Перша основна задача теорії пружності в просторі з N паралельними круговими циліндричними порожнинами

Наведено розв’язок тривимірної задачі теорії пружності, коли на межахпаралельних циліндричних порожнин в пружному просторі задані напруження. Розв’язок системи рівнянь Ламе отримано узагальненим методом Фур’є в циліндричних координатах, пов’язаних з циліндрами. Нескінченні системи лінійних алгебраїч...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2017
Автор:	Мірошніков, В.Ю.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України 2017
Назва видання:	Проблемы машиностроения
Теми:	Динамика и прочность машин
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141882
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Перша основна задача теорії пружності в просторі з N паралельними круговими циліндричними порожнинами / В.Ю. Мірошніков // Проблемы машиностроения. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 45-52. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-141882
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1418822025-02-09T14:59:56Z Перша основна задача теорії пружності в просторі з N паралельними круговими циліндричними порожнинами The first main problem of the theory of elasticity in a space with N parallel circular cylindrical cavities Мірошніков, В.Ю. Динамика и прочность машин Наведено розв’язок тривимірної задачі теорії пружності, коли на межахпаралельних циліндричних порожнин в пружному просторі задані напруження. Розв’язок системи рівнянь Ламе отримано узагальненим методом Фур’є в циліндричних координатах, пов’язаних з циліндрами. Нескінченні системи лінійних алгебраїчних рівнянь, до яких зведена проблема, розв’язуються методом усічення. В результаті були знайдені переміщення та напруження в пружному тілі. Числові результати зведені для випадку двох циліндрів. Приведено решение трехмерной задачи теории упругости, когда на границах параллельных цилиндрических полостей в упругом пространстве заданы напряжения. Решение системы уравнений Ламе получено обобщенным методом Фурье в цилиндрических координатах, связанных с цилиндрами. Бесконечные системы линейных алгебраических уравнений, к которым сведена проблема, решаются методом усечения. В результате были найдены перемещения и напряжения в упругом теле. Числовые результаты приведены для случая двух цилиндров. This article presents an analytic-numerical solution of the first BASIC spatial problem of the theory of elasticity (on the boundary of a stressed one) for several parallel circular, cylindrical hollows in an elastic space. As an example, a numerical analysis of the stress-strain state of space with two empty spaces and the Mutual Influence of the voids are presented. For two parallel cylindrical cavities in a space a stressful state is found. Results are obtained with a single load of the first cylinder, separately when the load of the second cylinder. By changing the distance between the cylinders, the effect of distance on the tensile state of cylindrical cavities has been investigated. The method of solving the problem of elasticity theory is proposed, when the stresses are given on the boundaries of several parallel cylinder circular cavities. Numerical studies of an algebraic system for two cylinders make it possible to assert that its solution can be with any degree of accuracy found by the method of reduction. The graphs given give an idea of the peculiarities of the distribution of displacement and stress in the body in the most interesting area adjacent to the cavities, and on the mutual influence of cylinder cavities. 2017 Article Перша основна задача теорії пружності в просторі з N паралельними круговими циліндричними порожнинами / В.Ю. Мірошніков // Проблемы машиностроения. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 45-52. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141882 539.3 uk Проблемы машиностроения application/pdf Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Динамика и прочность машин Динамика и прочность машин
spellingShingle	Динамика и прочность машин Динамика и прочность машин Мірошніков, В.Ю. Перша основна задача теорії пружності в просторі з N паралельними круговими циліндричними порожнинами Проблемы машиностроения
description	Наведено розв’язок тривимірної задачі теорії пружності, коли на межахпаралельних циліндричних порожнин в пружному просторі задані напруження. Розв’язок системи рівнянь Ламе отримано узагальненим методом Фур’є в циліндричних координатах, пов’язаних з циліндрами. Нескінченні системи лінійних алгебраїчних рівнянь, до яких зведена проблема, розв’язуються методом усічення. В результаті були знайдені переміщення та напруження в пружному тілі. Числові результати зведені для випадку двох циліндрів.
format	Article
author	Мірошніков, В.Ю.
author_facet	Мірошніков, В.Ю.
author_sort	Мірошніков, В.Ю.
title	Перша основна задача теорії пружності в просторі з N паралельними круговими циліндричними порожнинами
title_short	Перша основна задача теорії пружності в просторі з N паралельними круговими циліндричними порожнинами
title_full	Перша основна задача теорії пружності в просторі з N паралельними круговими циліндричними порожнинами
title_fullStr	Перша основна задача теорії пружності в просторі з N паралельними круговими циліндричними порожнинами
title_full_unstemmed	Перша основна задача теорії пружності в просторі з N паралельними круговими циліндричними порожнинами
title_sort	перша основна задача теорії пружності в просторі з n паралельними круговими циліндричними порожнинами
publisher	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
publishDate	2017
topic_facet	Динамика и прочность машин
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141882
citation_txt	Перша основна задача теорії пружності в просторі з N паралельними круговими циліндричними порожнинами / В.Ю. Мірошніков // Проблемы машиностроения. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 45-52. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.
series	Проблемы машиностроения
work_keys_str_mv	AT mírošníkovvû peršaosnovnazadačateoríípružnostívprostoríznparalelʹnimikrugovimicilíndričnimiporožninami AT mírošníkovvû thefirstmainproblemofthetheoryofelasticityinaspacewithnparallelcircularcylindricalcavities
first_indexed	2025-11-27T02:26:29Z
last_indexed	2025-11-27T02:26:29Z
_version_	1849908675982917632
fulltext	ДИНАМІКА ТА МІЦНІСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машинобудування, 2017, Т. 20, № 4 45 В. В. Мірошніков, канд. техн. наук Харківський національний університет будівництва та архітектури, м. Харків, е-mail: mivi30166@gmail.com) Ключові слова: циліндричні по- рожнини в просторі, рівняння Ла- ме, узагальнений метод Фур’є. УДК 539.3 ПЕРША ОСНОВНА ЗАДАЧА ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ В ПРОСТОРІ З N ПАРАЛЕЛЬНИМИ КРУГОВИМИ ЦИЛІНДРИЧНИМИ ПОРОЖНИНАМИ Наведено розв’язок тривимірної задачі теорії пружності, коли на межах паралельних циліндричних порожнин в пружному просторі задані на- пруження. Розв’язок системи рівнянь Ламе отримано узагальненим ме- тодом Фур’є в циліндричних координатах, пов’язаних з циліндрами. Не- скінченні системи лінійних алгебраїчних рівнянь, до яких зведена пробле- ма, розв’язуються методом усічення. В результаті були знайдені пере- міщення та напруження в пружному тілі. Числові результати зведені для випадку двох циліндрів. Вступ В науковій літературі відомі аналітичні підходи до розв’язання задач теорії пружності для од- нієї циліндричної порожнини в просторі [1–3] і напівпросторі [4]. Числові результати в вісесиметрич- ному випадку наведені для періодичного напруження порожнини вздовж її осі [3]. Для тривимірної задачі навіть у випадку однієї порожнини числові розрахунки напружень відсутні. Лише нещодавно просторова задача для двох порожнин у пружному циліндрі вивчалась в роботі [5], де наведені деякі результати числових розрахунків напружень, але відсутній детальний аналіз впливу взаємного роз- ташування порожнин та зовнішньої межі. Водночас в механіці гірських порід і геотехнічній механіці такі задачі знаходять застосування при прогнозуванні міцності гірських виробок в глибинних шахтних породах і при проектуванні туне- лей в метробуді. Наскільки важливі чисто пружні розв’язки для проектування подібних технічних об’єктів можна судити по роботі [6]. В ній обговорюються різні підходи до оцінки міцності таких споруд на основі просторових задач теорії пружності і наведений великий список літературних дже- рел з плоских та просторових задач, що тісно примикають до цієї проблематики. В цій статті наведено аналітико-численне розв’язання першої основної просторової задачі те- орії пружності (на межі задані напруження) для декількох паралельних кругових циліндричних по- рожнин в пружному просторі. Як приклад подано докладний числовий аналіз напружено- деформівного стану простору з двома порожнинами і вивчено взаємний вплив порожнин. В основі методу розв’язання задачі, як і в [5], лежить узагальнений метод Фур’є [7]. Постановка задачі. Метод розв’язання. Пружний однорідний простір має N кругових непересічних між собою циліндричних парале- льних порожнин, на межах яких задані напруження, які будемо вважати швидко спадними до нуля по координаті z на далеких відстанях від початку координат. Потрібно розв’язати рівняння рівноваги Ламе за умови ( )q FUF 0 �� = на Sq, q = 1, 2, …, N, (1) де Sq – поверхня порожнини з номером q, ( )      ⋅+ ∂ ∂ +⋅ σ⋅− σ ⋅⋅= UnU n UnGUF �� rot 2 1 div 21 2 , (2) де n � – орт нормалі до поверхні Sq; G – модуль зсуву; σ – коефіцієнт Пуассона. На нескінченності напруження дорівнюють нулю. Розв’язок задачі шукаємо у вигляді  В. В. Мірошніков, 2017 ДИНАМІКА ТА МІЦНІСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машинобудування, 2017, Т. 20, № 4 46 ∑ = = N p pUU 1 �� , (3) де ( )( ) ( )zMMdU ppp m p p mp ,,,; φρ=λΩλ= ∫ ∑ ∞ ∞− ∞ −∞= �� , (4) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )λ⋅λ+λ⋅λ+λ⋅λ=λΩ ;;;; ,3,2,1 pm p mpm p mpm p mp p m MSzMSyMSxM �� , (5) де ( )( ) ( )( ) ( )( )λλλ p m p m p m zyx ,, – невідомі функції; mkS , � – базисні розв’язки рівняння Ламе зовні циліндра ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]        ⋅⋅λ⋅=λ ⋅            φ∂ ∂ ρ+ ρ∂ ∂ −σ+      ρ∂ ∂ ρ⋅λ=λ ⋅λ=λ − − φρ − − ,rot; ,14grad; ,grad; 1 ,3 11 ,2 1 ,1 mzpm mpm mpm seiMS seeMS sMS �� , (6) ( ) ( )( ) ( ) ( )zmi m m m eKsignzs ⋅λ+φ⋅⋅ρλ⋅λ=λφρ ;,, . При розв’язанні задачі також будуть використані базисні розв’язки рівняння Ламе, регулярні всередині циліндра 0ρ<ρ . Вони мають вигляд ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]        ⋅⋅λ⋅=λ ⋅            φ∂ ∂ ρ+ ρ∂ ∂ −σ+      ρ∂ ∂ ρ⋅λ=λ ⋅λ=λ − − φρ − − ,rot; ,14grad; ,grad; 1 ,3 11 ,2 1 ,1 mzpm mpm mpm reiMR reeMR rMR �� , (7) ( ) ( ) ( )zmi mm eIzr ⋅λ+φ⋅⋅λρ=λφρ ;,, де ( ) ( )xKxI mm , – функції Бесселя [2]. Розв’язання (6), (7) наведені в [7]. Напруження на поверхні пружного тіла з нормаллю n � обчислюються за допомогою операто- ра напруження (2). Для базисних векторів (6), (7) маємо при ρ= en �� та 0ρ=ρ [1] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ( ) ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )                  ⋅⋅⋅−⋅−⋅   −−⋅+⋅−+±⋅ ρ =    ⋅⋅−σ+λρ++⋅−⋅−σ+ +λρ+   ⋅+⋅⋅−σ+λρ+⋅ ρ ⋅ =       ⋅+⋅−⋅⋅+⋅⋅ ρ ⋅ = ± φρ φ− ± +φρ φ ± − ± ± φρ φ− ± + φρ φ ± − ± ± φρ φ− ± +φρ φ ± − ± zm i m i mm zm i m m i mmm zm i m i mm eumieie e umDeie e umD G UF euDmieie e uD beie e uDa G UF eDueie e Dueie e Du G UF �� ∓ �� ∓ �� ∓ � �� ∓ �� ∓ � 2 1 2 1 ,12 2 32 2 32 2 , 22 2 11 0 ,3 2 0 2 1 2 01 2 0 0 ,2 11 0 ,1 , (8) де         =± m m m R S U ,1 ,1 ,1 � � � ,       =± m m m r s u , ρ∂ ∂ ρ=D , ( ) ( )σ+−⋅−= 211 mmam , ( )( )σ−++= 211 mmbm , ρe � , φe � , ze � – орти циліндричної системи координат. ДИНАМІКА ТА МІЦНІСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машинобудування, 2017, Т. 20, № 4 47 При розв’язанні задачі узагальненим методом Фур’є будемо користуватися формулами пере- ходу в базисних розв’язках від однієї циліндричної системи координат, пов’язаної з циліндром з но- мером p, до іншої, пов’язаної з циліндром з номером q. Ці формули мають вигляд [1] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )           λ⋅=λ λ⋅+λ⋅=λ λ⋅=λ ∑ ∑ ∑ ∞ −∞= ∞ −∞= ∞ −∞= ,;,; ,;,;,; ,;,; ,3 1 ,,3 ,1 2 ,,2 1 ,,2 ,1 1 ,,1 n qnnmpm n qnnmqnnmpm n qnnmpm MRqpHMS MRqpHMRqpHMS MRqpHMS �� , (9) де ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) pqnmi pqnm n nm eKqpH α− − ⋅λ−= ℓ ~ 1,1 , ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]pqnmpqnm nmin pqnm KKeqpH pq ℓℓℓ λ+λ− λ = −−+− α−+ 11 12 , ~~ 1 2 , , ( ) ( )( ) ( )xKxxK m m ⋅= sign ~ ; pqℓ , pq α – позначені на рис. 1. Для знаходження напруження на поверхні циліндра з номером q запишемо (1) у вигляді ∑ ≠= += N qpp pq UUU ,1 �� . (10) Перепишемо (10), застосувавши формули переходу (9) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )[ ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )]}λ⋅⋅λ+λ⋅⋅λ +λ⋅⋅λ+⋅λ+    +λ⋅λ+λ⋅λ+λ⋅λλ= =λΩλ+λΩλ= ∑ ∑ ∑ ∫ ∑ ∑ ∑∫ ∑ ≠= ∞ −∞= ∞ −∞= ∞ ∞− ∞ −∞= ≠= ∞ −∞= ∞ ∞− ∞ −∞= ;,;, ;,, ;;; ;; ,3 1 ,,2 1 , ,1 ,1 2 , 1 , ,3,2,1 ,1 pnnm q npnnm p n N qpp m n pnnm q nnm q m n pm q npm q npm q n N qpp m q p n n q q n MRqpHzMRqpHy MRqpHyqpHx MSzMSyMSxd MdMdU �� . (11) В останній формулі всі базисні розв’язки записані в системі координат ( )zqq ,,φρ циліндра з номером q. Застосуємо до (11) оператор напруження (2) та використаємо рівності (8) для базисних розв’язків. В результаті отримаємо вектор на- пруження від всього розв’язання (3) на поверхні циліндра з номером q. Прирівняємо цей вектор напруження при qR=ρ заданому вектору на- пруження, що діє на поверхні порожнини з ρ−= en �� ( ) ( ) ( ) ( )q zz qqq eeeF ρρφφρρ τ⋅+τ⋅+σ⋅= �� 0 . (12) де ( ) ( ) ( )q z qq ρρφρ ττσ ,, – задані функції. Розкладемо їх в ряди-інтеграли по φ і z Рис. 1. Циліндричні порожнини в пружному просторі ДИНАМІКА ТА МІЦНІСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машинобудування, 2017, Т. 20, № 4 48 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∫ ∑ ∞ ∞− ∞ −∞= φφρρ φλ τ⋅+τ⋅+λσ⋅λ= n q znz q n q n inziq eeeedeF ,,,0 ~~~ �� . (13) В отриманій векторній рівності прирівняємо проекції при zeee �� ,, φρ . В результаті отримаємо три рівності, які після звільнення в них від рядів та інтегралів дадуть три сукупності нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих ( )( ) ( )( ) ( )( )λλλ q n q n q n zyx ,, . Оскільки всього ци- ліндричних порожнин N (q = 1, 2,…, N), то таких сукупностей рівнянь буде 3N. Це буде розв’язувальна система рівнянь задачі теорії пружності, що розглядається. Необхідно відмітити, що нескінченні системи, до яких зведена проблема, припускають засто- сування до них методу редукції. При цьому наближені розв’язки сходяться до точного при збільшен- ні порядку системи. Чисельний аналіз задачі для двох циліндрів Маємо дві паралельні циліндричні порожнини у просторі, які розташовані на відстані 45=pqℓ см, під кутом 4/π=α pq . Радіуси порожнин Rp = 10 см., Rq = 15 см., pq qp RR ℓ ℓ + =∆ = 0,55. Про- стір – ізотропний матеріал, коефіцієнт Пуассона 35,0=σ , модуль пружності 2/2 смкНE = . На ме- жах циліндрів задано напруження у вигляді ( ) 2020/1 2 ≤≤−−=σρ zсмкНp , ( ) 20 20 0 > −< =σρ z zp , ( ) 0=σρ q , ( ) ( ) 0=τ=τ ρφρφ qp , ( ) ( ) 0=τ=τ ρρ q z p z . Застосувавши перетворення Фур’є, отримаємо ( )( ) πλ λ− =λσ ρ )sin(~ , zp n , ( ) 0~ , =τ φ p n , ( ) 0~ , =τ p zn . Нескінченна система рівнянь була зведена до кінцевої: m = –8 … 8, межі інтеграції були взяті від –4 … 4, обчислення інтегралів виконано за допомогою квадратурної формули Філона. Число вуз- лових точок – 1200. Це є достатнім за заданих геометричних умов, точність виконання граничних умов в цьому випадку досягає 10 -4 . В результаті розв’язання цієї системи рівнянь були знайдені невідомі функції, перевірено ви- конання граничних умов на межах циліндричних порожнин, побудовані графіки нормальних напру- жень при z = 0 на межі першої p порожнини, на відстані ρp = 20 см, ρp = 30см та на перешийку (рис. 2). Графіки нормальних напружень (рис. 2) свідчать про виконання граничних умов на поверхнях циліндрів p ( 1−=σρ , при )10==ρ pR та q ( 0=σρ , при 30=−=ρ qpq Rℓ , 4/π=α=φ pq ). Цілком логічним є поступове зменшення напружень в міру віддалення від навантаженого циліндра. Нестабі- льним зміненням є тільки ділянка впливу циліндра q на перешийку (по лінії pqℓ , рис. 2) між цилінд- ричними порожнинами при z = 0. На цьому рисунку можна побачити виконання граничних умов ρσ на межах циліндрів, стискаючі напруження zσ на циліндрі p та розтягувальні на циліндрі q. Та най- більш цікавим є те, що φσ , яке спочатку зменшується, проте на межі ненавантаженого циліндра q зростає, що є результатом впливу послаблення пружного простору циліндровою порожниною. Вздовж осі z напруження теж змінюються (рис. 3) та залежать від ширини ділянки, на якій діє ρσ . Зокрема, в точці А (на поверхні циліндра p) при наближенні до центру навантаження φσ зростає, а zσ падає, а в точці B (на поверхні циліндра q) φσ та zσ зростає, що є впливом навантаженого цилі- ндра p. Поблизу 20±=z (межа навантаження циліндра p) відбуваються стрибки напруження φσ та zσ , що є впливом різкого коливання навантаження ρσ . ДИНАМІКА ТА МІЦНІСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машинобудування, 2017, Т. 20, № 4 49 Взаємний вплив циліндрових порожнин можливо побачити, якщо збільшити чи зменшити ві- дстань між ними. На рис. 4 наведені нормальні напруження за різних pq qp RR ℓ ℓ + =∆ в перерізі z = 0. Найбільш вагомо відстань між порожнинами впливає на φσ (рис. 4): при ℓ∆ = 0,641 напру- ження на межах циліндрів однакові, проте при зближенні циліндрів φσ суттєво зростає на ненаван- таженому циліндрі, натомість на навантаженому зменшується та навіть становиться стискаючим. Рис. 3. Нормальні напруження вздовж осі z в точках А та В Рис. 2. Нормальні напруження в координатах циліндра (p) в перерізі z = 0 ДИНАМІКА ТА МІЦНІСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машинобудування, 2017, Т. 20, № 4 50 При збільшенні ширини прикладання навантаження циліндра p по осі z до ±120 см ( ( ) 120 120 0 > −< =σρ z zp , ( ) 120120/1 2 ≤≤−−=σρ zсмкНp ) при розгляданні результатів задачі в межах 4040 ≤≤− z маємо умови, близькі до плоскої задачі теорії пружності. За цих умов отримані резуль- тати узгоджуються з тими, що наведені в роботі Г. Н. Савіна [8]. Якщо розвантажити циліндр p (прийняти ( ) 0=σρ p ), та навантажити циліндр q функцією ( ) ( )222 4 аz aq + − =σρ (хвиля висотою 2/1 смкН− , довжиною а), при ( ) ( ) 0=τ=τ ρφρφ qp , ( ) ( ) 0=τ=τ ρρ q z p z , а = 10, при цьому ( ) ( ) ( ) 3, 12500~ a ae a q n +λ⋅⋅⋅− =λσ λ⋅− ρ , ( ) 0~ , =τ φ q n , ( ) 0~ , =τ q zn , отримаємо за рахунок більшого радіуса циліндра q більш напружений стан (рис. 5). На рис. 5, крім виконання граничних умов, можна побачити вплив навантаженого циліндра q на ненавантажений p. Найбільший вплив позначається на ϕσ , де на поверхні циліндра p, крім стис- каючих зусиль, мають місце розтягувальні напруження в області перешийку. Щодо самого переший- ку (по лінії pqℓ , рис. 5), то ϕσ на ненавантаженому циліндрі p навіть більше, ніж на навантаженому циліндрі q. Це свідчить про вагомий вплив на результат радіуса навантаженого циліндра та близь- кість самих циліндрів. Аналізуючи напруження вздовж осі z (рис. 6) на навантаженому циліндрі, при порівнянні з першою задачею (рис. 3) можна стверджувати, що φσ та zσ чутливо реагують до зміни ширини діля- нки, на якій діє ρσ , зокрема, при зменшенні ширини прикладення навантаження φσ має тенденцію до зниження, а zσ – до зростання, на ненавантаженому циліндрі форма напружень приблизно однакова. Взаємний вплив циліндрових порожнин при заданому навантаженні (у формі хвилі на цилінд- рі q), наведений на рис. 7, показує, що при ℓ∆ = 0,495 напруження φσ на межах циліндрів одинакові, при зближенні циліндрів φσ зростає на ненавантаженому циліндрі, натомість на навантаженому пе- реходить до стиснення. Рис. 4. Вплив відстані між циліндрами на нормальні напруження ρσ ДИНАМІКА ТА МІЦНІСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машинобудування, 2017, Т. 20, № 4 51 Висновки Запропоновано метод розв’язання задачі теорії пружності, коли на межах декількох паралель- них циліндрових кругових порожнин задані напруження. Числові дослідження алгебраїчної системи для двох циліндрів дають можливість стверджува- ти, що її розв’язок може бути з будь-яким ступенем точності знайдено методом редукції. Наведені графіки дають уявлення про особливості розподілу переміщення і напружень в тілі в зоні, що прилягає до порожнин, і про взаємний вплив циліндрових порожнин. Рис. 5. Нормальні напруження в координатах циліндра (p) в перерізі z = 0 Рис. 6. Нормальні напруження вздовж осі z на циліндрах p і q ДИНАМІКА ТА МІЦНІСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машинобудування, 2017, Т. 20, № 4 52 Література 1. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости / А. И. Лурье. – М.: Гостехиздат, 1955. – 492 с. 2. Подильчук Ю. Н. Трехмерные задачи теории упругости/ Ю. Н. Подильчук. – Киев.: Наук.думка, 1979. – 240 с. 3. Соляник-Краса К. В. Осесимметричная задача теории упругости/ К. В. Соляник-Краса. – М.: Стройиздат, 1987. – 336 с. 4. Васильев В. З. Осесимметричная деформация упругого изотропного пространства с бесконечной цилиндри- ческой выемкой/ В. З. Васильев // Механика твердого тела – 1968. – Т. 5. – С. 124–129. 5. Николаев А. Г. Распределение напряжений в цилиндрическом образце материала с двумя параллельными цилиндрическими полостями/ А. Г. Николаев, Е. А. Танчик. // Вопр. проектирования и производства конст- рукций летательных аппаратов. – 2013. – Вып. 4. – С. 40–49. 6. Перепелица В. Г. Методика аналитических исследований распределения напряжений в забоях разных форм при проведении горных выработок/ В. Г. Перепелица, Л. Д. Шматовский, А. Н. Коломиец // Геотехн. меха- ника. – 2008. – № 78. – С. 1–33. 7. Николаев А. Г. Обобщенный метод Фурье в пространственных задачах теории упругости/ А. Г. Николаев, В. С. Проценко. – Харьков: Нац. аэрокосм. ун-т им. Н. Е. Жуковского «ХАИ», 2011. – 344 с. 8. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий/ Г. Н. Савин. – Киев: Наук. думка, 1968. – 891 с. Поступила в редакцию 31.08.17 Рис. 7. Вплив відстані між циліндрами на нормальні напруження (переріз z = 0)

Перша основна задача теорії пружності в просторі з N паралельними круговими циліндричними порожнинами

Репозитарії

Схожі ресурси