Равнопрочная форма отверстия для торможения роста трещины продольного сдвига
Рассмотрена задача об отыскании равнопрочной формы отверстия в кончике трещины и ее влияния на развитие трещины. Предложен критерий и метод решения задачи по предотвращению хрупкого разрушения тела, ослабленного трещиной продольного сдвига. Получено условие хрупкого разрушения....
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
2017
|
| Schriftenreihe: | Проблемы машиностроения |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141880 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Равнопрочная форма отверстия для торможения роста трещины продольного сдвига / Н.М. Калантарлы // Проблемы машиностроения. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 31-37. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-141880 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1418802025-02-23T17:32:24Z Равнопрочная форма отверстия для торможения роста трещины продольного сдвига Equistrong hole shape for crack growth deceleration under longitudinal shear Калантарлы, Н.М. Динамика и прочность машин Рассмотрена задача об отыскании равнопрочной формы отверстия в кончике трещины и ее влияния на развитие трещины. Предложен критерий и метод решения задачи по предотвращению хрупкого разрушения тела, ослабленного трещиной продольного сдвига. Получено условие хрупкого разрушения. Розглянуто задачу про відшукування рівноміцної форми отвору в кінчику тріщини та її вплив на розвиток тіщини. Запропоновано критерій та метод розв’язування задачі з запобігання крихкому руйнуванню тіла, ослабленого тріщиною поздовжнього зсуву. Отримано умову крихкого руйнування. The problem of finding an equistrong hole shape in crack tip and its effect on crack development is considered. A criterion and method for the problem solution to prevent brittle fracture of solid weakened by longitudinal shear crack is proposed. Using the perturbation method and the conformal mapping to parametric plane, the problem in each approximation is reduced to boundary value problem for analytic function. In each approximation, the solution of the boundary value problem for analytic function in the class of everywhere bounded functions (stresses) is obtained in closed form. The reduction of the stress concentration on the hole’s contour in the crack tip is done by the method of least squares. To determine expansion coefficients of the Fourier series of the required hole shape function and the optimal value of circumferential tangential stress in surface layer of the hole an infinite linear system of algebraic equations is obtained for elastic material. The condition of brittle fracture is obtained. 2017 Article Равнопрочная форма отверстия для торможения роста трещины продольного сдвига / Н.М. Калантарлы // Проблемы машиностроения. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 31-37. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141880 539.375 ru Проблемы машиностроения application/pdf Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Динамика и прочность машин Динамика и прочность машин |
| spellingShingle |
Динамика и прочность машин Динамика и прочность машин Калантарлы, Н.М. Равнопрочная форма отверстия для торможения роста трещины продольного сдвига Проблемы машиностроения |
| description |
Рассмотрена задача об отыскании равнопрочной формы отверстия в кончике трещины и ее влияния на развитие трещины. Предложен критерий и метод решения задачи по предотвращению хрупкого разрушения тела, ослабленного трещиной продольного сдвига. Получено условие хрупкого разрушения. |
| format |
Article |
| author |
Калантарлы, Н.М. |
| author_facet |
Калантарлы, Н.М. |
| author_sort |
Калантарлы, Н.М. |
| title |
Равнопрочная форма отверстия для торможения роста трещины продольного сдвига |
| title_short |
Равнопрочная форма отверстия для торможения роста трещины продольного сдвига |
| title_full |
Равнопрочная форма отверстия для торможения роста трещины продольного сдвига |
| title_fullStr |
Равнопрочная форма отверстия для торможения роста трещины продольного сдвига |
| title_full_unstemmed |
Равнопрочная форма отверстия для торможения роста трещины продольного сдвига |
| title_sort |
равнопрочная форма отверстия для торможения роста трещины продольного сдвига |
| publisher |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Динамика и прочность машин |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141880 |
| citation_txt |
Равнопрочная форма отверстия для торможения роста трещины продольного сдвига / Н.М. Калантарлы // Проблемы машиностроения. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 31-37. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| series |
Проблемы машиностроения |
| work_keys_str_mv |
AT kalantarlynm ravnopročnaâformaotverstiâdlâtormoženiârostatreŝinyprodolʹnogosdviga AT kalantarlynm equistrongholeshapeforcrackgrowthdecelerationunderlongitudinalshear |
| first_indexed |
2025-11-24T02:36:55Z |
| last_indexed |
2025-11-24T02:36:55Z |
| _version_ |
1849637538566766592 |
| fulltext |
ДИНАМІКА ТА МІЦНІСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машинобудування, 2017, Т. 20, № 4 31
Н. М. Калантарлы, д-р физ.-мат. наук
Институт математики и механики
НАН Азербайджана, г. Баку,
е-mail: nailyak1975@gmail.com
Ключові слова: тріщина, поздовжній зсув,
оптимальний отвір, принцип рівноміцності.
УДК 539.375
РАВНОПРОЧНАЯ ФОРМА ОТВЕРСТИЯ
ДЛЯ ТОРМОЖЕНИЯ РОСТА ТРЕЩИНЫ
ПРОДОЛЬНОГО СДВИГА
Розглянуто задачу про відшукування рівноміцної форми отво-
ру в кінчику тріщини та її вплив на розвиток тріщини. Запро-
поновано критерій та метод розв’язування задачі з запобі-
гання крихкому руйнуванню тіла, ослабленого тріщиною поз-
довжнього зсуву. Отримано умову крихкого руйнування.
Введение
Как известно, одним из распространенных методов торможения медленно растущих трещин
является засверловка отверстия в их вершинах [1]. В работах [2, 3] рассмотрены задачи о влиянии
кругового и эллиптического отверстия в кончике трещины на ее развитие. Надежность в эксплуата-
ции, экономичность, а также другие механические свойства конструкции в значительной мере зави-
сят от формы отверстия, имеющегося в конструкции. Поэтому задачи отыскания в некотором смысле
оптимальной формы отверстия имеют несомненное прикладное значение. Задачи отыскания опти-
мальных форм отверстий в общем случае сводятся к решению вариационных задач с неизвестными
границами. В некоторых случаях для определения формы отверстия, на которых технологически не-
избежная концентрация была бы сведена к минимуму по сравнению со всеми другими возможными
формами отверстий, приходим к задаче теории упругости с неизвестной границей. Задачи теории уп-
ругости и упругопластичности с неизвестными границами были рассмотрены в работах [4–20]. Обзор
работ по определению равнопрочных отверстий приведен в статье Г. П. Черепанова [21]. Для тормо-
жения медленно растущей трещины целесообразно провести засверловку отверстия равнопрочной
формы в ее кончике. Таким образом, снижение концентрации напряжений на контуре отверстия в
кончике трещины является актуальной проблемой.
Цель работы состоит в разработке математической модели для торможения трещины путем
засверловки отверстия в ее вершине, позволяющей рассчитать равнопрочную форму отверстия при
заданных режимах нагружения.
Постановка задачи
Рассмотрим сплошное упругое деформированное тело, ослабленное прямолинейными трещи-
нами. Деформации тела приняты малыми величинами. Введем систему прямолинейных декартовых
координат хуz с центром О в конце трещины. При этом ось у направим по нормали к поверхности
трещины, ось z вдоль контура трещины, а ось х вглубь тела.
Будем считать выполненным условие локальной симметрии, согласно которому в малой окре-
стности каждой точки контура прямолинейной трещины имеет место симметрия относительно каса-
тельной плоскости к поверхности трещины в этой точке. Считаем, что для торможения роста трещи-
ны в ее кончике высверлено отверстие. Функция геометрии формы отверстия в кончике трещины за-
ранее неизвестна и подлежит определению.
Ограничимся наиболее типичным и общим случаем, когда характерный линейный размер от-
верстия мал сравнительно с характерным линейным размером тела L. Итак, считается выполненным
условие L >> R >> ρ. Здесь L – характерный линейный размер тела; R – характерный линейный раз-
мер искомого отверстия в кончике трещины; ρ – радиус кривизны конца трещины. Заметим, что в ка-
честве L можно брать линейный размер трещины, расстояние конца трещины от границы тела, радиус
кривизны контура трещины.
Рассмотрим окрестность конца трещины продольного сдвига, малую сравнительно с харак-
терным линейным размером тела, но большую по сравнению с размером отверстия в вершине трещи-
ны. Рассматриваемая малая окрестность представится на плоскости Oxy бесконечной областью, за-
Н. М. Калантарлы, 2017
ДИНАМІКА ТА МІЦНІСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машинобудування, 2017, Т. 20, № 4 32
нимающей внешность контура D (рис. 1). Параметры,
характеризующие напряженно-деформированное со-
стояние тела в этой малой окрестности, не зависят от
координаты z. Считается, что упругое тело находится в
условиях антиплоской деформации.
Представляет интерес постановка и решение
следующей задачи теории упругости с неизвестной
границей:
при y = 0, –∞ < x < –a τyz = 0,
на неизвестном контуре отверстия r = ρ(θ)
τzn = 0,
при y = 0, x → ∞ ( ) IIIlim Kzτ yz = .
Здесь KIII – коэффициент интенсивности напряжений (параметр нагружения) считается из-
вестным; τxz, τyz, τzn – напряжения.
Напомним, что коэффициент интенсивности напряжений определяется только из решения за-
дачи в целом и зависит от геометрии тела и внешней нагрузки.
В условиях антиплоской деформации поле упругих смещений в рассматриваемом теле описы-
вается следующим образом:
u = 0, v = 0, w = w(x,y).
Напряжения на основании закона Гука представляются в виде
σx = 0; σy = 0; σz = 0; τxy = 0;
y
w
yz ∂
∂
µ=τ ;
x
w
xz ∂
∂
µ=τ .
Здесь µ = E/2(1 + ν) – модуль сдвига; Е – модуль Юнга; ν – коэффициент Пуассона.
В условиях антиплоской деформации напряжения и перемещения можно представить [22] че-
рез одну аналитическую функцию f(z)
w = Re f(z), )(zfi yzxz
′µ=τ+τ , z = x+ iy. (1)
Требуется определить форму отверстия (функцию ρ(θ), где θ – полярный угол).
Для этого постановку задачи необходимо дополнить критерием выбора формы отверстия. В
качестве критерия выбора отверстия используем принцип равнопрочности.
Таким образом, в случае отыскания формы отверстия в упругом теле в кончике трещины, об-
ладающей минимальной концентрацией напряжения, приходим к обратной задаче теории упругости с
дополнительным условием
τzθ = τ
*
= const на r = ρ(θ), (2)
где τzθ – окружное тангенциальное напряжение. Для упругого материала τ
*
подлежит определению в
процессе решения. Такой контур называется равнопрочным.
Это дополнительное условие позволяет определить искомую функцию ρ(θ) формы отверстия.
Метод решения
Ищем неизвестный заранее контур отверстия в кончике трещины в классе контуров, близких
к круговым. Представим неизвестный контур отверстия в виде
ρ(θ) = R + ε h(θ),
в котором функция h(θ) подлежит определению в процессе решения задачи.
Здесь ε = R
0
/R – малый параметр; R
0
– наибольшая высота отклонения (неровности) профиля
контура отверстия от окружности r = R.
Без уменьшения общности рассматриваемой задачи считается, что искомая функция h(θ) мо-
жет быть представлена в виде отрезка тригонометрического ряда Фурье
Рис. 1. Схема расположения искомого
отверстия и трещины
ДИНАМІКА ТА МІЦНІСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машинобудування, 2017, Т. 20, № 4 33
( ) ( )∑
∞
=
θβ+θα=θ
0
sincos
k
kk kkh .
Искомые функции (напряжения и перемещения) ищутся в виде разложений по малому пара-
метру ε
...)1()0( +ετ+τ=τ xzxzxz , ...
)1()0( +ετ+τ=τ yzyzyz , ...)1()0( +ε+= www ,
в которых пренебрегаем для упрощения членами, содержащими ε в степени выше первой.
Каждое из приближений удовлетворяет дифференциальным уравнениям плоской задачи тео-
рии упругости в условиях антиплоской деформации.
Значения компонент тензора напряжений при r = ρ(θ) получим, разлагая в ряд выражения для
напряжений в окрестности r = R. Используя известные формулы для компонент напряжений, гранич-
ные условия задачи на контуре r = R (рис. 2) примут следующий вид:
для нулевого приближения
0)0( =τzn ; (3)
для первого приближения
( )θ=τ Tzn
)1( , (4)
где функция T(θ) зависит от напряженного состояния в нулевом приближении и функции h(θ).
На берегах трещины имеем граничные условия
для нулевого приближения
при y = 0, –∞ < x < –R, 0
)0( =τ yz ; (5)
для первого приближения
при y = 0, –∞ < x < –R, 0
)1( =τ yz .
С помощью представлений (1) и вспомогательной аналитической функции φ(z) = z f'(z) иско-
мая задача (3)–(5) в нулевом приближении сводится к граничной задаче для аналитической функции
φ(z)
при y = 0, –∞ < x < –R, Im[φ(z)] = 0; (6)
при |z| = R, Re[φ(z)] = 0;
при z → ∞, ( ) z
Ki
z
µ
−=ϕ III2
lim . (7)
Вначале найдем функцию z = ω(ζ), которая осуществляет отображение верхней полуплоско-
сти комплексного переменного ζ на внешность контура D0 в физической плоскости z = x + iy. С по-
мощью преобразования 12
1 −ζ+ζ=z отобразим верхнюю полуплоскость ζ на верхнюю полуплос-
кость z1 с выброшенным полукругом единичного радиуса. Затем, применяя функцию z2 = –i z1, пере-
ведем полуплоскость z1 в правую полуплоскость с выброшенным полукругом единичного радиуса.
Преобразование 2
23 zz = отобразит правую полуплос-
кость z2 на внешность контура D1, представляющего
собой разрез вдоль y = 0, –∞ < x3 < –1 и единичной ок-
ружности с центром в начале координат x3y3. Далее,
применяя преобразование z = Rz3, отобразим внешность
контура D1 на внешность контура D0 в физической
плоскости z = x + iy. Запишем теперь функцию z = ω(ζ)
в раскрытом виде
( )
−ζ+ζ−=−===
2
22
1
2
23 1RzRRzRzz .
Таким образом, аналитическая функция z = ω(ζ)
Рис. 2. Расчетная схема задачи в нулевом
приближении
ДИНАМІКА ТА МІЦНІСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машинобудування, 2017, Т. 20, № 4 34
осуществляет отображение верхней полуплоскости ζ на внешность контура D в физической плоско-
сти комплексного переменного z = x + iy (рис. 1).
Перейдем на параметрическую плоскость комплексного переменного ζ при помощи преобра-
зования z = ω(ζ).
Обозначим
Φ(ζ) = φ[ω(ζ)].
В принятых обозначениях на основании граничного условия (6) получаем на вспомогательной
плоскости ζ = η + iξ смешанную краевую задачу для определения аналитической функции Φ(ζ)
при ζ = 0, –∞ < η < –1 ImΦ(ζ) = 0;
при ζ = 0, –1 < η < 1 ReΦ(ζ) = 0; (8)
при ζ = 0, 1 < η < ∞ ImΦ(ζ) = 0.
В бесконечно удаленной точке на основании (7) и принятого обозначения функция Φ(ζ) ведет
себя следующим образом:
( )
µ
ζ
−=ζΦ
RKIII2
. (9)
Решение краевой задачи (8), (9) в классе всюду ограниченных функций имеет следующий вид:
( ) 1
2 2III −ζ
µ
−=ζΦ
RK
.
Окончательно, для аналитической функции f(z) имеем
( )
+
µ
−=′
23
III 1
z
R
z
iK
zf . (10)
С помощью полученных соотношений (10) и представления (1), находим напряжения в нуле-
вом приближении
θ+θ−=τ
2
3
sin
2
1
sinIII0
r
R
r
K
xz ,
θ+θ=τ
2
3
cos
2
1
cosIII0
r
R
r
K
yz ,
θ
+=τ θ
2
1
cos1III0
r
R
r
K
z , θ
−=τ
2
1
sin1III0
r
R
r
K
zr .
Здесь r, θ – полярные координаты с центром в точке О (θ = 0 соответствует продолжению
трещины).
Зная напряженное состояние в нулевом приближении, находим формально функцию T(θ).
После нахождения решения задачи в нулевом приближении можно перейти к решению рас-
сматриваемой задачи в первом приближении.
Граничные условия задачи для первого приближения запишутся для вспомогательной анали-
тической функции φ1(z) = z f1'(z) в следующем виде:
при y = 0, –∞ < η < –R Imφ1(z) = 0, (11)
при |z| = R Re[φ1(z)] = T,
при z → ∞ limφ1(z) = 0. (12)
Для решения краевой задачи (11) перейдем на параметрическую плоскость комплексного пе-
ременного ζ с помощью преобразования z = ω(ζ).
Обозначим
Φ1(ζ) = φ1[ω(ζ)]. (13)
В принятых обозначениях из граничного условия (11) приходим на параметрической плоско-
сти ζ = η + iξ к смешанной краевой задаче для нахождения аналитической функции Φ1(ζ)
при ζ = 0, –∞ < η < –1 ImΦ1(ζ) = 0,
при ζ = 0, –1 < η < 1 ReΦ1(ζ) = T, (14)
ДИНАМІКА ТА МІЦНІСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машинобудування, 2017, Т. 20, № 4 35
при ζ = 0, 1 < η < ∞ ImΦ1(ζ) = 0.
В бесконечно удаленной точке на основании (12) и (13) функция Φ1(ζ) стремится к нулю.
Решение краевой задачи (14) в классе всюду ограниченных функций имеет вид
( ) ( )
∫
−
ζ−η
ηη
π
−ζ
=ζΦ
1
1
2
1
1 dT
i
.
Согласно поведению функции Φ1(ζ) на бесконечности условие разрешимости краевой задачи
выглядит так:
( )
0
1
1
1
2
=
η−
ηη
∫
−
dT
.
Это соотношение служит для определения размера а. С помощью полученных соотношений и
представления (1), как и в нулевом приближении, находим напряжения в первом приближении.
В случае заданной функции h(θ) формы отверстия полученные соотношения являются замк-
нутыми и позволяют исследовать напряженно-деформированное состояние тела в условиях антипло-
ской плоскости.
Для построения недостающих уравнений, позволяющих определить искомые коэффициенты
αk и βk, надо найти окружное тангенциальное напряжение τzθ на контуре отверстия. С помощью полу-
ченного решения находим τzθ в поверхностном контуре L (r = ρ(θ)) с точностью до величин первого
порядка относительно малого параметра ε
( ) ( )
Rr
z
z
zz
r
h
Rr
=
θ
θ
θθ
θτ+
∂
τ∂
θε+τ=τ
=
)1(
)0(
)0( .
Напряжения τzθ зависит от коэффициентов αk и βk ряда Фурье искомой функции h(θ). Для по-
строения недостающих уравнений, позволяющих найти коэффициенты αk и βk, требуем, чтобы обес-
печивалось распределение напряжений на контуре отверстия согласно условию (2) равнопрочности.
Снижение концентрации напряжений на контуре отверстия осуществляем путем минимизации кри-
терия
( )[ ] min
1
2
→τ−θτ=∑
=
∗
θ
M
i
izU .
Здесь τ
*
– оптимальное значение окружного тангенциального напряжения в поверхностном
слое отверстия; для упругого материала подлежит определению в процессе решения задачи оптими-
зации. В случае упругопластического материала тела τ
*
– заданная величина.
Используя необходимое условие экстремума нескольких переменных, получаем бесконечную
линейную систему уравнений для определения величин αk, βk и τ
*
0=
α∂
∂
k
U
, 0=
β∂
∂
k
U
(k = 1, 2, …), 0
*
=
τ∂
∂U
. (15)
Так как функция τzθ(αk, βk, θ) линейна относительно неизвестных параметров, то составление и
решение системы уравнений (15) значительно упрощается. Отрезок [0,2π] изменения переменной θ
разбивается на М равных частей, где M > 2m + 1, m – число оставленных коэффициентов для практи-
ческих расчетов.
Система уравнений (15) совместно с полученными соотношениями задачи теории упругости в
нулевом и первом приближении позволяет определить форму равнопрочного контура, напряженно-
деформированное состояние тела, а также оптимальное значение окружного тангенциального напря-
жения τ
*
для случая упругого материала.
Развитие трещины продольного сдвига происходит по направлению максимального касатель-
ного напряжения τzθ [23]. Таким направлением является продолжение трещины (θ = 0). Следователь-
но, как только напряжение θτ z = τ
*
окажется равным некоторой предельной величине τc, характерной
для данного материала, трещина продольного сдвига будет расти. Таким образом, условием хрупкого
ДИНАМІКА ТА МІЦНІСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машинобудування, 2017, Т. 20, № 4 36
разрушения будет
τ
*
(KIII) = τc. (16)
Согласно условию (16) рост трещины начинается, как только коэффициент интенсивности
напряжений (параметр нагружения) достигает некоторой критической величины, при которой опти-
мальное значение напряжения τ
*
оказывается равным предельной величине τc, характерной для дан-
ного материала и зависящей от характерного размера отверстия в кончике трещины и прочности ма-
териала.
При выполнении расчетов полученные системы решались методом Гаусса с выбором главно-
го элемента. Для упрощения задачи было принято, что искомый контур отверстия симметричен отно-
сительно координатных осей. В расчетах было принято М = 72. Результаты расчетов коэффициентов
α2k разложения функции h(θ) приведены в таблице.
Значение коэффициентов Фурье для равнопрочного контура отверстия в кончике трещины
a0 a2 a4 a6 a8 a10 a12
0,0769 -0,0921 0,0095 0,0083 0,0057 0,0034 0,0015
Выводы
Таким образом, построена замкнутая система алгебраических уравнений, позволяющая полу-
чить решение задачи по предотвращению разрушения тела с трещиной продольного сдвига путем
засверловки равнопрочного отверстия в кончике трещины на пути ее роста. Получено условие хруп-
кого разрушения. Решение задачи оптимального проектирования по определению формы отверстия
позволяет на стадии проектирования выбрать оптимальные геометрические параметры тела, обеспе-
чивающие эффективное торможение трещины.
Литература
1. Финкель В. М. Физические основы торможения разрушения / В. М. Финкель. – М.: Металлургия, 1977. –
360 с.
2. Мирсалимов В. М. Влияние разгружающих отверстий на развитие трещины / В. М. Мирсалимов // Пробл.
прочности. – 1971. – Т. 3, № 4. – С. 18–19.
3. Мирсалимов В. М. Об одном способе торможения растущих трещин / В. М. Мирсалимов // Изв. АН Азерб.
ССР. Сер. физ.-техн. и мат. наук. – 1972. – № 1. – С. 34–38.
4. Черепанов Г. П. Обратная упругопластическая задача в условиях плоской деформации / Г. П. Черепанов //
Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. – 1963. – № 2. – С. 57–60.
5. Курши Л. М. Определение форм двухсвязных сечений стержней максимальной крутильной жесткости /
Л. М. Куршин, П. Н. Оноприенко // Прикл. математика. и механика. – 1976. – Т. 40, вып. 6. – С. 1078–1084.
6. Черепанов Г. П. Обратная задача теории упругости / Г. П. Черепанов // Прикл. математика. и механика. –
1974. – Т. 38, вып. 6. – С. 963–979.
7. Мирсалимов В. М. Об оптимальной форме отверстия для перфорированной пластины при изгибе /
В. М. Мирсалимов // Прикл. механика. и техн. физика. – 1974. – Т. 15, № 6. – С. 133–136.
8. Мирсалимов В. М. Обратная задача теории упругости для анизотропной среды / В. М. Мирсалимов // Прикл.
механика. и техн. физика. – 1975. – Т. 16, № 4. – С. 190–193.
9. Баничук Н. В. Условия оптимальности в задаче отыскания форм отверстий в упругих телах / Н. В. Баничук //
Прикл. математика. и механика. – 1977. – Т. 41, вып. 5. – С. 920–925.
10. Баничук Н. В. Оптимизация форм упругих тел / Н. В. Баничук. – М.: Наука, 1980. – 256 с.
11. Мирсалимов В. М. Обратная двоякопериодическая задача термоупругости / В. М. Мирсалимов // Изв. АН
СССР. Механика твердого тела. – 1977. – Т. 12, № 4. – С. 147–154.
12. Vigdergauz S. B. Integral equations of the inverse problem of the theory of elasticity / S. B. Vigdergauz // J. Appl.
Math. Mech. – 1976. – Vol. 40, Issue 3. – P. 518–522.
13. Wheeler L. T. On the role of constant-stress surfaces in the problem of minimizing elastic stress concentration /
L. T. Wheeler // Int. J. of Solids and Structures. – 1976. – Vol. 12, Issue 11. – P. 779–789.
14. Vigdergauz S. B. On a case of the inverse problem of two-dimensional theory of elasticity / S. B. Vigdergauz //
J. Appl. Math. and Mech. – 1977. – Vol. 41, Issue 5. – P. 902–908.
15. Мирсалимов В. М. Равнопрочная выработка в горном массиве / В. М. Мирсалимов // Физико-техн. проблемы
разработки полезных ископаемых. – 1979. – Т. 15, № 4. – С. 24–28.
16. Wheeler L. T. On optimum profiles for the minimization of elastic stress concentration / L. T. Wheeler // ZAMM. –
1978. – Vol. 58, Issue 6. – P. 235–236.
ДИНАМІКА ТА МІЦНІСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машинобудування, 2017, Т. 20, № 4 37
17. Wheeler L. T. Stress minimum forms for elastic solids / L. T. Wheeler // ASME. Appl. Mech. Rev. – 1992. –
Vol. 45, Issue 1. – P. 1–12.
18. Сherepanov G. P. Optimum shapes of elastic solids with infinite branches / G. P. Сherepanov // J. Appl. Mech.
ASME. – 1995. – Vol. 62, Issue 2. – P. 419–422.
19. Savruk M. P. Application of the method of singular integral equations to the determination of the contours of equis-
trong holes in plates / M. P. Savruk, V. S. Kravets // Materials Sci. – 2002. – Vol. 38, Issue 1. – P. 34–46.
20. Мир-Салим-заде М. В. Определение формы равнопрочного отверстия в изотропной среде, усиленной регу-
лярной системой стрингеров / М. В. Мир-Салим-заде // Материалы, технологии, инструменты. – 2007. –
Т. 12, № 4. – С. 10–14.
21. Сherepanov G. P. Optimum shapes of elastic bodies: equistrong wings of aircrafts and equistrong underground tun-
nels // Физ. мезомеханика. – 2015. – Т. 18, № 5. – С. 114–123.
22. Мирсалимов В. М. Разрушение упругих и упругопластических тел с трещинами / В. М. Мирсалимов. – Баку:
Элм, 1984. – 124 с.
23. Баренблатт Г. И. О хрупких трещинах продольного сдвига / Г. И. Баренблатт, Г. П. Черепанов // Прикл.
математика и механика – 1961. – Т. 25, вып. 6. – C. 1110–1119.
Поступила в редакцию 19.10.17
1
Ю. Д. Ковалев, канд. физ.-мат. наук
2
Е. А. Стрельникова, д-р техн. наук
1
Д. В. Кушнир, канд. физ.-мат. наук
1
Ю. В. Шрамко, канд. физ.-мат. наук
1
Сумский государственный универ-
ситет, г. Сумы,
е-mail: dmytro.kushnir@gmail.com
2
Институт проблем машиностроения
им. А. Н. Подгорного НАН Украины,
г. Харьков
Ключові слова: гармонічні коливання, шар
з двома отворами, інтегральні рівняння.
УДК 539.3
УСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ
СЛОЯ, ОСЛАБЛЕННОГО ДВУМЯ
ОТВЕРСТИЯМИ, С ТОРЦАМИ,
ПОКРЫТЫМИ ДИАФРАГМОЙ
(СИММЕТРИЧНЫЙ СЛУЧАЙ)
Розв’язано задачу щодо гармонічних пружних коливань шару з
двома наскрізними отворами, на поверхнях яких діє нормальний
пульсуючий тиск. Граничну задачу зведено до системи інтегра-
льних рівнянь, що розв’язана чисельно. Наведено приклади, в
яких досліджено особливості розподілу окружного напруження
за частотою залежно від відстані між отворами та коефіціє-
нта Пуассона.
Введение
В трехмерных элементах конструкций дефекты и разрушения часто возникают и распростра-
няются в местах наибольшей концентрации напряжений (отверстия, трещины, углы, включения). На-
личие отверстий в структурах может быть обусловлено конструкционными требованиями либо тех-
нологическими особенностями (даже при тщательном проектировании). Частный случай граничных
условий типа «плоской диафрагмы» на основаниях плиты может приобрести значительный интерес в
условиях современных технологий напыления пленок, различных покрытий с помощью углеродных
нанотрубок [1]. Это связано с тем, что модуль Юнга подобных покрытий достигает значений не-
скольких ГПа. Расчет пространственных полей перемещений и напряжений вблизи криволинейной
границы отверстия является сложной задачей, особенно в условиях динамических нагрузок, и в лите-
ратуре имеется немного аналитических решений задач теории упругости для многосвязных цилинд-
рических тел с нетривиальной геометрией и частными случаями граничных условий.
В настоящее время метод однородных решений представляет собой один из основных подхо-
дов к решению граничных задач для тел конечных размеров. Он нашел применение в теории тонких
и толстых плит, при исследовании деформации конечных, толстостенных, многосвязных цилиндров и
в ряде других случаев. Решение задачи находится с помощью однородных решений, которые являют-
ся интегралами основных уравнений теории упругости и удовлетворяют нулевым граничным услови-
Ю. Д. Ковалев, Е. А. Стрельникова, Д. В. Кушнир, Ю. В. Шрамко, 2017
|