О влиянии потребительских предпочтений на равновесие в открытой экономической системе
Исследование состоит в описании возможных состояний равновесия открытой экономической системы, в которой присутствуют монополисты. Рассматривается равновесие вальрасового типа. Каждый из субъектов экономической системы является ненасыщающимся потребителем. Структура потребления товаров в экономичес...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2016
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141995 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О влиянии потребительских предпочтений на равновесие в открытой экономической системе / А.Ф. Махорт // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 4. — С. 11-28. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-141995 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1419952025-02-23T17:16:47Z О влиянии потребительских предпочтений на равновесие в открытой экономической системе Про вплив споживчих переваг на рівновагу у відкритій економічній системі Influence of consumption preferences on equilibrium in an open economy Махорт, А.Ф. Кибернетика Исследование состоит в описании возможных состояний равновесия открытой экономической системы, в которой присутствуют монополисты. Рассматривается равновесие вальрасового типа. Каждый из субъектов экономической системы является ненасыщающимся потребителем. Структура потребления товаров в экономической системе зависит от объемов выпуска товаров. Предложен алгоритм решения задачи об экономическом равновесии. Приведенные ограничения на модельные характеристики обеспечивают существование равновесия экономической системы. Выявлена возможность нахождения экономической системы в состояния равновесия с заданными интервалами значений выбранных характеристик. Достижение желаемого состояния равновесия осуществляет выбор уровней налогообложения монополистов. Дослідження полягає в описі можливих станів рівноваги відкритої економічної системи за наявності монополістів. Розглядається рівновага вальрасового типу. Кожен з суб’єктів економічної системи є ненасичуваним споживачем. Структура споживання товарів в економічній системі залежить від обсягів випуску товарів. Запропоновано алгоритм розв’язання задачі про економічну рівновагу. Наведені обмеження на модельні характеристики забезпечують існування рівноваги економічної системи. Виявлено можливість перебування економічної системи у стані рівноваги з заданими інтервалами значень вибраних характеристик. Встановлення бажаного стану рівноваги здійснює вибір рівнів оподаткування монополістів. The author describes possible equilibrium states of an open economic system under presence of monopolies. The equilibrium is of Walrasian type. Each subject of the economic system is a non-insatiable consumer. The consumption structure in the economy depends on outputs of goods. The author proposes an algorithm to solve the equilibrium problem. The constraints imposed on the model characteristics provide the existence of economic equilibrium. The author reveals the possibility for the economy to be in equilibrium state with given intervals of the values of selected characteristics. The choice of taxation rates of monopolies allows attaining the desired equilibrium state. 2016 Article О влиянии потребительских предпочтений на равновесие в открытой экономической системе / А.Ф. Махорт // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 4. — С. 11-28. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141995 519.86 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Кибернетика Кибернетика |
| spellingShingle |
Кибернетика Кибернетика Махорт, А.Ф. О влиянии потребительских предпочтений на равновесие в открытой экономической системе Кибернетика и системный анализ |
| description |
Исследование состоит в описании возможных состояний равновесия открытой экономической системы, в которой присутствуют монополисты. Рассматривается равновесие вальрасового типа. Каждый из субъектов экономической системы является ненасыщающимся потребителем. Структура потребления товаров в экономической системе зависит от объемов выпуска товаров. Предложен алгоритм решения задачи об экономическом равновесии. Приведенные ограничения на модельные характеристики обеспечивают существование равновесия экономической системы. Выявлена возможность нахождения экономической системы в состояния равновесия с заданными интервалами значений выбранных характеристик. Достижение желаемого состояния равновесия осуществляет выбор уровней налогообложения монополистов. |
| format |
Article |
| author |
Махорт, А.Ф. |
| author_facet |
Махорт, А.Ф. |
| author_sort |
Махорт, А.Ф. |
| title |
О влиянии потребительских предпочтений на равновесие в открытой экономической системе |
| title_short |
О влиянии потребительских предпочтений на равновесие в открытой экономической системе |
| title_full |
О влиянии потребительских предпочтений на равновесие в открытой экономической системе |
| title_fullStr |
О влиянии потребительских предпочтений на равновесие в открытой экономической системе |
| title_full_unstemmed |
О влиянии потребительских предпочтений на равновесие в открытой экономической системе |
| title_sort |
о влиянии потребительских предпочтений на равновесие в открытой экономической системе |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2016 |
| topic_facet |
Кибернетика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141995 |
| citation_txt |
О влиянии потребительских предпочтений на равновесие в открытой экономической системе / А.Ф. Махорт // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 4. — С. 11-28. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT mahortaf ovliâniipotrebitelʹskihpredpočtenijnaravnovesievotkrytojékonomičeskojsisteme AT mahortaf provplivspoživčihperevagnarívnovaguuvídkritíjekonomíčníjsistemí AT mahortaf influenceofconsumptionpreferencesonequilibriuminanopeneconomy |
| first_indexed |
2025-11-24T02:37:15Z |
| last_indexed |
2025-11-24T02:37:15Z |
| _version_ |
1849637559897948160 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.86
À.Ô. ÌÀÕÎÐÒ
Î ÂËÈßÍÈÈ ÏÎÒÐÅÁÈÒÅËÜÑÊÈÕ ÏÐÅÄÏÎ×ÒÅÍÈÉ
ÍÀ ÐÀÂÍÎÂÅÑÈÅ Â ÎÒÊÐÛÒÎÉ ÝÊÎÍÎÌÈ×ÅÑÊÎÉ ÑÈÑÒÅÌÅ
Aííîòàöèÿ. Èññëåäîâàíèå ñîñòîèò â îïèñàíèè âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé ðàâíî-
âåñèÿ îòêðûòîé ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû, â êîòîðîé ïðèñóòñòâóþò ìîíîïî-
ëèñòû. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ðàâíîâåñèå âàëüðàñîâîãî òèïà. Êàæäûé èç ñóáúåê-
òîâ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ íåíàñûùàþùèìñÿ ïîòðåáèòåëåì.
Ñòðóêòóðà ïîòðåáëåíèÿ òîâàðîâ â ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå çàâèñèò îò îáú-
åìîâ âûïóñêà òîâàðîâ. Ïðåäëîæåí àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è îá ýêîíîìè÷å-
ñêîì ðàâíîâåñèè. Ïðèâåäåííûå îãðàíè÷åíèÿ íà ìîäåëüíûå õàðàêòåðèñòèêè
îáåñïå÷èâàþò ñóùåñòâîâàíèå ðàâíîâåñèÿ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû. Âûÿâ-
ëåíà âîçìîæíîñòü íàõîæäåíèÿ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû â ñîñòîÿíèÿ ðàâíî-
âåñèÿ ñ çàäàííûìè èíòåðâàëàìè çíà÷åíèé âûáðàííûõ õàðàêòåðèñòèê. Äîñòè-
æåíèå æåëàåìîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ îñóùåñòâëÿåò âûáîð óðîâíåé íàëî-
ãîîáëîæåíèÿ ìîíîïîëèñòîâ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ýêîíîìè÷åñêîå ðàâíîâåñèå, ñïðîñ, ïðåäëîæåíèå,
ìîíîïîëèñòû, íàëîãîîáëîæåíèå, ñòðàòåãèè ïîâåäåíèÿ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ìîäåëèðîâàíèå ïîâåäåíèÿ ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåì ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò íà-
ïðàâëåíèÿ èññëåäîâàíèÿ. Äèíàìèêà ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû
âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ íåîäíîçíà÷íà. Åå ýâîëþöèþ âî âðåìåíè ìîæíî èíòåðïðåòè-
ðîâàòü êàê öåïü ïîñëåäîâàòåëüíûõ ðåàëèçàöèé ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ. Áîëüøîå
çíà÷åíèå äëÿ ïîëó÷åíèÿ òðåáóåìîãî àíàëèçà ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû èìååò ó÷åò
ïåðåõîäîâ ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè ðàâíîâåñèÿ. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ íåò íåîáõîäè-
ìîñòè äåòàëüíî îòñëåæèâàòü î÷åðåäíîñòü ðåàëèçàöèé ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ, òåì
áîëåå ÷òî íåðåäêî èõ ÷åòêàÿ èåðàðõè÷åñêàÿ óïîðÿäî÷åííîñòü îòñóòñòâóåò. Ïîýòî-
ìó èññëåäîâàíèå êîíêðåòíî ñàìèõ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ äàåò äîñòàòî÷íî ñâåäå-
íèé î âîçìîæíîñòÿõ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåì [1]. Óñëîâèÿ ðàâ-
íîâåñèÿ áóäåì ôîðìóëèðîâàòü ñîãëàñíî ïðèíöèïàì Âàëüðàñà [1, 2].
Îòìåòèì, ÷òî ïðè ðàâíîâåñíîì ïîäõîäå ê èññëåäîâàíèþ ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñ-
òåì ñóùåñòâóåò âîçìîæíîñòü àíàëèçèðîâàòü ïîñëåäñòâèÿ ìîíîïîëüíûõ âëèÿíèé
è âëèÿíèé ñòðàòåãèé ïîâåäåíèÿ ñóáúåêòîâ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû íà åå äàëü-
íåéøåå ôóíêöèîíèðîâàíèå. Ïîä âëèÿíèåì ñòðàòåãèé ïîâåäåíèÿ ïîíèìàåì çàâè-
ñèìîñòü êîýôôèöèåíòîâ ïîòðåáëåíèÿ òîâàðîâ ñóáúåêòàìè ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòå-
ìû îò âåêòîðà îáúåìîâ âûïóñêà ïðîäóêöèè. Äàííàÿ çàâèñèìîñòü ñîçäàåò îïðåäå-
ëåííûé ýôôåêò íà ðåàëèçàöèþ âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ ýêîíîìè÷åñêîé
ñèñòåìû. À ýòî âíîñèò îïðåäåëåííûé âêëàä è â öåíîîáðàçîâàíèå, è â ñòåïåíü
âîçäåéñòâèÿ íåãàòèâíûõ ïðîÿâëåíèé ìîíîïîëèçìà. Èñõîäÿ èç ýòîãî ñóòü èññëå-
äîâàíèÿ áóäåò çàêëþ÷àòüñÿ â îïèñàíèè ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ ýêîíîìè÷åñêîé
ñèñòåìû ïðè íàëè÷èè òàêèõ ôàêòîðîâ è îöåíèâàíèè âîçìîæíîñòè èçáåæàòü èëè
êîìïåíñèðîâàòü ïðîöåññû, äåñòàáèëèçèðóþùèå ýêîíîìè÷åñêóþ ñèñòåìó.
Êîýôôèöèåíòû ïîòðåáëåíèÿ îòðàæàþò ïðåäïî÷òåíèå âûáîðà òîâàðîâ. Î÷å-
âèäíî, ÷òî ïðåäïî÷òåíèÿ ôîðìèðóþòñÿ íà îñíîâàíèè õàðàêòåðèñòèê òîâàðîâ. Íà-
ïðèìåð, öåíà òîâàðà ìîæåò âëèÿòü íà çàèíòåðåñîâàííîñòü ýòèì òîâàðîì [1, 3]. Ñðå-
äè ýêîíîìè÷åñêèõ îáîñíîâàíèé èññëåäîâàíèÿ çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòîâ ïî-
òðåáëåíèÿ òîâàðîâ îò îáúåìîâ âûïóñêà ïðîäóêöèè ìîæíî âûäåëèòü âçàèìîñâÿçü
ïðè èñïîëüçîâàíèè îïðåäåëåííûõ òîâàðîâ. Ïîòðåáíîñòü â íåêîòîðûõ âèäàõ
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 11
� À.Ô. Ìàõîðò, 2016
òîâàðîâ â çíà÷èòåëüíîé ìåðå ìîæåò áûòü îáóñëîâëåíà íàëè÷èåì íà ðûíêå äðóãèõ
âèäîâ òîâàðîâ. Òàêæå äëÿ ïîòðåáèòåëÿ èíîãäà âàæíû îáúåìû äîñòóïíîé ïðîäóêöèè,
à èíôîðìàöèÿ î íàëè÷èè òðåáóåìûõ îáúåìîâ ôîðìèðóåò íàáîð æåëàåìûõ òîâàðîâ.
ÎÏÈÑÀÍÈÅ ÌÎÄÅËÈ ÝÊÎÍÎÌÈÊÈ
Ìîäåëü ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû ïðåäñòàâèì êàê ñîâîêóïíîñòü l ñóáúåêòîâ,
êàæäûé èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ïîòðåáèòåëåì òîâàðîâ. Âñåãî èìååòñÿ n l� òèïîâ
òîâàðîâ, èõ îáúåì ïðîèçâîäñòâà îïèñûâàåò âåêòîð âûïóñêîâ x xi i
n� �{ }
1
. Ñîîò-
âåòñòâåííî ñ÷èòàåì, ÷òî â ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå èìååòñÿ n ïîòðåáèòåëåé,
ñïîñîáíûõ èçãîòîâëÿòü îäèí èç òèïîâ òîâàðîâ. Èìåííî çà ñ÷åò ðåàëèçàöèè
ïðîèçâåäåííûõ òîâàðîâ ýòè ñóáúåêòû ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû ôóíêöèîíèðó-
þò, òîãäà êàê ÷èñòûå ïîòðåáèòåëè äîëæíû ïîëó÷àòü ôèíàíñèðîâàíèå èç âíåø-
íèõ èñòî÷íèêîâ. Ñôîðìèðîâàòü òàêîé èñòî÷íèê ìîæíî èç ïîñòóïëåíèé îò íà-
ëîãîîáëîæåíèÿ ïðèáûëè ïðîèçâîäèòåëåé. Âåêòîð � �� �{ }i i
n
1
áóäåò îïðåäåëÿòü
óðîâíè íàëîãîîáëîæåíèÿ. Ñðåäè ïðîèçâîäèòåëåé èìååòñÿ n t� ìîíîïîëèñòîâ.
Ýêîíîìè÷åñêàÿ ñèñòåìà îòêðûòà, è åå ñóáúåêòû ìîãóò êàê ïîëó÷àòü äîïîëíè-
òåëüíîå êîëè÷åñòâî òîâàðîâ èçâíå, òàê è ýêñïîðòèðîâàòü ÷àñòü ñâîèõ òîâàðîâ.
Òàêîå âçàèìîäåéñòâèå ñ âíåøíèì îêðóæåíèåì çàäàþò âåêòîðû ýêñïîðòà
{ }ei i
n
�1
è èìïîðòà { }ii i
n
�1
.
Ïðîèçâîäèòåëè ïîëó÷àþò ñâîþ ïðèáûëü â ðåçóëüòàòå íåêîòîðîé ïðîèçâîäñòâåí-
íîé äåÿòåëüíîñòè. Ïóñòü ìàòðèöà | | / | |
,
a b xkj kj j k j
n� �1
îïèñûâàåò òåõíîëîãèè èç-
ãîòîâëåíèÿ òîâàðîâ â ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå. Åå ýëåìåíòû çàäàþò òå çàòðàòû,
êîòîðûå íåîáõîäèìû äëÿ ïðîèçâîäñòâà åäèíèöû âûïóñêà òîâàðà â íàòóðàëüíûõ
ïîêàçàòåëÿõ ñ ó÷åòîì íàëè÷èÿ ïîñòîÿííûõ çàòðàò, íàïðàâëÿåìûõ íà ïîääåðæàíèå
ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñàìîãî ïðîèçâîäñòâà. Êðîìå ïðîèçâîäñòâà ñóáúåêòû ýêîíî-
ìè÷åñêîé ñèñòåìû ìîãóò âëàäåòü íåêîòîðûì çàïàñîì òîâàðîâ, êîòîðûõ îíè íå
èçãîòàâëèâàþò. Ñòðóêòóðó çàïàñà òîâàðîâ â ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå õàðàêòåðèçó-
þò ýëåìåíòû ìàòðèöû | | | |
,
b
kj k j
n1
1�
. Èñõîäÿ èç ýòîãî êîíå÷íûé ïðîäóêò èëè ïðåä-
ëîæåíèå ïîòðåáèòåëÿì ïî k-ìó òîâàðó �k â îòêðûòîé ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå
ôîðìèðóåòñÿ â îáúåìå
�k k ki i
i
n
ki
i
n
ki
i
n
k kx a x b b e i� � � � � �
� � �
� � �
1 1
1
1
, k n�1, . (1)
Ñîãëàñíî âûðàæåíèþ (1) ïðèáûëü ïðîèçâîäèòåëåé çà âû÷åòîì íàëîãîâ îò ðåà-
ëèçàöèè èìåþùèõñÿ ó íèõ òîâàðîâ èìååò âèä
~
( ) ( )D p D p x p a pj j j j j j kj k
k
n
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�� �
1
� �
� �
� �� �j kj k
k
n
j kj k
k
n
b p b p
1
1
1
, j n�1, . (2)
Ðàíåå îòìå÷àëîñü, ÷òî ÷èñòûå ïîòðåáèòåëè ôèíàíñèðóþòñÿ çà ñ÷åò íàëîãî-
îáëîæåíèÿ ïðîèçâîäèòåëåé. Îòñþäà
~
( ) ( ) ( )D p D pj
j n
l
j j
j
n
� � �
� �� �
1 1
1 � . (3)
12 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
Ôóíêöèîíèðîâàíèå ñóáúåêòîâ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû òðåáóåò èõ âûáîðà
îòíîñèòåëüíî âîçìîæíûõ ñòðàòåãèé ïîâåäåíèÿ. Ñ÷èòàåì, ÷òî ñòðàòåãèè ïîâåäå-
íèÿ âñåõ ïîòðåáèòåëåé ïðåäïîëàãàþò èõ íåíàñûùàåìîñòü, ò.å. âñÿ ïîëó÷åííàÿ
ïðèáûëü êàæäîãî ñóáúåêòà ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû äîëæíà áûòü íàïðàâëåíà íà
ïðèîáðåòåíèå íîâûõ òîâàðîâ. Ïîòðåáèòåëüñêèå ïðåäïî÷òåíèÿ çàäàäèì ìàòðèöåé
ñïðîñà âèäà C x c xkj k j
n l( ) | | ( )| |
,
,� � �1 1
. Çàâèñèìîñòü ýëåìåíòîâ ìàòðèöû ñïðîñà îò
âåêòîðà îáúåìîâ âûïóñêà òîâàðîâ îçíà÷àåò, ÷òî âûáîð íàáîðà òîâàðîâ äëÿ ïî-
òðåáëåíèÿ îñíîâàí íà îöåíêàõ êîëè÷åñòâà ïðîèçâåäåííûõ òîâàðîâ â ýêîíîìè÷åñ-
êîé ñèñòåìå. Ñëåäîâàòåëüíî, c xkj ( ) — ýòî êîëè÷åñòâî k-ãî òîâàðà, æåëàåìîå j-ì
ïîòðåáèòåëåì, åñëè îáúåì âûïóñêà òîâàðà çàäàí âåêòîðîì x. Ââèäó òîãî, ÷òî ïî-
òðåáèòåëè íåíàñûùàþùèåñÿ, ñóùåñòâóþò ìèíèìàëüíûå íàáîðû òîâàðîâ, íåîáõî-
äèìûå ñîîòâåòñòâóþùèì ñóáúåêòàì ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû. Ïðè ýòîì îáúåì
òðåáóåìûõ äëÿ ïîòðåáèòåëåé òîâàðîâ îãðàíè÷åí è âåðõíèì óðîâíåì, ïîñêîëüêó
êîëè÷åñòâî òîâàðîâ íà ðûíêå âñåãäà îãðàíè÷åíî. Òàêèì îáðàçîì, ìàêñèìàëüíûé
íàáîð òîâàðîâ, â êîòîðûõ çàèíòåðåñîâàíû ïîòðåáèòåëè, áóäåò çàäàâàòüñÿ ñòîëáöàìè
ìàòðèöû C c
kj k j
n l0 0
1 1
� � �| | | |
,
, , c c x
kj kj
0 � ( ), à ìèíèìàëüíûé — ñòîëáöàìè ìàòðèöû
C c
kj k j
n l1 1
1 1
� � �| | | |
,
, , c x ckj kj
( ) � 1 , è � � � � �k n j l c
kj
1 1 01, [ , ]: . Èñõîäÿ èç ñòðóêòóðû
ïîòðåáëåíèÿ òîâàðîâ, ìîæíî ñôîðìèðîâàòü ñïðîñ êîíêðåòíîãî ñóáúåêòà ýêîíî-
ìè÷åñêîé ñèñòåìû â âèäå
� �k
k
ik i
i
l
p
x p D p�
�
�
1
1
( , )
~
( ), k n�1, . (4)
ãäå � �i ik k
n� �{ }
1
— âåêòîð ñïðîñà i-ãî ïîòðåáèòåëÿ, êîìïîíåíòû êîòîðîãî
â ñëó÷àå åãî íåíàñûùåíèÿ ñâÿçàíû ñ ýëåìåíòàìè ìàòðèöû C x( ) ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
� ik
ki k
si s
s
n
x p
c x p
c x p
( , )
( )
( )
�
�
�
1
, i l�1, , k n�1, .
 ïðîöåññå ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñóáúåêòû ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû ñòðåìÿòñÿ
äîñòè÷ü ïðèåìëåìîãî äëÿ íèõ óðîâíÿ ïðèáûëüíîñòè. Ýôôåêòèâíîñòü ôóíêöèî-
íèðîâàíèÿ ìîæíî îöåíèòü c ïîìîùüþ âåêòîðà ñòåïåíåé óäîâëåòâîðåíèÿ íóæä
ïîòðåáèòåëåé y yi i
l� �{ }
1
. Ïî åãî êîìïîíåíòàì îïðåäåëÿþò ñîîòíîøåíèå ìåæäó
ïîëó÷åííîé ïðèáûëüþ êîíêðåòíîãî ñóáúåêòà ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû è çàòðàòà-
ìè íà ïîòðåáëåíèå òðåáóåìûõ åìó òîâàðîâ. Ïîñêîëüêó â ìîäåëè ïðåäïîëàãàåòñÿ
íåíàñûùàåìîñòü ïîòðåáèòåëåé, èäåàëüíûé âàðèàíò äëÿ êàæäîãî èç íèõ áóäåò
òîãäà, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà y ðàâíà åäèíèöå. Â îáùåì
ñëó÷àå ñëåäóåò îæèäàòü, ÷òî yi �( , ]0 1 , i l�1, . Ñóáúåêòû ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû,
êîòîðûå çàíèìàþòñÿ ïðîèçâîäñòâåííîé äåÿòåëüíîñòüþ, ïîëó÷àò ïðèáûëü â îáúåìå,
îïðåäåëÿåìîì âûðàæåíèåì (2). Îñòàëüíûå ñóáúåêòû ìîãóò ðàññ÷èòûâàòü íà ôè-
íàíñèðîâàíèå â ðàìêàõ óñëîâèÿ (3). Ýòè ôèíàíñîâûå ðåñóðñû äîëæíû áûòü èñ-
ïîëüçîâàíû íà ïðèîáðåòåíèå íîâûõ òîâàðîâ; ñëåäîâàòåëüíî,
~
( ) ( )D p y c x pj j sj
s
n
s�
�
�
1
, j l�1, . (5)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 13
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÔÎÐÌÓËÈÐÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ñòàáèëüíîå ôóíêöèîíèðîâàíèå ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû âî âðåìåíè ñîñòîèò
â ïðåáûâàíèè â îïðåäåëåííîì ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ èëè â ïîî÷åðåäíîì ïðå-
áûâàíèè â íåñêîëüêèõ ñîñòîÿíèÿõ ðàâíîâåñèÿ. Íåêîòîðûå õàðàêòåðèñòèêè ýêî-
íîìè÷åñêîé ñèñòåìû íå èçìåíÿþòñÿ, è èõ ìîæíî ñ÷èòàòü çàäàííûìè íà ïðîòÿ-
æåíèè îïðåäåëåííîãî âðåìåííîãî èíòåðâàëà íåçàâèñèìî îò òîãî, èçìåíÿþòñÿ
ëè ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ, â êîòîðûõ ïðåáûâàåò ýêîíîìè÷åñêàÿ ñèñòåìà. Çíà÷å-
íèÿ äðóãèõ õàðàêòåðèñòèê çàâèñÿò îò òîãî, êàêîå èìåííî ðåàëèçóåòñÿ ñîñòîÿ-
íèå ðàâíîâåñèÿ. Ïîýòîìó êîððåêòíî ââåñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîìåæóòêîâ
âðåìåíè (èëè ïåðèîäîâ) ñ âûáðàííûìè çàäàííûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ìîäåëè
ýêîíîìèêè.  îäíîì èç òàêèõ ïåðèîäîâ è áóäåì èññëåäîâàòü ýêîíîìè÷åñêóþ
ñèñòåìó.  äàííîì ñëó÷àå çàäàííûå õàðàêòåðèñòèêè áóäóò îòîáðàæàòü îðèåí-
òèðû âåðîÿòíûõ ñöåíàðèåâ ðàçâèòèÿ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû. Ñöåíàðèè, êîòî-
ðûå ìîãóò îñóùåñòâèòüñÿ, áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü âîçìîæíûì ñîñòîÿíèÿì ðàâ-
íîâåñèÿ. Èòàê, â ìîäåëè çàäàíû ìàòðèöà | | | |
,
akj k j
n
�1
, ýëåìåíòû êîòîðîé îïðå-
äåëÿþò çàòðàòû íà èçãîòîâëåíèå ïðîäóêöèè; ìàòðèöà | | | |
,
bkj k j
n
�1
, îïèñûâàþùàÿ
ïîñòîÿííûå çàòðàòû ïðîèçâîäñòâà; C 0 è C 1 — çàäàþùèå ãðàíè÷íûå ïîòðåáè-
òåëüñêèå íàáîðû òîâàðîâ; | | | |
,
b
kj k j
n1
1�
— ýëåìåíòû b
kj
1 ìàòðèöû, êîòîðûå îòî-
áðàæàþò êîëè÷åñòâî çàïàñà k-ãî òîâàðà ó j-ãî ñóáúåêòà ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòå-
ìû. Ïðè÷åì ñ ó÷åòîì îñîáåííîñòåé ìîíîïîëèñòîâ èõ òîâàðû íå ìîãóò âûñòàâ-
ëÿòüñÿ íà ïðîäàæó äðóãèìè ñóáúåêòàìè è ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòû
ìàòðèöû çàïàñà òîâàðîâ ìîãóò áûòü íóëåâûìè. Ñîãëàñíî ýêîíîìè÷åñêèì ðåà-
ëèÿì ñëåäóåò çàäàòü è ñòðàòåãèþ íàëîãîîáëîæåíèÿ ñ ïîìîùüþ âåêòîðà
( , , )� �
1
0 0
� t . Óðîâíè íàëîãîîáëîæåíèÿ ìîíîïîëèñòîâ ( , , )� �t n�1 � ìîãóò çà-
âèñåòü îò ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ, â êîòîðîì ïðåáûâàåò ýêîíîìè÷åñêàÿ ñèñòåìà.
Ïîýòîìó êîððåêòíî ñ÷èòàòü èõ íåèçâåñòíûìè. Íàëè÷èå â ýêîíîìè÷åñêîé ñèñ-
òåìå ìîíîïîëèñòîâ îçíà÷àåò, ÷òî öåíû íà èõ òîâàðû ( , , )p p
t n�1
0 0
� äîëæíû çà-
äàâàòüñÿ, òîãäà êàê öåíû íà îñòàëüíûå òîâàðû ( , , )p pt1 � áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ
ñîñòîÿíèåì ðàâíîâåñèÿ. Õàðàêòåðèñòèêîé ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ìîãóò áûòü
òàêæå êîìïîíåíòû âåêòîðà ñòåïåíåé óäîâëåòâîðåíèÿ íóæä ïîòðåáèòåëåé y.
Òîãäà ïðîèçâîäñòâåííûå îðèåíòèðû ìîíîïîëèñòîâ áóäóò ôîðìèðîâàòüñÿ, èñ-
õîäÿ èç ôèêñèðîâàííûõ ìîíîïîëüíûõ öåí ñ ó÷åòîì èçâåñòíûõ è îöåíêè âåðî-
ÿòíûõ çíà÷åíèé äðóãèõ ýêîíîìè÷åñêèõ âåëè÷èí.  ðåçóëüòàòå ýòîãî îíè ïðåä-
ïîëàãàþò ïîëó÷èòü íåîáõîäèìûé èì óðîâåíü ïðèáûëè, ñ÷èòàÿ, ÷òî îáúåìû
âûïóñêà òîâàðîâ ( , , )x xt n�1 � äîëæíû çàâèñåòü îò ðåàëèçàöèè îäíîãî èç ñî-
ñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ. Îñòàëüíûå ñóáúåêòû ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû íå èìåþò
òàêîãî ïðåèìóùåñòâà. Îäíàêî, çàôèêñèðîâàâ ñâîè âûïóñêè òîâàðîâ íà óðîâíå
( , , )x xt1
0 0
� , îíè òàêæå ñìîãóò îöåíèòü ïîñòóïëåíèÿ âîçìîæíîé ïðèáûëè.
 ñî÷åòàíèè ñ ïðèâåäåííûìè âûøå çàäàííûìè âåëè÷èíàìè (íàïðèìåð, òåõíî-
ëîãèÿìè ïðîèçâîäñòâà òîâàðîâ) ýòî åäèíñòâåííàÿ íåîáõîäèìàÿ äëÿ ðàñ÷åòà õà-
ðàêòåðèñòèêà, íà êîòîðóþ äàííûå ñóáúåêòû ìîãóò âëèÿòü íåïîñðåäñòâåííî. Íî
îöåíî÷íûé óðîâåíü ïðèáûëè íåîáÿçàòåëüíî ìîæåò áûòü äîñòèãíóò. Ïîëîæå-
íèå ìîíîïîëèñòîâ, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ áîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíûì, òàêæå íå äàåò
ãàðàíòèè ïîëó÷åíèÿ òðåáóåìîãî îáúåìà ïðèáûëè.
Êàê è äëÿ îïèñàííîãî ñöåíàðèÿ ïëàíèðîâàíèÿ ïðîèçâîäñòâà, âîçìîæíà ñèòó-
àöèÿ, êîãäà â ñòðàòåãèÿõ èçãîòîâëåíèÿ òîâàðîâ ñóáúåêòàì ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòå-
ìû ñëåäóåò èñõîäèòü èç çàäàííûõ óðîâíåé ïîòðåáëåíèÿ. Òîãäà êîìïîíåíòû âåê-
14 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
òîðà y ñ÷èòàþòñÿ èçâåñòíûìè, à âåñü âåêòîð îáúåìîâ âûïóñêà ïðîäóêöèè x áóäåò
îïðåäåëÿòüñÿ ðåàëèçàöèåé îäíîãî èç âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ. Îáà ýòè
âàðèàíòà áóäóò ðàññìîòðåíû íèæå.
Äëÿ äîñòèæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå íåîáõîäèìî, ÷òîáû
ñïðîñ íà òîâàðû íå ïðåâûøàë ïðåäëîæåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èì óñëîâèÿ íà
õàðàêòåðèñòèêè ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû
c x y x a x b b ekj j
j
l
k ki i
i
n
ki
i
n
ki
i
n
k( )
� � � �
� � � �� � � � � �
1 1 1
1
1
ik , k n�1, . (6)
� � �j j j kj k
k
n
j kj k
k
n
j kj k
k
x p a p b p b p�
�
�
�
�
�
� �
� � �
� �
1 1
1
1
n
j sj s
s
n
y c x p� ��
�
( )
1
, j n�1, . (7)
Ñ ó÷åòîì çíà÷åíèé çàäàííûõ âåëè÷èí èç äàííûõ óñëîâèé ìîæíî îïðåäåëèòü
âñå âîçìîæíûå ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû è, ñëåäîâàòåëüíî,
íàéòè âñå ðàâíîâåñíûå çíà÷åíèÿ õàðàêòåðèñòèê ìîäåëè.
Ìîæíî èçáåæàòü íåêîòîðûõ òðóäíîñòåé ðåøåíèÿ íåëèíåéíîé îòíîñèòåëüíî
âåêòîðà îáúåìîâ âûïóñêà ïðîäóêöèè x ñèñòåìû íåðàâåíñòâ (6), åñëè èñêëþ÷èòü
âîçìîæíîñòü ðåàëèçàöèè ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ ñ íåïðèáûëüíûì ïðîèçâîäñòâîì.
Äîïîëíèòåëüíî ñëåäóåò âûïîëíèòü íåðàâåíñòâà
x p a p b pj j kj k
k
n
kj k
k
n
�
�
�
�
�
�
� �
� �
� �
1 1
0, j n�1, . (8)
×òîáû â èòîãå ðåøåíèÿ (ïîëîæèòåëüíûå âåêòîðû x è p) çàäà÷è (6), (7) âñåã-
äà óäîâëåòâîðÿëè îãðàíè÷åíèÿì (8) â âûðàæåíèè (6), äîñòàòî÷íî îò íåðàâåíñòâ
ïåðåéòè ê ðàâåíñòâàì [1]:
c x y x a x b b ekj j
j
l
k ki i
i
n
ki
i
n
ki
i
n
k( )
� � � �
� � � �� � � � � �
1 1 1
1
1
ik , k n�1, . (9)
Òàêèì îáðàçîì, èç ñèñòåìû íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé (7), (9) îïðåäåëèì íåèç-
âåñòíûå âåëè÷èíû { }pi i
t
�1
, { }xi i
n
�1
ïðè çàäàííîì âåêòîðå { }yi i
n
�1
èëè âåëè÷èíû
{ }pi i
t
�1
, { }xi i t
n
� �1
è { }yi i
n
�1
ïðè çàäàííîì âåêòîðå { }xi i
t
�1
. Ýòî ïîçâîëèò îïèñàòü
äîïóñòèìûå îòíîñèòåëüíî ïðèáûëüíîñòè ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ýêîíîìè÷åñêîé
ñèñòåìû. Èñõîäÿ èç ýêîíîìè÷åñêîãî ïîíèìàíèÿ õàðàêòåðèñòèê î÷åâèäíî, ÷òî íà-
ëè÷èå íóëåâûõ èëè îòðèöàòåëüíûõ êîìïîíåíò ó ðàâíîâåñíûõ âåêòîðîâ ýêîíîìè-
÷åñêè íåïðèåìëåìî. È åñëè íóëåâûå îáúåìû âûïóñêîâ òîâàðà èëè íóëåâûå öåíû
åùå ìîæíî òðàêòîâàòü ñîîòâåòñòâåííî êàê îòñóòñòâèå ïðîèçâîäñòâà èëè ïðîäàæè
òîâàðîâ (î÷åâèäíî, ÷òî ýòî íåïðèåìëåìî äëÿ ïðîèçâîäèòåëåé èëè âëàäåëüöåâ òà-
êèõ òîâàðîâ, ïîñêîëüêó ìîæåò ïðèâåñòè ê óáûòî÷íîñòè ïðîèçâîäñòâ), òî îòðèöà-
òåëüíûå çíà÷åíèÿ äàííûõ ýêîíîìè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ïðåäñòàâëÿþòñÿ
íåðåàëèñòè÷íûìè (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïîòðåáóåòñÿ ñïåöèàëüíîå ïîÿñíåíèå
ýêîíîìè÷åñêîãî ñìûñëà òàêèõ âåëè÷èí íà ìîäåëüíîì óðîâíå).
Îòìåòèì, ÷òî òðåáîâàíèå (8) èñêëþ÷àåò èç ðàññìîòðåíèÿ äîòàöèîííûå ïðî-
èçâîäñòâà. ×òîáû ó÷åñòü íàëè÷èå òàêèõ ïðîèçâîäèòåëåé â ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòå-
ìå, ìîæíî, êàê è â [1], ââåñòè äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî j-ãî ñóáúåêòà ýêîíîìè÷åñêîé
ñèñòåìû âåêòîð äîòàöèé â íàòóðàëüíûõ ïîêàçàòåëÿõ { }dij i
n1
1�
(ò.å. äîòàöèè äîëæíû
áûòü ñâÿçàíû ñ ïðåäîñòàâëåíèåì êîíêðåòíûõ òîâàðîâ). Îòäåëüíûå êîìïîíåíòû
äàííîãî âåêòîðà îòîáðàæàþò îáúåìû ïîñòóïëåíèé ïî êàæäîìó èìåþùåìóñÿ
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 15
â ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå òîâàðó è ìîãóò áûòü íóëåâûìè. Óðîâíè íàëîãîîáëîæå-
íèÿ äîòàöèîííûõ ïðîèçâîäñòâ êîððåêòíî ñ÷èòàòü çàäàííûìè. Òîãäà â âûðàæåíèè
äëÿ ïðèáûëè (2) äàííûõ ïðîèçâîäèòåëåé ïîÿâèòñÿ äîïîëíèòåëüíîå ñëàãàåìîå
� j kj k
k
n
d p1
1�
� . Äëÿ òàêèõ ïðîèçâîäñòâ èçìåíèòñÿ âèä âûðàæåíèÿ (7):
� � �j j j kj k
k
n
j kj k
k
n
j kj kj
x p a p b p b d�
�
�
�
�
�
� � �
� �
� �
1 1
1( 1
1 1
) ( )p y c x pk
k
n
j sj s
s
n
� �
� �� .
Î÷åâèäíî, ÷òî äîòàöèîííûå ïðîèçâîäñòâà íå ìîãóò áûòü óáûòî÷íûìè,
ïîýòîìó âìåñòî íåðàâåíñòâ (8) äëÿ íèõ ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü óñëîâèÿ
x p a p b p d pj j kj k
k
n
kj k
k
n
kj k
k
n
�
�
�
�
�
�
� � �
� � �
� � �
1 1
1
1
0,
÷òî ïðèâåäåò ê óðàâíåíèþ ðàâíîâåñèÿ (9). Íî ïðè ýòîì ñëåäóåò ó÷èòûâàòü,
÷òî ñóáúåêòû ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû ñ äîòàöèÿìè áóäóò èìåòü îïðåäåëåííûå
ïðåèìóùåñòâà ïî ñðàâíåíèþ ñ äðóãèìè ïðîèçâîäèòåëÿìè òîâàðîâ. Åñëè âåëè-
÷èíà äîòàöèè çàäàíà, òî öåíà íà òîâàð òàêîãî ïðîèçâîäèòåëÿ áóäåò îïðåäå-
ëÿòüñÿ èç óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ. Åñëè æå âåëè÷èíó äîòàöèè îïðåäåëÿåò ñîñòîÿ-
íèå, â êîòîðîì áóäåò íàõîäèòüñÿ ýêîíîìè÷åñêàÿ ñèñòåìà, òîãäà öåíû íà òîâà-
ðû òàêèõ ïðîèçâîäñòâ (êàê è äëÿ ìîíîïîëèñòîâ) ñëåäóåò ñ÷èòàòü çàäàííûìè.
Âàæíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïðåäîñòàâëÿåìûé â êà÷åñòâå äîòàöèè íàáîð òîâàðîâ
ìîæåò ôîðìèðîâàòüñÿ íåîäíîçíà÷íî, ïîýòîìó öåëåñîîáðàçíî ââåñòè âåêòîð
ñ êîìïîíåíòàìè d j ,
d p d pj j kj k
k
n
�
�
� 1
1
,
êîòîðûå áóäóò îòîáðàæàòü ñóììàðíóþ âåëè÷èíó äîòàöèé ñîîòâåòñòâóþùåãî
ïðîèçâîäñòâà.
ÇÀÄÀÍÍÛÅ ÓÐÎÂÍÈ ÏÎÒÐÅÁËÅÍÈß
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà çàäà÷ó, ñôîðìóëèðîâàííóþ ïðè îòñóòñòâèè äîòàöèé,
à òàêæå â ñëó÷àå ôèêñèðîâàííûõ êîìïîíåíòîâ âåêòîðà ñòåïåíåé óäîâëåòâîðå-
íèÿ íóæä ïîòðåáèòåëåé y. Êàê èíäèêàòîð ýôôåêòèâíîñòè, âåêòîð y çàäàåò
óðîâíè ïîòðåáëåíèÿ ñóáúåêòîâ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû. Òîãäà ðåøåíèÿ ñèñòå-
ìû óðàâíåíèé (7), (9) îïðåäåëÿò òå ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ, â êîòîðûõ öåíû
{ }pi i
t
�1
è îáúåìû âûïóñêîâ { }xi i
n
�1
áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü óðîâíÿì ïîòðåáëå-
íèÿ, çàäàííûì êîìïîíåíòàìè âåêòîðà y. Çäåñü íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî äëÿ
êàæäîãî óðîâíÿ ïîòðåáëåíèÿ íå ïðåäóñìàòðèâàåòñÿ åäèíñòâåííîñòè ñîñòîÿíèÿ
ðàâíîâåñèÿ, ïîýòîìó ìîæåò îêàçàòüñÿ íåñêîëüêî âàðèàíòîâ íàáîðà òîâàðîâ
{ }c xij i
n( ) �1
, äîñòóïíûõ âûáîðó j-ãî ñóáúåêòà. Ýòè íàáîðû ýêâèâàëåíòíû, èñõî-
äÿ èç îòíîøåíèÿ èõ ñòîèìîñòè ê ïðèáûëè, èìåþùåéñÿ ó ñóáúåêòà ýêîíîìè-
÷åñêîé ñèñòåìû, íî ñîñòàâ òîâàðîâ â íàáîðå áóäåò îòëè÷àòüñÿ è çàâèñåòü îò
òîãî, êàêîå ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ ðåàëèçîâàëîñü. Âûäåëÿòü áîëåå ïðèâëåêà-
òåëüíûé íàáîð òîâàðîâ (èëè áîëåå æåëàåìîå ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ) íåò íåîá-
õîäèìîñòè, ïîñêîëüêó ïðèíÿòàÿ çàâèñèìîñòü ïîòðåáèòåëüñêèõ êîýôôèöèåíòîâ
îò âåêòîðà îáúåìîâ âûïóñêà òîâàðîâ â îáùåì ñëó÷àå íå ïðåäïîëàãàåò íàëè÷èÿ
êàêèõ-ëèáî îñîáûõ ïðåäïî÷òåíèé âûáîðà.
Äàëåå ñ÷èòàåì, ÷òî ìàòðèöà A a jk j k
n� �| | | |
, 1
ïðîäóêòèâíà, ò.å. åå ñïåêòðàëü-
íûé ðàäèóñ ìåíüøå åäèíèöû. Ïðè òàêèõ óñëîâèÿõ ñèñòåìó óðàâíåíèé (9)
16 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
ïðåäñòàâèì â âèäå
x E A c x y E A e i bk ks sj j
j
l
s
n
ks s s sj� � � � � � ��
��
��� ( ) ( ) ( )1
11
1 bsi
i
n
j
n
s
n
1
111 ���
���
�
�
�
�
�
�
�
�
, k n�1, . (10)
Ñ ó÷åòîì îãðàíè÷åíèÿ íà ýëåìåíòû ìàòðèöû ñïðîñà íåîáõîäèìî âûïîëíèòü
óñëîâèÿ
x E A c y e i b b
k
m
ks sj j
j
l
s s sj sj
j
n
� � � � � �
�
�
�
�
�
� �
� �( ) ( )1 1
1
1
1
�
�
�
�
�
�
�
s
n
1
0, k n�1, . (11)
Âûðàæåíèå (11) çàäàåò íèæíþþ ãðàíèöó âîçìîæíûõ çíà÷åíèé x xm
i
m
i
n� �{ }
1
âåêòîðà îáúåìîâ âûïóñêà òîâàðîâ x. Âåðõíÿÿ ãðàíèöà x xM
i
M
i
n� �{ }
1
îïðåäåëÿ-
åòñÿ ýëåìåíòàìè ìàòðèöû C 0 :
x E A c y e i b b
k
M
ks sj j
j
l
s s sj sj
j
n
� � � � � �
�
�
�
�
�
� �
� �( ) ( )1 0
1
1
1
�
�
�
��
�
s
n
1
, k n�1, .
Çàâèñèìîñòü ýëåìåíòîâ ìàòðèöû C x( ) ñ÷èòàåì íåëèíåéíîé; ñëåäîâàòåëüíî, è
óðàâíåíèå (10) îòíîñèòåëüíî âåêòîðà x íåëèíåéíî. Íàëè÷èå îãðàíè÷åíèé íà ýëå-
ìåíòû ìàòðèöû ñïðîñà C x( ) è óñëîâèÿ (11) ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå ïîëîæè-
òåëüíîãî ðåøåíèÿ { }xi i
n
�1
óðàâíåíèÿ (10) íà îñíîâàíèè èñïîëüçîâàíèÿ ïðèíöèïà
Øàóäåðà [4]. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñòðîèì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ íà îñíîâàíèè
óðàâíåíèÿ (10)
x xj
k
j
k[ ] [ ]( )� �1
X , j n�1, ,
X j
k
js si
k
i
i
l
s
n
jsx E A c x y E A e( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ]� � � ��
��
��� 1
11
1
s s si si
i
n
i
n
s
n
i b b� � �
�
�
�
�
�
�
���
��� 1
111
è âûáåðåì íóëåâîå ïðèáëèæåíèå ðåøåíèÿ èç ìíîæåñòâà
{x R x x x x xi i
M
i
m
i i
M
i
m� � � � �� , | ( ) |2 , i n�1, }.
Ñ ó÷åòîì íàëè÷èÿ îãðàíè÷åíèé çíà÷åíèé ýëåìåíòîâ ìàòðèöû C x( ) ïîëó÷èì
îöåíêè c c x c
kj kj
m
kj
0 1� �( ) è c c x c
kj kj
M
kj
0 1� �( ) . Íà êàæäîì øàãå èòåðàöèé áó-
äåì ïîëó÷àòü íîâûå ïðèáëèæåíèÿ ðåøåíèÿ, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿþòñÿ íåðà-
âåíñòâà x x xj
m
j
k
j
M� �X ( )[ ] . Ñëåäîâàòåëüíî, îíè áóäóò ïðèíàäëåæàòü ýòîìó
æå ìíîæåñòâó çíà÷åíèé.  ðåçóëüòàòå íà íåêîòîðîé èòåðàöèè k � � äîñòèãíåì
íåïîäâèæíîé òî÷êè ïðîöåññà. Ïðèíöèï Øàóäåðà íå ãàðàíòèðóåò åäèíñòâåí-
íîñòè ðåøåíèÿ. Ïîýòîìó ìîæåì ïîëó÷èòü íàáîð îòäåëüíûõ ñîñòîÿíèé ðàâíî-
âåñèÿ, îïèñûâàþùèõ âåðîÿòíûå ñöåíàðèè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ýêîíîìè÷åñêîé
ñèñòåìû.
Ïî èçâåñòíûì îáúåìàì âûïóñêà ïðîäóêöèè ìîæíî îïðåäåëèòü òàêæå âåêòîð
öåí.  ÷àñòíîñòè, èç âûðàæåíèÿ (7) ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ëèíåéíîå íåîäíîðîäíîå
óðàâíåíèå:
p a p
y
x
c x p
x
b b pj sj s
s
n
j
j j
sj s
s
n
j
sj sj s
s
� � � �
� �
� �
1 1
11
�
( ) ( )
�
�
1
n
, j t�1, . (12)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 17
Ñ ó÷åòîì ýêîíîìè÷åñêèõ ðåàëèé äîïîëíèòåëüíî ïîòðåáóåì âûïîëíåíèÿ íåðà-
âåíñòâ
a x
y
c b bsj j
j
j
sj sj sj� � � �
�
1 1 0, j t�1, , s t�1, . (13)
Äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñïðàâåäëèâîñòè ýòîãî òðåáîâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ îöåíêè
a E A c y e i bsj jk ki i
i
l
k k ki
i
n
k
n
( )� � � �
�
�
�
�
�
� �
�
� ��
� �� 1 1
1 11
y
c b b
j
j
sj sj sj
�
1 1� � , j t�1, , s t�1, .
Èç íåðàâåíñòâà (13) ñëåäóåò, ÷òî áåç ïðîèçâîäñòâà ðåàëèçàöèåé îäíîãî ëèøü
çàïàñà ãîòîâîé ïðîäóêöèè íåëüçÿ óäîâëåòâîðèòü âåñü ñïðîñ íà òîâàðû â ýêî-
íîìè÷åñêîé ñèñòåìå. Âñëåäñòâèå ýòîãî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïîëîæèòåëüíîãî ðåøå-
íèÿ { }pi i
t
�1
óðàâíåíèÿ (12) äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ íåîòðèöà-
òåëüíîé ìàòðèöû
� ( ) ( )
,
x a
x
b
x
b
y
x
c xkj
j
kj
j
kj
j
j j
kj
k j
t
� � � �
�
1 1 1
0
1
�
áûë ìåíüøå åäèíèöû. Ãàðàíòèðîâàííî îáåñïå÷èòü âûïîëíåíèå òàêîãî óñëîâèÿ
ìîæíî â ñëó÷àå, åñëè çàäàííûå õàðàêòåðèñòèêè ìîäåëè óäîâëåòâîðÿþò íå-
ðàâåíñòâàì
a x
y
c b b a x c ykj j
m j
j
kj kj kj js s
m
s
n
js s
s
n
� � � � � �
� �
� �
� 0
0 1
1
1
1
� � � �
�
� ( )b b e ijs js
s
n
j j
1
1
, k j t, ,�1 . (14)
Òîãäà íîðìà ìàòðèöû � ( )x áóäåò ìåíüøå åäèíèöû, à êîìïîíåíòû âåêòîðà
ðàâíîâåñíûõ öåí áóäóò ðàññ÷èòûâàòüñÿ ïî ôîðìóëå
p E x a
x
b
y
x
c xs js
j
t
kj
j
kj
j
j j
kj� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� ( ( )) ( )�
1
1
0
1
�
�
�� �
� p
k
k t
n
0
1
, s t�1, . (15)
Êàê ñëåäñòâèå âûøåèçëîæåííîãî, ñôîðìóëèðóåì ðåçóëüòèðóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü çàäàíî íåêîòîðîå âûïóêëîå êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî âîç-
ìîæíûõ òîâàðîâ X . Åñëè ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà (11), (13), (14), à ýëåìåíòû
ìàòðèöû ñïðîñà C x( ), íåïðåðûâíî çàâèñÿùèå îò x, óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì
c c x c
kj kj kj
0 1� �( ) , k n�1, , j l x X R n� � � �1 0, , \ { },
òî ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è îá ýêîíîìè÷åñêîì ðàâíîâå-
ñèè (7), (10), äëÿ êîòîðîãî êîìïîíåíòû ðàâíîâåñíîãî âåêòîðà îáúåìîâ âûïóñ-
êà òîâàðîâ ñóáúåêòàìè ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû áóäóò íàõîäèòüñÿ â èíòåðâàëå
x x xj j
m
j
M�[ , ], j n�1, . Ðàâíîâåñíûå öåíû íà òîâàðû { }pi i
t
�1
îïðåäåëÿþòñÿ îáú-
åìàìè âûïóñêà òîâàðîâ ïî ôîðìóëå (15).
Ñäåëàåì íåñêîëüêî çàìå÷àíèé ê ýòîìó óòâåðæäåíèþ. Êàê óæå îòìå÷àëîñü,
ïðèâåäåííûå óñëîâèÿ íå ïðåäïîëàãàþò åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâ-
íåíèé (10), à êàæäîå îïðåäåëåííîå ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóåò îäíîìó èç âîçìîæíûõ
ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ. Èõ ðåàëèçàöèÿ ìîæåò áûòü çàâèñèìà îò âûáîðà óðîâíåé
íàëîãîîáëîæåíèÿ ìîíîïîëèñòîâ, íî ýòè óðîâíè åùå íå îïðåäåëåíû. Èç âûðàæå-
íèÿ (7) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ðàâíîâåñíûõ õàðàêòåðèñòèê óðîâíè íàëîãîîáëîæåíèÿ
ìîíîïîëèñòîâ ìîæíî íàéòè ïî ôîðìóëå
18 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
� j
sj j s
s
t
sj j s
s t
n
j j kj j
c x y p c x y p
p x a x
�
�
� �
� � �
� �( ) ( )
(
1
0
1
0 b b p a x b pkj kj k
k
t
kj j kj k
k t
n
� � �
� � �
� �1
1
0
1
) ( )
, j t n� �1, . (16)
Î÷åâèäíî, ÷òî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ îòëè÷àþòñÿ õàðàêòåðèñòèêàìè. Ñðåäè
îñíîâíûõ õàðàêòåðèñòèê îöåíêà ýôôåêòèâíîñòè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ýêîíîìè÷åñ-
êîé ñèñòåìû — îäíà èç íàèáîëåå âàæíûõ. Êîìïîíåíòû âåêòîðà ñòåïåíåé óäîâ-
ëåòâîðåíèÿ íóæä ïîòðåáèòåëåé çàäàíû è îäèíàêîâû äëÿ âñåõ âîçìîæíûõ ñîñòîÿ-
íèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, èñõîäÿ èç ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ïëàíèðóåìûìè
çàòðàòàìè è ïîëó÷àåìîé ïðèáûëüþ äëÿ ñóáúåêòîâ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû íå
èìååò çíà÷åíèÿ, êàêîå èìåííî èç ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ ðåàëèçîâàëîñü.
Êàê è â ñëó÷àå ñ âåêòîðîì îáúåìîâ âûïóñêà ïðîäóêöèè, äëÿ êîìïîíåíò âåê-
òîðà öåí ìîæíî ïîëó÷èòü ãðàíèöû èíòåðâàëà èõ çíà÷åíèé
p E x a
x
b
y
x
cs
M M m
js
j
t
kj
j
m kj
j
j j
m kj
� � � �
�
�
��
�
� ( ( ))�
1
1
0
01
��
�
�
�
�� �
� p
k
k t
n
0
1
, s t�1, .
p E x a
x
b
y
x
cs
m m M
js
j
t
kj
j
M kj
j
j j
M kj
� � � �
�
�
��
�
� ( ( ))�
1
1
0
11
��
�
�
�
�� �
� p
k
k t
n
0
1
, s t�1, .
Âèä ìàòðèö �
M x( ) è �
m x( ) îòëè÷àåòñÿ îò âèäà ìàòðèöû � ( )x òîëüêî òåì,
÷òî âìåñòî ýëåìåíòîâ c xkj ( ) èñïîëüçóþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî c
kj
0 è c
kj
1 . Òîãäà èí-
òåðâàë çíà÷åíèé óðîâíåé íàëîãîîáëîæåíèÿ ìîíîïîëèñòîâ áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ
ôîðìóëàìè
� j
m
sj j s
m
s
t
sj j s
s t
n
j j
M
kj j
M
c y p c y p
p x a x
�
�
� �
� � �
� �1
1
1 0
1
0 ( b b p a x b pkj kj k
m
k
t
kj j
M
kj k
k t
n
� � �
� � �
� �1
1
0
1
) ( )
, j t n� �1, .
� j
M
sj j s
M
s
t
sj j s
s t
n
j j
m
kj j
m
c y p c y p
p x a x
�
�
� �
� � �
� �0
1
0 0
1
0 ( b b p a x b pkj kj k
M
k
t
kj j
m
kj k
k t
n
� � �
� � �
� �1
1
0
1
) ( )
, j t n� �1, .
Îòìåòèì, ÷òî ãðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ ðàâíîâåñíûõ öåí è óðîâíåé íàëîãîîáëîæåíèÿ
ìîíîïîëèñòîâ îïðåäåëÿþòñÿ è ýëåìåíòàìè ìàòðèöû C 0 è ýëåìåíòàìè ìàòðèöû C 1.
Ñëåäîâàòåëüíî, äàííûå õàðàêòåðèñòèêè ó÷èòûâàþò âåñü äèàïàçîí èçìåíåíèé ïîòðå-
áèòåëüñêèõ ïðåäïî÷òåíèé. Çíà÷èò, è áåç çíàíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè ýëåìåí-
òîâ ìàòðèöû C x( ) îò âåêòîðà x ýòè ãðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ, à òàêæå èõ ðàçíîñòè
� � �� � �max ( )
k k
M
k
m , � p
k k
M
k
mp p� �max ( ) è �x
k k
M
k
mx x� �max ( ) ìîãóò ïðåäîñòà-
âèòü èíôîðìàöèþ î âëèÿíèè íà ðåàëèçàöèþ âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ
èçìåíåíèÿ ñòðóêòóðû ïîòðåáëåíèÿ òîâàðîâ íà âåëè÷èíó � � �max ( )
,k j kj kj
c c0 1 .
Åùå îäíî çàìå÷àíèå êàñàåòñÿ óñëîâèÿ (13). Íàëè÷èå ó ñóáúåêòîâ ýêîíîìè-
÷åñêîé ñèñòåìû áîëüøèõ îáúåìîâ çàïàñà òîâàðîâ áóäåò ïðèâîäèòü ê êîíêóðåí-
öèè â âîïðîñàõ îáåñïå÷åíèÿ ñïðîñà ìåæäó ïðîèçâîäñòâîì íîâûõ òîâàðîâ è èñ-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 19
ïîëüçîâàíèåì òîâàðîâ èç çàïàñà. Ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû çà-
ïàñà òîâàðîâ âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (13) è îöåíêè (11) ìîãóò íàðóøàòüñÿ. Ïðè
íàðóøåíèè óñëîâèé (13) öåíû { }pi i
t
�1
, îïðåäåëÿåìûå âûðàæåíèåì (15), íåîáÿçà-
òåëüíî áóäóò íåïîëîæèòåëüíûìè. Íî â äàííîì ñëó÷àå íåëüçÿ ýòî ãàðàíòèðîâàòü
äëÿ âñåãî èíòåðâàëà ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèé îáúåìîâ âûïóñêà òîâàðîâ { }xi i
n
�1
áåç ïðåäâàðèòåëüíîãî íàõîæäåíèÿ âñåõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (10). À ïîëó÷åíèå
îòðèöàòåëüíûõ êîìïîíåíòîâ âåêòîðà öåí èëè îáúåìîâ âûïóñêà òîâàðîâ áóäåò
îçíà÷àòü íàðóøåíèå ðàâíîâåñèÿ.
Åñëè äëÿ íåêîòîðûõ ïðîèçâîäñòâ ó÷åñòü âîçìîæíîñòü ïîëó÷åíèÿ äîòàöèé è
ñ÷èòàòü, ÷òî îáúåìû äîòàöèé îïðåäåëÿþòñÿ ñîñòîÿíèåì ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû
(ò.å. èç óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ), òî âèä âñåõ ðàíåå çàïèñàííûõ âûðàæåíèé, îïðåäåëÿ-
þùèõ ýêîíîìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè, íå èçìåíèòñÿ. À âåêòîð, õàðàêòåðèçèðóþ-
ùèé äîòàöèè, ìîæíî íàéòè èç óðàâíåíèÿ (7) ñ ó÷åòîì çàìåíû âåëè÷èí b
ik
1 íà
b d
ik ik
1 1� äëÿ òåõ èíäåêñîâ, êîòîðûå íóìåðóþò äîòàöèîííûå ïðîèçâîäñòâà. Ïîëó÷èì
d
y
p
c x p
x
p
a p
p
b bj
j
j j
sj s
s
n
j
j
kj k
k
n
j
kj kj
� � � �
� �
� �
�
( ) (
1 1
11
) p xk
k
n
j
�
� �
1
.
Åñëè çíà÷åíèÿ äîòàöèé çàäàíû, òî ÷àñòü âûðàæåíèé íåîáõîäèìî èçìåíèòü.
 ÷àñòíîñòè, â íåðàâåíñòâàõ (13), (14) è â îïðåäåëåíèè ýëåìåíòîâ ìàòðèöû � ( )x
âìåñòî âåëè÷èí b
ik
1 ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü b d
ik ik
1 1� äëÿ èíäåêñîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ
äîòèðóåìûì ñóáúåêòàì ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû.
ÇÀÄÀÍÍÛÅ ÎÁÚÅÌÛ ÂÛÏÓÑÊÀ ÒÎÂÀÐÎÂ
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà â ìîäåëè çàäàííûìè ñ÷èòàþòñÿ îáúåìû âûïóñêà
ïðîäóêöèè íåìîíîïîëèñòîâ { }xi i
n0
1�
. Òîãäà êîìïîíåíòû âåêòîðà ñòåïåíåé óäîâ-
ëåòâîðåíèÿ íóæä ïîòðåáèòåëåé íåèçâåñòíû è ïîäëåæàò îïðåäåëåíèþ èç óðàâ-
íåíèé ðàâíîâåñèÿ. Ñèñòåìó óðàâíåíèé (9) òðàíñôîðìèðóåì â äâå ôîðìàëüíî
íåçàâèñèìûå ïîäñèñòåìû. Ïåðâàÿ èç íèõ èìååò âèä
( ) ~ ~
E A z b
ks s
s
n
k
� ��
�
� 1 1
1
0 , k t�1, , (17)
ñ ïåðåîïðåäåëåííûìè íåèçâåñòíûìè âåëè÷èíàìè
~ ( )z c x yi ij j
j
l
1
1
�
�
� , i n�1, , (18)
è çàäàííîé ïðàâîé ÷àñòüþ
~
( )b x E A e i b b
k k ks s s sj si
i
n
j
n
0 0 1 1
11
� � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
��
s
n
�
�
1
, k t�1, ,
êîòîðóþ ñ÷èòàåì íåîòðèöàòåëüíîé.
Âòîðóþ ïîäñèñòåìó çàïèøåì â âèäå
x E A z E A e i b bk ks s
s
n
ks s s sj
j
n
si� � � � � � ��
�
�
�
� �( ) ~ ( )1 1
1
1
1
1
i
n
s
n
��
��
�
�
�
�
�
�
�
�11
, k t n� �1, . (19)
20 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
Ôóíêöèîíàëüíóþ çàâèñèìîñòü âåëè÷èí ~zs
1, s n�1, , îò âåêòîðà x âðåìåííî íå
áóäåì ó÷èòûâàòü, ðàññìàòðèâàÿ èõ êàê íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå. Åñëè èç ñèñòå-
ìû óðàâíåíèé (17) îïðåäåëèòü âåêòîð ~ ~z zs s
n1 1
1
� �{ } , òî ñ åãî ïîìîùüþ èç (19)
ìîæíî îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü íåèçâåñòíûå îáúåìû âûïóñêà ïðîäóêöèè ìîíîïî-
ëèñòîâ { }xi i t
n
� �1
. Íî â âûðàæåíèè (17) ÷èñëî íåèçâåñòíûõ áîëüøå, ÷åì óðàâíå-
íèé. Òåì íå ìåíåå, äëÿ âåêòîðà ~ ~z zs s
n1 1
1
� �{ } ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ïàðàìåòðè÷åñ-
êîå ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ. Íà îñíîâàíèè äàííîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðåäñòàâ-
ëåíèÿ ñîãëàñíî [1] ìîæíî îïèñàòü âñå âîçìîæíûå ïîëîæèòåëüíûå ðåøåíèÿ
çàäà÷è (17) îòíîñèòåëüíî âåêòîðà ~z 1. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå ðÿäà
óñëîâèé.  ïåðâóþ î÷åðåäü, ïðåäïî÷òèòåëüíî, ÷òîáû ðàíã ìàòðèöû
( )
,
,
E A
ks
k s
t n
� �
�
1
1
áûë ðàâåí t. Èç ïðåäïîëîæåíèÿ ïðîäóêòèâíîñòè ìàòðèöû
A a jk j k
n
�
�, 1
ñëåäóåò (ñì. [5]) ñóùåñòâîâàíèå íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû
( )
,
E A
ks
k s
t
� �
�
1
1
. Äëÿ ýëåìåíòîâ îáðàòíîé ê íåé ìàòðèöû H
ki
k i
t
0
1, �
ïîñòóëèðóåì
ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâ
(
~
, )
~
, ,b H b H i ti s si
s
t
0 0 0 0
1
0 1� � �
�
� ,
÷òî ÿâëÿåòñÿ óñëîâèåì íà çàäàííûå õàðàêòåðèñòèêè ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû,
íàïðèìåð íà âåêòîð { }xi i
n0
1�
. Îáîçíà÷èì
( , ) ( )d H E A Hk i sk si
s
t
0 1 0
1
� � �
�
� , k t n� �1, ,
è ââåäåì ñòðîãî ïîëîæèòåëüíûé âåêòîð ~ ~* *z zi i t
n� � �{ }
1
, äëÿ êîìïîíåíòîâ êî-
òîðîãî âûïîëíèìû òðåáîâàíèÿ
(
~
, ) ( , )~ *b H d H z
k j k j
0 0 0� , j t n� �1, , k t�1, .
Òîãäà ïàðàìåòðè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ïîëîæèòåëüíûõ ðåøåíèé ñèñòåìû óðàâ-
íåíèé (17) îòíîñèòåëüíî âåêòîðà ~ ~ (~)z z1 1� � ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
~ (~) (
~
, ) ( , )~ ~ , , (
~
,*z b H d H z b Hj j j
j t
n
t
1 0
1
0
1
0
1
0� �� �
� �
� �
0 ) �
�
!
"!
�
#
$
!
%!� �
� �� ( , )~ ~ , ~ ~ , , ~ ~* * *d H z z zj t j j
j t
n
t t n n
0
1
1 1� � �� . (20)
ãäå êîìïîíåíòû âåêòîðà ïàðàìåòðîâ ~ (~ ~ )� � �� & &�t n1 � ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó
' * , çàäàâàåìîìó îãðàíè÷åíèÿìè
(
~
, ) ( , )~ ~ *b H d H z
k j k j j
j t
n
0 0 0
1
�
� �
� � , k t�1, , ~� i � 0, i t n� �1, , ~ ~� �j
j t
n
n
� �
�� � �
1
1 1 .
Ïàðàìåòð ~� n�1 âûïîëíÿåò ìàñøòàáèðóþùóþ ôóíêöèþ, ïîýòîìó îí ìîæåò
áûòü òàêæå è îòðèöàòåëüíûì. Åñëè äàëåå ïî âåêòîðó ~ (~)z 1 � èç óðàâíåíèé (19)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 21
îïðåäåëèòü ðàâíîâåñíûé âåêòîð îáúåìîâ âûïóñêà òîâàðîâ ìîíîïîëèñòàìè, åãî
êîìïîíåíòû òàêæå áóäóò çàâèñåòü îò âåêòîðà ïàðàìåòðîâ ~� . Ñëåäîâàòåëüíî,
ìîæíî ïåðåîïðåäåëèòü
c c xkj kj
* (~ ) ( )� � , k n�1, , j l�1, .
Êàê è äëÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû C x( ), äëÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû ckj
k j
n l
*
,
,
(~ )�
� �1 1
ñïðàâåäëèâû îöåíêè
c c c
kj kj kj
0 1� �* (~ )� , k n�1, , j l� �1, , ~ *� ' . (21)
Ñëåäóåò ó÷èòûâàòü, ÷òî ìåæäó âåëè÷èíàìè ~ (~)zs
1 � , s n�1, , è êîìïîíåíòàìè
âåêòîðà x ñóùåñòâóåò äîïîëíèòåëüíàÿ ñâÿçü (18). Ñëåäîâàòåëüíî, îïðåäåëåííûå
ïî âåêòîðó ~ (~)z 1 � îáúåìû âûïóñêà ïðîäóêöèè ìîíîïîëèñòîâ { }xi i t
n
� �1
äîëæíû
ñîãëàñîâûâàòüñÿ ñ ýòèì. Èç ôîðìóëû (18) ïîëó÷èì óðàâíåíèå, ïîçâîëÿþùåå íàé-
òè ðàâíîâåñíûé âåêòîð ñòåïåíåé óäîâëåòâîðåíèÿ íóæä ïîòðåáèòåëåé y :
c y zij j
j
l
i
* (~ ) ~ (~)� �
�
� �
1
1 , i n�1, . (22)
Î÷åâèäíî, ÷òî âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ êîìïîíåíòîâ âåêòîðà y çàâèñÿò îò òîãî,
êàêèå áóäóò âûáðàíû çíà÷åíèÿ êîìïîíåíòîâ âåêòîðà ïàðàìåòðîâ ~� . Êàæäûé
ñóáúåêò ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû ïðåäïî÷èòàåò äîñòè÷ü íàèáîëüøåé ýôôåêòèâ-
íîñòè, à íàèáîëüøèé óðîâåíü ýôôåêòèâíîñòè ñîîòâåòñòâóåò ïîëíîìó óäîâëåòâî-
ðåíèþ íóæä ïîòðåáèòåëÿ, îäíàêî ýòîãî íå âñåãäà óäàåòñÿ äîñòè÷ü. Ïðèåìëåìûì
âàðèàíòîì ìîæåò áûòü ñíèæåíèå òðåáîâàíèé äî ìèíèìàëüíî äîïóñòèìîãî óðîâ-
íÿ óäîâëåòâîðåíèÿ ïîòðåáíîñòåé. Òîãäà â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ êîìïîíåíòû
âåêòîðà y äîëæíû íàõîäèòüñÿ â çàäàííîì èíòåðâàëå çíà÷åíèé, íàïðèìåð [ , ],� �
� � 1 . Ïîïàäàíèå â ýòîò èíòåðâàë îáåñïå÷èò íàäëåæàùèé âûáîð âåêòîðà ~� .  ñâÿ-
çè ñ ýòèì ñäåëàåì äîïóùåíèå îòíîñèòåëüíî ñòðóêòóðû ïîòðåáëåíèÿ òîâàðîâ â
ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå. Ïóñòü èìååòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå t îòëè÷íûõ îò íóëÿ äèà-
ãîíàëüíûõ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ c ckk kk
* (~ )� � �1 0, è äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ñ÷èòàòü,
÷òî äëÿ èíäåêñîâ k t�1, òàêîå äîïóùåíèå ñïðàâåäëèâî. Èñõîäÿ èç ýêîíîìè÷åñêèõ
ñîîáðàæåíèé, äîïóùåíèå ñ÷èòàåòñÿ ïðèåìëåìûì. Ñóùåñòâóþò ïðèìåðû, êîãäà
ïîìèìî òåõíîëîãè÷åñêèõ íóæä ó ñóáúåêòîâ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû âîçíèêàþò
ïîòðåáíîñòè â ñîáñòâåííîé ïðîäóêöèè. Ïðè ýòîì âûáîð äèàãîíàëüíûõ íåíóëå-
âûõ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ íå ïðèíöèïèàëåí, äîïóñòèìû è äðóãèå âàðèàíòû.
Îäíèì èç àëüòåðíàòèâíûõ âûáîðîâ òàêèõ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ ìîæåò ñëóæèòü
íàáîð c ck t k k t k,
*
,
(~ )� � � �� �1 1
1 0� , è òðåáîâàíèå îáÿçàòåëüíîãî ïîòðåáëåíèÿ ñâîèõ
òîâàðîâ äëÿ ÷àñòè ñóáúåêòîâ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû áóäåò ñíÿòî. Òîãäà ñ ó÷å-
òîì âûðàæåíèÿ (20) òðàíñôîðìèðóåì ðàâåíñòâà (22) â óðàâíåíèÿ, ïîçâîëÿþùèå
îïðåäåëèòü âåêòîð ñòåïåíåé óäîâëåòâîðåíèÿ íóæä ïîòðåáèòåëåé y è âåêòîð
ïàðàìåòðîâ ~� :
y
c
b H d H z ci
ii
i j i j j
j t
n
ij� � �
� �
�
1 0 0 0
1
*
* *
(~ )
(
~
, ) ( , )~ ~ (
�
� ~)
\
� y j
j i�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
, i t�1, , (23)
~
~
(~)
*
*� �i
i
ij j
j
l
z
c y�
�
�
1
1
, i t n� �1, , (24)
22 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
ãäå ââåäåíî ìíîæåñòâî èíäåêñîâ � � ({ }1, , l . Èìååì n óðàâíåíèé è l n t n� � �
íåèçâåñòíûõ. Ïîñêîëüêó âàæíî âûïîëíèòü óñëîâèå yi �[ , ]� � , i l�1, , ÷àñòü êîì-
ïîíåíò { }yi i t
l
� �1
ñðàçó ìîæíî çàôèêñèðîâàòü. Â äàííîé ñèòóàöèè îíè õàðàêòå-
ðèçóþò ìîíîïîëèñòîâ, êîòîðûå çàíèìàþò ïðèâèëåãèðîâàííîå ïîëîæåíèå, è ÷èñ-
òûõ ïîòðåáèòåëåé, êîòîðûå ôóíêöèîíèðóþò çà ñ÷åò âíåøíåãî ôèíàíñèðîâàíèÿ,
ïîýòîìó òàêîé øàã áóäåò îïðàâäàí. Ñôîðìóëèðóåì óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè çàäà-
÷è (23), (24), ó÷èòûâàþùèå òðåáîâàíèÿ ýôôåêòèâíîñòè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü ñïðàâåäëèâû îãðàíè÷åíèÿ (21), à äëÿ çàäàííûõ çíà÷åíèé
ïàðàìåòðîâ 0� �� � è ïîñòðîåííûõ ïî íèì âåëè÷èí
~
~ *
� �i
m
i
ij
j
l
z
c�
�
�
1 1
1
, ~
~ *
� �i
M
i
ij
j
l
z
c�
�
�
1 0
1
, i t n� �1, ,
âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà
� �� � �
�
�
�
� � �
�
1
0
0 0 0
c
b H d H z
ii
i j i j
M
j
j i
(
~
, ) ( , )~ ~ *
�
� �
�
�
�
�
�
� ��
� �| ( , )| ~ ~ *
\
d H z cj i j
m
j
j
ij
j i
i
0 0� � �
� �
, i t�1, . (25)
� � �
1
0
0 0 0
c
b H d H z
ii
i j i j
m
j
j i
(
~
, ) ( , )~ ~ *� �
�
�
�
� � �
�
�
� �
�
�
�
�
�
� ��
� �| ( , )| ~ ~ *
\
d H z cj i j
M
j
j
ij
j i
i
0 1� � �
� �
, i t�1, . (26)
�i k ik t n k d H� � � � �{ }[ , ], :( , )1 00 , �i k ik t n k d H� � � � �{ }[ , ], : ( , )1 00 .
Òîãäà ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è (23), (24), ò.å. âåêòîðû y yi i
l� �{ }
1
è ~ ~� �� � �{ }i i t
n
1
ñ êîìïîíåíòàìè, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ â èíòåðâàëàõ yi �[ , ]� � ,
i l�1, , è ~ [~ , ~ ]� � �j j
m
j
M� , j t n� �1, . Ïðè ýòîì çíà÷åíèÿ ÷àñòè êîìïîíåíò âåêòîðà y
ìîæíî ïðåäâàðèòåëüíî çàôèêñèðîâàòü êàê yi i� � , � � �� �i , i t l� �1, .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ìíîæåñòâî ' * ñîäåðæèò âñå äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ ïàðà-
ìåòðîâ { }~� i i t
n
� �1
. Òðåáîâàíèÿ (25) ïðèâîäÿò ê íåðàâåíñòâàì
(
~
, ) ( , )~ ~ | ( , )| ~ ~*b H d H z d H zi j i j
M
j
j
j i j
m
j
i
0 0 0 0� �
� �
� � �
�
*
j i� �
� �
�
0, i t�1, ,
÷òî ãàðàíòèðóåò âëîæåíèå ìíîæåñòâ
'1 2� � � � � ��
�{~ , | (~ ~ ) ~ | (~ ~ )� � � � � �R n t
j
M
j
m
j j
M
j
m , j t n� � �1, } *' .
Èç óñëîâèé (25), (26) è îãðàíè÷åíèé (21) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî âåêòîðà
~� �'1, êàæäîãî âåêòîðà �y yi i
t� �{ }
1
èç ìíîæåñòâà { � , | ( ) |y R yt
j� � � �� � � 2
� � �( ), ,� � j t1 } è âûáðàííûõ âåëè÷èí yi �[ , ]� � , i t l� �1, , èìåþò ìåñòî îöåíêè
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 23
�
�
�� � �
� �
�
1 0 0 0
1c
b H d H z c
ii
i j i j j
j t
n
ij*
* *
(~ )
(
~
, ) ( , )~ ~ (~� �)
\
y j
j i�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, i t�1, ,
~
~
(~) ~
*
*� � �i
m
i
ij j
j
l
i
M
z
c y� �
�
�
1
1
, i t n� �1, .
 ðåçóëüòàòå ñîãëàñíî ïðèíöèïó Øàóäåðà ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î ñóùåñòâî-
âàíèè òðåáóåìîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (23), (24).
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (23), (24) ìîæíî îöåíèòü, êàê âëèÿåò æåëàíèå îäíèõ
ñóáúåêòîâ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû äîñòè÷ü îïðåäåëåííîãî óðîâíÿ ïîòðåáëåíèÿ
òîâàðîâ, êîòîðûé çàäàåòñÿ êîìïîíåíòàìè âåêòîðà y yi i
l� �{ }
1
, íà äîñòèæåíèå
ïðèåìëåìîãî óðîâíÿ ïîòðåáëåíèÿ äðóãèìè ñóáúåêòàìè. Èñõîäÿ èç òàêîãî àíàëè-
çà ìîæíî èññëåäîâàòü è äåéñòâèå ìîíîïîëüíûõ âëèÿíèé.
Ðàâíîâåñíûå êîìïîíåíòû âåêòîðà öåí { }pi i
t
�1
, êàê è ðàíåå, ìîæíî îïðåäå-
ëÿòü ïî ôîðìóëå (15), ãäå òåïåðü
� ( ) ( )
,
x a
x
b
x
b
y
x
c xkj
j
kj
j
kj
j
j j
kj
k j
t
� � � �
�
1 1
0 0
1
0 0
1
�
.
Ñîîòâåòñòâåííî íà ïàðàìåòð �, êîòîðûé èñïîëüçóåòñÿ â óñëîâèÿõ òåîðåìû,
ñëåäóåò íàëîæèòü äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå, àíàëîãè÷íîå íåðàâåíñòâó (14):
a x c b b xkj j
j
kj kj kj j
0
0
0 1 0� � � �
�
�
, k j t, ,�1 .
 ýòîì ñëó÷àå ìîæåò ïðîÿâëÿòüñÿ íåãàòèâíîå âëèÿíèå ìîíîïîëèçìà, ïðèâîäÿ-
ùåå ê ñíèæåíèþ çíà÷åíèÿ �. ×òîáû â íåêîòîðîé ìåðå êîìïåíñèðîâàòü ýòî
âëèÿíèå, ïðèíÿò è äëÿ ìîíîïîëèñòîâ ìàêñèìàëüíûé óðîâåíü óäîâëåòâîðåíèÿ
ïîòðåáíîñòåé, îãðàíè÷èâàåìûé çíà÷åíèåì �.
Ïîëó÷åííûå ðàâíîâåñíûå îáúåìû âûïóñêà òîâàðîâ, öåíû è ñòåïåíè óäîâ-
ëåòâîðåíèÿ íóæä ïîòðåáèòåëåé áóäóò çàâèñåòü îò âûáðàííûõ çíà÷åíèé âåëè÷èí
{ }� i i t
l
� �1
. Ýòè âåëè÷èíû êàê ïàðàìåòðû îïèñûâàþò âñå äîïóñòèìûå (íà
îñíîâàíèè ïðèíÿòîãî èíòåðâàëà ýôôåêòèâíîñòè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñóáúåêòîâ
ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû) ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Îêîí÷àòåëüíî îïðåäåëèì âñå íå-
èçâåñòíûå õàðàêòåðèñòèêè òîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ, êîòîðîå ðåàëèçóåòñÿ,
çàäàâ óðîâíè íàëîãîîáëîæåíèÿ ìîíîïîëèñòîâ ñîãëàñíî âûðàæåíèþ (16).
ÏÐÈÌÅÐ ÏÐÈÌÅÍÅÍÈß ÌÎÄÅËÈ
Äëÿ èëëþñòðàöèè ïðèìåíåíèÿ ìîäåëè ê èññëåäîâàíèþ ïîâåäåíèÿ ðåàëüíûõ
ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåì îöåíèì, êàêèì îáðàçîì âëèÿåò èçìåíåíèå ñòðóêòóðû
ïîòðåáëåíèÿ òîâàðîâ íà çíà÷åíèÿ ðàâíîâåñíûõ õàðàêòåðèñòèê. Ðàñ÷åòû áóäåì
ïðîâîäèòü ïî ñòàòèñòè÷åñêèì äàííûì, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò îäíîìó èç ïå-
ðèîäîâ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ýêîíîìèêè Óêðàèíû. Èñïîëüçóåì âûðàæåíèÿ äëÿ
ãðàíè÷íûõ îöåíîê ðàâíîâåñíûõ âåëè÷èí è ñðàâíèì èõ ñî çíà÷åíèÿìè, ïîëó-
÷åííûìè ðàíåå ïî ñòàòèñòè÷åñêèì äàííûì îá ýêîíîìèêå Óêðàèíû â ïðèáëè-
æåíèè ìîäåëè ýêîíîìèêè ñ ïîñòîÿííûìè èíòåðåñàìè ïîòðåáèòåëåé [6]. Â ýòîì
ïðèáëèæåíèè ýëåìåíòû ìàòðèöû ñïðîñà C ckj k j
n l� � �| | | |
,
,
1 1
çàäàíû è íå èìåþò
êàêîé-ëèáî ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè. Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ âûáðàííîãî
24 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ ýêîíîìè÷åñêàÿ ñèñòåìà, âåêòîð îáúå-
ìîâ âûïóñêà òîâàðîâ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå x * è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
c c xkj kj� ( )* , òî èìåííî ãðàíè÷íûå îöåíêè äàäóò èíôîðìàöèþ î òîì, êàê ïî-
âëèÿþò êîëåáàíèÿ âûáîðà ïîòðåáèòåëüñêèõ ïðåäïî÷òåíèé ckj â äèàïàçîíå îò
c
kj
1 äî c
kj
0 íà èçìåíåíèå ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ.  òî æå âðåìÿ ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ
áåç ó÷åòà âîçìîæíûõ èçìåíåíèé â ïîòðåáèòåëüñêèõ ïðåäïî÷òåíèÿõ áóäóò îòðàæàòü
èñïîëüçîâàíèå ìîäåëè ýêîíîìèêè ñ ïîñòîÿííûìè èíòåðåñàìè ïîòðåáèòåëåé.
Èíôîðìàöèÿ îá ýêîíîìèêå Óêðàèíû äîñòóïíà â âèäå äàííûõ ñèñòåìû íàöè-
îíàëüíûõ ñ÷åòîâ, èçâåñòíûõ òàêæå êàê òàáëèöà çàòðàòû–âûïóñê. Ñ÷èòàåì, ÷òî
ýêîíîìè÷åñêàÿ ñèñòåìà îáðàçîâàíà l n� �1 îòðàñëÿìè, n èç êîòîðûõ ïðîèçâîäÿò
òîâàðû èëè óñëóãè. Ñòàòèñòè÷åñêèìè äàííûìè çàäàþòñÿ ìàòðèöà ôèíàíñîâûõ
ïîòîêîâ | | | |
,
X ik i k
n
�1
, âåêòîðû âàëîâûõ âûïóñêîâ { }X i i
n
�1
, ýêñïîðòà { }� i i
n
�1
, èì-
ïîðòà { }I i i
n
�1
, êîíå÷íîãî ïîòðåáëåíèÿ { }Ci i
n
�1
, âàëîâîãî íàêîïëåíèÿ { }N i i
n
�1
, âà-
ëîâîãî âíóòðåííåãî ïðîäóêòà îòðàñëåé { }) i i
n
�1
, à òàêæå âàëîâîé ïðèáûëè, ñìå-
øàííîãî äîõîäà îòðàñëåé { }Ki i
n
�1
è îïëàòû òðóäà { }Zi i
n
�1
. Ýòè äàííûå
ñîñòàâëÿþò ìåæîòðàñëåâîé áàëàíñ
X C N I Xik i i i
k
n
i i� � � � �
�
� �
1
, i n�1, ,
X Xik k
i
n
k� �
�
� )
1
, k n�1, .
Äàííûå ïðèâîäÿòñÿ â ôèíàíñîâîì âèäå, ò.å. ñîîòâåòñòâóþò íåêîòîðîìó ðàâ-
íîâåñíîìó âåêòîðó öåí p pk k
n� �{ }
1
, êîòîðûé îïèñûâàåò èñõîäíîå ñîñòîÿíèå ýêî-
íîìè÷åñêîé ñèñòåìû. Ýòîìó âåêòîðó öåí ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííûé âåêòîð
ñòåïåíåé óäîâëåòâîðåíèÿ íóæä ïîòðåáèòåëåé ( , ..., )Y Yn1 1� . Âåêòîð öåí óìåñòíî
çàìåíèòü îòíîñèòåëüíûì âåêòîðîì ñ êîìïîíåíòàìè ~p
p
p
s
s
s
� , s n�1, . Ââåäåì òàê-
æå îòíîñèòåëüíûé âåêòîð ( ) 1 1& & �� n , i
i
i
y
Y
i n� � �, ,1 1. Ïîñêîëüêó ïðåäïîëà-
ãàåòñÿ ñðàâíåíèå ðåçóëüòàòîâ ðàñ÷åòîâ, ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå äðóãèì ìîäåëü-
íûì õàðàêòåðèñòèêàì ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå òàêèì æå ñïîñîáîì, êàê è â ñëó÷àå
ïðèáëèæåíèÿ ìîäåëè ýêîíîìèêè ñ ïîñòîÿííûìè èíòåðåñàìè ïîòðåáèòåëåé [6]:
a
b
x
p
p
à
p
p
X
X
kj
kj
j
j
k
kj
j
k
kj
j
� � � , X x pj j j� , � j j je p� , I e pj j j� , k j n, ,�1 ,
p c
C N
Y I
j jk
k k j j
k s
s
n
s s
�
�
� �
�
�
�
�
)
)
( )
( )
1
, j k n, ,�1 ,
p c
I
Y I
Cj jn
k k k k
k
n
n s s s
s
n�
�
�
�
�
� � �
� �
�
�
1
1
1
1
1[( ) ]
[ ]
(
� �
�
)
)
j jN� ) , j n�1, .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 25
Ïîëàãàåì, ÷òî îãðàíè÷åíèÿ èçìåíåíèé ïîòðåáèòåëüñêèõ ïðåäïî÷òåíèé îïðå-
äåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè
c c
p Ykj kj
k j
0 1
� � �, c c
p Ykj kj
k j
1 1
� � �, j n� �1 1, , k n�1, . (27)
Ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ óðîâíåé íàëîãîîáëîæåíèÿ ïî ôîðìóëå � k
k k
k
K Z
�
�
)
è âñåõ ñâÿçåé ìåæäó ñòàòèñòè÷åñêèìè äàííûìè è ìîäåëüíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè
äëÿ ñëó÷àÿ ôèêñèðîâàííûõ êîìïîíåíò âåêòîðà y èç óðàâíåíèé (7), (9) äëÿ ðàñ÷å-
òà çíà÷åíèé ðàâíîâåñíûõ õàðàêòåðèñòèê ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ [6]
( )
( )
~E A
Z K
X
pT
jk k
k k
k k
X
k
n
j�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
� 1
1 0
1
� �
�
� , j n�1, , (28)
( ) [( ) ]E A C N I X
ki i i i i
i
n
k
� � � � ��
�
� 1
1
1� � , k n�1, , (29)
� �
k
X
i
j
n
ki
i
n
E A� �
�
�
�
�
� �
1
1
1
1
( ) , k n�1, .
Çäåñü, êàê è â [6], ñòðàòåãèÿ íàëîãîîáëîæåíèÿ ðàâíîìåðíàÿ (óðîâíè íàëîãîîá-
ëîæåíèÿ � 0 ñîîòâåòñòâóþò ñòàâêå 1 0�� ), ïàðàìåòð
ïðèíèìàåò îäíî èç çíà-
÷åíèé { , , }�1 0 1 , à âåëè÷èíû � �, îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè
�
�
�
� ��
�
�
�
�
n
i i i
i
n
k k
k
n1
1
1
)
)
, �
�
�
�
� �
�
�
�
�
( )~
( )
C N p
I
s s s
s
n
k k k
k
n
1
1
)
.
Åñëè
� �1, ïîëó÷èì âåðõíåå ãðàíè÷íîå çíà÷åíèå äëÿ ðàâíîâåñíûõ öåí
~ ~p pM
i
M
i
n� �{ }
1
, à íèæíåå ãðàíè÷íîå çíà÷åíèå ~ ~p pm
i
m
i
n� �{ }
1
èìååò ìåñòî ïðè
�1. Ãðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ äëÿ âàëîâûõ âûïóñêîâ îïðåäåëÿåò äîáàâêà { }� i
X
i
n
�1
:
X XM
i i
X
i
n� � �{ }1
1
� è X Xm
i i
X
i
n� � �{ }1
1
� . Åñëè
� 0, òî óðàâíåíèå îòíîñèòåëü-
íî öåí äîëæíî èìåòü òàêîé æå âèä, êàê è â ïðèáëèæåíèè ìîäåëè ýêîíîìèêè ñ ïî-
ñòîÿííûìè èíòåðåñàìè ïîòðåáèòåëåé [6] (íî ïîñêîëüêó çäåñü ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó-
÷àé ñ ôèêñèðîâàííûì âåêòîðîì ñòåïåíåé óäîâëåòâîðåíèÿ íóæä ïîòðåáèòåëåé, à íå
ôèêñèðîâàííûõ âûïóñêîâ, âìåñòî âåêòîðà âûïóñêîâ { }X i i
n
�1
çàïèñàí { }X i i
n1
1�
).
×èñëîâûå ðàñ÷åòû áóäåì ïðîâîäèòü ñîãëàñíî ñòàòèñòè÷åñêèì äàííûì, êîòî-
ðûå èñïîëüçîâàëèñü â [6], ÷òîáû â ïðèáëèæåíèè ìîäåëè ýêîíîìèêè ñ ïîñòîÿííû-
ìè èíòåðåñàìè ïîòðåáèòåëåé (ò.å. êîãäà � � 0) ðàñ÷åòû ìàêñèìàëüíî ñîâïàäàëè
ñ ðåçóëüòàòàìè, ïîëó÷åííûìè â [6]. Ýòîãî ìîæíî äîñòè÷ü â îòíîøåíèè âåêòîðà
( ) 1 1& & �� n (êîòîðûé äîëæåí ñ÷èòàòüñÿ çàäàííûì â ñîîòâåòñòâèè ñ âûáðàííîé
ôîðìóëèðîâêîé çàäà÷è) è âåêòîðà { }X i i
n1
1�
. Íî âåêòîð öåí áóäåò äðóãèì ââèäó
íàëè÷èÿ â âûðàæåíèè (28) âåêòîðà { }X i i
n1
1�
, à íå { }X i i
n
�1
.
×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ïîêàçàëî, ÷òî ïðè âûáîðå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà
� i
i
n
�
�
� �
1
1
75 äëÿ çíà÷èòåëüíîé ÷àñòè îòðàñëåé îòíîñèòåëüíûå çíà÷åíèÿ ïðîãíîçè-
26 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
ðîâàííûõ âàëîâûõ âûïóñêîâ áóäóò íàõîäèòüñÿ â èíòåðâàëå îò
X
X
i i
X
i
1
1
098
�
�
�
. äî
X
X
i i
X
i
1
1
102
�
�
�
. , íî äëÿ ðûáíîãî õîçÿéñòâà ýòîò èíòåðâàë áóäåò øèðå — îò 089.
äî 1.11, äëÿ ãàçîâîãî îáåñïå÷åíèÿ — îò 0 96. äî 104. , òàêèì æå áóäåò èíòåðâàë è
äëÿ âîäîîáåñïå÷åíèÿ. Èíòåðâàë çíà÷åíèé óðîâíÿ ðàâíîìåðíîãî íàëîãîîáëîæå-
íèÿ � 0 áóäåò îò 0 86. äî 0 89. (âìåñòî � 0 0 87� , ). ×òî êàñàåòñÿ îòíîñèòåëüíîãî âåê-
òîðà öåí, òî åãî êîìïîíåíòû ïðè íîðìèðîâàíèè âåêòîðà ïî ñåëüñêîõîçÿéñòâåííîé
îòðàñëè â îñíîâíîì áóäóò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ îò min ~ .
i
ip � 0 96 äî max ~ .
i
ip �1 06.
Îäíàêî äëÿ íåêîòîðûõ îòðàñëåé, òàêèõ êàê äîáû÷à óãëåâîäîðîäîâ, áóäåì èìåòü
çíà÷åíèå 0 78, , äëÿ ïèùåâîé ïðîìûøëåííîñòè 086. , à äëÿ õèìè÷åñêîé ïðîìûøëåí-
íîñòè 0 91. . Èíòåðâàëû, ñâÿçàííûå ñ èçìåíåíèåì ïîòðåáèòåëüñêèõ èíòåðåñîâ äëÿ
áîëüøèíñòâà îòðàñëåé îïðåäåëÿþòñÿ ïî õàðàêòåðèñòèêàì
~ ~
~ .
p p
p
i i
m
i
�
� 0 03 è
~ ~
~ .
p p
p
i
M
i
i
�
� 003. Äëÿ ðûáíîãî õîçÿéñòâà ýòîò èíòåðâàë áóäåò øèðå — îò 014. äî
017. . Ñ óâåëè÷åíèåì ïàðàìåòðà � i
i
n
�
�
�
1
1
èíòåðâàëû çíà÷åíèé îòíîñèòåëüíûõ öåí
ðàñøèðÿòñÿ è äëÿ äðóãèõ îòðàñëåé. Ïðè çíà÷åíèè � i
i
n
�
�
� �
1
1
150 ïîëó÷èì ñëåäóþ-
ùèå èíòåðâàëû: äëÿ ëåñíîãî õîçÿéñòâà — îò 017. äî 022. , ãàçîâîãî îáåñïå÷åíèÿ —
îò 012. äî 015. , òåïëîîáåñïå÷åíèÿ — îò 007. äî 008. .
Íà îñíîâàíèè ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòîâ ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî äëÿ ïðîãíîçè-
ðîâàíèÿ ñöåíàðèåâ ðàçâèòèÿ áîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíà ìîäåëü, äîïóñêàþùàÿ èçìå-
íåíèå êîýôôèöèåíòîâ ïîòðåáëåíèÿ ckj , ïîñêîëüêó îíà ìîæåò ïîêàçàòü èçìåíåíèå
îñíîâíûõ õàðàêòåðèñòèê ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû ïîä âëèÿíèåì êîëåáàíèé
âûáîðà ïîòðåáèòåëåé.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ðåçóëüòàòå èññëåäîâàíèÿ ïîëó÷åíû õàðàêòåðèñòèêè ðàâíîâåñíûõ ñîñòîÿíèé
ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû, êîãäà ïîòðåáèòåëüñêèå ïðåäïî÷òåíèÿ ôîðìèðóþòñÿ
â çàâèñèìîñòè îò îáúåìîâ îæèäàåìîé íà ðûíêå ïðîäóêöèè. Ýòà ôóíêöèîíàëü-
íàÿ çàâèñèìîñòü ìîäåëèðóåòñÿ ìàòðèöåé ñïðîñà C x c xkj k j
n l( ) | | ( )| |
,
,� � �1 1
, íà ýëå-
ìåíòû êîòîðîé íàêëàäûâàþòñÿ äîñòàòî÷íî ðåàëèñòè÷íûå òðåáîâàíèÿ. Ýòè òðå-
áîâàíèÿ îòðàæàþò ïðåäïîëîæåíèÿ îá îãðàíè÷åííîì êîëè÷åñòâå êàæäîãî òîâàðà
íà ðûíêå (è ïðîèçâîäñòâî íîâîé ïðîäóêöèè, è åå çàïàñû âñåãäà îãðàíè÷åíû),
îáÿçàòåëüíîì ïîòðåáëåíèè îïðåäåëåííûõ òîâàðîâ (ôèíàíñîâûå ðåñóðñû äîëæíû
âûïîëíÿòü ñâîþ ôóíêöèþ), ïîòðåáëåíèè ñîáñòâåííûõ òîâàðîâ (ýòî êàñàåòñÿ
÷àñòè ïðîèçâîäèòåëåé, êîòîðûå îáû÷íî ïðèñóòñòâóþò íà ðûíêå).
Âûÿâëåíû ôàêòîðû, ïðèâîäÿùèå ê äåñòàáèëèçàöèè ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû. Ïî-
ìèìî ïðèñóòñòâèÿ ìîíîïîëèñòîâ òàêèì ôàêòîðîì ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå áîëüøîãî êîëè÷åñ-
òâà çàïàñà òîâàðîâ â ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå. Ðàññìîòðåíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ñîñòî-
ÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû áóäóò ïðèåìëåìû äëÿ âñåõ åå ñóáúåêòîâ.
Ïðåäëîæåí àëãîðèòì îïðåäåëåíèÿ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ êàê äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ñòðàòå-
ãèè ïîâåäåíèÿ âñåõ ïðîèçâîäèòåëåé îñíîâûâàþòñÿ íà çàäàííûõ óðîâíÿõ ïîòðåáëåíèÿ,
òàê è ïðè ðàçíûõ ñòðàòåãèÿõ ïîâåäåíèÿ ïðîèçâîäèòåëåé. Ðàçëè÷èå ñîñòîèò â òîì, ÷òî
ìîíîïîëèñòû îðèåíòèðóþòñÿ íà ïîääåðæàíèå ôèêñèðîâàííûõ öåí ñâîèõ òîâàðîâ,
à îñòàëüíûå ïðîèçâîäèòåëè ïûòàþòñÿ ñîõðàíÿòü îáúåìû âûïóñêà ñâîåé ïðîäóêöèè.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 27
Àëãîðèòì îïðåäåëåíèÿ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü íåêîòî-
ðûé íàáîð ñîñòîÿíèé. Íàëîãîîáëîæåíèå ìîíîïîëèñòîâ — îäíà èç õàðàêòåðèñòèê
ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Èñïîëüçóÿ åãî êàê ýëåìåíò óïðàâëåíèÿ ýêîíîìè÷åñêîé
ñèñòåìîé, ìîæíî äîñòè÷ü ðåàëèçàöèè ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñ áîëåå ïðèåìëåìû-
ìè õàðàêòåðèñòèêàìè äëÿ âñåõ ñóáúåêòîâ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. G o n c h a r N . S . Mathematical foundations of information economics. — Kiev: ITP, 2008. — 468 p.
2. D e b r e u G . Existence of competitive equilibrium // Handbook of Mathematical Economics /
Åd. by K.J. Arrow and M.D. Intriligator. — Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1982. — 2.
— P. 698–742.
3. Ì à õ î ð ò À . Ô . Î âëèÿíèè çàâèñèìîñòè ñòðóêòóðû ïîòðåáëåíèÿ òîâàðîâ îò öåíû íà ðàâíîâåñèå
â ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2015. — ¹ 2. — Ñ. 52–61.
4. Ê à í ò î ð î â è ÷ Ë . Â . , À ê è ë î â Ã . Ï . Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. — Ì.: Íàóêà, 1977. — 442 ñ.
5. Ã à í ò ì à õ å ð Ô . Ð . Òåîðèÿ ìàòðèö. — Ì.: Íàóêà, 1966. — 576 ñ.
6. Ì à õ î ð ò À . Ô . Âëèÿíèå ðàâíîìåðíîãî íàëîãîîáëîæåíèÿ è ìîíîïîëüíûõ ÿâëåíèé íà äîñòèæåíèå
ðàâíîâåñèÿ â ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2008. — ¹ 4. —
Ñ. 152–164.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 14.04.2015
À.Ï. Ìàõîðò
ÏÐÎ ÂÏËÈ ÑÏÎÆÈÂ×ÈÕ ÏÅÐÅÂÀà ÍÀ вÂÍÎÂÀÃÓ
Ó Â²ÄÊÐÈÒ²É ÅÊÎÍÎ̲×Í²É ÑÈÑÒÅ̲
Àííîòàö³ÿ. Äîñë³äæåííÿ ïîëÿãຠâ îïèñ³ ìîæëèâèõ ñòàí³â ð³âíîâàãè â³äêðè-
òî¿ åêîíîì³÷íî¿ ñèñòåìè çà íàÿâíîñò³ ìîíîïîë³ñò³â. Ðîçãëÿäàºòüñÿ ð³âíîâàãà
âàëüðàñîâîãî òèïó. Êîæåí ç ñóá’ºêò³â åêîíîì³÷íî¿ ñèñòåìè º íåíàñè÷óâàíèì
ñïîæèâà÷åì. Ñòðóêòóðà ñïîæèâàííÿ òîâàð³â â åêîíîì³÷í³é ñèñòåì³ çàëåæèòü
â³ä îáñÿã³â âèïóñêó òîâàð³â. Çàïðîïîíîâàíî àëãîðèòì ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³ ïðî
åêîíîì³÷íó ð³âíîâàãó. Íàâåäåí³ îáìåæåííÿ íà ìîäåëüí³ õàðàêòåðèñòèêè çà-
áåçïå÷óþòü ³ñíóâàííÿ ð³âíîâàãè åêîíîì³÷íî¿ ñèñòåìè. Âèÿâëåíî ìîæëèâ³ñòü
ïåðåáóâàííÿ åêîíîì³÷íî¿ ñèñòåìè ó ñòàí³ ð³âíîâàãè ç çàäàíèìè ³íòåðâàëàìè
çíà÷åíü âèáðàíèõ õàðàêòåðèñòèê. Âñòàíîâëåííÿ áàæàíîãî ñòàíó ð³âíîâàãè
çä³éñíþº âèá³ð ð³âí³â îïîäàòêóâàííÿ ìîíîïîë³ñò³â.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: åêîíîì³÷íà ð³âíîâàãà, ïîïèò, ïðîïîçèö³ÿ, ìîíîïîë³ñòè,
îïîäàòêóâàííÿ, ñòðàòå㳿 ïîâåä³íêè.
A.Ph. Makhort
INFLUENCE OF CONSUMPTION PREFERENCES ON EQUILIBRIUM
IN AN OPEN ECONOMY
Abstract. The author describes possible equilibrium states of an open economic
system under presence of monopolies. The equilibrium is of Walrasian type.
Each subject of the economic system is a non-insatiable consumer. The
consumption structure in the economy depends on outputs of goods. The author
proposes an algorithm to solve the equilibrium problem. The constraints imposed
on the model characteristics provide the existence of economic equilibrium. The
author reveals the possibility for the economy to be in equilibrium state with
given intervals of the values of selected characteristics. The choice of taxation
rates of monopolies allows attaining the desired equilibrium state.
Keywords: economical equilibrium, demand, supply, monopolies, taxation,
behaviour strategies.
Ìàõîðò Àíäðåé Ôèëèïïîâè÷,
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè
èì. Í.Í. Áîãîëþáîâà ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: map@bitp.kiev.ua.
28 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
|