Неявная схема для численного интегрирования уравнений гиперболического типа на неструктурированных сетках
Разработана неявная безытерационная схема для численного интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа на неструктурированных сетках. Предложено оригинальное расщепление по пространственным переменным и собственным значениям. Приведены решения ряда тестовых за...
Saved in:
| Published in: | Проблемы машиностроения |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141813 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Неявная схема для численного интегрирования уравнений гиперболического типа на неструктурированных сетках / А.В. Русанов, Д.Ю. Косьянов // Проблемы машиностроения. — 2010. — Т. 13, № 3. — С. 30-37. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859731885010190336 |
|---|---|
| author | Русанов, А.В. Косьянов, Д.Ю. |
| author_facet | Русанов, А.В. Косьянов, Д.Ю. |
| citation_txt | Неявная схема для численного интегрирования уравнений гиперболического типа на неструктурированных сетках / А.В. Русанов, Д.Ю. Косьянов // Проблемы машиностроения. — 2010. — Т. 13, № 3. — С. 30-37. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы машиностроения |
| description | Разработана неявная безытерационная схема для численного интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа на неструктурированных сетках. Предложено оригинальное расщепление по пространственным переменным и собственным значениям. Приведены решения ряда тестовых задач.
Розроблено неявну безітераційну схему для чисельного інтегрування диференціальних рівнянь у частинних похідних гіперболічного типу на неструктурованих сітках. Запропоновано оригінальне розщеплення просторовими невідомими та власними числами. Наведено розв’язки низки тестових задач.
An implicit non-iterative method for numerical integration of the hyperbolic partial derivative equations on unstructured grids is presented. The original splitting by the spatial variables and eigenvalues is suggested. Several test problems have been solved.
|
| first_indexed | 2025-12-01T13:27:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
АЭРО- И ГИДРОМЕХАНИКА В ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ МАШИНАХ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 3 30
4. Венедиктов В. Д. Атлас экспериментальных характеристик плоских решеток охлаждаемых газо-
вых турбин / В. Д. Венедиктов, А. В. Грановский, А. М. Карелин, А. Н. Колесов, М. Х. Мухтаров
М.: Центр. ин-т аэрогидромеханики, 1990. – 393 с.
5. Локай В. И. Газовые турбины двигателей летательных аппаратов / В. И. Локай, В. А. Максутова,
В. А. Стрункин– М.: Машиностроение, 1979. – 447 с.
6. Аронов Б. М. Профилирование лопаток авиационных газовых турбин / Б. М. Аронов, М. И. Жуков-
ский, В. А. Журавлев. – М.: Машиностроение, 1978. – 168 с.
7. Ершов С. В. Численный метод расчета течений невязкого и вязкого газа в решетках профилей /
Ин-т пробл. машиностроения АН Украины. Харьков, 1992. – 83 с. – Деп. в ВИНИТИ 29.12.92,
№ 3696-B92.
8. Menter F. R. Two-equation eddy viscosity turbulence models for engineering applications // AIAA J. –
1994. – 32, № 11. – P. 1299–1310.
Поступила в редакцию
01.09.09
УДК 519.63
А. В. Русанов, д-р. техн. наук
Д. Ю. Косьянов
Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины
(г. Харьков, E-mail: rusanov@ipmach.kharkov.ua)
НЕЯВНАЯ СХЕМА ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА НА
НЕСТРУКТУРИРОВАННЫХ СЕТКАХ
Разработана неявная безытерационная схема для численного интегрирования диффе-
ренциальных уравнений в частных производных гиперболического типа на неструкту-
рированных сетках. Предложено оригинальное расщепление по пространственным пе-
ременным и собственным значениям. Приведены решения ряда тестовых задач.
Розроблено неявну безітераційну схему для чисельного інтегрування диференціальних рі-
внянь у частинних похідних гіперболічного типу на неструктурованих сітках. Запропо-
новано оригінальне розщеплення просторовими невідомими та власними числами. Наве-
дено розв’язки низки тестових задач.
1. Введение
При моделировании различных физических процессов с помощью численного ин-
тегрирования дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) гиперболиче-
ского типа всё чаще применяются неструктурированные сетки [1−3]. Ускорение сходимости
и повышение устойчивости [1, 4] может быть обеспечено с помощью неявных схем, однако
их применение требует решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с
большой несимметрической матрицей на каждом временном слое.
Среди существующих подходов обращения СЛАУ неявных операторов можно выде-
лить прямые методы, стандартные итерационные, LU факторизации и методы подпро-
странств Крылова (GMRES, BiCGSTAB, GMRES+LU-SGS) в сочетании с процедурой пре-
добуславливания [5 − 8], а также методы выделения линий [9]. Большинство современных
подходов опираются на итерационное обращение неявного оператора. В этом случае возни-
кает ряд сложностей (учёт обусловленности матрицы и др.), в связи с чем актуальным ста-
новится развитие методов расщепления, широко применяемых для структурированных се-
ток [10].
В статье представлена безытерационная неявная схема численного интегрирования
дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа на неструк-
АЭРО- И ГИДРОМЕХАНИКА В ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ МАШИНАХ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 3 31
турированных сетках. Для построения неявного оператора предложено оригинальное рас-
щепление по пространственным координатам и собственным значениям. В качестве явного
оператора применены метод Годунова первого порядка точности [11] и метод MUSCL [12],
имеющий второй порядок точности на гладких монотонных решениях и переходящий на
первый в областях локальных экстремумов. Приведены решения ряда тестовых задач.
2. Основные уравнения
Система ДУЧП, записанная в дивергентной форме, имеет вид
0=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
G
y
F
x
E
t
Q , ( )1
где Q − вектор консервативных переменных; E, F, G − потоки; x, y, z − декартовы координа-
ты в пространстве; t − координата по времени.
Система уравнений в недивергентной форме записывается следующим образом:
,,,
,ˆ,ˆ,ˆ,
,0ˆˆˆ
111
QGCQFBQEA
TCTCTBTBTATATdQdq
z
qC
y
qB
x
qA
t
q
∂∂=∂∂=∂∂=
====
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−−−
где q − вектор примитивных переменных; T − матрица перехода от примитивных к консер-
вативным переменным.
3. Пространственно-временная дискретизация основных уравнений. Численная схема
В наиболее общем случае физическая область отображается на расчётную с помо-
щью неструктурированной сетки, ячейками (элементами) которой в плоском случае являют-
ся выпуклые многоугольники (треугольники, четырёхугольники и т. д.), а в пространствен-
ном случае − выпуклые многогранники (пирамиды, параллепипеды и т.д.). Система уравне-
ний (1) решается маршевыми методами по времени, для чего на временной оси задаётся
равномерная сетка узлов вида tn = τ⋅n, τ > 0, n ∈ N ∪ {0} Здесь τ − шаг временной сетки.
Система уравнений (1), проинтегрированная по ячейке (контрольному объёму), име-
ет вид
( ) ,01
0
0 =⋅+⋅+⋅+
∂
∂
∫∫
S
zyx dsnGnFnE
Vt
Q (2)
где ∫∫∫=
V
Qdxdydz
V
Q
0
0
1 − осреднение вектора переменных Q по ячейке V, |V0| − объём ячей-
ки V; S − поверхность, ограничивающая ячейку. Ориентация поверхности S задаётся еди-
ничным вектором внешней нормали t
zyx nnnn ),,(=
r
.
Линеаризация потоков выполнена следующим образом:
( ) [ ] [ ],1,0β,,,ββ1β 1
11 ∈∈δ⋅+=⋅−+⋅= +
++
nn
nnnnn
i tttQMPPPP
где P = [R, F, G], M = [A, B, C], δQn = Qn – Qn–1. Введенные сокращения означают, что линеа-
ризация для потока E получается в случае P = E и M= A, для потока F при P = F и M = B, а
для потока G, если P= G и M = C. Верхним индексом обозначается временной слой.
Аппроксимация производной по времени от вектора консервативных переменных
определяется выражением
( ) .γδδγ1 0
1
00
τ
−+
≈
∂
∂ + nn QQ
t
Q
Используемые выше β, γ являются коэффициентами схемы.
Система уравнений (2) после линеаризации потоков и замены производной по вре-
мени на соответствующее аппроксимирующее выражение имеет вид
АЭРО- И ГИДРОМЕХАНИКА В ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ МАШИНАХ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 3 32
( ) ( )[ ]
( ) [ ],)()()(
γ1
τδ
γ1
γ
,)(δ)(δδ
γ1
τβδ
0
0
10
0
)(
0
)(
0
1
111
0
1
0
∑
∑
=
=
++++
++
+
−
+
=
=++
+
⋅
+
N
k
kz
n
kky
n
kkx
n
k
nn
n
N
k
kz
n
k
n
kky
n
k
n
kkx
n
k
n
k
n
SnGSnFSnE
V
QR
RSnQCSnQBSnQA
V
Q
(3)
где N0 − число граней ячейки; Sk − площадь k-й грани ячейки; n
kE , n
kF , n
kG − значения пото-
ков в центре масс k-й грани; 1δ +n
k
n
k QM − значение линеаризованного потока в центре масс
k-й грани.
Разностная аппроксимация исходных уравнений в форме (3) в общем случае соот-
ветствует неявной трёхслойной схеме. Правая часть )(
0
nR определяет явный оператор, а ле-
вая − неявный. При γ = 0 схема является двухслойной по времени, а при β = 0 − явной схе-
мой. В статье применяется трёхслойная полностью неявная схема с коэффициентами γ = 1/2
и β = 1.
Явный оператор. В работе для определения явного оператора использовались схе-
мы Годунова [11] и MUSCL [12]. Явная схема Годунова имеет первый порядок аппроксима-
ции по пространству (кусочно-постоянное распределение переменных внутри ячейки). При-
меняемая схема MUSCL имеет второй порядок аппроксимации по пространству на гладких
монотонных решениях и первый порядок в местах локальных экстремумов (кусочно-
линейное распределение переменных в ячейке).
Неявный оператор. Значение линеаризованного потока в центре масс грани теку-
щей ячейки вычисляется следующим образом:
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ] [ ] ,,,ψ,,,
,1,,1diag,Λ,,ΛdiagΛ,δ,,δdiagδ
,δδΛδδΛδ
)(
ψ
(1)
ψψΛΛΛ
1
00ψΛψ
1
ψ
1
00ψΛψ
1
ψ
1
)(
ψ
(1)
ψψ
ψψ
zyxCBAM
I
QLLQLILQM
m
n
k
n
k
nnn
k
n
k
m
==
===
+−= +−+−+
KKK
где ψ
1
ψψ Λ,, −LL − матрицы, полученные при диагонализации матрицы M; ψ − декартова ко-
ордината, соответствующая определённому M (ψ = x для M = A, ψ =y для M = B и ψ = z для
M = C); n
kQ0δ − значение приращений вектора консервативных переменных в центре масс
ячейки, смежной к текущему контрольному объёму по k-й грани; m − число уравнений сис-
темы (1); )(
ψΛδ r − переключатель, обеспечивающий выполнение условия “разности против
потока”. Значение )(
ψΛδ r определяется выражением
( )
( )⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=<Λ
≥
=
.,,1,0,1
,0Λ,0
δ
)(
ψψ
)(
ψψ
Λ )(
ψ mrn
n
n
k
r
n
k
r
r
K
Для упрощения дальнейших записей будем использовать
( ))(
ψ
(1)
ψψ
ψ
ΛΛΛ
Λ δ1,,δ1diagδδ mI −−=−= K .
Введём пространственные переключатели для каждого декартова направления ψ
[ ] ,,,ψ,δ1δ
,0ψψ,0
,0ψψ,1
δ
ψ,ψ,
00
00
ψ,
zyxkk
k
k
k
=−=
⎩
⎨
⎧
≤−
>−
=
+−
+
АЭРО- И ГИДРОМЕХАНИКА В ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ МАШИНАХ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 3 33
где ψ0k, ψ0 − значения координат центров масс двух контрольных объёмов, смежных по k-му
ребру рассматриваемого направления. С учётом введенных обозначений значение линеари-
зованного потока определяется выражением
( ) ( )
( ) ( ) .δδδΛδδδΛ
δδδΛδδδΛδ
1
00ψ,ψΛψ
1
ψ
1
00ψ,ψΛψ
1
ψ
1
00ψ,ψ
Λ
ψ
1
ψ
1
00ψ,ψ
Λ
ψ
1
ψ
1
ψψ
ψψ
+−−++−
+−−++−+
++
++=
n
k
n
kk
n
k
n
kk
nn
k
nn
k
n
k
n
k
QLLQLL
QLLQLLQM
Тогда
( ) ( ) ,δδ 1
0,ψ0,ψ0,ψ0,ψ
1
ψ
1
0
+−+−+
=
+ +++=∑ n
N
k
k
n
k
n
k QKKKKSnQM
где
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) .δδδδ
;δδδδ
;δδδΛδ
;δδΛδ
1
00ψΛ,ψ0ψ
1
ψ
1
ψ
1
0,ψ
1
00ψ
1
Λ
,ψψ0
11
0,ψ
1
00ψΛ,ψ0ψ
1
ψ
1
ψ
1
0,ψ
1
00ψ
1
Λ
,ψψ0ψ
1
ψ
1
0,ψ
ψ
0
0
ψ
ψ
0
0
ψ
++
κ
−
=
+−
+
=
−
κψ
−
ψ
+−
+−
κ
−
=
++
+
=
+
κ
−++
Λ=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Λ=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
δ=
∑
∑
∑
∑
nnn
N
k
k
n
nn
N
k
k
nn
nnn
N
k
k
n
nn
N
k
k
nn
kkk
kkk
QLLSnQK
QLSnLQK
QLLSnQK
QLSnLQK
С учётом выполненных преобразований уравнение (3) записывается следующим об-
разом:
( ) ( )
[ ]
)(
0
1
,,ψ
0,ψ0,ψ0,ψ0ψ
0
δ
γ1
βτ nn
zyx
, RQKKKK
V
I =
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+++
+
⋅
+ +
=
−+−+∑ . (4)
После факторизации по пространственным переменным и по направлениям, (4) при-
мет вид
( ) ( )
[ ]
)(
0
,,ψ ,
1
0,ψ0,ψ
0
δ
γ1
βτ n
zyx i
nii RQKK
V
I =
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
⋅
+∏ ∏
= −+=
+ (5)
Последовательность шагов интегрирования уравнения (5) следующая:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) .δδ
γ1
βτ;δδ
γ1
βτ
;δδ
γ1
βτ;δδ
γ1
βτ
;δδ
γ1
βτ;δ
γ1
βτ
6
5
1
0,0,
0
6
4
6
5
0,0,
0
6
3
6
4
0,0,
0
6
2
6
3
0,0,
0
6
1
6
2
0,0,
0
)(
0
6
1
0,0,
0
++−−++++
++−−++++
++−−+++
=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
⋅
+=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
⋅
+
=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
⋅
+=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
⋅
+
=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
⋅
+=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
⋅
+
nn
zz
nn
zz
nn
yy
nn
yy
nn
xx
nn
xx
QQKK
V
IQQKK
V
I
QQKK
V
IQQKK
V
I
QQKK
V
IRQKK
V
I
На каждом шаге обращается двухдиагональная матрица. Операторы −+
0,ψ0,ψ ,, KKI со-
держат элементы главной диагонали, а −+
0,ψ0,ψ , KK − элементы над- (под-) диагонали. Для
реализации процедур прогонки вперёд / назад все ячейки области отсортированы по каждо-
му декартову направлению ψ.
АЭРО- И ГИДРОМЕХАНИКА В ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ МАШИНАХ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 3 34
4. Численные результаты
Тестирование схемы выполнялось на модельной двухмерной (по пространству) зада-
че для линейного уравнения переноса ut + ux + uy = H, (x, y) ∈ Ω, где Ω − расчётная область,
u = u(t, x, y) − искомое решение задачи. Начальные условия определяются выражением
u(0, x, y) = ϕ(x, y), (x, y) ∈ Ω. Расчётная область Ω = {(x, y) : x ∈ [0,1], y ∈ [0,1]} и разностная
сетка представлены на рис. 1. На участках границы AD и AB расчётной области заданы гра-
ничные условия в виде значений точного решения задачи.
Рассмотрены два варианта задачи с H, для которых существует стационарное реше-
ние
− Test1. H(x, y) = 2πcos(π(x + y)), u(t, x, y) = sin(π(x + y));
− Test2. H(x, y) = πsin(π(x + y)), u(t, x, y) = sin(π⋅x)⋅sin(π⋅y).
Расчеты выполнены для пяти размерностей (уровней) сетки. При увеличении номера
уровня сетки число ячеек сетки увеличивается в 4 раза, а диаметр сетки уменьшается в 2
раза. Параметры сеток для первого уровня приведены в табл. 1.
Таблица 1. Параметры сеток первого уровня
Тип сетки Число ячеек Диаметр сетки
Структурированная (SG) 256 0,0625
Неструктурированная (UG) 448 0,1148
Скорость сходимости численного решения к точному при переходе с уровня на уро-
вень (уменьшении диаметра сетки) оценивалась по трём стандартным сеточным нормам L1,
L2 и Cmax
( )
( )2ln
ln 11 ++ = iii
i
NNk ,
где Ni − значение сеточной нормы на i-м уровне сетки.
Расчёты по явной схеме Годунова выполнены с числом Куранта ν = 0,5, а по явной
схеме MUSCL − при ν = 0,25. Для неявной схемы выбрано число Куранта ν = 10,0. Итерации
по времени проводились до получения стационарного решения.
Результаты решения тестовых задач приведены в табл. 2−5 и на рис. 2−3. В таблицах
верхние значения порядка сходимости соответствуют результатам, полученным по явным
схемам, а нижние − по неявным. На рис. 2 и 3 сплошной линией показаны расчёты на струк-
турированной сетке, а пунктирной − на неструктурированной, треугольником – результаты,
полученные по явной и неявной схемам Годунова, крестиком − по явной схеме MUSCL, а
точкой − по неявной схеме MUSCL.
а) б)
Рис. 1. Дискретизация расчётной области:
а) − структурированная сетка; б) − неструктурированная
АЭРО- И ГИДРОМЕХАНИКА В ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ МАШИНАХ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 3 35
Таблица 2. Оценка порядка сходимости для Test 1 (SG)
Явный оператор Годунова Явный оператор MUSCL № слоя
(предыдущий –
следующий) 1LK
2LK
maxCK
1LK
2LK
maxCK
1−2 1,005
1,005
1,008
1,008
1,015
1,015
2,332
2,389
2,204
2,240
0,969
0,953
2−3 1,002
1,002
1,004
1,004
1,009
1,009
2,272
2,320
2,177
2,247
1,033
1,033
3−4 1,002
1,002
1,002
1,002
1,005
1,005
2,136
2,089
2,104
2,126
0,994
0,939
4−5 1,000
1,000
1,000
1,000
1,003
1,003
2,067
2,070
2,056
1,967
0,998
0,998
Таблица 3. Оценка порядка сходимости для Test 1 (UG)
Явный оператор Годунова Явный оператор MUSCL № слоя
(предыдущий –
следующий) 1LK
2LK
maxCK
1LK
2LK
maxCK
1−2 0,994
0,994
0,992
0,992
1,005
1,005
2,161
2,171
1,677
1,769
0,802
1,154
2−3 0,993
0,993
0,990
0,990
0,979
0,979
2,034
2,071
1,603
1,633
1,037
0,779
3−4 0,994
0,994
0,991
0,991
0,979
0,979
2,082
2,015
1,590
1,450
0,995
0,908
4−5 0,995
0,995
0,993
0,993
0,974
0,974
1,987
2,018
1,472
1,523
0,999
0,992
Таблица 4. Оценка порядка сходимости для Test 2 (SG)
Явный оператор Годунова Явный оператор MUSCL № слоя
(предыдущий –
следующий) 1LK
2LK
maxCK
1LK
2LK
maxCK
1−2 0,700
0,700
0,671
0,671
0,572
0,572
2,544
2,544
2,253
2,253
1,873
1,873
2−3 0,806
0,806
0,783
0,783
0,705
0,705
2,403
2,403
2,416
2,416
1,637
1,637
3−4 0,888
0,888
0,869
0,869
0,809
0,809
2,250
2,250
2,298
2,298
1,851
1,851
4−5 0,939
0,939
0,926
0,926
0,881
0,881
2,141
2,141
2,185
2,185
1,934
1,934
Таблица 5. Оценка порядка сходимости для Test 2 (UG)
Явный оператор Годунова Явный оператор MUSCL № слоя
(предыдущий –
следующий) 1LK
2LK
maxCK
1LK
2LK
maxCK
1−2 0,849
0,849
0,831
0,831
0,735
0,735
2,214
2,242
1,935
2,027
1,017
1,064
2−3 0,906
0,906
0,892
0,892
0,832
0,832
2,098
2,090
1,796
1,737
1,172
0,894
3−4 0,945
0,945
0,937
0,937
0,894
0,894
2,005
2,015
1,560
1,581
0,955
0,955
4−5 0,970
0,970
0,964
0,964
0,923
0,923
1,980
1,987
1,524
1,551
0,945
0,945
АЭРО- И ГИДРОМЕХАНИКА В ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ МАШИНАХ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 3 36
а) б) в)
Рис. 2. Графики сходимости для Test 1:
а) − в норме L1; б) − в норме L2; в) − в норме Cmax
–––▲––– – явная и неявная схемы Годунова (SG);
–––×––– – явная схема MUSCL (SG); –––•––– – неявная схема MUSCL (SG);
- - -▲ - - - – явная и неявная схемы Годунова (UG);
- - - × - - - – явная схема MUSCL (UG); - - - • - - - – неявная схема MUSCL (UG)
а) б) в)
Рис. 3. Графики сходимости для Test 2:
а) − в норме L1; б) − в норме L2; в) − в норме Cmax
–––▲––– – явная и неявная схемы Годунова (SG);
–––×––– – явная схема MUSCL (SG); –––•––– – неявная схема MUSCL (SG);
- - -▲ - - - – явная и неявная схемы Годунова (UG);
- - - × - - - – явная схема MUSCL (UG); - - - • - - - – неявная схема MUSCL (UG)
АЭРО- И ГИДРОМЕХАНИКА В ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ МАШИНАХ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 3 37
Из полученных результатов видно, что применение предложенного неявного опера-
тора не ухудшает точности явного оператора на стационарном решении. Понижение чис-
ленного порядка для MUSCL схем, по-видимому, объясняется наличием зон локальных экс-
тремумов точного решения.
5. Выводы
Предложен безытерационный неявный оператор для численного интегрирования
дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа на неструк-
турированных сетках, построенный на основе оригинального способа расщепления по про-
странственным координатам и собственным значениям. Основным преимуществом такого
оператора по сравнению с существующими безытерационными неявными схемами расщеп-
ления является то, что он применим к сеткам, для которых невозможно выполнить структу-
ризацию по локальным сеточным направлениям. Кроме того, предложенный оператор запи-
сывается не в конечно-разностной, а в конечно-объёмной форме, что обеспечивает его кон-
сервативность.
Выполнены тестовые расчёты двухмерных модельных задач по схемам с явными
операторами Годунова первого порядка аппроксимации и MUSCL второго порядка на глад-
ких монотонных решениях. Полученные результаты показывают, что предложенный неяв-
ный оператор увеличивает скорость сходимости и устойчивость схемы, а также обеспечива-
ет порядок точности стационарного решения, близкий к порядку точности явного оператора.
Литература
1. Venkatakrishnan V. A perspective on unstructured grid flow solvers // AIAA. Aerospace Sci. Meeting. –
1996. − 34, № 33. − P. 533−547.
2. Елизарова Т. Г. Аппроксимация уравнений квазигазодинамики на треугольных сетках / Т. Г. Ели-
зарова, В. В. Серёгин // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. − 2005. − № 4. − С. 15−18.
3. Фирсов Д. К. Метод контрольного объёма на неструктурированной сетке в вычислительной меха-
нике: [Учеб. пособие]. − Томск. ун-т. − 2007. − 72 с.
4. Venkatakrishnan V. Implicit schemes and parallel computing in unstructured grid CFD. − ICASE Report
− 1995. −№ 28. − P. 1−63.
5. Sharov D. Implementation of unstructured grid GMRES+LU-SGS method on shared-memory, cache-
based parallel computers / D. Sharov, H. Luo, J. D. Baum, R. Löhner // AIAA Paper. −2000. − № 0927. –
P. 1−17.
6. Kim J. S. Implicit efficient implementation of implicit operator for block LU-SGS method / J. S. Kim,
O. J. Kwon // Comp. Fluid Dynamics J. − 2005. − № 20. − P. 154−159.
7. Bramkamp F. D. Matrix-free second-order methods in implicit time integration for compressible flows
using automatic differentiation / F. D. Bramkamp, B. Pollul, A. Rasch, G. Schieffer // Preprint of the In-
stitute for Scientific Computing RWTH-CS-SC-08-08, RWTH Aachen University, Aachen, 2008. − 24 p.
8. Fernandez G. Implicit conservative upwind scheme for strongly transient flows // INRIA, France, 2004. −
P. 1−18.
9. Hassan O. An implicit finite element method for high speed flows / O. Hassan, K. Morgan, J. Peraire //
AIAA Paper. − 1990. − № 0402. − P. 1−11.
10. Русанов А. В. Математическое моделирование нестационарных газодинамических процессов в
проточных частях турбомашин / А. В. Русанов, С. В. Ершов. − Харьков: Ин-т пробл. машиностро-
ен. НАН Украины, 2008. − 275 с.
11. Годунов С. К. Численное решение многомерных задач газовой динамики / С. К. Годунов, А. В. За-
бродин, М. Я. Иванов, А. Н. Крайко, Г. П. Прокопов. − М.: Наука, 1976. − 400 с.
12. Barth T. J. The design and application of upwind scheme on unstructured meshes // T. J. Barth, D. C. Jes-
persen // AIAA Paper. − 1989. − № 0366. − P. 1−13.
Поступила в редакцию
10.03.10
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-141813 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0131-2928 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T13:27:52Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Русанов, А.В. Косьянов, Д.Ю. 2018-09-13T18:38:21Z 2018-09-13T18:38:21Z 2010 Неявная схема для численного интегрирования уравнений гиперболического типа на неструктурированных сетках / А.В. Русанов, Д.Ю. Косьянов // Проблемы машиностроения. — 2010. — Т. 13, № 3. — С. 30-37. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141813 519.63 Разработана неявная безытерационная схема для численного интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа на неструктурированных сетках. Предложено оригинальное расщепление по пространственным переменным и собственным значениям. Приведены решения ряда тестовых задач. Розроблено неявну безітераційну схему для чисельного інтегрування диференціальних рівнянь у частинних похідних гіперболічного типу на неструктурованих сітках. Запропоновано оригінальне розщеплення просторовими невідомими та власними числами. Наведено розв’язки низки тестових задач. An implicit non-iterative method for numerical integration of the hyperbolic partial derivative equations on unstructured grids is presented. The original splitting by the spatial variables and eigenvalues is suggested. Several test problems have been solved. ru Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України Проблемы машиностроения Аэро- и гидромеханика в энергетических машинах Неявная схема для численного интегрирования уравнений гиперболического типа на неструктурированных сетках An implicit method for numerical integration of the hyperbolic equation on unstructured grids Article published earlier |
| spellingShingle | Неявная схема для численного интегрирования уравнений гиперболического типа на неструктурированных сетках Русанов, А.В. Косьянов, Д.Ю. Аэро- и гидромеханика в энергетических машинах |
| title | Неявная схема для численного интегрирования уравнений гиперболического типа на неструктурированных сетках |
| title_alt | An implicit method for numerical integration of the hyperbolic equation on unstructured grids |
| title_full | Неявная схема для численного интегрирования уравнений гиперболического типа на неструктурированных сетках |
| title_fullStr | Неявная схема для численного интегрирования уравнений гиперболического типа на неструктурированных сетках |
| title_full_unstemmed | Неявная схема для численного интегрирования уравнений гиперболического типа на неструктурированных сетках |
| title_short | Неявная схема для численного интегрирования уравнений гиперболического типа на неструктурированных сетках |
| title_sort | неявная схема для численного интегрирования уравнений гиперболического типа на неструктурированных сетках |
| topic | Аэро- и гидромеханика в энергетических машинах |
| topic_facet | Аэро- и гидромеханика в энергетических машинах |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141813 |
| work_keys_str_mv | AT rusanovav neâvnaâshemadlâčislennogointegrirovaniâuravneniigiperboličeskogotipananestrukturirovannyhsetkah AT kosʹânovdû neâvnaâshemadlâčislennogointegrirovaniâuravneniigiperboličeskogotipananestrukturirovannyhsetkah AT rusanovav animplicitmethodfornumericalintegrationofthehyperbolicequationonunstructuredgrids AT kosʹânovdû animplicitmethodfornumericalintegrationofthehyperbolicequationonunstructuredgrids |