Методы R-функций и многих масштабов в задачах нелинейных колебаний круглых пластин с вырезами
Для исследования нелинейных колебаний круглых пластин с двумя вырезами предлагается использовать сочетание методов R-функций и многих масштабов. Собственные формы линейных колебаний пластины определяются с использованием методов R-функций и Релея–Ритца. Нелинейные колебания раскладываются по найденн...
Saved in:
| Published in: | Проблемы машиностроения |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141856 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Методы R-функций и многих масштабов в задачах нелинейных колебаний круглых пластин с вырезами / К.В. Аврамов, Е.В. Тишковец, К.В. Максименко-Шейко // Проблемы машиностроения. — 2010. — Т. 13, № 6. — С. 50-57. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-141856 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Аврамов, К.В. Тишковец, Е.В. Максименко-Шейко, К.В. 2018-09-14T18:49:31Z 2018-09-14T18:49:31Z 2010 Методы R-функций и многих масштабов в задачах нелинейных колебаний круглых пластин с вырезами / К.В. Аврамов, Е.В. Тишковец, К.В. Максименко-Шейко // Проблемы машиностроения. — 2010. — Т. 13, № 6. — С. 50-57. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141856 539.3 Для исследования нелинейных колебаний круглых пластин с двумя вырезами предлагается использовать сочетание методов R-функций и многих масштабов. Собственные формы линейных колебаний пластины определяются с использованием методов R-функций и Релея–Ритца. Нелинейные колебания раскладываются по найденным собственным формам колебаний; в результате получается динамическая система с малым параметром, которая исследуется методом многих масштабов. Для дослідження нелінійних коливань круглих пластин з двома вирізами запропоновано використовувати поєднання методів R-функцій та багатьох масштабів. Власні форми лінійних коливань пластини визначаються з використанням методів R-функцій та Релея–Рітца. Нелінійні коливання розкладуються за знайденими власними формами коливань; в результаті одержано динамічну систему з малим параметром, яка досліджується методом багатьох масштабів. The combination of R-functions and multiple scales is used to analyze nonlinear vibrations of circular plates with two cut-outs. The Rayleigh-Ritz method and R-functions are used to obtain eigenmodes of plate linear vibrations. Nonlinear vibrations are expanded by obtained eigenmodes. As a result, finite-degree-of-freedom dynamical system with small parameters is obtained. This system is analyzed by multiple scales method. Эта работа была частично поддержана Фондом фундаментальных исследований Украины в рамках проекта Ф28/257. Первый автор благодарит аспиранта И. Д. Бреславского за полезные обсуждения метода R-функций. ru Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України Проблемы машиностроения Прикладная математика Методы R-функций и многих масштабов в задачах нелинейных колебаний круглых пластин с вырезами Methods of R-functions and multiple scales in problems of nonlinear vibrations of circular plates with cut-outs Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Методы R-функций и многих масштабов в задачах нелинейных колебаний круглых пластин с вырезами |
| spellingShingle |
Методы R-функций и многих масштабов в задачах нелинейных колебаний круглых пластин с вырезами Аврамов, К.В. Тишковец, Е.В. Максименко-Шейко, К.В. Прикладная математика |
| title_short |
Методы R-функций и многих масштабов в задачах нелинейных колебаний круглых пластин с вырезами |
| title_full |
Методы R-функций и многих масштабов в задачах нелинейных колебаний круглых пластин с вырезами |
| title_fullStr |
Методы R-функций и многих масштабов в задачах нелинейных колебаний круглых пластин с вырезами |
| title_full_unstemmed |
Методы R-функций и многих масштабов в задачах нелинейных колебаний круглых пластин с вырезами |
| title_sort |
методы r-функций и многих масштабов в задачах нелинейных колебаний круглых пластин с вырезами |
| author |
Аврамов, К.В. Тишковец, Е.В. Максименко-Шейко, К.В. |
| author_facet |
Аврамов, К.В. Тишковец, Е.В. Максименко-Шейко, К.В. |
| topic |
Прикладная математика |
| topic_facet |
Прикладная математика |
| publishDate |
2010 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы машиностроения |
| publisher |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Methods of R-functions and multiple scales in problems of nonlinear vibrations of circular plates with cut-outs |
| description |
Для исследования нелинейных колебаний круглых пластин с двумя вырезами предлагается использовать сочетание методов R-функций и многих масштабов. Собственные формы линейных колебаний пластины определяются с использованием методов R-функций и Релея–Ритца. Нелинейные колебания раскладываются по найденным собственным формам колебаний; в результате получается динамическая система с малым параметром, которая исследуется методом многих масштабов.
Для дослідження нелінійних коливань круглих пластин з двома вирізами запропоновано використовувати поєднання методів R-функцій та багатьох масштабів. Власні форми лінійних коливань пластини визначаються з використанням методів R-функцій та Релея–Рітца. Нелінійні коливання розкладуються за знайденими власними формами коливань; в результаті одержано динамічну систему з малим параметром, яка досліджується методом багатьох масштабів.
The combination of R-functions and multiple scales is used to analyze nonlinear vibrations of circular plates with two cut-outs. The Rayleigh-Ritz method and R-functions are used to obtain eigenmodes of plate linear vibrations. Nonlinear vibrations are expanded by obtained eigenmodes. As a result, finite-degree-of-freedom dynamical system with small parameters is obtained. This system is analyzed by multiple scales method.
Эта работа была частично поддержана Фондом фундаментальных исследований Украины в рамках проекта Ф28/257. Первый автор благодарит аспиранта И. Д. Бреславского за полезные обсуждения метода R-функций.
|
| issn |
0131-2928 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141856 |
| citation_txt |
Методы R-функций и многих масштабов в задачах нелинейных колебаний круглых пластин с вырезами / К.В. Аврамов, Е.В. Тишковец, К.В. Максименко-Шейко // Проблемы машиностроения. — 2010. — Т. 13, № 6. — С. 50-57. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT avramovkv metodyrfunkciiimnogihmasštabovvzadačahnelineinyhkolebaniikruglyhplastinsvyrezami AT tiškovecev metodyrfunkciiimnogihmasštabovvzadačahnelineinyhkolebaniikruglyhplastinsvyrezami AT maksimenkošeikokv metodyrfunkciiimnogihmasštabovvzadačahnelineinyhkolebaniikruglyhplastinsvyrezami AT avramovkv methodsofrfunctionsandmultiplescalesinproblemsofnonlinearvibrationsofcircularplateswithcutouts AT tiškovecev methodsofrfunctionsandmultiplescalesinproblemsofnonlinearvibrationsofcircularplateswithcutouts AT maksimenkošeikokv methodsofrfunctionsandmultiplescalesinproblemsofnonlinearvibrationsofcircularplateswithcutouts |
| first_indexed |
2025-11-24T20:32:00Z |
| last_indexed |
2025-11-24T20:32:00Z |
| _version_ |
1850495381457076224 |
| fulltext |
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 6 50
УДК 539.3
К. В. Аврамов, д-р техн. наук
Е. В. Тишковец, канд. техн. наук
К. В. Максименко-Шейко, канд. физ.-мат. наук
Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины
(г. Харьков, E-mail: kvavr@kharkov.ua)
МЕТОДЫ R-ФУНКЦИЙ И МНОГИХ МАСШТАБОВ В ЗАДАЧАХ
НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН С ВЫРЕЗАМИ
Для исследования нелинейных колебаний круглых пластин с двумя вырезами предлагает-
ся использовать сочетание методов R-функций и многих масштабов. Собственные
формы линейных колебаний пластины определяются с использованием методов
R-функций и Релея–Ритца. Нелинейные колебания раскладываются по найденным соб-
ственным формам колебаний; в результате получается динамическая система с малым
параметром, которая исследуется методом многих масштабов.
Для дослідження нелінійних коливань круглих пластин з двома вирізами запропоновано
використовувати поєднання методів R-функцій та багатьох масштабів. Власні форми
лінійних коливань пластини визначаються з використанням методів R-функцій та Ре-
лея–Рітца. Нелінійні коливання розкладуються за знайденими власними формами коли-
вань; в результаті одержано динамічну систему з малим параметром, яка досліджу-
ється методом багатьох масштабів.
Введение
Круглые пластины широко используются в турбинах, тормозных системах, баках
и т. д. Если поперечные перемещения пластины соизмеримы с ее толщиной, то ее изгиб опи-
сывается геометрически нелинейной теорией [1]. Параметрические колебания круглых пла-
стинок рассматриваются в книге [2]. Эти движения описываются системой дифференциаль-
ных уравнений с переменными коэффициентами. Голоскоков, Филиппов [3] исследовали
прохождение через резонанс круглых дисков постоянной толщины. Они предполагали, что
частота колебаний изменяется по линейному закону. Осесимметричные колебания круглых
защемленных пластин рассматривались в статье [4]. В монографии [5] для исследования не-
линейных колебаний круглых пластин применяются уравнения Кармана. Приложения тео-
рии R-функций к изгибу пластин рассматриваются в монографиях [6, 7].
В этой статье исследуются нелинейные колебания круглых пластин с вырезами.
Собственные формы линейных колебаний описываются выражениями, содержащими
R-функции. Нелинейные колебания пластины раскладываются в ряд по собственным фор-
мам линейных колебаний. Континуальная модель пласти-
ны заменяется нелинейной динамической системой с ко-
нечным числом степеней свободы, которая исследуется
методом многих масштабов.
1. Формулировка проблемы
Рассмотрим круглую пластину с двумя вырезами
(рис. 1). Предположим, что деформации связаны с пере-
мещениями нелинейными зависимостями, а напряжения с
деформациями – линейными. Колебания пластины иссле-
дуются в цилиндрической системе координат (r, θ, z). Пе-
ремещения точек пластины вдоль осей (r, θ, z) обозначим
соответственно через ur, uθ, uz. Уравнения нелинейного де-
Рис. 1. Эскиз круглой пластины
с двумя вырезами
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 6 51
формирования тонких оболочек [8] использовались для вывода уравнений колебаний пла-
стины. Уравнения колебаний пластины в полярных координатах принимают следующий вид
( )
,
2
νν
2
1111111ν1
2
ννν
2
11ν1μ
12
;ν1μ
2
ν1
2
ν1
2
ν11
2
ν1
2
ν1
2
ν1
2
ν1
2
ν31
;ν1μ
2
ν1
2
ν1
2
1ν
2
ν1
2
ν1
2
)ν1(
2
)ν3(
2
,,
2
θ,2θθ,θθ,2θ,,θθ,,θθ,
2
θ,2θθ,
2
,,,,
2
4
2
2
θθ,,θ,,2θ,,θθ,θ,3
,θθ2,θθ,θ,2θθθ,2
2
2
,θθ,,2θ,θ,2
2
θ,3
,,2
,
θθ,2θθ,2
,
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +++++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−+
−
+
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +++++
−
−=∇
−
=
−
+
−
+
+
++
+
−
+
−
−
−
+
+
+
−
+
−
=
−
+
−
+
+
+
+
−
−+−+
−
+
+
+
−
− θθ
rzrrzrzzrzrrrz
zrrzrrrrzzz
zrrzzrzrzrzzz
rrrrrr
rrzzrzrzzz
rrzrz
rrr
rrrrr
uuu
r
u
r
u
r
u
r
uu
r
u
r
u
r
uu
r
u
r
u
r
u
r
uuur
r
u
Eh
uh
Eh
uuu
r
uu
r
uu
r
uu
r
uu
r
u
r
u
r
u
r
u
r
u
Eh
u
r
uu
r
uu
r
u
r
uu
r
u
r
u
u
r
u
rr
u
u
&&
&&
&&
(1)
где
r
uu
t
uu z
rz ∂
∂
=
∂
∂
= ,2
θ
2
θ ;&& ; μ − масса единицы длины; E , ν – модуль Юнга и коэффициент
Пуассона; h − толщина пластины.
2. Линейные колебания пластины
Для исследования системы (1) воспользуемся методом Бубнова–Галеркина. Нели-
нейные колебания пластины с вырезами раскладываются по собственным модам ее линей-
ных колебаний. Для определения собственных форм линейных колебаний воспользуемся
методом Релея–Ритца. Тогда потенциальную энергию пластины Π представим так:
( ) ( )
,θ11)ν1(21111ν2
2
θ1
2
ν11ν2
)ν1(2
2
θ,2θ,
2
,θθ,2,θθ,2,
2
,
2
θ,
θ
,θ
2
θθ,2,θθ,
2
,2
∫
∫
Ω
Ω
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +++
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−
−
+++++
−
=Π
rdrdu
r
u
r
u
r
u
r
u
r
u
r
uuD
rdrdu
rr
uuuu
r
uuu
r
uEh
zrzrzzrzzrrzrrz
rrrrrrrr
где Ω − область, занимаемая пластиной. Кинетическая энергия имеет следующий вид:
( ) ,θ
2
μ 22
θ
2∫
Ω
++= ddrruuuT zr &&&
где μ − масса единицы площади. Линейные колебания пластины удовлетворяют следующе-
му соотношению:
[ ] [ ] .)αsin()θ,(),θ,(),θ,(),θ,(),,θ,(),,θ,( θθ += ptrururutrutrutru T
zr
T
zr (2)
Уравнение (2) введем в действие по Гамильтону и произведем интегрирование. В ре-
зультате получим следующий функционал:
( ) ( )
∫
∫
Ω
Ω
−
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++
+
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−
−
+++++
−
=
θ11)ν1(21111ν2
2
θ
2
ν11ν2
)ν1(2
2
θ,2θ,
2
,θθ,2,θθ,2,
2
,
2
θ,θ
,θ
2
θθ,2,θθ,
2
,2
rdrdu
r
u
r
u
r
u
r
u
r
u
r
uuD
rdrd
r
u
r
uuuu
r
uuu
r
uEhS
zrzrzzrzzrrzrrz
r
rrrrrrr
( ) .θ
2
μ 22
θ
22 ddrruuup zr∫
Ω
++ (3)
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 6 52
В дальнейшем рассмотрим защемленную по контуру ∂Ω пластину. Тогда граничные
условия запишем так:
,0θ ===
∂
∂
=
Ω∂Ω∂
Ω∂
Ω∂ r
z
z uu
n
uu
где n − нормаль к границе ∂Ω.
Уравнение границы пластины ∂Ω (рис. 1) получим аналитически, используя метод R-
функций [9]. Функция ω(r, θ) удовлетворяет следующим условиям:
ω(r, θ) = 0, ∀(r, θ) ∈ ∂Ω; ω(r, θ) > 0, ∀(r, θ) ∈ Ω.
Для построения функции ω(r, θ) используется подход, предложенный в [9]. Здесь
рассматриваются два варианта функции ωi(r, θ), i = 1, 2. Для рассматриваемой пластины
функция ω1 в декартовых координатах принимает следующий вид:
( )
( ) ,
4
1η;
4
1η;
2
1η
;ηηη),(ω
2
12
1
3
2
2
1
1
2
222
1
103021
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=−−=
∧∨=
by
b
xa
a
yxR
R
yx
где ∧0, ∨0 − булевы операции конъюнкции и дизъюнкции [9]. Функция ω1(r, θ) имеет два ло-
кальных экстремума. Построим функцию ω2, которая не содержит этих экстремумов. Ее
можно представить так:
ω2(x, y) = [(η2∨0η3)∧0η1]∧0Γ,
где Γ = χmax[ω1(r, θ)]; 0 < χ < 1.
Собственные формы колебаний пластины запишем в следующем виде:
[ ]
[ ]
[ ] ,2или1,)θsin()θcos(ω)θ,(
;)θsin()θcos(ω)θ,(
;)θsin()θcos(ω)θ,(
3
2
1
0
)()(
0
)()(
θ
0
)()(2
=+=
Θ+Θ=
+=
∑
∑
∑
=
=
=
kkRkRru
kkru
kZkZru
m
k
s
k
c
kkr
m
k
s
k
c
kk
m
k
s
k
c
kkz
(4)
где )(),...,(),( )()()( rRrZrZ s
k
s
k
c
k представим такими полиномами:
.,...,1,0;)(;)(
;,...,1,0;)(;)(
;,...,1,0;)(;)(
3
0
)(
,
)(
0
)(
,
)(
2
0
)(
,
)(
0
)(
,
)(
1
0
)(
,
)(
0
)(
,
)(
,6,5
,4,3
,2,1
mkkrCrRrCrR
mkrBrrBr
mkrArZrArZ
kk
kk
kk
M
j
js
jk
s
k
M
j
jc
jk
c
k
M
j
js
jk
s
k
M
j
jc
jk
c
k
M
j
js
jk
s
k
M
j
jc
jk
c
k
====
==Θ=Θ
===
∑∑
∑∑
∑∑
==
==
==
(5)
Уравнения (4), (5) вводятся в (3) и производится интегрирование по области пласти-
ны Ω. В результате получим функционал, который в общем случае запишем как
( ),;),...,(
3
1 1
,2,120 ∑∑
= =
− +==
j
m
k
kjkjl
j
MMlaaSS
где ( ))(
,
)(
1,0
)(
0,00 ,63
,...,,),...,( s
Mm
cc
l k
CAAaaX == – коэффициенты полиномов (5). Следуя методу Ре-
лея-Ритца, минимум функционала (3) определим из следующей системы линейных алгеб-
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 6 53
раических уравнений: 0=
∂
∂
ja
S ; j = 0, 1, …, l. Эти уравнения могут быть представлены в виде
проблемы собственных значений (K – p2M)X = 0, где
1,1
1,1
1,1
1,1
;
+=
+=
+=
+=
==
li
ljij
li
ljij mMkK .
3. Нелинейная модель с конечным числом степеней свободы
Нелинейные колебания пластины разложим в ряд по собственным формам (4)
,)θ,()(;)θ,()(ψ;)θ,()(
1
)(
1
)(
θθ
1
)( ∑∑∑
===
ϕ===
L
i
i
rir
L
i
i
i
L
i
i
ziz ruturuturutqu (6)
где q1(t), q2(t), …, ϕL(t) − обобщенные координаты. Из результатов численного анализа ли-
нейных колебаний, которые представлены в следующем разделе, следует, что в разложениях
(6) достаточно взять L = 3.
Уравнения (6) введем в первые два уравнения системы (1) и отбросим инерционные
слагаемые, так как собственные частоты колебаний в плоскости пластины значительно выше
собственных частот изгибных колебаний. К полученным уравнениям применим метод Га-
леркина. В результате придем к системе линейных алгебраических уравнений относительно
(ϕ1, …, ψ3)
[ ][ ] [ ] .,,,,,ψ,ψ,ψ,,,
3
1
3
1μ
)3(
μ
)2(
μ
)1(
μ
)3(
μ
)2(
μ
)1(
μμ321321
T
l
lllllll
T DDDAAAqqB ∑∑
= =
=ϕϕϕ
Параметры этой системы не приводятся для краткости изложения. Используя матри-
цу ( ) 16,1
6,1
; −=
=
== BRrR i
jij , перемещения срединной поверхности (uθ, ur) представим так:
,)θ,(χ;)θ,(α
3
1
3
1
3
1μ
μ
)()(
μ
3
1
3
1
3
1μ
μ
)(
θ
)(
μθ ∑∑∑∑∑∑
= = == = =
==
i l
l
i
r
i
lr
i l
l
ii
l qqruuqqruu (7)
где ( )∑
=
++=
3
1ν
)ν(
μ3ν,
)ν(
μν,
)(
μχ ljlj
j
l DrAr ; ( )∑
=ν
+++ +=
3
1
)ν(
μ3ν,3
)ν(
μν,3
)(
μα ljlj
j
l DrAr ; (l, μ, j) = 1, 2, 3. Решения
(7) введем в третье уравнение системы (1) и воспользуемся методом Галеркина; в результате
получим следующую нелинейную динамическую систему с тремя степенями свободы:
.3,2,1;
3
1
3
1
μ
3
1μ
)(
μ
2 ==+ ∑∑∑
= = =
kqqqGqpq
i l
li
k
likkk&&
Параметры )(
μ
k
ilG не приводятся для краткости изложения.
Введем следующие безразмерные переменные и параметры:
1ε0,3,2,1)μ,(;ε;3,2,1;ξ;τ )(
μ2
1
2
)(
μ1 <<<===== lG
p
hHi
h
qtp k
li
k
li
i
i .
Теперь динамическую систему с конечным числом степеней свободы представим
так:
.3,2,1;ξξξεξνξ μ
μ,,
)(
μ
2 ==+ ∑ kH li
li
k
likkk
&& (8)
В следующем разделе будет показано, что для широкого диапазона значения пара-
метров пластины выполняется условие внутреннего резонанса
2ν1 = ν2 + εσ, (9)
где σ − параметр расстройки. Теперь исследуем свободные колебания системы (8) при внут-
реннем резонансе (9). Следуя методу многих масштабов [5], решения системы (8) предста-
вим так:
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 6 54
ξk = ξk,0(T0, T1, …) + εξk,1(T0, T1, …) + …, (10)
где T0 = τ; T1 = ετ. Теперь разложения (10) введем в систему (8) и соберем слагаемые при
одинаковых степенях ε. В результате получим следующие соотношения:
( ) ( )
( ) ( ) ,3,2,1;..νexp2νexpν2ξν
ξ
;νexpνexpξ
3
1
)(
001,
2
2
0
1,
2
000,
=++′−=+
∂
∂
−+=
∑
=
kTEINADTiATiAi
T
TiATiA
j
j
k
ikkkkkkk
k
kkkkk
(11)
где символ TEIN .. обозначает несущественные для дальнейшего анализа слагаемые;
iiii AAAA ;= − комплексно сопряженная величина; )()()()( k
kii
k
iik
k
iki
k
i HHHD ++= . Исключая
секулярные слагаемые из уравнения (11), приходим к следующей системе модуляционных
уравнений относительно комплексных переменных:
.3,2,1;),,(;),,(ν
3
1
)(
321321 ===′ ∑
=
kADAAAfAAAfAAi
i
i
k
ikkkkk (12)
К системе (12) применим следующую замену переменных: )ψexp(~5,0 kkk iaA = ; в ре-
зультате получим систему модуляционных уравнений
( )[ ] ( ) .~
4
1~,~,~,0~,~,~ψν~;0~
3
1
2)(
321321 ∑
=
==+′=′
i
i
k
ikkkkkk aDaaafaaafaa (13)
Обобщенные координаты системы (8) связаны с переменными модуляционных урав-
нений (13) так: .)ε()ψνcos(~ξ Ota kkkk ++=
4. Численный анализ колебаний
Исследуем стальную пластину со следующими параметрами: R = 0,25 м;
E = 2⋅1011 Па; ν = 0,3; ρ = 7800 кг/м3; h = 5⋅10–3 м. Рассмотрим линейные изгибные колебания
пластины. Расчет таких колебаний осуществляется двумя подходами; первый из них – пред-
ставленная выше комбинация методов R-функций и Релея–Ритца; второй подход – метод
конечных элементов, который реализован в программном комплексе ANSYS. Изменяя па-
раметры a1 и b1, исследовалось влияние выреза на собственные частоты колебаний пласти-
ны. Результаты расчетов методом конечных элементов, показывающие зависимость первых
трех собственных частот от a1 и b1, представлены в табл. 1. Первая собственная частота от-
вечает зонтичной форме колебаний пластины, а вторая и третья – характеризуются парой
сопряженных форм колебаний. Значение третьей собственной частоты существенно зависит
от параметров выреза, так как пучность третьей формы колебаний находится около выреза.
Если пластина не имеет выреза, p2 = p3. Если площадь выреза увеличивается, разница между
собственными частотами сопряженных мод растет.
Численные расчеты с помощью метода R-функций производились для пластины со
следующими параметрами: a1 = 0,4 м; b1 = 0,1 м. На рис. 2 показаны первые три собственные
формы линейных колебаний. Рис. 2, а демонстрирует первую зонтичную форму линейных
колебаний; рис. 2, б, в представляет две сопряженные формы колебаний. Результаты расче-
тов собственных частот с использованием функции ω1(r, θ) представлены в табл. 2. Значения
первых трех собственных частот определялись для различных степеней полиномов (5). Дан-
ные этой таблицы демонстрируют хорошую сходимость. Для сравнения результаты, полу-
ченные методом конечных элементов, показаны в пятой строке таблицы. Относительная
разница данных четвертой и пятой строк представлена в шестой строке.
Результаты расчетов собственных частот с функцией ω2(r, θ) даны в табл. 3. Эти соб-
ственные частоты получены с различными степенями полиномов (5). В таблице показаны
данные, полученные методом конечных элементов, и относительная разница результатов,
полученных с использованием R-функций и метода Релея–Ритца.
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 6 55
Частоты, полученные с использованием функции ω2, ближе к результатам метода
конечных элементов, чем данные, полученные с помощью ω1. Большая точность результа-
тов, представленных в табл. 3, достигается при меньших степенях полиномов (5) в сравне-
нии с данными табл. 2.
Таблица 1. Собственные частоты, полученные методом конечных элементов
a1, м b1, м p1, Гц p2, Гц p3, Гц
0,46 0,02 203,76 414,77 431,39
0,45 0,02 206,01 414,63 439,22
0,40 0,02 223,23 416,49 493,69
0,36 0,02 245,68 420,15 556,20
0,30 0,02 299,67 432,42 677,19
0,46 0,05 204,86 414,73 435,41
0,45 0,05 207,58 415,1 444,68
0,40 0,05 226,52 418,26 504,99
0,30 0,05 313,12 445,71 719,55
0,46 0,1 206,26 415,12 440,71
0,45 0,1 209,27 415,99 451,09
0,40 0,1 231,51 422,66 522,77
0,30 0,1 330,98 468,06 759,49
0,45 0,2 210,10 416,60 454,31
0,30 0,2 348,98 503,31 779,58
Таблица 2. Собственные частоты, полученные с использованием функции ω1(r, θ)
Степени полиномов p1, Гц p2, Гц p3, Гц
M1,0 = 4; M1,2 = 4; M1,4 = 2; M1,1 = 13; M1,3 = 0; M2,1 = 1 273,37 456,08 616,94
M1,0 = 7; M1,2 = 7; M1,1 = 8; M1,3 = 2; M2,1 = 2 258,59 450,05 605,64
M1,0 = 10; M1,2 = 10; M1,1 = 8; M1,3 = 5; M2,1 = 5 254,76 444,97 596,95
M1,0 = 13; M1,2 = 13; M1,1 = 8; M1,3 = 8; M2,1 = 8 254,24 444,18 595,73
МКЭ 231,51 422,66 522,77
Относительная погрешность 8,9% 4,8% 12,2%
Таблица 3. Собственные частоты, полученные с использованием функции ω2(r, θ)
Степени полиномов p1, Гц p2, Гц p3, Гц
M1,0 = 6; M1,2 = 0; M1,1 = 4; M1,3 = 0; M2,1 = 2; M2,3 = 0 256,76 449,41 566,28
M1,0 = 6; M1,2 = 2; M1,1 = 4; M1,3 = 2; M2,1 = 3; M2,3 = 0 250,64 449,01 545,95
M1,0 = 6; M1,2 = 4; M1,1 = 4; M1,3 = 4; M2,1 = 2; M2,3 = 4 249,99 448,33 543,07
МКЭ 231,51 422,66 522,77
Относительная разница 7,3% 5,7% 3,7%
а) б) в)
Рис. 2. Собственные формы колебаний пластинки
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 6 56
Заметим, что вторая и третья частоты для круглых пластинок являются кратными.
Однако если форма границы пластины не является идеально круглой, кратные частоты рас-
щепляются, что наблюдается в рассматриваемом случае. Вторая и третья собственные час-
тоты пластины представлены во втором и третьем столбце табл. 1. Как следует из этой таб-
лицы, кратные частоты круглой пластины существенно отличаются от собственных частот
пластины с двумя вырезами.
Для исследования нелинейных колебаний пластины определялись неподвижные точ-
ки системы модуляционных уравнений (13). Результаты расчетов представлены на рис. 3. На
рис. 3, а показаны колебания, отмеченные номером 1. Они соответствуют неподвижной точ-
ке системы модуляционных уравнений ( 0~;0~;0~
321 ≠≠≠ aaa ), которая определяется из сис-
темы нелинейных алгебраических уравнений: ( ) 2,1;0~,~,~
321 == jaaaf j . Скелетная кривая, от-
меченная номером 6, соответствует неподвижной точке ( 0~;0~;0~
321 ≠=≠ aaa ), которая опи-
сывается нелинейным алгебраическим уравнением ( ) 0~,~,~
3211 =aaaf . Скелетная кривая
(рис. 3, б) соответствует неподвижной точке ( 0~;0~;0~
321 ≠=≠ aaa ), которая описывается
следующим нелинейным алгебраическим уравнением: ( ) 0~,~,~
3213 =aaaf . Скелетная кривая
(рис. 3, в) соответствует неподвижным точкам модуляционных уравнений
( 0~;0~;0~
321 =≠≠ aaa ), которые описываются одним нелинейным алгебраическим уравнени-
ем ( ) 0~,~,~
3211 =aaaf . На рис. 3, г показаны свободные нелинейные колебания, которые ха-
а) б)
в) г)
Рис. 3. Скелетные кривые свободных колебаний
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 6 57
рактеризуются неподвижными точками ( 0~;0~;0~
321 =≠≠ aaa ). Эти точки описываются сле-
дующим нелинейным алгебраическим уравнением: ( ) 0~,~,~
3212 =aaaf . Отметим, что кривые 1
и 6, представленные на рис. 3, а, описывают различные типы движений.
Теперь свяжем колебания, представленные на рис. 3, с движениями диска. Скелетная
кривая, обозначенная цифрой 1, соответствует взаимодействию зонтичной формы и двух
сопряженных форм колебаний. Все остальные колебания пластины, представленные на
рис. 3, соответствуют взаимодействию зонтичной формы с одной из двух сопряженных
форм колебаний.
Заключение
В статье исследовано взаимодействие зонтичной формы колебаний круглой пласти-
ны и двух сопряженных форм колебаний. Такое взаимодействие в случае геометрически не-
линейного деформирования пластины описывается системой трех нелинейных обыкновен-
ных дифференциальных уравнений.
Подробно исследована сходимость при расчете собственных форм и частот линей-
ных колебаний, полученных совместным использованием методов R-функций и Релея–
Ритца. Для анализа сходимости результаты сравнивались с данными метода конечных эле-
ментов.
Динамика пластины при ее геометрически нелинейном деформировании исследова-
лась методом многих масштабов. В этом случае обнаружены следующие два вида колеба-
ний:
− колебания, в которых принимают участие зонтичная форма и пара сопряженных форм
колебаний;
− колебания, в которых участвует зонтичная форма и одна из сопряженных форм колеба-
ний.
Полученные скелетные кривые свободных нелинейных колебаний обладают как
мягким, так и жестким поведением.
Эта работа была частично поддержана Фондом фундаментальных исследований Ук-
раины в рамках проекта Ф28/257. Первый автор благодарит аспиранта И. Д. Бреславского за
полезные обсуждения метода R-функций.
Литература
1. White R. G. Effects of nonlinearity due to large deflections in the resonance testing of structures /
R. White // J. of Sound and Vibration. – 1963. – Vol. 16. – P. 255–267.
2. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем / В. В. Болотин. – М: Физматлит, 1956.
– 750 с.
3. Голоскоков Е. Г. Нестационарные колебания деформируемых систем / Е. Г. Голоскоков,
А. П. Филиппов. – Киев: Наук. думка, 1977. – 336 с.
4. Farnsworth C. E. Resonance response of nonlinear circular plates subjected to uniform static load /
C. E. Farnsworth, R. M. Evan-Iwanowski // ASME J. Appl. Mech. – 1970. – Vol. 37. – P. 1043–1049.
5. Nayfeh A. H. Nonlinear Oscillations / A. H. Nayfeh, D. T. Mook. – New York: John Wiley and Sons,
1979. – 870 p.
6. Метод R-функций в задачах об изгибе и колебаниях пластин сложной формы / В. Л. Рвачев,
Л. В. Курпа, Н. Г. Склепус, Л. А. Учишвили. – Киев: Наук. думка, 1973. – 123 с.
7. Курпа Л. В. Метод R-функций для решения линейных задач изгиба и колебаний пологих оболочек
/ Л. В. Курпа. – Харьков: НТУ «ХПИ», 2009. – 406 с.
8. Григолюк Э. И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций / Э. И. Григолюк,
В. И. Мамай. – М.: Наука, 1997. – 380 c.
9. Рвачев В. Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения / В. Л. Рвачев. – Киев: Наук. думка,
1982. – 552 с.
Поступила в редакцию
01.10.10
|