Оценивание адекватности условий отработки изделий ракетной техники как сложных систем с применением теории статистического подобия
Целью данной работы является разработка методического подхода для установления степени адекватности условий отработки ракет космического назначения (РКН) и сложных систем типа РКН. Этот подход включает: теорию статистического подобия систем РКН на сравниваемых этапах, метод главных компонент, нормал...
Saved in:
| Published in: | Техническая механика |
|---|---|
| Date: | 2017 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
2017
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141270 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Оценивание адекватности условий отработки изделий ракетной техники как сложных систем с применением теории статистического подобия / Л.В. Кривобоков, Д.В. Дунаев, А.В. Демченко // Техническая механика. — 2017. — № 3. — С. 64-71. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-141270 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Кривобоков, Л.В. Дунаев, Д.В. Демченко, А.В. 2018-08-29T16:29:40Z 2018-08-29T16:29:40Z 2017 Оценивание адекватности условий отработки изделий ракетной техники как сложных систем с применением теории статистического подобия / Л.В. Кривобоков, Д.В. Дунаев, А.В. Демченко // Техническая механика. — 2017. — № 3. — С. 64-71. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1561-9184 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141270 629.76/.78:519.25 Целью данной работы является разработка методического подхода для установления степени адекватности условий отработки ракет космического назначения (РКН) и сложных систем типа РКН. Этот подход включает: теорию статистического подобия систем РКН на сравниваемых этапах, метод главных компонент, нормальный закон распределения случайных значений параметров системы, полученных по результатам испытаний, а также геометрическую интерпретацию частной корреляции и регрессии, эллипсоиды рассеяния. На основании предложенного методического подхода определен критерий в виде соотношения между эллипсоидами рассеяния, характеризующими испытания (наземные и натурные), с учетом их взаимного расположения на сравниваемых этапах. В результате применения данного подхода получено выражение для точечного значения статистического критерия подобия, которое уменьшает объемы испытаний сложных систем типа РКН, уточняет показатели надежности и позволяет оптимизировать стоимость создания РКН. Метою даної роботи є розробка методичного підходу для встановлення ступеня адекватності умов відпрацювання систем РКП і складних систем типу РКП. Цей підхід включає: теорію статистичної подібності систем РКП на порівнюваних етапах, метод головних компонент, нормальний закон розподілу випадкових значень параметрів системи, отриманих за результатами випробувань, а також геометричну інтерпретацію частинної кореляції і регресії, еліпсоїди розсіювання. На підставі запропонованого методичного підходу визначено критерій у вигляді співвідношення між еліпсоїдами розсіювання, що характеризують випробування (наземні і натурні), з урахуванням їх взаємного розташування на порівнюваних етапах. В результаті застосування цього підходу отримано вираз для точкового значення статистичного критерію подібності, яке зменшує обсяги випробувань складних систем типу РКП, уточнює показники надійності і дозволяє оптимізувати вартість створення РКП. The aim of this paper is to develop a methodological approach to the determination of the above conditions. This approach includes the theory of statistical similarity of SR systems at comparison stages, the principal components method, the normal distribution law for random values of system parameters measured during tests, a geometrical interpretation of partial correlation and regression, and dispersion ellipsoids. Based on the proposed methodological approach, a criterion is determined in the form of a relation between the dispersion ellipsoids that characterize tests (ground ones and full-scale ones) with account for their positional relationship at comparison stages. The proposed approach has made it possible to obtain an expression for the point value of statistical similarity criterion which reduces the extent of testing for SR-type complex systems, refines the reliability indices, and allows one to optimize the SR development cost. ru Інститут технічної механіки НАН України і НКА України Техническая механика Оценивание адекватности условий отработки изделий ракетной техники как сложных систем с применением теории статистического подобия Оцінювання адекватності умов відпрацьовування виробів ракетної техніки як складних систем із застосуванням теорії статистичної подібності Estimation of the adequacy of conditions for the development of rocketry hardware as complex systems using the theory of statistical similarity Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Оценивание адекватности условий отработки изделий ракетной техники как сложных систем с применением теории статистического подобия |
| spellingShingle |
Оценивание адекватности условий отработки изделий ракетной техники как сложных систем с применением теории статистического подобия Кривобоков, Л.В. Дунаев, Д.В. Демченко, А.В. |
| title_short |
Оценивание адекватности условий отработки изделий ракетной техники как сложных систем с применением теории статистического подобия |
| title_full |
Оценивание адекватности условий отработки изделий ракетной техники как сложных систем с применением теории статистического подобия |
| title_fullStr |
Оценивание адекватности условий отработки изделий ракетной техники как сложных систем с применением теории статистического подобия |
| title_full_unstemmed |
Оценивание адекватности условий отработки изделий ракетной техники как сложных систем с применением теории статистического подобия |
| title_sort |
оценивание адекватности условий отработки изделий ракетной техники как сложных систем с применением теории статистического подобия |
| author |
Кривобоков, Л.В. Дунаев, Д.В. Демченко, А.В. |
| author_facet |
Кривобоков, Л.В. Дунаев, Д.В. Демченко, А.В. |
| publishDate |
2017 |
| language |
Russian |
| container_title |
Техническая механика |
| publisher |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України |
| format |
Article |
| title_alt |
Оцінювання адекватності умов відпрацьовування виробів ракетної техніки як складних систем із застосуванням теорії статистичної подібності Estimation of the adequacy of conditions for the development of rocketry hardware as complex systems using the theory of statistical similarity |
| description |
Целью данной работы является разработка методического подхода для установления степени адекватности условий отработки ракет космического назначения (РКН) и сложных систем типа РКН. Этот подход включает: теорию статистического подобия систем РКН на сравниваемых этапах, метод главных компонент, нормальный закон распределения случайных значений параметров системы, полученных по результатам испытаний, а также геометрическую интерпретацию частной корреляции и регрессии, эллипсоиды рассеяния. На основании предложенного методического подхода определен критерий в виде соотношения между эллипсоидами рассеяния, характеризующими испытания (наземные и натурные), с учетом их взаимного расположения на сравниваемых этапах. В результате применения данного подхода получено выражение для точечного значения статистического критерия подобия, которое уменьшает объемы испытаний сложных систем типа РКН, уточняет показатели надежности и позволяет оптимизировать стоимость создания РКН.
Метою даної роботи є розробка методичного підходу для встановлення ступеня адекватності умов відпрацювання систем РКП і складних систем типу РКП. Цей підхід включає: теорію статистичної подібності систем РКП на порівнюваних етапах, метод головних компонент, нормальний закон розподілу випадкових значень параметрів системи, отриманих за результатами випробувань, а також геометричну інтерпретацію частинної кореляції і регресії, еліпсоїди розсіювання. На підставі запропонованого методичного підходу визначено критерій у вигляді співвідношення між еліпсоїдами розсіювання, що характеризують випробування (наземні і натурні), з урахуванням їх взаємного розташування на порівнюваних етапах. В результаті застосування цього підходу отримано вираз для точкового значення статистичного критерію подібності, яке зменшує обсяги випробувань складних систем типу РКП, уточнює показники надійності і дозволяє оптимізувати вартість створення РКП.
The aim of this paper is to develop a methodological approach to the determination of the above conditions. This approach includes the theory of statistical similarity of SR systems at comparison stages, the principal components method, the normal distribution law for random values of system parameters measured during tests, a geometrical interpretation of partial correlation and regression, and dispersion ellipsoids. Based on the proposed methodological approach, a criterion is determined in the form of a relation between the dispersion ellipsoids that characterize tests (ground ones and full-scale ones) with account for their positional relationship at comparison stages. The proposed approach has made it possible to obtain an expression for the point value of statistical similarity criterion which reduces the extent of testing for SR-type complex systems, refines the reliability indices, and allows one to optimize the SR development cost.
|
| issn |
1561-9184 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141270 |
| citation_txt |
Оценивание адекватности условий отработки изделий ракетной техники как сложных систем с применением теории статистического подобия / Л.В. Кривобоков, Д.В. Дунаев, А.В. Демченко // Техническая механика. — 2017. — № 3. — С. 64-71. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT krivobokovlv ocenivanieadekvatnostiusloviiotrabotkiizdeliiraketnoitehnikikaksložnyhsistemsprimeneniemteoriistatističeskogopodobiâ AT dunaevdv ocenivanieadekvatnostiusloviiotrabotkiizdeliiraketnoitehnikikaksložnyhsistemsprimeneniemteoriistatističeskogopodobiâ AT demčenkoav ocenivanieadekvatnostiusloviiotrabotkiizdeliiraketnoitehnikikaksložnyhsistemsprimeneniemteoriistatističeskogopodobiâ AT krivobokovlv ocínûvannâadekvatnostíumovvídpracʹovuvannâvirobívraketnoítehníkiâkskladnihsistemízzastosuvannâmteoríístatističnoípodíbností AT dunaevdv ocínûvannâadekvatnostíumovvídpracʹovuvannâvirobívraketnoítehníkiâkskladnihsistemízzastosuvannâmteoríístatističnoípodíbností AT demčenkoav ocínûvannâadekvatnostíumovvídpracʹovuvannâvirobívraketnoítehníkiâkskladnihsistemízzastosuvannâmteoríístatističnoípodíbností AT krivobokovlv estimationoftheadequacyofconditionsforthedevelopmentofrocketryhardwareascomplexsystemsusingthetheoryofstatisticalsimilarity AT dunaevdv estimationoftheadequacyofconditionsforthedevelopmentofrocketryhardwareascomplexsystemsusingthetheoryofstatisticalsimilarity AT demčenkoav estimationoftheadequacyofconditionsforthedevelopmentofrocketryhardwareascomplexsystemsusingthetheoryofstatisticalsimilarity |
| first_indexed |
2025-11-24T16:07:44Z |
| last_indexed |
2025-11-24T16:07:44Z |
| _version_ |
1850850816930349056 |
| fulltext |
64
УДК 629.76/.78:519.25
Л. В. КРИВОБОКОВ, Д. В. ДУНАЕВ, А. В. ДЕМЧЕНКО
ОЦЕНИВАНИЕ АДЕКВАТНОСТИ УСЛОВИЙ ОТРАБОТКИ
ИЗДЕЛИЙ РАКЕТНОЙ ТЕХНИКИ КАК СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
С ПРИМЕНЕНИЕМ ТЕОРИИ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ
Государственное предприятие «Конструкторское бюро «Южное»,
ул. Криворожская 3, 49008, Днепр, Украина, e-mail: dimor9diit@gmail.com
Одним з найважливіших завдань експериментального відпрацювання виробів ракетної техніки є
встановлення ступеня адекватності умов відпрацювання систем ракет космічного призначення (РКП) і
складних систем типу РКП. Метою даної роботи є розробка методичного підходу для встановлення ступе-
ня адекватності умов відпрацювання систем РКП і складних систем типу РКП. Цей підхід включає: теорію
статистичної подібності систем РКП на порівнюваних етапах, метод головних компонент, нормальний
закон розподілу випадкових значень параметрів системи, отриманих за результатами випробувань, а та-
кож геометричну інтерпретацію частинної кореляції і регресії, еліпсоїди розсіювання. На підставі запро-
понованого методичного підходу визначено критерій у вигляді співвідношення між еліпсоїдами розсію-
вання, що характеризують випробування (наземні і натурні), з урахуванням їх взаємного розташування на
порівнюваних етапах. В результаті застосування цього підходу отримано вираз для точкового значення
статистичного критерію подібності, яке зменшує обсяги випробувань складних систем типу РКП, уточнює
показники надійності і дозволяє оптимізувати вартість створення РКП.
Одной из важнейших задач экспериментальной отработки изделий ракетной техники является уста-
новление степени адекватности условий отработки систем ракет космического назначения (РКН) и слож-
ных систем типа РКН. Целью данной работы является разработка методического подхода для установле-
ния степени адекватности условий отработки систем РКН и сложных систем типа РКН. Этот подход
включает: теорию статистического подобия систем РКН на сравниваемых этапах, метод главных компо-
нент, нормальный закон распределения случайных значений параметров системы, полученных по резуль-
татам испытаний, а также геометрическую интерпретацию частной корреляции и регрессии, эллипсоиды
рассеяния. На основании предложенного методического подхода определен критерий в виде соотношения
между эллипсоидами рассеяния, характеризующими испытания (наземные и натурные), с учетом их вза-
имного расположения на сравниваемых этапах. В результате применения данного подхода получено вы-
ражение для точечного значения статистического критерия подобия, которое уменьшает объемы испыта-
ний сложных систем типа РКН, уточняет показатели надежности и позволяет оптимизировать стоимость
создания РКН.
One of the most important problems in the experimental development of rocketry hardware is to determine
the degree of adequacy of conditions for the development of space rocket (SR) systems and SR-type complex
systems. The aim of this paper is to develop a methodological approach to the determination of the above condi-
tions. This approach includes the theory of statistical similarity of SR systems at comparison stages, the principal
components method, the normal distribution law for random values of system parameters measured during tests, a
geometrical interpretation of partial correlation and regression, and dispersion ellipsoids. Based on the proposed
methodological approach, a criterion is determined in the form of a relation between the dispersion ellipsoids that
characterize tests (ground ones and full-scale ones) with account for their positional relationship at comparison
stages. The proposed approach has made it possible to obtain an expression for the point value of statistical simi-
larity criterion which reduces the extent of testing for SR-type complex systems, refines the reliability indices, and
allows one to optimize the SR development cost.
Ключевые слова: cтатистический критерий, эллипсоид рассеяния, ме-
тод главных компонент, ракета космического назначения.
Введение. В процессе создания современных технических систем важ-
ное место занимают испытания, в частности отработочные, целью которых
является определение технических характеристик и показателей надежности
при имитации условий эксплуатации и внешних воздействий по заданной
программе. В практике отработки сложных систем (самолетных, ракетных,
корабельных комплексов, энергетических и транспортных систем) широко
используются методы теории подобия физических процессов, происходящих
в модели и натурных условиях, что позволяет оптимизировать общие затраты
на отработку и время испытаний. Одним из решений поставленной проблемы
Л. В. Кривобоков, Д. В. Дунаев, А. В. Демченко, 2017
Техн. механіка. – 2017. – № 3.
mailto:dimor9diit@gmail.com
65
является применение методов теории статистического подобия [1] для обос-
нования критерия адекватности условий отработки сложных систем типа ра-
кет космического назначения (РКН) и их систем, а также количественных
зависимостей, позволяющих проводить оценку статистического подобия
сравниваемых условий отработки.
Метод решения задачи. Под условиями отработки сложных систем типа
РКН и ее составных частей понимаем совокупность внешних условий и внут-
ренних параметров работоспособности и связей между ними. Подобие усло-
вий отработки есть количественная мера соотношения между условиями на
сравниваемых этапах отработки.
По классической теории необходимым условием подобия сравниваемых
явлений (объекта и модели, изделий, процессов и т. п.) является идентич-
ность критериев подобия в сходные моменты и в сходственных точках про-
странства [1, 2]
idem
x
x
ka
k
a
1
1
1
1
1 , idem
x
x
ka
k
a
2
2
2
2
2 ,…, idem
x
x
mk
m
a
mk
a
k
k
, (1)
где kxxx ,...,, 21 – детерминированные характеристики системы на первом,
втором, k-ом этапе отработки; kaaa ,...,, 21 – показатели размерностей основных
величин системы на первом, втором, k-ом этапе отработки; mk – общее коли-
чество параметров подобия на сравниваемом этапе отработки; mkk xx ,...,1 –
детерминированные характеристики системы на сравниваемом этапе отра-
ботки; mkk aa ,...,1 – показатели размерностей основных величин на сравни-
ваемом этапе отработки.
При полном выполнении условий (1) в классической постановке явления
подобны, а при невыполнении хотя бы одного из условий ( idemj ) – не по-
добны. В такой постановке установить количественную меру адекватности
условий отработки системы практически невозможно по следующим причи-
нам:
– набор параметров, характеризующих условия отработки, должен быть
полным, неточность в определении такого набора приводит к значительным
ошибкам при расчетах;
– результаты испытаний являются случайными величинами, поэтому веро-
ятность получения зависимости (1) равна 0;
– классические методы не решают задачу установления количественной ме-
ры подобия.
Анализ практики отработки систем показывает, что за счет ужесточения
условий проведения испытаний (расширение интервалов варьирования
внешних и внутренних факторов, проведение испытаний при наиболее не-
благоприятных сочетаниях допусков, проведение ускоренных испытаний и
т. д.) можно достигнуть статистического подобия. Введем понятие «сходные
параметры» – однотипные параметры, определяемые на сравниваемых этапах
(например, температура в камере сгорания прототипа и сравниваемого ракет-
ного двигателя, давление в баллоне системы подачи топлива прототипа и
сравниваемого двигателя и т. д.).
66
С учетом рекомендаций [1] определим условия статистического подобия
систем РКН на сравниваемых этапах:
– законы распределения сходных параметров на сравниваемых этапах
неизменны и соответствуют нормальному;
– сходные параметры измеряются однотипными датчиками с одной и той
же точностью;
– подобие условий полностью определяется сходными параметрами, ха-
рактеризующими работоспособность системы.
При этом под работоспособностью понимается конкретное значение па-
раметра, характеризующего функционирование системы в определенных
внешних и внутренних условиях, заданных в нормативно-технической доку-
ментации и(или) конструкторской документации (например, техническое за-
дание на проведение испытания, техническое задание на систему и т. д.).
В этом случае можно с большей долей достоверности считать, что почти
все отличия условий отработки на сравниваемых этапах описываются диапазо-
нами испытаний сходных параметров работоспособности и их статистической
зависимостью в виде корреляционной матрицы.
Известно, что наиболее общей статистической характеристикой, позво-
ляющей интерпретировать количественно результаты испытаний с учетом
разброса и корреляций, является n-мерный эллипсоид рассеяния [3]. Объем
такого эллипсоида размерности n равен [3]
15,0
2
2/2/
nГ
Bn
V
nn
, (2)
где detB – детерминант матрицы коэффициентов ковариации ih
( nhi ,,2,1, – число параметров, которые сравниваются); Г – гамма-
функция.
Целесообразно в качестве количественного критерия адекватности (по-
добия) условий отработки систем РКН принять соотношение между объема-
ми эллипсоидов рассеивания на сравниваемых этапах отработки 1V и 2V со-
ответственно
2
1
V
V
T , (3)
откуда с учетом (2) имеем
15,0
det2
15,0
det2
2
2
2/
2
1
1
2/
1
2/2
2
2/1
1
nГ
Bn
nГ
Bn
T
n
n
n
n
. (4)
Для систем, которые отрабатываются на двух сравниваемых этапах ис-
пытаний, при оценке используются один и тот же набор параметров, т. е.
21 nn , и окончательно выражение (4) примет вид
67
2
1
det
det
B
B
T . (5)
Согласно известной теории, зависимости для описания частной регрес-
сии и корреляции формально можно интерпретировать в тригонометриче-
ских терминах в виде соотношений между длинами векторов и углов между
ними [4]. Следовательно, предложенный критерий (5) может быть представ-
лен как соотношение n-мерных эллипсоидов рассеяния, причем необходи-
мым условием статистического подобия является количественное соотноше-
ние между объемами эллипсоидов, а достаточным – подобное расположение
в пространстве эллипсоидов рассеяния при проектировании их на плоскость
[4]. Предположим, что есть n результатов выборки np случайных величин
pxxx 11211 ,...,, ; pxxx 22221 ,...,, ; … npnn xxx ,...,, 21 .
Рассмотрим n-мерное выборочное пространство. Случайным значениям
nkkk xxx ,...,, 21 k -ой случайной величины в этом пространстве будет соответ-
ствовать одна точка, следовательно, имеется p точек pQQQ ,...,, 21 , далее
предположим, что все переменные отсчитываются от своих средних, а точка
P является началом координат, что представлено на рис. 1. В этом случае
квадрат длины вектора lPQ представляет собой дисперсию 2
ln . Обобщая
«p» точек iQ и начало координат (точка P на рис. 1), определяют подпро-
странство дисперсий размерности p в n-мерном пространстве. Согласно три-
гонометрической интерпретации, косинус угла θ между lPQ и mPQ будет
коэффициентом корреляции θlm cos , т. е. все зависимости, связывающие
p точек в n-мерном пространстве, могут быть выражены длинами векторов
iPQ и углов между ними.
Рассмотрим векторы дисперсий plll QQQ ,...,, 21 . Косинус угла между lQ1 и
lQ2 обозначим θcos (соответствует частному коэффициенту корреляции lp.12
между 1x и 2x при фиксированных pxx ,...,3 ) тогда каждый из pll QQ ,...,2 орто-
гонален к подпространству, натянутому на 131 ... pQQP . Если опустить перпенди-
куляр из lQ1 на plQ , то точка М будет основанием перпендикуляра. Пусть также
MQ l2 перпендикулярна plQP1 , тогда lMQ1 и lMQ2 ортогональны к простран-
ству, натянутому на pQQP ...31 , и косинус угла между ними, обозначенный как
на рис. 1, равен коэффициенту корреляции lp.12 , тогда
l
ll
MQ
QQ
1
21sin ,
l
ll
PQ
QQ
θ
1
21sin .
Из сравнения значений sin и
sin видно, что числители в этих
выражениях равны между собой, а
знаменатели составляют неравен-
ство ll PQMQ 11 , т. е.
Рис. 1 – Геометрическая интерпретация
частной корреляции
68
llp .12.12 . (6)
Из соотношения (6) следуют важные для дальнейших рассуждений вы-
воды:
1) в случае сравнения этапов натурных (летных) и наземных испытаний
в соответствии с (5) определитель матрицы условных коэффициентов корре-
ляции наземных испытаний будет больше определителя матрицы безуслов-
ных коэффициентов корреляции натурных испытаний и, соответственно,
объем эллипсоида наземных испытаний больше объема эллипсоида натурных
(летных) испытаний (т. е. 1T );
2) предложенный критерий (3) однозначно характеризуется соотноше-
ниями дисперсионных матриц, полученных по результатам наземных и лет-
ных испытаний;
3) ввиду неидентичности расположения условной и безусловной дис-
персионных матриц, необходимо учитывать взаимное расположение эллип-
соидов в n-мерном пространстве измеряемых параметров.
В соответствии с [5] детерминанты ковариационной матрицы в выраже-
нии (5) равны детерминантам ковариационной матрицы главных компонент.
Применим метод главных компонент [5, 6] для определения зависимости
величины статистического подобия условий отработки (5).
Согласно первому выводу из соотношения (6) и переходя к вероятност-
ной форме критерия, получим соотношение
21 detdet1 VVВерTP , (7)
где 1V и 2V – объем эллипсоида рассеяния для наземных и натурных испыта-
ний соответственно.
Из [5] известно, что
p
i
iλAQ
1
11 detdet , (8)
где Q1 и A1 – ковариационная матрица исходных данных и главных компо-
нент соответственно; iλ – собственные числа матрицы 1A (являются диспер-
сиями главных компонент).
Выражение (7) можно записать следующим образом
,...,,,...,,,detdet 212111 ppВерAAВер (9)
где
1A и
1A – ковариационные матрицы для эллипсоидов объема 1V и 2V
соответственно; i и i – собственные числа матриц
1A и
1A соответствен-
но; p – общее количество главных компонент.
Учитывая, что главные компоненты являются случайными независимы-
ми величинами, выражение (9) преобразуется к виду
pp λλВерλλВерλλВерTВер ...1 2211 .
Практические расчеты по методу главных компонент показывают, что
первая главная компонента maxλλ , как правило, описывает 80…95 % об-
щего разброса. Переходя к приближенному равенству, получим
69
maxmax1 λλВерTP . (10)
Для корректности выражения (10) необходимо учесть взаимное распо-
ложение эллипсоидов друг относительно друга, что можно сделать с помо-
щью учета угла θ
.cos1 maxmax ВерTP (11)
Для вычисления значения угла θ воспользуемся геометрической интер-
претацией частной корреляции и регрессии [4]. Если имеется р-мерное про-
странство исходных данных, то мерой зависимости величины х от остальных
параметров является множественный коэффициент корреляции [4], что в
геометрической интерпретации (рис. 2) является косинусом угла φ между
вектором A наблюдений х и вектором B , лежащим в 1p -мерном про-
странстве дисперсий остальных 1p переменных и минимизирующим угол
с A [4], тогда BAφ cos . После выбора направления вектора A вдоль
большой оси эллипсоида рассеяния переменных х, вектор B будет направлен
вдоль направления дисперсии остальных 1p величин
1
cos
pxD
xD
φ , (12)
где xD – дисперсия величины х; 1pxD – дисперсия остальных 1p ве-
личин.
С другой стороны, согласно методу
главных компонент, если вектор макси-
мального значения собственного числа
кор
max
λ корреляционной матрицы направ-
лен вдоль большой оси эллипсоида рас-
сеяния, то дисперсия остальных 1p
переменных равна [5]
Рис. 2 – Геометрическая интерпрета-
ция косинусом угла φ
кор
2
кор
1
max
λλxD
p
i
ip
, (13)
где кор
iλ – собственные числа корреляционной матрицы.
Для корреляционной матрицы pλi окончательно выражение
BAφcos примет вид êîðêîð
maxmax
cos λpλ φ , откуда
коркор
maxmax
arccos λpλφ .
Следовательно, минимальный угол θ равен
кор
1max1
кор
1max
max11
кор
max1 arccosarccos
pp
θ
кор
, (14)
70
где кор
max1 , кор
max1 – максимальное собственное число корреляционной матри-
цы для сравниваемых этапов.
В работе [7] доказано, что если исходные параметры подчиняются мно-
гомерному нормальному распределению, то собственные значения выбороч-
ной ковариационной матрицы распределены асимптотически нормально. То-
гда точечное значение (11) примет вид
max1max1
max1max1
cos
cos
1
D
ÔTP
, (15)
где Ф – функция Лапласа; D – дисперсия.
Согласно [6] выборочное значение дисперсии собственных чисел равно
nλλD ii
22 , (16)
где n – объем выборки, по которой определялось значение iλ .
В соответствии с (16)
2
2
max2
1
2
max1
max1max1max1max1
2
cos
2
coscos
nn
DDD
, (17)
где 1n и 2n – объем выборки, по которой определялись значения
max1λ и
max1λ соответственно.
С учетом (17) точечное значение критерия подобия примет вид
2
2
max2
1
2
max1
max1max1
cos2
cos
1
nn
ФTP .
Выводы. Предложен статистический критерий адекватности условий
отработки сложных систем типа ракет космического назначения в виде соот-
ношения между эллипсоидами рассеяния на сравниваемых этапах.
Для количественной оценки критерия предложено использовать метод
главных компонент (первая главная компонента), а также нормальный закон
распределения случайных значений параметров системы, полученных по ре-
зультатам испытаний.
Показана необходимость учета при расчетах не только объемов эллипсои-
дов, но и их взаимного расположения, что реализовано с применением корре-
ляционных матриц, полученных по результатам испытаний.
Получено выражение для точечного значения статистического критерия
подобия, которое позволяет использовать его для уменьшения объемов испы-
таний сложных систем типа ракет космического назначения и уточнения по-
казателей надежности.
1. Северцев Н. А., Шолкин В. Г., Ярыгин Г. А. Статистическая теория подобия: Надежность технических
систем. М.: Наука, 1986. 205 с.
71
2. Веников М. А. Теория подобия и моделирования. М.: Высшая школа, 1976. 479 с.
3. Крамер Г. Математические методы статистики. Пер. с англ. Под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Мир, 1975. 648 с.
4. Кендалл М., Стьюарт А. Том 2: Статистические выводы и связи. Пер. с англ. Под ред. А. Н. Колмого-
рова. М.: Наука, 1973. 900 с.
5. Айвазян С. А., Енюков Е. С., Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первич-
ная обработка данных. М.: Финансы и статистика, 1983. 471 с.
6. Кендалл М., Стьюарт А. Том 3: Многомерный статистический анализ и временные ряды. Пер. с англ.
Под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Наука, 1976. 736 с.
7. Anderson T. W. Asymtotic theory for principal component analysis. Institute of Mathematical Statistics is collaborating
with JSTOR to digitize, preserve and extent access to Annals Mathematical Statistics, 1963. Р.122–148.
Получено 01.06.2017
в окончательном варианте 26.09.2017
|