О построении управления поступательным движением вращением эксцентрикового маховика
Рассмотрен пример малоприводной механической системы TORA. Получен в явном виде закон управления вращением эксцентрикового маховика, который обеспечивает стабилизацию положения равновесия TORA. Розглянуто приклад малоприводної механічної системи TORA. Отримано у явному вигляді закон керування оберт...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2018 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2018
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141127 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О построении управления поступательным движением вращением эксцентрикового маховика / А.С. Хорошун // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 3. — С. 53-58. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859635144578564096 |
|---|---|
| author | Хорошун, А.С. |
| author_facet | Хорошун, А.С. |
| citation_txt | О построении управления поступательным движением вращением эксцентрикового маховика / А.С. Хорошун // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 3. — С. 53-58. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Рассмотрен пример малоприводной механической системы TORA. Получен в явном виде закон управления
вращением эксцентрикового маховика, который обеспечивает стабилизацию положения равновесия TORA.
Розглянуто приклад малоприводної механічної системи TORA. Отримано у явному вигляді закон керування обертанням ексцентрикового маховика, який забезпечує стабілізацію положення рівноваги TORA.
The underactuated mechanical system TORA is investigated. The explicit form of a control law for the eccentric
flywheel rotation, which ensures the stabilization of the equilibrium position of TORA, is obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:15:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
53ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 3
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2018.03.053
УДК 517.36
А.С. Хорошун
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев
E-mail: khoroshunanatoliy@gmail.com
О построении управления поступательным движением
вращением эксцентрикового маховика
Представлено академиком НАН Украины А.А. Мартынюком
Рассмотрен пример малоприводной механической системы TORA. Получен в явном виде закон управления
вращением эксцентрикового маховика, который обеспечивает стабилизацию положения равновесия TORA.
Ключевые слова: малоприводная механическая система, глобальная асимптотическая устойчивость, экс-
центриковый маховик, положение равновесия.
Малоприводные механические системы (ММС) характеризуются тем, что количество
управляющих входов в такой системе меньше, чем количество переменных, описывающих
поведение. Системы такого класса широко используются при конструировании различных
роботов, аэрокосмических и морских аппаратов (см. [1]), поскольку имеют преимущество в
меньшем потреблении энергии и меньшей стоимости.
В работе [2] рассмотрен пример ММС и получен закон управления, обеспечивающий
глобальную асимптотическую устойчивость состояния равновесия этой системы, а также
получена оценка области в пространстве параметров модели, при всех значениях параме-
тров из которой построенное управление также реализует поставленную задачу.
В данной статье рассмотрена ММС, имеющая сходную математическую природу с мо-
делью спутника с двойным вращением (см. [3]), которая получила название TORA (англ.
Translational Oscillator with Rotational Actuator). Отметим, что помимо приложения к кос-
мическим аппаратам, TORA представляет и самостоя-
тельный интерес. В частности, в работе [4] предложено
использовать TORA в виде модели активного гашения
вибраций вращением эксцентрикового маховика (cм.
также [5] и библиографию там). Закон управления, ко-
торый обеспечит стабилизацию положения равновесия
TORA, будет представлен в явном виде, то есть завися-
щим от физических характеристик модели (скорости,
смещений, времени), что важно для его практической
реализации.
© А.С. Хорошун, 2018
Рис. 1
54 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 3
А.С. Хорошун
Основной результат. Описание устройства ММС TORA дано в работе [3]. На рис. 1
изображена схема TORA, где 1q — горизонтальное смещение центра маховика C от его
положения равновесия O , 2q — угол отклонения точечной массы от вертикали. Уравнения
движения рассматриваемой модели имеют следующий вид:
2
1 2 2 2 2 1
2
2 2 1 2
( ( ) ( )) ( ) ( ) ( cos( ) sin( )) ( ) 0,
( ( ) ( ) ( )) ( ) ( )cos( ) ( ) ( )sin( ) ,
M p m p q m p r p q q q q K p q
I p m p r p q m p r p q q m p gr p q
⎧ + + − + =⎪
⎨
+ + + = Δ⎪⎩
�� �� �
�� ��
(1)
где ( )M p — масса тележки, мотора и маховика; ( )m p — точечная масса; ( )r p — рассто-
яние между центром маховика и точечной массой; ( )J p — момент инерции маховика;
( )K p — жесткость пружины; Δ — момент электромагнитных сил, приложенных к ротору
электродвигателя со стороны статора; g — ускорение свободного падения; np P R∈ ⊆ —
векторный параметр, который описывает возможные неточности модели, n N∈ . Задача со-
стоит в том, чтобы выбрать закон управления Δ , который стабилизирует положение равно-
весия 1 0q = , 2 0q = TORA вне зависимости от начальных значений переменных.
Введя безразмерные переменные
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, ,
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ))
M p m p M p m p K p
q q t
M p m pI p m p r p K p I p m p r p
+ += ν = Δ τ =
++ +
�
и обозначив
2
( ) ( )
( ) ,
( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ))
m p r p
p
I p m p r p M p m p
ε =
+ +
получим безразмерную систему дифференциальных уравнений, эквивалентную системе
дифференциальных уравнений (1):
2
1 1 2 2 2 2
2 2 1 22
( ) ( sin( ) cos( )) 0,
( ) ( ) ( ( ) ( ))
( )cos( ) sin( ) ,
( ) ( ( ) ( ) ( ))
q q p q q q q
m p gr p M p m p
q p q q q
K p I p m p r p
⎧ + −ε − =
⎪
+⎨ + ε + = ν⎪ +⎩
��� � � ��
���� �
(2)
где дифференцирование ведется по обобщенному времени τ . Пусть uν = α +β , где
2 2
21 ( ) ( ),cosp qα = −ε
2 2
2 2 2 2 1 22
( ) ( ) ( ( ) ( ))
( ) sin( )cos( ) ( )cos( ) sin( ),
( ) ( ( ) ( ) ( ))
m p gr p M p m p
p q q q p q q q
K p I p m p r p
+β = ε −ε +
+
� �
тогда заменой переменных
1 1 2
2 1 2 2
3 2
4 2
( )sin( ),
( ) cos( ),
,
q p q
q p q q
q
q
η = + ε⎧
⎪η = + ε⎪
⎨η =⎪
⎪η =⎩
�
�� �
�
(3)
система дифференциальных уравнений (2) приводится к “каскадному” виду
1 2
2 1 3
3 4
4
,
( )sin( ),
,
,
p
u
η = η⎧
⎪η = −η + ε η⎪
⎨η = η⎪
⎪η =⎩
�
�
�
�
(4)
55ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 3
О построении управления поступательным движением вращением эксцентрикового маховика
из глобальной устойчивости состояния равновесия которой при управлении и, следует ана-
логичное свойство системы дифференциальных уравнений (2) при управлении ν.
Применяя так называемый Dynamic Surface Control, см. [6], получим, что управление
2
2 4
2
y
u c x= − −
τ
,
где переменные 1 2 3 4( , , , )Tη η η η и 1 2 3 4 1 2( , , , , , )Tx x x x y y связаны соотношениями
1 1
2 2
2
3 3 1 2 2
1 2
1
4 4 2 1 3
1
,
,
arctan ,
1
,
x
x
x
x y
x x
y
x y c x
η =⎧
⎪η =⎪
⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟η = + −⎨ ⎜ ⎟⎪ + +⎝ ⎠⎪
⎪η = + − −⎪ τ⎩
(5)
стабилизирует состояние равновесия системы дифференциальных уравнений (4) вне зави-
симости от начальных значений переменных, если нулевое состояние равновесия системы
дифференциальных уравнений
1 2
2
2 1 3 1
1 2
3 1 3 4 2
4 2 4
1
1 1 1 2 3 1
1
2
2 2 1 2 3 1 2
2
,
( )sin arctan ,
( , , )
,
,
( , , , , ),
( , , , , , ),
x x
x
x x p x y
G x x p
x c x x y
x c x
y
y F x x x y p
y
y F x x x y y p
=⎧
⎪
⎛ ⎞⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟= − + ε + − ⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎪ = − + +⎪
⎨ = −
⎪
⎪ = − +⎪ τ⎪
⎪
= − +⎪ τ⎩
�
�
�
�
�
�
(6)
где
2 2
1 2 1 2( , , ) 1 ,G x x p x x= + + 1 2
1 1 2 3 1 2
1 2 2
( , , )
( , , , , )
( , , )
G x x p
F x x x y p
G x x p x
= ×
+
( )
2
1 3 1
1 2
1 2
2 2
2 3 1
1 2
3
1 2
( )sin arctan
( , , )
( , , )
( ) sin arctan
( , , )
,
( , , )
x
x p x y
G x x p
G x x p
x
p x x y
G x x p
G x x p
⎡ ⎛ ⎞⎛ ⎞
⎢− + ε + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎝ ⎠
× −⎢
⎢⎣
⎤⎛ ⎞⎛ ⎞
⎥ε + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠
− ⎥
⎥
⎦
56 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 3
А.С. Хорошун
2 1
2 1 4 1 2 1 3 1 1 2 3 12
11
1
( , , ) ( , , , , ),
y
F x y p c x c y c x F x x x y p= + − − +
ττ
глобально асимптотически устойчиво. Такая устойчивость доказана. Указаны способы
выбора параметров управления 1c , 2c , 1τ , 2τ и определения оценок области P , при всех
значениях параметров из которой, данный тип устойчивости при выбранном управлении
сохраняется.
Пусть 1c и 1τ выбраны таким образом, что
1
1
1
c =
τ
.
Тогда из (3) и (5) следует
1
3 1 3 2 2
1 2
arctan
1
x y
⎛ ⎞η⎜ ⎟+ = η + =
⎜ ⎟+η +η⎝ ⎠
1 2 2
2 2 2
1 2 1 2 2
( ) cos( )
arctan ,
1 ( ( )sin( )) ( ( ) cos( ))
q p q q
q
q p q q p q q
⎛ ⎞+ ε⎜ ⎟= +
⎜ ⎟+ + ε + + ε⎝ ⎠
�� �
�� � �
4 2 4 1 3 1( )x y c x y+ = η + + =
1 2 2
2 1 2 2 2
1 2 1 2 2
( ) cos( )
arctan .
1 ( ( )sin( )) ( ( ) cos( ))
q p q q
q c q
q p q q p q q
⎛ ⎞⎛ ⎞+ ε⎜ ⎟⎜ ⎟= + +⎜ ⎟⎜ ⎟+ + ε + + ε⎝ ⎠⎝ ⎠
�� �
�
�� � �
Выразив величину 4( )x τ из (6) в виде 4 4 2( ) (0)exp( )x x cτ = − τ , получим закон управления и,
который явно зависит от физических характеристик исходной модели, в виде
2 2
2 4 2 4 4 2 2 4 2
2 2 2 2 2
1 1 1
( ) (0)exp( )
y q
u c x c x x y c x c
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − − = − + − + = − + − τ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟τ τ τ τ τ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
�
1 1 2 2
2 2 22 1 2 1 2 2
( ) cos( )
arctan
1 ( ( )sin( )) ( ( ) cos( ))
c q p q q
q
q p q q p q q
⎛ ⎞⎛ ⎞+ ε⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎜ ⎟⎜ ⎟τ + + ε + + ε⎝ ⎠⎝ ⎠
�� �
�� � �
или, переходя к размерным величинам, закон управления Δ в виде
2( ) ( ( ) ( ) ( ))
( ) ( )
K p I p m p r p
M p m p
+Δ = ×
+
22 1
2 2 4 2 2
2 2
1 ( )
(1 ( ) ( )) (0) expcos
( ) ( )
cK p
p q c x c t q
M p m p
⎡ ⎛ ⎛ ⎞⎛ ⎞
× −ε − + − − −⎢ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ τ + τ⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝⎣
( ) 22 1
1 2 1 2 2 2 2
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
arctan ( , , , , ) ( ) sin( )cos( )
( ) ( )
q cM p m p M p m p
p q q q q p q q q
K p K p
⎞+ +− − Λ + ε −⎟⎟τ τ ⎠
�
� � �
2
2 12 2
( ) ( ) ( ( ) ( ))sin( )( ) ( )
( ) cos( ) ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ))
m p gr p M p m p qM p m p
p q q
I p m p r p K p I p m p r p
⎤++−ε + ⎥
+ + ⎥⎦
(7)
57ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 3
О построении управления поступательным движением вращением эксцентрикового маховика
где
( ) ( )
2 1 2
1 2 1 2 2 2
1 2 2 1 2
( , , , )
( , , , , ) ,
1 ( , , ) ( , , , )
p q q q
p q q q q
p q q p q q q
φ
Λ =
+ φ + χ
� �
� �
� �
2 1 2 1 2 22
( ) ( ) ( ) ( )
( , , , ) ( ) cos( ) ,
( )( ) ( ( ) ( ) ( ))
M p m p M p m p
p q q q q p q q
K pK p I p m p r p
+ +φ = + ε
+
� � � �
1 2 1 22
( ) ( )
( , , ) ( )sin( ),
( ) ( ) ( )
M p m p
p q q q p q
I p m p r p
+ϕ = + ε
+
2 1 2 1 2 22
( ) ( ) ( ) ( )
( , , , ) ( ) cos( )
( )( ) ( ( ) ( ) ( ))
M p m p M p m p
p q q q q p q q
K pK p I p m p r p
+ +χ = + ε
+
� � � �
и дифференцирование ведется по времени t .
Отметим, что варьируя величину 4(0)x получаем разные законы управления, из кото-
рых можно выбрать наиболее приемлемый. Кроме того, вид управления (7) можно упро-
стить, если выбрать 2c и 2τ таким образом, что
2
2
1
c =
τ
.
Пример. В качестве примера рассмотрим модель TORA с такими параметрами: 10M = кг,
1m = кг, 5K = Н/м, 1r = м, 1J = кг ·м2. Параметры управления могут быть выбраны сле-
дующими:
1
1
1
25c = =
τ
, 5
2
2
1
10c = =
τ
.
Пусть начальное положение модели соответствует таким значениям переменных: 1 1q = ,
2 0q = , 1 0q =� , 2 0q =� . Убедимся, что управление Δ решает поставленную задачу стабили-
зации. Поведение модели иллюстрирует рис. 2.
Таким образом, в работе получен явный вид управления вращением эксцентрикового
маховика, которое обеспечивает стабилизацию положения равновесия TORA, вне зависи-
мости от начальных значений переменных, описывающих поведение модели. Явный вид
управления, то есть его зависимость от физических характеристик модели (скоростей, сме-
щений, времени) является значимым для его практической реализации. Приемлемость по-
лученного закона управления проиллюстрирована на примере реальной модели.
Рис. 2
58 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 3
А.С. Хорошун
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Liu Y., Yu H. A survey of underactuated mechanical systems. IET Control Theory Appl. 2013. 7, Iss. 7. P. 921—
935. doi: https://doi.org/10.1049/iet-cta.2012.0505
2. Хорошун А.С. О стабилизации верхнего положения равновесия маятника вращением инерциального
маховика. Прикл. механика. 2016. 52, № 5. С. 125—137.
3. Yee R. K. Spinup dynamics of a rotating system with limiting torque: Master’s Thesis, Univ. California, Los
Angeles, 1981.
4. Bupp R.T., Bernstein D.S., Coppola V.T. Vibration suppression of multi-modal translational motion using a
rotational actuator. Decision and Control: Proceedings of the 33rd IEEE Conference (Lake Buena Vista, 1994).
Lake Buena Vista, 1994, P. 4030—4034.
5. Zhang Y., Li L., Cheng B., Zhang X. An active mass damper using rotating actuator for structural vibration
control. Advances in Mech. Eng. 2016. 8, Iss. 7. P. 1–9. doi:https://doi.org/10.1177/1687814016657730
6. Song B., Hedrick J.K. Dynamic surface control of uncertain nonlinear systems. An LMI approach. London:
Springer, 2011. 268 p.
Поступило в редакцию 07.11.2017
REFERENСES
1. Liu, Y. & Yu, H. (2013). A survey of underactuated mechanical systems. IET Control Theory Appl., 7, Iss. 7.,
pp. 921-935. doi:https://doi.org/10.1049/iet-cta.2012.0505
2. Khoroshun, A. S. (2016). Stabilization of the Upper Equilibrium Position of a Pendulum by Spinning an Iner-
tial Flywheel. Int.Appl.Mech., 52, Iss. 5. pp. 547-556. doi:https://doi.org/10.1007/s10778-016-0775-1
3. Yee, R. K. (1981) Spinup dynamics of a rotating system with limiting torque (unpublished master’s thesis).
Univ. California, Los Angeles, USA.
4. Bupp, R. T., Bernstein, D. S. & Coppola, V. T. (1994) Vibration suppression of multi-modal translational mo-
tion using a rotational actuator. Proceedings of the 33rd IEEE Conference on Decision and Control, (pp. 4030-
4034), Lake Buena Vista.
5. Zhang, Y., Li, L., Cheng, B. & Zhang, X. An active mass damper using rotating actuator for structural vibration
control. Advances in Mech. Eng., 8, Iss. 7, pp. 1-9.
6. Song, B. & Hedrick, J. K. (2011). Dynamic surface control of uncertain nonlinear systems. An LMI approach.
London: Springer.
Received 07.11.2017
А.С. Хорошун
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ
E-mail: khoroshunanatoliy@gmail.com
ПРО ПОБУДОВУ КЕРУВАННЯ ПОСТУПАЛЬНИМ РУХОМ
ОБЕРТАННЯМ ЕКСЦЕНТРИКОВОГО МАХОВИКА
Розглянуто приклад малоприводної механічної системи TORA. Отримано у явному вигляді закон керу-
вання обертанням ексцентрикового маховика, який забезпечує стабілізацію положення рівноваги TORA.
Ключові слова: малоприводна механічна система, глобальна асимптотична стійкість, ексцентриковий
маховик, положенння рівноваги.
A.S. Khoroshun
S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kiev
E-mail: khoroshunanatoliy@gmail.com
ON THE CONSTRUCTION OF A CONTROL OVER THE TRANSLATIONAL MOTION
BY THE ROTATION OF AN ECCENTRIC FLYWHEEL
The underactuated mechanical system TORA is investigated. The explicit form of a control law for the eccentric
flywheel rotation, which ensures the stabilization of the equilibrium position of TORA, is obtained.
Keywords: underactuated mechanical system, global asymptotic stability, eccentric flywheel, equilibrium position.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-141127 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:15:07Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Хорошун, А.С. 2018-07-30T15:26:20Z 2018-07-30T15:26:20Z 2018 О построении управления поступательным движением вращением эксцентрикового маховика / А.С. Хорошун // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 3. — С. 53-58. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2018.03.053 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141127 517.36 Рассмотрен пример малоприводной механической системы TORA. Получен в явном виде закон управления вращением эксцентрикового маховика, который обеспечивает стабилизацию положения равновесия TORA. Розглянуто приклад малоприводної механічної системи TORA. Отримано у явному вигляді закон керування обертанням ексцентрикового маховика, який забезпечує стабілізацію положення рівноваги TORA. The underactuated mechanical system TORA is investigated. The explicit form of a control law for the eccentric flywheel rotation, which ensures the stabilization of the equilibrium position of TORA, is obtained. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка О построении управления поступательным движением вращением эксцентрикового маховика Про побудову керування поступальним рухом обертанням ексцентрикового маховика On the construction of a control over the translational motion by the rotation of an eccentric flywheel Article published earlier |
| spellingShingle | О построении управления поступательным движением вращением эксцентрикового маховика Хорошун, А.С. Механіка |
| title | О построении управления поступательным движением вращением эксцентрикового маховика |
| title_alt | Про побудову керування поступальним рухом обертанням ексцентрикового маховика On the construction of a control over the translational motion by the rotation of an eccentric flywheel |
| title_full | О построении управления поступательным движением вращением эксцентрикового маховика |
| title_fullStr | О построении управления поступательным движением вращением эксцентрикового маховика |
| title_full_unstemmed | О построении управления поступательным движением вращением эксцентрикового маховика |
| title_short | О построении управления поступательным движением вращением эксцентрикового маховика |
| title_sort | о построении управления поступательным движением вращением эксцентрикового маховика |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141127 |
| work_keys_str_mv | AT horošunas opostroeniiupravleniâpostupatelʹnymdviženiemvraŝeniemékscentrikovogomahovika AT horošunas propobudovukeruvannâpostupalʹnimruhomobertannâmekscentrikovogomahovika AT horošunas ontheconstructionofacontroloverthetranslationalmotionbytherotationofaneccentricflywheel |