Нестационарные колебания асимметричного дискового биморфа в режиме прямого пьезоэлектрического эффекта
Рассмотрена задача о нестационарных колебаниях тонкого дискового преобразователя типа металл-пьезокерамика при импульсном механическом нагружении. С применением интегрального преобразования Лапласа по времени задача сведена к системе интегральных уравнений Вольтерра, при численном решении которой ис...
Saved in:
| Date: | 2010 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
2010
|
| Series: | Проблемы машиностроения |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141855 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Нестационарные колебания асимметричного дискового биморфа в режиме прямого пьезоэлектрического эффекта / И.В. Янчевский // Проблемы машиностроения. — 2010. — Т. 13, № 6. — С. 42-49. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-141855 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1418552025-02-09T21:40:04Z Нестационарные колебания асимметричного дискового биморфа в режиме прямого пьезоэлектрического эффекта Non-stationary oscillations of asymmetric disk bimorph in the direct piezoelectric mode Янчевский, И.В. Динамика и прочность машин Рассмотрена задача о нестационарных колебаниях тонкого дискового преобразователя типа металл-пьезокерамика при импульсном механическом нагружении. С применением интегрального преобразования Лапласа по времени задача сведена к системе интегральных уравнений Вольтерра, при численном решении которой используется регуляризирующий алгоритм. Выполнена оценка достоверности полученных результатов путем сравнения численно-аналитических и конечноэлементных решений. Розглянута задача про нестаціонарні коливання тонкого дискового перетворювача типу метал-п’єзокераміка при імпульсному механічному навантаженні. Із застосуванням інтегрального перетворення Лапласа за часом задача зведена до системи інтегральних рівнянь Вольтерра, для чисельного розв’язання якої використано регуляризуючий алгоритм. Виконана оцінка вірогідності отриманих результатів шляхом порівняння чисельно-аналітичних і скінченноелементних розв’язків. The problem of non-stationary oscillations of the thin disk transducer due to metal-piezoceramic type is considered. The solution is plotted by applying Laplace integral transform in time and regularizing algorithm. The estimation of received results reliability is executed by means of numerically-analytical and finitely-element solutions comparison. 2010 Article Нестационарные колебания асимметричного дискового биморфа в режиме прямого пьезоэлектрического эффекта / И.В. Янчевский // Проблемы машиностроения. — 2010. — Т. 13, № 6. — С. 42-49. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141855 534.1:539.3 ru Проблемы машиностроения application/pdf Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Динамика и прочность машин Динамика и прочность машин |
| spellingShingle |
Динамика и прочность машин Динамика и прочность машин Янчевский, И.В. Нестационарные колебания асимметричного дискового биморфа в режиме прямого пьезоэлектрического эффекта Проблемы машиностроения |
| description |
Рассмотрена задача о нестационарных колебаниях тонкого дискового преобразователя типа металл-пьезокерамика при импульсном механическом нагружении. С применением интегрального преобразования Лапласа по времени задача сведена к системе интегральных уравнений Вольтерра, при численном решении которой используется регуляризирующий алгоритм. Выполнена оценка достоверности полученных результатов путем сравнения численно-аналитических и конечноэлементных решений. |
| format |
Article |
| author |
Янчевский, И.В. |
| author_facet |
Янчевский, И.В. |
| author_sort |
Янчевский, И.В. |
| title |
Нестационарные колебания асимметричного дискового биморфа в режиме прямого пьезоэлектрического эффекта |
| title_short |
Нестационарные колебания асимметричного дискового биморфа в режиме прямого пьезоэлектрического эффекта |
| title_full |
Нестационарные колебания асимметричного дискового биморфа в режиме прямого пьезоэлектрического эффекта |
| title_fullStr |
Нестационарные колебания асимметричного дискового биморфа в режиме прямого пьезоэлектрического эффекта |
| title_full_unstemmed |
Нестационарные колебания асимметричного дискового биморфа в режиме прямого пьезоэлектрического эффекта |
| title_sort |
нестационарные колебания асимметричного дискового биморфа в режиме прямого пьезоэлектрического эффекта |
| publisher |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Динамика и прочность машин |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141855 |
| citation_txt |
Нестационарные колебания асимметричного дискового биморфа в режиме прямого пьезоэлектрического эффекта / И.В. Янчевский // Проблемы машиностроения. — 2010. — Т. 13, № 6. — С. 42-49. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Проблемы машиностроения |
| work_keys_str_mv |
AT ânčevskiiiv nestacionarnyekolebaniâasimmetričnogodiskovogobimorfavrežimeprâmogopʹezoélektričeskogoéffekta AT ânčevskiiiv nonstationaryoscillationsofasymmetricdiskbimorphinthedirectpiezoelectricmode |
| first_indexed |
2025-12-01T01:55:36Z |
| last_indexed |
2025-12-01T01:55:36Z |
| _version_ |
1850269120798392320 |
| fulltext |
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 6 42
УДК 534.1:539.3
И. В. Янчевский, канд. техн. наук
Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет
(г. Харьков, E–mail: yanchevsky@khadi.kharkov.ua)
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
АСИММЕТРИЧНОГО ДИСКОВОГО БИМОРФА
В РЕЖИМЕ ПРЯМОГО ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА
Рассмотрена задача о нестационарных колебаниях тонкого дискового преобразователя
типа металл-пьезокерамика при импульсном механическом нагружении. С применением
интегрального преобразования Лапласа по времени задача сведена к системе инте-
гральных уравнений Вольтерра, при численном решении которой используется регуляри-
зирующий алгоритм. Выполнена оценка достоверности полученных результатов путем
сравнения численно-аналитических и конечноэлементных решений.
Розглянута задача про нестаціонарні коливання тонкого дискового перетворювача ти-
пу метал-п’єзокераміка при імпульсному механічному навантаженні. Із застосуванням
інтегрального перетворення Лапласа за часом задача зведена до системи інтегральних
рівнянь Вольтерра, для чисельного розв’язання якої використано регуляризуючий алго-
ритм. Виконана оцінка вірогідності отриманих результатів шляхом порівняння чисель-
но-аналітичних і скінченноелементних розв’язків.
Введение
Технические устройства с пьезоактивными элементами находят широкое примене-
ние во многих областях деятельности человека (медицина, машиностроение, акустика и пр.).
Широкое распространение пьезоэлементы получили в качестве датчиков давления, когда
энергия механической деформации преобразуется в пропорциональный электрический сиг-
нал (имеет место режим прямого пьезоэффекта). Круглый в плане асимметричный биморф,
состоящий из металлического (пьезопассивного) слоя с приклеенным к нему поляризован-
ным по толщине пьезокерамическим слоем, – типичное конструктивное исполнение пьезо-
датчиков, что обусловлено, в первую очередь, простотой конструкции и технологии их изго-
товления. Поэтому исследования, которые посвящены математическому моделированию
механического и электрического полей в дисковых биморфных преобразователях, имеют
очевидную практическую направленность.
Среди имеющихся в литературе публикаций по указанной проблематике большая
часть выполнена в предположении, что динамический процесс механического нагружения
является периодическим во времени [1–3]. Работы, в которых изучены нестационарные про-
цессы в конструктивных элементах биморфного типа, весьма немногочисленны. В некото-
рой степени это обусловлено сложностью вычислительных алгоритмов, возникающих при
решении конкретных прикладных задач теории электроупругости [4]. Отметим работы [5–
7], в которых исследованы неустановившиеся колебания пьезоактивных балки, полосы и
оболочки при действии электрической или механической нагрузок. В настоящей работе ис-
следуется поведение асимметричного круглого биморфа с одинаковыми радиусами слоев
при ударном его нагружении.
1. Постановка задачи
Рассматривается шарнирно-опертая по контуру круглая пластина, состоящая из уп-
ругого и электроупругого тонких слоев радиусом R и постоянной толщиной hm и hp (индек-
сами “m” и “p” обозначены геометрические и физические характеристики соответствующих
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 6 43
элементов двухслойного пакета).
Материал пьезоэлемента принадле-
жит классу симметрии 6mm [8].
На внешнюю поверхность
металлического слоя действует им-
пульсная нагрузка p(t), которая рав-
номерно распределена на окружно-
сти радиуса r0 (r0≤R). В результате
деформации пластины между
сплошными электродированными
покрытиями пьезоэлемента, нахо-
дящегося в режиме приема, возника-
ет разность потенциалов V(t). При этом электрический потенциал на внутреннем электроде
считается равным нулю. Предполагается, что физические параметры слоев, временная зави-
симость p(t) и область нагружения r0 известны, а характеристики механического поля и
функция V(t) подлежат определению. Электроды и клеевое соединение имеют пренебрежи-
мо малую толщину и не влияют на колебания биморфа. До момента времени t=0 пластина
находится в состоянии покоя.
2. Уравнения движения преобразователя
Для вывода дифференциальных уравнений колебаний биморфа и корректных гра-
ничных условий воспользуемся вариационным принципом теории электроупругости, со-
гласно которому должно выполняться равенство
( )1
0
0
t
t
L dt′δ = δΚ −δΗ+δ Α =∫ , (1)
где δK, δH и δ'А – вариации кинетической энергии, электрической энтальпии и работы
внешних сил [9].
При вычислении составляющих функционала (1) принимается упрощенная модель
деформирования биморфа в рамках классических гипотез Кирхгофа–Лява, что позволяет
свести задачу о деформации двухслойного диска как трехмерного тела к задаче о деформа-
ции поверхности приведения (z = 0), радиальное и нормальное перемещения точек которой
обозначены через u0(r, t) и w0(r, t). Тогда в цилиндрической системе координат, ось Oz кото-
рой совпадает с осью диска, а начало отсчета удалено от границы контакта его слоев на рас-
стояние z0 (рис. 1), справедливы будут соотношения
( ) 0, ,w r z t w≈ ; ( ) 0
0, , wu r z t u z
r
∂
= −
∂
; (2)
2
0 0
2r
u w
z
r r
∂ ∂
ε = −
∂ ∂
; 0 0u wz
r r rϕ
∂
ε = −
∂
.
Кинематические соотношения (2) дополняются адекватным им предположением о
линейном распределении нормальной составляющей вектора напряженности электрического
поля Еz по толщине пьезоэлемента [2], которое для случая равенства нулю электрического
потенциала на поверхности z = z0 запишется в виде
( ) ( )2
p p
12
,z
VE z a r t
h h
= + − Φ , (3)
где a = z0 – hp/2; Φ – неизвестная функция.
C учетом принятых гипотез о строении физических полей уравнения состояния сло-
ев [9, 10] примут вид
3111 12
j j j
r r zc c e Eϕσ = ε + ε − ;
R
h p
h m
O
z
z 0
r
p (t)
r0
V (t)
Рис. 1. Асимметричный дисковый биморф
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 6 44
3112 11
j j j
r zc c e Eϕ ϕσ = ε + ε − ; (4)
31 31 33z r zD e e Eϕ= ε + ε +ε ,
где j = (m, p); σi – компоненты тензора механических напряжений; ( )2
11 111 1j j
jc s= −ν ;
12 11
j j
jc c=ν ⋅ ; 12 11
j j
j s sν =− ; ( )31 31 11 1E
je d s= −ν ; ( )33 33 31 31 331 2T Td eε =ε − ε ; 1
j
ls – упругие податли-
вости (для электроупругого слоя 1
E
ls ); zD – составляющая вектора электрической индукции
поляризованной вдоль оси Oz пьезокерамики ( 0zD ≡ и 0zE ≡ при j = m); 31d и 33
Tε – пьезо-
электрические постоянные и диэлектрическая проницаемость при нулевых напряжениях.
В теории тонких биморфных электроупругих пластин уравнения планарных и изгиб-
ных колебаний поверхности приведения взаимосвязаны. Однако если принять в рассмотре-
ние допущение о равенстве коэффициентов Пуассона материалов слоев, а расстояние z0 за-
дать равным ( )p 2 m 2
p 11 m11 2 Fcc h c h− , где p m
p 11 m11Fc c h c h= + , то система уравнений осесимметрич-
ных колебаний биморфа уравнений разделяется, а сами уравнения аналогичны уравнениям
для однородной изотропной пластины [2]
2
2 0
0 02 2
1 0uu u
r t
∂
∇ − − =
∂
; (5)
2
2 2 4
0 2
ww P
t
∂
∇ ∇ +β =
∂
, (6)
где
2
2
2
1
r rr
∂ ∂
∇ = +
∂∂
– оператор Лапласа в цилиндрической системе координат; 4 2
0 F Jc R cβ = –
нормирующий коэффициент; ( ) ( ) ( ) ( )0,P r t p t H t H r r= ⋅ ⋅ − – функция, описывающая механи-
ческую нагрузку; H – единичная функция Хевисайда; p m 2
p 11 m p0 31 3311Jc c J c J J e= + + ε ;
( )33
p 0 0 p 3J z z h⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ ; ( )3 3
m 0 m 0 3J z h z⎡ ⎤= + −⎣ ⎦ ; 3
p0 p 3J h= .
Отметим, что дифференциальные уравнения (5)–(6) получены путем перехода к не-
зависимым вариациям δw0, δu0 и δV в уравнении (1) с учетом принятых соотношений (2)–(4)
и пренебрежения малыми инерционными членами. Из уравнения (1) также записываются
граничные условия для шарнирно-опертого края и соотношение для искомой функции V
(оно выражает равенство нулю тока смещения через срединную поверхность пьезослоя)
1 0rw = = ; 0 0
1
0
r
u uN rV
r r =
∂⎛ ⎞= ⋅ =+ν −⎜ ⎟∂⎝ ⎠
;
2 4
0 0 0
4 2
0 1
1 0
r
w wRM a V r
r r Rr
=
⎛ ⎞∂ ∂ β
= +ν + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂β ∂⎝ ⎠
; (7)
01
0
1r
wa R aV u
a R r =
∂⎛ ⎞=− −⎜ ⎟∂⎝ ⎠
, (8)
где ( ) 2
p0 31 331 JJ e cν =ν+ −ν ε ; ( )2
1 31 p 332 Fa e h a c R= ε .
Уравнение колебаний (5), соотношение (8) и граничные условия (7) представляют
собой замкнутую систему осесимметричных колебаний преобразователя. Отметим, что вы-
ражения (5)–(8) записаны для безразмерных переменных, при этом перемещения (u0, w0) и
геометрические параметры (hj, r, R, r0) отнесены к R; время t – к 2
F FR cρ , где
p p m mF h hρ =ρ +ρ ; нагрузка P, N – к 3
Jc R ; момент M – к Jc R ; разность потенциалов V – к
31Fc e .
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 6 45
3. Построение решения
Применяя интегральное преобразование Лапласа по времени, трансформируем ис-
ходные уравнения (5)–(6) в область изображений
2 2
0 0 02
1 0L L Lu u s u
r
∇ − − = ; (9)
2 2 4 2
0 0 0
L L Lw s w P∇ ∇ +β = , (10)
где L – индекс, обозначающий соответствующие трансформанты; s – комплексный параметр
преобразования.
Решения этих уравнений с учетом граничных условий и конечности прогиба в цен-
тре биморфа (r = 0) запишем в удобном для последующего построения оригиналов виде
( ) ( ) ( ) ( )1
0 1 ,,L L s r Lu B s e s U r sr s − −= ⋅ ⋅ ⋅ ; (11)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1
0 1 1 2 2 0, , , ,i isr is rL L L L L Lw r s A s e F r s A s e F r s w r s−β −β −= ⋅ ⋅ + ⋅ + % , (12)
где ( ) ( )1 1,L srU r s e I sr−= ⋅ ; ( ) ( )0
1 0 0
1, i isrLF r s e J isr
s
β= β ; ( ) ( )0
2 0 0
1, isrLF r s e I isr
s
−β= β ;
( )L
lA s , ( )LB s – неизвестные функции параметра s; J0, I0, I1 – функция и модифицированные
функции Бесселя первого рода; 0
Lw% – частное решение (10), которое будем искать по виду
правой части ( ) ( ) ( )0,L LP r s p s H r r= ⋅ − , разложенной в ряд Фурье-Бесселя
( ) ( ) ( )0 0 0
1
,L L
k k
k
w A s J rr s
∞
=
= λ∑% ,
kλ – корни уравнения ( )0 0kJ λ = .
С использованием свойства ортогональности функций Бесселя выражение для 0
Lw%
окончательно запишется как
( ) ( ) ( )0 1 ,,L L Lw p s r sr s = Ψ% , (13)
где ( ) ( )1 0 2 2
1
1,L
k k
k k
r s J r
s
∞
=
Ψ = ζ λ
+μ
∑ ;
( )
( )
1 00
4 2
0 1
21 k
k
k k
J rr
J
λ
ζ =
λβ λ
;
2
2
0
k
k
λ
μ =
β
.
Неизвестные функции ( )1
LA s , ( )2
LA s и ( )LB s определяются на основании системы
алгебраических уравнений, которая формируется подстановкой формул (11)–(13) в соотно-
шения (7) и исключения трансформанты ( )LV s (8)
` ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
1 1 2 2 11, 1, 1, 0i isL L L L L LA s e F s A s F s p s s−β + + Ψ = ;
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 2 3 3
1 1 2 2 2 1 2
1 1
1, 1, 1, 1, 1, 0i isL L L L L L L L La a aA s e G s A s G s p s s B s U s U s
a a
−β −⎡ ⎤− + + Ψ + ⋅ + =⎢ ⎥
⎣ ⎦
; (14)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 32 2
1 1 0 1 1 1
1 1 1
2 2 2
2 2 0 2 2 2 3
1 1 1
1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 0.
i isL L L L L L
L L L L L L L
bb bA s e G s iF s G s B s U s
b b b
b b bA s G s iF s G s p s s s
b b b
−β ⎡ ⎤− + β − + +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + β − + Ψ + Ψ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
При записи равенств (14) приняты обозначения 2 3 3a a b=ν + ; 3 01a =− β ; 1 1 2b a b= +ν ;
4
2 0b R a= β ; 3 1 3b a a R a= ; ( ) ( )2 0,L srU r s s e I sr−= ⋅ ⋅ ; ( ) ( )0
1 1 0, i isrL iG r s e J isr
s
β= β ;
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 6 46
( ) ( )0
2 1 0, isrL iG r s e I isr
s
−β= β ; ( ) ( )2 3 1 2 2
1
1 1,L
k k k
k k
r s a J r
s s
∞
=
⎡ ⎤Ψ = ζ λ λ⎣ ⎦ +μ
∑ ;
( ) ( ) ( )2
3 3 0 1 2 2
1
1 1 1,L
k k k k k
k k
r s a J r J r
r s s
∞
=
⎡ ⎤Ψ = ζ λ λ −λ λ⎢ ⎥ +μ⎣ ⎦
∑ .
Для решения системы (14) необходимо принять в рассмотрение справедливость
представления изображений L
lF , L
lG (l = 1, 2) в виде сумм действительных функций
` ( ) ( ) ( )1 Re Im, , ,L L LF r s F r s i F r s= + ⋅ ; ( ) ( ) ( )2 Re Im, , ,L L LF r s F r s i F r s= − ⋅ ; (15)
( ) ( ) ( )1 Re Im, , ,L L LG r s G r s i G r s=− + ⋅ ; ( ) ( ) ( )2 Re Im, , ,L L LG r s G r s i G r s= + ⋅ .
Такое разложение получено в результате обращения функций L
lF , L
lG (l = 1, 2) с ис-
пользованием преобразования Эфроса [11], которое также позволило выделить действитель-
ную и мнимую части, записав их в виде интегралов
( )
1 2 2
Re 3
0
1 1 cos,
1
r dF r t
tt
⎛ ⎞τ τ
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠ τ −τπ
∫ ; ( )
1 2 2
Im 3
0
1 1 sin,
1
r dF r t
tt
⎛ ⎞τ τ
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠ τ −τπ
∫ ; (16)
( )
1 2 2
Re 3
0
4 1 sin 1,
r rG dr t
tt
⎛ ⎞τ
= τ −τ τ⎜ ⎟
⎝ ⎠π
∫ ; ( )
1 2 2
Im 3
0
4 1 cos 1,
r rG dr t
tt
⎛ ⎞τ
= τ −τ τ⎜ ⎟
⎝ ⎠π
∫ .
После подстановки в (14) соотношений (15) и введения новых переменных
( ) ( ) ( )0
3 1 2
i isL L LA s A s e A s−β= +
и ( ) ( ) ( )( )0
4 1 2
i isL L LA s i A s e A s−β= ⋅ − .
исходная система будет избавлена от комплексных составляющих. Для ее решения выпол-
няется переход в пространство оригиналов, в результате которого получена система инте-
гральных уравнений Вольтерра относительно неизвестных функций ( )3A t , ( )4A t и ( )B t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 Re 4 Im 1
0 0 0
1, 1, ( ) 1, 0
t t t
A F t d A F t d p t dτ −τ τ+ τ −τ τ+ τ Ψ −τ τ=∫ ∫ ∫ ;
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 Re 4 Im
0 0
2 3 3
1 2 2
1 10 0
1, 1,
( ) 1, 1, ( ) 1, 0;
t t
t t
A G t d A G t d
a a aB U t U t d p t d
a a
τ −τ τ− τ −τ τ+
⎡ ⎤−
+ τ −τ + −τ τ+ τ Ψ −τ τ=⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
(18)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
3 Re 0 Re 4 Im
1 1 10 0
32 2
0 Im 1 2 3
1 1 10 0
1 1, 1, 1 1,
1, 1, ( ) 1, 1, 0.
t t
t t
b b bA G t F t d A G t
b b b
bb bF t d B U t d p t t d
b b b
⎡ ⎤ ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞
τ − −τ +β −τ τ− τ − −τ +⎢ ⎥ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎢ ⎥ ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣
⎤ ⎡ ⎤+β −τ τ+ τ −τ τ+ τ Ψ −τ + Ψ −τ τ=⎥ ⎢ ⎥
⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
K
K
Построение ядер lU и lΨ (l = 1, 2, 3) не вызывает затруднений [11]. При расчете
оригиналов (16) тригонометрические функции представлялись в виде ряда Тейлора, что по-
зволило вычислить указанные интегралы в явном виде [12]
( ) ( ) ( )
( ) ( )
4
Re 4 2 0.5
0
1 8 1 !!1,
2 2 ! 4 !
k k
k k
k
k rF r t
k k t
∞
+
=
− −
=
π
∑ ; ( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 2
Im 4 2 2 1.5
0
1 8 3 !!1,
2 2 1 ! 4 2 !
k k
k k
k
k rF r t
k k t
+∞
+ +
=
− +
=
+ +π
∑ ;
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 6 47
( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 3
Re 4 2 2 1.5
0
1 8 5 !!1,
2 2 1 ! 4 4 !
k k
k k
k
k rG r t
k k t
+∞
+ +
=
− +
=
+ +π
∑ ; ( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 1
Im 4 2 0.5
0
1 8 1 !!1,
2 2 ! 4 2 !
k k
k k
k
k rG r t
k k t
+∞
+
=
− +
=
+π
∑ .
Система интегральных уравнений (18) решалась численно, причем методика по-
строения ее устойчивого к вычислительным погрешностям решения подробно описана в мо-
нографиях [13, 14]. Точность выполненных расчетов контролировалась варьированием зна-
чений шага разбиения исследуемого временного интервала Δt и коэффициента относитель-
ной невязки κ [13].
Располагая числовыми значениями функций ( )3A t , ( )4A t и ( )B t , можно определить
все представляющие интерес физические характеристики переходного процесса. Так, для
определения поперечного перемещения w0 точек поверхности приведения (z = 0) и разности
потенциалов V между электродами пьезоэлемента необходимо воспользоваться выражения-
ми
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 Re 4 Im 1
0 0 0
, , , ( ) ,
t t t
w r t A F r t d A F r t d p r t d= τ −τ τ+ τ −τ τ+ τ Ψ −τ τ∫ ∫ ∫ ;
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
3 Re 4 Im 2
3 310 0 0 0
1
1
31 0
( ) 1, 1, ( ) 1,
1, .
t t t t
F
t
F
a cV d A G t d A G t d p t d
a e R
a c B U t d
ae
⎡ ⎤
τ τ=− τ −τ τ− τ −τ τ+ τ Ψ −τ τ +⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
+ τ ⋅ −τ τ
∫ ∫ ∫ ∫
∫
(19)
4. Числовые результаты
В качестве примера рассмотрим случаи нагружения биморфа синусоидальным сиг-
налом ( ) ( ) ( ) ( )0 sin,P H r r H tr t t= − ⋅ ⋅ ω с различными значениями ω и нагрузкой прямоугольно-
го профиля ( ) ( ) ( ) ( )[ ]0,P H r r H t H t Tr t = − ⋅ − − , где T – длительность импульса (рис. 2). На
рис. 2, а представлены результаты вычислений для 12 Tω= π ( 1 31T = , кривая 1), 22 Tω= π
( 2 62T = , кривая 2) и 32 Tω= π ( 3 124T = , кривая 3). Выполненные расчеты показали сильно
выраженную взаимосвязь между разностью потенциалов V и прогибом w0. Поэтому графики
указанных функций на представленных ниже рисунках совмещены. Следует отметить, что
аналогичная корреляция V и w0 имеет место и в асимметричном балочном биморфе при ра-
зомкнутых электродах его пьезокерамического слоя [6].
Из рис. 2, а видно, что при 22 Tω= π (кривая 2), что соответствует низшей частоте
собственных изгибных колебаний преобразователя, наблюдается нарастание амплитуд ( )V t
62 124
0
V (t)
-0.06
0.02
-0.04
-0.02
0.04
t
-8.7
-5.8
-2.9
0
2.9
5.8
2
31
w0(0,t)
62 124
0
V (t)
-0.015
0.005
-0.010
-0.005
0.010
t
w0(0,t)
-2.25
-1.50
-0.75
0
0.75
1.50
2
1
3
а) б)
Рис. 2. Разность потенциалов и нормальные перемещения центральной точки:
а) – P(r, t) = H(r0 – r)⋅H(t)⋅sin(ωt); б) – P(r, t) = H(r0 – r)⋅[H(t) – H(t – T)]
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 6 48
и ( )0 ,w r t с ростом t.
Отметим, что при расчетах были приняты следующие параметры биморфа:
R = 25 мм, hp = 1 мм, ρр = 7600 кг/м3, 11
Es = 15.4⋅10–12 м2/Н, 12
Es = –5.1⋅10–12 м2/Н, 33
Tε = 1750⋅ε0,
ε0 = 8.85⋅10-12 Ф/м, 31d = –178⋅10–12 Кл/H (пьезокерамика PZT-5); hm = 0.5 мм,
ρm = 4450 кг/м3, mE = 11.3⋅1010 Н/м2 (титан ВТ-6). Область нагружения пластины задавалась
значением r0 = 0.5. Шаг дискретизации Δt временного интервала при численном решении
системы интегральных уравнений (18) принят равным 0.1. Входящий в метод
А. Н. Тихонова параметр регуляризации вычислялся на основании принципа невязки при
κ = 0.02.
На рис. 2, б представлены разность потенциалов ( )V t между электродами пьезослоя
и прогиб диска w0(r, t) в центральной точке (r = 0) при действии нагрузки прямоугольного
профиля ( ) ( ) ( ) ( )[ ]0,P H r r H t H t Tr t = − ⋅ − − , где T – длительность импульса. При этом кривая 1
соответствует значению T = 1.25⋅T2, кривая 2 – T = 1.5⋅T2, кривая 3 – T = 2.0⋅T2. Из анализа
результатов для различных T видно, что до момента ее снятия колебания происходят отно-
сительно статического значения. После t > T происходят почти периодические колебания,
причем величины амплитуд разности потенциалов зависят от момента снятия нагрузки – они
максимальны, если нагрузка снимается в момент максимальных деформаций (кривая 2), и
минимальны, если нагрузка перестает действовать в момент недеформированного состояния
(кривая 3). В случае, когда балка становится ненагруженной в момент Т = 1.25⋅T2, для t > T
наблюдается перестройка ее колебательного процесса (кривая 1). Как и в предыдущем вари-
анте нагружения, функция w0 коррелирует с V (экстремальные значения имеют место в одни
и те же моменты времени).
Рассмотрен (рис. 3) также случай действия на круглую биморфную пластину взрыв-
ной нагрузки, профиль которой показан на рис. 3, а. Соответствующая ей разность потен-
циалов, вычисленная из соотношения (19), представлена кривой 1 на рис. 3, б. Для оценки
достоверности результатов задача в такой постановке была решена с помощью программно-
го обеспечения, основанного на прямых численных методах типа МКЭ. Кривая 2 на рис. 3,б
иллюстрирует полученный график функции V(t).
Хорошее совпадение кривых 1 и 2 (рис. 3, б) позволяет утверждать об эффективно-
сти и достоверности изложенной в настоящей работе методики решения задачи о нестацио-
нарных колебаниях круглой асимметричной биморфной пластины. Отметим, что относи-
тельное отличие результатов, полученных аналитическим и конечно-элементным подходами
(кривые 1 и 2, рис. 3, б), не превышает 5%.
0
p (t)
62 124
0.8
0.4
t
0
-0.008
-0.004
2
1
0.004
t62 124
V (t)
0.008
а) б)
Рис. 3. Разность потенциалов при взрывном нагружении:
а) – профиль механической нагрузки; – б) разность потенциалов
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 6 49
Заключение
Полученные результаты могут быть использованы при разработке методов иденти-
фикации действующей механической нагрузки по данным регистрации разности потенциа-
лов между электродами пьезокерамического слоя биморфа и на основании этой информации
методов управления ее напряженно-деформированным состоянием.
Литература
1. Алавердиев А. М. Исследование напряженно-деформированного состояния слойно-ступенчатых
дисковых преобразователей при изгибных колебаниях / А. М. Алавердиев, Н. Б. Ахметов,
Т. Д. Шермергор // Пробл. прочности. – 1987. – № 2. – С. 59–63.
2. Чувствительность биморфного преобразователя типа металл-керамика / Ю. Б. Евсейчик,
С. И. Рудницкий, В. Л. Шарапов, Н. А. Шульга // Прикл. механика. − 1990. − Т. 26, № 12. − С. 67–
75.
3. Шульга Н. А. Колебания пьезоэлектрических тел / Н. А. Шульга, А. М. Болкисев. – Киев : Наук.
думка, 1990. – 228 с.
4. Математическое моделирование в задачах механики связанных полей: в 2 т. Т. II. Статические и
динамические задачи электроупругости для составных многосвязных тел / Д. И. Бардзокас,
А. И. Зобнин, Н. А. Сенник, М. Л. Фильштинский. – М. : КомКнига, 2005. – 376 с.
5. Бабаев А. Э. Нестационарные колебания тонкостенной электроупругой полосы / А. Э. Бабаев,
Ю. Б. Мосеенков // Докл. НАН Украины. Сер. Математика, естествознание, технические науки. –
1994. – № 12. – С. 54–58.
6. Бабаев А. Э. Нестационарные колебания биморфной балки в режимах прямого и обратного пьезо-
электрического эффекта / А. Э. Бабаев, А. А. Бабаев, И. В. Янчевский // Актуальные проблемы
физ.-механ. исследований. Акустика и волны. – 2007. – № 3. – С. 16–27.
7. Wang H. M. Dynamic solution of multilayered orthotropic piezoelectric hollow cylinder for axisymmetric
plane strain problems / H. M. Wang, H. J. Ding, Y. M. Chen // Int. J. Sol. and Struct. – 2005. – № 42. –
P. 85–109.
8. Хорошун Л. П. Прогнозирование эффективных свойств пьезоактивных композитных материалов /
Л. П. Хорошун, Б. П. Маслов, П. В. Лещенко. – Киев : Наук. думка, 1989. – 208 с.
9. Гринченко В. Т. Механика связанных полей в элементах конструкцій: В 5 т. Т. 5. Электроупругость
/ В. Т. Гринченко, А. Ф. Улитко, Н. А. Шульга. – Киев : Наук. думка, 1989. – 280 с.
10. Жарий О. Ю. Введение в механику нестационарных колебаний и волн / О. Ю. Жарий, А. Ф. Улит-
ко. – Киев : Выща шк., 1989. – 184 с.
11. Диткин В. А. Справочник по операционному исчислению / В. А. Диткин, А. П. Прудников. – М. :
Высш. шк., 1965. – 466 с.
12. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Ры-
жик. – М. : Изд-во физ.-мат. лит., 1963. – 1108 с.
13. Численные методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, А. В. Гончарский, В. В. Степа-
нов, А. Г. Ягола. – М.: Наука, 1990. – 229 с.
14. Задачи импульсного деформирования элементов конструкций / Е. Г. Янютин, И. В. Янчевский,
А. В. Воропай, А. С. Шарапата. – Харьков: Харьк. нац. автодор. ун-т, 2004. – 392 с.
Поступила в редакцию
27.05.10
|