Об особенности влияния граничных условий на распространение упруго-вязкопластических волн в стержнях, материал которых обладает свойством запаздывания текучести
Исследуется распространение упруго-вязкопластических волн в полубесконечном стержне на основании электромеханической модели идеального упруго-вязкопластического материала с запаздыванием текучести. Решение задачи осуществляется в постановке, когда удар по торцу ненагруженного стержня сообщает концев...
Saved in:
| Published in: | Техническая механика |
|---|---|
| Date: | 2017 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
2017
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141259 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об особенности влияния граничных условий на распространение упруго-вязкопластических волн в стержнях, материал которых обладает свойством запаздывания текучести / Я.Ф. Андрусык // Техническая механика. — 2017. — № 2. — С. 84-98. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-141259 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Андрусык, Я.Ф. 2018-08-28T19:49:31Z 2018-08-28T19:49:31Z 2017 Об особенности влияния граничных условий на распространение упруго-вязкопластических волн в стержнях, материал которых обладает свойством запаздывания текучести / Я.Ф. Андрусык // Техническая механика. — 2017. — № 2. — С. 84-98. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1561-9184 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141259 539.374: 539.89 Исследуется распространение упруго-вязкопластических волн в полубесконечном стержне на основании электромеханической модели идеального упруго-вязкопластического материала с запаздыванием текучести. Решение задачи осуществляется в постановке, когда удар по торцу ненагруженного стержня сообщает концевому сечению постоянную скорость. В результате решения уравнений динамического поведения материала за фронтом волны запаздывания текучести, получено его напряженно-деформированное состояние. Отмечается отличительная особенность поведения возмущенной области стержня при сравнении с граничным условием, когда к его торцевой поверхности внезапно прикладывается постоянная сила. Показана возможность возникновения сингулярного решения определяющих уравнений с особенностями в виде точек разрыва 1-го рода. Такое решение описывает странное поведение материала, ступенчатый характер движения которого напоминает состояние “трепетания”. Досліджується розповсюдження пружно-в’язкопластичних хвиль в півбезмежному стержні на основі електромеханічної моделі ідеального пружно-в’язкопластичного матеріалу з запізненням плинності. Розв’язок задачі здійснюється в постановці, коли удар по торцю ненавантаженого стержня надає кінцевому перерізу постійну швидкість. В результаті розв’язку рівнянь динамічної поведінки матеріалу за фронтом хвилі запізнення плинності, отримано його напружено-деформований стан. Відмічається відмінна особливість поведінки збуреної області стержня при порівнянні з граничною умовою, коли до його торцевої поверхні раптово прикладається постійна сила. Показана можливість виникнення сингулярного розв’язку визначальних рівнянь з особливостями у вигляді точок розриву 1-го роду. Такий розв’язок описує дивну поведінку матеріалу, ступінчатий характер руху якого нагадує стан “тремтіння”. Based on an electromechanical model of an ideal elastic- viscous-plastic material with delayed fluidity, the propagation of elastic-viscous-plastic waves through a semi-infinite bar is considered. The problem is solved in the statement when an impact on the end of an unloaded bar imparts a constant velocity to an end section. From the solution of the equations of the dynamic material behavior behind the front wave of delayed fluidity, the material stressed-strained state is measured. In comparison with a limited condition, when a constant force is suddenly applied to the end surface, the behavior of a disturbed region of the bar is specially featured. The possibility of occurring a singular solution of the determining equations with the special features in the form of discontinuity points of the first kind is demonstrated. Such solution describes a strange behavior of the material, the step-bystep motion resembling that in trembling. ru Інститут технічної механіки НАН України і НКА України Техническая механика Об особенности влияния граничных условий на распространение упруго-вязкопластических волн в стержнях, материал которых обладает свойством запаздывания текучести Про особливість впливу граничних умов на розповсюдження пружно-в’язкопластичних хвиль у стержнях, матеріал яких має властивість запізнювання плинності Special Effects of Boundary Conditions on Distribution of Elastic-ViscousPlastic Waves into Bars Made from Delayed Fluidity Material Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Об особенности влияния граничных условий на распространение упруго-вязкопластических волн в стержнях, материал которых обладает свойством запаздывания текучести |
| spellingShingle |
Об особенности влияния граничных условий на распространение упруго-вязкопластических волн в стержнях, материал которых обладает свойством запаздывания текучести Андрусык, Я.Ф. |
| title_short |
Об особенности влияния граничных условий на распространение упруго-вязкопластических волн в стержнях, материал которых обладает свойством запаздывания текучести |
| title_full |
Об особенности влияния граничных условий на распространение упруго-вязкопластических волн в стержнях, материал которых обладает свойством запаздывания текучести |
| title_fullStr |
Об особенности влияния граничных условий на распространение упруго-вязкопластических волн в стержнях, материал которых обладает свойством запаздывания текучести |
| title_full_unstemmed |
Об особенности влияния граничных условий на распространение упруго-вязкопластических волн в стержнях, материал которых обладает свойством запаздывания текучести |
| title_sort |
об особенности влияния граничных условий на распространение упруго-вязкопластических волн в стержнях, материал которых обладает свойством запаздывания текучести |
| author |
Андрусык, Я.Ф. |
| author_facet |
Андрусык, Я.Ф. |
| publishDate |
2017 |
| language |
Russian |
| container_title |
Техническая механика |
| publisher |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про особливість впливу граничних умов на розповсюдження пружно-в’язкопластичних хвиль у стержнях, матеріал яких має властивість запізнювання плинності Special Effects of Boundary Conditions on Distribution of Elastic-ViscousPlastic Waves into Bars Made from Delayed Fluidity Material |
| description |
Исследуется распространение упруго-вязкопластических волн в полубесконечном стержне на основании электромеханической модели идеального упруго-вязкопластического материала с запаздыванием текучести. Решение задачи осуществляется в постановке, когда удар по торцу ненагруженного стержня сообщает концевому сечению постоянную скорость. В результате решения уравнений динамического поведения материала за фронтом волны запаздывания текучести, получено его напряженно-деформированное состояние. Отмечается отличительная особенность поведения возмущенной области стержня при сравнении с граничным условием, когда к его торцевой поверхности внезапно прикладывается постоянная сила. Показана возможность возникновения сингулярного решения определяющих уравнений с особенностями в виде точек разрыва 1-го рода. Такое решение описывает странное поведение материала, ступенчатый характер движения которого напоминает состояние “трепетания”.
Досліджується розповсюдження пружно-в’язкопластичних хвиль в півбезмежному стержні на основі електромеханічної моделі ідеального пружно-в’язкопластичного матеріалу з запізненням плинності. Розв’язок задачі здійснюється в постановці, коли удар по торцю ненавантаженого стержня надає кінцевому перерізу постійну швидкість. В результаті розв’язку рівнянь динамічної поведінки матеріалу за фронтом хвилі запізнення плинності, отримано його напружено-деформований стан. Відмічається відмінна особливість поведінки збуреної області стержня при порівнянні з граничною умовою, коли до його торцевої поверхні раптово прикладається постійна сила. Показана можливість виникнення сингулярного розв’язку визначальних рівнянь з особливостями у вигляді точок розриву 1-го роду. Такий розв’язок описує дивну поведінку матеріалу, ступінчатий характер руху якого нагадує стан “тремтіння”.
Based on an electromechanical model of an ideal elastic- viscous-plastic material with delayed fluidity, the propagation of elastic-viscous-plastic waves through a semi-infinite bar is considered. The problem is solved in the statement when an impact on the end of an unloaded bar imparts a constant velocity to an end section. From the solution of the equations of the dynamic material behavior behind the front wave of delayed fluidity, the material stressed-strained state is measured. In comparison with a limited condition, when a constant force is suddenly applied to the end surface, the behavior of a disturbed region of the bar is specially featured. The possibility of occurring a singular solution of the determining equations with the special features in the form of discontinuity points of the first kind is demonstrated. Such solution describes a strange behavior of the material, the step-bystep motion resembling that in trembling.
|
| issn |
1561-9184 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141259 |
| citation_txt |
Об особенности влияния граничных условий на распространение упруго-вязкопластических волн в стержнях, материал которых обладает свойством запаздывания текучести / Я.Ф. Андрусык // Техническая механика. — 2017. — № 2. — С. 84-98. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT andrusykâf obosobennostivliâniâgraničnyhusloviinarasprostranenieuprugovâzkoplastičeskihvolnvsteržnâhmaterialkotoryhobladaetsvoistvomzapazdyvaniâtekučesti AT andrusykâf proosoblivístʹvplivugraničnihumovnarozpovsûdžennâpružnovâzkoplastičnihhvilʹusteržnâhmateríalâkihmaêvlastivístʹzapíznûvannâplinností AT andrusykâf specialeffectsofboundaryconditionsondistributionofelasticviscousplasticwavesintobarsmadefromdelayedfluiditymaterial |
| first_indexed |
2025-11-27T00:41:24Z |
| last_indexed |
2025-11-27T00:41:24Z |
| _version_ |
1850789108291469312 |
| fulltext |
84
УДК 539.374: 539.89
Я. Ф. АНДРУСЫК
ОБ ОСОБЕННОСТИ ВЛИЯНИЯ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ НА
РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГО-ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ВОЛН В
СТЕРЖНЯХ, МАТЕРИАЛ КОТОРЫХ ОБЛАДАЕТ СВОЙСТВОМ
ЗАПАЗДЫВАНИЯ ТЕКУЧЕСТИ
Институт инженерной механики и транспорта
Национального университета «Львовская политехника»,
ул. С. Бандеры, 12, 79013, Львов, Украина; е-mail: yaroslav.andrusyk@gmail.com
Исследуется распространение упруго-вязкопластических волн в полубесконечном стержне на осно-
вании электромеханической модели идеального упруго-вязкопластического материала с запаздыванием
текучести. Решение задачи осуществляется в постановке, когда удар по торцу ненагруженного стержня
сообщает концевому сечению постоянную скорость. В результате решения уравнений динамического
поведения материала за фронтом волны запаздывания текучести, получено его напряженно-
деформированное состояние. Отмечается отличительная особенность поведения возмущенной области
стержня при сравнении с граничным условием, когда к его торцевой поверхности внезапно прикладывает-
ся постоянная сила. Показана возможность возникновения сингулярного решения определяющих уравне-
ний с особенностями в виде точек разрыва 1-го рода. Такое решение описывает странное поведение мате-
риала, ступенчатый характер движения которого напоминает состояние “трепетания”.
Досліджується розповсюдження пружно-в’язкопластичних хвиль в півбезмежному стержні на основі
електромеханічної моделі ідеального пружно-в’язкопластичного матеріалу з запізненням плинності.
Розв’язок задачі здійснюється в постановці, коли удар по торцю ненавантаженого стержня надає кінцево-
му перерізу постійну швидкість. В результаті розв’язку рівнянь динамічної поведінки матеріалу за фрон-
том хвилі запізнення плинності, отримано його напружено-деформований стан. Відмічається відмінна
особливість поведінки збуреної області стержня при порівнянні з граничною умовою, коли до його торце-
вої поверхні раптово прикладається постійна сила. Показана можливість виникнення сингулярного
розв’язку визначальних рівнянь з особливостями у вигляді точок розриву 1-го роду. Такий розв’язок опи-
сує дивну поведінку матеріалу, ступінчатий характер руху якого нагадує стан “тремтіння”.
Based on an electromechanical model of an ideal elastic- viscous-plastic material with delayed fluidity, the
propagation of elastic-viscous-plastic waves through a semi-infinite bar is considered. The problem is solved in
the statement when an impact on the end of an unloaded bar imparts a constant velocity to an end section. From
the solution of the equations of the dynamic material behavior behind the front wave of delayed fluidity, the mate-
rial stressed-strained state is measured. In comparison with a limited condition, when a constant force is suddenly
applied to the end surface, the behavior of a disturbed region of the bar is specially featured. The possibility of
occurring a singular solution of the determining equations with the special features in the form of discontinuity
points of the first kind is demonstrated. Such solution describes a strange behavior of the material, the step-by-
step motion resembling that in trembling.
Ключевые слова: пластическое состояние, динамический критерий пла-
стичности, ударное нагружение, упруго-вязкопластическая волна, запазды-
вание текучести, “трепетание” среды.
Введение. Автором [1], на основании обобщения идей работ [2 – 5],
предложена электромеханическая модель идеальной упругопластической
среды с запаздыванием текучести. В рамках сформулированных определяю-
щих соотношений проведено исследование зависимости динамического пре-
дела текучести материала от скорости деформирования. Построены динами-
ческие диаграммы одноосного сжатия металла, который обладает свойством
возникновения зуба текучести, для широкого диапазона скоростей деформа-
ций. Результаты проведенных теоретических расчетов хорошо согласуются с
экспериментальными данными. Однако при исследовании распространения
волн в материалах с запаздыванием текучести в рамках модели [1], отсут-
ствует процесс упругой разгрузки после прохождения волны перенапряже-
ния. Внезапное уменьшение напряжения в среде после исчерпывания свой-
Я. Ф. Андрусык, 2017
Техн. механіка. – 2017. – № 2.
85
ства к запаздыванию принято в теории Ю. Н. Работнова [2]. В действитель-
ности на фронте волны запаздывания текучести не возникает сильный раз-
рыв, а переход перенагруженного материала в пластическое состояние про-
исходит без фазы упругой разгрузки. Для выявления истинности этого поло-
жения в работе [6] проведено исследование распространения упруго-
вязкопластических волн в стержне, материал которого обладает свойством
запаздывания текучести. Решение задачи осуществлялось в постановке, когда
к торцу ненагруженного стержня внезапно прикладывается постоянная сила.
Полученный результат не подтверждает наличие волны сильного разрыва на
границе перехода из упругого перенапряженного состояния в пластическое.
В то же время возникло некоторое допущение, что на возникновение процес-
са внезапной упругой разгрузки влияют наложенные граничные условия на
концевом сечении стержня. Для подтверждения или опровержения возмож-
ности возникновения такого перехода, рассматривается постановка задачи,
когда концу полубесконечного ненагруженного стержня сообщается посто-
янная скорость
0V . Если в результате решения уравнений динамического со-
стояния окажется, что на фронте волны запаздывания текучести скорость то-
чек среды увеличится, тогда на конце стержня произойдет отрыв. Следова-
тельно, возникнет внезапная упругая разгрузка. Если скорость не изменится –
имеет место переход в пластическое состояние, при котором некоторые част-
ные производные от параметров претерпевают разрыв.
Общая постановка и анализ задачи распространения волн в полу-
бесконечном стержне. Рассмотрим полубесконечный идеальный упруго-
вязкопластический стержень, материал которого обладает свойством запаз-
дывания текучести. Пусть стержень расположен вдоль оси 0x лагранже-
вой системы координат и находится в покое до момента времени 0t .
Предположим, что начиная с этого момента, удар сообщает концевому сече-
нию 0x скорость
0V , величина которой остается постоянной при 0t .
Эта скорость производит на торце стержня напряжение сжатия ,*
xx превы-
шающее статический предел текучести
s . Такое возмущение приводит к
распространению в среде упруго-вязкопластических волн. Для определения
напряженно-деформированного состояния возмущенной области стержня
будем считать, что в любом сечении напряжение однородно и находится из
граничных условий. Предположим, что деформации малы, и пренебрежем
влиянием сил инерции от поперечных деформаций.
Из упругого решения известно [6, 7], что при ударе в стержне распро-
страняется прямая упругая волна со скоростью
E
c (где E – модуль
упругости Юнга, – плотность). Эта волна переносит возникшее на конце
стержня напряжение
c
VE
xx
0* и деформацию
c
V
E
xx
xx
0
*
*
. Напряжению
*
xx соответствует время запаздывания текучести . Для удобства последу-
ющих вычислений сжимающие напряжения и деформации принимаются с
положительным знаком. Когда передний фронт волны пройдет расстояние
с , конец стержня переходит в пластическое состояние.
86
В плоскости tx, имеем следующую картину, показанную на рис. 1. Ниже
фронта главной волны tcx лежит область покоя. На фронте волны напряже-
ние, деформация и скорость частиц скачком возрастают от нуля до значений:
.,, 0
** VVxxxxxxxxx На протяжении времени задержки от конца
стержня распространяется только упругая волна. Поскольку все сечения стержня
до деформации находились в одинаковом состоянии, то время запаздывания в
них будет одно и то же и равно ( время запаздывания в сечении )0x . В
координатной плоскости tx, возмущенная среда будет находиться в упругом
состоянии внутри полосы, которая определяется неравенством
.tcxtc (1)
Рис. 1 – Распределение областей состояния стержня в плоскости tx,
Верхняя граница полосы определяет линию перехода материала из упру-
гого в пластическое состояние. Ее можно рассматривать как фронт волны
запаздывания текучести, который распространяется со скоростью c и опре-
деляется уравнением tcx (рис. 1). За этим фронтом возникает об-
ласть течения материала стержня. Но остается открытым вопрос об упругой
разгрузке до статического предела текучести на волне tcx согласно
модели [2] или переходе в пластическое состояние без скачка параметров, в
рамках [1, 6]. Для получения на него ответа, исследуем уравнения динамиче-
ского поведения материала, обладающего свойством запаздывания текучести
в пластической области стержня.
Построение уравнений динамического состояния упруго-
вязкопластического стержня за фронтом волны запаздывания текуче-
сти. Основываясь на электромеханической модели идеального упруго-
вязкопластического тела с запаздыванием текучести [1], запишем динамиче-
ское условие начала пластичности
.1
2
3
2
3
3
2
2
1
s
ijijn
e
ij
e
ijsijij
ss
eekss
(2)
t
x
tcx
tcx
0
87
Здесь ijs компоненты девиатора напряжений, e
ije компоненты девиа-
тора скоростей упругих деформаций, k и n постоянные материала.
Разделяя уравнение (2) на два сомножителя и приравнивая к нулю один
из них, имеем
.0
2
3
sijijss (3)
Это соотношение есть известное условие текучести Мизеса. Оно спра-
ведливо, пока интенсивность скоростей упругих деформаций не превышает
предельное значение. В случае малых деформаций, запишем
,
3
2 пр
i
e
ij
e
ij ee (4)
где пр
i предельное значение интенсивности скоростей упругих деформа-
ций, определяемое экспериментально.
Соответственно для второго сомножителя следует такой динамический
критерий начала пластичности материала
.
2
3
2
3
2
2 n
e
ij
e
ij
s
sijij ee
k
ss
(5)
Из (5) можно получить условие перехода материала в пластическое со-
стояние в зависимости от скорости деформирования или определить время
задержки текучести в результате внезапного нагружения, когда .
3
2 2
sijijss
Исходя из обобщения электромеханической модели среды [1], тензор
скорости пластической деформации
p
ij связан с девиатором напряжений
следующим динамическим условием пластичности в состоянии текучести
,1
2
3
2
3
3
2
3
2
3
2
2
**
1
s
ijijn
e
ij
e
ijs
p
ijij
p
ijij
ss
eekss
(6)
где *
ijs компоненты девиатора напряжений на границе перехода из упруго-
го состояния в пластическое, коэффициент вязкости.
Согласно ассоциированному закону течения [8, 9], компоненты
p
ij опре-
деляются из уравнений
,
ij
p
ij
f
(7)
где скалярный множитель, f пластический потенциал, который в
нашей модели определяется уравнением (6).
88
Учитывая пластическую несжимаемость материала, после подстановки
(6) в (7) получим
.
3
2
2
p
ijij
p
ij s (8)
Решая уравнение (8) относительно ,p
ij имеем
.
3
4
1
2
ijp
ij
s
(9)
Исключая
p
ij из (6) и (9), находим
.1
12
3
2
3
2
3
2
3
2
**
1
s
ijijn
e
ij
e
ijs
ijij
ss
eek
ss
(10)
Подставляя (10) в (9), запишем
.
2
3
1
2
3
2
3
1
2
3
**
1
ij
ijij
s
ijijn
e
ij
e
ijs
p
ij s
ss
ss
eek
(11)
Преобразуем соотношения (11) для случая одноосного сжатия, когда
.0xx Напомним, что девиаторы напряжений и скоростей упругих дефор-
маций имеют такие компоненты [8] :
,
3
1
,
3
1 e
kkij
e
ij
e
ijkkijijij es (12)
где ij компоненты тензора напряжений, e
ij компоненты тензора скоро-
стей упругих деформаций, ij символ Кронекера.
Следовательно, из (12) получим: .
3
1
,
3
2
xxzzyyxxxx sss
В результате, для
ijij ss и
**
ijij ss запишем:
.
3
2
,
3
2 2***2
xxijijxxijij ssss (13)
89
Аналогично для компонент
e
ije имеем:
,1
3
1
,1
3
2 e
xx
e
zz
e
yy
e
xx
e
xx eee
где – коэффициент поперечной деформации.
После преобразований
e
ij
e
ij ee , находим
.1
3
2 22 e
xx
e
ij
e
ij ee (14)
Подставляя (13), (14) в (11), получим:
.
2
1
,11
1 *
22 p
xx
p
zz
p
yy
s
xxne
xx
n
sxx
p
xx ek
(15)
Учитывая, что компоненты тензора полной деформации складываются из
упругой и пластической части
,p
ij
e
ijij (16)
а также закон Гука при одноосном сжатии стержня
,e
xxxx E (17)
для скоростей деформаций и напряжений запишем:
,,,
Ex
V xxe
xx
x
xx
e
xxxx
p
xx
(18)
где xV скорость частиц стержня вдоль оси .x
Используя (18), определяющие уравнения состояния сжатого стержня в
пластической области приводятся к виду
.
2
sxxxx
n
xxxx
E
(19)
Здесь произведена замена
.1
1 *
2
2
s
xx
n
n
E
k
Согласно стержневой теории [9], дифференциальное уравнение движе-
ния без учета массовых внешних сил приобретает вид
,
2
2
t
u
x
xx
(20)
где u перемещение точек стержня вдоль оси .x
Уравнения (19), (20) определяют динамическое поведение упруго-
вязкопластического стержня в пластической области.
Продифферецировав соотношение (19) по t , а уравнение (20) – по ,x
имеем
90
,
2
2
3
2
2
1
2
2
2
xt
u
tEttnt
xx
n
xxxxxx
.
1
2
2
2
3
xxt
u xx
(21)
Исключая из системы уравнений (21) перемещение u , получим
.0
2
2
2
1
2
2
2
ttEtnx
xxxx
n
xxxx
(22)
Исходное уравнение (22) относится к эллиптическому типу, поэтому все-
гда существует возможность локального продолжения в исследуемую об-
ласть начальных данных. Для построения его решения введем следующие
независимые переменные
., 21
c
x
tz
c
x
tz (23)
Представим общее решение уравнения (22) в следующей форме
,, 2211 zzxt xxxxxx (24)
где xxxx 21 , произвольные функции.
В новых переменных частные производные определяются так
,,
2
2
22
2
2
1
11
2
2
2
2
22
1
11
zd
zd
zd
zd
tzd
zd
zd
zd
t
xxxxxxxxxxxx
(25)
.
11
,
11
2
2
22
2
22
1
11
2
22
2
2
22
1
11
zd
zd
czd
zd
cxzd
zd
czd
zd
cx
xxxxxxxxxxxx
Подставляя производные (25) в уравнение (22) и учитывая, что 2cE , имеем
.0
2
2
22
1
11
2
2
22
2
2
1
11
2
1
2
2
22
1
11
zd
zd
zd
zd
zd
zd
zd
zd
z
zd
zd
zd
n
xxxx
xxxx
n
xxxx
(26)
На фронте волны запаздывания текучести, когда , tcx выполня-
ется условие .const, * xxxx xt Cледовательно из (24), запишем
.,20 *
21 tt xxxxxx
(27)
Равенство (27) выполняется при любом положительном значении аргумента
функции .22 zxx Следовательно, в течение времени t функция
.const22 zxx Включая эту постоянную в произвольную функцию ,11 zxx
после изменения обозначений переменной
t
x
tzz 1 получим
., 1
c
x
tzzxt xxxxxxxx (28)
91
Введенную переменную z необходимо рассматривать как особенный
параметр (внутреннее время) для каждой точки среды, который определяет
время пребывания индивидуальной частицы в состоянии пластичности.
Представление общего решения уравнения (22) в виде (24) сводит диффе-
ренциальное уравнение в частных производных (22) к обыкновенному диффе-
ренциальному уравнению в переменных ., zxx В результате из (26) имеем
.0
2
2
2
2
2
zd
d
zd
d
zd
d
n
xxxx
n
xx
(29)
На границе перехода из упругой области стержня в пластическую,
начальные условия уравнения (29) записываются так:
.00,0 *
xx
xx
xxxx
zd
d
(30)
Исследование процесса распространения возмущения в пластиче-
ской области стержня. Исходя из того, что решение дифференциального урав-
нения (29) представляется в виде функции ,zxx на основании (19) деформа-
ция, перемещение, скорости точек среды также будут зависеть от переменной .z
Значит, можно записать: ,zxxxx ., zVVzuu xx Учитывая замеча-
ние относительно знака деформации сжатия, имеем
.
,
,
,
,
1,
zd
zd
t
tx
zd
zud
t
txu
V
zd
zud
cx
txu
xxxx
xx
xxx
(31)
Используя (31) для скорости деформации
xx , получим
.
1
zd
Vd
cx
V
t
xxxx
xx
(32)
Обратимся к граничному условию и запишем его так:
.const,0,0 0 VtVVxt xx (33)
Соотношение (33) верно при любом положительном значении аргумента.
Поэтому можно записать
.),( 0VzVtxVV xxx (34)
Условие (34) показывает, что за фронтом волны запаздывания текучести
скорости точек среды постоянны и равны скорости концевого сечения
стержня .0V Следовательно, не возникает отрыва торцевого сечения от удар-
ника и не происходит внезапной разгрузки на границе перехода из упругой
области в пластическую. Вся область стержня, перешедшая в пластическое
состояние, движется как твердое тело с постоянной скоростью .0V Но внутри
этой области происходит процесс изменения напряжения
xx согласно зако-
ну, полученному как следствие решения уравнения (19). Учитывая, что из
(32) и (34) следует ,0xx уравнение (19) принимает вид
92
.
2
sxx
n
xxxx
E
(35)
Все необходимые вычисления и исследования, на основе решения полу-
ченного уравнения пластического состояния (35), будем проводить для по-
стоянных материала, которые использовались в работах [1, 6].
Принимаем:
.25,0,24,
м
кг
7800,Па105,1
,сПа102,1,Па1015,2,Па101,2
3
12
1
8
8811
nсk
E s
После подстановки всех принятых постоянных в (35), запишем
.01015,21072,510405,1 8412
1
7
xxxxxx (36)
Для решения этого уравнения сформулируем начальное условие из по-
становки задачи следующим образом. Сообщаем концевому сечению стерж-
ня такую начальную скорость, которая приводит к возникновению напряже-
ния .Па1055,30 8*0 xxxx
c
VE
Результат численного интегрирова-
ния уравнения (36) показан в виде графика zxx на рис. 2. При нахождении
его решения было наложено условие, что zxx принимает только отрица-
тельные значения.
Рис. 2 – Графическое представление решения уравнения состояния
в пластической области
На основании полученного решения уравнения (36) и свойства (16), по-
строим график изменения деформаций в пластической области. Учитывая
постоянство полной деформации ,xx которую можно определить как
E
xx
xx
*
, и формулу для упругой деформации
,
E
zxxe
xx
находим за-
кон изменения пластической деформации p
xx
.
*
E
zxxxxp
xx
(37)
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06
3,0 108
3,2 108
3,4 108
3,6 108
,xx Па
,z с
Ч
Ч
Ч
Ч
93
Графическое представление изменения этих деформаций в зависимости
от внутреннего времени показано на рис. 3.
Рис. 3 – Закон изменения упругой и пластической деформации
в пластической области стержня
При сравнении напряженно-деформированного состояния материала
стержня, полученного в рамках данных граничных условий, с результатами
исследований [6], когда к торцу прикладывается постоянная сила, необходи-
мо отметить их существенное различие. В то же время для этих двух вариан-
тов граничных условий не наблюдается состояние внезапной упругой раз-
грузки на волне запаздывания текучести. Следовательно, есть все основания
утверждать об отсутствии эффекта упругой разгрузки в материалах с запаз-
дыванием текучести.
Для построения пространственной картины изменения xx за фронтом
волны запаздывания текучести, в решении уравнения (36) выполним следу-
ющую замену: .
c
x
tz Учитывая выбранные постоянные материала,
для скорости упругой волны имеем .
с
м
5100
E
c Переходим к опреде-
лению численного значения времени задержки текучести .
Исследования показывают [10], что время задержки текучести, при кото-
ром внезапно “перенагруженный” материал, ,
2
3 **
sijijss находится в
упругом состоянии, равно времени, за которое это напряжение начала теку-
чести достигается при нагружении с определенной скоростью. Поэтому вре-
мя запаздывания текучести для произвольного напряженного состояния бу-
дем определять следующим образом
,
2
3
2
3 **
ijij
sijij
ss
ss
(38)
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06
0,0005
0,0010
0,0015
e
xx
p
xx
,z c
xx
94
где ijs компоненты девиатора скоростей напряжений.
Исходя из динамического критерия текучести материала (5), имеем
.
2
3
2
3
2
2
**
n
e
ij
e
ij
s
sijij ee
k
ss
(39)
Запишем закон Гука в виде зависимости между компонентами девиатора
напряжений и деформаций
,
2G
s
e
ije
ij модуль сдвига
.
12
E
G (40)
После дифференцирования (40) по времени и подстановки результата в
(39), запишем
.
2
31
2
3
2
2
22
**
n
ijij
s
sijij ss
E
k
ss
(41)
Разрешая (41), находим
.
2
3
12
3
4
**
2
4
n
sijijn
n
s
ijij ss
k
E
ss
(42)
Подставляя (42) в (38), получим необходимое соотношение для опреде-
ления
.
2
3
1
1
4
**4
2
n
sijij
n
s
n
ssE
k
(43)
Учитывая полученное в (13) и принятое значение ,24n после преобра-
зований запишем
.
1
5*6
12
sxxsE
k
(44)
После подстановки в формулу (44) принятых постоянных материала и
значения ,*
xx определяем c10454,1 4 .
Вычисленное значение позволяет получить общую картину поля
напряжений ),( txxx за фронтом волны запаздывания текучести. Результат,
полученный на основании решения уравнения (36) и соответствующей заме-
ны, показан на рис. 4.
95
Рис. 4 – Поле напряжений за фронтом волны запаздывания текучести
Построение и исследование сингулярного решения определяющего
уравнения упруго-вязкопластического состояния стержня. При нахожде-
нии решения уравнения (36) было наложено условие, согласно которому ско-
рость изменения напряжения zxx принимает отрицательные значения.
Предполагалось, что напряжение zxx только убывает. Это было сделано
сознательно, поскольку без наложения такого условия уравнение (36) имеет
странное решение, содержащее сингулярные особенности. Для его получе-
ния, согласно рекомендации [11], будем искать решение уравнения (36) в па-
раметрической форме. Выполним следующую замену: .1015,2 8 uxx В
результате для (36) получим
.01072,510405,1 412
1
7 uuu (45)
Введем следующий параметр .xxu Следовательно, из уравнения
(45) имеем
.1072,510405,1 412
1
7 u (46)
После дифференцирования (46) по времени z , запишем
.1072,5sign
12
10405,1 4
12
117
(47)
Перепишем это уравнение в таком виде
.
1072,5
12
10405,1 4
12
237
d
zd
(48)
После интегрирования (48), находим общий интеграл
.ln1072,5sign
11
10405,1 4
12
117
Cz
(49)
Возвращаясь к уравнению (46), после выполнения обратной замены, получим
.10405,11072,51015,2 12
1
748
xx (50)
,xx Па
,t с
,x м
96
Соотношения (49) и (50) представляют собой общее решение дифферен-
циального уравнения (36), записанное в параметрическом виде. Для опреде-
ления постоянной интегрирования в (49), определим 0 на фронте волны
запаздывания текучести. После подстановки в (50) значения
Па1055,3 8*
0 xxxx получим исходное уравнение, решая которое,
имеем .
с
Па
102585,5 10
0 Из уравнения (49) находим следующее значе-
ние постоянной интегрирования
.ln1072,5sign
11
10405,1
0
4
0
12
11
0
7
C (51)
Подставляя (51) в (49), имеем
.signsign10277,1ln1072,5 0
12
11
0
12
11
604
z (52)
Для определения значения параметра и соответствующих моментов
времени, при которых решение уравнения (36) содержит сингулярные осо-
бенности в виде точек разрыва 1-го рода, приравняв правую часть равенства
(48) к нулю, запишем
01072,51017,1 12
11
46 (53)
Выбрав из решения этого уравнения корень, дающий сингулярную осо-
бенность, получим
.
с
Па
104362,1 10
2 (54)
Значение напряжения
xx , при котором 2 , находим после подста-
новки (54) в (50), в результате чего имеем
.Па100544,3 8
2 xx
(55)
Подставив найденное значение 2 xx
в уравнение (50), запишем
.10405,11072,51015,2 12
1
748
2
xx (56)
Из решения (56) получаем следующие действительные корни
.
с
Па
104362,1,
с
Па
107836,3 10
2
9
1 (57)
Теперь осталось определить значение
3 , для которого переход от 2 до
3 происходит при неизменном времени. Его можно определить, если в
уравнении (52) выполнить замену ,20 .0z Запишем
.0signsign
11
10405,1
ln1072,5 12
11
2
12
11
2
7
24
(58)
97
Решая это уравнение, получим искомое
.
с
Па
107979,5 11
3 (59)
Для графического представления решения уравнения (36) на основании
его параметрической формы записи (49) и (50), целесообразно найти проме-
жуток внутреннего времени ,0z когда ],[ 10 и повторяемые интерва-
лы времени
1z для .],[ 13 Из уравнения (52), выполняя соответству-
ющие подстановки, получим
.c003509,0,c003436,0 10 zz (60)
На основании полученного результата состояния стержня между фрон-
тами волн (1) (рис. 1) и сингулярного решения для пластической области ма-
териала, построим график зависимости )(zxx для различных интервалов
времени.
В том случае, когда ,],0[ z за фронтом упругой волны переносится
постоянное напряжение .Па1055,3 8* xx Для промежутка времени
],[ 0zz , закон изменения напряжения определяется на основании
параметрических уравнений (50) и (52). Аналогично для интервала времени
],[ 100 zzzz используем те же самые уравнения, только вы-
полняя замену в (52) .30 Дальнейшее изменение времени z приводит
к циклической повторяемости этих решений. Используя эти зависимости, по-
лучим график изменения zxx в возмущенной области стержня, показан-
ный на рис. 5.
Рис. 5 – Графическое представление сингулярного решения уравнения
состояния стержня в возмущенной области
Полученный результат отображает странное поведение материала. Вся
возмущенная область полубесконечного стержня пребывает в состоянии
0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014
2,5 108
3,0 108
3,5 108
Па,xx
0z
1z
1z
c,z
Ч
Ч
Ч
98
“трепетания”. Автор и сам сомневается, что сингулярное решение уравнения
состояния может отображать реальное поведение упруго-вязкопластической
среды. Однако в некоторых экспериментах на растяжение – сжатие обнару-
живается повторяющийся ступенчатый характер диаграммы деформирова-
ния (эффект Портевена – Ле-Шателье). Кроме того, при динамических испы-
таниях конструкционных материалов [12] наблюдается пилообразная дефор-
мация как следствие динамической неустойчивости пластической волны.
Выводы. Проведенное исследование распространения упруго-
вязкопластических волн в материале с запаздыванием текучести не подтвер-
ждает устоявшееся утверждение о мгновенной упругой разгрузке на фронте
волны запаздывания текучести. Решение задачи выполнено в постановке, ко-
гда удар по торцу ненагруженного полубесконечного стержня сообщает кон-
цевому сечению постоянную скорость. Установлено, что характеристическая
линия, отделяющая пластическую область от упругой, есть фронт волны сла-
бого разрыва. Полученный результат указывает на возможность значительно-
го упрощения построения общей картины волновых процессов в материалах
с запаздыванием текучести. Показана возможность возникновения сингуляр-
ного решения определяющего уравнения с особенностями в виде точек раз-
рыва 1-го рода. Такое решение отображает странное поведение среды, когда
материал стержня в пластической области находится в состоянии “трепета-
ния”. Этот результат, хотя и спорный, совпадает с точкой зрения, что пласти-
ческую деформацию необходимо рассматривать как волновой процесс [13].
P.S. Работа посвящена светлой памяти выдающегося ученого в области
механики деформируемого твердого тела и математической теории пластич-
ности Константина Николаевича Русинко, моего Учителя, большого Ученого
и Мыслителя посвятившего жизнь большой Науке.
1. Андрусик Я. Ф. Ще раз про зуб плинності та формулювання динамічної умови пластичності. Вісник
Нац. ун.-ту “Львівська політехніка”. Серія “Фізико-математичні науки”. 2014. № 804. С. 120 – 126.
2. Работнов Ю. Н. Модель упруго – пластической среды с запаздыванием теку чести. ПМТФ. 1968. № 3.
С. 45 – 54.
3. Суворова Ю. В. Запаздывание текучести в сталях (обзор экспериментальных работ). ПМТФ. 1968. № 3.
С. 55 – 62.
4. Русинко К. Н. Теория пластичности и неустановившейся ползучести. Львов: Вища школа. Изд – во при
Львов. ун – те, 1981. 148 с.
5. Русинко К. Н. Особенности неупругой деформации твердых тел. Львов: Вища школа. Изд – во при
Львов. ун – те, 1986. 152 с.
6. Andrusyk Y. Propagation of Elastic – Tough – Plastic wave in a Rod of idealy Plastic Material which Possesses
the Property of Yield Delay. Ukrainian Journal of Mechanical Engineering and Materials Science. 2015. V. 1,
N. 2. P. 51 – 56.
7. Сагомонян А. Я. Волны напряжения в сплошных средах. М.: Изд – во Моск. ун – та, 1985. 415 с.
8. Клюшников В. Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд – во Моск. ун – та, 1979. 208 с.
9. Новацкий В. Н. Волновые задачи теории пластичности. М.: Мир, 1978. 307 с.
10. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.
11.Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971.
12. Брагов А. М., Ломунов А. К. Использование метода Кольского для динамических испытаний конструк-
ционных материалов. Прикладные проблемы прочности и пластичности: Всесоюзн. меж. вуз. сб. – Ни-
жегородский ун – т. 1995. № 53. С. 127 – 137.
13. Панин В. Е., Зуев Л. Б., Данилов В. И., Мних Н. М. Пластическая деформация как волновой процесс.
Докл. АН СССР. –1989. – Т. 308, № 6.
Получено 11.05.2017,
в окончательном варианте 12.06.2017
|