Задача о выходе из интервала дискретной марковской диффузии
Исследуются вероятности выхода из интервала дискретной марковской диффузии с использованием ее аппроксимации процессом Орнштейна–Уленбека с асимптотически малой диффузией. Задача выхода из интервала решается на основе функционала действия, определяемого эволюционной компонентой процесса Орнштейна–У...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2016 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2016
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142001 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Задача о выходе из интервала дискретной марковской диффузии / Д.В. Королюк // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 4. — С. 83-89. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860092863973425152 |
|---|---|
| author | Королюк, Д.В. |
| author_facet | Королюк, Д.В. |
| citation_txt | Задача о выходе из интервала дискретной марковской диффузии / Д.В. Королюк // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 4. — С. 83-89. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Исследуются вероятности выхода из интервала дискретной марковской диффузии с использованием ее аппроксимации процессом Орнштейна–Уленбека с асимптотически малой диффузией. Задача выхода из интервала решается на основе функционала действия, определяемого эволюционной компонентой процесса Орнштейна–Уленбека. Экспоненциальный генератор дискретной марковской диффузии порождает функционал действия решением вариационной задачи (преобразованием Фреше–Лежандра).
Досліджуються ймовірності виходу з інтервалу дискретної марковської дифузії з використанням її апроксимації процесом Орнштейна–Уленбека з асимптотично малою дифузією. Задача виходу з інтервалу розв’язується на основі функціонала дії, що визначається еволюційною компонентою процесу Орнштейна–Уленбека. Експонентний генератор дискретної марковської дифузії породжує функціонал дії розв’язком варіаційної задачі (перетворенням Фреше–Лежандра).
We analyze the probability that a discrete Markov diffusion abandons an interval and its approximation by the Ornstein–Uhlenbeck process with asymptotically small diffusion is used. The problem of abandoning an interval is solved on the basis of action functional defined by the evolution component of the Ornstein–Uhlenbeck process. The exponential generator of discrete Markov diffusion generates the action functional by solving the variational problem (Frechet–Legendre transformation).
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:24:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.24
Ä.Â. ÊÎÐÎËÞÊ
ÇÀÄÀ×À Î ÂÛÕÎÄÅ ÈÇ ÈÍÒÅÐÂÀËÀ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÉ
ÌÀÐÊÎÂÑÊÎÉ ÄÈÔÔÓÇÈÈ
Àííîòàöèÿ. Èññëåäóþòñÿ âåðîÿòíîñòè âûõîäà èç èíòåðâàëà äèñêðåòíîé
ìàðêîâñêîé äèôôóçèè ñ èñïîëüçîâàíèåì åå àïïðîêñèìàöèè ïðîöåññîì
Îðíøòåéíà–Óëåíáåêà ñ àñèìïòîòè÷åñêè ìàëîé äèôôóçèåé. Çàäà÷à âûõîäà
èç èíòåðâàëà ðåøàåòñÿ íà îñíîâå ôóíêöèîíàëà äåéñòâèÿ, îïðåäåëÿåìîãî ýâî-
ëþöèîííîé êîìïîíåíòîé ïðîöåññà Îðíøòåéíà–Óëåíáåêà. Ýêñïîíåíöèàëüíûé
ãåíåðàòîð äèñêðåòíîé ìàðêîâñêîé äèôôóçèè ïîðîæäàåò ôóíêöèîíàë äåéñòâèÿ
ðåøåíèåì âàðèàöèîííîé çàäà÷è (ïðåîáðàçîâàíèåì Ôðåøå–Ëåæàíäðà).
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ðàçíîñòíîå ñòîõàñòè÷åñêîå óðàâíåíèå, ôóíêöèîíàë äåéñòâèÿ,
âàðèàöèîííàÿ çàäà÷à, ýêñïîíåíöèàëüíûé ãåíåðàòîð, ïðîöåññ Îðíøòåéíà–Óëåí-
áåêà, ïîòåíöèàë äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ñòðîèòñÿ ôóíêöèîíàë äåéñòâèÿ äèñêðåòíîé ìàðêîâñêîé
äèôôóçèè, ñîâïàäàþùèé ñ ôóíêöèîíàëîì äåéñòâèÿ ïðîöåññà Îðíøòåéíà–Óëåí-
áåêà. Ôóíêöèîíàë äåéñòâèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ðåøåíèåì âàðèàöèîííîé çàäà÷è [1].
Çàäà÷à âûõîäà äèñêðåòíîé ìàðêîâñêîé äèôôóçèè èç èíòåðâàëà ðåøàåòñÿ ìå-
òîäîì, èçëîæåííûì â [2] äëÿ ïðîöåññîâ Îðíøòåéíà–Óëåíáåêà.
Äèñêðåòíàÿ ìàðêîâñêàÿ äèôôóçèÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ â äèñêðåòíî-íåïðåðûâ-
íîì âðåìåíè è çàäàåòñÿ ðåøåíèÿìè ðàçíîñòíîãî ñòîõàñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
â ñõåìå ñåðèé, êîòîðàÿ îáåñïå÷èâàåò àïïðîêñèìàöèþ ïðîöåññîì Îðíøòåé-
íà–Óëåíáåêà ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì ñ àñèìïòîòè÷åñêè ìàëîé äèôôóçèåé.
Ðàçíîñòíûå ñòîõàñòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ äèñêðåòíîé ìàðêîâñêîé äèôôó-
çèè ðàññìàòðèâàëèñü òàêæå â ñõåìå äèôôóçèîííîé àïïðîêñèìàöèè ñòàòèñòè÷åñ-
êèõ ýêñïåðèìåíòîâ â ðàáîòàõ [3, 4].
ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÈ ÌÀËÀß ÄÈÔÔÓÇÈß
Äèñêðåòíàÿ ìàðêîâñêàÿ äèôôóçèÿ (ÄÌÄ) â äèñêðåòíî-íåïðåðûâíîì âðåìåíè
çàäàåòñÿ â ñõåìå ñåðèé ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì ñåðèè � � 0 (� � 0) ðåøåíèåì ðàç-
íîñòíîãî ñòîõàñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
� ��
� �
�� � � ��( ) ( ) ( )t V t W t� � �3 , t k� �3 , k � 0. (1)
Äèñêðåòíî-íåïðåðûâíîå âðåìÿ îçíà÷àåò, ÷òî
� �� � � �( ) : ( ) ( )t t t� � �3 , � � �( ) ( )t t� èëè W t( ). (2)
Ñòîõàñòè÷åñêàÿ êîìïîíåíòà W t( ), t � 0, ÿâëÿåòñÿ ïðîöåññîì áðîóíîâñêîãî äâè-
æåíèÿ ñ õàðàêòåðèñòèêàìè
EW t( ) � 0, E W t[ ( )]� � �2 3� . (3)
ÄÌÄ (1)–(3) çàäàþòñÿ ïåðåõîäíûìè âåðîÿòíîñòÿìè [5]
P s E s t t s� �
� �� � � �( ) [ ( ( )) | ( ) ]� � �� . (4)
Ïîðîæäàþùèé îïåðàòîð (ãåíåðàòîð) ÄÌÄ (1)–(4) èìååò âèä
Q s E s t s t s� �
� �� � � � �( ) [ ( ( )) ( ) | ( ) ]� � � �� . (5)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 83
Ä.Â. Êîðîëþê, 2016
Çàìå÷àíèå 1. Ìàðòèíãàëüíàÿ õàðàêòåðèçàöèÿ ÄÌÄ � � ( )t , t � 0,
� � � � � � �� � �
�
� �
�( ) ( ( )) ( ( )) ( ( ))
[ / ]
t t L s ds
t
� � �
0
0
3 3
, t k� �3 ,
îïðåäåëÿåòñÿ îïåðàòîðîì
L s Q s� �� � �( ) ( )� �3 . (6)
Ìîæíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ÄÌÄ (1)–(4) àïïðîêñèìèðóåòñÿ ïðè � � 0 àñèìïòî-
òè÷åñêè ìàëîé äèôôóçèåé.
Ëåììà 1. Èìååò ìåñòî ïðåäåëüíîå (ïðè � � 0) ïðåäñòàâëåíèå ãåíåðàòîðîâ
(6) ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà (1) â âèäå
L s L s R s� � �� � � �( ) ( ) ( )� �0 ,
ãäå
L s V s s s� � � �
�
�0
2
2
( ) ( ) ( ) ( )� � � � �� (7)
è îñòàòî÷íûé ÷ëåí
R s��( ) � 0, � �� �0 3, ( ) ( )s � � .
ÝÊÑÏÎÍÅÍÖÈÀËÜÍÛÉ ÃÅÍÅÐÀÒÎÐ ÄÌÄ
ÄÌÄ (1)–(5) ïîðîæäàåò ýêñïîíåíöèàëüíóþ ìàðòèíãàëüíóþ õàðàêòåðèçàöèþ [1, Ch. 1]
� � � � � � �� � � �
� �
�
e
t
t t H s d( ) exp ( ( )) ( ( )) ( ( ))
[ / ]
� � �
{ 0
0
3 3
s}, t k� �3 .
Ýêñïîíåíöèàëüíûé ãåíåðàòîð
H s e Q es s� � �
�
� �� �( ) ln [ ]( )/ ( )/� �� �2 1 (8)
ïîðîæäàåòñÿ íåëèíåéíîé ýêñïîíåíöèàëüíîé ïîëóãðóïïîé
H s E e st
t� � � � �� � �
�
( ) ln [ | ( ) ]( ( ))/� �0 .
 ñîîòâåòñòâèè ñ ìåòîäîì àíàëèçà áîëüøèõ óêëîíåíèé äëÿ ìàðêîâñêèõ ïðîöåñ-
ñîâ, ðàçâèòûõ â ìîíîãðàôèè [1], ïåðâûé ýòàï çàäà÷è î áîëüøèõ óêëîíåíèÿõ äëÿ
ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà � � ( )t , t � 0, ðåøàåòñÿ ïðåäåëüíîé òåîðåìîé [1, Ch. 1].
Òåîðåìà 1. Ýêñïîíåíöèàëüíûé ãåíåðàòîð ÄÌÄ (1)–(3) âû÷èñëÿåòñÿ ïðåäåëü-
íûì ïåðåõîäîì
lim ( ) ( )
�
�� �
�
�
0
0H s H s , �( ) ( )s ��
3
� .
Ïðåäåëüíûé ýêñïîíåíöèàëüíûé ãåíåðàòîð ÄÌÄ (1)–(5) îïðåäåëÿåòñÿ
ñîîòíîøåíèåì
H s V s s s0 2 21
2
� � � �( ) ( ) ( ) [ ( )]� � � � � . (9)
Äîêàçàòåëüñòâî. Âû÷èñëèì íà îñíîâå ôîðìóëû (5) êîìïîíåíò ýêñïîíåí-
öèàëüíîãî ãåíåðàòîðà:
e Q e E s ss s� � � �� �
�
� �
�
�� �( )/ ( )/ [ exp ( ) | ( ) ]� 1 0 ,
84 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
ãäå ïî îïðåäåëåíèþ
� ��
�� � � � �( ) : [ ( ( )) ( )] /s s t s� � � .
Äàëåå èñïîëüçóåì ðàçëîæåíèå Òåéëîðà äî òðåòüåãî ÷ëåíà
E s E t s[exp ( ) ] [ ( )] ( )� �� �
�� � � �� � � ��1 1
� �� ��� � � � ��
�
�
2 2 21
2
E t s R s[ ( )] ( ) ( )�
ñ ïðåíåáðåæèìûì ÷ëåíîì R s��( ) � 0, � � 0.  ðåçóëüòàòå èìååì
e Q e H s R ss s� � �� �
�
� �
�� � �( )/ ( )/ [ ( ) ( )]2 0 . (10)
Âûðàæåíèå ýêñïîíåíöèàëüíîãî ãåíåðàòîðà (8) âìåñòå ñ (10) äàåò àñèìïòîòè-
÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå
H s H s R s�
�� � �( ) ( ) ( )� �0
ñ ïðåíåáðåæèìûì ÷ëåíîì R�� � 0, � � 0, ÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåî-
ðåìû 1.
Çàìå÷àíèå 2. Ýêñïîíåíöèàëüíûé ãåíåðàòîð (9) îïðåäåëÿåò ìàðòèíãàëüíóþ
(ýêñïîíåíöèàëüíóþ) õàðàêòåðèçàöèþ ïðîöåññà Îðíøòåéíà–Óëåíáåêà
d t V t dt dW t t� � ��� �
0 0 0( ) ( ( )) ( ) ,� � � � , (11)
êîòîðûé çàäàåòñÿ ãåíåðàòîðîì (7).
Ëåììà 2. Èìååò ìåñòî ïðåäåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå (ïðè � � 0)
lim ( ) lim ( )( )/ ( )/
� �
�
�
� �
�
� �� � �
� �
�� �
0 0
0 0H s e L e H ss s ,
ãäå H 0 çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (9).
Çàìå÷àíèå 3. Óòâåðæäåíèÿ ëåìì 1 è 2 îçíà÷àþò, ÷òî ýêñïîíåíöèàëüíûé
ãåíåðàòîð (9) ðåàëèçóåò ïðîáëåìó áîëüøèõ óêëîíåíèé äëÿ ÄÌÄ (1)–(5), à òàêæå
ïðîöåññîâ Îðíøòåéíà–Óëåíáåêà (11).
ÔÓÍÊÖÈÎÍÀË ÄÅÉÑÒÂÈß ÄÌÄ
 ìîíîãðàôèè [2, Ch. 4] çàäà÷à âûõîäà èç îáëàñòè äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû
ñ ãàóññîâñêèìè (àñèìïòîòè÷åñêè ìàëûìè) âîçìóùåíèÿìè (11) èññëåäóåòñÿ
ñ ïðèìåíåíèåì ôóíêöèîíàëà äåéñòâèÿ, êîòîðûé a priori îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåí-
ñòâîì
S V dtT
T
t t( ) [ ( )]
.
�
�
� �� �
1
2 2
0
2 . (12)
Ñîãëàñíî ìîíîãðàôèè [1] ôóíêöèîíàë äåéñòâèÿ ïðîöåññà Îðíøòåéíà–Óëåí-
áåêà (11), êîòîðûé õàðàêòåðèçóåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíûì ãåíåðàòîðîì (9), çàäàåòñÿ
ðåøåíèåì âàðèàöèîííîé çàäà÷è (ïðåîáðàçîâàíèå Ôðåøå–Ëåæàíäðà)
�( , ) ( , )s q pq H s p
p
� �sup{ }0 . (13)
Ôóíêöèîíàë äåéñòâèÿ ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà � � ( )t , t � 0, îïðåäåëÿåòñÿ èíòåã-
ðàëîì íà òåñò-ôóíêöèÿõ � t T
��
1 ( )� , � �
.
: /t td dt� :
S dtT
T
t t( ) ( , )
.
� � ��
�
0
.
(14)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 85
Ôóíêöèÿ äâóõ ïåðåìåííûõ H s p0 ( , ) çàäàåòñÿ ïðåäåëüíûì ýêñïîíåíöèàëüíûì
ãåíåðàòîðîì (9):
H s H s0 0( , ) ( )
.
� �
.
Òàêèì îáðàçîì,
H s V s0 2 21
2
( , ) ( )
. . .
� � � �� � � . (15)
Ëåììà 3. Ôóíêöèîíàë äåéñòâèÿ ïðîöåññà Îðíøòåéíà–Óëåíáåêà (11), à òàê-
æå ÄÌÄ (1)–(5) ñîâïàäàþò è îïðåäåëÿþòñÿ èíòåãðàëîì (12).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðåøàÿ âàðèàöèîííóþ çàäà÷ó (13) ñ ó÷åòîì (15), âû÷èñëÿåì
ïðåîáðàçîâàíèå Ôðåøå–Ëåæàíäðà â (13) äëÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè â (14):
�( , ) [ ( )]s q q V s� � 2 .
Ïîäñòàâèâ òåñò-ôóíêöèþ � t s� , �
.
t q� , ïîëó÷èì óòâåðæäåíèå ëåììû 3.
ÂÛÕÎÄ ÄÌÄ ÈÇ ÈÍÒÅÐÂÀËÀ
Äèñêðåòíàÿ ìàðêîâñêàÿ äèôôóçèÿ, ïîðîæäàåìàÿ ðåøåíèÿìè ðàçíîñòíîãî ñòî-
õàñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (1), àïïðîêñèìèðóåò ðåàëüíûå ñòàòèñòè÷åñêèå ýêñïå-
ðèìåíòû ñ íàñòîé÷èâîé ëèíåéíîé ðåãðåññèåé [8]:
� �� ( ) ( )t S kN� � , t k� �3 , k � 0.
Ñòàòèñòè÷åñêèå ýêñïåðèìåíòû S kN ( ), k � 0, çàäàþòñÿ óñðåäíåííûìè ñóììàìè
ñëó÷àéíîé âûáîðêè, ýëåìåíòû êîòîðîé ïðèíèìàþò äâà çíà÷åíèÿ: 0 èëè 1 , òàê
÷òî | ( )|S kN � 1. Ïðè ýòîì � îïðåäåëÿåò ðàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå ñòàòèñòè÷åñêî-
ãî ýêñïåðèìåíòà.
Ó÷èòûâàÿ íîðìèðîâêó ðåàëüíûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòîâ
0 1� �S kN ( ) , íàõîäèì èíòåðâàë ïðåáûâàíèÿ äëÿ àïïðîêñèìèðóþùèõ ÄÌÄ:
( , ) ,� � � �� � �1 0 1.
Òåïåðü èìååòñÿ âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàòû ìîíîãðàôèè [2] , àäàïòè-
ðîâàííûå ê ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å (âàðèàíò òåîðåìû 1.2 [2, Ch. 4]) äëÿ âàæ-
íîé ñòàòèñòè÷åñêîé çàäà÷è ðàñïîçíàâàíèÿ äâóõ ãèïîòåç: � �1 2/ èëè �� 1 2/ .
Òåîðåìà 2. Âåðîÿòíîñòè âûõîäà ÄÌÄ (2)–(4) èç èíòåðâàëà ( , )� �� �1 çàäà-
þòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì ñîîòíîøåíèåì
lim ln ( ) ( , ) | ( ) min (
( )�
� �
�
� � � � � �
� �
� � � � � �
0
2 1 0P t s S
H s
T{ } ),
â êîòîðîì
H s st t( ) : : , [ , ]� � � � �{� � � � �0 1 , 0 � �t T}.
Êðîìå òîãî, èìååò ìåñòî àñèìïòîòè÷åñêîå ñîîòíîøåíèå
lim ln min ( )
( )�
�
�
� �
� �
� � �
0
2 P t S
H s
T{ }
äëÿ ìîìåíòà âûõîäà èç èíòåðâàëà
� � ��
�
�: min : ( ) ( , )
( )
� � � �
�H s
t t{ }1 .
Ïî îïðåäåëåíèþ ìíîæåñòâî òåñò-ôóíêöèé èìååò âèä
H s st t( ) : : , ( , )� � � � �{� � � � �0 1 , 0 � �t T}.
86 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
Äëÿ ëèíåéíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû
dS t dt VS t t T( ) / ( ) ,� � � � � � , (16)
ïîòåíöèàë U s( ) îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì [2, Sec. 4.2, P. 149]:
U s Vs s R( ) ,� �
1
2
2 . (17)
Ââåäåì ðåøåíèå äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû
dS t dt V S t� ( ) / ( � ( ))� , � ( )S � � � 0 , � ( )S T s� , �� � �t T . (18)
Î÷åâèäíî ðàâåíñòâî � ( ) ( )S t seV t T
0 � � .
Èìååò ìåñòî âàðèàíò òåîðåìû 3.1 [2, Sec. 4.3, P. 162] .
Òåîðåìà 3. ÄÌÄ (1)–(4) õàðàêòåðèçóåòñÿ ïîòåíöèàëîì (17) äèíàìè÷åñêîé
ñèñòåìû (16), à èìåííî, èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
S VsT ( )�
�
�
1
2
2 � � �{ }� � �t T s: ,0 0 .
(19)
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåðàâåíñòâî (19) ñëåäóåò èç î÷åâèäíîãî òîæäåñòâà
S V dt VsT
T
t t( ) [ ]
.
�
�
� �� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1
22
0
2 2 .
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òåñò-ôóíêöèé � �t : 0 0� , �T s� èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî (19).
Çàìå÷àíèå 4. Ó÷èòûâàÿ ðåøåíèå (18) äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû (16), ìîæíî
óòâåðæäàòü ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà
S ST T( ) � ( � )� �� , (20)
ãäå òåñò-ôóíêöèÿ �� t îïðåäåëÿåòñÿ ðåøåíèåì äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû
� �
.
� �t tV� � 0, ���� � 0 , ��T s� . (21)
Òàêèì îáðàçîì, åäèíñòâåííàÿ ýêñòðåìàëü ôóíêöèîíàëà äåéñòâèÿ (14) çàäàåòñÿ
ðåøåíèåì äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû (21), à èìåííî
� ( ) ( )� t seV t T� � , �� � �t T .
Èòàê, íåðàâåíñòâî (20) óñòàíîâëåíî.
Àñèìïòîòè÷åñêèé àíàëèç âûõîäà èç èíòåðâàëà ( , )� �� �1 ÄÌÄ (1)–(4) ìîæ-
íî ðåàëèçîâàòü, èñïîëüçóÿ àïïðîêñèìàöèþ ïðîöåññà � � ( )t , t � 0, ïðîöåññîì
Îðíøòåéíà–Óëåíáåêà � �
0 ( )t , t � 0, ñ ãåíåðàòîðîì (7).
Ââåäåì ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîöåñña Îðíøòåéíà–Óëåíáåêà [2, Sec. 4.1]:
U s P t st
�
� �� � � �( ) ( ) ( , ) | ( )� � � � �{ }0 01 0 , (22)
U s P t st
� �
� �( ) { ) | ( ) }� � �0 0 .
Òåîðåìà 3.1 [2, Sec. 4.3, P. 162] ïîçâîëÿåò óòî÷íèòü ðåçóëüòàòû òåîðåìû 1.2
[2, Sec. 4.1, P. 145].
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (22) îïðåäåëÿåòñÿ ðåøåíèåì ãðàíè÷íîé çàäà÷è äëÿ
äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì � ïðè ñòàð-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 87
øåé ïðîèçâîäíîé (ñì., íàïðèìåð, [2, Ch. 4])
� � �U s t L U st t
�
�
�( ) / ( )0 , U s
0
1� ( ) � , s� � �( , )� �1 , U s
0 0 0� ( ) � , s0 1� � �{ }� �, .
 ÷àñòíîñòè, âåðîÿòíîñòè âûõîäà èç èíòåðâàëà ( , )� �� � , � �� � �: , � �� � �: 1 ,
U s P s
� �� � ��
�
�
�� � �( ) : ( ) | ( ){ }0 0 0 , � �� �� �s , (23)
îïðåäåëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè ãðàíè÷íîé ýëëèïòè÷åñêîé çàäà÷è
L U s�
�0 0
�
�( ) , U
� � �� �( ) 1, U
�
�� �( )
�
0. (24)
Ðåøåíèÿ ãðàíè÷íûõ çàäà÷ (24) çàäàþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè
U s
V
r dr U
s
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
( ) exp /
2
2 ,
U s
V
r dr U
s
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
( ) exp /
2
2 ,
ãäå íîðìèðóþùàÿ êîíñòàíòà èìååò âèä
U
V
r dr�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
exp
2
2 .
Ñëåäñòâèå. Âåðîÿòíîñòè âûõîäà èç èíòåðâàëà ( , )� �� � õàðàêòåðèçóþòñÿ
ïðåäåëüíûì ïîâåäåíèåì
lim ( ) | ( )
, / ,
, / .�
�
�
�� � �
�
��
�� � �
�
�
�
�
�0
0 0 0
1 1 2
0 1 2
P s{ }
 ÷àñòíîñòè, ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî èìååò ìåñòî ïðåäåëüíîå ïîâåäåíèå âåðî-
ÿòíîñòåé (23) ïðè � �1 2/ :
lim ( ) / | ( ) /
�
�
�
�� �
�
� � � �
0
0 01 2 0 1 2P s{ } .
 çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è âûõîäà äèñêðåòíîé ìàðêîâñêîé
äèôôóçèè èç èíòåðâàëà èñïîëüçóåò ãðàíè÷íóþ çàäà÷ó äëÿ ýëëèïòè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ, îïðåäåëÿþùóþ âåðîÿòíîñòè âûõîäà èç èíòåðâàëà ïðîöåññà Îðíøòåé-
íà–Óëåíáåêà.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. F e n g J . , K u r t z T . G . Large deviations for stochastic processes. — New York; Boston: AMS, 2006. —
414 p.
2. F r e i d l i n M . I . , V e n t z e l l A . D . Random perturbation of dynamical systems. — Berlin; Heidelberg:
Springer, 2012. — 460 p.
3. Ê î ð î ë þ ê Ä .  . Äèôôóçèîííàÿ àïïðîêñèìàöèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòîâ ñ íàñòîé÷èâîé ëè-
íåéíîé ðåãðåññèåé è ýêâèëèáðèóìîì // Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2014. — ¹ 3. — Ñ. 18–24.
4. Ê î ð î ë þ ê Ä .  . Äèôóçiéíà àïðîêñèìàöiÿ ñòàòèñòè÷íèõ åêñïåðèìåíòiâ ç íàïîëåãëèâîþ íåëiíiéíîþ
ðåãðåñiºþ i åêâiëiáðióìîì // Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2014. — ¹ 8. — Ñ. 28–34.
5. K o r o l y u k V . S . , L i m n i o s N . Stochastic systems in merging phase space. — New York; London:
World Scientific, 2005. — 331 p.
88 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
6. K o r o l y u k V . S . , K o r o l y u k V . V . Stochastic models of systems. — Dordrecht; Boston: Kluwer,
1999. — 185 p.
7. E t h i e r S . N . , K u r t z T . G . Markov processes: Characterization and convergence. — New York:
Willey, 1986. — 534 p.
8. Ê î ð î ë þ ê Ä .  . Äâîêîìïîíåíòí³ á³íàðí³ ñòàòèñòè÷í³ åêñïåðèìåíòè ç íàïîëåãëèâîþ ë³í³éíîþ ðåã-
ðåñ³ºþ. — Êè¿â: TIIMS, 2014. — 90. — Ñ. 91–101.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 30.09.2015
Ä.Â. Êîðîëþê
ÇÀÄÀ×À ÏÐÎ ÂÈÕ²Ä Ç ²ÍÒÅÐÂÀËÓ ÄÈÑÊÐÅÒÍί ÌÀÐÊÎÂÑÜÊί ÄÈÔÓDz¯
Àíîòàö³ÿ. Äîñë³äæóþòüñÿ éìîâ³ðíîñò³ âèõîäó ç ³íòåðâàëó äèñêðåòíî¿ ìàð-
êîâñüêî¿ äèôó糿 ç âèêîðèñòàííÿì ¿¿ àïðîêñèìàö³¿ ïðîöåñîì Îðíøòåé-
íà–Óëåíáåêà ç àñèìïòîòè÷íî ìàëîþ äèôó糺þ. Çàäà÷à âèõîäó ç ³íòåðâàëó
ðîçâ’ÿçóºòüñÿ íà îñíîâ³ ôóíêö³îíàëà 䳿, ùî âèçíà÷àºòüñÿ åâîëþö³éíîþ êîì-
ïîíåíòîþ ïðîöåñó Îðíøòåéíà–Óëåíáåêà. Åêñïîíåíòíèé ãåíåðàòîð äèñêðåò-
íî¿ ìàðêîâñüêî¿ äèôó糿 ïîðîäæóº ôóíêö³îíàë 䳿 ðîçâ’ÿçêîì âàð³àö³éíî¿ çà-
äà÷³ (ïåðåòâîðåííÿì Ôðåøå–Ëåæàíäðà).
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ð³çíèöåâå ñòîõàñòè÷íå ð³âíÿííÿ, ôóíêö³îíàë 䳿, âàð³àö³éíà
çàäà÷à, åêñïîíåíö³éíèé ãåíåðàòîð, ïðîöåñ Îðíøòåéíà–Óëåíáåêà, ïîòåíö³àë
äèíàì³÷íî¿ ñèñòåìè.
D.V. Koroliouk
THE PROBLEM OF A DISCRETE MARKOV DIFFUSION ABANDONING AN INTERVAL
Abstract. We analyze the probability that a discrete Markov diffusion abandons
an interval and its approximation by the Ornstein–Uhlenbeck process with
asymptotically small diffusion is used. The problem of abandoning an interval is
solved on the basis of action functional defined by the evolution component of
the Ornstein–Uhlenbeck process. The exponential generator of discrete Markov
diffusion generates the action functional by solving the variational problem
(Frechet–Legendre transformation).
Keywords: stochastic difference equation, action functional, variational problem,
exponential generator, Ornstein–Uhlenbeck process, potential of a dynamic
system.
Êîðîëþê Äìèòðèé Âëàäèìèðîâè÷,
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà òåëåêîììóíèêàöèé è ãëîáàëüíîãî
èíôîðìàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: dimitri.koroliouk@ukr.net.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 89
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-142001 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:24:38Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Королюк, Д.В. 2018-09-19T19:16:50Z 2018-09-19T19:16:50Z 2016 Задача о выходе из интервала дискретной марковской диффузии / Д.В. Королюк // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 4. — С. 83-89. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142001 519.24 Исследуются вероятности выхода из интервала дискретной марковской диффузии с использованием ее аппроксимации процессом Орнштейна–Уленбека с асимптотически малой диффузией. Задача выхода из интервала решается на основе функционала действия, определяемого эволюционной компонентой процесса Орнштейна–Уленбека. Экспоненциальный генератор дискретной марковской диффузии порождает функционал действия решением вариационной задачи (преобразованием Фреше–Лежандра). Досліджуються ймовірності виходу з інтервалу дискретної марковської дифузії з використанням її апроксимації процесом Орнштейна–Уленбека з асимптотично малою дифузією. Задача виходу з інтервалу розв’язується на основі функціонала дії, що визначається еволюційною компонентою процесу Орнштейна–Уленбека. Експонентний генератор дискретної марковської дифузії породжує функціонал дії розв’язком варіаційної задачі (перетворенням Фреше–Лежандра). We analyze the probability that a discrete Markov diffusion abandons an interval and its approximation by the Ornstein–Uhlenbeck process with asymptotically small diffusion is used. The problem of abandoning an interval is solved on the basis of action functional defined by the evolution component of the Ornstein–Uhlenbeck process. The exponential generator of discrete Markov diffusion generates the action functional by solving the variational problem (Frechet–Legendre transformation). ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Задача о выходе из интервала дискретной марковской диффузии Задача про вихід з інтервалу дискретної марковської дифузії The problem of a discrete Markov diffusion abandoning an interval Article published earlier |
| spellingShingle | Задача о выходе из интервала дискретной марковской диффузии Королюк, Д.В. Системный анализ |
| title | Задача о выходе из интервала дискретной марковской диффузии |
| title_alt | Задача про вихід з інтервалу дискретної марковської дифузії The problem of a discrete Markov diffusion abandoning an interval |
| title_full | Задача о выходе из интервала дискретной марковской диффузии |
| title_fullStr | Задача о выходе из интервала дискретной марковской диффузии |
| title_full_unstemmed | Задача о выходе из интервала дискретной марковской диффузии |
| title_short | Задача о выходе из интервала дискретной марковской диффузии |
| title_sort | задача о выходе из интервала дискретной марковской диффузии |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142001 |
| work_keys_str_mv | AT korolûkdv zadačaovyhodeizintervaladiskretnoimarkovskoidiffuzii AT korolûkdv zadačaprovihídzíntervaludiskretnoímarkovsʹkoídifuzíí AT korolûkdv theproblemofadiscretemarkovdiffusionabandoninganinterval |