Об одной математической модели изменения свойств материала

Запропоновано варіант побудови математичної моделі, що враховує зміну властивостей матеріалів у часі під дією прикладених до тіла навантажень. При цьому властивості матеріалів розглянуто на термодинамічному рівні з аддитивним розкладом за часовим параметром функції вільної енергії на складові, що вр...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Прикладная механика
Дата:	2015
Автор:	Кузин, Н.О.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2015
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141004
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Об одной математической модели изменения свойств материала / Н.О. Кузин // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 125-132. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-141004
record_format	dspace
spelling	Кузин, Н.О. 2018-07-21T10:28:01Z 2018-07-21T10:28:01Z 2015 Об одной математической модели изменения свойств материала / Н.О. Кузин // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 125-132. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141004 Запропоновано варіант побудови математичної моделі, що враховує зміну властивостей матеріалів у часі під дією прикладених до тіла навантажень. При цьому властивості матеріалів розглянуто на термодинамічному рівні з аддитивним розкладом за часовим параметром функції вільної енергії на складові, що враховують передісторію навантажень тіла і його поточні параметри, а на структурному – зі скалярною внутрішньою змінною – пошкоджуваністю. Дано аналіз отриманих в рамках введених уявлень співвідношень з позицій модельного і практичного застосувань. A variant of constructing the mathematical model is proposed that takes into account a change of properties of material with time under action of a load. The properties of material are considered on the thermodynamical and structural levels. The thermodynamical level includes additive dividing by the time the function of free energy on summands which take into account prehistory of loading and its current parameters. The structural level includes a presence of scalar internal variable – damageability. The obtained relationships are analyzed from positions of model and practical applications. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Об одной математической модели изменения свойств материала On a Mathematical Model of Changing the Properties of Material Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Об одной математической модели изменения свойств материала
spellingShingle	Об одной математической модели изменения свойств материала Кузин, Н.О.
title_short	Об одной математической модели изменения свойств материала
title_full	Об одной математической модели изменения свойств материала
title_fullStr	Об одной математической модели изменения свойств материала
title_full_unstemmed	Об одной математической модели изменения свойств материала
title_sort	об одной математической модели изменения свойств материала
author	Кузин, Н.О.
author_facet	Кузин, Н.О.
publishDate	2015
language	Russian
container_title	Прикладная механика
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
format	Article
title_alt	On a Mathematical Model of Changing the Properties of Material
description	Запропоновано варіант побудови математичної моделі, що враховує зміну властивостей матеріалів у часі під дією прикладених до тіла навантажень. При цьому властивості матеріалів розглянуто на термодинамічному рівні з аддитивним розкладом за часовим параметром функції вільної енергії на складові, що враховують передісторію навантажень тіла і його поточні параметри, а на структурному – зі скалярною внутрішньою змінною – пошкоджуваністю. Дано аналіз отриманих в рамках введених уявлень співвідношень з позицій модельного і практичного застосувань. A variant of constructing the mathematical model is proposed that takes into account a change of properties of material with time under action of a load. The properties of material are considered on the thermodynamical and structural levels. The thermodynamical level includes additive dividing by the time the function of free energy on summands which take into account prehistory of loading and its current parameters. The structural level includes a presence of scalar internal variable – damageability. The obtained relationships are analyzed from positions of model and practical applications.
issn	0032-8243
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141004
citation_txt	Об одной математической модели изменения свойств материала / Н.О. Кузин // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 125-132. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT kuzinno obodnoimatematičeskoimodeliizmeneniâsvoistvmateriala AT kuzinno onamathematicalmodelofchangingthepropertiesofmaterial
first_indexed	2025-11-25T22:43:44Z
last_indexed	2025-11-25T22:43:44Z
_version_	1850570359340793856
fulltext	2015 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 51, № 4 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2015, 51, № 4 125 Н .О .К у з и н ОБ ОДНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛА Львовский филиал Днепропетровского национального университета железнодорожного транспорта им. ак. В. Лазаряна, ул. Ив. Блажкевича, 12 а, 79052, Львов, Украина; Львовский научно-исследовательский институт судебных экспертиз, ул. Липинского, 54, 79024, Львов, Украина, e-mail: n_kuzin@mail.ru Abstract. A variant of constructing the mathematical model is proposed that takes into account a change of properties of material with time under action of a load. The properties of material are considered on the thermodynamical and structural levels. The thermody- namical level includes additive dividing by the time the function of free energy on sum- mands which take into account prehistory of loading and its current parameters. The struc- tural level includes a presence of scalar internal variable – damageability. The obtained rela- tionships are analyzed from positions of model and practical applications. Key words: mathematical modeling, damageability, changing the properties of materials. Введение. Анализ особенностей функционирования высоконапряженных элементов конст- рукций в случае их выхода из строя приводит к необходимости использования подхо- дов механики разрушения [10, 11, 16] или механики поврежденных сред [2, 12, 18]. В настоящее время оценку временного ресурса объектов эксплуатации проводят с учетом эволюции внутреннего строения материала – структуры, которая под действи- ем внешних деформационно-термических и химических факторов изменяет свои па- раметры [2]. Это обстоятельство является одной из физических причин, ограничи- вающих использование инженерных моделей длительной прочности (усталости), в которых кинетика процесса разрушения принимается подчиненной изменению во времени внешних факторов. Накопления структурных изменений в материале под действием внешних нагру- зок являются многомасштабными и многостадийными кинетическими процессами. Они развиваются одновременно на разных масштабных уровнях: атомном, дислока- ционном, субструктурном, структурном, что вызывает необходимость одновременно- го совмещения микро-, мезо- и макроскопического модельного описания этих процес- сов, с необходимостью учета возможного появления волновых эффектов во время динамического изменения структуры [2, 15, 20]. Их многостадийность выражается в том, что структурные изменения в материале проходят через ряд последовательных состояний, каждое из которых характеризуется своими закономерностями и нелиней- но зависят от истории эксплуатации объекта. Все эти явления приводят к изменению во времени эксплуатационной реологии материалов деталей и узлов, т.е. изменению эффективных свойств материалов в про- цессе эксплуатации. Поэтому надежное прогнозирование ресурса деталей и узлов, его остаточная оценка, решение задачи установления причины выхода из строя элементов конструкции невозможно без разработки адекватных математических моделей, кото- рые описывают доминирующие структурные процессы, происходящие при индивиду- альных условиях эксплуатации рассматриваемого объекта. 126 1. Анализ вариантов описания процесса изменения эксплуатационных свойств объекта. Внешние нагрузки изменяют внутреннее строение – структуру материала, а также его поведение в условиях эксплуатации, то есть отклик объекта. Учет реологических параметров материалов, изменяющихся во времени (хронореологических свойств) деталей и узлов, на данный момент является актуальной проблемой. Изучение кинетики структурных изменений и их влияния на хронореологические свойства металлических систем во времени можно условно разделить на три направ- ления: 1) изучение физических аспектов, которые сопровождают внутреннюю пере- стройку материалов под действием внешних нагрузок [2]; 2) экспериментальное ис- следование и описание металлических систем с позиций практики использования конкретных конструкций и создания инженерных подходов (расчетных методик) [6]; 3) модельное описание структурных изменений материалов для выявления новых качественных и количественных закономерностей [3]. Результаты, полученные в каждом из направлений, дополняют другие, способст- вуя лучшему пониманию и учету особенностей доминирующих процессов структур- ной перестройки металлических систем в условиях конкретной работы исследуемой конструкции. Ниже третье направление. При построении расчетных и модельных соотношений часто принимают, что во время работы под действием внешних нагрузок в материале ис- следуемого объекта происходят деградационные процессы, которые направлены на «по- нижение» его механических и эксплуатационных свойств [2]. В качестве меры – характеристики этого изменения вводят переменную повреж- денность или повреждаемость (в некоторых литературных источниках) [2, 6, 11]. Данная характеристика может изменяться от своего начального до критического зна- чения, при котором объект уже эксплуатировать нецелесообразно в связи с априор- ным предположением о нахождении его в аварийном состоянии. При этом повреж- денность принимается как аддитивная переменная, которая может иметь скалярную, векторную или тензорную природу [2, 5, 6, 12, 15]. Физическая трактовка данной пе- ременной в настоящее время до конца не ясна и вопрос ее получения при помощи различных методик остается открытым [2, 6]. Отметим, что большое количество ра- бот в этом направлении свидетельствует о том, что идет процесс формирования ново- го раздела механики – механики поврежденных сред (МПС), объединяющей эволю- ционные уравнения процессов деформирования и накопления повреждений [2]. Инженерные расчетные соотношения для поврежденности часто оперируют с кине- матическими соотношениями, которые могут иметь детерминистическую или стохасти- ческую природу и описываться при помощи соответствующего математического аппарата [12]. В связи с развитием вычислительной техники для исследования кинетики повреж- денности используют аппарат математического моделирования – клеточные автоматы, которые позволяют также отследить коллективные («кластерные») эффекты развития структурных изменений в материалах [15]. Существующие математические модели, которые используют для описания по- врежденности материалов, можно разделить на несколько направлений: 1) повреж- денность связывают с возникновением микропор и микротрещин [17]; 2) направление основано на введении формального параметра поврежденности и записи для него эво- люционных уравнений [3]; 3) предполагается описание поврежденности при помощи соотношений термодинамики [5]. При использовании инженерных подходов расчета долговечности конструкций часто приоритет отдается первому или второму направлению [2, 12]. Следует отме- тить, что ряд факторов, которые сопровождают работу конкретных деталей, таких как повышение локальной прочности, изменение эксплуатационных свойств поверхност- ных слоев при помощи направленных потоков массы и силового воздействия («зале- чивание» поврежденности), технологическую регенерацию структуры материала де- талей [7] более естественно описывать при помощи подходов термодинамики. 127 К настоящему времени не предложено однозначных решений для описания кине- тики структурных изменений в материале исследуемых объектов под действием внешних нагрузок и не изучено их влияния на механические свойства (отклик мате- риала) при помощи подходов термодинамики. Основным моментом в данном случае является четкое понимание физических процессов, которые происходят в материале под действием внешних нагрузок, выде- ление из них доминирующих, адекватное введение переменных, описывающих эти процессы, и их учет в термодинамических соотношениях. Одним из методов решения данной проблемы является построение определяющих соотношений математической модели [9]. При этом, согласно [4], используют в ос- новном три подхода, которые базируются на рассмотрении таких сред: с внутренними параметрами состояния; с памятью и сред скоростного типа. Принципиально другой подход предложен в [8], где несовершенства кристалли- ческого строения тела описываются в механике сплошных сред при помощи методов неэвклидовой геометрии. В результате удалось получить нелинейные уравнения, ко- торые описывают континуальную теорию дефектов и в линейном приближении могут быть использованы для описания динамики дислокаций и дисклинаций. В работе [1] предложен «опосредовательный» учет структурных изменений в ма- териале при помощи расширенного рассмотрения понятия функций – источника эн- тропии и массы. Данное дополнение автор трактует как массовую и энтропийную характеристику микродефектов, которые могут быть вакансиями, дислокациями, гра- ницами зерен или трещинами. Это утверждение имеется и в монографии [13], где так- же указано, что производство энтропии может иметь различную природу (не обяза- тельно тепловую). Иной подход предложен в работе [5], в которой приведена модификация уравнения локального баланса энергии, куда, по аналогии с теорией Гриффитса, вводятся допол- нительно два слагаемых – плотность внутренних источников энергии, непосредственно связанных с разрушением материала, и плотность эффективной поверхностной энергии поврежденного материала. В качестве характеристики деструктивных процессов при- нимается тензор второго ранга. При этом второй закон термодинамики, сформулиро- ванный в локальной форме, также претерпевает свое изменение – в нем появляются механические, термические и структурные диссипативные составляющие. Приведенный выше анализ математических подходов к описанию структурных изменений в материалах под действием внешних нагрузок с позиций термодинамики показывает востребованность данного направления и его перспективность. 2. Постановка задачи. Построение математической модели. Новая предложенная математическая модель должна, как частный случай, учиты- вать предыдущие результаты и иметь следующие свойства [4]: 1) продуктивность; 2) точность; 3) адекватность; 4) устойчивость. Под продуктивностью понимается воз- можность реализации объекта математического моделирования по схеме: модель → алгоритм → программа → технологические (расчетные) рекомендации. При построении математической модели, кроме вышеперечисленных, принима- ются следующие требования: 1) свойства тела зависят (как результат внутренней пе- рестройки материала) от истории кинетики изменения внешних нагрузок (силовой, термической, химической); 2) внутренняя структурная перестройка системы должна задаваться как можно меньшим числом параметров и быть доступной для инженерной реализации; 3) энергетическая природа процессов, происходящих в теле, может быть механической, тепловой или химической, при этом должна учитываться возможность структурной перестройки материала объекта нагружения. В качестве параметров локального термодинамического состояния примем T , s , ̂ , ê ,  ,  , где T – температура; s – энтропия; ̂ – тензор напряжений; ê – тен- зор деформаций;  – плотность;  – химический потенциал. Запишем локальные уравнения баланса импульса, массы и энтропии: 128   ˆ v t          ; (1) 0J          ; (2) s s s J          , (3) где v  – вектор скорости; J  – поток массы; sJ  – поток энтропии; s – производство энтропии;   – дифференциальный оператор Гамильтона; знак (  ) – символ скалярно- го произведения. Для внутренней энергии уравнение Гиббса запишем в виде  ˆdu d u Tds d         ; (4)    s sT J J           , (5) где u  – вектор перемещений; знак (   ) – двойное скалярное произведение;  – сим- вол диадного произведения. Введем свободную энергию системы [4]: f u Ts  ;  ˆ, ,f f T e  ; (6)  ˆdf sdT d u d          ; (7) f s T     ; ˆ ˆ f e     ; f     . (8) Предположим, что свободная энергия зависит не только от истории деформации, но и от истории изменения температуры [13]; представим ее в виде       0 ˆ, , , t f t K t g T e d    , (9) где  ,K t  – ядро наследственности,  ˆ, ,g T e  – функция, энергетически учитываю- щая изменение внутренних параметров (данную функцию можно, в частности, прини- мать как термофлуктуационную функцию преодоления энергетических барьеров). Для рассматриваемых объектов примем гипотезу затухающей памяти [13, 14], со- гласно которой более отдаленные в прошлом состояния термодинамической системы мало влияют на значения активных и реактивных переменных в данный момент вре- мени. Предположим, что свободную энергию в произвольный фиксированный момент времени 1t t можно представить в виде   0 1 1f t t f f   , (10) где 0f – свободная энергия, которая задана текущим значением температуры, тензо- ром деформаций, плотностью; 1f – свободная энергия, которая задана историей из- менения указанных величин. 129 Предложенное модельное представление (10) соответствует следующим положе- ниям: 1) новое модельное описание учитывает, как частный случай, более простые модели – при 1 0f  имеем «классические» модели, в частности, для упругих систем; 2) если объект в текущий момент времени находится вне нагружения ( 0 0f  ), но был в условиях эксплуатации, данное обстоятельство не означает, что он находится в со- стоянии термодинамического равновесия, что учитывается слагаемым 1f . Второе слагаемое выражения (10), в общем случае, является сложной функцио- нальной зависимостью от начального состояния материала и истории его нагружения. Внешние нагрузки отражаются на изменении внутреннего строения – структуры ма- териала, что, в свою очередь, влияет на внешнее поведение материалов под нагрузкой в текущий момент времени. Поэтому рассматривая временной промежуток  10;  , примем, что 1f соответствует временному интервалу  10;  , а 0f – 1  . Принимая, что 1f зависит от внутреннего строения – структуры материала, необходи- мо задать количество переменных, описывающих данную структуру [18]. Свяжем 1f со скалярной переменной – поврежденностью:  1 1f f  . (11) Необходимость и «достаточность» введения именно скалярной переменной для описания поврежденности показана в работе [6], где предложена достаточно доступ- ная методика измерения кинетики этой величины – метод LM – твердости. Запись балансового уравнения для данной величины в некоторых работах, в част- ности [1, 3], представляют в виде кинетических соотношений вида  ˆ, , d z e T dt   , (12) или, учитывая возможность ее «перемещения», представляют в виде:  ˆ, , ,J z e T       (13) что характерно, в частности, для дислокационных и дисклинационных структур. 3. Анализ результатов. Пример эволюционных соотношений для случая си- лового взаимодействия. Проанализируем приведенные выше соотношения для описания хронореологиче- ского поведения сред в условиях учета только силового воздействия. Запишем соотношение (9) с учетом модельного представления (11): 0 1 0 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ f f f f f e e e e e                     . (14) В пределах линейных физических соотношений для изотропного тела получим 0 1ˆ ˆˆ2 ˆ 3 f KeI G e eI e         , (15) где K – модуль объемного сжатия; G – модуль сдвига; ˆˆe e I u       – первый ин- вариант тензора деформаций; Î – единичный тензор. Предположим, что второе слагаемое (14) можно представить в виде 1 1ˆ ˆˆ2 ˆ 1 1 3 f KeI G e eI e                    . (16) 130 Данное представление можно трактовать как модельное приближение на континуаль- ном уровне при помощи напряженно-деформированного состояния долговременной ра- зупрочненности конструкции. Выбор множителя связан с необходимостью на функцио- нальном уровне учета нелинейной динамики поврежденности конструкций, которая при- ведена, в частности, в [11, 18]. C учетом (16) соотношение (14) принимает вид 2 1ˆ ˆˆ ˆ 1 1 3 K G eI e eI           . (17) В данном соотношении (17) поврежденность –  , соответствует «классическому» модельному представлению [3] как уменьшение отклика материала: 0  – для аб- солютно исправной конструкции; 1  – для конструкции, которая находится в кри- тическом состоянии. 4. Числовые результаты. Проведем анализ графического представления динамики нормализированного из- менения поврежденности конструкции (рис.), которую представим в следующем виде:   1 1 max ˆ1 f e g x g        , (18) где     1 1 ˆ/ / 1f e      – нормализированная поврежденность конструкции (ве- личина соотношения 1 ˆ/f e  без учета величины напряжений); maxg – максимальное значение функции  1 1 ˆ( ) / ( ) /f e     на интервале  20, , где 2 – критическое значение поврежденности конструкции. В данном графическом представлении можно выделить следующие зоны жизнен- ного цикла конструкций: I – зона «линейного» накопления повреждений (зона, в ко- торой изменения повреждаемости возможно описывать с использованием линейных моделей; в литературе такая часть жизненного цикла называется периодом нормаль- ной эксплуатации); II – зона с ярко выраженным возрастающим нелинейным накоп- лением повреждений (в литературе такая часть жизненного цикла называется перио- дом ускоренного старения, разупрочнения конструкции или периодом катастрофиче- ского износа). Для недопущения этого периода деталь изымают из эксплуатации или поддают технологической модификации, которая существенно уменьшает уровень поврежденности в материале конструкции. Динамика разупрочнения конструкции: по оси абсцисс – величина поврежденно- сти, по оси ординат – динамики нормализированного изменения поврежденности конструкции ( )g x , 1 – значение поврежденности, при котором происходит измене- ние параметров динамики разупрочнения конструкции. Отметим, что в графическом представле- нии не показано изменение жизненного цик- ла конструкции во время такого этапа как приработка, поскольку во время функциони- рования в данном этапе существенно изме- няются не закономерности развития повреж- денности, а параметры функционирования всей конструкции. Проведенный анализ показывает, что по- лученные как аналитические (соотношения (14) – (18)), так и графические результаты (рис.), находятся в соответствии с современ- 131 ными представлениями работ по прогнозированию ресурса машин и конструкций, и, как частный случай, учитывают более простые модели разупрочнения материала [2, 6, 11, 14, 15]. 5. Установление пределов использования данных моделей. При построении математической модели использованы «классические» балансо- вые соотношение (1) – (3), соотношения для внутренней энергии (5) и функции про- изводства энтропии (6). Также предполагается, что связь между термодинамическими потоками и силами линейна и описывается соотношениями Онзангера. Самым «непростым» фрагментом новой модели есть получение физических соот- ношений на основе выражения (9) или (11), особенно учет второго слагаемого на ос- нове переменной поврежденности, а также построение балансовых соотношений вида (12) или кинетических вида (13). Предложенный подход является одним из немногих, позволяющих учесть хроно- реологию сред и перейти к постановкам «связанных» задач механики, в которых экс- плуатационные характеристики деталей зависят как от внешней нагрузки, так и от кинетики ее изменения. Поскольку предложенная модель – модель континуального описания, необходимо установить пределы, в которых ее можно использовать. Так как модель предполагается для описания поведения металлических материа- лов, деталей (в частности, интенсивно нагруженных элементов железнодорожных конструкций), которые работают в условиях трения и имеют геометрические пара- метры соразмерные 1 м, то предложенную континуальную модель целесообразно ис- пользовать при наличии микродефектов с размерами до 1 миллиметра. При таком размере дефектов аппарат механики разрушения использовать невозможно, поскольку трещины недостаточно определены, а возможности механики поврежденных сред достигают своих пределов [2]. Заключение. Предложенная модель изменения свойств материала со временем основана на адди- тивном разложении функции свободной энергии на две составляющие, одна из которых учитывает текущее состояние объекта нагружения, а вторая – полную историю измене- ние внешних воздействий на материал. При этом временная нелокальность связана со скалярной переменной – поврежденностью, которая характеризует динамику внутрен- них изменений в структуре материала. Введение данной переменной дает возможность описания на модельном уровне как увеличения, так и уменьшения эксплуатационных параметров рассматриваемой конструкции в условиях известных нагрузок. В качестве одной из перспективных областей применения предложенной матема- тической модели можно выделить практические задачи железнодорожно-транспорт- ной экспертизы [10], в которой необходимость учета изменения свойств материалов во времени присутствует практически при каждом экспертном исследовании. Для уче- та динамики развития деградационной поврежденности в условиях термосиловых на- грузок можно использовать эволюционные уравнения, предложенные в [2], а при ис- ключительно силовых воздействиях – уравнения, приведенные в работе [3]. Р Е ЗЮМ Е . Запропоновано варіант побудови математичної моделі, що враховує зміну власти- востей матеріалів у часі під дією прикладених до тіла навантажень. При цьому властивості матеріалів розглянуто на термодинамічному рівні з аддитивним розкладом за часовим параметром функції вільної енергії на складові, що враховують передісторію навантажень тіла і його поточні параметри, а на струк- турному – зі скалярною внутрішньою змінною – пошкоджуваністю. Дано аналіз отриманих в рамках введених уявлень співвідношень з позицій модельного і практичного застосувань. 1. Бурак Я.Й. Локально-градієнтні моделі термопружності для тіл з мікродефектами // Фізико-хімічна механіка матеріалів. – 1996. – № 2. – С. 15 – 23. 2. Волков И.А., Коротких Ю.Г. Уравнения состояния вязкоупруго-пластических сред с повреждениями. – М.: Физматлит, 2008. – 424 с. 132 3. Голуб В.П. Определяющие уравнения в нелинейной механике поврежденности // Прикл. механика. – 1993. – 29, № 10. – С. 37 – 49. 4. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели термомеханики. – М.: Физматлит, 2002. – 168 с. 5. Кондауров В.И., Фортов В.Е. Основы термомеханики конденсированной среды. – М.: МФТИ, 2002. – 336 с. 6. Лебедев А.А., Швец В.П. Оценка поврежденности конструкционных сталей по параметрам рассея- ния характеристик твердости материалов в нагруженном и разгруженном состояниях // Пробл. прочности. – 2008. – № 3. – С. 29 – 37. 7. Ляшенко Б.А., Соловых Е.К., Мирненко В.И. Оптимизация технологии нанесения покрытий по кри- териям прочности и износостойкости / Под ред. В.В. Харченко. – К.: Ин–т проблем прочности, 2010. – 193 с. 8. Подстригач Я.С., Повстенко Ю.З. Об одном варианте нелинейных уравнений континуальной тео- рии подвижных дефектов // Докл. АН СССР. – 1983. – 249, № 2. – 315 – 316. 9. Савін Г.М., Рущицький Я.Я. Елементи механіки спадкових середовищ. – К.: Вища школа, 1976. – 252 с. 10. Сокол Э.Н. Крушения железнодорожных поездов. – К.: Феникс, 2009. – 376 с. 11. Bashchuk E.Yu., Boichuk V.Yu. Influence of Inhomogencity of the Principal Stress State on the Critical Loads of f Plate with a Crack // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 3. – P. 328 – 336. 12. Bogdanoff J.L., Kozin F. Probabilistic Models of Cumulative Damage. – New York: John Wiley and Sons, 1985. – 341 p. 13. Day W.A. The thermodynamics of simple materials with fading memory. – Berlin: Springer, 1972. – 134 p. 14. Christensen R.M. Theory of viscoelasticity. – New York: Academic Press, 1971. – 245 p. 15. Collins J.A. Failure of Materials in Mechanical Design. – New York: John Wiley and Sons, 1981. – 624 p. 16. McEvily A.J. Metal Failures: Mechanisms, Analysis, Prevention. – New York: John Wiley and Sons, 2002. – 324 p. 17. Guz A.N. Three-Dimensional Problems in the Dynamics Fracture Mechanics of Materilas with Intarface Crack (Review) // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 1. – P. 1 – 61. 18. Maugin G.A. The thermomechanics of plasticity and fracture. – Cambridge: Cambridge University Press, 1992. – 350 p. 19. Russ J.C., Dehoff R.T. Practical Stereology. – New York: Plemun Press, 1999. – 312 p. 20. Rushchitski J.J. On a Nonlinear Description of Love Waves // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 6. – P. 629 – 640. Поступила 20.12.2012 Утверждена в печать 19.02.2015

Об одной математической модели изменения свойств материала

Репозитарії

Схожі ресурси