j l j
n nC D
, (2 1, ) (2 1, )1
nl j l j
n nD C
; 1nK x , (1)
2 1n lH x и
(2)
2 2n lH x – цилиндрические функции Бесселя, Ханкеля первого и второго рода,
l lx , 2
2 1 2 1l lx , 2 2 2 1l lx x . Корни характеристического уравнения для мета-
гармонических функций ( )j
sW – вещественные положительные, поэтому
( ) ( , )j s j in
s n n s
n
W B K y e
( s sy ). (3.13)
При определении концентрации напряжений около отверстий напряженное со-
стояние пластины представим в виде суммы основного напряженного состояния 0
ij ,
возникающего под действием приложенных к пластине внешних усилий, и возму-
щенного состояния, вызванного наличием отверстия. Примем, что граничная поверх-
ность ,L h h рассматриваемого отверстия свободна от напряжений ( 0j
), а на
бесконечности пластина находится под действием постоянных растягивающих
11 1p , 22 2p и сдвигающих 12 усилий.
120
По аналогии с (3.6) компоненты основного напряженного состояния необходимо
представить в виде рядов по малому параметру . Поскольку криволинейная система
координат , в плоскости S повернута на угол относительно декартовой сис-
темы ,x y , то имеют место аналогичные (3.3) соотношения
0 0
1 2p p ; 0 0 0 2
1 22 2 ii p p i e
. (3.14)
Определяя из формулы idz dz e экспоненту ie и подставляя ее значение в ра-
венства (3.14), имеем
0 0 21 1
1 2 1 22 2 2 1 1ii p p p p i e f f f
;
0 0
1 2p p . (3.15)
При всестороннем растяжении пластины ( 1 2p p p , 0 ) компоненты основ-
ного напряженного состояния принимают значения 0 0 p ; 0 0 .
В нулевом приближении (круговое отверстие) из формул (3.10) и (3.15) при 0j
с учетом значения функций (3.11) – (3.13) получим (после удовлетворения граничных
условий) компоненты напряжений
(0,0) 21rr p ; (0,0) 21 p ; (0,0) 0r ;
(2 ,0) (2 ,0)
33 0k k
; (2 1,0)
3 0k
, , ; 1r k .
Как видно, при всестороннем растяжении пластины с круговым отверстием коэф-
фициент концентрации напряжений p на контуре отверстия равен двум и не за-
висит от количества членов ряда по полиномам Лежандра.
Моменты напряжений ( ,1)m
i j в первом ( 1j ) приближении определяем формулами:
(2 ,1) (2 ,1) (2 ,0) (2 ,0)
1 12k k k k
rr rr rL q ; (2 1,1) (2 1,1) (2 1,0) (2 1,0)
3 1 3 1 3
k k k k
r rL q ;
(2 ,1) (2 ,1) (2 ,0) (2 ,0)
1 12k k k k
rL q ; (2 1,1) (2 1,1) (2 1,0) (2 1,0)
3 1 3 1 3
k k k k
rL q ;(3.16)
(2 ,1) (2 ,1) (2 ,0) (2 ,0) (2 ,0)
1 1
k k k k k
r r rL q ; (2 ,1) (2 ,1) (2 ,0)
33 1 33
k k kL .
Разделяя действительную и мнимую части равенства (3.9), получаем аналогичные
(3.16) выражения для моментов компонент напряжений в последующих ( 1j ) при-
ближениях. В каждом из приближений осуществляем решение задачи таким же спо-
собом, как и для кругового отверстия.
Таким образом, определив из решения двумерных краевых задач моменты компо-
нент напряжений, согласно формуле (1.1) получим соответствующие значения на-
пряжений. Так, в частности, тангенциальные , , и поперечное 33 напря-
жения представляются равенствами:
2
1 1
1
(2 ,1) 2 (2 ,2) (2 ,2)
2
0
cos 1 cos 2 1 ;
n
k k k
k
k
T m t T m P
121
2
1 1
1
(2 ,1) 2 (2 ,2) (2 ,2)
2
0
cos 1 cos 2 1 ;
n
k k k
k
k
T m t T m P
(2 ,1) 2 (2 ,2)
2
0
1
sin 1 sin 2 1
n
k k
k
k
T m T m P
;
(2 ,1) 2 (2 ,2) (2 ,2)
33 33 33 33 2
0
1
cos 1 cos 2 1
n
k k k
k
k
T m t T m P
.
Здесь через (2 ,2)k
i jt и (2 , )k j
i jT ( 1, 2j ) обозначены составляющие, содержащие цилинд-
рические функции.
§4. Численные исследования.
Ниже изложим результаты численных исследований напряженного состояния
около криволинейных отверстий в трансверсально-изотропной пластине, находящей-
ся под действием постоянного всестороннего растяжения. Отображающую функцию
f и параметры и R рассматриваемых отверстий принимаем такими же, как в
работе [3].
А. Эллиптическое отверстие. Для эллиптического отверстия указанные пара-
метры имеют вид 1f 1m , a b a b , 2R a b , где a и b –
полуоси эллипса. Представим результаты расчета напряженного состояния трансвер-
сально-изотропной пластины с коэффициентами Пуассона 0, 25 , 1, 25E E
и отношением модуля упругости E в плоскости изотропии к поперечному модулю
сдвига G равным 5E G . Проблеме определения эффективных модулей упругости
композитных материалов посвящены, в частности, работы [14, 15].
В табл. 1 приведены значения кольцевых напряжений p на контуре отвер-
стия 1 в точке 0 , 0 для различных значений отношений полуосей a b
при некоторых значениях относительной толщины пластины 1...5b h . Для круго-
вого отверстия (ему соответствует значение 1a b ) коэффициент концентрации
p не зависит от относительной толщины пластины и равен двум. Для эллиптиче-
ского отверстия значения напряжений в первом (I) и во втором (II) приближениях не-
значительно отличаются между собой и при увеличении отношения a b постепенно
возрастают, приближаясь к трем.
Таблица 1
b h
1 2 3 4 5
a b
I II I II I II I II I II
1,0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1,1 2,198 2,207 2,196 2,206 2,194 2,204 2,193 2,202 2,192 2,201
1,2 2,378 2,413 2,374 2,409 2,370 2,405 2,368 2,403 2,367 2,401
1,3 2,542 2,613 2,536 2,608 2,530 2,602 2,528 2,598 2,526 2,596
1,4 2,693 2,809 2,684 2,802 2,677 2,794 2,674 2,790 2,672 2,786
1,5 2,831 2,999 2,820 2,984 2,812 2,980 2,808 2,974 2,806 2,971
122
Б. Квадратное отверстие. При тех же данных упругих констант приведены резуль-
таты расчетов напряженного состояния пластины с квадратным отверстием с округлен-
ными углами, параметры которого имеют такие значения: 3m ; 1 9 ; 0,9R a , где
2a – диагональ квадрата. На рис. 1 представлены эпюры распределения нормальных на-
пряжений 33 p по толщине пластины в сечении 0 при 1,1 и 1,14 .
Данные табл. 2 иллюстрируют изменения тангенциальных p и поперечных
33 p напряжений на контуре отверстия 1 при 0 в точках на срединной
( 0 ) и граничной ( 1 ) плоскостях пластины в зависимости от изменения отно-
сительной толщины пластины a h . Приведены результаты первого (I) и второго (II)
приближений. Кольцевые напряжения p на срединной плоскости уменьшаются,
а на граничной – повышаются, стремясь к общему значению, равному четырем (точ-
ному значению коэффициента концентрации напряжений плоской теории упругости
[4]). Поперечные напряжения 33 p постоянно убывают, приближаясь к нулю.
Таблица 2
a h
3 4 5 6 7
Напря
жения
I II I II I II I II I II
0 3,716 4,185 3,710 4,181 3,703 4,175 3,697 4,167 3,691 4,161
p
1 3,561 3,907 3,587 3,940 3,606 3,970 3,619 3,994 3,628 4,013
0 0,087 0,185 0,058 0,135 0,041 0,102 0,031 0,079 0,024 0,063
p
1 0,019 0,060 0,009 0,033 0,004 0,019 0,002 0,012 0,001 0,007
На рис. 2 представлены кривые измене-
ния кольцевых напряжений p в сече-
ниях 0 и 4 на срединной (штри-
ховая кривая) и граничной (сплошная кри-
вая) плоскостях пластины при удалении от
граничной поверхности отверстия. С воз-
растанием координаты они приближают-
ся к своему основному значению. Кривые,
приведенные на рис. 3 и 4, характеризуют
изменения касательных p и попереч-
ных p напряжений на срединной
(штриховая кривая) и граничной (сплошная
кривая) плоскостях пластины при удалении
от контура отверстия.
Рис. 1
Рис. 2
123
В. Треугольное отверстие. При расчете напряженного состояния пластины с
треугольным отверстием с округленными углами приняты такие значения парамет-
ров: 2m ; 1 4 ; 08 15R h , где 0h – высота правильного треугольника.
Таблица 3
0h h
3 4 5 6 7
На-
пряже-
ния
I II I II I II I II I II
0 4,071 5,118 4,069 5,126 4,061 5,124 4,054 5,117 4,046 5,109
p
1 3,779 4,566 3,822 4,603 3,857 4,650 3,884 4,696 3,905 4,736
0 0,175 0,429 0,123 0,355 0,091 0,266 0,069 0,214 0,054 0,175
p
1 0,050 0,177 0,025 0,110 0,014 0,070 0,008 0,047 0,005 0,032
Таблица 4
эллиптическое отв. квадратное отв. треугольное отв.
E E
I II I II I II
0 2,8107 2,9740 3,6759 4,1220 4,0220 5,0342
0,5
1 2,7657 2,9082 3,5962 4,0090 3,8819 4,7820
0 2,8239 2,9903 3,6785 4,1260 4,0469 5,0705
1,0
1 2,7340 2,8639 3,5510 3,9544 3,7869 4,6384
0 2,8384 3,0075 3,6753 4,1238 4,0696 5,1040
1,5
1 2,7029 2,8225 3,5153 3,9143 3,7036 4,5212
0 2,8536 3,0251 3,6672 4,1165 4,0898 5,1348
2,0
1 2,6720 2,7823 3,4838 3,8802 3,6272 4,4180
0 2,8695 3,0432 3,6551 4,1050 4,1076 5,1639
2,5
1 2,6405 2,7422 3,4542 3,8102 3,5555 4,3229
Для сравнения с результатами для квадратного отверстия в табл. 3 приведены значе-
ния кольцевых p и поперечных 33 p на контуре отверстия 1 при 0 в
точках на срединной ( 0 ) и граничной ( 1 ) плоскостях в зависимости от изме-
нения относительной толщины пластины 0h h . Представлены результаты первого (I)
и второго (II) приближений. Отличие между приближениями здесь более существен-
но. При этом тенденция изменения напряжений сохраняется. С увеличением отноше-
Рис. 4
Рис. 3
124
ния 0h h напряжения p на срединной плоскости понижаются, а на граничной –
возрастают, приближаясь к общему значению, равному пяти.
Данные табл. 4 иллюстрируют влияние отношения модулей упругости E E на на-
пряженное состояние пластин с эллиптическим, квадратным и треугольным отверстия-
ми. Представлены значения напряжений p для этих трех типов отверстий в пер-
вом (I) и во втором (II) приближениях на срединной ( 0 ) и граничной ( 1 ) плос-
костях пластины. Увеличение параметра E E приводит к снижению значений кольце-
вых напряжений p на граничной плоскости и повышению их на срединной.
Р Е ЗЮМ Е . Побудовано розв’язок задачі про напружений стан трансверсально-ізотропної пла-
стини, послабленої криволінійним отвором. В основу його покладено метод розвинення шуканих
функцій в ряд Фур’є за поліномами Лежандра координати товщини і метод збурення форми границі.
Приведено числові результати для пластин з еліптичним, квадратним і трикутним отворами з закруг-
леними кутами та дано їх аналіз.
1. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. Точное решение задачи Кирша // Прикл. механика. – 1970. – 6, № 5. –
С. 10 – 17.
2. Гузь О.М. Про наближений метод визначення концентрації напружень навколо криволінійних
отворів в оболонках // Прикл. механіка. – 1962. – 8, № 6. – С. 605 – 612.
3. Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Метод возмущения формы границы в механике сплошных сред. – К: Вища
шк., 1989. – 352 с.
4. Методы расчета оболочек: В 5-ти т.; Т.1. Теория тонких оболочек, ослабленных отверстиями
/ А.Н. Гузь, И.С. Чернышенко, В.Н. Чехов и др. – К.: Наук. думка, 1980. – 636 с.
5. Bardzokas D.I., Kushnir D.V., Filshtinskii L.A. Dynamic Problems of the Theory of Elasticity for Layers
and Semilayers with Cavities // Acta Mech. – 2009. – 208. – P. 81 – 95.
6. Cicala P. Sulla teoria elastica della plate soltile // Giorngenio Civile. – 1959. – 97, N 4. – P. 238 – 256.
7. Fil’stinskii L.A., Kovalev U.D. Vensel E.S. Solution of the Elastic Boundary Value Problem for a Layer
with Tunnel Stress Raisers // Int. J. Solids Struct. – 2002. – 39. – P. 6385 – 6402.
8. Folias E.S., Wang J.S. On the Three-dimensional Stress Fields around a Circular Hole in a Plate of Arbi-
trary Thickness // Comput. Mech. – 1990. – 6, N 5. – P. 379 – 391.
9. Green A.E. Three-Dimensional Stress Systems in Isotropic Plates // Trans. Roy. Soc. of London. Ser. A. –
1948. – 240, N 285. – P. 561 – 597.
10. Khoma I.Yu. On the Technique on Constructing the General Solution to Equilibrium Equation for
Nonthin Plates // Int. Appl. Mech. – 2001. – 37, N 4. – P. 484 – 492.
11. Khoma I.Yu. Tension of a Nonthin Transversely Isotropic Plate with a Noncircular Cylindrical Cavity
// Int. Appl. Mech. – 2006. – 42, N 11. – P. 1285 – 1297.
12. Khoma I.Yu., Starygina O.A. Influence of Elastic Properties on the Stress State of a Nonthin Trans-
versely Isotropic Plate with a Circular Hole // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N 1. – P. 67 – 79.
13. Khoma I.Yu. Analytical Solution of the Equilibrium Equations for Nonthin Electroelastic Transversely
Isotropic Plates Polarized through the Thickness // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 4. – P. 430 – 445.
14. Khoroshun L.P., Nazarenko L.V. Deformation and Damage of Composites with Anisotropic Components
(Review) // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 4. – P. 388 – 455.
15. Khoroshun L.P., Nazarenko L.V. Nonlinear Deformation Properties of Composites with Transversely
Isotropic Components // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 3. – P. 253 – 262.
16. Kotousov A., Wang C.H. Three-dimensional Stress Constraint in a Elastic Plate with a Notch // Int. J.
Solids and Structures. – 2002. – 39, N 16. – P. 4314 – 4326.
17. Sternberg E. Three-dimensional Stress Constraint in the Theory of Elasticity // Appl. Mech. Rev. – 1958.
– 11, N 1. – P. 1 – 4.
18. Wang C.H., Rose L.R.F., Callinan R., Baker A.A. Thermal Stresses in a Plate with a Circular Reinforce-
ment // Int. J. Solids Structures. – 2000. – 36, N 33. – P. 4577 – 4599.
19. Yang Zh. The Stress and Strain Concentrations of an Elliptical Hole in an Elastic Plate of Finite Sub-
jected to Tensile Stress // Int. J. Fract. – 2009. – 155. – P. 43 – 44.
20. Yang Zh., Kim Ch-Boo, Chjo Ch., Beom N.G. The Concentration of Stress and Strain in Finite Thickness
Elastic Plate Containing a Circular Hole // Int. J. Solids Struct. – 2008. – 45. – P. 713 – 731.
Поступила 15.08.2012 Утверждена в печать 19.02.2015
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-141003 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:36:10Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Хома, И.Ю. Дашко, О.Г. 2018-07-21T10:27:01Z 2018-07-21T10:27:01Z 2015 Напряженное состояние нетонкой трансверсально-изотропной пластины с криволинейным отверстием / И.Ю. Хома, О.Г. Дашко // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 112-124. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141003 Побудовано розв’язок задачі про напружений стан трансверсально-ізотропної пластини, послабленої криволінійним отвором. В основу його покладено метод розвинення шуканих функцій в ряд Фур’є за поліномами Лежандра координати товщини і метод збурення форми границі. Приведено числові результати для пластин з еліптичним, квадратним і трикутним отворами з закругленими кутами та дано їх аналіз. A solution is built for the problem on the stress state of transversely isotropic plate weakened by a curvilinear hole. This solution is based on the method of expansion of unknown functions into the Fourier series by Legendre polynomials depending on coordinate thickness, and the method of disturbance of the boundary shape. The numerical results are shown and discussed for plates with elliptic, square, and triangle holes with rounded angles. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Напряженное состояние нетонкой трансверсально-изотропной пластины с криволинейным отверстием Stress State of Non-Thin Transversely Isotropic Plate with Curvilinear Hole Article published earlier |
| spellingShingle | Напряженное состояние нетонкой трансверсально-изотропной пластины с криволинейным отверстием Хома, И.Ю. Дашко, О.Г. |
| title | Напряженное состояние нетонкой трансверсально-изотропной пластины с криволинейным отверстием |
| title_alt | Stress State of Non-Thin Transversely Isotropic Plate with Curvilinear Hole |
| title_full | Напряженное состояние нетонкой трансверсально-изотропной пластины с криволинейным отверстием |
| title_fullStr | Напряженное состояние нетонкой трансверсально-изотропной пластины с криволинейным отверстием |
| title_full_unstemmed | Напряженное состояние нетонкой трансверсально-изотропной пластины с криволинейным отверстием |
| title_short | Напряженное состояние нетонкой трансверсально-изотропной пластины с криволинейным отверстием |
| title_sort | напряженное состояние нетонкой трансверсально-изотропной пластины с криволинейным отверстием |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141003 |
| work_keys_str_mv | AT homaiû naprâžennoesostoânienetonkoitransversalʹnoizotropnoiplastinyskrivolineinymotverstiem AT daškoog naprâžennoesostoânienetonkoitransversalʹnoizotropnoiplastinyskrivolineinymotverstiem AT homaiû stressstateofnonthintransverselyisotropicplatewithcurvilinearhole AT daškoog stressstateofnonthintransverselyisotropicplatewithcurvilinearhole |