О повышении качества отслеживания летательным аппаратом программной траектории
Отримано розв’язок задачі про підвищення якості відстежування літальним апаратом програмної траєкторії шляхом подачі в стежачу систему програмної траєкторії з певним випередженням. Істотно, що при даному підході не накладаються ті або інші умови на похідні програмного сигналу. Ефективність пропонова...
Saved in:
| Published in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2015
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141013 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О повышении качества отслеживания летательным аппаратом программной траектории / В.Б. Ларин, А.А. Туник // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 5. — С. 137-144 . — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860002457634996224 |
|---|---|
| author | Ларин, В.Б. Туник, А.А. |
| author_facet | Ларин, В.Б. Туник, А.А. |
| citation_txt | О повышении качества отслеживания летательным аппаратом программной траектории / В.Б. Ларин, А.А. Туник // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 5. — С. 137-144 . — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | Отримано розв’язок задачі про підвищення якості відстежування літальним апаратом програмної траєкторії шляхом подачі в стежачу систему програмної траєкторії з певним випередженням. Істотно, що при даному підході не накладаються ті або інші умови на похідні програмного сигналу. Ефективність пропонованого алгоритму демонструється на прикладі відстежування літальним апаратом програмної траєкторії, яка не має похідних в деяких точках.
A problem on improving the quality of tracking the program trajectory by aircraft is considered. This improvement is reached by feeding into a control system of the program trajectory the signal with certain advance. It is essential that this approach needs any conditions on differentiability of the program signal. An efficiency of proposed algorithm is demonstrated on an example of tracking by aircraft the program trajectory that has not derivatives in some points.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:36:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
2015 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 51, № 5
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2015, 51, № 5 137
В . Б . Л а р и н , А .А .Т у н и к
О ПОВЫШЕНИИ КАЧЕСТВА ОТСЛЕЖИВАНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫМ
АППАРАТОМ ПРОГРАММНОЙ ТРАЕКТОРИИ
1Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ, ул. Нестерова, 3, 03057,
Киев, Украина; e-mail: model@inmech.kiev.ua;
2НАУ, проспект Комарова, 1, Киев, Украина; e-mail: aatunik@hotmail.com
Abstract. A problem on improving the quality of tracking the program trajectory by
aircraft is considered. This improvement is reached by feeding into a control system of the
program trajectory the signal with certain advance. It is essential that this approach needs
any conditions on differentiability of the program signal. An efficiency of proposed algo-
rithm is demonstrated on an example of tracking by aircraft the program trajectory that has
not derivatives in some points.
Key words: aircraft, tracking the program trajectory, output feedback.
Введение.
При маневрировании [2] транспортных средств возникают задачи повышения
точности их навигационных устройств [8, 9] и задачи повышения точности отсле-
живания ими программной траектории. В этой связи можно отметить, что задача
повышения качества отслеживания летательным аппаратом (ЛА) программной тра-
ектории продолжает привлекать внимание исследователей (см., например, [5, 11],
где есть дальнейшие ссылки).
Ниже рассмотрена задача синтеза следящей системы ЛА, решение которой ба-
зируется на подходах [6, 7]. Используя процедуру [7] проведена декомпозиция ис-
ходной задачи на задачу управления линейной скоростью ЛА и задачу управления
ориентацией ЛА. Для повышения качества отслеживания программной траектории
использован подход [6], базирующийся на подаче в следящую систему программной
траектории с определенным опережением. Эффективность предлагаемого алгоритма
демонстрируется на примере отслеживания ЛА программной траектории, аналогич-
ной приведенной в [3, фиг. 11.6]. Отметим, что при данном подходе не накладыва-
ются те или иные условия на дифференцируемость программного сигнала.
§1. Уравнения движения.
Для описания движения аппарата принимаем уравнения, аналогичные [5, ур-ние
(1)] и [11, ур-ние 2], а именно:
cosx V ; siny V ; V . (1.1)
Здесь ,x y – координаты аппарата; – курсовой угол; V – скорость. Отметим, что со-
гласно [10, ф-ла 10.43] переменная связана с углом крена следующим образом:
2
g
tg
V
. (1.2)
138
Для ограничения скорости изменения далее предполагаем, что управляющее
воздействие u связано с d dt таким образом:
cosuV . (1.3)
Уравнения (1.1), (1.3) целесообразно использовать при анализе прямолинейного
движения аппарата. При исследовании движения аппарата по окружности целесооб-
разно использовать полярные координаты ( cos , sin )x R y R . В этих координа-
тах уравнения (1.1) можно представить в виде:
2
; sinR V ; cos
V
R
; V . (1.4)
Дополнив систему (1.4) уравнением u , аналогом соотношения (1.3), можно
переписать ее в следующем виде:
sinR V ; cos
V
R
; V ; u . (1.5)
§2. Декомпозиция задачи.
Структура уравнений (1.1), (1.3), (1.5) позволяет в этом случае произвести де-
композицию исходной задачи на задачу управления углом и задачу управления
скоростью V .
Рассмотрим задачу управления . Так, предположим, что 0V ( 0, 2x ),
0 . В этом случае в уравнениях (1.1), (1.3), (1.5) можно выбрать в качестве не-
зависимой переменной, соответственно, x или и, таким образом, понизить по-
рядок системы. Тогда аналогами систем (1.1) (1.5) будут следующие уравнения:
tg
dy
y
dx
;
cos
d
dx
;
d
u
dx
; (2.1)
tg
dR
R R
d
; 1
cos
d R
d
;
d
u
d
. (2.2)
Отметим, что в уравнениях (2.1) штрих – дифференцирование по x , в (2.2) –
дифференцирование по (это не относится к производным , для которых со-
храним обозначения d dx и d d ).
Рассмотрим случай 0V .
Систему (2.1) целесообразно заменить одним дифференциальным уравнением
третьего порядка
y v (2.3)
2
3 5
3sin
(cos ) (cos )
u
v
, (2.4)
учитывая, что
tgy ;
3(cos )
y
. (2.5)
Приняв в качестве фазового вектора Tw y y y , здесь и далее верхний ин-
декс ”T ” обозначает транспонирование, перепишем (2.3) в виде
139
0 1 0
0 0 1
0 0 0
A
;
0
0
1
B
. (2.6)
Отметим, что параметры движения ( , ) и управляющее воздействие u согласно
(2.4), (2.5) выражаются через компоненты вектор w ( , )y y и v следующим образом:
arctgy ; 3(cos )y ;
2
3
2
3sin
(cos )
(cos )
u v
.
Очевидно, что аналогичный подход можно использовать и в случае движения по
окружности (уравнения (2.2)). Так, выбрав в качестве фазового вектора вектор
Tw R R R и приняв во внимание, что в этом случае
2
; tgR R ; 2
2
1
tg 1
coscos
R
R R
, (2.7)
можно заменить (2.2) следующими уравнениями третьего порядка (аналог (2.3), (2.4)):
R v ; (2.8)
2 2 2 2 2
5
( ( 6 ) 3 9 )
R
v se ce ce R se Rce se uR ce
ce
. (2.9)
В (2.8), (2.9) приняты следующие обозначения: sin ; cosse ce .
Согласно (2.7), (2,9) «физические» параметры движения и управляющее воздейст-
вие u выражаются через полученные значения , ,R R R и v таким образом:
arctg
R
R
;
2
; 2 2
2
( 2 )
ce
R ce R R ce
R
;
2 2
3
2 2
6
9 3
v se ce se Rse
u ce se
R R ceR ce
. (2.10)
§3. Стабилизация движения.
Рассмотрим задачу стабилизации, когда движение объекта описывается уравнени-
ем (2.1). Задача состоит в выборе u как функции , ,y таким образом, чтобы нуле-
вое решение уравнения (2.1) было асимптотически устойчиво.
Согласно (2.3) (2.4), имеем равенство
2
3 5
3sin
(cos ) (cos )
u
y
. (3.1)
Управляющее воздействие u выберем таким образом, чтобы уравнение (3.1)
имело вид
y ay by dy , (3.2)
где , ,a b d – заданные константы. В этом случае имеем формулу
140
2
2 3
2
3sin
(cos ) sin (cos )
(cos )
u a b d y
. (3.3)
Таким образом, имеется нелинейный алгоритм стабилизации, гарантирующий ус-
тойчивость системы. Необходимо указать процедуру выбора констант, фигурирую-
щих в этом алгоритме. Так, закон обратной связи, определяемый соотношением (3.3),
гарантирует устойчивость системы при условии, что значения констант , ,a b d обес-
печивают асимптотическую устойчивость систем (3.2), т.е. , , 0a b d и d ab . Есте-
ственно, следует выбрать эти константы, исходя из какой-либо оптимизационной про-
цедуры. Ниже это будет показано применительно к уравнению (2.6).
Согласно (3.2), константы , ,a b d определяются законом цепи обратной связи
u kw , который (матрица коэффициентов усиления k ) может быть получен, напри-
мер, в результате решения линейной квадратичной задачи (см., например, [4]), т.е.
оптимизации системы в соответствии с квадратичным критерием качества
2
0
TJ w Qw rv dx
, (3.4)
или методом модального управления [1].
§4. Синтез следящей системы.
Обобщим алгоритм (3.2) стабилизации на случай отслеживания им заданной тра-
ектории. Рассмотрим эту задачу в случае, когда программное движение не сильно
отличается от прямой. Итак, пусть ( )y x – программное значение траектории аппара-
та. Закон стабилизации (3.2) перепишем в таком виде:
( ( ))y ay by d y y x , (4.1)
что даст возможность "отслеживать" заданную траекторию ( ( )y x ) координатой y
аппарата. Однако, такой (сравнительно простой) алгоритм может не обеспечить дос-
таточное качество слежения если ( )y x – сравнительно быстро меняющаяся функция.
Рассмотрим вопрос повышения качества слежения. С этой целью запишем пере-
даточную функцию между входом ( ( )y x ) и выходом ( ( )y x ) системы, которая описы-
вается уравнением (4.1). Эта передаточная функция ( )H s имеет вид
3 2
( )
d
H s
s as bs d
. (4.2)
При сравнительно низких частотах 1 ( s i ) модуль передаточной функции
(4.2) будет близок к 1. В этой области частот основная погрешность воспроизведения
выходом системы ( ( )y x ) входного воздействия ( ( )y x ) будет обусловлена фазовым
запаздыванием. Фазовое запаздывание , которое имеет система с передаточной
функцией (4.2) на частоте , определяется следующим выражением:
2
2
b
tg
d a
.
При малых имеем
b d . (4.3)
141
Это фазовое запаздывание можно компенсировать, вводя в алгоритм стабилиза-
ции (4.1) программное значение ( )y x с некоторым опережением , т.е.
( ( ) ( ))y ay by d y x y x . (4.4)
Действительно, передаточная функция 1( )H s , соответствующая (4.4), имеет вид
1 3 2
( ) ( )
s
sde
H s H s e
s as bs d
.
Фазовое запаздывание этой системы в области низких частот (аналог (4.3)) можно
записать так:
b d . (4.5)
Выбрав из условия, что 0 , согласно (4.5), определим
b d . (4.6)
Таким образом, в случае отслеживания заданной траектории, закон цепи обратной
связи (2.3) может быть модифицирован следующим образом:
2
2 3
2
3sin
(cos ) sin (cos ) ( ( ))
(cos )
u a b d y y x
. (4.7)
Аналогичные (2.3), (4.7) алгоритмы стабилизации могут быть построены и в
случае, когда для описания движения используется полярная система координат
(уравнения (2.2)).
Отметим возможность использования описанного алгоритма и в случаях, когда
при движении вдоль программной траектории нарушается условие 0x . Так, в ряде
случаев можно «разрезать» исходную программную траекторию на участки движе-
ния, по которым она будет удовлетворять условию 0x , при соответствующем пре-
образовании системы координат. В этом случае можно решить задачу слежения в но-
вой системе координат (в которой 0x ) и перепроектировать полученное решение в
исходную систему координат (см. пример).
Пример.
Проиллюстрируем описанный выше алгоритм на примере отслеживания ЛА про-
граммной траектории, показанный на рис. 1 (две стороны и две диагонали квадрата,
сторона которого равна 1000 м (аналог траектории, изображенной в [3, рис. 11.6]. Со-
гласно программ, ЛА должны отслеживать программный сигнал, определяемый от-
резками , , , ,AB BC CD DE EF и FA . Используя декартову систему координат, урав-
нения движения ЛА принимаем в форме (2.6). При синтезе системы управления фигу-
рирующие в (3.2) коэффициенты , ,a b d находим путем минимизации функционала
(3.4), в котором
11
33
0 0
0 0 0
0 0
q
Q
q
; 1r ; 8
11 10q ; 33 0,1q .
Принятым Q и r соответствуют следующие значения коэффициентов , ,a b d :
0,341a ; 38,26 10b ; 410d ; согласно (4.6) – 82,6 м.
Рассмотрим более подробно движение ЛА по траектории, определяемой точками
, ,A B C . Очевидно, что в исходной системе координат при движении ЛА вдоль отрез-
142
ка BC нарушается условие 0x . В этой связи рассмотрим задачу отслеживания это-
го участка программной траектории в системе координат, повернутой относительно
исходной на угол 8 . Эта часть программной траектории (в повернутой системе
координат) показана на рис. 2 сплошной линией.
Рис. 1 Рис.2
Отметим, что в этой системе координат не нарушается условие 0x . На этом же ри-
сунке штрих-пунктирной линией показана траектория ЛА (величина опережения
определяется (4.6)). Далее, на рис. 3 показана в этой же системе координат зависи-
мость курсового угла , определяемого первым соотношением (2.5). На рис. 4 приве-
ден график угла крена , который определен при скорости 10V м/с в соответствии
с (1.2) (величина определяется вторым соотношением (2.5)).
Рис. 3 Рис.4
На рис. 5 показаны, в исходной системе координат, участок ABC программ-
ной траектории (сплошная линия) и траектория ЛА (штрих-пунктирной линия).
Используя аналогичные процедуры для участков CDE и EFA программной траекто-
рии (на этих участках угол поворота системы координат, который обеспечивает вы-
полнение условия 0x , был принят равным 8 ) была получена траектория
движения ЛА на этих участках. Вся траектория ЛА показана штрих-пунктирной
линией на рис. 6 (сплошная линия соответствует программной траектории). Срав-
нивая рис. 6 и [3, фиг. 11.6], можно констатировать одинаковое качество отслежи-
вания программной траектории как при использовании описанного алгоритма, так и
алгоритма [3, алгоритм 6].
143
Рис. 5 Рис. 6
Для демонстрации повышения качества слежения, обусловленного подачей, в со-
ответствии с (4.4), программного сигнала с опережением , определяемым (4.6), на
рис. 7 приведено решение задачи при 0 , т.е., когда следящая система функциони-
ровала в соответствии с (4.1).
Рис. 7
Сравнение результатов, приведенных на этих рисунках, свидетельствует о том,
что подача программного сигнала с опережением позволяет существенно повысить
качество слежения.
Заключение.
Получено решение задачи о повышении качества отслеживания ЛА программной
траектории путем подачи в следящую систему программной траектории с определен-
ным опережением. Эффективность предлагаемого алгоритма демонстрируется на
примере отслеживания ЛА программной траектории, аналогичной приведенной в [3,
фиг. 11.6]. Существенно, что при данном подходе не накладываются те или иные ус-
ловия на дифференцируемость программного сигнала.
Р Е ЗЮМ Е . Отримано розв’язок задачі про підвищення якості відстежування літальним апа-
ратом програмної траєкторії шляхом подачі в стежачу систему програмної траєкторії з певним випе-
редженням. Істотно, що при даному підході не накладаються ті або інші умови на похідні програмно-
го сигналу. Ефективність пропонованого алгоритму демонструється на прикладі відстежування
літальним апаратом програмної траєкторії, яка не має похідних в деяких точках.
144
1. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ля-
пунова. – М.: Наука, 1977. – 400 с.
2. Antonuk E.Ya., Zabuga A.T. Modeling the Maneuvering of a Vehicle // Int. Appl. Mech., – 2012, – 48,
N 4. – P. 447 – 457.
3. Beard R. W. Small Unmanned Aircraft: Theory and Practice. – Princeton: University Press, 2012. – 320 p.
4. Bryson A.E.Jr., Ho Yu-Chi. Applied optimal control. Optimization, estimation and control. – Waltham,
Massachusetts: Braisdell Publising Company, 1969.– 544 p.
5. Gruszka A., Malisoff M., Mazenc F. Bounded Tracking Controllers and Robustness Analysis for UAVs
// IEEE Trans. Automat. Contr., – 2013. – 58, N 1. – P. 180 – 187.
6. Larin V.B. On Stabilization of Motions of System with Nonholonomic Constraints // J. of Automat. and
Inform. Sci. – 2006. – 38. – P. 8 – 12.
7. Larin V.B. Control Problems for Wheeled Robotic Vehicles // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 4. – P. 363 – 388.
8. Larin V.B., Tunik A.A. On Inertial Navigation System Error Correction // Int. Appl. Mech., – 2012, – 48,
N 2. – P. 213 –223.
9. Larin V.B., Tunik A.A. On Inertial-Navigation System without Angular-Rate Sensor // Int. Appl. Mech.,
– 2013, – 49, N 4. – P. 488 – 500.
10. McLean D. Automatic Flight Control Systems. – Englewood Cliffs: Prentice Hall. Inc., 1990. – 593 р.
11. Zohar I., Ailon A. Tracking Cntrollers for Aerial Vehicles Subject to Restricted Inputs and Wind Pertur-
bations // Int. J. of Control, Automation, and Systems – 2013 – 11(3). – P. 433 – 441.
Поступила 27.12.2013 Утверждена в печать 26.05.2015
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-141013 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:36:47Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ларин, В.Б. Туник, А.А. 2018-07-21T11:25:27Z 2018-07-21T11:25:27Z 2015 О повышении качества отслеживания летательным аппаратом программной траектории / В.Б. Ларин, А.А. Туник // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 5. — С. 137-144 . — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141013 Отримано розв’язок задачі про підвищення якості відстежування літальним апаратом програмної траєкторії шляхом подачі в стежачу систему програмної траєкторії з певним випередженням. Істотно, що при даному підході не накладаються ті або інші умови на похідні програмного сигналу. Ефективність пропонованого алгоритму демонструється на прикладі відстежування літальним апаратом програмної траєкторії, яка не має похідних в деяких точках. A problem on improving the quality of tracking the program trajectory by aircraft is considered. This improvement is reached by feeding into a control system of the program trajectory the signal with certain advance. It is essential that this approach needs any conditions on differentiability of the program signal. An efficiency of proposed algorithm is demonstrated on an example of tracking by aircraft the program trajectory that has not derivatives in some points. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика О повышении качества отслеживания летательным аппаратом программной траектории On Improving the Quality of Tracking the Program Trajectory by Aircraft Article published earlier |
| spellingShingle | О повышении качества отслеживания летательным аппаратом программной траектории Ларин, В.Б. Туник, А.А. |
| title | О повышении качества отслеживания летательным аппаратом программной траектории |
| title_alt | On Improving the Quality of Tracking the Program Trajectory by Aircraft |
| title_full | О повышении качества отслеживания летательным аппаратом программной траектории |
| title_fullStr | О повышении качества отслеживания летательным аппаратом программной траектории |
| title_full_unstemmed | О повышении качества отслеживания летательным аппаратом программной траектории |
| title_short | О повышении качества отслеживания летательным аппаратом программной траектории |
| title_sort | о повышении качества отслеживания летательным аппаратом программной траектории |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141013 |
| work_keys_str_mv | AT larinvb opovyšeniikačestvaotsleživaniâletatelʹnymapparatomprogrammnoitraektorii AT tunikaa opovyšeniikačestvaotsleživaniâletatelʹnymapparatomprogrammnoitraektorii AT larinvb onimprovingthequalityoftrackingtheprogramtrajectorybyaircraft AT tunikaa onimprovingthequalityoftrackingtheprogramtrajectorybyaircraft |