Оптимізація математичних моделей аеродинамічних поверхонь для авіадвигунів на основі В-сплайнів

Досліджується метод оптимального вибору числа горизонтальних та вертикальних перерізів аеродинамічних поверхонь деталей авіадвигунів, які однозначно можуть бути описані в циліндричній системі координат. Метод використовує явні вирази для В-сплайнів 2-го та 3-го степенів з нерівномірним розміщенням в...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автори:	Литвин, О.М., Пасічник, В.О., Ткаченко, О.В., Черняк, О.О.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України 2010
Назва видання:	Проблемы машиностроения
Теми:	Прикладная математика
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141858
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Оптимізація математичних моделей аеродинамічних поверхонь для авіадвигунів на основі В-сплайнів / О.М. Литвин, В.О. Пасічник, О.В. Ткаченко, О.О. Черняк // Проблемы машиностроения. — 2010. — Т. 13, № 6. — С. 63-70. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-141858
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1418582025-02-09T14:25:05Z Оптимізація математичних моделей аеродинамічних поверхонь для авіадвигунів на основі В-сплайнів Optimization of mathematical models of aerodynamic surfaces for aeroengines on the base of B-splines Литвин, О.М. Пасічник, В.О. Ткаченко, О.В. Черняк, О.О. Прикладная математика Досліджується метод оптимального вибору числа горизонтальних та вертикальних перерізів аеродинамічних поверхонь деталей авіадвигунів, які однозначно можуть бути описані в циліндричній системі координат. Метод використовує явні вирази для В-сплайнів 2-го та 3-го степенів з нерівномірним розміщенням вузлів, тобто їх подання явними аналітичними виразами на кожному з підінтервалів носія сплайна. Исследуется метод оптимального выбора числа горизонтальных и вертикальных сечений аэродинамических поверхностей деталей авиадвигателей, которые однозначно могут быть описаны в цилиндрической системе координат. Метод использует явные выражения для В-сплайнів 2-й и 3-й степеней с неравномерным размещением узлов, то есть их представление явными аналитическими выражениями на каждом из подинтервалов носителя сплайна. Optimal choice method of number of horizontal and profile sections of aerodynamic detail surfaces of aeroengines which can be described unambiguously in cylindrical co-ordinates is being investigated. The method uses explicit expression for V-splines of 2-nd and 3-rd powers with unequal spacing of assemblies, in other words their presentation as explicit analytical forms on each of subintervals of a spline carrier. 2010 Article Оптимізація математичних моделей аеродинамічних поверхонь для авіадвигунів на основі В-сплайнів / О.М. Литвин, В.О. Пасічник, О.В. Ткаченко, О.О. Черняк // Проблемы машиностроения. — 2010. — Т. 13, № 6. — С. 63-70. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141858 519.6 uk Проблемы машиностроения application/pdf Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Прикладная математика Прикладная математика
spellingShingle	Прикладная математика Прикладная математика Литвин, О.М. Пасічник, В.О. Ткаченко, О.В. Черняк, О.О. Оптимізація математичних моделей аеродинамічних поверхонь для авіадвигунів на основі В-сплайнів Проблемы машиностроения
description	Досліджується метод оптимального вибору числа горизонтальних та вертикальних перерізів аеродинамічних поверхонь деталей авіадвигунів, які однозначно можуть бути описані в циліндричній системі координат. Метод використовує явні вирази для В-сплайнів 2-го та 3-го степенів з нерівномірним розміщенням вузлів, тобто їх подання явними аналітичними виразами на кожному з підінтервалів носія сплайна.
format	Article
author	Литвин, О.М. Пасічник, В.О. Ткаченко, О.В. Черняк, О.О.
author_facet	Литвин, О.М. Пасічник, В.О. Ткаченко, О.В. Черняк, О.О.
author_sort	Литвин, О.М.
title	Оптимізація математичних моделей аеродинамічних поверхонь для авіадвигунів на основі В-сплайнів
title_short	Оптимізація математичних моделей аеродинамічних поверхонь для авіадвигунів на основі В-сплайнів
title_full	Оптимізація математичних моделей аеродинамічних поверхонь для авіадвигунів на основі В-сплайнів
title_fullStr	Оптимізація математичних моделей аеродинамічних поверхонь для авіадвигунів на основі В-сплайнів
title_full_unstemmed	Оптимізація математичних моделей аеродинамічних поверхонь для авіадвигунів на основі В-сплайнів
title_sort	оптимізація математичних моделей аеродинамічних поверхонь для авіадвигунів на основі в-сплайнів
publisher	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Прикладная математика
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141858
citation_txt	Оптимізація математичних моделей аеродинамічних поверхонь для авіадвигунів на основі В-сплайнів / О.М. Литвин, В.О. Пасічник, О.В. Ткаченко, О.О. Черняк // Проблемы машиностроения. — 2010. — Т. 13, № 6. — С. 63-70. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
series	Проблемы машиностроения
work_keys_str_mv	AT litvinom optimízacíâmatematičnihmodelejaerodinamíčnihpoverhonʹdlâavíadvigunívnaosnovívsplajnív AT pasíčnikvo optimízacíâmatematičnihmodelejaerodinamíčnihpoverhonʹdlâavíadvigunívnaosnovívsplajnív AT tkačenkoov optimízacíâmatematičnihmodelejaerodinamíčnihpoverhonʹdlâavíadvigunívnaosnovívsplajnív AT černâkoo optimízacíâmatematičnihmodelejaerodinamíčnihpoverhonʹdlâavíadvigunívnaosnovívsplajnív AT litvinom optimizationofmathematicalmodelsofaerodynamicsurfacesforaeroenginesonthebaseofbsplines AT pasíčnikvo optimizationofmathematicalmodelsofaerodynamicsurfacesforaeroenginesonthebaseofbsplines AT tkačenkoov optimizationofmathematicalmodelsofaerodynamicsurfacesforaeroenginesonthebaseofbsplines AT černâkoo optimizationofmathematicalmodelsofaerodynamicsurfacesforaeroenginesonthebaseofbsplines
first_indexed	2025-11-26T19:14:15Z
last_indexed	2025-11-26T19:14:15Z
_version_	1849881484360417280
fulltext	ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 6 63 На этапе идентификации выбирается тот или иной класс нелинейной зависимости мощности источников энергии от температуры с неопределёнными коэффициентами, и с помощью метода наименьших квадратов в интегральной форме определяются эти коэффи- циенты. Предложенный в статье подход к идентификации параметров функции, характери- зующей мощность источника энергии, по данным вычислительного эксперимента позволяет уточнять математические модели тепловых процессов в двухмерных системах с источника- ми энергии. К данным системам относятся платы электронных устройств, приборные панели космических аппаратов и др. Это позволяет значительно повысить степень адекватности мо- делирования тепловых процессов по отношению к реально протекающим в системах с ис- точниками энергии. Литература 1. Рихтмайер Р. Разностные схемы решения краевых задач / Р. Рихтмайер, К. Мортон. – М.: Мир, 1972. – 418 с. 2. Ортега Дж. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвест- ными / Дж. Ортега, В. Рейнболдт. – М.: Мир, 1975. – 558 с. 3. Рвачев В. Л. Алгебра логики и интегральные преобразования в краевых задачах / В. Л. Рвачев, А. П. Слесаренко. – Киев: Наук. думка, 1976. – 288 с. 4. Рвачев В. Л. Алгебро-логические и проекционные методы в задачах теплообмена / В. Л. Рвачев, А. П. Слесаренко. – Киев: Наук. думка, 1978. – 140 с. 5. Слесаренко А. П. Развитие алгебро-логического метода и его приложения к многомерным нели- нейным задачам теплопроводности для однородных и композитных сред: Автореф. дис. … д-ра физ.-мат. наук. – М., 1984. – 36 с. 6. Мацевитый Ю. М. Обратные задачи теплопроводности: В 2-х т. Т. 1. Методология / Ю. М. Маце- витый. – Киев: Наук. думка, 2002. – 408 с. 7. Рвачев В. Л Кручение стержней сложного профиля: Учеб. пособие / В. Л. Рвачев, И. В. Гончарюк. – Харьков: Харьк. политехн. ин-т, 1973. – 104 с. Поступила в редакцию 11.11.10 УДК 519.6 О. М. Литвин, д-р фіз.-мат. наук В. О. Пасічник, канд. техн. наук О. В. Ткаченко** О. О. Черняк* * Українська інженерно-педагогічна академія, (E-mail: academop@kharkov.ua) Харківська державна академія дизайну і мистецтв * ДП «Запорізьке машинобудівне конструкторське бюро “Прогрес” ім. академіка А. І. Івченка» ОПТИМІЗАЦІЯ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ АЕРОДИНАМІЧНИХ ПОВЕРХОНЬ ДЛЯ АВІАДВИГУНІВ НА ОСНОВІ В-СПЛАЙНІВ Досліджується метод оптимального вибору числа горизонтальних та вертикальних перерізів аеродинамічних поверхонь деталей авіадвигунів, які однозначно можуть бути описані в циліндричній системі координат. Метод використовує явні вирази для В- сплайнів 2-го та 3-го степенів з нерівномірним розміщенням вузлів, тобто їх подання явними аналітичними виразами на кожному з підінтервалів носія сплайна. Исследуется метод оптимального выбора числа горизонтальных и вертикальных сече- ний аэродинамических поверхностей деталей авиадвигателей, которые однозначно мо- гут быть описаны в цилиндрической системе координат. Метод использует явные вы- ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 6 64 ражения для В-сплайнів 2-й и 3-й степеней с неравномерным размещением узлов, то есть их представление явными аналитическими выражениями на каждом из подинтер- валов носителя сплайна. Вступ В роботах [1–3] запропонований метод математичного моделювання поверхні три- вимірного тіла, яка може бути однозначно описана в циліндричній системі координат. В цій математичній моделі на основі експериментальних даних у вигляді координат точок на по- верхні тіла мінімізується загальне число горизонтальних та вертикальних перерізів, достат- ніх для відновлення поверхні у вигляді сплайна від двох змінних із заданою точністю. За- пропонований в [1–3] метод дозволяє використовувати В-сплайни степеня m (m = 1, 2, 3, …), але чисельна реалізація методу з використанням В-сплайнів більш високого степеня m (m = 2, 3, …) вимагала явних формул для В-сплайнів з нерівномірно розподіленими вузлами сплайна. Це твердження ґрунтується на тому, що використання В-сплайнів, наприклад, 2-го степеня з рівномірним розподілом вузлів приводить до таких функцій двох змінних, які бу- дуть міняти опуклі частини на вгнуті лише на лініях, що лежать на перерізі поверхні рівно- віддаленими паралельними площинами z = kh, k = 1, 2, …, n. Але оригінальна поверхня може змінювати опуклість на вгнутість на лініях, які не обов’язково лежать на рівновіддалених площинах. Крім того, слід відзначити, що відомі явні формули [4] для В-сплайнів степеня m (m = 2, 3, …) є неекономними, оскільки вимагають для обчислень в одній точці врахування всіх доданків (навіть тих, які в даній точці дорівнюють нулю). Тому актуальним для оптимі- зації математичної моделі поверхні тривимірного тіла є використання В-сплайнів з нерівно- мірним розподілом вузлів, заданих поінтервально. Такі результати можуть бути використані для опису аеродинамічних поверхонь деталей авіадвигунів, наприклад поверхні пера лопат- ки. Нагадаємо [4, c. 18–19], що нормований В-сплайн Bi,k,t(x) k-го порядку (степеня k – 1), відповідний послідовності вузлів y = (ti), може бути визначений рекурентними формулами 1 ,, )](,,)[()( − +++ −τττ−= k kiiikitki xtτxB K , де ⎩ ⎨ ⎧ >− ≤ =−=− − −− + xtxt xt xtxt k kk ,)( ,,0 }0,)max{()( 1 11 2 1],,[ +ττ ki K – скінченні різниці, що визна- чаються таким чином: ;,][][],[],[][ 21 21 21 2111 τ≠τ τ−τ τ−τ =τττ=τ ggggg ;,],,,,,[],,,,,[],,[ 1111 sr sr kissikirri kii ggg τ≠τ τ−τ ττττ−ττττ =ττ ++−++− + KKKK K .kisri +τ<<τ<<τ<<τ LLL Основна частина В даній роботі на основі В-сплайнів другого та третього степенів, побудованих в ро- ботах [5, 6], пропонується метод відновлення поверхні тривимірного тіла з оптимальним ви- бором системи горизонтальних та вертикальних перерезів поверхонь, тобто пропонується зображувати математичну модель поверхні у вигляді функції R = R(z, ϕ), що має неперервні частинні похідні ϕ∂ ∂ ∂ ∂ R z R , (у випадку використання В-сплайнів 2-го степеня) та ϕ∂ ∂ ∂ ∂ R z R , , ϕ∂∂ ∂ ϕ∂ ∂ ∂ ∂ z RR z R 2 2 2 2 2 ,, (у випадку використання В-сплайнів 3-го степеня). Це дає можливість більш адекватно описувати поверхню в тих точках, де вона має різкі зміни кривини (у випа- ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 6 65 дку використання В-сплайнів 2-го степеня), або отримувати опис поверхні у вигляді функції з неперервною кривиною (у випадку використання В-сплайнів 3-го степеня). Згідно з [5, 6], В-сплайни 2-го та 3-го степенів описуються такими формулами: В-сплайн 2-го степеня S2(x, X) ∈ C1(R) дефекту 1 на довільній сітці вузлів –∞ < X0 < X1 < X2 < X3 < ∞ має вигляд (y = (y, y2)) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤< − − + − + − ≤< − − + − − + − ≤< − − ≥≤ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − ∫ ., )(2 )( 2 )( 2 )( , )(2 )( )(2 )( 2 )( ), )(2 )( ,,0 ),,( ;),,(),,(),( 322 32 2 3 2 13 1 02 212 12 2 1 1 21 2 2 1 02 101 0 2 0 30 2 1 222 3 0 XxXy XX XxyXXyXX XxXy XX Xxy XX XxyXX XxXy Xx Xx XxXx yXxSS dxyXxSSyXxSSXxS X X З умови SS2(X3, X, y) = 0 отримуємо 1 13 02 2 )( )( y XX XXy − − −= . Якщо 1 * 21 3 0 ),,( − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ X X dxyXxSSy , де y* = (1, (X2 – X0)/(X3 – X2)), то отримана формула 1 * 2 * 22 3 0 ),,(),,(),( − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ X X dxyXxSSyXxSSXxS задовольняє умову 1),( 3 0 2 =∫ X X dxXxS . Нормований сплайн 3-го степеня S3(x, X, y) ∈ C2(R) визначається написаною нижче формулою за умов S3(X4, X, y) = 0, 0),,( 4 3 = =Xx yXxS dx d , 1 * 2 * 33 3 0 ),,(),,(),( − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ X X dxyXxSSyXxSSXxS , y = (y1, y2, y3), y* = (y1, y2, 1), де для невідомих y1, y2, y3 виконуються співвідношення ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) . , ,1 3 1303 431024 2 3 0203 2414 1 3 y XXXX XXXXXXy y XXXX XXXXy y −− −−+− = −− −− = = ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 6 66 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ <<⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−+ −−− − + +−−+−−+−−+ + − − +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−− −− × − + +−−+⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ − −× × − +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ − − ≤< − − +−−− ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −−− − +−−+ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ − − − +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ − − ≤< − − + +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−− −−− − + +−−+− ≤< − − ≤ = .,0 ,, 32 222 632 23 232 , 6 322 3232 , 6 32 26 , 6 ,0 ,, 4 433 2 34 3 43 3 4 43 3 323 3 313 2 302 1 3 23 3 23 23 2 32 3 32 32 2 2312 23 21 3 21 21 1 12 01 01 1 32 3 23 3 2 2 2 32 3 32 3 3 32 2 212 2 3 21 3 21 21 1 12 01 01 1 21 2 12 3 1 1 2 21 3 21 3 2 21 1 101 12 01 1 10 01 3 01 0 3 Xx XxXXxXXXXXx XX y XxXXyXxXXyXxXXy y XX XXXXXXXX XX y XXXXyXXXX XX yXXXXXXy XxXy XX XxXxXX XXXx XX yXxXXy XXXX XX yXXXXXXy XxXy XX Xx XxXXXXXx XX y XxXXyXXy XxX XX Xxy Xx yXxSS Нижче сформулюємо метод мінімізації числа горизонтальних та вертикальних пере- різів, який дозволяє описувати поверхню тривимірного тіла в циліндричній системі коорди- нат з необхідною точністю. Математична модель поверхні – це її опис у вигляді ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤π<ϕ≤ = ϕϕ=ϕ ϕϕ=ϕ ,0,20 sin),(),( cos),(),( Hz zz zRzy zRzx де R(z, ϕ) – відстань від осі циліндричної системи координат до точки на поверхні тіла, що лежить на висоті z і відповідає куту ϕ. Описуючи поверхню, на практиці використовується скінченний набір точок на ній (точковий каркас). Як правило [1], ці точки розміщені на де- якій системі горизонтальних z = zi, i = 1, 2, …, M та вертикальних ϕ = ϕj j = 1, 2, …, N пло- щин, що перетинають поверхню. ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 6 67 В даній статті будемо розв’язувати таку задачу. За відомими експериментальними даними – координатами точок на поверхні Γ тіла (Xp,q, Yp,q, Zq) ∈ Γ, p = 1, 2, …M, q = 1, 2, …, N переходимо до даних у циліндричній системі координат OZΦR 0 = Z1 < Z2 < … < ZM = H, H > 0; 0 = Φ1 < Φ2 < … < ΦN = 2π, Xp,q = Rp,qcosΦp, Yp,q = Rp,qsinΦp, 2 , 2 ,, qpqpqp YXR += , p = 1, 2, …, M, q = 1, 2, …, N. Далі на основі цих даних будуємо інтерпо- ляційний сплайн f(ϕ, z, Φ, Z, R) з властивостями f(Φp, Zp, Φ, Z, R) = Rp,q p = 1, 2, …M, q = 1, 2, …N і f(ϕ, z, Φ, Z, R) ∈ Cm(D), D = [0, H]×[0, 2π], (m = 1 якщо використовуємо В- сплайни 2-го, та m = 2, якщо використовуємо В-сплайни 3-го степеня). Задаємо деякі натуральні числа r (2 ≤ r ≤ M – 1) та s (2 ≤ s ≤ N – 1) і будуємо сплайн ),,,,( ~ * RZzf Φϕ , ],,[ 1 * rZZZ K= , ],,[ ** 1 * sΦΦ=Φ K за змінними ϕ та z з s×r невідомими вузлами ),( ** ji ZΦ , * iΦ=ϕ , i = 1, 2, …s; π=Φ<<Φ<Φ= 20 ** 2 * 1 sL ; * jZz = , j = 1, 2, …, r; HZZZ r =<<<= ** 2 * 10 L і невідомими значеннями ),,;,( ~ ****** , RZZfR jiji ΦΦ= ; i = 1, 2, …, r; j = 1, 2, …, s; 1, * 1, ii RR = ; riji RR , * , = , sii RR , * 0, = , i = 1, 2, …, r. Задача полягає у побудові сплайна )(),,,,( ~ *** DCRZzf m∈Φϕ , m = 1 або m = 2, з опти- мальним розміщенням r – 2 вузлів * kZz = , k = 2, 3, …, r – 1 та s – 2 вузлів * lΦ=ϕ , l = 2, 3, …, s – 1. Невідомі вузли та вузлові значення * , jiR знаходимо з умови найменшого відхилення побудованої моделі поверхні ),,,,( ~ * RZzf Φϕ від інтерполяційного сплайна f(ϕ, z, Φ, Z, R), (ϕ, z) ∈ = [0, 2π]×[0, H], тобто з умови * ,, * min),,( RZ RZ Φ →Φl , ),,,,( ~ ),,,,(max:),,,,( ~ ),,,,(),,( * ),()( **** RZzfRZzfRZfRZfRZ DzDC Φϕ−Φϕ=Φ••−Φ••=Φ ∈ϕ l . Викладемо суть алгоритму побудови математичної моделі по кроках. Крок 1. Будуємо математичну модель поверхні за відомими даними Ri,j, i = 1, 2, …, M, j = 1, 2, …, N (Ri,j – відстань від осі циліндричної системи координат до повер- хні на висоті z = Zj для значення кута ϕ = Φi) у вигляді сплайна степеня m (m = 2, 3) по кож- ній змінній. У випадку біквадратичних сплайнів (m = 2) ця математична модель може бути записана у вигляді [ ] ].,,,[)(,,,,)( ,))(,())(,(),,,,( 321321 1 0 1 0 ,2 ++++++ + = + = =ΦΦΦΦ=Φ Φϕ=Φϕ ∑∑ jjJjiiii M i N j ji ZZZZjZi CjZzSiSRZzf Невідомі сталі Ci,j, i = 0, 1, …M + 1, j = 0, 1, …N + 1 знаходимо з умов f(Φi, Zj, Φ, Z, R) = Ri,j, i = 1, 2, …M, j = 1, 2, …, N; f(Φi, Zj, Φ, Z, R) = f(0, Zj, Φ, Z, R) = f(2π, Zj, Φ, Z, R) = f(ΦM, Zj, Φ, Z, R) = , j = 1, 2, …, N. Крок 2. Будуємо математичну модель, використовуючи r – 2 невідомих горизонталь- них перерізів HZZriZz ri ==−== 1 * ,0,1,3,2, K і s – 2 вертикальних перерізів * jΦ=ϕ , j = 1, 2, …, s, 0* 0 =Φ , π=Φ 2* s з невідомими відліками * , jiR , i = 1, 2, …, r, j = 1, 2, …, s, у ви- гляді сплайна від двох змінних степеня m = 2 за кожною змінною. Його можна подати за до- помогою описаних вище В-сплайнів з нерівномірно розміщеними вузлами у вигляді ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 6 68 ∑∑ − = − = Φϕ=Φϕ 1 0 1 0 * , * 2 ***** ))(,())(,(),,,,( s i r j jiCjZzSiSCZzf . Крок 3. Знаходимо невідомі * jZ , j = 2, 3, …, r – 1, * iΦ , i = 2, 3, …, s – 1 та * , jiC із умо- ви мінімуму такого виразу: [ ]∑ ∫ ∫ − = π Φ − →ϕΦϕ−Φϕ=Φ 1 1 2 0 ,, 2******* * * 1 *** min),,,,(),,,,(),,( r k Z Z CZ k k dzdCZzfRZzfCZJ . (1) Для початкового наближення треба задавати значення )0( jZ , j = 2, 3, …, r – 1, )0( iΦ , i = 2, 3, …, s – 1. Для мінімізації виразу (1) зручно використовувати стандартну процедуру системи MATLAB під назвою ),,,(min * CZJsf Φ , ),,( 0 * rZZZ K= , ),,( ** 0 * sΦΦ=Φ K за умов Z0 = 0, HZr = * , 0* 0 =Φ , π=Φ 2* s або стандартні процедури системи Mathcad під назвою Minimize(J, Φ, Z, C) чи Minerr(J, Φ, Z, C), оскільки ці процедури ґрунтуються на прямих методах, що не вимагають обчислення градієнта або іншої інформації про похідні. Загальна процедура розв'язання задачі * ,, * min),,( CZ CZJ Φ →Φ може бути виконана також у такій послідовності. 1. Задаємо значення )0( jZ , j = 2, 3, …, r – 1 та )0( iΦ , i = 2, 3, …, s – 1 і знаходимо * , jiC , i = 1, 2, …, s, j = 1, 2, …, r із системи лінійних рівнянь 0),,( *** * , =Φ ∂ ∂ CZJ C qp , p = 2, 3, …, s – 1, q = 2, 3, …, r – 1. (2) 2. Систему (2) можна подати у формі ∑∑ − = − = = 1 2 , 1 2 * ,,,, s i qp r j jijiqp BCA , p = 2, 3, …, s – 1, q = 2, 3, …, r – 1; ∫ ∫ π ϕΦϕΦϕ= 2 0 0 * ,,, ))(,())(,())(,())(,( H jiqp dzdqZzspsjZzsisA , p = 2, 3, …, s – 1, q = 2, 3, …, r – 1; ∫ ∫ π ϕΦϕΦϕ= H qp ddzqZzspsZzfB 0 2 0 * , ))(.())(,(),,,( , p = 2, 3, …, s – 1, q = 2, 3, …, r – 1. Зауваження 1. З метою зменшення кількості арифметичних операцій значення * , jiC можна визначати також за таким алгоритмом: * , ****** ),,,,( jiji RCZZf =ΦΦ , i = 2, 3, …, s – 1, j = 2, 3, …, r – 1. Крок 2. Далі підставляємо знайдені значення * , jiC у вираз ),,( *** CZJ Φ і знаходимо * jZ , j = 2, 3, …, r – 1, * iΦ , i = 2, 3, …, s – 1 з умови , * min),,( Φ →Φ Z CZJ . Цей метод послідовного наближення по суті своїй є узагальненням методу Зейделя розв'язання систем нелінійних рівнянь на досліджуваний тут випадок, коли по змінних * , jiC функція ),,( *** CZJ Φ є квадратичною функцією, а по змінних * 1 * 2 * 1 * 2 ,,,,, −− ΦΦ srZZ KK вона є нелінійною функцією, вигляд якої істотно залежить від вибору степеня сплайна, що являє собою функції s(ϕ, Φ(i)), s(z, Z(j)). ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 6 69 Зауваження 2. При побудові сплайна ),,,,( ** RZzf Φϕ з мінімальною кількістю го- ризонтальних і вертикальних ліній на поверхні до задачі мінімізації функціоналу [ ]∫ ∫ π ϕΦϕ−Φϕ 2 0 0 2 ),,,(),,,( H dzdZzsZzs треба долучати обмеження [ ] [ ] .1,2,1,const),,,(),,,( ,1,1,0,const),,,(),,,( 2 0 2 0 2 * 1 * * 1 * −==β=ϕΦϕ−Φϕ −==α=ϕΦϕ−Φϕ ∫ ∫ ∫ ∫ π Φ Φ + + rjdzdZzsZzs sidzdZzsZzs j j i i Z Z H K K Зауваження 3. Мінімальна кількість вертикальних і горизонтальних ліній на поверх- ні (тобто числа s, r) знаходяться з умови, щоб ε≤Φ ),,( *** RZl , де ε – задане. Приклад. Напишемо аналітичний вираз рівняння в неявній формі поверхні тіла, яке передає момент кручення (це тіло має форму викрутки), з використанням методу R-функцій таким чином: f2(x, y, z) = 0, де )],,(),,,([),,(2 21 zyxpmwzyxpmwRdzyxf = , )],(),,([),,()],,(),,([),,( 222111 zymwzypwRkzyxpmwzxmwzxpwRkzyxpmw == , ( ) ( ) ( )dzcyzypwdzcxzxmwdzcxzxpw −⋅+−=−⋅+−−=−⋅+−= ),(,),(,),( 211 , ( ) ( ) ( )vuvuvuRkvuvuvuRddzcyzymw −−+⋅=−++⋅=−⋅+−−= 2 1),(, 2 1),(,),(2 . На рис. 1 зображені перерізи цього тіла при z = zk, zk = k/10, k = 0, 1, …, 9. На рис. 2 подано пошарове зображення викрутки з використанням десяти зрізів. Зауважимо, що побудова неявного рівняння заданого об’єкта здійснена за допомо- гою R-функцій В. Л. Рвачова [7]: R-кон’юнкція – Rk(u, v) і R-диз’юнкція – Rd(u, v). Для опи- су цього об’єкта запропонованим методом використано також меншу кількість перерізів (всього п’ять). При цьому похибка відновлення поверхні не перевищувала 15%. а) б) в) г) д) е) ж) и) к) л) Рис. 1. Зображення функції f2(x, y, zk): а) – f2(x, y, 0); б) – f2(x, y, 0,1), в) – f2(x, y, 0,2), г) – f2(x, y, 0,3); д) – f2(x, y, 0,4); е) – f2(x, y, 0,5); ж) – f2(x, y, 0,6); и) – f2(x, y, 0,7) к) – f2(x, y, 0,8); л) – f2(x, y, 0,9) ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 6 70 Висновки Таким чином, у даній роботі за- пропоновано метод оптимального вибору координат вузлів біквадратичного або бікубічного сплайнів та мінімальної кі- лькості цих вузлів, що забезпечує задану точність відхилення від квадратичного або відповідно кубічного сплайнів, побу- дованих на основі повного набору експе- риментальних даних і максимального числа вузлів на горизонтальних та верти- кальних лініях на поверхні. Метод можна використовувати лише для математично- го моделювання поверхонь, які однозна- чно зображуються в циліндричній систе- мі координат. Ці результати, зокрема, можуть бути використані для опису по- верхні пера лопатки авіадвигунів. Література 1. Литвин О. М. Оптимізація горизонтальних перерізів математичної моделі поверхні манекена з використанням інтерлінації функцій / О. М. Литвин, В. О. Пасічник // Доп. НАН України. – 2004. – № 2. – С. 66–71. 2. Литвин О. М. Оптимізація числа вертикальних перерезів поверхні манекена та їх розміщення при математичному моделюванні / О. М. Литвин, В. О. Пасічник // Доп. НАН України. – 2005. – № 6. – С. 63–68. 3. Литвин О. Н. Оптимизация математической модели поверхности трёхмерного тела / О. Н. Литвин, В. А. Пасечник // Кибернетика и систем. анализ. – 2006. – № 1. – С. 103–112. 4. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам: Пер. с англ. / К. Де Бор. – М.: Радио и связь, 1985. – 304 с. 5. Литвин О. М. Математичне моделювання процесів інтерполяційними сплайнами на нерегулярній сітці вузлів / О. М. Литвин, О. В. Ткаченко // Доп. НАН України. – 2010. – № 1. – С. 34–39. 6. Литвин О. М. Математичне моделювання процесів інтерполяційними сплайнами на нерегулярній сітці вузлів / О. М. Литвин, Л. І. Гулік, О. В. Ткаченко // Питання оптимізації обчислень (ПОО- XXXV): Пр. міжнар. симпозіуму. – 2009. – Т. 2. – С. 8–13. 7. Рвачев В. Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения / В. Л. Рвачев. –Киев: Наук. думка, 1982. – 550 с. Надійшла до редакції 09.09.10 Риc. 2. Пошарове зображення досліджуваного тіла

Оптимізація математичних моделей аеродинамічних поверхонь для авіадвигунів на основі В-сплайнів

Репозитарії

Схожі ресурси