Однорідні еліптичні рівняння в розширеній соболєвській шкалі
У розширеній соболєвській шкалі досліджено однорідні еліптичні диференціальні рівняння, розв'язки яких задовольняють досить загальні крайові умови. Ця шкала складається з ізотропних гільбертових просторів Хермандера, для яких показником регулярності служить довільна функція, RO-змінна на неск...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2018 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2018
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141122 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Однорідні еліптичні рівняння в розширеній соболєвській шкалі / А.В. Аноп, О.О. Мурач // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 3. — С. 3-11. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859607195065253888 |
|---|---|
| author | Аноп, А.В. Мурач, О.О. |
| author_facet | Аноп, А.В. Мурач, О.О. |
| citation_txt | Однорідні еліптичні рівняння в розширеній соболєвській шкалі / А.В. Аноп, О.О. Мурач // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 3. — С. 3-11. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | У розширеній соболєвській шкалі досліджено однорідні еліптичні диференціальні рівняння, розв'язки яких
задовольняють досить загальні крайові умови. Ця шкала складається з ізотропних гільбертових просторів
Хермандера, для яких показником регулярності служить довільна функція, RO-змінна на нескінченності за
Авакумовичем. Встановлено теореми про характер розв’язності цих рівнянь і локальну регулярність (аж до
межі області) їх розв’язків у вказаній шкалі. Дано явний опис усіх гільбертових просторів, інтерполяційних
для пар підпросторів гільбертових просторів Соболєва, утворених розв'язками однорідного еліптичного
рівняння.
В расширенной соболевской шкале исследованы однородные эллиптические дифференциальные уравнения, решения которых удовлетворяют общим краевым условиям. Эта шкала состоит из изотропных гильбертовых пространств Хермандера, для которых показателем регулярности служит произвольная функция, RO-меняющаяся на бесконечности по Авакумовичу. Установлены теоремы о характере разрешимости
этих уравнений и локальной регулярности (вплоть до границы области) их решений в указанной шкале.
Дано явное описание всех гильбертовых пространств, интерполяционных для пар подпространств гильбертовых пространств Соболева, образованных решениями однородного эллиптического уравнения.
In an extended Sobolev scale, we investigate homogeneous elliptic differential equations, whose solutions satisfy
general enough boundary conditions. This scale consists of isotropic Hilbertian Hörmander spaces for which the
regularity index is an arbitrary function RO-varying at infinity in the sense of Avakumović. We establish theorems
on the character of solvability of these equations and the local regularity (up to the boundary of the domain)
of their solutions in the scale indicated. We give an explicit description of all Hilbert spaces that are interpolation
ones for pairs of subspaces of Hilbert Sobolev spaces formed by solutions of a homogeneous elliptic equation.
|
| first_indexed | 2025-11-28T05:18:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
3ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 3
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
МАТЕМАТИКА
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2018.03.003
УДК 517.956.22
А.В. Аноп, О.О. Мурач
Інститут математики НАН України, Київ
E-mail: ahlv@ukr.net, murach@imath.kiev.ua
Однорідні еліптичні рівняння в розширеній соболєвській шкалі
Представлено членом-кореспондентом НАН України А.Н. Кочубеєм
У розширеній соболєвській шкалі досліджено однорідні еліптичні диференціальні рівняння, розв’язки яких
задовольняють досить загальні крайові умови. Ця шкала складається з ізотропних гільбертових просторів
Хермандера, для яких показником регулярності служить довільна функція, RO-змінна на нескінченності за
Авакумовичем. Встановлено теореми про характер розв’язності цих рівнянь і локальну регулярність (аж до
межі області) їх розв’язків у вказаній шкалі. Дано явний опис усіх гільбертових просторів, інтерполяційних
для пар підпросторів гільбертових просторів Соболєва, утворених розв’язками однорідного еліптичного
рівняння.
Ключові слова: еліптичне рівняння, простір Соболєва, простір Хермандера, нетерів оператор, регулярність
розв’язку, інтерполяційний простір.
Простори Соболєва відіграють фундаментальну роль у теорії еліптичних диференціальних
рівнянь. Так, один із основних її результатів — теорема про нетеровість еліптичних крайо-
вих задач у підходящих парах соболєвських просторів додатного порядку [1, п. 2.4]. У важ-
ливому випадку, коли еліптичне рівняння однорідне, висновок цієї теореми є правильним
для соболєвських просторів довільного дійсного порядку (див., наприклад, [2, розд. 2, п. 7.3]
або [3, п. 3.3.1]).
У цій роботі досліджуються питання про розв’язність і властивості розв’язків загаль-
них однорідних еліптичних рівнянь у розширеній соболєвській шкалі [4]. Вона складаєть-
ся з гільбертових просторів Хермандера ϕH [5, п. 2.2], для яких показником регулярності
розподілів є довільна функція ϕ ∞ → ∞: [1, ) (0, ) , RO-змінна на нескінченності за В.Г. Ава-
кумовичем [6, додаток 1]. Використання функціонального параметра ϕ замість числового
дає змогу більш тонко охарактеризувати регулярність розподілів, ніж це можливо в рамках
шкали соболєвських просторів. Важливо, що розширена соболєвська шкала отримується
методом інтерполяції з функціональним параметром пар гільбертових просторів Соболє-
ва і складається з усіх гільбертових просторів, інтерполяційних для цих пар. Отже, вона є
найбільш широким класом гільбертових функціональних просторів, на якому можна до-
сліджувати властивості еліптичних рівнянь за допомогою інтерполяції соболєвських про-
сторів. Для різних підкласів цієї шкали теореми про розв’язність еліптичних крайових задач
© А.В. Аноп, О.О. Мурач, 2018
4 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 3
А.В. Аноп, О.О. Мурач
встановлені в [7, 8] і окремо для однорідних еліптичних рівнянь — у [9, 10] (див. також [3,
розд. 3, 4] і [11]).
Основні результати роботи — теорема про нетеровість загальної еліптичної крайової
задачі для однорідного еліптичного рівняння в розширеній соболєвській шкалі і теореми
про породжені цією задачею ізоморфізми та локальну регулярність (аж до межі області) її
узагальнених розв’язків у цій шкалі. Крім того, у термінах просторів Хермандера дано опис
усіх гільбертових просторів, які є інтерполяційними для пар підпросторів гільбертових про-
сторів Соболєва, утворених розв’язками однорідного еліптичного рівняння.
1. Постановка задачі. Нехай Ω — довільна обмежена область у евклідовому просторі
nR , де � 2n . Припустимо, що межа Γ цієї області є замкненим (тобто компактним і без
краю) многовидом вимірності −1n класу ∞C , причому ∞C -структура на Γ породжена про-
стором nR .
В області Ω розглядаємо однорідне лінійне диференціальне рівняння
μ
μ
μ
≡ = ∈Ω∑
�| | 2
( ) ( ) ( ) 0, ,
q
Au x a x D u x x (1)
довільного парного порядку �2 2q . Тут і надалі використано такі стандартні позначення:
μ = μ μ…1: ( , , )n — мультиіндекс з цілими невід’ємними компонентами, μ = μ + + μ…1| |: n ,
μ μμ = …11: n
nD D D , = ∂ ∂: /k kD i x , де ∈ …{1, , }k n , i — уявна одиниця, а = …1( , , )nx x x — довіль-
на точка простору nR .
Припускаємо, що рівняння (1) є еліптичним на Ω = Ω∪Γ: , а усі його коефіцієнти μa є
комплекснозначними функціями класу ∞ Ω( )C . Взагалі, у роботі розглядаються комплек-
снозначні функції і розподіли та комплексні функціональні простори. У випадку, коли = 2n
і всі старші коефіцієнти μa є дійсними функціями, додатково припускаємо, що диференці-
альний оператор A є правильно (або, інакше кажучи, властиво) еліптичним на Γ [2, розд.
2, п. 1.2]. (У противному разі це припущення є наслідком еліптичності рівняння (1).)
У роботі досліджуються властивості розв’язків рівняння (1), які задовольняють крайові
умови
μ
μ
μ
≡ = ∈Γ =∑ …
�
,
| |
( ) ( ) ( ) ( ), , 1, , .
j
j j j
m
B u x b x D u x g x x j q (2)
Тут кожне jB — крайовий лінійний диференціальний оператор порядку −� 2 1jm q , зада-
ний на Γ , з коефіцієнтами ∞
μ ∈ Γ, ( )jb C . Припускаємо, що набір = …1: ( , , )qB B B крайових
операторів задовольняє умову накриття (інакше кажучи, умову Я.Б. Лопатинського) щодо
A на Γ [2, розд. 2, п. 1.4]. Отже, крайова задача (1), (2) є еліптичною на Ω .
Пов’яжемо з цією задачею відображення �u Bu , задане на лінійному просторі усіх
функцій ∞∈ Ω( )u C таких, що = 0Au в Ω . Цей простір позначаємо через ∞ Ω( , )C A . У ро-
боті досліджуються властивості вказаного відображення в підходящих парах гільбертових
функціональних просторів.
Для опису області значень оператора, породженого цим відображенням, знадобиться
така спеціальна формула Гріна для крайової задачі (1), (2):
+ − +
Ω Γ Ω ν
= = = Γ
⎛ ⎞
+ = + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∑ ∑
2
1
,
1 1 1
( , ) ( , ) ( , ) ,
q q q
r
j j r j r j
j r j
Au v B u h u A v D u K v Q h (3)
5ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 3
Однорідні еліптичні рівняння в розширеній соболєвській шкалі
для довільних функцій ∞∈ Ω, ( )u v C і ∞∈ Γ…1, , ( )qh h C . Тут вирази Ω⋅ ⋅( , ) і Γ⋅ ⋅( , ) познача-
ють скалярні добутки в гільбертових просторах Ω2( )L і Γ2( )L функцій, квадрати яких ін-
тегровні на Ω і Γ відповідно, а також продовження за неперервністю цих скалярних до-
бутків. Окрім того, ν ν= ∂ ∂: /D i , де i — уявна одиниця, а ν∂ ∂/ — похідна за напрямом вну-
трішньої нормалі до межі Γ області Ω. Як звичайно, +A — лінійний диференціальний
оператор, формально спряжений до A відносно форми Ω⋅ ⋅( , ) . Далі, кожне rK — деякий
крайовий лінійний диференціальний оператор на Γ з коефіцієнтами класу ∞ Γ( )C , причо-
му −�ord 2rK q r . Нарешті, кожне +
,j rQ — дотичний лінійний диференціальний оператор на
Γ , формально спряжений до дотичного лінійного диференціального оператора ,j rQ віднос-
но Γ⋅ ⋅( , ) , а останній оператор узято із зображення крайового диференціального оператора
jB у вигляді
2
1
,
1
q
r
j j r
r
B Q D −
ν
=
= ∑ ,
де покладаємо =, : 0j rQ , якщо > +1jr m . Формула (3) запропонована Б. Лавруком (див., на-
приклад, [12, теорема 3.1.1]).
З огляду на цю формулу розглянемо в області Ω таку крайову задачу:
+ = ∈Ω( ) 0, ,A v x x (4)
+
=
+ = θ ∈Γ =∑ …,
1
( ) ( ) ( ), , 1, , 2 .
q
r j r j r
j
K v x Q h x x x r q (5)
Вона містить, крім невідомої функції v , ще q невідомих функцій …1, , qh h у крайових умо-
вах (5). Ця задача є формально спряженою до задачі (1), (2) відносно формули Гріна (3).
Оскільки остання крайова задача еліптична в Ω , то і формально спряжена крайова задача
(4), (5) еліптична в Ω у деякому сенсі [12, теорема 3.1.2].
Позначимо через N лінійний простір усіх розв’язків ∞∈ Ω( )u C крайової задачі (1), (2) у
випадку, коли всі = 0jg на Γ . Окрім того, позначимо через N* лінійний простір усіх роз в’яз-
ків ∞ ∞∈ Ω × Γ…1( , , , ) ( ) ( ( ))q
qv h h C C крайової задачі (4), (5) у випадку, коли всі θ = 0r на Γ.
Оскільки ці задачі еліптичні, простори N і N* скінченновимірні [12, лема 3.4.2]. Позначи-
мо через ∗M лінійний простір усіх векторів ∞… ∈ Γ1( , , ) ( ( ))q
qh h C таких, що ∗∈…1( , , , )qv h h N
для деякої функції ∞∈ Ω( )v C . Звісно, ∗ ∗ < ∞�dim dimM N ; тут може бути строга нерівність
∗ <dim dimM N*, як випливає з [13, теорема 13.6.15].
2. Розширена соболєвська шкала складається з гільбертових просторів Хермандера,
для яких показником регулярності розподілів служить довільний функціональний пара-
метр з класу RO . За означенням, цей клас складається з усіх вимірних за Борелем функ-
цій ϕ ∞ → ∞: [1, ) (0, ) , для яких існують числа >1a і �1c такі, що − ϕ λ ϕ� �1 ( )/ ( )c t t c для
довільних �1t і λ ∈[1, ]a (числа a і c можуть залежати від ϕ ). Такі функції називають
RO-(або OR-)змінними на нескінченності. Клас RO введений В.Г. Авакумовичем у 1936 р. і
досить повно вивчений (див., наприклад, [6, додаток 1]).
Нам знадобиться така властивість класу RO [6, с. 88]: для кожної функції ϕ∈RO іс-
нують числа ∈0 1,s s R, �0 1s s , і >0 1, 0c c такі, що
λ ϕ λ ϕ λ� �0 1
0 1( ) ( )s sc t t c для довільних λ� �1, 1t . (6)
6 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 3
А.В. Аноп, О.О. Мурач
Покладемо
0 0( ) : sup{ : виконується ліва нерівність у (6)},sσ ϕ = ∈R � (7)
1 1( ) : inf{ : виконується права нерівність у (6)}.sσ ϕ = ∈R (8)
Тут −∞ < σ ϕ σ ϕ < ∞�0 1( ) ( ) . Числа σ ϕ0( ) і σ ϕ1( ) є відповідно нижнім і верхнім індексами
Матушевської функції ϕ∈RO .
Клас RO є досить широким. Так, до нього належить кожна неперервна функція
ϕ ∞ → ∞: [1, ) (0, ) така, що ϕ = … …1 2( ) (ln ) (lnln ) (ln ln ) krr rst t t t t при >>1;t тут довільно ви-
брано числа ∈k N і 1 2, , , , ks r r r ∈R… . Для неї σ ϕ = σ ϕ =0 1( ) ( ) s .
Нехай ϕ∈RO . Дамо означення гільбертового простору Хермандера ϕH спочатку на
nR , а потім на Ω і Γ .
За означенням, лінійний простір ϕ( )nH R , де ∈n N , складається з усіх розподілів
∈ ′( )nw S R таких, що їх перетворення Фур’є ŵ локально інтегровне за Лебегом на nR і за-
довольняє умову
ϕ = ϕ 〈ξ〉 ξ ξ < ∞∫2 2 2
( )
ˆ: ( ) | ( ) | .n
n
Hw w dR
R
Тут ′( )nS R — лінійний топологічний простір Шварца повільно зростаючих розподілів, за-
даних в nR , а 〈ξ〉 = + ξ 2 1/2: (1 | | ) . У роботі розподіли трактуємо як антилінійні неперервні
функціонали на просторі ′( )nS R основних функцій. Простір ϕ( )nH R гільбертів і сепара-
бельний відносно норми ϕ⋅ ( )nH R . У ньому щільна множина ∞
0 ( )nC R фінітних основних
функцій.
Простір ϕ( )nH R — гільбертів випадок простору ,p kB , введеного Л. Хермандером (див.
[5, п. 2.2] або [13, п. 10.1]). А саме: ϕ = ,( )n
p kH BR , якщо = 2p і ξ = ϕ 〈ξ〉( ) ( )k при ξ ∈ nR . За-
уважимо, що у гільбертовому випадку = 2p простори Хермандера збігаються з просторами,
введеними і дослідженими Л.Р. Волевичем і Б.П. Панеяхом [14, §2].
Якщо функція ϕ степенева, тобто ϕ ≡( ) st t для деякого ∈s R , то ϕ( )nH R є гільберто-
вим простором Соболєва ( )( )s nH R порядку s . Узагалі,
ϕ< σ ϕ σ ϕ < ⇒ ⊂ ⊂� 1 0( ) ( )
0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ),s sn n ns s H H HR R R (9)
причому обидва вкладення неперервні та щільні.
Клас просторів ϕ ϕ∈{ ( ) : RO}nH R виділений і досліджений в [4, 3, 15] та названий роз-
ширеною соболєвською шкалою на nR . Її версії для евклідової області Ω і замкненого мно-
говиду Γ вводяться стандартним чином на основі простору ϕ( )nH R . Дамо відповідні озна-
чення; тепер ціле � 2n .
За означенням, лінійний простір ϕ Ω( )H складається зі звужень в область Ω усіх розпо-
ділів ϕ∈ ( )nw H R і наділений нормою
ϕ ϕ
ϕ
Ω = ∈ = Ω( ) ( ): inf : ( ), в ,{ }n
nH H Ru w w H w uR
де ϕ∈ Ω( )u H . Простір ϕ Ω( )H гільбертів і сепарабельний відносно цієї норми, причому
множина ∞ Ω( )C щільна в ньому.
7ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 3
Однорідні еліптичні рівняння в розширеній соболєвській шкалі
Лінійний простір ϕ Γ( )H складається з усіх розподілів ∈ Γ′( )h D , які в локальних коор-
динатах на многовиді Γ дають елементи простору ϕ −1( )nH R . Тут, як звичайно, Γ′( )D — лі-
нійний топологічний простір усіх розподілів на Γ . Дамо детальне означення. Виберемо до-
вільним чином скінченний атлас із ∞C -структури на многовиді Γ , утворений локальними
картами −π ↔1: n
j jUR , де = …1, ,j p . Тут …1{ , , }pU U — відкрите покриття многовиду Γ .
Окрім того, виберемо функції ∞χ ∈ Γ( )j C , де = …1, ,j p , які утворюють розбиття одиниці на
Γ , підпорядковане умові χ ⊂supp j jU .
За означенням, лінійний простір ϕ Γ( )H складається з усіх розподілів ∈ Γ′( )h D таких,
що ϕ −χ α ∈� 1( ) ( )n
j jh H R для кожного ∈ …{1, , }j p . Тут розподіл χ α�( )j jh є зображенням
розподілу χ j h у локальній карті α j . Простір ϕ Γ( )H наділений нормою
ϕ ϕ − ϕ −Γ
⎛ ⎞= χ α + + χ α⎝ ⎠� … �1 1
1/222
1 1( ) ( ) ( )
: ( ) ( ) ,n np pH H H
h h h
R R
відносно якої є гільбертовим і сепарабельним. Важливо, що цей простір і топологія в ньому
не залежать від зазначеного вибору атласу і розбиття одиниці [3, теорема 2.31]. Множина
∞ Γ( )C щільна в ϕ Γ( )H .
Означені щойно функціональні простори утворюють розширені соболєвські шкали
ϕ Ω ϕ∈{ ( ) : RO}H і ϕ Γ ϕ∈{ ( ) : RO}H на Ω і Γ відповідно. Ці шкали містять у собі гільбертові
простори Соболєва довільного дійсного порядку. А саме: якщо ϕ ≡( ) st t для деякого ∈s R,
то ϕ Ω = Ω( )( ) : ( )sH H і ϕ Γ = Γ( )( ) : ( )sH H є просторами Соболєва порядку s . Властивість (9)
залишається правильною, якщо в ній замінити nR на Ω або Γ ; при цьому вкладення ста-
ють компактними.
3. Результати. Позначимо через ϕ Ω( , )H A , де ϕ∈RO , лінійний простір усіх розпо-
ділів ϕ∈ Ω( )u H таких, що = 0Au в Ω . Тут і далі образ Au розуміємо в сенсі теорії роз-
поділів. Простір ϕ Ω( , )H A наділений нормою з простору ϕ Ω( )H і є повним відносно неї.
Оскільки оператор A еліптичний на Ω , то ϕ ∞Ω ⊂ Ω( , ) ( )H A C [2, розд. 2, теорема 3.2]. Втім,
ϕ ∞Ω ⊂ Ω/( , ) ( )H A C . У соболєвському випадку, коли ϕ ≡( ) st t для деякого ∈s R , простір
ϕ Ω( , )H A позначаємо через Ω( )( , )sH A .
Теорема 1. Для кожного параметра ϕ∈RO лінійний многовид ∞ Ω( , )C A щільний у про-
сторі ϕ Ω( , )H A , а відображення �u Bu , де ∞∈ Ω( , )u C A , продовжується єдиним чином (за
неперервністю) до деякого обмеженого оператора
1/2
1
: ( , ) ( ) : ( )
m jq
A
j
B H A H
− −ϕ ϕρ
ϕ
=
Ω → Γ = Γ⊕ H . (10)
Цей оператор нетерів. Його ядро дорівнює N, а область значень складається з усіх векторів
ϕ∈ Γ…1( , , ) ( )qg g H таких, що
Γ Γ+ + =…1 1( , ) ( , ) 0q qg h g h для довільного ∗… ∈1( , , )qh h M . (11)
Індекс оператора (10) дорівнює ∗−dim dimN M і не залежить від ϕ .
У формулі (10) і далі використовується функціональний параметр ρ =( ) :t t аргументу
�1t . Це зроблено для того, щоб не писати аргумент t у позначеннях просторів Хермандера.
Отже, ϕρ ≡ ϕ( ) ( ) ( )s st t t , де ∈s R . Звісно, включення ϕ∈RO і ϕρ ∈ROs еквівалентні, при-
чому σ ϕρ = σ ϕ +( ) ( )s
j j s для кожного ∈{0,1}j .
8 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 3
А.В. Аноп, О.О. Мурач
З огляду на теорему 1 нагадаємо, що лінійний обмежений оператор →1 2:T E E , де 1E
і 2E — банахові простори, називають нетеровим, якщо його ядро kerT і коядро 2 1/ ( )E T E
скінченновимірні. Якщо оператор T нетерів, то його область значень 1( )T E замкнена в 2E ,
а індекс 2 1ind : dim ker dim( / ( ))T T E T E= − скінченний.
Візначимо також, що у формулі (11) величина Γ( , )j jg h , де ∈ …{1, , }j q , є значенням роз-
поділу ∈ Γ′( )jg D на основній функції ∞∈ Γ( )jh C .
У випадку, коли функція ϕ правильно змінна на нескінченності і еліптична крайова
задача (1), (2) регулярна, теорема 1 доведена В.А. Михайлецем і О.О. Мурачем у [9, тео-
рема 1.1] (див. також монографію [3, п. 3.3]). При цьому для опису області значень опе-
ратора AB була використана класична формула Гріна. Зокрема, у соболєвському випадку,
коли ϕ ≡( ) st t і дійсне {1/ 2 : }s k k∉ − ∈N , ця теорема міститься в результаті Ж.-Л. Ліонса і
Е. Мадженеса [2, розд. 2, п. 7.3]. Для нерегулярних еліптичних крайових задач і правильно
змінних функцій ϕ вона встановлена І.С. Чепурухіною [10, теорема 1].
Якщо = {0}N і ∗ = {0}M , то оператор (10) є ізоморфізмом простору ϕ Ω( , )H A на простір
ϕ Γ( )H . У загальній ситуації цей оператор породжує ізоморфізм між їх підпросторами скін-
ченної ковимірності. У зв’язку з цим розглянемо розклади просторів, у яких діє оператор
(10), у вигляді таких прямих сум (замкнених) підпросторів:
ϕ ϕ
ΩΩ = + ∈ Ω =( , ) { ( , ) : ( , ) 0H A N u H A u w для усіх ∈ }w N , (12)
ϕ ∗ ϕΓ = + ∈ Γ…1( ) {( , , ) ( ) : виконується (11)}.qM g gH H (13)
У формулі (12) півторалінійна форма Ω( , )u w коректно означена для довільних функцій
ϕ∈ Ω( , )u H A і ∞∈ Ω( )w C за формулою
Ω Ω
→∞
=( , ) : ( , )lim k
k
u w u w ,
де ∞
=1( )k ku — довільна послідовність, яка лежить у ∞ Ω( , )C A і прямує до u у просторі
ϕ Ω( , )H A . Позначимо через P і Q проектори відповідно просторів ϕ Ω( , )H A і ϕ Γ( )H на
другий доданок у сумах (12) і (13) паралельно першому доданку. Ці проектори (як відобра-
ження) не залежать від ϕ .
Теорема 2. Для кожного ϕ∈RO звуження оператора (10) на ϕ Ω( ( , ))P H A є ізоморфіз-
мом підпростору ϕ Ω( ( , ))P H A на підпростір ϕ Γ( ( ))Q H .
Дослідимо локальну регулярність (аж до межі області) узагальненого розв’язку u кра-
йової задачі (1), (2). Спочатку дамо його означення. Позначимо через Ω′( )S множину зву-
жень в область Ω усіх розподілів з простору ′( )nS R . Нехай = ∈ Γ′…1: ( , , ) ( ( ))q
qg g g D ; роз-
поділ ∈ Ω′( )u S називаємо узагальненим розв’язком крайової задачі (1), (2), якщо = 0Au в
Ω (тоді ϕ∈ Ω( , )u H A для деякого ϕ∈RO ) і =AB u g , де AB позначає оператор (10).
Нехай Γ0 — довільна відкрита непорожня підмножина многовиду Γ . Позначимо через
ϕ Ω Γ0loc( , )H , де ϕ∈RO , лінійний простір усіх розподілів ∈ Ω′( )u S таких, що ϕχ ∈ Ω( )u H
для довільної функції ∞χ∈ Ω( )C , носій якої лежить в Ω∪Γ0 . Крім того, позначимо через
α Γloc 0( )H , де α ∈RO , лінійний простір усіх розподілів ∈ Γ′( )h D таких, що αχ ∈ Γ( )h H для
довільної функції ∞χ∈ Γ( )C , носій якої лежить в Γ0 .
Теорема 3. Припустимо, що розподіл ∈ Ω′( )u S є узагальненим розв’язком крайової за-
дачі (1), (2), де
9ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 3
Однорідні еліптичні рівняння в розширеній соболєвській шкалі
− −ϕρ∈ Γ
1/2
0loc ( )
m j
jg H
для усіх {1, , }j q∈ … і деякого ϕ∈RO . Тоді 0loc( , )u Hϕ∈ Ω Γ .
Зокрема, якщо Γ = Γ0 , то простори ϕ Ω Γ0loc( , )H і α Γloc 0( )H дорівнюють ϕ Ω( )H і α Γ( )H
відповідно; отже, у цьому випадку висновок теореми 3 стосується глобальної регулярності
розв’язку u , тобто регулярності в усій області Ω аж до її межі Γ .
Наскільки нам відомо, теорема 3 (якщо Γ ≠ Γ0 ) є новим результатом навіть у соболєв-
ському випадку, коли ϕ ≡( ) st t і s — довільне дійсне число.
На завершення роботи в термінах просторів ϕ Ω( , )H A , де ϕ∈RO , дамо опис усіх інтер-
поляційних гільбертових просторів для довільної пари соболєвських гільбертових просто-
рів Ω0( )( , )sH A і Ω1( )
( , )
s
H A , де <0 1s s . У цьому зв’язку нагадаємо відповідне означення.
Нехай задано пару гільбертових просторів 0X і 1X таку, що 1X — лінійний многовид у
0X і вкладення ⊂1 0X X неперервне. Гільбертів простір H називають інтерполяційним для
цієї пари, якщо він задовольняє такі дві умови:
1) H – лінійний многовид у 0X і виконуються неперервні вкладення ⊂ ⊂1 0X H X ;
2) для довільного лінійного відображення T , заданого на 0X , правильна така імплікація:
якщо T є обмеженим оператором на 0X і звуження відображення T на 1X є обмеженим
оператором на 1X , то і звуження відображення T на H є обмеженим оператором на H .
Теорема 4. Нехай числа ∈0 1,s s R такі, що <0 1s s . Гільбертів простір H є інтерполя-
ційним для пари гільбертових просторів Ω0( )( , )sH A і Ω1( )( , )sH A тоді і лише тоді, коли
ϕ= Ω( , )H H A з точністю до еквівалентності норм для деякого параметра ϕ∈RO , який за-
довольняє умову (6).
Нагадаємо, що в умові (6) числа 0c і 1c не залежать від t і λ . Цю умову можна подати
в термінах індексів Матушевської функціонального параметра ϕ . А саме: вона еквівалентна
такій парі умов:
i) σ ϕ�0 0( )s , та, окрім того, < σ ϕ0 0( )s , якщо в (7) не досягається супремум;
ii) σ ϕ �1 1( ) s та, окрім того, σ ϕ <1 1( ) s , якщо в (8) не досягається інфімум.
Як показано в [15, теорема 2.7], розширена соболєвська шкала ϕ Ω ϕ∈{ ( ) : RO}H скла-
дається з усіх гільбертових просторів, інтерполяційних для пар гільбертових просторів Со-
болєва Ω0( )( )sH і Ω1( )( )sH , де −∞ < < < ∞0 1s s . Згідно з теоремою 4 ця властивість зберіга-
ється для відповідних підпросторів, утворених розподілами, які задовольняють однорідне
еліптичне рівняння (1).
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Agranovich M.S. Elliptic boundary problems. Encycl. Math. Sci. Vol. 79. Partial differential equations, IX.
Berlin: Springer, 1997. P. 1—144.
2. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. Москва: Мир, 1971. 372 с.
3. Mikhailets V.A., Murach A.A. Hörmander spaces, interpolation, and elliptic problems. Berlin, Boston: De
Gruyter, 2014. xii+297 p.
4. Михайлец В.А., Мурач А.А. Расширенная соболевская шкала и эллиптические операторы. Укр. мат.
журн. 2013. 65, № 3. С. 368—380.
5. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. Москва: Мир, 1965.
380 с.
6. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. Москва: Наука, 1985. 144 с.
10 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 3
А.В. Аноп, О.О. Мурач
7. Михайлец В.А., Мурач А.А. Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. II. Укр.
мат. журн. 2006. 58, № 3. С. 352—370.
8. Anop A.V., Kasirenko T.M. Elliptic boundary-value problems in Hörmander spaces. Methods Funct. Anal.
Topology. 2016. 22, № 4. P. 295—310.
9. Михайлец В.А., Мурач А.А. Регулярная эллиптическая граничная задача для однородного уравнения в
двусторонней уточненной шкале пространств. Укр. мат. журн. 2006. 58, № 11. С. 1536—1555.
10. Чепурухіна І.С. Напіводнорідна еліптична задача з додатковими невідомими функціями в крайових
умовах. Допов. Нац. акад. наук. Укр. 2015. № 7. С. 20—28.
11. Mikhailets V.A., Murach A.A. The refined Sobolev scale, interpolation, and elliptic problems. Banach J. Math.
Anal. 2012. 6, № 2. P. 211—281.
12. Kozlov V.A., Maz’ya V.G., Rossmann J. Elliptic boundary value problems in domains with point singularities.
Providence: Amer. Math. Soc., 1997. x+414 p.
13. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. В 4-х т.
Т. 2. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. Москва: Мир, 1986. 456 с.
14. Волевич Л.Р., Панеях Б.П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения. Успехи
мат. наук. 1965. 20, № 1. С. 3—74.
15. Mikhailets V.A., Murach A.A. Interpolation Hilbert spaces between Sobolev spaces. Results Math. 2015. 67,
№ 1. P. 135—152.
Надійшло до редакції 07.11.2017
REFERENCES
1. Agranovich, M. S. (1997). Elliptic boundary problems. Encycl. Math. Sci. Vol. 79. Partial differential equa-
tions, IX. Berlin: Springer.
2. Lions, J.-L. & Magenes, E. (1972). Non-Homogeneous boundary-value problems and applications. Vol. 1.
New York, Heidelberg: Springer.
3. Mikhailets, V. A. & Murach, A. A. (2014). Hörmander spaces, interpolation, and elliptic problems. Berlin,
Boston: De Gruyter.
4. Mikhailets, V.A. & Murach, A.A. (2013). Extended Sobolev scale and elliptic operators. Ukr. Math. J., 65, No.
3, pp. 435-447.
5. Hörmander, L. (1963). Linear partial differential operators. Berlin: Springer.
6. Seneta, E. (1976). Regularly varying functions. Berlin: Springer.
7. Mikhailets, V. A. & Murach, A. A. (2006). Refined scales of spaces and elliptic boundary-value problems. II.
Ukr. Math. J., 58, No. 3, pp. 398-417.
8. Аnop, A. V. & Kasirenko, T. M. (2016). Elliptic boundary-value problems in Hörmander spaces. Methods
Funct. Anal. Topology, 22, No. 4, pp. 295-310.
9. Mikhailets, V. A. & Murach, A. A. (2006). Regular elliptic boundary-value problem for homogeneous equa-
tion in two-sided refined scale of spaces. Ukr. Math. J., 58, No. 11, pp. 1748-1767.
10. Chepurukhina, I. S. (2015). A semihomogeneous elliptic problem with additional unknown functions in
boundary conditions. Dopov. Nac. akad. nauk. Ukr., No. 7, pp. 20-28 (in Ukrainian).
11. Mikhailets, V. A. & Murach, A. A. (2012). The refined Sobolev scale, interpolation, and elliptic problems.
Banach J. Math. Anal., 6, No. 2., pp. 211-281.
12. Kozlov, V. A., Maz’ya, V. G. & Rossmann, J. (1997). Elliptic boundary value problems in domains with point
singularities. Providence: Amer. Math. Soc.
13. Hörmander, L. (1983). The analysis of linear partial differential operators, vol. II, Differential operators with
constant coefficients. Berlin: Springer.
14. Volevich, L. R. & Paneah B. P. (1965). Certain spaces of generalized functions and embedding theorems. Russ.
Math. Surv., 20, No. 1, pp. 1-73.
15. Mikhailets, V. A. & Murach, A. A. (2015). Interpolation Hilbert spaces between Sobolev spaces. Results Math.
67, No. 1, pp. 135-152.
Received 07.11.2017
11ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 3
Однорідні еліптичні рівняння в розширеній соболєвській шкалі
А.В. Аноп, А.А. Мурач
Институт математики НАН Украины, Киев
E-mail: ahlv@ukr.net, murach@imath.kiev.ua
ОДНОРОДНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
В РАСШИРЕННОЙ СОБОЛЕВСКОЙ ШКАЛЕ
В расширенной соболевской шкале исследованы однородные эллиптические дифференциальные уравне-
ния, решения которых удовлетворяют общим краевым условиям. Эта шкала состоит из изотропных гиль-
бертовых пространств Хермандера, для которых показателем регулярности служит произвольная функ-
ция, RO-меняющаяся на бесконечности по Авакумовичу. Установлены теоремы о характере разрешимости
этих уравнений и локальной регулярности (вплоть до границы области) их решений в указанной шкале.
Дано явное описание всех гильбертовых пространств, интерполяционных для пар подпространств гиль-
бертовых пространств Соболева, образованных решениями однородного эллиптического уравнения.
Ключевые слова: эллиптическое уравнение, пространство Соболева, пространство Хермандера, нетеров
оператор, регулярность решения, интерполяционное пространство.
A.V. Anop, A.A. Murach
Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kiev
E-mail: ahlv@ukr.net, murach@imath.kiev.ua
HOMOGENEOUS ELLIPTIC EQUATIONS IN AN EXTENDED SOBOLEV SCALE
In an extended Sobolev scale, we investigate homogeneous elliptic differential equations, whose solutions satisfy
general enough boundary conditions. This scale consists of isotropic Hilbertian Hörmander spaces for which the
regularity index is an arbitrary function RO-varying at infinity in the sense of Avakumović. We establish theo-
rems on the character of solvability of these equations and the local regularity (up to the boundary of the domain)
of their solutions in the scale indicated. We give an explicit description of all Hilbert spaces that are interpolation
ones for pairs of subspaces of Hilbert Sobolev spaces formed by solutions of a homogeneous elliptic equation.
Keywords: elliptic equation, Sobolev space, Hörmander space, Fredholm operator, regularity of a solution, interpola-
tion space.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-141122 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-28T05:18:50Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Аноп, А.В. Мурач, О.О. 2018-07-30T15:25:38Z 2018-07-30T15:25:38Z 2018 Однорідні еліптичні рівняння в розширеній соболєвській шкалі / А.В. Аноп, О.О. Мурач // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 3. — С. 3-11. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2018.03.003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141122 517.956.22 У розширеній соболєвській шкалі досліджено однорідні еліптичні диференціальні рівняння, розв'язки яких задовольняють досить загальні крайові умови. Ця шкала складається з ізотропних гільбертових просторів Хермандера, для яких показником регулярності служить довільна функція, RO-змінна на нескінченності за Авакумовичем. Встановлено теореми про характер розв’язності цих рівнянь і локальну регулярність (аж до межі області) їх розв’язків у вказаній шкалі. Дано явний опис усіх гільбертових просторів, інтерполяційних для пар підпросторів гільбертових просторів Соболєва, утворених розв'язками однорідного еліптичного рівняння. В расширенной соболевской шкале исследованы однородные эллиптические дифференциальные уравнения, решения которых удовлетворяют общим краевым условиям. Эта шкала состоит из изотропных гильбертовых пространств Хермандера, для которых показателем регулярности служит произвольная функция, RO-меняющаяся на бесконечности по Авакумовичу. Установлены теоремы о характере разрешимости этих уравнений и локальной регулярности (вплоть до границы области) их решений в указанной шкале. Дано явное описание всех гильбертовых пространств, интерполяционных для пар подпространств гильбертовых пространств Соболева, образованных решениями однородного эллиптического уравнения. In an extended Sobolev scale, we investigate homogeneous elliptic differential equations, whose solutions satisfy general enough boundary conditions. This scale consists of isotropic Hilbertian Hörmander spaces for which the regularity index is an arbitrary function RO-varying at infinity in the sense of Avakumović. We establish theorems on the character of solvability of these equations and the local regularity (up to the boundary of the domain) of their solutions in the scale indicated. We give an explicit description of all Hilbert spaces that are interpolation ones for pairs of subspaces of Hilbert Sobolev spaces formed by solutions of a homogeneous elliptic equation. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Однорідні еліптичні рівняння в розширеній соболєвській шкалі Однородные эллиптические уравнения в расширенной соболевской шкале Homogeneous elliptic equations in an extended Sobolev scale Article published earlier |
| spellingShingle | Однорідні еліптичні рівняння в розширеній соболєвській шкалі Аноп, А.В. Мурач, О.О. Математика |
| title | Однорідні еліптичні рівняння в розширеній соболєвській шкалі |
| title_alt | Однородные эллиптические уравнения в расширенной соболевской шкале Homogeneous elliptic equations in an extended Sobolev scale |
| title_full | Однорідні еліптичні рівняння в розширеній соболєвській шкалі |
| title_fullStr | Однорідні еліптичні рівняння в розширеній соболєвській шкалі |
| title_full_unstemmed | Однорідні еліптичні рівняння в розширеній соболєвській шкалі |
| title_short | Однорідні еліптичні рівняння в розширеній соболєвській шкалі |
| title_sort | однорідні еліптичні рівняння в розширеній соболєвській шкалі |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141122 |
| work_keys_str_mv | AT anopav odnorídníelíptičnírívnânnâvrozšireníisobolêvsʹkíiškalí AT muračoo odnorídníelíptičnírívnânnâvrozšireníisobolêvsʹkíiškalí AT anopav odnorodnyeélliptičeskieuravneniâvrasširennoisobolevskoiškale AT muračoo odnorodnyeélliptičeskieuravneniâvrasširennoisobolevskoiškale AT anopav homogeneousellipticequationsinanextendedsobolevscale AT muračoo homogeneousellipticequationsinanextendedsobolevscale |