Бифуркация рождения цикла в береговых экогеосистемах
На основе качественной теории дифференциальных уравнений (теории катастроф) исследуется оптимальное сохранение экологического со-стояния объекта. В качестве объекта рассматривается берег моря, подверженный непрерывному разрушительному воздействию волн, который под-питывают для поддержания его исход...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2016
|
| Series: | Кибернетика и системный анализ |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141998 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Бифуркация рождения цикла в береговых экогеосистемах / И.Т. Селезов, Ю.Г. Кривонос, В.М. Московкин // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 4. — С. 55-64. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-141998 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1419982025-02-23T18:24:05Z Бифуркация рождения цикла в береговых экогеосистемах Біфуркація народження циклу в берегових екогеосистемах Cycle birth bifurcation in shore ecogeosystems Селезов, И.Т. Кривонос, Ю.Г. Московкин, В.М. Системный анализ На основе качественной теории дифференциальных уравнений (теории катастроф) исследуется оптимальное сохранение экологического со-стояния объекта. В качестве объекта рассматривается берег моря, подверженный непрерывному разрушительному воздействию волн, который под-питывают для поддержания его исходного состояния. Моделируется поддержание равновесного состояния экологической системы в некотором оптимальном режиме. В отличие от известных подходов такая модель учитывает существенно нелинейные эффекты и управление посредством под-питки пляжа, которую можно интерпретировать как обратную связь. Анализ проведен методами теории устойчивости. Получены характеристики предельного цикла и проанализирована его устойчивость. На основі якісної теорії диференціальних рівнянь (теорії катастроф) досліджується оптимальне збереження екологічного стану об’єкта. Як об’єкт розглядається берег моря, що постійно зазнає руйнівного впливу хвиль. Його підживлюють для підтримання початкового стану. Моделюється підтримання рівноважного стану екологічної системи у деякому оптимальному режимі. На відміну від відомих підходів така модель враховує суттєво нелінійні ефекти та керування шляхом підживлення пляжу, що можна інтерпретувати як зворотний зв’язок. Аналіз виконано методом теорії стійкості. Отримано характеристики граничного циклу та проаналізовано його стійкість. The qualitative analysis of abrasion of a coast as an ecological system on the basis of the simplified model described by system of ordinary nonlinear differential equations is presented. The applied semi-empirical model is based on reviewing of average magnitudes and can be considered as some approximation of the initial model of hydrodynamics. Unlike the well-known approaches, this model considers essentially nonlinear effects and control (beach feedback). The analysis is carried out by methods of stability theory. Performances of the limiting cycle are obtained and its stability is analyzed. 2016 Article Бифуркация рождения цикла в береговых экогеосистемах / И.Т. Селезов, Ю.Г. Кривонос, В.М. Московкин // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 4. — С. 55-64. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141998 532.59 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системный анализ Системный анализ |
| spellingShingle |
Системный анализ Системный анализ Селезов, И.Т. Кривонос, Ю.Г. Московкин, В.М. Бифуркация рождения цикла в береговых экогеосистемах Кибернетика и системный анализ |
| description |
На основе качественной теории дифференциальных уравнений (теории катастроф) исследуется оптимальное сохранение экологического со-стояния объекта. В качестве объекта рассматривается берег моря, подверженный непрерывному разрушительному воздействию волн, который под-питывают для поддержания его исходного состояния. Моделируется поддержание равновесного состояния экологической системы в некотором оптимальном режиме. В отличие от известных подходов такая модель учитывает существенно нелинейные эффекты и управление посредством под-питки пляжа, которую можно интерпретировать как обратную связь. Анализ проведен методами теории устойчивости. Получены характеристики предельного цикла и проанализирована его устойчивость. |
| format |
Article |
| author |
Селезов, И.Т. Кривонос, Ю.Г. Московкин, В.М. |
| author_facet |
Селезов, И.Т. Кривонос, Ю.Г. Московкин, В.М. |
| author_sort |
Селезов, И.Т. |
| title |
Бифуркация рождения цикла в береговых экогеосистемах |
| title_short |
Бифуркация рождения цикла в береговых экогеосистемах |
| title_full |
Бифуркация рождения цикла в береговых экогеосистемах |
| title_fullStr |
Бифуркация рождения цикла в береговых экогеосистемах |
| title_full_unstemmed |
Бифуркация рождения цикла в береговых экогеосистемах |
| title_sort |
бифуркация рождения цикла в береговых экогеосистемах |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2016 |
| topic_facet |
Системный анализ |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141998 |
| citation_txt |
Бифуркация рождения цикла в береговых экогеосистемах / И.Т. Селезов, Ю.Г. Кривонос, В.М. Московкин // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 4. — С. 55-64. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT selezovit bifurkaciâroždeniâciklavberegovyhékogeosistemah AT krivonosûg bifurkaciâroždeniâciklavberegovyhékogeosistemah AT moskovkinvm bifurkaciâroždeniâciklavberegovyhékogeosistemah AT selezovit bífurkacíânarodžennâcikluvberegovihekogeosistemah AT krivonosûg bífurkacíânarodžennâcikluvberegovihekogeosistemah AT moskovkinvm bífurkacíânarodžennâcikluvberegovihekogeosistemah AT selezovit cyclebirthbifurcationinshoreecogeosystems AT krivonosûg cyclebirthbifurcationinshoreecogeosystems AT moskovkinvm cyclebirthbifurcationinshoreecogeosystems |
| first_indexed |
2025-11-24T09:15:49Z |
| last_indexed |
2025-11-24T09:15:49Z |
| _version_ |
1849662635803410432 |
| fulltext |
È.Ò. ÑÅËÅÇÎÂ, Þ.Ã. ÊÐÈÂÎÍÎÑ, Â.Ì. ÌÎÑÊÎÂÊÈÍ
ÓÄÊ 532.59 ÁÈÔÓÐÊÀÖÈß ÐÎÆÄÅÍÈß ÖÈÊËÀ
 ÁÅÐÅÃÎÂÛÕ ÝÊÎÃÅÎÑÈÑÒÅÌÀÕ
Àííîòàöèÿ. Íà îñíîâå êà÷åñòâåííîé òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
(òåîðèè êàòàñòðîô) èññëåäóåòñÿ îïòèìàëüíîå ñîõðàíåíèå ýêîëîãè÷åñêîãî ñî-
ñòîÿíèÿ îáúåêòà.  êà÷åñòâå îáúåêòà ðàññìàòðèâàåòñÿ áåðåã ìîðÿ, ïîäâåð-
æåííûé íåïðåðûâíîìó ðàçðóøèòåëüíîìó âîçäåéñòâèþ âîëí, êîòîðûé ïîä-
ïèòûâàþò äëÿ ïîääåðæàíèÿ åãî èñõîäíîãî ñîñòîÿíèÿ. Ìîäåëèðóåòñÿ ïîääåð-
æàíèå ðàâíîâåñíîãî ñîñòîÿíèÿ ýêîëîãè÷åñêîé ñèñòåìû â íåêîòîðîì
îïòèìàëüíîì ðåæèìå.  îòëè÷èå îò èçâåñòíûõ ïîäõîäîâ òàêàÿ ìîäåëü ó÷è-
òûâàåò ñóùåñòâåííî íåëèíåéíûå ýôôåêòû è óïðàâëåíèå ïîñðåäñòâîì ïîä-
ïèòêè ïëÿæà, êîòîðóþ ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê îáðàòíóþ ñâÿçü. Àíàëèç
ïðîâåäåí ìåòîäàìè òåîðèè óñòîé÷èâîñòè. Ïîëó÷åíû õàðàêòåðèñòèêè ïðå-
äåëüíîãî öèêëà è ïðîàíàëèçèðîâàíà åãî óñòîé÷èâîñòü.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: áèôóðêàöèÿ ðîæäåíèÿ öèêëà, ýêîãåîñèñòåìà, óñòîé÷è-
âîñòü, òåîðèÿ êàòàñòðîô.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ïîèñê îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé ñîõðàíåíèÿ ýêîëîãè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ ñòðóêòóð —
ñëîæíàÿ ìíîãîïàðàìåòðè÷åñêàÿ çàäà÷à.  ðåàëüíûõ óñëîâèÿõ ýêîëîãè÷åñêîå
ðàâíîâåñèå íåñòàáèëüíî, áîëåå òîãî, îíî óõóäøàåòñÿ.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî êàæäûé ïëÿæ, åñòåñòâåííûé èëè èñêóññòâåííûé, ïîä-
äåðæèâàåò ðàâíîâåñèå, åñëè åãî ðàññìàòðèâàòü çà ïåðèîä â íåñêîëüêî ëåò. Â ãåî-
ëîãè÷åñêîì âðåìåíè ïðèáðåæíàÿ çîíà íå ìîæåò îñòàâàòüñÿ â íåèçìåííîì âèäå.
Íåêîòîðûå èç íèõ íèêîãäà íå íàõîäÿòñÿ â ðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè. Ðàâíîâåñíû-
ìè ñ÷èòàþòñÿ áåðåãà, êîòîðûå íå èçìåíÿþòñÿ çàìåòíî â òå÷åíèå îäíîãî èëè äâóõ
äåñÿòèëåòèé.
Ñîîðóæàåìûå âîëíîðåçû ïðåäíàçíà÷åíû íå òîëüêî äëÿ ñìÿã÷åíèÿ óäàðîâ
øòîðìîâûõ âîëí î áåðåã, íî è äëÿ «óäåðæàíèÿ» ïëÿæíîé ãàëüêè íà îïðåäåëåí-
íîì ó÷àñòêå. Ïëÿæè òðåáóþò ïðàâèëüíîé ýêñïëóàòàöèè è åæåãîäíîãî ïîïîëíå-
íèÿ, òàê êàê 5–12 % ãàëüêè â ãîä èñòèðàåòñÿ è îòìûâàåòñÿ âîëíîé, íåñìîòðÿ íà
òî, ÷òî íà áåðåãîâóþ ïîëîñó íàñûïàþò ïðî÷íûå ïîðîäû êàìíÿ âóëêàíè÷åñêîãî
ïðîèñõîæäåíèÿ. Åñëè åãî ðåãóëÿðíî íå ïîäñûïàòü, òî âîäà ïðèáëèçèòñÿ ê áåðåãî-
âûì ïîäïîðíûì ñòåíàì è âîëíû, ðàçáèâàÿñü î íèõ, çíà÷èòåëüíî óãëóáÿò äíî.
Âîññòàíîâèòü òàêîé ïëÿæ áóäåò íåâîçìîæíî.
Ïðîáëåìà ïåðåôîðìèðîâàíèÿ ïðèáðåæíîé çîíû ìîðÿ ïðè àáðàçèè è ñèäåìåíòà-
öèè íàíîñîâ îñòàåòñÿ àêòóàëüíîé íà ïðîòÿæåíèè äëèòåëüíîãî âðåìåíè [1–10].
Îïðåäåëÿþùàÿ îñîáåííîñòü äëÿ ãåíåðàöèè ïðèáðåæíûõ òå÷åíèé è òðàíñïîðòà
íàíîñîâ, à çíà÷èò, ýðîçèè áåðåãà, — íà÷àëî ðàçðóøåíèÿ âîëí è ïîñëåäîâàòåëüíîå
çàòóõàíèå âîëíîâûõ âûñîò, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ ÷åðåç ïðèáîéíóþ çîíó. Íàïðè-
ìåð, â [11, 12] ïîêàçàíî, ÷òî âîëíîâîé áóðóí è ïîëå ñêîðîñòåé òóðáóëåíòíîñòè
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 55
© È.Ò. Ñåëåçîâ, Þ.Ã. Êðèâîíîñ, Â.Ì. Ìîñêîâêèí, 2016
èìåþò äîìèíèðóþùåå âëèÿíèå íà òàêèå ïðîöåññû â ïðèáðåæíîé çîíå, êàê çàòó-
õàíèå âîëí, ïîòîêè ìàññû è èìïóëüñà, òå÷åíèÿ è òðàíñïîðò íàíîñîâ. Íà ìåëêîé
âîäå áóðóíû âçàèìîäåéñòâóþò ñ äîííûìè ðàñòåíèÿìè è íàíîñàìè.
Ïðîãíîç ýâîëþöèè áåðåãîâ èññëåäîâàëñÿ òàêæå â ðàáîòå [13]. Ïðè ôðîíòàëüíîì
íàêàòå âîëí íà áåðåã (êëèô) ðàâíîâåñíûé ïðîôèëü ñóùåñòâåííî èçìåíÿåòñÿ [14].
 íàñòîÿùåé ñòàòüå íà îñíîâå êà÷åñòâåííîé òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé ïðåäñòàâëåí àíàëèç ïîääåðæàíèÿ ýêîëîãè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ áåðåãîâ
ïðè ïîñòîÿííîì âîçäåéñòâèè íà íèõ ìîðñêèõ âîëí, ïðèâîäÿùèõ ê ìåäëåííîìó
èëè áûñòðîìó èõ ðàçðóøåíèþ. Ïðèìåíÿåòñÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü â âèäå ñèëüíî
íåëèíåéíîé ñâÿçàííîé ñèñòåìû äâóõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ó÷èòûâàþ-
ùàÿ îáúåì îáëîìî÷íîãî ìàòåðèàëà, âûñîòó áåðåãîâîãî óñòóïà (êëèôà), ïîñòóïëå-
íèå è óíîñ ìàòåðèàëà, òðàíñïîðò íàíîñîâ. Èññëåäóþòñÿ îñîáûå òî÷êè, áèôóðêà-
öèîííîå ìíîæåñòâî, êðèòåðèè óñòîé÷èâîñòè ïî Ëÿïóíîâó, õàðàêòåðèñòèêè
ïðåäåëüíîãî öèêëà. (Ñîîòâåòñòâóþùèé äîêëàä áûë ïðåäñòàâëåí íà ëÿïóíîâñêèõ
÷òåíèÿõ â ã. Õàðüêîâå [15].)
Îòìåòèì, ÷òî ðàçâèâàåìûé â äàííîé ðàáîòå ïîäõîä ïðèìåíèì äëÿ àíàëèçà
ñöåíàðèåâ «íàçàä–âïåðåä». Åñëè èçâåñòíî ïðåäûäóùåå ýêîëîãè÷åñêîå ñîñòîÿíèå,
íàïðèìåð 50–100 ëåò íàçàä, è ñåãîäíÿøíåå, òî ìîæíî îöåíèòü åãî ýâîëþöèþ, èñ-
õîäÿ èç îöåíêè ïåðèîäà êîëåáàíèé äëÿ êîíêðåòíûõ ïàðàìåòðîâ.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ðàññìàòðèâàåòñÿ ëèíåéíîå óðàâíåíèå áàëàíñà îáëîìî÷íîãî ìàòåðèàëà â áåðå-
ãîâîé çîíå àáðàçèîííîãî áåðåãà [16], â êîòîðîì äîïîëíèòåëüíî ó÷òåíà áèîãåí-
íàÿ ïðîäóêöèÿ ýòîãî ìàòåðèàëà, à êîýôôèöèåíò åãî èñòèðàåìîñòè çà ñ÷åò âîë-
íîâîãî âîçäåéñòâèÿ íàõîäèòñÿ â ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè îò áèîìàññû äîííîãî
áèîöåíîçà:
dW
dt
aH W W C B B C W U Bm� � � � � �� �( ) [ ( – / )]max min0 1 , (1)
dB
dt
k B B B k W� �1 21( – / )max , (2)
ãäå k k1 2 0, � �const .
 ôîðìóëàõ (1), (2) ïðèíÿòû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: t — âðåìÿ, ãîä; W —
îáúåì îáëîìî÷íîãî ìàòåðèàëà íà åäèíèöó äëèíû áåðåãîâîé ëèíèè, ì 3/ì
( )0 � �W Wm ; Wm — ïðåäåëüíûé (ìèíèìàëüíûé) îáúåì îáëîìî÷íîãî ìàòåðèàëà
íà ïëÿæå, ïðè êîòîðîì àáðàçèÿ ïðåêðàùàåòñÿ; a — äîëÿ îáëîìî÷íîãî ïëÿæåîáðà-
çóþùåãî ìàòåðèàëà (íå âçâåñåîáðàçóþùèå ôðàêöèè) â ïîðîäàõ, ñëàãàþùèõ áåðåã
( )0 1� �a ; H — âûñîòà áåðåãîâîãî óñòóïà (êëèôà), ì; � ( )W Wm � — ñêîðîñòü îò-
ñòóïàíèÿ áåðåãîâîãî óñòóïà, ì/ãîä; � � �const 0 1. , ì ãîä� �1 1; B — áèîìàññà äîí-
íîãî áèîöåíîçà íà åäèíèöó øèðèíû àáðàçèîííîé îòìåëè, òîííà/ì
( )max0 � �B B ; U — èíòåíñèâíîñòü ïîñòóïëåíèÿ ( )U � 0 èëè óíîñà ( )U � 0 ìàòå-
ðèàëà çà ñ÷åò åñòåñòâåííûõ (òðàíñïîðò íàíîñîâ òå÷åíèÿìè) èëè èñêóññòâåííûõ
(ïîäñûïêà, èçúÿòèå) ôàêòîðîâ, ì 2/ãîä; � — êîýôôèöèåíò áèîãåííîãî ïðîäóöèðî-
âàíèÿ îáëîìî÷íîãî ìàòåðèàëà, ì 3 /(òîííà â ãîä) (êîëè÷åñòâî ìàòåðèàëà, ïîëó÷àå-
ìîãî èç îäíîé òîííû áèîìàññû çîîáåíòîñà â ãîä), C C0 0, min � �const , ãîä �1;
k C B B C� �0 1( – / )max min — êîýôôèöèåíò èñòèðàåìîñòè ìàòåðèàëà, ãîä �1 (ëè-
íåéíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ ìåæäó äâóìÿ åãî õàðàêòåðíûìè çíà÷åíèÿìè:
k B k C C( ) max min� � � �0 0 , k B B k C( )max min min� � � .
56 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
 îñíîâó óðàâíåíèÿ (2) ïîëîæåíû ýêîëîãè÷åñêèå è ëèòîäèíàìè÷åñêèå îñî-
áåííîñòè ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîöåññà: èçâåñòíûé â ýêîëîãèè ñàìîðåãóëèðóåìûé
ðîñò áèîìàññû, îïèñûâàåìûé óðàâíåíèåì Ôåðõþëüñòà (ïðè k2 0� ), è óìåíüøå-
íèå ïðèðîñòà áèîìàññû ïðè óâåëè÷åíèè îáúåìà îáëîìî÷íîãî ìàòåðèàëà â áåðå-
ãîâîé çîíå, ñïîñîáñòâóþùåãî äåãðàäàöèè áèîöåíîçà.
Ìîäåëü, îïèñûâàåìóþ óðàâíåíèÿìè (1), (2), ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê àñèì-
ïòîòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå, ñëåäóþùåå èç óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìèêè [17].
ÀÍÀËÈÇ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×È
Ïåðåõîäÿ ê áåçðàçìåðíûì ïåðåìåííûì � � � � � �t k t B B B W W Wm1 , / , /max , ïî-
ëó÷àåì íåëèíåéíóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó âòîðîãî ïîðÿäêà
dW
dt
W BW B
dB
dt
B B W
�
�
� � � � � � � �
�
�
� � � � � �
� � � �
�
1 2 5 3
41
,
( ) ,
, (3)
ãäå
� �1 1 01 0� � � �( / )( )mink aH C C , � 2 0 1 0� �C k/ ,
� �3 1 14 0� � �( / ) ( / )aH k k Wm , � 4 2 1 0� �k W k Bm / ( )max ,
� �5 1 0� �B W kmmax / ( ).
Êîîðäèíàòû îñîáûõ òî÷åê ñèñòåìû (3) îïðåäåëÿþòñÿ èç ñîîòíîøåíèé
� � � � �
� � � � � �
W B B
B W W
( ) / ,
( ) / ( ),
1 4
1 3 5 2
�
� � � �
(4)
ãäå
0 4 0 1 4 11 3 4 2 4� � � � � � � � B W( ) / , / ( )� � � � � ,
0 13 1 3 1 2 1 2� � � � � � � � � � � � � �/ / ( ) ,W .
Ïðèìåíÿÿ ïàðàìåòðû ñèñòåìû (3), íàõîäèì çíà÷åíèÿ � W èç ðåøåíèÿ êóáè-
÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
( ) ( )
[ ( )] [
� � �
� �
� �
�
W W W3 2 2 4 5 1 1 2
2
2
4
4 5 12� � � � � �
� �
� � � � 5 3 2 1
2
2
4
2� �
�
� � �
� �
( )]
�
�
�
� � �
� �
3
2
3 5
2
2
4
0. (5)
Ìàòðèöà ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû (3) èìååò âèä
~
A
B W
B
�
� � � � �
� � �
�
�
�
�
� � � �
�
1 2 2 5
4 1 2
. (6)
Èç óñëîâèÿ det
~
A � 0 îïðåäåëÿåòñÿ áèôóðêàöèîííîå ìíîæåñòâî äëÿ òî÷åê ñåä-
ëîâîãî òèïà (ãðàíèöà ñåäåë) [18, 19]. Äëÿ ïîèñêà áèôóðêàöèè ðîæäåíèÿ öèêëà
ïðèðàâíÿåì ñëåä ìàòðèöû (6) ê íóëþ:
tr
~
A B B� � � � � � � 1 2 01 2� � ,
îòêóäà
0 1 2 0 11 2 2 1� � � � � � � � B ( ) / ( ),� � � � , (7)
det
~ ( ) ( ) ( ) ( )
( )
A �
� � � � � �
�
� � � � � � � � �
�
2 1 1 2 2 2 0 5 2
2
2
2
4 1 2 2
2
, (8)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 57
� �
� � � � �
� � � �
0 4
1 2 1 2 1
2 3 2 5
1 1 2
2 2
� �
� � � �
� � �
bif
( )( )( )
( )[ ( ) ( )]�1 1�
. (9)
Ñîîòíîøåíèå (9) (ãðàíèöà óñòîé÷èâîñòè óçëîâ è ôîêóñîâ [19]) ïîëó÷åíî èç (4), (7).
Ñ ó÷åòîì íåðàâåíñòâ (7) è � 0 0� èìååì
� � � � �
� �
�
3 2 5 1 3
1 5
2
2 1 0
1
2
0( ) ( )
( )
( )
� � � � � �
�
�
� ,
îòêóäà ñëåäóåò íåðàâåíñòâî � � � �2 3 1 5 0� � , ïîëåçíîå ïðè äàëüíåéøåì àíàëèçå.
Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ áèôóðêàöèè ðîæäåíèÿ öèêëà íåîáõîäèìî, ÷òîáû
det
~
A � 0 è 0 12 1� � �� � , ÷òî ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó
� � � � �
� �
� �
( )
( )
/4 1 4
2 2
1 1
2
0 5
1 2
1 0 5
2 1
� � � �
� � �
� �
D
(10)
ïðè � � �2 0 52 0� � � è 0 12 1� � �� � ïðè � � �2 0 52 0� � � (çäåñü òàêæå
� �0 5 1� ), ãäå D � � � � � � � �( ) ( )( )4 1 4 16 21 1
2
0 5
2
1 0 5 1 0 5� � � � � � � � � � .
Ïðè óâåëè÷åíèè ïàðàìåòðà � 5 , íà÷èíàÿ îò íóëÿ (îòñóòñòâèå ïîñòóïëåíèÿ
ìàòåðèàëà áèîãåííîãî ïðîèñõîæäåíèÿ) êðèâîëèíåéíàÿ îáëàñòü (det
~
)A � 0 â òðå-
óãîëüíèêå 0 12 1� � �� � ïîñòåïåííî óâåëè÷èâàåòñÿ è ïðè � � �2 0 52� � ïîêðû-
âàåò åãî ïîëíîñòüþ. Ñàìà áèôóðêàöèÿ ïðîèñõîäèò íà ãðàíè÷íîé áèôóðêàöèîí-
íîé êðèâîé (9), ïðîõîäÿùåé ÷åðåç óêàçàííóþ îáëàñòü ïàðàìåòðîâ �1 è � 2 .
Äëÿ äàëüíåéøåãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
� �B x , � �W y, � �t t , � � B x , � � W y , � � � x x x , � � � y y y , � � �� � �0
� �� �1 4bif . Òîãäà ñèñòåìà (3) ïðèìåò âèä
dx
dt
x x y x
dy
dt
y x
�
� � � � � � � �
�
� � � �
( ) ( ) ( ) ,
( ) (
1 2 0
2
2 5
� �
� � � � �2 1 2x y x y � � � � �) .
(11)
 îáîçíà÷åíèÿõ ðàáîòû [20] çàïèøåì
X x y x x y x y x� � � � � �( , ) ( ( ) ( ) ( ) , ( ) (� � � � � � � � � � � � � 1 2 0
2
2 5 2 1 2x y x y � � � � �� �) ) ,
dX
x
y x
�
� �
� � � �
( , )
( )
0 0
1 2 0
2 5 2 1
�
� � �
� �
�
�
�
�
, dX
A
k A
0 0 0( , ) �
�
�
�
�
�
�
�
,
ãäå
1 2
2
2
02 1
2
� �
�
�
� � x A
� �
�
, � �2 1 0x A � � � � ,
� �
� � � �
� �
�2 5
2 1 2 1
2
2
0
5
1 1
2
y k � �
� � �
�
� �
( )( )
( )
ïðè � � �0 0(
~
)tr A .
Äåòåðìèíàíò ìàòðèöû dX 0 0 0( , ) ñîâïàäàåò ñ ôîðìóëîé (8). Íîðìèðîâàííàÿ
ìàòðèöà ßêîáè ïðèìåò âèä
dX
A
k A
0
00 0
1
1
( , )
/
/
�
�
�
�
�
�
�
�
.
58 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
Ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû ßêîáè èìåþò âèä
� � �1 2
1 2 1 2
0
1
2
4,
/ /( det
~
) (det
~
)� � � � � � � �A i A i i ,
ãäå det
~
A íàõîäèì ïî ôîðìóëàì (8), (9).
Ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû dX 0 0 0( , ) äëÿ ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ
� � �1 0� �i i îïðåäåëÿåòñÿ èç ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ
( ( , ) )dX I U0 1 10 0 0� � �� , (12)
ãäå I — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, U 1 — ñîáñòâåííûé âåêòîð,
U
U
U
i
U
U
1
11
21
12
22
�
�
�
�
� �
�
�
�
� .
Èç óðàâíåíèÿ (12) ïîëó÷èì ñîáñòâåííûé âåêòîð, íîðìèðîâàííûé òàêèì îáðà-
çîì, ÷òîáû åãî ïåðâàÿ íåíóëåâàÿ êîìïîíåíòà ðàâíÿëàñü åäèíèöå:
U e ie i
A
k
1 1 2
1
0
� � �
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�� �
/
/
�
�
, (13)
îòêóäà
X x e y e X x A y y y k0 1 2 0( � � ) ( ( / ) ), ( / )� � � � � � � � � � �� �
è, ñëåäîâàòåëüíî,
X x y x A y A k y x A y0 0
2( , ) (( ( / ) ) ( / ) ( ( / ) ))� � � � � � � � � � � �� � � � ,
k x A y k Ay x A y k y(( ( / ) ) ( / ) ( ( / ) )( / ) )� � � � � � � � � � �� � � � �2
(14)
� � � � � � � � � �(( ( / ) ) ( / ) ( ( / ) ))x A y A k y x A y� � � �0
2 ,
kx kA y k x y� � � � � �( / )( ) ( / )� � � �2
2 2
2 .
Ðàçëîæåíèå X x y0 ( , )� � ïî íîâîìó áàçèñó èìååò âèä
~
( , )
~
( , )
/
/
( ,A x y B x y
A
k
X x y� �
�
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
� � � �
1
0
0
�
�
),
îòêóäà
~
( , )
~
( , )( / ) ( ( / ) ( / ) (A x y B x y A x A y A k y� � � � � � � � � � � � �� � � �0 x A y� �( / ) ))� 2,
(15)
� � � � � � � � � �
~
( , )( / ) ( / )( ) ( / )B x y k kx kA y k x y� � � � �2
2 2
2 .
Èç ñèñòåìû (15) ïîëó÷èì
~
( , ) ( / ) ( / )( ) ( ) ( / )A x y kA y A x y x A� � � � � � � � � � �� � � � �0
2
2
2 22 ( )( )1 2
2� �� y . (16)
 íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò âûðàæåíèå X x y0 ( , )� � ïðèìåò âèä
X x y A x y B x y0 ( , ) (
~
( , ),
~
( , ))� � � � � � � ,
ãäå
~
A è
~
B îïðåäåëÿþòñÿ ïî (15) è (16).
Ïîêàæåì, ÷òî � �0
2 2k A A� � � det
~
. Ýòî ñëåäóåò èç âûðàæåíèé äëÿ k è ôîð-
ìóëû (8) ïðè � �3 5� :
( ) ( ) ( ) ( )( ) (� � � � � � � � � � � �2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 24 1 2 1 1 2� � � � � � � � � � 1
2) .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 59
Òàêèì îáðàçîì, èñõîäíûå âûðàæåíèÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ êðèòåðèÿ óñòîé÷èâîñ-
òè èìåþò âèä
� � � � � � � � � � � � � �X A x y y A x y x A
~
( , ) ( / )( ) ( ) ( / ) (� � � � �2 12
2 2
2 )( )�y 2 ,
(17)
X B x y x x y A y1
2
2 2
2� � � � � � � � � � �
~
( , ) ( / )( )� � � � .
Ìàòðèöà ßêîáè â íîâîì áàçèñå ïðèìåò äèàãîíàëüíûé âèä
dX 0 0 0
0
0
( , ) �
�
�
�
�
�
�
�
. (18)
Êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè ñîãëàñíî ðàáîòå [20] èìååò âèä
��� � �
� �
� �
� �
� �� �
�
�
� �
�
� �� �
V
X
x
X
x y
X
y
X
x y
( )0
3
4 2
2
2
2 2
2
2 2�
�
�
� �
� �
� �
� �� �
�
� �
� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
2
2
2 2
2
2 2
2
X
y
X
x y
X
y
X
y
, (19)
ãäå V — ôóíêöèÿ ñìåùåíèÿ, ñâÿçàííàÿ ñ îòîáðàæåíèåì Ïóàíêàðå.
Ïðè ïîäñòàíîâêå âûðàæåíèé (17) â ôîðìóëó (19) ïîëó÷èì
��� � � � �V
A
a( ) ( ( / ) )( )0
3
4
1 2
3
2
2 2
2�
�
� � � . (20)
Ââèäó òîãî ÷òî ïàðàìåòðû A, � è ( )2 2 2
2� �� �a ïîëîæèòåëüíûå, ïîëó÷èì
��� �V ( )0 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäåëüíûé öèêë íåóñòîé÷èâ [19].
Ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ïðåäåëüíîãî öèêëà íàõîäèì
ñîãëàñíî ìåòîäîëîãèè, ðàçâèòîé â [21].  îáîçíà÷åíèÿõ ýòîé ðàáîòû ïîëó÷åíà
ìàòðèöà
P
A
k
�
�
�
�
�
1
0
/
/
�
�
,
ãäå P U U� �( Im )Re 1 1 , à U 1 îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (13), ñ ïîìîùüþ êîòî-
ðîé ââîäèòñÿ ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
� � � � � � � �
x
y
A
k
x
y
x x
A
y y
k1
0
/
/
~ ,
�
� � �
~y ,
ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà (ñì. (13), (14)), ñîâïàäàþùåå ñ çàìåíîé ïåðåìåííûõ, ïî-
ëó÷åííîé ïðè èñïîëüçîâàíèè ïðåäûäóùåãî ïîäõîäà [20].  íîâûõ ïåðåìåííûõ
äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà (11) ïðè � � 0 ïðèìåò âèä
dx
dt
y A x y x A y
dy
~
~ ( / )( )~ ~ ~ ( / ) ( )~ ,
~
� � � � � � �� � � � �2 12
2 2
2
2
dt
x x y A y� � �� � � �~ ~~ ( / )~ .2 2
2
(21)
Ñîáñòâåííàÿ ìàòðèöà ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû (21) (ìàòðèöà ßêîáè) èìååò
âèä (ñð. ñ ìàòðèöåé (18))
~
A1
0
0
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Èç ñèñòåìû (20) âûïèøåì èñõîäíûå ôóíêöèè, ñîîòâåòñòâóþùèå ôîðìó-
ëàì (17) ïîäõîäà [20], íåîáõîäèìûå äëÿ âû÷èñëåíèÿ àíàëèòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñ-
òèê ïðåäåëüíîãî öèêëà:
F x y y A x y x A y1 2
2 2
2
22 1(~, ~ ) ~ ( / ) ( ) ~ ~ ~ ( / ) ( )~� � � � � � �� � � � � ,
(~, ~ ) ~ ~~ ( / )~ .F x y x x y A y2 2 2
2� � �� � � �
(22)
60 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
Çàïèøåì ñîãëàñíî ðàáîòå [21] âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèé:
g
F
x
F
y
i
F
x
F
y
11
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
4
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�~ ~ ~ ~
�
�
�
�
�
�
,
g
F
x
F
y
F
x y
i
F
x
F
02
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
21
4
2�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
~ ~ ~ ~ ~ �
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�~ ~ ~
y
F
x y2
2
12 ,
g
F
x
F
y
F
x y
i
F
x
F
20
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
21
4
2�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
~ ~ ~ ~ ~ �
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�~ ~ ~
y
F
x y2
2
12 , g21 0� .
Òîãäà ñ ó÷åòîì (22) ïîëó÷èì
g
A i A
11
2
2
2
21
2
1
2 2
� � �
�
�
( )�
�
�
�
,
g
A
i
A
02
2
2
2 2
1
2
1 1�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
( )
( )
�
� �
� , (23)
g
A
i
A
20 2 2 2
1
2
1
2
1� � � � �( ) ( )�
�
�
�
, g21 0� .
Äàëåå, ñîãëàñíî ðàáîòå [21], íà îñíîâå (23) âû÷èñëÿþòñÿ âûðàæåíèÿ
C
i
g g g g
g
1 20 11 11
2
02
2 210
2
2
1
3 2
( ) | | | |� � �
�
�
�
�
�
� �
�
,
Re C
A A
1 2
2
2 2 2
20
8
1 2 0( ) ( )� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
� �
� � ,
Im ( )
( )
( ) ( )C A A
A
1
2
3
2 2 2
2 2
2
2
2
0
1
8
4 3
1
24
1 1
2
� �
�
� � � � �
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
10
0
4
4
A
�
.
Îñíîâíûå àíàëèòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ïðåäåëüíîãî öèêëà íàõîäÿòñÿ èç ôîðìóë
�
2 1 2 10 0 2 0 0� � � � �Re ReC C( ) / ( ), ( ) ,
�
�
�2 1
11
0
0
0
0� � �
�
�
�
�
�
�Im ( )
( )
( )
( )C
CRe
,
� � � �
�
� �
�
�
� � � �
�� � � �
( ) ( )
( )
0
1
2
2
0 0
2
2 3 1 5
2
d
d k
dy
d
,
dy
d
�
�
� � �0
�
� � � � � � �( ) ( ) ( )[ ( ) ] (k k� � � � � � � � � � � � �5
2
1 1 2 2 5 3 2 1 1 5 2
2
32 � �
� � � � � � � � � � � �
3 5
2 0 5
2
2 0 5 2 5 0 1 1 23 2 2
�
� � � � �
)
( ) ( )[ ( )]{ k k � � � �� � � � � � � �2 0 5
2
1 5 3 2 12[ ( )]}
,
� � �
� � �
�
�
�
�
�
� � � � � � �
�
� �
�
( )
[ ( )( ) ]
0
1
2
2
0
2 2 3 1 5 0 2
d
d
A k
dy
d �0
1 2
� k
A Adet det
~
(
~
) /
,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 61
T O O� � � �
�
� � � �
2
1
1
2
2 4 2 0
2
0
2�
�
� � � �
� �
�
� � � �( ( )), ( ) , ( ) Re 1
2
tr
~
A ,
� � �( ) ( / )[
~
(
~
) ] /� � � �Im det tr1
2 1 21 2 4 0A A , � � � � �1 2� � �( ) ( )i ,
ãäå ìàòðèöà
~
A èìååò âèä (6).
Ïîñêîëüêó ïîêàçàòåëü Ôëîêå áîëüøå íóëÿ,
2 0� , ïðåäåëüíûé öèêë íå-
óñòîé÷èâ, ÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì êðèòåðèÿ óñòîé÷èâîñòè Ìàðñäåíà
è Ìàê-Êðàêåíà (19), (20). Ïåðèîä ïðåäåëüíîãî öèêëà T ïðè óâåëè÷åíèè � 5 îò 0
äî � (ïðè �2 0� ) óìåíüøàåòñÿ îò T0 02� � �/ äî âåëè÷èíû
T ( ) /
( )( )
( )
/
� � �
� � � �
�
5 0
2 2 1 2 1
2
2
1 2
2
1 2
2
� � �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
,
ãäå � 0
2 îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (8) ïðè � 5 0� (ïîëó÷åíî èç ñîîòíîøåíèé (8), (9)
ïðè � 5 � �). Ïðè � 5 0� ïîêàçàíî, ÷òî �2 0� è, ñëåäîâàòåëüíî, ïåðèîäè÷åñ-
êîå ðåøåíèå ñóùåñòâóåò ïðè � �� 0(«äîêðèòè÷åñêàÿ» áèôóðêàöèÿ). Ñàìî ïåðè-
îäè÷åñêîå ðåøåíèå ñ òî÷íîñòüþ äî âûáîðà íà÷àëüíîé ôàçû ìîæíî çàïèñàòü
ïî ïðåäëîæåííîé â ðàáîòå [21] ïðîöåäóðå.
Îïðåäåëèì íåêîòîðûå îöåíêè äëÿ ïåðèîäà êîëåáàíèé. Ïðè � 5 0� (îòñóòñòâèå
ïîñòóïëåíèÿ ìàòåðèàëà áèîãåííîãî ïðîèñõîæäåíèÿ), k1 05 06� �. . ãîä �1 (ïðè îò-
ñóòñòâèè îáëîìî÷íîãî ìàòåðèàëà ( )W � 0 è ìàëûõ îáúåìàõ áèîìàññû B åå ïðèðîñò
ñîñòàâëÿåò 50–60 % â ãîä), êîãäà k1 è k2 ïðèíàäëåæàò íåáîëüøîìó ñåãìåíòó (10),
ðàñïîëîæåííîìó â òðåóãîëüíèêå 0 12 1� � �k k , ïîëó÷èì � �� �0 0.1� 0.2, îòêó-
äà ðàçìåðíûé ïåðèîä ñîñòàâèò T k� �2 0 1� �/ ( ) 50–100 ëåò. Ïðè � 5 0� âáëèçè
çíà÷åíèÿ � � � �3 5 1 21 2 0� � � �( ) / ( ) (� 3 âàðüèðóåòñÿ â øèðîêèõ ïðåäåëàõ çà ñ÷åò
ïàðàìåòðà U ) ìîæíî ñäåëàòü � 0 äîñòàòî÷íî áîëüøîé âåëè÷èíîé (ïîðÿäêà åäèíè-
öû).  óñëîâèÿõ ðåàëüíûõ çíà÷åíèé � 5 ïîðÿäêà åäèíèöû è ìàëîñòè âûðàæåíèÿ
( ) ( ) ( )� � � � � �2 1 1 2 2 24 1 2� � � � â òðåóãîëüíîé îáëàñòè 0 12 1� � �� � ïîëó÷èì
� 0
1 2� (
~
) /det A òîãî æå ïîðÿäêà ( )� 0 1 2� � , îòêóäà T k� �2 0 1� �/ ( ) 5–10 ëåò, ÷òî
íà ïîðÿäîê ìåíüøå, ÷åì ïðè � 5 0� .
Ïðåäëîæåííàÿ ìîäåëü — ïîïûòêà îïèñàòü ñëîæíûå ïðîöåññû âçàèìîäåé-
ñòâèÿ â áåðåãîâûõ ýêîãåîñèñòåìàõ. Ñóùåñòâóþò áîëüøèå âîçìîæíîñòè äëÿ åå ñî-
âåðøåíñòâîâàíèÿ: îò ó÷åòà íåëèíåéíîñòè â óðàâíåíèè (1) (ñêîðîñòü àáðàçèè êëè-
ôà è èíòåíñèâíîñòü èñòèðàíèÿ ìàòåðèàëà êàê ôóíêöèè îáúåìà ìàòåðèàëà è äð.)
äî âêëþ÷åíèÿ â ìîäåëü íîâûõ ìåõàíèçìîâ è ñîîòâåòñòâóþùèõ èì óðàâíåíèé, íà-
ïðèìåð äëÿ ñêîðîñòè äîííîé àáðàçèè íà øåëüôå. Ïðèìåíåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî
àïïàðàòà âû÷èñëåíèé áèôóðêàöèé ðîæäåíèÿ öèêëà äëÿ òàêîé çàäà÷è ìîæåò ñòè-
ìóëèðîâàòü èñïîëüçîâàíèå àíàëèòèêî-âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè, èçëîæåííîé
â ðàáîòàõ [20–22] ïðè ïîèñêå è àíàëèçå áèôóðêàöèé ðîæäåíèÿ öèêëà â ìàòåìàòè-
÷åñêèõ ìîäåëÿõ ðàçëè÷íûõ ýêîãåîñèñòåì.
Òåñòèðîâàíèå ìîäåëè ìîæåò áûòü ïðîâåäåíî ïîñðåäñòâîì óìåíüøàþùèõñÿ
âðåìåí, ÷òî äàñò èíôîðìàöèþ îá ýêîëîãè÷åñêîé ñèòóàöèè ïðîøëûõ ëåò íà ïðî-
òÿæåíèè äëèòåëüíîãî ïåðèîäà.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ñ ïðèìåíåíèåì òåîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ïðåäñòàâëåí
àíàëèç ýêîëîãè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ ðàçìûâàåìîãî áåðåãà ìîðÿ ïðè âîçäåéñòâèè
ïîâåðõíîñòíûõ ãðàâèòàöèîííûõ âîëí. Ïðîâåäåí êà÷åñòâåííûé àíàëèç àáðàçèè
62 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
áåðåãà êàê ýêîëîãè÷åñêîé ñèñòåìû íà îñíîâå óïðîùåííîé ìîäåëè, îïèñûâàåìîé
ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõ íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ïðèìåíÿå-
ìàÿ ïîëóýìïèðè÷åñêàÿ ìîäåëü îñíîâàíà íà ðàññìîòðåíèè îñðåäíåííûõ âåëè÷èí
è ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê íåêîòîðàÿ àïïðîêñèìàöèÿ èñõîäíîé ìîäåëè ãèäðî-
äèíàìèêè.  îòëè÷èå îò èçâåñòíûõ ïîäõîäîâ äàííàÿ ìîäåëü ó÷èòûâàåò ñóùåñò-
âåííî íåëèíåéíûå ýôôåêòû è óïðàâëåíèå (ïîäïèòêà ïëÿæà). Àíàëèç ïðîâîäèòñÿ
ìåòîäàìè òåîðèè óñòîé÷èâîñòè.  íàñòîÿùåå âðåìÿ â ñâÿçè ñ óõóäøåíèåì ýêî-
ëîãè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ âîçìîæíî íàðóøåíèå ýêîëîãèè ðàâíîâåñèÿ è ïåðåõîä
â íîâîå ñîñòîÿíèå — óñòîé÷èâîå èëè íåóñòîé÷èâîå. Ïîëó÷åíû õàðàêòåðèñòèêè
ïðåäåëüíîãî öèêëà, àíàëèçèðóåòñÿ åãî óñòîé÷èâîñòü.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. À ð ò þ õ è í Þ . Â . Àíòðîïîãåííûé ôàêòîð â ðàçâèòèè áåðåãîâîé çîíû ìîðÿ. — Ðîñòîâ í/Ä:
Èçä-âî Ðîñò. óí-òà, 1989. — 144 ñ.
2. S e l e z o v I . T . , V o l y n s k i R . I . Simulation of nonlinear and KdV waves action to salinity
transport and bottom performance // Proc. 26th Congress IAHR. — Madrid, 1991. — P. B202–B210.
3. H a l e s L . Accomplishments of the corps of engineers dredging research program // J. Coastal
Engineering. — 1995. — 11, N 1. — P. 68–88.
4. O r l i c' B . , R ��o s i n g h J . W . Three-dimensional geomodelling for offshore aggregate resources
assessment // Quart. J. of Engineering Geology and Hydrogeology. — 1995. — 28. — P. 385–391.
5. W a n g N . , G e r r i t s e n F . Nearshore circulation and dredged material transport at Waikiki
Beach // Coastal Engineering. — 1995. — 24. — P. 315–341.
6. S e l e z o v I . T . Interaction of water waves with engineering construction and topography in coastal
area // Fifth Int. Conf. on Coastal & Port Eng. in Developing Countries (South Africa, Cape Town,
19–23 April 1999). — P. 1–15.
7. D u n c a n J . H . Spilling breakers // Annual. Rev. Fluid Mech. — 2001. — 33. — P. 519–547.
8. K e r r O . S . An exact solution in sedimentation under an inclined wall // Phys. Fluids. — 2006. —
18, Iss. 12. — P. 128–141.
9. S i m p s o n G . Coupled model of surface water flow, sediment transport and morphological
evolution // J. Computer & Geosciences. — 2006. — 32, N 10. — P. 1600–1614.
10. C h e n g Y . , W a n g Y . , J i a n g C . A coupling model of nonlinear wave and sandy seabed
dynamic interaction // China Ocean Eng. — 2007. — 21, N 1. — P. 77–89.
11. L i n P . , L i n P . L . - F . Turbulent transport, vorticity dynamics, and solute mixing under plunging
breaking waves in surf zone // J. Geophys. Res. — 1998. — 103. — P. 677–694.
12. M o c k e G . P . Structure and modeling of surf zone turbulence due to wave breaking // J. Geophys.
Res. — 2001. — 106, N C8. — P. 39–57.
13. R e e v e D . E . , S p i v a c k M . Prediction of long-term coastal evolution using moment equations
// Proc. Coast. Dynamics, 2001, ASCE (Lund, Sweden, June 2001). — P. 9–15.
14. A y y a r H . R . , E a r a t t u p u z h a J . J . Equilibrium characteristics of sand beaches and their
changes due to shore protection works // Water and Energy Int. — 1971. — 28, Iss. 4. —
P. 383–390.
15. S e l e z o v I . T . , M o s k o v k i n V . M . Bifurcation of cycle birth in the wave shore dynamics //
Òåç. äîêë. Ìåæäóíàð. ìàò. êîíô. «Ëÿïóíîâñêèå ÷òåíèÿ», ïîñâÿùåííîé 100-ëåòèþ ñîçäàíèÿ
À.Ì. Ëÿïóíîâûì òåîðèè óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ (Õàðüêîâ, 7–10 ñåíòÿáðÿ 1992). — Õàðüêîâ,
1992. — Ñ. 12.
16. Ì î ñ ê î â ê è í Â . Ì . , Å ñ è í Â . Â . Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå àáðàçèîííûì ïðîöåññîì //
Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. — 1985. — 284, ¹ 3. — Ñ. 731–734.
17. S e l e z o v I . T . Wave hydraulic models as mathematical approximations // Proc. 22nd Congress
IAHR, Techn. Session B. — Lausanne, 1987. — P. 301–306.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 63
18. R e i s s i g R . , S a n s o n e G . , C o n t i R . Qualitative theorie nichtlinearer differential
gleichungen. — Roma: Edizioni Cremonese, 1963. — 302 p.
19. Á ó ò å í è í È . Â . , Í å é ì à ð ê Þ . È . , Ô ó ô à å â Í . À . Ââåäåíèå â òåîðèþ íåëèíåéíûõ
êîëåáàíèé. — Ì.: Íàóêà, 1987. — 384 ñ.
20. M a r s d e n J . E . , M c C r a k e n M . The Hopf bifurcation and its applications. — New York:
Springer, 1976. — 339 p.
21. H a s s a r d B . D . , K a z a r i n o f f N . D . , W a n Y . - H . Theory and applications of Hopf
bifurcation // London Mathematical Society. Lecture Note Series. — Cambridge; New York:
Cambridge Univ. Press, 1981. — 41. — 311 p.
22. P o s t o n T . , S t e w a r t I . N . Catastrophe theory and its applications. — London: Pitman, 1978.
— 592 p.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 01.02.2016
².Ò. Ñåëåçîâ, Þ.Ã. Êðèâîíîñ, Â.Ì. Ìîñêîâê³í
Á²ÔÓÐÊÀÖ²ß ÍÀÐÎÄÆÅÍÍß ÖÈÊËÓ Â ÁÅÐÅÃÎÂÈÕ ÅÊÎÃÅÎÑÈÑÒÅÌÀÕ
Àíîòàö³ÿ. Íà îñíîâ³ ÿê³ñíî¿ òåî𳿠äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü (òåî𳿠êàòàñ-
òðîô) äîñë³äæóºòüñÿ îïòèìàëüíå çáåðåæåííÿ åêîëîã³÷íîãî ñòàíó îá’ºêòà. ßê
îá’ºêò ðîçãëÿäàºòüñÿ áåðåã ìîðÿ, ùî ïîñò³éíî çàçíຠðóéí³âíîãî âïëèâó
õâèëü. Éîãî ï³äæèâëþþòü äëÿ ï³äòðèìàííÿ ïî÷àòêîâîãî ñòàíó. Ìîäåëþºòü-
ñÿ ï³äòðèìàííÿ ð³âíîâàæíîãî ñòàíó åêîëîã³÷íî¿ ñèñòåìè ó äåÿêîìó îïòè-
ìàëüíîìó ðåæèì³. Íà â³äì³íó â³ä â³äîìèõ ï³äõîä³â òàêà ìîäåëü âðàõîâóº
ñóòòºâî íåë³í³éí³ åôåêòè òà êåðóâàííÿ øëÿõîì ï³äæèâëåííÿ ïëÿæó, ùî
ìîæíà ³íòåðïðåòóâàòè ÿê çâîðîòíèé çâ’ÿçîê. Àíàë³ç âèêîíàíî ìåòîäîì òåî-
𳿠ñò³éêîñò³. Îòðèìàíî õàðàêòåðèñòèêè ãðàíè÷íîãî öèêëó òà ïðîàíàë³çîâàíî
éîãî ñò³éê³ñòü.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: á³ôóðêàö³ÿ íàðîäæåííÿ öèêëó, åêîãåîñèñòåìà, ñò³éê³ñòü,
òåîð³ÿ êàòàñòðîô.
I.T. Selezov, Iu. G. Kryvonos, V.M. Moskovkin
CYCLE BIRTH BIFURCATION IN SHORE ECOGEOSYSTEMS
Abstract. The qualitative analysis of abrasion of a coast as an ecological system
on the basis of the simplified model described by system of ordinary nonlinear
differential equations is presented. The applied semi-empirical model is based on
reviewing of average magnitudes and can be considered as some approximation
of the initial model of hydrodynamics. Unlike the well-known approaches, this
model considers essentially nonlinear effects and control (beach feedback). The
analysis is carried out by methods of stability theory. Performances of the
limiting cycle are obtained and its stability is analyzed.
Keywords: bifurcation of cycle birth, ecogeosystem, stability, catastrophe theory.
Ñåëåçîâ Èãîðü Òèìîôååâè÷,
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð, çàâåäóþùèé îòäåëîì Èíñòèòóòà ãèäðîìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû,
Êèåâ, e-mail: selezov@ya.ru.
Êðèâîíîñ Þðèé Ãåîðãèåâè÷,
àêàäåìèê ÍÀÍ Óêðàèíû, ïðîôåññîð, çàìåñòèòåëü äèðåêòîðà Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè
èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: aik@public.icyb.kiev.ua.
Ìîñêîâêèí Âëàäèìèð Ìèõàéëîâè÷,
äîêòîð ãåîãð. íàóê, ïðîôåññîð Õàðüêîâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Â.Í. Êàðàçèíà,
e-mail: moskovkin@bsu.edu.ru.
64 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
|