Осесимметричные свободные колебания цилиндрических оболочек из непрерывно неоднородных материалов

На основі тривимірної теорії пружності і уточненої теорії оболонок Тимошенка − Міндліна отримано розв’язок задачі про вільні осесиметричні коливання циліндричних оболонок з неперервно неоднорідного матеріалу при різних граничних умовах. Досліджено можливість застосування уточненої теорії оболонок дл...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2015
Автори:	Григоренко, А.Я., Ефимова, Т.Л., Коротких, Ю.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2015
Назва видання:	Прикладная механика
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141020
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Осесимметричные свободные колебания цилиндрических оболочек из непрерывно неоднородных материалов / А.Я. Григоренко, Т.Л. Ефимова, Ю.А. Коротких // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 61-71. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-141020
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1410202025-02-09T11:37:16Z Осесимметричные свободные колебания цилиндрических оболочек из непрерывно неоднородных материалов Axisymmetric Free Vibrations of Cylindrical Shells from Continuously Inhomogeneous Materials Григоренко, А.Я. Ефимова, Т.Л. Коротких, Ю.А. На основі тривимірної теорії пружності і уточненої теорії оболонок Тимошенка − Міндліна отримано розв’язок задачі про вільні осесиметричні коливання циліндричних оболонок з неперервно неоднорідного матеріалу при різних граничних умовах. Досліджено можливість застосування уточненої теорії оболонок для оболонок з матеріалу з властивостями, що неперервно змінюються вздовж товщинної координати, а також вплив різних законів зміни механічних властивостей на динамічні характеристики циліндричних оболонок при осесиметричних коливаннях. Числові результати представлено у вигляді таблиць і графіків та дано їх аналіз. Basing on the three-dimensional theory of elasticity and the refined Timoshenko – Mindlin theory of shells, a problem on the free axisymmetric vibrations of cylindrical shell from the functionally gradient material is considered for different boundary conditions on ends. A capability of application of the refined theory of shells is studied for shells from materials with properties continuously changing along the thickness coordinate. Also, an effect of different laws of changing the mechanical properties on dynamical characteristics of cylindrical shells under axisymmetric vibrations is studied. The numerical data are presented and analyzed. 2015 Article Осесимметричные свободные колебания цилиндрических оболочек из непрерывно неоднородных материалов / А.Я. Григоренко, Т.Л. Ефимова, Ю.А. Коротких // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 61-71. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141020 ru Прикладная механика application/pdf Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	На основі тривимірної теорії пружності і уточненої теорії оболонок Тимошенка − Міндліна отримано розв’язок задачі про вільні осесиметричні коливання циліндричних оболонок з неперервно неоднорідного матеріалу при різних граничних умовах. Досліджено можливість застосування уточненої теорії оболонок для оболонок з матеріалу з властивостями, що неперервно змінюються вздовж товщинної координати, а також вплив різних законів зміни механічних властивостей на динамічні характеристики циліндричних оболонок при осесиметричних коливаннях. Числові результати представлено у вигляді таблиць і графіків та дано їх аналіз.
format	Article
author	Григоренко, А.Я. Ефимова, Т.Л. Коротких, Ю.А.
spellingShingle	Григоренко, А.Я. Ефимова, Т.Л. Коротких, Ю.А. Осесимметричные свободные колебания цилиндрических оболочек из непрерывно неоднородных материалов Прикладная механика
author_facet	Григоренко, А.Я. Ефимова, Т.Л. Коротких, Ю.А.
author_sort	Григоренко, А.Я.
title	Осесимметричные свободные колебания цилиндрических оболочек из непрерывно неоднородных материалов
title_short	Осесимметричные свободные колебания цилиндрических оболочек из непрерывно неоднородных материалов
title_full	Осесимметричные свободные колебания цилиндрических оболочек из непрерывно неоднородных материалов
title_fullStr	Осесимметричные свободные колебания цилиндрических оболочек из непрерывно неоднородных материалов
title_full_unstemmed	Осесимметричные свободные колебания цилиндрических оболочек из непрерывно неоднородных материалов
title_sort	осесимметричные свободные колебания цилиндрических оболочек из непрерывно неоднородных материалов
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2015
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141020
citation_txt	Осесимметричные свободные колебания цилиндрических оболочек из непрерывно неоднородных материалов / А.Я. Григоренко, Т.Л. Ефимова, Ю.А. Коротких // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 61-71. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT grigorenkoaâ osesimmetričnyesvobodnyekolebaniâcilindričeskihoboločekiznepreryvnoneodnorodnyhmaterialov AT efimovatl osesimmetričnyesvobodnyekolebaniâcilindričeskihoboločekiznepreryvnoneodnorodnyhmaterialov AT korotkihûa osesimmetričnyesvobodnyekolebaniâcilindričeskihoboločekiznepreryvnoneodnorodnyhmaterialov AT grigorenkoaâ axisymmetricfreevibrationsofcylindricalshellsfromcontinuouslyinhomogeneousmaterials AT efimovatl axisymmetricfreevibrationsofcylindricalshellsfromcontinuouslyinhomogeneousmaterials AT korotkihûa axisymmetricfreevibrationsofcylindricalshellsfromcontinuouslyinhomogeneousmaterials
first_indexed	2025-11-25T22:02:03Z
last_indexed	2025-11-25T22:02:03Z
_version_	1849801444376444928
fulltext	2015 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 51, № 6 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2015, 51, № 6 61 А .Я . Г р и г о р е н к о , Т .Л .Еф и м о в а , Ю .А .К о р о т к и х ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ИЗ НЕПРЕРЫВНО НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ, ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; t-mail:efimovatl@yandex.ru Abstract. Basing on the three-dimensional theory of elasticity and the refined Ti- moshenko – Mindlin theory of shells, a problem on the free axisymmetric vibrations of cy- lindrical shell from the functionally gradient material is considered for different boundary conditions on ends. A capability of application of the refined theory of shells is studied for shells from materials with properties continuously changing along the thickness coordinate. Also, an effect of different laws of changing the mechanical properties on dynamical charac- teristics of cylindrical shells under axisymmetric vibrations is studied. The numerical data are presented and analyzed. Key words: cylindrical shell, free axisymmetric vibrations, functionally gradient mate- rial, three-dimensional theory of elasticity, Timoshenko – Mindlin theory of shells. Введение. Появление в последние годы новых технологий в материаловедении позволили создать новые материалы с прогнозируемыми свойствами, среди которых можно вы- делить непрерывно неоднородные материалы (ННМ). Такие материалы имеют плавно изменяющиеся механические свойства в некотором направлении без каких-либо слоев или границ раздела и могут быть созданы на основе композиции двух металлов, ме- талла и керамики или двух полимеров, причем физические свойства таких материалов можно регулировать, задавая необходимое распределение модуля упругости в каком- либо из направлений. Механической моделью таких материалов часто выбирается модель изотропного непрерывно неоднородного в направлении изменения упругих свойств материала [2, 4, 6, 9 − 12]. Общим задачам теории упругости тел из гипотетических ННМ посвящены в ра- боты [7, 8]. Колебания толстостенных цилиндров из полимерных композиционных ННМ на основе трехмерной теории упругости рассмотрены в работе [2]. Однако сле- дует отметить, что применение трехмерной теории для задач динамики тел из ННМ в большинстве случаев является проблематичным. В работах [6, 9 − 12] исследованы свободные колебания тел цилиндрической формы из ННМ на основе теорий оболо- чек. При этом основное внимание уделено изменению динамических характеристик в зависимости от закона изменения упругих свойств. Интересным является исследова- ние возможности использования оболочечных теорий для свободных колебаний по- лых цилиндрических тел из существенно неоднородного по толщине материала. В настоящем сообщении рассмотрены вопросы как возможности применения уточненной теории оболочек Тимошенко – Миндлина к задачам о свободных колеба- ниях цилиндрических оболочек с плавно меняющимися по толщине механическими параметрами, так и влияния различных законов изменения свойств на динамические характеристики цилиндрических оболочек при радиально продольных осесимметрич- ных колебаниях. При этом используется метод сплайн-коллокации совместно с мето- дом пошагового поиска и дискретной ортогонализации [2, 3, 5]. 62 1. Постановка задачи. Основные соотношения. 1.1. Теория оболочек Тимошенко – Миндлина. Рассмотрим задачу о свободных колебаниях круговых цилиндрических оболочек из ННМ с градиентом изменения упругих свойств в направлении, перпендикулярном срединной поверхности оболочки, на основе уточненной модели Тимошенко, которая базируется на гипотезе прямой линии. Суть этой гипотезы состоит в том, что прямолинейный элемент нормали ис- ходной координатной поверхности при малых деформациях сохраняет свою длину и прямолинейность, но не остается нормальным к ней. Согласно принятой гипотезе в системе координат , , z  , связанной со срединной поверхностью оболочки (  − ко- ордината в направлении нормали срединной поверхности, / 2 / 2h h   , 0 2   , 0 z L  ), малые перемещения точек можно записать в виде ( , , , ) ( , , )u z t w z t    ; ( , , , ) ( , , ) ( , , )u z t v z t z t       ; ( , , , ) ( , , ) ( , , ),z zu z t u z t z t      (1) где ( , , )u z t , ( , , )v z t , ( , , )w z t − перемещения координатной поверхности; ( , , )z t  , ( , , )z z t  − функции, характеризующие независимый полный поворот нормали. В соответствии с (1) выражения для деформаций записываем в виде ( , , , ) ( , , ) ( , , );e z t z t z t         ( , , , ) ( , , ) ( , , )z z ze z t z t z t       ; ( , , , ) ( , , ) 2 ( , , )z z ze r z t z t z t        ; (2) ( , , , ) ( , , )e r z t z t    ; ( , , , ) ( , , )z ze r z t z t    . Здесь , ,z z    − тангенциальные деформации координатной поверхности; , ,z z    − компоненты изгибной деформации; , z  − углы поворота нормали, обусловленные поперечными сдвигами. Связь деформаций и перемещений срединной поверхности оболочки определяет- ся формулами 1 1v w R R      ; z u z     ; 1 z u v R z        ; z z z      ; 1 1 R R          1 1v w R R     ; 1 1 2 z z u R z R               ; (3) 1 1w v R R         ; z z w z       . Уравнения движения элемента координатной поверхности имеют вид 2 0 12 2 1 zz zNN u I I z R t t             ; 2 0 12 2 1 1zN N v Q I I R z R t t                  ; 2 0 2 1 1z QQ w N I z R R t           ; 2 1 22 2 1 zz z z MM u Q I I z R t t              ; (4) 63 2 1 22 2 1 zM M v Q I I R z t t                  , причем 1 0z z zN M R N      . Здесь , , ,z z zN N N N   − тангенциальные усилия, , zQ Q − перерезывающие усилия, , , ,z z zM M M M   − изгибающие и крутящие моменты,    − плотность материала оболочки. Входящие в уравнения (4) инерци- онные члены уравнений 0 1 2, ,I I I вычисляются с учетом наличия градиента упругих свойств следующим образом:   2 0 2 h h I d      ;   2 1 2 h h I d       ;   2 2 2 2 h h I d       . (5) Соотношения упругости для цилиндрически оболочек из непрерывно неоднород- ного материала (ННМ) с учетом отсутствия симметрии упругих свойств относительно срединной поверхности имеют вид: 11 12 11 12z z zN C C K K        ; 12 22 12 22z zN C C K K         ; 1 66 662z z zN C D R     ; 11 12 11 12z z zM K K D D        ; 12 12 12 22z zM K K D D         ; 662z z zM M D    ; (6) 2Q K  ; 1z zQ K  ; 66z zN C  , где для жесткостных характеристик оболочки, приведенных к координатной поверх- ности, имеем формулы:   2 11 11 2 h h С B d     ;   2 12 12 2 h h С B d     ;   2 22 22 2 h h С B d     ;   2 66 66 2 h h С B d     ;   2 11 11 2 h h K B d      ;   2 12 12 2 h h K B d      ;   2 22 22 2 h h K B d      ;   2 1 2 h h K G d     ;   2 2 11 11 2 h h D B d      ;   2 2 12 12 2 h h D B d      ;   2 2 22 22 2 h h D B d      ; (7)   2 2 66 66 2 h h D B d      ;  11B  =  22B      2/ 1E     ;  12B  =       2/ 1E     ; 66 2(1 ) E B    ; E , G ,  − модули упругости, сдвига и коэффициент Пуассона, соответственно, ко- торые для данного материала с направлением градиента вдоль толщиной координаты являются функциями координаты  . На торцах 0z  и z L рассмотрим следующие граничные условия: 1) контур жестко закреплен − 0; zu v w      = 0; 2) контур шарнирно опертый и свободный в направлении образующей – 0;u z   0; 0zv w z        ; 64 3) контур свободен − 0zN  , 0zM  , 0zQ  . При рассмотрении осесимметричных свободных колебаний (при этом все функ- ции, входящие в уравнения (3), (4), (6), не зависят от  , а их производные по  равны нулю, т.е. / 0f    ) система уравнений движения (4) распадается на две независи- мые системы, одна из которых соответствует радиально-продольным, а вторая – кру- тильным колебаниям. При этом уравнения движения радиально-продольных колеба- ний принимают такой вид: 2 2 0 12 2 z z zN u I I z t t         ; 2 0 2 1zQ w N I z R t       ; 2 2 1 22 2 z z z z M u Q I I z t t          . (8) Упрощаются и уравнения связи с перемещениями срединной поверхности тан- генциальных и изгибных деформаций срединной поверхности, а также угла поворота нормали, обусловленного поперечными сдвигами, т.е. 1 w R  ; z u z     ; z z z      ; 2 1 w R  ; z z w z       . (9) Необходимые соотношения упругости с учетом рассмотрения радиально- продольных колебаний запишем в виде 11 12 11 12z z zN C C K K        ; 12 22 12 22z zN C C K K         ; 11 12 11 12z z zM K K D D        ; 11 12 11 12z z zM K K D D        ; 1z zQ K  . (10) Далее предполагаем, что все точки цилиндрической оболочки совершают гармо- нические колебания с круговой частотой , т. е.       , , , , ,zu z t w z t z t        , , zu z w z z  e i t (далее знак ~ опускаем). (11) Запишем систему уравнений (8) − (10) с учетом (11) в перемещениях: 22 2 2 11 11 0 12 12 12 2 2 1 1 ;z z dd u dw dw С K I u C K I R dz dzdz dz R          22 2 2 11 11 1 12 12 1 1 12 2 2 1 1z z z dd u dw dw dw K D I u K D K K I R dz dz dzdz dz R             ; (12) 2 2012 22 22 12 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1z z zId C C K d K ddu w w w K R dz K K K dz K R dzdz R R          , которая после преобразований примет такой вид: 2 22 211 0 11 1 11 1 11 2 11 1 2 z D I K I D I K I K Kd u u dz               11 12 12 11 11 12 11 12 11 1 2 2 D K D K K K D C K Kdw dw dw dz dz dzR R        ; (13) 22 2 11 0 11 2 1 11 11 12 2 z z z C Id C I K C C K dw u dz dzR              11 11 11 1 2 2 D C C Kdw dw dz dzR R     ; 2 2022 22 12 2 2 2 11 1 1 11 1 1 1 zIC K C dd w du w w w K K K K R dz dzdz R R        1̀2 11 11 2 1 1 zK d D C dw K R dz dzR    . 65 Таким образом, задача на собственные значения сводится к системе обыкновен- ных дифференциальных уравнений (13) при соответствующих условиях (при 0z  и )z L . 1.2. Трехмерная теория упругости. Рассмотрим в цилиндрической системе ко- ординат , ,r z толстостенную цилиндрическую оболочку длины L постоянной тол- щины с внутренним радиусом R H и внешним R H ( R − радиус срединной по- верхности, 2H − толщина оболочки), изготовленную из ННМ с направлением изме- нения упругих свойств, перпендикулярным срединной поверхности. В случае осе- симметричных радиально-продольных колебаний компоненты вектора перемещений, тензоров напряжений и деформаций не зависят от окружной координаты  . При этом уравнения движения упрощаются и принимают такой вид:   2 2 rr rz ru r r z r t              ;   2 2 rz z rz zu r r z r t              . (14) Соотношения Коши для осесимметричного случая запишем так: r r u e r    ; 1 re u r  ; z z u e z    ; 2 r z rz u u e z r       . (15) Систему (14), (15) дополняют соотношения обобщенного закона Гука для орто- тропного упругого тела 11 12 13r r ze e e      ; 12 22 23r ze e e       ; (16) 13 23 33z r ze e e      ; 552rz rze  . Элементы матрицы жесткости ( )ij ij r  , а также плотность материала цилиндра ( )r , являются непрерывными и дифференцируемыми функциями радиальной коор- динаты r . Здесь t − временная координата; ( , , )ru r z t , ( , , )zu r z t − проекции вектора полного перемещения точек цилиндра в направлениях, касательных, соответственно, к координатным линиям ,r z ; re ( , , )r z t , e ( , , )r z t , ze ( , , )r z t − относительные линей- ные деформации в направлении координатных линий; ( , , )rze r z t − деформации сдвига; ( , , ), ( , , ), ( , , )r zr z t r z t r z t   − нормальные напряжения; ( , , )rz r z t − касательные на- пряжения. Элементы ij матрицы жесткости можно вычислить через элементы ijc матрицы податливости по формулам 2 11 22 33 22 33 23( ) /с с с       ; 12 13 23 13 23 12 33( ) / ;с с с с       55 551 / c  ; 2 11 22 33 23 12 12 33 13 23 13 12 23 13 22( ) ( ) ( ).c c c c c c c c c c c c c c       Элементы матрицы податливости можно выразить через технические постоянные: 11 22 33 1 ;c c c E    12 13 23c c c E      ; 55 1 c G   , (17) где  E r − модуль упругости;  G r − модуль сдвига;  r − коэффициент Пуассо- на непрерывно неоднородного материала. Внутренняя и внешняя боковые поверхности оболочки r  R H и r R H  свободны от напряжений, а соответствующие граничные условия принимают вид ( / 2, , ) 0;r R H z t   ( / 2, , ) 0rz R H z t   . (18) 66 На торцах при 0z  и z L возможны условия: 1) 0r  , 0ru  или 0zu z    , 0ru  ; (19) 2) 0zu  , 0rz  или 0zu  , 0ru z    ; (20) 3) 0ru  , 0zu  . (21) Предполагаем, что все точки оболочки совершают гармонические колебания с час- тотой  , т. е.     , , , , ,r zu r z t u r z t      , , ,r zu r z u r z  e i t (далее знак ~ опускаем). Запишем разрешающие уравнения в перемещениях в таком виде: 2 2 2 55 5512 22 2 2 2 11 11 11 11 11 1 1 1 1 1r r r r u u u u r r z zr r z                            13 23 1311 11 11 11 1 1 1 1r zu u r r r r r z                            2 55 13 55 11 11 1 z zu u z r z r               ; (22) 2 2 23 55 23 13 2 55 55 55 55 1 1 1 1 1z r r ru u u u z r r r r z r zr                                   2 213 33 33 55 2 55 55 55 55 55 1 1 1 1 1r z z z z u u u u u z r z z r r rz                                . При этом граничные условия (18) на внутренней и внешней поверхностях прини- мают вид 11 12 13 0r r zu u u r r z           ; 55 0r zu u z r         . (23) Система обыкновенных дифференциальных уравнений (22) вместе с соответст- вующими граничными условиями представляет собой задачу на собственные значения. 2. Методика решения задачи. Задачу (13) с соответствующими граничными условиями решаем с использовани- ем методов дискретной ортогонализации и пошагового поиска. Для этого, введя функции u u z    , z z z      , w w z    и  , , , , ,z zY u u w w  T  вектор-функцию, зависящую от z , систему (13) представим в виде  , dY A z Y dz  (0 )z L  , (24) где ( , )A z   квадратная матрица порядка 6 6 . Граничные условия при 0z  и z L для данной системы обыкновенных дифференциальных уравнений запишем в виде 1 (0) 0B Y  ; 2 ( ) 0B Y L  , (25) где 1B и 2B − прямоугольные матрицы порядка 3 6 . 67 Краевую задачу (22), (23) на собственные значения можно решить, используя метод дискретной ортогонализации совместно с методом пошагового поиска [1 − 3]. Для вы- числения инерционных членов (5) и соответствующих интегральных жесткостных ха- рактеристик (7) используем метод Ньютона – Котеса с автоматическим выбором шага. Задачу (24) с соответствующими граничными условиями (25) можно решить с ис- пользованием метода сплайн-коллокации. Для этого разрешающие функции ( , ),ru r z ( , )xu r z представим в виде (1) 0 ( ) ( ) N r ri i i u u r z    ; (2) 0 ( ) ( ) N z zi i i u u r z    , (26) где ( ), ( )ri ziu r u r  искомые функции переменной r ; ( ) ( )j i z ( 1, 2; 0,1,..., )j i N   линейные комбинации, учитывающие граничные условия при 0z  и z L , В- сплайнов на равномерной сетке  : 0 10 ... Nz z z L     . В систему (22) входят производные от разрешающих функций по координате z не выше второго порядка, поэтому можно ограничиться аппроксимацией сплайн-функциями третьей степени. Подставляя соотношения (26) в уравнения (22), требуем их удовлетворения в за- данных точках коллокации  0,k L  , 0, .k N Число узлов сетки (с учетом 0z ) – четное, т.е. 2 1N n  ( 3n  ).Число точек коллокации при этом – 1N N  . В ре- зультате получаем систему 4( 1)N  линейных дифференциальных уравнений относи- тельно функций , , ,ri ri zi ziu u u u  ( 0,..., )i N , т.е. ( , ) dY A r Y dr  ( )R H r R H    , (27) где  0 0 0,... , ,..., , ,..., , ,...,r rN r rN z zN zo zNY u u u u u u u u     T  вектор-функция, зависящая от r , ( , )A r   квадратная матрица порядка 4( 1) 4( 1)N N   . Граничные условия для данной системы обыкновенных дифференциальных урав- нений запишем в виде 1 ( ) 0;B Y R H  2 ( ) 0B Y R H  , (28) где 1B и 2B − прямоугольные матрицы порядка 2( 1) 4( 1)N N   . Краевую задачу (27), (28) на собственные значения решаем, используя метод дис- кретной ортогонализации, совместно с методом пошагового поиска [1 – 3, 5]. 3. Числовые результаты и их анализ. 3.1. Рассмотрим цилиндрическую оболочку двухкомпонентного ННМ, для кото- рого упругие свойства, определяемые модулем упругости E , коэффициентом Пуас- сона  и плотностью  можно определить по концентрации входящих в компози- цию материалов. Предполагаем, что изменение упругих свойств направлено по тол- щинной координате. Связь между модулем упругости E , коэффициентом Пуассона  и плотностью  данного материала (ННМ) с соответствующими параметрами ма- териалов, входящих в композицию, определим по формулам  2 1 1E E E V E   ;  2 1 1V      ;  2 1 1V      , (29) где 1 1 1, ,E   и 2 2 2, ,E   − механические параметры, соответственно, первого и второ- го материалов, V − концентрация второго из входящих материалов в зависимости от толщинной координаты  . Для расчетов примем степенной закон изменения упругих свойств ННМ вдоль толщиной координаты  / 0,5 m V h  . 68 Упругие параметры входящих в композицию материалов приведены в табл.1. Таблица 1 Материал E , ГПа   , кг/м3 Алюминий 70 0,3 2707 SiC 427 0,17 3100 В табл. 2 представлены первые пять частот 2 0 0 0 10i il G    свободных коле- баний цилиндрической оболочки из ФГМ, вычисленные по трехмерной теории и тео- рии Тимошенко – Миндлина для различных значений показателей m в степенном законе изменения свойств. Для обезразмеривания выбраны такие параметры: 0 1  кг/м3; 0 1G  ГПа. Торцы оболочки шарнирно оперты. Геометрические параметры оболочки: длина оболочки 020L l ; радиус 010R l ; толщина 02h l . Таблица 2 m Теория 1 2 3 4 5 Тимошенко – Миндлина 3,1605 3,5005 4,6404 5,2606 6,5207 0,5 Трехмерная 3,3005 3,6605 4,8407 5,5506 6,8507 Тимошенко – Миндлина 2,4805 2,7405 3,6005 4,2807 5,0604 2 Трехмерная 2,5305 2,7905 3,6605 4,4307 5,1504 Тимошенко – Миндлина 2,0506 2,3505 3,1604 3,6206 4,5004 5 Трехмерная 2,0853 2,3505 3,1406 3,7006 4,4304 Тимошенко – Миндлина 1,8671 2,1405 2,9605 3,2605 4,2204 10 Трехмерная 1,8605 2,1305 2,9195 3,2005 4,1205 Анализ результатов (табл. 2) позволяет сделать вывод о малом отличии собствен- ных частот цилиндрической оболочки из ННМ по указанным теориям. Следует отме- тить, что максимальное отличие частот, полученных с использованием указанных теорий, составляет  5%, происходит при значении 0,5m  . При остальных из рас- сматриваемых значений параметра m расхождение частот, полученных по различным теориям, не более 3%. Частоты, полученные по уточненной теории оболочек, для 0,5m  и 2m  по значениям – ниже соответствующих частот для трехмерной тео- рии, а для 10m  − выше соответствующих частот для трехмерной теории. Для зна- чения 5m  первая частота, рассчитанная по уточненной теории, лежит выше соот- ветствующего значения по трехмерной теории, а третья, четвертая и пятая частоты, полученные по теории Тимошенко – Миндлина, лежат ниже аналогичных частот по трехмерной теории упругости. Таблица 3 m  0,5 1 2 5 10 1 0,03161 0,02850 0,02481 0,02052 0,01861 2 0,03500 0,03141 0,02740 0,02351 0,02142 3 0,04643 0,04152 0,03600 0,03162 0,02964 4 0,05265 0,04854 0,04281 0,03623 0,03262 Таблица 4 m  0,5 1 2 5 10 1 0,03606 0,03042 0,02661 0,02263 0,02001 2 0,03901 0,03481 0,03033 0,02601 0,02442 3 0,05242 0,04760 0,04184 0,03600 0,03260 4 0,05360 0,04762 0,04240 0,03683 0,03493 69 В табл. 3 – 5 приведены первые четыре частоты 0 0 0i il G   свободных коле- баний, соответственно, для шарнирно опертой, для жестко защемленной по краям и свободной цилиндрических оболочек из ННМ, вычисленные по теории Тимошенко – Миндлина для различных значений параметра m . Таблица 5 m  0,5 1 2 5 10 1 0,03160 0,02862 0,02481 0,02081 0,01860 2 0,03181 0,02881 0,02543 0,02123 0,01901 3 0,03262 0,02950 0,02588 0,02182 0,01983 4 0,03926 0,03584 0,03062 0,02664 0,02467 Следует отметить, что с увеличением параметра m жесткость материала увели- чивается, что приводит к уменьшению частот. 3.2. Рассмотрены колебания толстостенных оболочек из полимерных ННМ на ос- нове трехмерной теории упругости. Следует отметить, что при создании к полимер- ным градиентным материалам выдвигаются следующие требования: поведение мате- риала во всех градиентных зонах должно быть упругим, а не вязкоупругим с широким рабочим интервалом температур, в котором сохраняется градиент свойств. Причем необходимо иметь в виду, что абсолютно упругих полимерных ННМ не существует, и понятие упругого поведения применительно к полимерам условно (под упругим по- нимают такое поведение, при котором напряжение релаксирует очень медленно). Для полимерных ННМ пока не удается задавать закон изменения свойств с учетом свойств, входящих в композицию полимеров, и поэтому свойства ННМ определяются экспериментально [2]. В табл. 6 приведены частоты /ср срH E   свободных колебаний для цилинд- ров из полимерных ННМ с градиентным профилем, соответствующим квадратичному закону изменения модуля Юнга 2( )E r ar br c   . Расчеты проведены с использова- нием трехмерной теории упругости. Таблица 6 Шарнирное опирание торцов Жесткое закрепление торцов i І ІІ ІІІ І ІІ ІІІ 1 0,3094 (1) 0,2919 (1) 0,3019 (1) 0,4068 0,3917 0,4007 2 0,5981 (2) 0,5869 (2) 0,5969 (2) 0,6053 0,6053 0,6176 3 0,6543 (1) 0,6856 (1) 0,6788 (1) 0,6932 0,7321 0,7222 4 0,9556 (3) 0,9531 (3) 0,9619 (3) 0,9776 0,9730 0,9830 5 1,1269 (2) 1,1475 (1) 1,1844 (1) 1,1503 1,1441 1,1754 6 1,1700 (1) 1,1681 (2) 1,1863 (2) 1,1961 1,2429 1,2639 При этом рассмотрены такие случаи: І) cпадающий модуль Юнга ( ( ) 243,0E R H  МПа, ( ) 150,0Е R  МПа, ( ) 110,0E R H  МПа, 26,5МПаa  , 278,5b   МПа, 839,5c  МПа); ІІ) возрастающий модуль Юнга ( ( ) 100,0E R H  МПа, ( ) 150,0Е R  МПа, ( ) 243,0E R H  МПа, 6,5a  МПа, 59,6b   МПа, 243c  МПа; ІІІ) усредненный по толщине модуль Юнга 158,33cpE  МПа. Коэффициент Пуассона выбран равным 0, 4  , что связано с небольшим разли- чием коэффициентов Пуассона для образующих ННМ полимерных материалов. Плот- 70 ность градиентного материала принято постоянной и равной усредненному значению по толщине ср . Геометрические параметры цилиндра такие: длина – 5L  ; внутрен- ний радиус – 3внутR R H   ; внешний – 5внешR R H   , что соответствует отно- шению / 0, 25H R  . В табл. 6 (в круглых скобках) рядом с частотами указано коли- чество полуволн в продольном направлении. Из анализа результатов следует, что при различных законах изменения модуля Юнга по толщине происходит перестройка форм, соответствующих пятой и шестой частотам. Значения соответствующих частот, определяемых в порядке возрастания, различаются на 1,5 – 5,6%. На рисунках показаны формы колебаний для первой и второй собственных частот цилиндрической толстостенной оболочки из однородного (сплошные линии) и неод- нородного градиентного (штриховые) материала с законом изменения модуля Юнга (І) при / 2z L . Торцы оболочки жестко закреплены. Перемещения и напряжения нормированы на максимальное значение модуля соответствующей величины для од- нородного материала. Неоднородность материала наиболее существенно влияет на распределение на- пряжений r по толщине цилиндра. При этом на первой частоте меняется количество полуволн по толщине цилиндра. Для перемещений ru и напряжений rz в случае за- кона изменения модуля Юнга (І) наблюдается смещение максимумов к внутренней поверхности цилиндра. Перемещения zu у цилиндра из градиентного материала мало изменяются по сравнению с цилиндром из однородного материала как на первой, так и на второй собственных частотах, при этом точка перегиба остается неизменной и расположенной на срединной поверхности для материалов разного типа. Заключение. На основе трехмерной теории упругости, а также уточненной теории оболочек Тимошенко − Миндлина, получено решение задачи о свободных осесимметричных колебаниях цилиндрических оболочек из непрерывно неоднородного материала (ННМ) при различных граничных условиях. Исследована применимость уточненной теории для оболочек из материала с непрерывно изменяющимися вдоль толщинной координаты свойствами, а также влияние различных законов изменения свойств на динамические характеристики цилиндрических оболочек при осесимметричных коле- баниях. 71 Р Е ЗЮМ Е . На основі тривимірної теорії пружності і уточненої теорії оболонок Тимошенка − Міндліна отримано розв’язок задачі про вільні осесиметричні коливання циліндричних оболонок з неперервно неоднорідного матеріалу при різних граничних умовах. Досліджено можливість застосу- вання уточненої теорії оболонок для оболонок з матеріалу з властивостями, що неперервно зміню- ються вздовж товщинної координати, а також вплив різних законів зміни механічних властивостей на динамічні характеристики циліндричних оболонок при осесиметричних коливаннях. Числові резуль- тати представлено у вигляді таблиць і графіків та дано їх аналіз. 1. Григоренко Я.М., Беспалова Е.И., Китайгородский А.Б., Шинкарь А.И. Свободные колебания эле- ментов оболочечных конструкций. – К.: Наук. думка, 1986. – 171 с. 2. Григоренко А.Я., Ефимова Т.Л.. Бровко А.А., Горбач Л.Н. О свободных осесимметричных колеба- ниях цилиндров конечной длины из полимерных функционально градиентных материалов // Прикл. пробл. механіки і математики.− 2010. − Вип.8. − С.92 − 99. 3. Ефимова Т.Л. Численное решение задачи о неосесимметричных свободных колебаниях ортотроп- ных неоднородных цилиндров на основе метода сплайн – коллокации // Доп. НАН України. − 2010. − № 3. − С. 58 − 64. 4. Birman V., Byrd L.W. Modeling and analysis of functionally graded materials and structures // Appl. Mech. Reviews. – 2007. – 60. – P. 195 − 215. 5. Grigorenko Ya.V., Grigorenko A.Ya. Static and Dynamic Problems for Anisotropic Inhomogeneous Shells with Variable Parameters and Their Numerical Solution (Review)// Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 2. – P. 123 – 193. 6. Isvandzibaei M.R., Jahani A. Vibration of functionally graded cylindrical shells under effects free-free and clamped-clamped boundary conditions // World Academy of Science, Engineering and Tehnolodgy. −2010. – 45. − 152 − 157. 7. Kashtalyan M.Yu., Rushchitsky J.J. Love Solutions in the Linear Inhomogeneous Transversely Theory of Elasticity // Int. Appl. Mech. – 2010. – 40, N 2. – P.121 – 199. 8. Kashtalyan M.Yu., Rushchitsky J.J. General Love Solution in the Linear Inhomogeneous Transversely Isotropic Theory of Radius-Dependent Elasticity // Int. appl. Mech. – 2010. – 40, N4. – P. 367 – 376. 9. Kumar J.S., Reddy B.S., Reddy S.E., Kumar Reddy K.V. Higher order theoty for free vibration analysis of functionally graded material plates // ARPN J. of Eng. and Appl. Sci. – 2011. – 6, N 10. − P. 105−111. 10. Loy C.T., Lam K.Y., Reddy J.N. Vibration of functionally graded cylindrical shells // World Academy of Science, Engineering and Teсhnolodgy. −1999. – 41. − P. 309 − 324. 11. Najafizadeh M.M., Isvandzihaei M.R. Vibration of functionally graded cylindrical shells based on higher order deformation plate theory with ring support // Acta Mech. − 2007. – 191. − P. 75 − 91. 12. Pradhan S.C., Loy C.T., Lam K.Y., Reddy J.N. Vibration characteristics of functionally graded cylindri- cal shells under various boundary conditions // Appl. Acoust. − 2000. – 61. – P.111 – 129. Поступила 11.03.2014 Утверждена в печать 26.05.2015

Осесимметричные свободные колебания цилиндрических оболочек из непрерывно неоднородных материалов

Репозитарії

Схожі ресурси