Про особливості спектра власних частот пружних тіл

Про особливості спектра власних частот пружних тіл

Проведено аналіз особливостей резонансу на неоднорідних хвилях при симетричних коливаннях півшару з вільними бічними поверхнями і вільним торцем. На частоті крайового резонансу перша нормальна хвиля, що поширюється, утворена суперпозицією SV-хвилі, що поширюється, і неоднорідної P-хвилі. Якісно кр...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Доповіді НАН України
Date:2018
Main Authors: Грінченко, В.Т., Городецька, Н.С.
Format: Article
Language:Ukrainian
Published: Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2018
Subjects:
Механіка
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141158
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Про особливості спектра власних частот пружних тіл / В.Т. Грінченко, Н.С. Городецька // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 5. — С. 22-27. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-141158
record_format dspace
spelling Грінченко, В.Т.
Городецька, Н.С.
2018-08-06T15:42:08Z
2018-08-06T15:42:08Z
2018
Про особливості спектра власних частот пружних тіл / В.Т. Грінченко, Н.С. Городецька // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 5. — С. 22-27. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
1025-6415
DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2018.05.022
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141158
539.3 : 534.1
Проведено аналіз особливостей резонансу на неоднорідних хвилях при симетричних коливаннях півшару з вільними бічними поверхнями і вільним торцем. На частоті крайового резонансу перша нормальна хвиля, що поширюється, утворена суперпозицією SV-хвилі, що поширюється, і неоднорідної P-хвилі. Якісно крайовий резонанс пояснюється особливостями відбиття пружних хвиль від вільної межі. Показано, що частота крайового резонансу і його добротність суттєво залежать від коефіцієнта Пуассона.
Проведен анализ особенностей резонанса на неоднородных волнах при симметричных колебаниях полуслоя со свободными боковыми поверхностями и свободным торцом. На частоте краевого резонанса первая нормальная распространяющаяся волна образована суперпозицией распространяющейся SV-волны и неоднородной P-волны. Качественно краевой резонанс объясняется особенностями отражения упругих волн от свободной границы. Показано, что частота краевого резонанса и его добротность существенно зависят от коэффициента Пуассона.
An analysis of the characteristics of the resonance on inhomogeneous waves with symmetric vibrations of a semiinfinite plate with free lateral boundary and free end is carried out. At the frequency of the edge resonance, the first propagating normal wave is formed by the superposition of propagating SV-wave and an inhomogeneous P-wave. Qualitatively, the edge resonance is due to the peculiarities of the reflection of elastic waves from the free boundary.
uk
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
Доповіді НАН України
Механіка
Про особливості спектра власних частот пружних тіл
Об особенностях спектра собственных частот упругих тел
On the specific features of the spectrum of eigenmodes of elastic bodies
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Про особливості спектра власних частот пружних тіл
spellingShingle Про особливості спектра власних частот пружних тіл
Грінченко, В.Т.
Городецька, Н.С.
Механіка
title_short Про особливості спектра власних частот пружних тіл
title_full Про особливості спектра власних частот пружних тіл
title_fullStr Про особливості спектра власних частот пружних тіл
title_full_unstemmed Про особливості спектра власних частот пружних тіл
title_sort про особливості спектра власних частот пружних тіл
author Грінченко, В.Т.
Городецька, Н.С.
author_facet Грінченко, В.Т.
Городецька, Н.С.
topic Механіка
topic_facet Механіка
publishDate 2018
language Ukrainian
container_title Доповіді НАН України
publisher Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
format Article
title_alt Об особенностях спектра собственных частот упругих тел
On the specific features of the spectrum of eigenmodes of elastic bodies
description Проведено аналіз особливостей резонансу на неоднорідних хвилях при симетричних коливаннях півшару з вільними бічними поверхнями і вільним торцем. На частоті крайового резонансу перша нормальна хвиля, що поширюється, утворена суперпозицією SV-хвилі, що поширюється, і неоднорідної P-хвилі. Якісно крайовий резонанс пояснюється особливостями відбиття пружних хвиль від вільної межі. Показано, що частота крайового резонансу і його добротність суттєво залежать від коефіцієнта Пуассона. Проведен анализ особенностей резонанса на неоднородных волнах при симметричных колебаниях полуслоя со свободными боковыми поверхностями и свободным торцом. На частоте краевого резонанса первая нормальная распространяющаяся волна образована суперпозицией распространяющейся SV-волны и неоднородной P-волны. Качественно краевой резонанс объясняется особенностями отражения упругих волн от свободной границы. Показано, что частота краевого резонанса и его добротность существенно зависят от коэффициента Пуассона. An analysis of the characteristics of the resonance on inhomogeneous waves with symmetric vibrations of a semiinfinite plate with free lateral boundary and free end is carried out. At the frequency of the edge resonance, the first propagating normal wave is formed by the superposition of propagating SV-wave and an inhomogeneous P-wave. Qualitatively, the edge resonance is due to the peculiarities of the reflection of elastic waves from the free boundary.
issn 1025-6415
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141158
citation_txt Про особливості спектра власних частот пружних тіл / В.Т. Грінченко, Н.С. Городецька // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 5. — С. 22-27. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
work_keys_str_mv AT grínčenkovt proosoblivostíspektravlasnihčastotpružnihtíl
AT gorodecʹkans proosoblivostíspektravlasnihčastotpružnihtíl
AT grínčenkovt obosobennostâhspektrasobstvennyhčastotuprugihtel
AT gorodecʹkans obosobennostâhspektrasobstvennyhčastotuprugihtel
AT grínčenkovt onthespecificfeaturesofthespectrumofeigenmodesofelasticbodies
AT gorodecʹkans onthespecificfeaturesofthespectrumofeigenmodesofelasticbodies
first_indexed 2025-11-24T04:34:35Z
last_indexed 2025-11-24T04:34:35Z
_version_ 1850842188996411392
fulltext 22 ISSN 1025­6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 5 ОПОВІДІ НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ Якісне уявлення про коливальні (хвильові) процеси різної фізичної природи сформува­ ли ся на основі аналізу даних, які було отримано з використанням доволі простих матема­ тичних моделей таких процесів. Зокрема, аналіз закономірностей коливань струн, акустич­ них та електромагнітних резонаторів став основою для такого загального висновку — збіль­ шення геометричних розмірів області, в якій реалізується хвильовий процес, призводить до зменшення значень власних частот. Оскільки в процесі формування власних форм коливань визначальну роль відіграють процеси відбиття хвиль від границь області, то фізичне тлумачення резонансних власти­ востей спектра власних частот досить просте — відбиття хвиль від перешкоди відбуваєть­ ся відповідно до закону Снелліуса [1] і для геометричних характеристик власних форм харак терна певна співмірність з довжиною хвилі. У випа дку електромагнітних хвиль мож­ лива зміна поляризації, але швидкість поширення збурень залишається незмінною. Для ідеально пружних деформівних тіл ситуація значно інша. У таких тілах (навіть ізо­ тропних) існує два типа хвильових рухів — поздовжні та поперечні хвилі, що поширюються з різними швидкостями. Більш важливим є той факт, що при відбитті таких хвиль від межі пружного тіла спостерігається феномен трансформації енергії одного типу руху в інший. При цьому в певних випадках можливе повне перетворення одного типу в другий. [1]. Як наслідок, в процесі поширення пружних хвиль виникають фізичні явища, що не мають ана­ логів для акустичних або електромагнітних хвиль. Серед них можна вказати на такі явища © В.Т. Грінченко, Н.С. Городецька, 2018 doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2018.05.022 УДК 539.3 : 534.1 В.Т. Грінченко, Н.С. Городецька Інститут гідромеханіки НАН України, Київ E­mail: nsgihm@gmail.com Про особливості спектра власних частот пружних тіл Представлено академіком НАН України В.Т. Грінченком Проведено аналіз особливостей резонансу на неоднорідних хвилях при симетричних коливаннях півшару з вільними бічними поверхнями і вільним торцем. На частоті крайового резонансу перша нормальна хвиля, що поширюється, утворена суперпозицією SV­хвилі, що поширюється, і неоднорідної P­хвилі. Якісно крайо­ вий резонанс пояснюється особливостями відбиття пружних хвиль від вільної межі. Показано, що частота крайового резонансу і його добротність суттєво залежать від коефіцієнта Пуассона Ключові слова: крайовий резонанс, неоднорідні хвилі, пружний хвилевід. МЕХАНІКА 23ISSN 1025­6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 5 Про особливості спектра власних частот пружних тіл як існування поверхневих хвиль — хвиля Релея [2], наявність в пружних хвилеводах хвиль з протилежними знаками фазової та групової швидкостей [1] та інші. Особливу увагу, з моменту його експериментального відкриття в 1956 р. [3], викликає явище крайового ре­ зонансу. Крайовий резонанс при аналізі вимушених коливань круглої пластини виникав в результаті збудження специфічної власної форми коливань. Характерною особливістю форми була локалізація інтенсивних коливань поблизу зовнішнього краю пластинки. При­ чому відповідна власна частота в експерименті практично не залежала від радіуса плас­ тинки. З моменту відкриття крайового резонансу до сьогодні, вже понад 50 років, опублі­ ковано велику кількість робіт, які присвячені визначенню кількісних характеристик цього явища, як на основі експериментальних даних [3], так і при аналізі чисельно­аналітичних розв’язків відповідних граничних задач динаміки обмеженого пружного тіла [4—6]. Отже, можна з впевненістю стверджувати, що таке явище дійсно існує в пружних тілах. Характер­ на частота крайового резонансу суттєво залежить від механічних характеристик пружного середовища. При детальному аналізі спектра власних частот встановлено ще одну особли­ вість хвильових процесів в пружних тілах — для круглої пластини власна частота крайового резонансу навіть дещо зростає зі збільшенням радіуса пластини. Таку ж властивість було знайдено і для інших форм коливань, власні частоти яких близькі до частоти товщинного резонансу пластини [1]. Значна кількість публікацій стосовно крайового резонансу містить відповідь на питан­ ня про його частотні характеристики та характеристики форми коливань, але не дає від­ повіді на питання — чому це явище виникає в пружних тілах, які механізми формування особливих форм коливань пружних тіл. Пошуки відповіді на це питання є основною ме­ тою якісного аналізу хвильових процесів в пружних тілах. Слід сказати, що на сьогодні ми не маємо повної відповіді на це питання, але для певного діапазону змін механічних харак­ теристик пружного тіла вдається прослідкувати зв'язок між особливостями процесу від­ биття пружних хвиль від вільної межі і явищем крайового резонансу. Для ілюстрації сутності такого зв’язку розглянемо модельну задачу про характеристи­ ки гармонічного хвильового поля з частотою ω із заданими механічними характеристика­ ми: коефіцієнтом Пуассона — ν, густиною ρ та модулем зсуву µ. Геометрична конфігурація півшару в безрозмірних координатах з півтовщиною H шару, як масштабу, описується не­ рівностями. 1, 0,y z x= ± − ∞ < < +∞� � (випадок плоскої деформації див. далі). Оскільки в даному випадку слід враховувати умови випромінювання, часова залежність характе­ ристик хвиль виражається множником i t− ω l . Хвильове поле у півшару збуджується першою нормальною хвилею, що приходить з нескінченності. Поверхні 1, 0y z= ±� � і торець хвилеводу 0z = вільні від напружень. Хвильове поле ( , )u y z r для векторного рівняння Ламе 2 2 ( )grad u u divu t ∂ µ∆ λ + µ = ρ ∂ r r r (1) має задовольняти наступні граничні умови: (0) (0)( , 0) ( , 0) 0, ( , 0) ( , 0) 0 1, ( 1, ) 0, ( 1, ) 0, 0. zz zz zy zz zz zy y y y y y z z z σ + σ = τ + τ = σ ± = τ ± = � � (2) 24 ISSN 1025­6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 5 В.Т. Грінченко, Н.С. Городецька Додатково до граничних умов (2) повинні виконувати­ ся умови випромінювання на нескінченності, які полягають в тому, що кожна поширювана нормальна хвиля у відбитому полі має переносити енергію від торця на нескінченність. Для розв’язання поставленої граничної задачі в даній роботі застосовувався метод суперпозиції. Розглядається симетричне відносно площини 0y = поле. Вирази для век­ тора переміщень у відбитому від вільного торця поля, а та­ кож відповідні цим переміщенням напруження в рамках методу суперпозиції наведені в [4]. Виконання граничних умов (2) приводить до системи інтегро­алгебраїчних рівнянь. Редукція системи рівнянь виконувалась з урахуванням асимптотичної поведінки невідо­ мих. Після розв’язання граничної задачі результати представляються у вигляді нескінчен­ ної суми нормальних хвиль, які можуть існувати на частоті падаючої хвилі. Таким чином хвильове поле має вигляд 0 0 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) .ki zi z k k k u y z C u y C u y ∞ ξ− ξ = = ξ + ξ∑r r r l l (3) Для даного частотного діапазону в цьому виразі біжучій хвилі відповідає перший дода­ нок. Всі інші доданки відповідають неоднорідним хвилям, амплітуди яких експоненціально спадають при відході від торця. Величина kξ є коренем дисперсійного рівняння 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2( , ) (2 ) 4 0.cth cth∆ ξ ω = ξ − Ω α α − ξ α α α = (4) Тут 2 2 , /i i i iH cα = ξ − Ω Ω = ω ; ci— швидкість поздовжніх ( 1)i = і поперечних ( 2)i = хвиль. Зупинимося на аналізі деяких кількісних результатів. Відзначимо характерні особли­ вості резонансу на неоднорідних хвилях при симетричних коливаннях. Амплітуда коливань на резонансній частоті обмежена за рахунок радіаційного демпфування. Неоднорідні хвилі і хвиля, що поширюється у відбитому полі, пов’язані граничними умовами. Характерною особливість крайового резонансу при си­ метричних коливаннях є те, що амплітуди всіх неоднорід­ них хвиль досягають своїх максимальних значень при одна­ ковому значенні частоти. При цьому із збільшенням номера неоднорідної хвилі її амплітуда зменшується. Основний вклад у формування крайової моди вносить перша неодно­ рідна хвиля. Відомо, що частота крайового резонансу залежить від коефіцієнта Пуассона. Емпірична залежність частоти від кое фіцієнта Пуассона запропонована в [3] і має вигляд Рис. 1. Частотна залежність модуля амплітуди першої неоднорідної хвилі для різних значень коефіцієнта Пуассона (ν): 1 — 0,24; 2 — 0,32; 3 — 0,4; 4 — 0,48 Рис. 2. Відбиття SV­хвилі від біч­ ної поверхні та від вільного торця 25ISSN 1025­6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 5 Про особливості спектра власних частот пружних тіл 2(0,652 0,898 1,9866)RΩ = ν + ν + . Добротність резонансу та­ кож залежить від коефіцієнта Пуассона. На рис. 1 представ­ лена частотна залежність модуля амплітуди першої неод­ норідної хвилі для різних значень коефіцієнта Пуассона. Крива 1 відповідає 0,24ν − ; 2 — 0,32ν − ; 3 — 0,4ν − ; 4 — 0,48ν − . Як видно з рисунка, добротність резонансу падає із збільшенням значення ν . Для фізичної інтерпретації залежності частоти крайового резонансу та його добротнос­ ті від ν розглянемо особливості формування першої нормальної хвилі, що поширюється, в діапазоні частот до критичної частоти другої хвилі. В загальному випадку в пружному тілі довільної форми хвильове поле може буди представлено сумою поздовжніх (P) і попере­ чних (SV) хвиль. Вираз для переміщення нормальної хвилі в пружному шарі з вільними границями має вигляд 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 , 2 i z z ch y ch y u i sh sh − ξ α ξ + α α = − ξ α α − α α α  l 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 . 2 i z y sh y sh y u sh sh − ξ α ξ + α α = α ξ − α α  l (5) Перший доданок в компонентах переміщення визначає вклад SV­хвилі, а другий — P­хви­ лі. Для першої нормальної хвилі компонента SV є такою, що поширюється по товщині шару, а компонента P — неоднорідною відносно товщинної координати. Саме такий склад має дальнє від торця поле. При падінні SV­хвилі на вільну поверхню у відбитому полі існують як SV­хвиля, що поширюються, так і P­хвиля, яка може бути як неоднорідною, так і такою,що поширюється, в залежності від кута падіння γ (рис.2). Кут падіння SV­хвилі на границю 0z = є функцією частоти і коефіцієнта Пуассона, і може бути знайдений наступним чином 2 2 2 1 2 2 2(1 ) cos sin 1 2 Ω − ξ− ν γ = − ν Ω . Для коефіцієнтів Пуассона 0,16 0,42ν� � на поверхні 0z = на певній частоті кут па­ діння перевищує критичний і з’являється P­хвиля, що поширюється. Більше того, частоті крайового резонансу відповідають значення кута 1γ , при якому спостерігається повне пе ретворення біжучої SV­хвилі в поздовжню біжучу хвилю. При цьому частота, на якій P­хвиля стає такою, що поширюється, зростає із збільшенням коефіцієнта Пуассона. Вод­ ночас в дальньому від торця полі P­хвиля може бути тільки неоднорідною. Така невідпо­ відність структури ближнього і дальнього полів обумовлює значне збудження неоднорід­ них хвиль на певній частоті. Рис. 3. Частотна залежність модуля амплітуди відбитої від торця P­хвилі для різних значень коефіцієнта Пуассона (ν ): 1 — 0,225; 2 — 0,25; 3 — 0,3; 4 — 0,35; 5 — 0,4 26 ISSN 1025­6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 5 В.Т. Грінченко, Н.С. Городецька Запропонований якісний аналіз значного збудження неоднорідних хвиль на певній час­ тоті підтверджується даними рис.3, на якому представлена частотна залежність модуля амплітуди відбитої від поверхні 0z = P­хвилі для різних значень коефіцієнта Пуассона. Криві 1—5 відповідають значенням 0,225, 0,25, 0,3, 0,35, 0,4v − , вони мають типовий резо­ нансний характер. Порівняння даних, наведених на рис.1 і 3, показує, що в обох випадках зі збільшенням коефіцієнта Пуассона збільшується резонансна частота і зменшується добро­ тність резонансу. Таким чином, в роботі на основі порівняння структури ближнього і дальнього поля в півшару з вільним торцем знайдено якісне пояснення явища крайового резонансу для си­ метричних коливань. При цьому діапазон зміни коефіцієнтів Пуассона поділено на час тини. Зокрема, для 0,16 0,42ν� � у відбитому від торця полі на поверхні 0z = існує P­хвиля, що поширюється, і значне збудження неоднорідних хвиль зумовлено неузгодженістю струк­ тури ближнього і дальнього полів. Для діапазону коефіцієнтів Пуассона ν < 0,16, ν < 0,42 у відбитому від торця полі на поверхні 0z = P­хвиля залишається неоднорідною в облас­ ті частот, де поширюється тільки одна нормальна хвиля, і для цього діапазону змін коефі­ цієнта Пуассона фізична інтерпретація явища крайового резонансу вимагає подальшого дослідження. Також відзначимо, що незвичайною особливістю власних коливань пружних тіл, по­ в’язаних із збудженням крайового резонансу , є те, що для них існує таке явище як зростан­ ня власної частоти зі збільшенням геометричних розмірів тіла [1]. Більше того, в пружних пластинках така поведінка власних частот може спостерігатися і для інших власних форм з частотами поблизу товщинного резонансу. Аналіз фізичних причин цього явища є актуаль­ ною проблемою динаміки пружного тіла. ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах Киев: Наук. думка, 1981. 284с. 2. Викторов И.А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике. Москва: Наука, 1966. 168с. 3. Shaw E.A.G. On the resonant vibration of thin barium titanate disks. J. Acoust. Soc. Amer. 1956. 20, № 1. P. 38—50. 4. Pagneux V. Revisiting the edge resonance for Lamb waves in a semi­infinite plate. J. Acoust. Soc. Amer. 2006. 120, № 2. P. 649—656. 5. Городецкая Н.С. Еще раз о краевом резонансе. Акуст. вісн. 2000. 3, № 4. С. 35—44. 6. Гринченко В.Т., Городецкая Н.С., Мелешко В.В. Резонанс на неоднородных волнах в упругом полуслое. Акуст. вісн. 2011. 14, № 1. С. 20—29. Надійшло до редакції 22.01.2018 REFERENCES 1. Grinchenko, V. T. & Meleshko, V. V. (1981). Harmonic oscillations and waves in elastic bodies. Kiev: Naukova Dumka (in Russian). 2. Viktorov, I. A. (1966). Physical bases of application of ultrasonic waves of Rayleigh and Lamb in engineering. Moscow: Nauka (in Russian). 3. Shaw, E. A. G. (1956). On the resonant vibration of thin barium titanate disks. J. Acoust. Soc. Amer., 20, No. 1, pp. 38­50. 27ISSN 1025­6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 5 Про особливості спектра власних частот пружних тіл 4. Pagneux, V. (2006). Revisiting the edge resonance for Lamb waves in a semi­infinite plate. J. Acoust. Soc. Amer., 120, No. 2, pp. 649­656. 5. Gorodetskaya, N. S. (2001). Once again about the edge resonance. Akust. Visn., 3, No. 4, pp. 35­44 (in Russian). 6. Grinchenko, V. T., Gorodetskaya, N. S. & Meleshko, V. V. (2011). Resonance on inhomogeneous waves in an elastic semi­infinite plate. Akust. Visn., 14, No. 1, pp. 20­29 (in Russian). Received 22.01.2018 В.Т. Гринченко, Н.С. Городецкая Институт гидромеханики НАН Украины, Киев E­mail: nsgihm@gmail.com ОБ ОСОБЕННОСТЯХ СПЕКТРА СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ УПРУГИХ ТЕЛ Проведен анализ особенностей резонанса на неоднородных волнах при симметричных колебаниях полу­ слоя со свободными боковыми поверхностями и свободным торцом. На частоте краевого резонанса первая нормальная распространяющаяся волна образована суперпозицией распространяющейся SV­волны и не­ однородной P­волны. Качественно краевой резонанс объясняется особенностями отражения упругих волн от свободной границы. Показано, что частота краевого резонанса и его добротность существенно зависят от коэффициента Пуассона. Ключевые слова: краевой резонанс, неоднородные волны, упругий волновод. V.T. Grinchenko, N.S. Gorodetska Institute of Hydromechanics of the NAS of Ukraine, Kiev E­mail: nsgihm@gmail.com ON THE SPECIFIC FEATURES OF THE SPECTRUM OF EIGENMODES OF ELASTIC BODIES An analysis of the characteristics of the resonance on inhomogeneous waves with symmetric vibrations of a sem i ­ infinite plate with free lateral boundary and free end is carried out. At the frequency of the edge resonance, the first propagating normal wave is formed by the superposition of propagating SV­wave and an inhomogeneous P­wave. Qualitatively, the edge resonance is due to the peculiarities of the reflection of elastic waves from the free boundary. Keywords: edge resonance, inhomogeneous waves, elastic waveguide.

Similar Items