Разработка методов оптимизации для поиска наилучшей комбинации показателей прочности и вязкости сплавов
Предложены математические методы для оптимизации химического состава сплавов и технологических параметров их изготовления в процессе разработки новых марок сталей в условиях значительной неопределенности. В оптимизационных задачах использованы статистические модели механических свойств новых сплав...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2016 |
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2016
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142004 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Разработка методов оптимизации для поиска наилучшей комбинации показателей прочности и вязкости сплавов / Г.М. Зражевский, A.Н. Голодников, С.П. Урясьев, A.Г. Зражевский // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 4. — С. 118-133. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859747346236047360 |
|---|---|
| author | Зражевский, Г.М. Голодников, A.Н. Урясьев, С.П. Зражевский, A.Г. |
| author_facet | Зражевский, Г.М. Голодников, A.Н. Урясьев, С.П. Зражевский, A.Г. |
| citation_txt | Разработка методов оптимизации для поиска наилучшей комбинации показателей прочности и вязкости сплавов / Г.М. Зражевский, A.Н. Голодников, С.П. Урясьев, A.Г. Зражевский // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 4. — С. 118-133. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Предложены математические методы для оптимизации химического состава сплавов и технологических параметров их изготовления в процессе разработки новых марок сталей в условиях значительной неопределенности. В оптимизационных задачах использованы статистические модели механических свойств новых сплавов. Для оценки правого хвоста распределения вероятностей показателя разрушения по методу Шарпи с V-образным надрезом (CVN) использован CVaR, который является выпуклой функцией. Предложены математические методы решения задач максимизации.
Запропоновано математичні методи для оптимізації хімічного складу сплавів та технологічних параметрів їхнього виготовлення в процесі розроблення нових марок сталей в умовах значної невизначеності. В оптимізаційних задачах використовуються статистичні моделі механічних властивостей нових сплавів. Для оцінки правого хвоста ймовірнісного розподілу показника руйнування за методом Шарпі з V-подібним надрізом (CVN) використано CVaR, який є опуклою функцією. Запропоновано математичні методи розв’язання таких задач максимізації.
The paper proposes mathematical tools for optimization of combinations of processing parameters and alloy compositions for the development of new and improved steels. Development process of new steels involves a lot of uncertainties. For this reason statistical models for mechanical properties of new alloys are used in optimization problems. Particularly, we use CVaR for estimating the right tail of CVN (Charpy V-Notch impact on toughness) distribution. This results in non-concave (convex) objective functions in maximization problem. The paper suggests methods for solving such a problem.
|
| first_indexed | 2025-12-01T21:58:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 669:539.42:519.853.4
Ã.Ì. ÇÐÀÆÅÂÑÊÈÉ, A.Í. ÃÎËÎÄÍÈÊÎÂ, Ñ.Ï. ÓÐßÑÜÅÂ, A.Ã. ÇÐÀÆÅÂÑÊÈÉ
ÐÀÇÐÀÁÎÒÊÀ ÌÅÒÎÄÎÂ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ ÄËß ÏÎÈÑÊÀ
ÍÀÈËÓ×ØÅÉ ÊÎÌÁÈÍÀÖÈÈ ÏÎÊÀÇÀÒÅËÅÉ ÏÐÎ×ÍÎÑÒÈ
È ÂßÇÊÎÑÒÈ ÑÏËÀÂÎÂ1
Àííîòàöèÿ. Ïðåäëîæåíû ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû äëÿ îïòèìèçàöèè
õèìè÷åñêîãî ñîñòàâà ñïëàâîâ è òåõíîëîãè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ èõ èçãîòîâëå-
íèÿ â ïðîöåññå ðàçðàáîòêè íîâûõ ìàðîê ñòàëåé â óñëîâèÿõ çíà÷èòåëüíîé
íåîïðåäåëåííîñòè.  îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷àõ èñïîëüçîâàíû ñòàòèñòè÷åñ-
êèå ìîäåëè ìåõàíè÷åñêèõ ñâîéñòâ íîâûõ ñïëàâîâ. Äëÿ îöåíêè ïðàâîãî õâîñ-
òà ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ïîêàçàòåëÿ ðàçðóøåíèÿ ïî ìåòîäó Øàðïè
ñ V-îáðàçíûì íàäðåçîì (CVN) èñïîëüçîâàí CVaR, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ âûïóê-
ëîé ôóíêöèåé. Ïðåäëîæåíû ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ ìàêñè-
ìèçàöèè.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñïëàâ, îïòèìèçàöèÿ, CVaR, êâàíòèëü, CVN.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ðàçðàáîòêà íîâûõ ñïëàâîâ — äëèòåëüíûé è äîðîãîñòîÿùèé ïðîöåññ, êîòîðûé
îñóùåñòâëÿåòñÿ â óñëîâèÿõ çíà÷èòåëüíîé íåîïðåäåëåííîñòè. Åãî ìîæíî óäåøå-
âèòü è óñêîðèòü, èñïîëüçóÿ ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû îïòèìèçàöèè è ñòàòèñòè÷åñ-
êîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, ðàçðàáîòàííûå â [1–3]. Â ýòèõ ðàáîòàõ ðàññìîòðåíû äâå
ìåõàíè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ñòàëåé: ïðåäåë òåêó÷åñòè ïðè ðàñòÿæåíèè (yield)
è ïîêàçàòåëü ðàçðóøåíèÿ ïî ìåòîäó Øàðïè ñ V-îáðàçíûì íàäðåçîì (CVN),
à òàêæå ïîêàçàíî, ÷òî ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå ïî yield äîñòàòî÷íî òî÷íî àï-
ïðîêñèìèðóþòñÿ îáû÷íîé ëèíåéíîé ðåãðåññèîííîé ìîäåëüþ.  òî æå âðåìÿ
ïðè ìîäåëèðîâàíèè CVN ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîé ðåãðåññèè äîñòè÷ü ïðèåìëåìîé
òî÷íîñòè íå óäàåòñÿ, ïîñêîëüêó ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå ïî CVN õàðàêòåðè-
çóþòñÿ ñóùåñòâåííûì ðàçáðîñîì. Ïðè÷èíû âîçíèêíîâåíèÿ òàêîé ñèòóàöèè äå-
òàëüíî ïðîàíàëèçèðîâàíû â [4, 5]. Äëÿ ïðåîäîëåíèÿ îïèñàííîãî çàòðóäíåíèÿ
â [2] ïðåäëîæåí áîëåå ãèáêèé ïîäõîä, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî ìîæíî îöåíèâàòü
ëþáîé êâàíòèëü ðàñïðåäåëåíèÿ CVN.  êà÷åñòâå ïðèåìëåìîãî èíñòðóìåíòàðèÿ
âûáðàí ìåòîä èç [6], ïîçâîëÿþùèé ñòðîèòü ëèíåéíûå ðåãðåññèè, ïðîãíîçèðóþ-
ùèå ëþáûå êâàíòèëè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ CVN. Ñ èñïîëüçîâàíèåì äàííûõ
ëèíåéíûõ ìîäåëåé â [1] ñôîðìóëèðîâàíû çàäà÷è îïòèìèçàöèè ìåõàíè÷åñêèõ õà-
ðàêòåðèñòèê ñòàëåé â âèäå çàäà÷ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.
 òåîðèè ôèíàíñîâîãî ðèñêà êâàíòèëü, îáû÷íî íàçûâàåìûé Value-at-Risk
(VaR), ðàíåå ïðèìåíÿëñÿ äëÿ îöåíêè õâîñòà ðàñïðåäåëåíèé. Â ïîñëåäíåå äåñÿòèëå-
òèå âìåñòî ïîêàçàòåëÿ VaR ÷àùå èñïîëüçóåòñÿ ïîêàçàòåëü Conditional Value-at-Risk
(CVaR). Ìåðà ðèñêà VaR îöåíèâàåò òîëüêî íèæíþþ ãðàíèöó ïðàâîãî õâîñòà ðàñïðå-
äåëåíèÿ, à íå åãî èíòåãðàëüíóþ õàðàêòåðèñòèêó.  îòëè÷èå îò VaR ìåðà ðèñêà CVaR
ñîçäàíà èìåííî äëÿ îöåíêè ïîñëåäíåé, ïîñêîëüêó ðàâíà óñðåäíåííîìó çíà÷åíèþ
âñåõ VaR, ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðàâîìó õâîñòó ðàñïðåäåëåíèÿ.
 ðàáîòå [3] ìîäèôèöèðîâàí ïîäõîä ê ìîäåëèðîâàíèþ CVN, ðàçðàáîòàííûé
â [2]. Â íîâîì ïîäõîäå äëÿ îöåíêè ïðàâîãî õâîñòà ðàñïðåäåëåíèÿ CVN èñïîëüçó-
åòñÿ CVaR (âìåñòî VaR). Äëÿ ýòîãî ïîñòðîåíà ñòîõàñòè÷åñêàÿ ìîäåëü äëÿ ëîãà-
118 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
1Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå Åâðîïåéñêîãî îôèñà àýðîêîñìè÷åñêèõ
èññëåäîâàíèé (European Office of Aerospace Research and Development), ãðàíò P-590/EOARD
133063.
© Ã.Ì. Çðàæåâñêèé, A.Í. Ãîëîäíèêîâ, Ñ.Ï. Óðÿñüåâ, A.Ì. Çðàæåâñêèé, 2016
ðèôìà ïîêàçàòåëÿ CVN â âèäå ñöåíàðíîé ôóíêöèè, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé ëè-
íåéíóþ ñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ (õèìè÷åñêèé ñîñòàâ
ñïëàâà è ïàðàìåòðû åãî òåõíîëîãè÷åñêîé îáðàáîòêè) ñî ñëó÷àéíûìè êîýôôèöè-
åíòàìè, êîòîðûå èìåþò ñîâìåñòíîå êîíå÷íîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå [3]. Îáëàñòü
çíà÷åíèé ýòîé ôóíêöèè äëÿ ëþáîé ôèêñèðîâàííîé òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå âõîä-
íûõ ïåðåìåííûõ ñîñòîèò èç íàáîðà ñöåíàðèåâ çíà÷åíèé ëîãàðèôìà ïîêàçàòåëÿ
CVN, ñîîòâåòñòâóþùèõ ýòîé òî÷êå.
Ïîñêîëüêó ñöåíàðíàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé îòíîñèòåëüíî íåçàâèñèìûõ
ïåðåìåííûõ, CVaR ðàñïðåäåëåíèÿ çíà÷åíèé ëîãàðèôìà ïîêàçàòåëÿ CVN — âûïóê-
ëàÿ (íåâîãíóòàÿ) ôóíêöèÿ [7]. Êàê ïðàâèëî, ëþáàÿ âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ èìååò ìíîãî
ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìîâ íà âûïóêëîì äîïóñòèìîì ìíîæåñòâå. Ïîýòîìó íîâóþ ìî-
äåëü CVN íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü â çàäà÷å ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ èç [1].
 äàííîé ñòàòüå ïðåäëîæåíû ìåòîäû ïîèñêà ãëîáàëüíîãî ìàêñèìóìà ôóíê-
öèè CVaR. Ïðåäñòàâëåíû äâå îïòèìèçàöèîííûå çàäà÷è: ïåðâàÿ — ìàêñèìèçàöèè
íåâîãíóòîé ôóíêöèè CVaR ðàñïðåäåëåíèÿ çíà÷åíèé ëîãàðèôìà ïîêàçàòåëÿ CVN
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ, çàäàþùèõ âåðõíþþ è íèæíþþ ãðàíèöû îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ
ïåðåìåííûõ çàäà÷è, à âòîðàÿ — ìàêñèìèçàöèè CVaR ðàñïðåäåëåíèÿ çíà÷åíèé
ëîãàðèôìà ïîêàçàòåëÿ CVN ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà yield è îãðàíè÷åíèÿõ, çàäàþ-
ùèõ âåðõíþþ è íèæíþþ ãðàíèöû îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ îïòèìèçà-
öèè. Äëÿ ðåøåíèÿ ïåðâîé îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è ïðåäëîæåí àëãîðèòì âûáîðà
ìíîæåñòâà íà÷àëüíûõ òî÷åê â öåëÿõ ïîâûøåíèÿ ýôôåêòèâíîñòè ðàáîòû ìåòîäà
ìóëüòèñòàðòà, ïðåäñòàâëÿþùåãî ñîáîé ñåìåéñòâî îïòèìèçàöèîííûõ ìåòîäîâ, êî-
òîðûå ñâîäÿò ïîèñê ãëîáàëüíîãî ìàêñèìóìà ìíîãîýêñòðåìàëüíîé ôóíêöèè ê ïî-
èñêó íåñêîëüêèõ ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìîâ. Èç ïîëó÷åííûõ òî÷åê ëîêàëüíûõ ìàê-
ñèìóìîâ âûáèðàåòñÿ òà, ó êîòîðîé íàèáîëüøåå çíà÷åíèå öåëåâîé ôóíêöèè [13].
Ýôôåêòèâíîñòü ýòîãî ìåòîäà â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè çàâèñèò îò âûáîðà ìíîæåñ-
òâà íà÷àëüíûõ òî÷åê, ñ êîòîðûõ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîèñê ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìîâ
ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäîâ ëîêàëüíîé îïòèìèçàöèè.
Äëÿ ðåøåíèÿ âòîðîé îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è ïðåäëîæåí òî÷íûé äåòåðìèíè-
ðîâàííûé ìåòîä ïîèñêà ãëîáàëüíîãî ìàêñèìóìà, îñíîâàííûé íà óòâåðæäåíèè, ÷òî
ãëîáàëüíûé ìàêñèìóì âûïóêëîé ôóíêöèè íà íåïóñòîì çàìêíóòîì îãðàíè÷åííîì
âûïóêëîì äîïóñòèìîì ìíîæåñòâå äîñòèãàåòñÿ íà íåêîòîðîé ýêñòðåìàëüíîé (êðàé-
íåé) òî÷êå ýòîãî ìíîæåñòâà [8]. Ñ ïîìîùüþ ýòîãî ìåòîäà çàäà÷à ðåøàåòñÿ â äâà
ýòàïà: íà ïåðâîì ôîðìèðóåòñÿ êîíå÷íîå ìíîæåñòâî âñåõ äîïóñòèìûõ êðàéíèõ òî-
÷åê äîïóñòèìîãî ìíîæåñòâà, à íà âòîðîì — íàõîäèòñÿ ãëîáàëüíûé ìàêñèìóì íà
ñôîðìèðîâàííîì ìíîæåñòâå. Íà ïåðâîì ýòàïå ñ èñïîëüçîâàíèåì òîëüêî ïðîñòûõ
àíàëèòè÷åñêèõ ôîðìóë èç ìíîæåñòâà âñåõ áàçèñíûõ ðåøåíèé îòñåèâàþò íåäîïóñ-
òèìûå [10], ïðè ýòîì çíà÷åíèÿ öåëåâîé ôóíêöèè íå âû÷èñëÿþò. Ïðåäëîæåííûé
ìåòîä ìîæíî ïðèìåíÿòü äëÿ îïòèìèçàöèè õèìè÷åñêîãî ñîñòàâà ñïëàâîâ è òåõíîëî-
ãè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ èõ èçãîòîâëåíèÿ, ïîñêîëüêó â ýòèõ çàäà÷àõ ÷èñëî ïàðàìåò-
ðîâ, êàê ïðàâèëî, íå ïðåâûøàåò 15. Ïðè áîëüøåé ðàçìåðíîñòè çàäà÷è äàííûé ìå-
òîä ìîæíî ëåãêî àäàïòèðîâàòü ñðåäñòâàìè ïàðàëëåëüíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Áàçà äàííûõ, èñïîëüçóåìàÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ìåõàíè÷åñêèõ ñâîéñòâ íîâûõ
ìàðîê ñïëàâîâ, âêëþ÷àåò èõ õèìè÷åñêèé ñîñòàâ è ïàðàìåòðû òåðìè÷åñêîé îáðà-
áîòêè (âõîäíûå ïàðàìåòðû), à òàêæå ðåçóëüòàòû èñïûòàíèé òåñòîâûõ îáðàçöîâ
ñòàëåé (âûõîäíûå ïåðåìåííûå).  ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå â áàçå äàííûõ
ñîäåðæèòñÿ èíôîðìàöèÿ î N � 34 îáðàçöàõ ñòàëè: òðè çíà÷åíèÿ ïîêàçàòåëÿ
CVN è îäíî çíà÷åíèå ïîêàçàòåëÿ yield äëÿ êàæäîãî îáðàçöà. Êîëè÷åñòâî âõîä-
íûõ ïàðàìåòðîâ I �10.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 119
Ïóñòü x � ( , , , )x x xI1 2 � — âåêòîð âõîäíûõ ïàðàìåòðîâ (íåçàâèñèìûõ ïåðå-
ìåííûõ), y — çíà÷åíèå îäíîãî èç âûõîäíûõ ïàðàìåòðîâ: CVN èëè yield (çàâèñè-
ìàÿ ïåðåìåííàÿ). Êàæäûé îáðàçåö íóìåðóåòñÿ èíäåêñîì n è õàðàêòåðèçóåòñÿ âåê-
òîðîì âõîäíûõ ïàðàìåòðîâ x
( ) ( ) ( ) ( )( , , , )n n n
I
nx x x�
1 2
� , n N�1, ,� .
Ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå èñïîëüçîâàëèñü äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé
ìîäåëè CVN è ìîäåëè yield. Ïðè ýòîì êîëëèíåàðíûå ïåðåìåííûå íå
ðàññìàòðèâàëèñü, ïîñêîëüêó îíè ïðèâíîñÿò â ìîäåëü îäèíàêîâóþ èíôîðìàöèþ è
ñîçäàþò ïðîáëåìû ïðè îöåíêå êîýôôèöèåíòîâ ðåãðåññèè (îöåíêè ïîñëåäíèõ
ìîãóò áûòü íåñòàáèëüíûìè).
 ðàáîòå [3] ðàçðàáîòàíà ñëåäóþùàÿ ëèíåéíàÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿ ìîäåëü äëÿ
ln ( ( ))CVN x :
ln ( ( ))CVN x � �
�
�� �0
1
i i
i
I
x ,
(1)
ãäå � � �0 1, , ,� I — ñëó÷àéíûå êîýôôèöèåíòû, ïðèíèìàþùèå J ðàâíîâåðî-
ÿòíûõ çíà÷åíèé (ñöåíàðèåâ) � � �j j jI0 1, , ,� , j J�1, ,� , ïðè÷åì íåêîòîðûå èç
íèõ ìîãóò áûòü íóëåâûìè. Ïóñòü � � ( , , , )� � �0 1 � I — ñëó÷àéíûé âåêòîð êî-
ýôôèöèåíòîâ ëèíåéíîé ðåãðåññèè (1) ñ ðàâíîâåðîÿòíûìè ñöåíàðèÿìè � j �
� ( , , , )� � �j j jI0 1 � , j J�1, ,� .
 ðàáîòå [2] ðàçðàáîòàíà ñëåäóþùàÿ ëèíåéíàÿ ðåãðåññèîííàÿ ìîäåëü äëÿ
yield:
yield � �
�
�a a xY
i
Y
i
i
I
0
1
, (2)
ãäå a a i IY
i
Y
0
1, , , ,� � , — êîýôôèöèåíòû ñòàíäàðòíîé ëèíåéíîé ðåãðåññèè.
Ðàññìîòðèì äâå ïîñòàíîâêè çàäà÷è îïòèìèçàöèè õèìè÷åñêîãî ñîñòàâà ñïëà-
âîâ è òåõíîëîãè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ èõ èçãîòîâëåíèÿ.
Çàäà÷à 1 (ïðîñòåéøàÿ ïîñòàíîâêà). Ìàêñèìèçèðîâàòü CVaR ðàñïðåäåëåíèÿ
çíà÷åíèé ëîãàðèôìà ïîêàçàòåëÿ CVN
max (ln ( ( )))
x
CVaR CVN� x (3)
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ, çàäàþùèõ âåðõíþþ è íèæíþþ ãðàíèöû îáëàñòè îïðåäåëå-
íèÿ ïåðåìåííûõ îïòèìèçàöèè
l x ui i i� � , i I�1 2, , ,� . (4)
 ôîðìóëå (3) � — óðîâåíü äîâåðèÿ, 0 1� �� .
 êà÷åñòâå íèæíåé ãðàíèöû li äëÿ ïåðåìåííîé xi ìîæíî âûáðàòü íàèìåíü-
øåå çíà÷åíèå i-ãî ïàðàìåòðà â áàçå äàííûõ: l xi
n N
i
n�
� �
min ( )
1
, i I�1 2, , ,� .
Àíàëîãè÷íî â êà÷åñòâå âåðõíåé ãðàíèöû ui äëÿ ïåðåìåííîé xi ìîæíî âûáðàòü
íàèáîëüøåå çíà÷åíèå i-ãî ïàðàìåòðà â áàçå äàííûõ: u xi
n
i
n� max ( ) , i I�1 2, , ,� .
Ñëåäóþùàÿ îïòèìèçàöèîííàÿ çàäà÷à ïîçâîëÿåò îòûñêàòü íàèëó÷øóþ êîìáè-
íàöèþ ïîêàçàòåëåé ïðî÷íîñòè è âÿçêîñòè ñïëàâîâ.
Çàäà÷à 2. Ìàêñèìèçèðîâàòü CVaR ðàñïðåäåëåíèÿ çíà÷åíèé ëîãàðèôìà ïîêàçà-
òåëÿ CVN
max (ln ( ( )))
x
CVaR CVN� x (5)
120 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà yield, îïðåäåëÿåìûõ ïî ôîðìóëå (2),
a a x bY
i
Y
i
i
I
Y0
1
� �
�
� , (6)
à òàêæå îãðàíè÷åíèÿõ, çàäàþùèõ âåðõíþþ è íèæíþþ ãðàíèöû îáëàñòè îïðå-
äåëåíèÿ ïåðåìåííûõ îïòèìèçàöèè
l x ui i i� � , i I�1 2, , ,� . (7)
 ôîðìóëå (6) bY — íèæíÿÿ ãðàíèöà äëÿ yield.
Çàìå÷àíèå 1. Ïîñêîëüêó ln( )y — âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ îò y, ìàêñèìèçàöèÿ
CVaR CVN� (ln ( ( )))x â îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷àõ 1 è 2 ýêâèâàëåíòíà ìàêñèìèçà-
öèè CVaR CVN� ( ( ))x .
Çàìå÷àíèå 2. Îãðàíè÷åíèÿ â îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷àõ 1 è 2 îïðåäåëÿþò
âûïóêëûå äîïóñòèìûå ìíîæåñòâà.
Äàëåå ïðèâåäåí àëãîðèòì âûáîðà ìíîæåñòâà íà÷àëüíûõ òî÷åê â öåëÿõ ïîâû-
øåíèÿ ýôôåêòèâíîñòè ðàáîòû ìåòîäà ìóëüòèñòàðòà.
ÌÀÊÑÈÌÈÇÀÖÈß CVaR  ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÅ ÇÀÄÀ×È 1
 ñîîòâåòñòâèè ñ (1) ln ( ( ))CVN x — ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ ïî x. Ñëåäîâàòåëüíî,
CVaR CVN� (ln ( ( )))x — âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ ïî x [7].
Êàê ïðàâèëî, âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ èìååò íà âûïóêëîì ìíîæåñòâå ìíîãî ëî-
êàëüíûõ ìàêñèìóìîâ. Îäíèì èç íàèáîëåå èçâåñòíûõ ìåòîäîâ îïòèìèçàöèè ìíî-
ãîýêñòðåìàëüíûõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ìóëüòèñòàðòà — âûáîð íåêîòîðîãî
ìíîæåñòâà íà÷àëüíûõ òî÷åê, ñ êîòîðûõ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîèñê ëîêàëüíûõ ýêñòðå-
ìóìîâ ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäîâ ëîêàëüíîé îïòèìèçàöèè. Ýôôåêòèâíîñòü ìåòî-
äà ìóëüòèñòàðòà ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò âûáîðà íà÷àëüíûõ òî÷åê.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðåäëàãàåòñÿ âûáèðàòü íà÷àëüíûå òî÷êè â ïîäìíîæåñò-
âàõ äîïóñòèìîãî ìíîæåñòâà (4), â êîòîðûõ çíà÷åíèå CVaR ðàñïðåäåëåíèÿ çíà÷å-
íèé ëîãàðèôìà ïîêàçàòåëÿ CVN ñóùåñòâåííî ïðåâûøàåò çíà÷åíèå CVaR íà âñåì
äîïóñòèìîì ìíîæåñòâå. Äàííûé ïîäõîä îñíîâàí íà èäåÿõ, èçëîæåííûõ â [9].
Ñãåíåðèðóåì ðàñøèðåííóþ áàçó äàííûõ, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), äëÿ èìèòà-
öèîííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.
Äëÿ êàæäîãî îáðàçöà n, õàðàêòåðèçóþùåãîñÿ âåêòîðîì âõîäíûõ ïàðàìåòðîâ
x
( ) ( ) ( ) ( )( , , , )n n n
I
nx x x�
1 2
� , n N�1, ,� , è êàæäîãî ñöåíàðèÿ � j , j J�1, ,� , ñëó-
÷àéíîãî âåêòîðà � êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíîé ðåãðåññèè (1) âû÷èñëÿåì ñîîòâåòñòâó-
þùèé ñöåíàðèé CVN j ñëó÷àéíîãî ïîêàçàòåëÿ CVN ïî ôîðìóëå:
CVN j
n
x
e
j ji
i
I
i
n
( )( )
( )
x �
��
�
� �0
1 , j J�1, ,� , n N�1, ,� . (8)
 èòîãå ãåíåðèðóåòñÿ áàçà äàííûõ, ñîäåðæàùàÿ òî÷êè íàáëþäåíèÿ
x
( ) ( ) ( ) ( )( , , , )n n n
I
nx x x�
1 2
� , n N�1, ,� , è ðåçóëüòàòû íàáëþäåíèÿ (ñöåíàðèè)
CVN j
n( )( )
x ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû CVN. Ñãåíåðèðîâàííûå äàííûå ìîæíî ïðåä-
ñòàâèòü â âèäå ñëåäóþùåé ðàñøèðåííîé äèçàéí-ìàòðèöû (òàáëèöû):
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 121
CVN
CVN
1
1
1
1
2
1 1
2
1
1
1
2
1
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) (
x
x
x x x
x x x
I
I
�
�
1
1
1
1
2
1 1
1
2
)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
������������
�CVN
CVN
J I
x x xx
x x x x
x x x
I
J
1
2
2
2 2
2
1
2
2
2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
�
������������
�CVN x
I
N N N
I
Nx x x
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
2
1 1 2
������������
�
��������
CVN x
����
�CVN J
N N N
I
Nx x x( )( ) ( ) ( ) ( )
x
1 2
�
�
�
. (9)
 ïåðâîì ñòîëáöå (9) ïðåäñòàâëåíû ñãåíåðèðîâàííûå ñëó÷àéíûå çíà÷åíèÿ
CVN, à â îñòàëüíûõ — êîîðäèíàòû èñõîäíûõ òî÷åê íàáëþäåíèÿ, ðàñïîëîæåí-
íûõ â íà÷àëüíîì ãèïåðïàðàëëåëåïèïåäå â ïðîñòðàíñòâå âõîäíûõ äàííûõ, êîòî-
ðûé îïðåäåëÿåòñÿ îãðàíè÷åíèÿìè (4). Ïðè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ èíäåêñîâ j è i
ñöåíàðèé � ji äëÿ ñëó÷àéíîãî êîýôôèöèåíòà � i â ôîðìóëå (1) ìîæåò áûòü íóëå-
âûì, ò.å. çíà÷åíèå ïåðåìåííîé xi
n( ) â ôîðìóëå (8) íå âëèÿåò íà çíà÷åíèå ñîîòâå-
òñòâóþùåãî ñöåíàðèÿ CVN j
n( )( )
x . Äëÿ êîððåêòíîé ðàáîòû àëãîðèòìà â ñòðîêàõ
ìàòðèöû (9), ñîîòâåòñòâóþùèõ íóëåâûì çíà÷åíèÿì ñöåíàðèåâ â ëèíåéíîé ôóíê-
öèè äëÿ CVN j
n( )( )
x , n N�1, ,� , ôàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå êîìïîíåíòû xi
n( ) çàìå-
íÿåì ñïåöèàëüíûì íàáîðîì ñèìâîëîâ «n/a».
Îïðåäåëÿåì CVaR ðàñïðåäåëåíèÿ CVN íà ýòîì ãèïåðïàðàëëåëåïèïåäå, ðàñ-
ñìàòðèâàÿ çíà÷åíèÿ CVN â ñãåíåðèðîâàííîé áàçå äàííûõ êàê «îáúåäèíåííóþ
âûáîðêó».
Öåëü ïðåäëàãàåìîãî ïîäõîäà ñîñòîèò â ïîèñêå ïîäìíîæåñòâ èñõîäíîãî äî-
ïóñòèìîãî ìíîæåñòâà (4), ïðåäñòàâëåííûõ ïðîñòûìè îãðàíè÷åíèÿìè
~ ~l x ui i i� � , i I�1 2, , ,� , (10)
íà êîòîðûõ çíà÷åíèå CVaR ðàñïðåäåëåíèÿ CVN ñóùåñòâåííî ïðåâûøàåò çíà-
÷åíèå CVaR ðàñïðåäåëåíèÿ CVN íà èñõîäíîì äîïóñòèìîì ìíîæåñòâå.  îãðà-
íè÷åíèÿõ (10) ïðåäïîëàãàåòñÿ âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâ l l u ui i i i� � �
~ ~ ,
i I�1 2, , ,� . Òàêèå ïîäìíîæåñòâà áóäåì íàçûâàòü îïòèìàëüíûìè áîêñàìè.
Ïóñòü Y — âåêòîð ñãåíåðèðîâàííûõ íàáëþäåíèé ïîêàçàòåëÿ CVN (ïåðâûé
ñòîëáåö ìàòðèöû (9)), Q — êîëè÷åñòâî íàáëþäåíèé (÷èñëî ñòðîê â ìàòðèöå (9)),
Ti i i
Qx x� { }1, ,� — ìíîæåñòâî âñåõ çíà÷åíèé (âêëþ÷àÿ «n/a»), ðàñïîëîæåííûõ
â i�1-ì ñòîëáöå ìàòðèöû (9), i I�1, ,� , T T T� � � �1 2 � TI (äàëåå òàáëèöà T ).
Äàííûå â òàáëèöå T ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê êàòåãîðèàëüíûå. Îáîçíà÷èì yq —
ñãåíåðèðîâàííîå íàáëþäåíèå ïîêàçàòåëÿ CVN, êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò q-é ñòðîêå
òàáëèöû T .
Ïóñòü �, 0 1� �� , — óðîâåíü äîâåðèÿ è �, 0 1� �� , — ïàðàìåòð àëãîðèòìà.
Ïîëîæèì T T
0 � . Íåîáõîäèìî íàéòè ïîäòàáëèöó G � T
0 òàêóþ, ÷òî
CVaR CVaR� �( ( )| ) ( ( )| )y x x G y x x� �� �T
0 . (11)
122 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
Ïðåäëàãàåòñÿ ñëåäóþùèé ýâðèñòè÷åñêèé àëãîðèòì ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è.
Øàã 0. Ïîëîæèì k � 0 è Q Q0 � . Îòñîðòèðóåì ñòðîêè â Y è T
k â ïîðÿäêå
óáûâàíèÿ çíà÷åíèé â Y , à çàòåì âû÷èñëèì CVaR � ( ( )| )y x x k�T .
Øàã 1. Ïîëîæèì i �1.
Øàã 2. Ôîðìèðóåì íîâóþ òàáëèöó T T
x
k k
i
� , à òàêæå ìíîæåñòâî Z
xi
k
T
âñåõ
êàòåãîðèé, êîòîðûå âñòðå÷àþòñÿ â [ ]� �Qk âåðõíèõ ñòðîêàõ â ñòîëáöå xi òàáëèöû
T
x
k
i
. Çàòåì èñêëþ÷àåì èç òàáëèöû T
x
k
i
ñòðîêè, êîòîðûå íå ñîäåðæàò êàòåãîðèé,
âêëþ÷åííûõ â ìíîæåñòâî Z
xi
k
T
. Âû÷èñëÿåì CVaR � ( ( )| )y x x
x
k
i
�T .
Øàã 3. Åñëè i I� , òî ïîëàãàåì i i� �1 è ïåðåõîäèì ê øàãó 2.
Øàã 4. Íàõîäèì èíäåêñ i*òàêîé, ÷òî
CVaR CVaR� �( ( )| ) max ( ( )| )
*
y x x y x x
x
k
i I x
k
i i
� � �
� �
T T
1
. (12)
Ôîðìèðóåì òàáëèöó T
k�1, âêëþ÷èâ â íåå ëèøü ñòðîêè èç òàáëèöû T
k ,
êîòîðûå â ñòîëáöå x
i*
ñîäåðæàò òîëüêî êàòåãîðèè èç ìíîæåñòâà Z
xi
k
T
*
. Îïðåäåëÿ-
åì êîëè÷åñòâî ñòðîê Qk�1 â ñòîëáöå T
k�1.
Øàã 5. Åñëè Q Qk k� �1 , òî ïîëàãàåì k k� �1 è ïåðåõîäèì ê øàãó 1.
Øàã 6. Äëÿ i I�1, ,� îïðåäåëÿåì
l xi
q Q
i
q
k
* min�
� �1
è u xi
q Q
i
q
k
* max�
� �1
, (13)
ãäå xi
q — ÷èñëîâîå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé xi , ðàñïîëîæåííîå íà ïåðåñå÷åíèè
q-é ñòðîêè è i-ãî ñòîëáöà â êîíå÷íîé òàáëèöå T
k , i I�1, ,� , q Qk�1, ,� .
Îïðåäåëÿåì îïòèìàëüíûé áîêñ
G x� � � �{ ( , , ) : * *x x l x uI i i i1 � , i I�1, , }� . (14)
Êîíåö ðàáîòû àëãîðèòìà.
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (12), (13), ìîæíî îáåñïå÷èòü âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà (11).
Ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà � ïðèâåäåííûé àëãîðèòì ãåíåðèðóåò
ðàçíûå îïòèìàëüíûå áîêñû (14). Îíè ÿâëÿþòñÿ èñòî÷íèêàìè ïåðñïåêòèâíûõ íà-
÷àëüíûõ òî÷åê ïðè çàïóñêå àëãîðèòìîâ ëîêàëüíîé ìàêñèìèçàöèè.
 òàáë. 1 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ ïðè � � �� �,
çäåñü ñòðîêè ñîîòâåòñòâóþò íåêîòîðûì çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðà �, à ñòîëáöû —
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 123
Çíà÷åíèå CVAR íà k-é èòåðàöèè àëãîðèòìà
Çíà÷åíèå
ïàðà-
ìåòðà �
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0.0001 65.75 78.76 90.17 100.86 105.64 111.50 111.50 – – – – –
0.0005 65.75 78.76 90.17 100.86 105.64 111.50 111.50 – – – – –
0.001 65.75 78.76 89.47 98.99 103.17 107.42 111.50 111.50 – – – –
0.015 65.75 79.24 90.53 97.05 101.70 105.67 105.67 – – – – –
0.02 65.75 79.11 90.54 96.44 97.42 98.01 102.46 105.67 105.67 – – –
0.025 65.75 79.11 88.28 93.29 96.44 97.42 98.01 98.43 98.58 102.80 105.67 105.67
0.03 65.75 79.11 88.28 93.29 96.44 97.42 98.01 98.45 98.61 98.61 – –
Ò à á ë è ö à 1 . Äèíàìèêà ðîñòà çíà÷åíèÿ CVaR0 2. ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ
ïàðàìåòðà �
ïàðàìåòðó k (íîìåðàì èòåðàöèé àëãîðèòìà). Íà ïåðåñå÷åíèè j-é ñòðîêè è k-ãî
ñòîëáöà äàíî çíà÷åíèå CVaR 0 2. ( ( )| )y x x k�T , ïîëó÷åííîå íà k-é èòåðàöèè àëãî-
ðèòìà ïðè çíà÷åíèè ïàðàìåòðà �, óêàçàííîãî â ïåðâîì ñòîëáöå, â j-é ñòðîêå (ñì.
òàáë.1). Àíàëèç ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ ïîêàçûâàåò, ÷òî àëãîðèòì ñòðîèò
îïòèìàëüíûå áîêñû çà íåáîëüøîå êîëè÷åñòâî èòåðàöèé. Ïðè ýòîì íàèëó÷øèå ðå-
çóëüòàòû ïîëó÷åíû ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà �.
ÌÀÊÑÈÌÈÇÀÖÈß CVAR  ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÅ ÇÀÄÀ×È 2
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ñ îãðàíè÷åííûìè ïåðåìåííûìè
max c xj j
j
n
�
�
1
(15)
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ
a x bij j
j
n
i
�
� �
1
, i m�12, , ,� , (16)
l x uj j j� � , j n�1, ,� . (17)
Ýòîé çàäà÷å ñîîòâåòñòâóþò ðàñøèðåííûå áàçèñíûå äîïóñòèìûå ðåøåíèÿ, â êî-
òîðûõ çíà÷åíèÿ n m� ïåðåìåííûõ ôèêñèðóþòñÿ ëèáî íà èõ íèæíèõ, ëèáî âåð-
õíèõ ãðàíèöàõ (17), à áàçèñíîé ìàòðèöå B, îïðåäåëÿåìîé èç îãðàíè÷åíèé (16),
ñîîòâåòñòâóþò áàçèñíûå ïåðåìåííûå, óäîâëåòâîðÿþùèå îãðàíè÷åíèÿì (17).
Äðóãèìè ñëîâàìè, òî÷êà ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìûì áàçèñíûì ðåøåíèåì çàäà÷è
(15)–(17) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà — äîïóñòèìîå áàçèñíîå ðåøå-
íèå [10]. Ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ áàçèñíûõ ðåøåíèé ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì
êðàéíèõ (ýêñòðåìàëüíûõ) òî÷åê äîïóñòèìîãî ìíîæåñòâà.
Ïðåîáðàçóåì ïîñòàíîâêó çàäà÷è 2 (5)–(7), ââîäÿ èñêóññòâåííóþ ïåðåìåííóþ
xI �1 è îáîçíà÷åíèÿ b b aY
Y
1 0
� � , a ai i
Y
1 � :
max
x
CVaR CVN� (ln ( ( )))x (18)
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ
a x x bi i
i
I
I1
1
1 1
�
�� � � , (19)
l x ui i i� � , i I�1 2, , ,� , (20)
xI � �1 0. (21)
Äîïóñòèìîå ìíîæåñòâî (19)–(21) ñîâïàäàåò ñ äîïóñòèìûì ìíîæåñòâîì (6),
(7). Öåëåâàÿ ôóíêöèÿ (18) ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé è èìååò ìíîãî ëîêàëüíûõ ìàêñèìó-
ìîâ, ðàñïîëîæåííûõ â êðàéíèõ òî÷êàõ äîïóñòèìîãî ìíîæåñòâà [8]. Äëÿ òîãî ÷òî-
áû îòûñêàòü ãëîáàëüíûé ìàêñèìóì íà ìíîæåñòâå (19)–(21), íåîáõîäèìî íàéòè
âñå êðàéíèå òî÷êè ýòîãî äîïóñòèìîãî ìíîæåñòâà.
Ñõåìà ðåøåíèÿ îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è (18)–(21). Äàííàÿ çàäà÷à ñîäåð-
æèò òîëüêî îäíî ëèíåéíîå îãðàíè÷åíèå. Ïîýòîìó ëèøü îäíà ïåðåìåííàÿ ÿâëÿåò-
ñÿ áàçèñíîé, à îñòàëüíûå I ïåðåìåííûõ äîëæíû áûòü íåáàçèñíûìè.
Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ.
Ñëó÷àé 1. Èñêóññòâåííàÿ ïåðåìåííàÿ xI �1 áàçèñíàÿ. Òîãäà êàæäàÿ íåáàçèñ-
íàÿ ïåðåìåííàÿ èç x xI1, ,� äîëæíà ïðèíèìàòü çíà÷åíèå ñâîåé íèæíåé èëè âåð-
õíåé ãðàíèöû (20). Ïóñòü xi
* — çíà÷åíèå íåáàçèñíîé ïåðåìåííîé xi , i I�1, ,� .
Ñëåäîâàòåëüíî, çíà÷åíèå áàçèñíîé ïåðåìåííîé xI �1 èìååò âèä:
x a x bI i i
i
I
�
�
� ��1 1
1
1
* * . (22)
124 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
Åñëè xI � �1 0* , òî òî÷êà x x x xI I
* * * *( , , , )� �1 1� — áàçèñíîå äîïóñòèìîå ðåøå-
íèå çàäà÷è (18)–(21). Çíà÷èò, îíà ÿâëÿåòñÿ êðàéíåé òî÷êîé äîïóñòèìîãî
ìíîæåñòâà (19)–(21).
Ñëó÷àé 2. Èñêóññòâåííàÿ ïåðåìåííàÿ xI �1 íåáàçèñíàÿ. Òîãäà åå çíà÷åíèå
äîëæíî áûòü òîëüêî íóëåâûì. Ñëåäîâàòåëüíî, åå ìîæíî èñêëþ÷èòü èç ðàññìîò-
ðåíèÿ. Ïåðåìåííóþ xi , êîòîðàÿ íå ÿâëÿåòñÿ èñêóññòâåííîé, ìîæíî âêëþ÷èòü
â áàçèñ, åñëè ñîîòâåòñòâóþùèé åé êîýôôèöèåíò a i1 â îãðàíè÷åíèè (19) íåíóëå-
âîé. Ïóñòü xi1
— áàçèñíàÿ ïåðåìåííàÿ. Ïîëîæèì çíà÷åíèå êàæäîé íåáàçèñíîé
ïåðåìåííîé, ðàâíûì åå íèæíåé èëè âåðõíåé ãðàíèöå (20). Ïóñòü xi
* ,
i I i� �{ }1 1, , \ , — çíà÷åíèå i-é íåáàçèñíîé ïåðåìåííîé è xI � �1 0* . Òîãäà çíà÷åíèå
áàçèñíîé ïåðåìåííîé xi1
îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:
x
a
b a xi
i
i i
i I i
1
1 1
1
1
1 1
1
* *
, , \
� �
�
�
�
�
�
�
�
��
�
{ }�
. (23)
Åñëè âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
l x ui i i1 1 1
� �* , (24)
òî òî÷êà x x x xI I
* * * *( , , , )� �1 1� — áàçèñíîå äîïóñòèìîå ðåøåíèå è, ñëåäîâà-
òåëüíî, îíà ÿâëÿåòñÿ êðàéíåé òî÷êîé äîïóñòèìîãî ìíîæåñòâà (19)–(21).
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (23), (24) äëÿ âñåõ âîçìîæíûõ êîìáèíàöèé çíà÷åíèé
íåáàçèñíûõ ïåðåìåííûõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ôèêñèðîâàííîé áàçèñíîé ïåðåìåí-
íîé xi1
, ìîæíî àíàëîãè÷íî ñôîðìèðîâàòü ìíîæåñòâî Gxi1
, ñîñòîÿùåå èç áàçèñ-
íûõ äîïóñòèìûõ ðåøåíèé. Âûïîëíèâ ýòó ïðîöåäóðó äëÿ âñåõ âîçìîæíûõ áàçèñ-
íûõ ïåðåìåííûõ (âêëþ÷àÿ èñêóññòâåííóþ ïåðåìåííóþ xI �1), ñãåíåðèðóåì ìíî-
æåñòâà G G Gx x xI1 2 1
, , ,�
�
áàçèñíûõ äîïóñòèìûõ ðåøåíèé. Òîãäà ãëîáàëüíûé
ìàêñèìóì çàäà÷è (18)–(21) ìîæíî íàéòè, ìàêñèìèçèðóÿ ôóíêöèþ
F x x x xI I( , , ) ( ( ( , , )))* * * *
1 1� ��CVaR log CVN� íà ìíîæåñòâå G G
i
I
xi
�
�
�
1
1
� .
Îïèøåì àëãîðèòì, ãåíåðèðóþùèé ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ áàçèñíûõ ðåøå-
íèé ïóòåì îòñåèâàíèÿ íåäîïóñòèìûõ ðåøåíèé íà ðàííèõ ñòàäèÿõ èõ ïîñòðîåíèÿ.
 êà÷åñòâå êðèòåðèÿ äëÿ ýòîé îïåðàöèè èñïîëüçóþòñÿ ïðîñòûå ôîðìóëû, êîòî-
ðûå ÿâëÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêèìè ðåøåíèÿìè çàäà÷ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.
Ïðîöåäóðà îòñåèâàíèÿ ñóùåñòâåííî óñêîðÿåò ïðîöåññ ôîðìèðîâàíèÿ ìíîæåñòâà
G, ñîñòîÿùåãî èç âñåõ áàçèñíûõ äîïóñòèìûõ ðåøåíèé.
Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ áàçèñíûõ äîïóñòèìûõ ðåøåíèé. Åñëè èñêóññòâåííàÿ ïåðå-
ìåííàÿ xI �1 íå âêëþ÷åíà â áàçèñ, äëÿ ïðîñòîòû ïîëàãàåì, ÷òî xI — áàçèñíàÿ ïåðå-
ìåííàÿ, à x xI1 1, ,� � — íåáàçèñíûå ïåðåìåííûå.  ýòîì ñëó÷àå èñêóññòâåííóþ
ïåðåìåííóþ xI �1 ðàññìàòðèâàòü íå áóäåì, ïîñêîëüêó îíà ðàâíà íóëþ. Åñëè èñêóñ-
ñòâåííàÿ ïåðåìåííàÿ xI �1 âêëþ÷åíà â áàçèñ, òî x x xI I1 1, , ,� � — íåáàçèñíûå ïåðå-
ìåííûå. Çíà÷åíèÿ íåáàçèñíîé ïåðåìåííîé xi ôèêñèðóþòñÿ ëèáî íà åå íèæíåé li , ëèáî
âåðõíåé ui ãðàíèöå, i I� �1 1, ,� . Ïðîöåäóðó ïîñòðîåíèÿ ìíîæåñòâà áàçèñíûõ äîïóñ-
òèìûõ ðåøåíèé ãðàôè÷åñêè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå äâîè÷íîãî äåðåâà (ðèñ. 1).
Êàæäûé óçåë äåðåâà (ñì. ðèñ. 1) àññîöèèðóåòñÿ ñ íåêîòîðîé ïåðåìåííîé, ñîîò-
âåòñòâóþùåé îïðåäåëåííîìó óðîâíþ äåðåâà. Òàê êîðíåâîé óçåë, ðàñïîëîæåííûé íà
íóëåâîì óðîâíå, ñîîòâåòñòâóåò ïåðåìåííîé x1, óçëû íà ïåðâîì óðîâíå — ïåðåìåí-
íîé x2 , óçëû íà k �1-ì óðîâíå — ïåðåìåííîé xk , 1 1� � �k I . Êîëè÷åñòâî óðîâíåé
ðàâíî êîëè÷åñòâó íåáàçèñíûõ ïåðåìåííûõ. Åñëè èñêóññòâåííàÿ ïåðåìåííàÿ xI �1
âêëþ÷åíà â áàçèñ, òî êîëè÷åñòâî óðîâíåé ðàâíî I , â ïðîòèâíîì ñëó÷àå I �1.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 125
Óçëû îáîçíà÷àþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: âíà÷àëå çàïèñàí íîìåð ïåðåìåí-
íîé, ñ êîòîðîé äàííûé óçåë àññîöèèðîâàí, à ïîñëå ñèìâîëà «_» óêàçàí íîìåð
ïóòè, ñâÿçûâàþùèé äàííûé óçåë ñ êîðíåâûì. Ïóòü ñîñòîèò èç ðåáåð, ñîåäèíÿþ-
ùèõ äâà óçëà, ðàñïîëîæåííûõ íà ñîñåäíèõ óðîâíÿõ. Ðåáðó, èñõîäÿùåìó èç óçëà,
àññîöèèðîâàííîãî ñ ïåðåìåííîé xi , ñîîòâåòñòâóþò ìåòêè li (çíà÷åíèå ïåðåìåí-
íîé xi óñòàíîâëåíî íà åå íèæíåé ãðàíèöå) èëè ui (çíà÷åíèå ýòîé ïåðåìåííîé
óñòàíîâëåíî íà åå âåðõíåé ãðàíèöå). Ïóñòü Fk — ìíîæåñòâî âñåõ ïóòåé, ñîåäè-
íÿþùèõ êîðíåâîé óçåë ñ óçëàìè, ðàñïîëîæåííûìè íà k-ì óðîâíå. Êàæäûé ïóòü
èç ìíîæåñòâà Fk ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå íàáîðà çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ
( , , )� �x xk1 � , ãäå �xi ïðèíèìàåò îäíî èç çíà÷åíèé: li èëè ui , i k�1, ,� .
Àëãîðèòì íà÷èíàåò ïîñòðîåíèå áàçèñíûõ äîïóñòèìûõ ðåøåíèé ñ ìíîæåñòâà
F1, êîòîðîå ìîæåò ñîñòîÿòü íå áîëåå ÷åì èç äâóõ íàáîðîâ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ:
( )l1 è ( )u1 .
Äëÿ ñëó÷àÿ 1, êîãäà èñêóññòâåííàÿ ïåðåìåííàÿ xI �1 ÿâëÿåòñÿ áàçèñíîé, ðå-
øàåì äâà ðàçà (ïðè �x l� 1 è �x u� 1) ñëåäóþùóþ çàäà÷ó ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâà-
íèÿ: íàéòè ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå èñêóññòâåííîé ïåðåìåííîé xI �1
max �
, ,x x
i i
i
I
I
a x a x b
2
11 1
2
1
�
� �
�
�
�
�
� (25)
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ
l x ui i i� � , i I� 2, ,� . (26)
Ðåøåíèå çàäà÷è (25), (26) ìîæíî çàïèñàòü â àíàëèòè÷åñêîì âèäå
x
u a
l a
i
i i
i i
max , ,
, ,
�
�
�
�
�
�
åñëè
åñëè
1
1
0
0
i I� 2, ,� . (27)
Ñëåäîâàòåëüíî, âåðõíÿÿ ãðàíèöà äëÿ áàçèñíîé ïåðåìåííîé xI �1 âû÷èñëÿåòñÿ
ïî ôîðìóëå
h
a l a x b x l
a u a
I
i i
i
I
i
�
��
� � �
�
�
1
11 1 1
2
1 1
11 1 1
max
max , � ,åñëè
x b x ui
i
I
max , � .
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
2
1 1åñëè
(28)
126 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
x3�1 x3�3x3�2 x3�4
x2�1 x2�2
x k�1 xk�2
x1
xk�N
l1
l2
u1
l3u3
u2
u3
ukuk
u3 u3
l2u2
l3l3
lk
l3
k
Ðèñ. 1. Äâîè÷íîå äåðåâî ïîñòðîåíèÿ ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ áàçèñíûõ ðåøåíèé
Èç (27), (28) ñëåäóåò, ÷òî åñëè a l a x bi i
i
I
11 1 1
2
0� � �
�
� max , òî íàáîð çíà÷åíèé
ïåðåìåííûõ (l1) íåîáõîäèìî èñêëþ÷èòü èç ìíîæåñòâà F1, ïîñêîëüêó ëþáîå åãî
äîïóñòèìîå ïðîäîëæåíèå ïðèâåäåò ê íåäîïóñòèìîìó ðåøåíèþ. Àíàëîãè÷íî,
åñëè a u a x bi i
i
I
11 1 1
2
0� � �
�
� max , òî íàáîð çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ (u1) ñëåäóåò èñ-
êëþ÷èòü èç ìíîæåñòâà F1.
Åñëè ïîñëå îòñåèâàíèÿ íåäîïóñòèìûõ ðåøåíèé ìíîæåñòâî F1 ñîäåðæèò ïî
êðàéíåé ìåðå îäèí íàáîð çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, òî ïðèñòóïàåì ê ïîñòðîåíèþ
ìíîæåñòâà F2 . Ïîëàãàåì N1 — êîëè÷åñòâî íàáîðîâ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ â ìíî-
æåñòâå F1.
Åñëè ìíîæåñòâî F1 ïóñòîå, òî àëãîðèòì çàêàí÷èâàåò ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâà
äîïóñòèìûõ áàçèñíûõ ðåøåíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ áàçèñíîé ïåðåìåííîé xI �1, è
ïðèñòóïàåò ê ïîñòðîåíèþ äîïóñòèìûõ áàçèñíûõ ðåøåíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ
ñëåäóþùåé áàçèñíîé ïåðåìåííîé.
Äëÿ ñëó÷àÿ 2, êîãäà èñêóññòâåííàÿ ïåðåìåííàÿ xI �1 íå ÿâëÿåòñÿ áàçèñíîé,
äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî xI — áàçèñíàÿ ïåðåìåííàÿ, à x xI1 1, ,� � —
íåáàçèñíûå.
Ðåøàåì äâà ðàçà (ïðè �x l� 1 è �x u� 1) ñëåäóþùèå çàäà÷è ëèíåéíîãî ïðîãðàì-
ìèðîâàíèÿ: íàéòè ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå äëÿ ïåðåìåííîé xI
min �
, , , ,x x I
i i
i II a
b a x a x
2 1
1
1
1 11 1
2 1�
��
� �
�
�
�
�
�
�
�
�� �
�
{ }
�
�
�
(29)
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ
l x ui i i� � , i I� �{ }2 1, ,� (30)
è íàéòè ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå äëÿ ïåðåìåííîé xI
max �
, , , ,x x I
i i
i II a
b a x a x
2 1
1
1
1 11 1
2 1�
��
� �
�
�
�
�
�
�
�
�� �
�
{ }
�
�
�
(31)
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ
l x ui i i� � , i I� �{ }2 1, ,� . (32)
Ðåøåíèå çàäà÷ (29), (30) è (31), (32) ìîæíî çàïèñàòü â àíàëèòè÷åñêîì âèäå
ñîîòâåòñòâåííî
x
l
a
a
u
a
a
i
i
i
I
i
i
I
min
, ,
, ,
�
� �
� �
�
�
��
�
�
�
åñëè
åñëè
1
1
1
1
0
0
i I� �{ }2 1,� , (33)
x
u
a
a
l
a
a
i
i
i
I
i
i
max
, ,
, ,
�
� �
� �
�
�
��
�
�
�
åñëè
åñëè
1
1
1
1
0
0
i I� �{ }2 1, ,� . (34)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 127
Îáîçíà÷èì
h x
a
b a x a x
I
I
i i
i I
min min
, ,
( � ) �� � �
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
1
1
1 11 1
2 1{ }� �
, (35)
h x
a
b a x a x
I
I
i i
i I
max max
, ,
( � ) �� � �
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
1
1
1 11 1
2 1{ }� �
. (36)
Åñëè íå âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
max ( ), min ( ),min max{ } { }h l l h l u
I I I I1 1� , (37)
òî èñêëþ÷àåì íàáîð çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ (l1) èç ìíîæåñòâà F1.
Åñëè íå âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
max ( ), min ( ),min max{ } { }h u l h u u
I I I I1 1� , (38)
òî èñêëþ÷àåì íàáîð çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ (u1) èç ìíîæåñòâà F1.
Ôîðìóëû (33)–(38) îïðåäåëÿþò ïðîöåäóðó îòñåèâàíèÿ íåäîïóñòèìûõ ðåøåíèé.
Åñëè ïîñëå âûïîëíåíèÿ ýòîé ïðîöåäóðû ìíîæåñòâî F1 ñîäåðæèò ïî êðàéíåé ìåðå
îäèí íàáîð çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, òî ïðèñòóïàåì ê ïîñòðîåíèþ ìíîæåñòâà F2 . Ïî-
ëàãàåì N1 — êîëè÷åñòâî íàáîðîâ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ â ìíîæåñòâå F1.
Åñëè ìíîæåñòâî F1 ïóñòîå, òî àëãîðèòì çàêàí÷èâàåò ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâà
äîïóñòèìûõ áàçèñíûõ ðåøåíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ òåêóùåé áàçèñíîé ïåðåìåí-
íîé, è ïðèñòóïàåò ê ïîñòðîåíèþ äîïóñòèìûõ áàçèñíûõ ðåøåíèé, ñîîòâåòñòâóþ-
ùèõ ñëåäóþùåé áàçèñíîé ïåðåìåííîé.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ôèêñèðîâàííîé áàçèñíîé ïåðåìåííîé ïîëíîñòüþ ïî-
ñòðîåíî ìíîæåñòâî Fk�1, 1 1� � �k I , è ïîñëå ïðîöåäóðû îòñåèâàíèÿ â ýòîì ìíî-
æåñòâå ñîäåðæàòñÿ N k�1 íàáîðîâ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, ñîñòîÿùèõ èç k �1 êîì-
ïîíåíò { }(~ , , ~ )x xj
k
j
j
N k
1 1 1
1�
� �
� , ãäå ~xi
j — ôèêñèðîâàííîå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé xi ,
1 1� � �i k , êîòîðîå áûëî óñòàíîâëåíî íà åå íèæíåé li èëè âåðõíåé ui ãðàíèöå.
Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ ïîøàãîâàÿ ïðîöåäóðà äëÿ ñëó÷àÿ 1.
Øàã 0. Ïîëàãàåì j �1, Fk � , N k � 0.
Øàã 1. Ðåøàåì äâà ðàçà (ïðè �x lk� è �x uk� ) çàäà÷ó ëèíåéíîãî ïðîãðàììè-
ðîâàíèÿ: íàéòè ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå èñêóññòâåííîé ïåðåìåííîé xI �1
max ~ �
, ,x x
i i
j
i
k
k i i
i k
I
k I
a x a x a x b
� �
�
� �
� �� � �
�
1
1
1
1
1 1
1
1
�
�
�
(39)
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ
l x ui i i� � , i k I� �1, ,� . (40)
Øàã 2. Ðåøåíèå çàäà÷è (39), (40) ìîæíî çàïèñàòü â àíàëèòè÷åñêîì âèäå:
x
u a
l a
i
i i
i i
max , ,
, ,
�
�
�
�
�
�
åñëè
åñëè
1
1
0
0
i k I� �1, ,� . (41)
Ñëåäîâàòåëüíî, âåðõíÿÿ ãðàíèöà äëÿ áàçèñíîé ïåðåìåííîé xI �1 âû÷èñëÿåòñÿ
ïî ôîðìóëå:
128 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
h
a x a l a x b
I
i i
j
i
k
k k i i
i k
I
�
�
�
� ��
� � �� �
1
1
1
1
1 1
1
1
max
max~ , åñëè
åñ
� ,
~ ,max
x l
a x a u a x b
k
i i
j
i
k
k k i i
i k
I
�
� � �
�
�
� �
� �1
1
1
1 1
1
1 ëè � .x uk�
�
�
�
�
�
�
�
(42)
Øàã 3. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (41), (42) âûïîëíÿåì ñëåäóþùóþ ïðîöåäóðó.
Åñëè a x a l a x bi i
j
i
k
k k i i
i k
I
1
1
1
1 1
1
1 0~ max
�
�
� �
� �� � � � , òî ïðèáàâëÿåì íàáîð çíà÷åíèé ïåðå-
ìåííûõ (~ , , ~ , )x x lj
k
j
k1 1
�
�
ê ìíîæåñòâó Fk . Ïîëàãàåì N Nk k� �1.
Åñëè a x a u a x bi i
j
i
k
k k i i
i k
I
1
1
1
1 1
1
1 0~ max
�
�
� �
� �� � � � , òî ïðèáàâëÿåì íàáîð çíà÷åíèé
ïåðåìåííûõ (~ , , ~ , )x x uj
k
j
k1 1
�
�
ê ìíîæåñòâó Fk . Ïîëàãàåì N Nk k� �1.
Øàã 4. Åñëè j N k� �1, òî ïîëàãàåì j j� �1. Ïåðåõîäèì ê øàãó 1.
Øàã 5. Åñëè Fk � , òî ïîëàãàåì GxI�
�
1
. Ïåðåõîäèì ê ïîñòðîåíèþ äîïóñ-
òèìûõ áàçèñíûõ ðåøåíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëåäóþùåé áàçèñíîé ïåðåìåííîé.
Øàã 6. Åñëè Fk ! è k I� , òî ïðèñòóïàåì ê ïîñòðîåíèþ Fk�1. Ïîëàãàåì
k k� �1. Ïåðåõîäèì ê øàãó 0.
Øàã 7. Åñëè Fk ! è k I� , òî ìíîæåñòâî FI ñîäåðæèò N I íàáîð çíà÷åíèé
ïåðåìåííûõ, ñîñòîÿùèõ èç I êîìïîíåíò { }( , , )* *x xj
I
j
j
N I
1 1
�
�
. Äëÿ êàæäîãî íàáîðà
çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ ( , , )* *x xj
I
j
1
� èç ìíîæåñòâà FI âû÷èñëÿåì çíà÷åíèå x
I
j
�1
*
áàçèñíîé ïåðåìåííîé xI �1 ïî ôîðìóëå (22), j N I�1, ,� . Â ñîîòâåòñòâèè ñ îïè-
ñûâàåìîé ïðîöåäóðîé ïåðåìåííàÿ x
I
j
�1
* íåîòðèöàòåëüíàÿ è, ñëåäîâàòåëüíî,
äîïóñòèìàÿ. Òàêèì îáðàçîì, G x x xx
j
I
j
I
j
j
N
I
I
�
�
� �1 1 1 1
{ }( , , , )* * *
� ÿâëÿåòñÿ ìíî-
æåñòâîì âñåõ äîïóñòèìûõ áàçèñíûõ ïåðåìåííûõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ áàçèñíîé
(èñêóññòâåííîé) ïåðåìåííîé xI �1.
Ïåðåõîäèì ê ïîñòðîåíèþ äîïóñòèìûõ áàçèñíûõ ðåøåíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ
áàçèñíîé ïåðåìåííîé äëÿ ñëó÷àÿ 2.
Øàã 0. Ïîëàãàåì j �1, Fk � , N k � 0.
Øàã 1. Ðåøàåì äâà ðàçà (ïðè �x lk� è �x uk� ) ñëåäóþùóþ çàäà÷ó ëèíåéíîãî
ïðîãðàììèðîâàíèÿ: íàéòè ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé xI
min ~ �
, , , ,x x I
i i
j
i k
k i
k I a
b a x a x a
� �
� � �
� �
�
1 1
1
1
1 1
1 1
1 1
�
�{ }
xi
i k I� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
{ }1 1, ,�
(43)
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ
l x ui i i� � , i k I� � �{ }1 1, ,� (44)
è íàéòè ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå äëÿ ïåðåìåííîé xI
max ~ �
, , , ,x x I
i i
j
i k
k i
k I a
b a x a x a
� �
� � �
� �
�
1 1
1
1
1 1
1 1
1 1
�
�{ }
xi
i k I� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
{ }1 1, ,�
(45)
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ
l x ui i i� � , i k I� � �{ }1 1, ,� . (46)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 129
Øàã 2. Ðåøåíèå çàäà÷ (43), (44) è (45), (46) ìîæíî çàïèñàòü â àíàëèòè÷åñ-
êîì âèäå ñîîòâåòñòâåííî
x
l
a
a
u
a
a
i
i
i
I
i
i
I
min
, ,
, ,
�
� �
� �
�
�
��
�
�
�
åñëè
åñëè
1
1
1
1
0
0
i k I� � �{ }1 1,� ,
x
u
a
a
l
a
a
i
i
i
I
i
i
max
, ,
, ,
�
� �
� �
�
�
��
�
�
�
åñëè
åñëè
1
1
1
1
0
0
i k I� � �{ }1 1, ,� .
Îáîçíà÷èì
h x
a
b a x a x a x
I
I
i i
j
i k
k i i
min
, ,
mi( � ) ~ �� � � �
� �
�
1
1
1 1
1 1
1 1
{ }�
n
, ,i k I� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�{ }1 1�
,
h x
a
b a x a x a x
I
I
i i
j
i k
k i i
max
, ,
ma( � ) ~ �� � � �
� �
�
1
1
1 1
1 1
1 1
{ }�
x
, ,i k I� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�{ }1 1�
.
Øàã 3. Åñëè
max ( ), min ( ),min max{ } { }h l l h l u
I k I I k I� ,
òî ïðèáàâëÿåì íàáîð çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ (~ , , ~ , )x x lj
k
j
k1 1
�
�
ê ìíîæåñòâó Fk .
Ïîëàãàåì N Nk k� �1.
Åñëè
max ( ), min ( ),min max{ } { }h u l h u u
I k I I k I� ,
òî ïðèáàâëÿåì íàáîð çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ (~ , , ~ , )x x uj
k
j
k1 1
�
�
ê ìíîæåñòâó Fk .
Ïîëàãàåì N Nk k� �1.
Øàã 4. Åñëè j N k� �1, òî ïîëàãàåì j j� �1. Ïåðåõîäèì ê øàãó 1.
Øàã 5. Åñëè Fk � , òî ïîëàãàåì GxI
� . Ïåðåõîäèì ê ïîñòðîåíèþ äîïóñ-
òèìûõ áàçèñíûõ ðåøåíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëåäóþùåé áàçèñíîé ïåðåìåííîé.
Øàã 6. Åñëè Fk ! è k I� , òî ïðèñòóïàåì ê ïîñòðîåíèþ Fk�1. Ïîëàãàåì
k k� �1. Ïåðåõîäèì ê øàãó 0.
Øàã 7. Åñëè Fk ! è k I� �1, òî ìíîæåñòâî FI �1 ñîäåðæèò N I �1 íàáîð
çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, ñîñòîÿùèõ èç I �1 êîìïîíåíò { }( , , )* *x xj
I
j
j
N I
1 1 1
1�
� �
� . Äëÿ
êàæäîãî íàáîðà çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ ( , , )* *x xj
I
j
1 1
�
�
èç ìíîæåñòâà FI �1 âû÷èñ-
ëÿåì çíà÷åíèå x
I
j* áàçèñíîé ïåðåìåííîé xI ïî ôîðìóëå (23), j N I� �1 1, ,� . Â ñî-
îòâåòñòâèè ñ îïèñûâàåìîé ïðîöåäóðîé ïåðåìåííàÿ x
I
j* ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìîé.
Ñëåäîâàòåëüíî, G x x xx
j
I
j
I
j
j
N
I
I�
� �
�{ }( , , , )* * *
1 1 1
1� ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì âñåõ äîïóñ-
òèìûõ áàçèñíûõ ïåðåìåííûõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ áàçèñíîé ïåðåìåííîé xI . Ïåðå-
õîäèì ê ïîñòðîåíèþ äîïóñòèìûõ áàçèñíûõ ðåøåíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëåäóþ-
ùåé áàçèñíîé ïåðåìåííîé.
Ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé. Ñ ïîìîùüþ ïðåäëîæåííîãî àëãîðèòìà ðåøàëàñü
çàäà÷à 2 (5)–(7) ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà bY , êîòîðûé ïðåäñòàâëÿ-
130 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
åò ñîáîé íèæíþþ äîïóñòèìóþ ãðàíèöó äëÿ ïîêàçàòåëÿ yield. Â ðåçóëüòàòå ðåøå-
íèÿ çàäà÷è (5)–(7) ïîëó÷åíà òî÷êà x x x
b b
I
bY Y Y� ( , , )
1
� , õàðàêòåðèçóþùàÿ îïòè-
ìàëüíóþ êîìáèíàöèþ ïàðàìåòðîâ õèìè÷åñêîãî ñîñòàâà ñïëàâîâ è òåõíîëîãè÷åñ-
êèõ ïàðàìåòðîâ èõ èçãîòîâëåíèÿ. Ýòîé îïòèìàëüíîé òî÷êå ñîîòâåòñòâóåò
íåêîòîðûé ãèïîòåòè÷åñêèé îáðàçåö ñòàëè ñ íàèëó÷øèìè ïðîãíîçèðóåìûìè çíà-
÷åíèÿìè ïîêàçàòåëåé 20% CVaR(CVN) è yield. Ìíîãîêðàòíî ðåøàÿ çàäà÷ó (5)–(7)
ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà bY , ïîëó÷àåì ìíîæåñòâî òàêèõ ãèïîòåòè÷åñ-
êèõ îáðàçöîâ. Îòîáðàçèì ýòî ìíîæåñòâî â âèäå êðèâîé (ðèñ. 2) íà äèàãðàììå
20% CVaR(CVN)–yield.
 òåîðèè ïîðòôåëüíîé îïòèìèçàöèè êðèâóþ (ñì. ðèñ. 2) íàçûâàþò ãðàíèöåé
ýôôåêòèâíîñòè Ìàðêîâèöà (efficient frontier) [11]. Ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè
ïîêàçàòåëÿ yield ãðàíèöà ýôôåêòèâíîñòè îïðåäåëÿåò ãðàíèöó îïòèìàëüíîñòè,
âûøå êîòîðîé çíà÷åíèé ïîêàçàòåëÿ 20% ÑVaR(CVN) íå ñóùåñòâóåò. Âñå òî÷êè,
ðàñïîëîæåííûå íà ýòîé ãðàíèöå, ñîîòâåòñòâóþò îáðàçöàì ñòàëåé ñ íàèëó÷øèìè
ñîîòíîøåíèÿìè ïîêàçàòåëåé 20% ÑVaR(CVN)–yield.
Ðåàëüíûå ýêñïåðèìåíòàëüíûå îáðàçöû ñòàëåé èçîáðàæåíû â âèäå îòäåëüíûõ
òî÷åê, ðàñïîëîæåííûõ íèæå ãðàíèöû ýôôåêòèâíîñòè (ñì. ðèñ. 2). Äëÿ ëþáîãî îá-
ðàçöà ñòàëè ìîæíî óêàçàòü îïòèìàëüíóþ êîìáèíàöèþ ïàðàìåòðîâ õèìè÷åñêîãî
ñîñòàâà è òåõíîëîãè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ, ñîîòâåòñòâóþùóþ òî÷êå, ëåæàùåé íà
ãðàíèöå ýôôåêòèâíîñòè. Ýòà òî÷êà õàðàêòåðèçóåòñÿ áîëåå âûñîêèì çíà÷åíèåì
ïîêàçàòåëÿ 20% CVaR(CVN) ïðè òîì æå óðîâíå yield.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ñòàòüå ïðåäëîæåíû ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû äëÿ îïòèìèçàöèè õèìè÷åñêîãî
ñîñòàâà ñïëàâîâ è òåõíîëîãè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ èõ èçãîòîâëåíèÿ â ïðîöåññå
ðàçðàáîòêè íîâûõ ìàðîê ñòàëåé. Ýòîò ïðîöåññ îñóùåñòâëÿåòñÿ â óñëîâèÿõ çíà-
÷èòåëüíîé íåîïðåäåëåííîñòè. Ðàññìîòðåíû ìåòîäû îïòèìèçàöèè äâóõ âàæíûõ
ìåõàíè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ñòàëåé: ïðåäåë òåêó÷åñòè ïðè ðàñòÿæåíèè (yield)
è ïîêàçàòåëü ðàçðóøåíèÿ ïî ìåòîäó Øàðïè ñ V-îáðàçíûì íàäðåçîì (CVN).
Åñëè yield äîñòàòî÷íî òî÷íî àïïðîêñèìèðóåòñÿ îáû÷íîé ëèíåéíîé ðåãðåññèîí-
íîé ìîäåëüþ, òî ïðè ìîäåëèðîâàíèè CVN ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîé ðåãðåññèè
äîñòè÷ü ïðèåìëåìîé òî÷íîñòè íå óäàëîñü, ïîñêîëüêó ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàí-
íûå ïî CVN õàðàêòåðèçóþòñÿ ñóùåñòâåííûì ðàçáðîñîì. Ïîýòîìó CVN ðàñ-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 131
Ðèñ 2. Ãðàíèöà ýôôåêòèâíîñòè 20% CVaR(CVN)–yield
yield
2
0
%
C
V
aR
(C
V
N
)
ñìàòðèâàåòñÿ êàê ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, à îïòèìèçàöèè (ìàêñèìèçàöèè) ïîäëå-
æèò õàðàêòåðèñòèêà åå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ CVaR, ÿâëÿþùåéñÿ âûïóêëîé
(íåâîãíóòîé) è èìåþùåé ìíîãî ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìîâ íà âûïóêëîì ìíîæåñ-
òâå, ãåíåðèðóåìîì ëèíåéíûì îãðàíè÷åíèåì íà yield.
 ñòàòüå ïðåäëîæåíû äâà ìåòîäà ïîèñêà ãëîáàëüíîãî ìàêñèìóìà ôóíêöèè
CVaR: ïåðâûé ñîñòîèò â ãåíåðèðîâàíèè ìíîæåñòâà ïåðñïåêòèâíûõ òî÷åê, ÿâëÿþ-
ùèõñÿ õîðîøèì íà÷àëüíûì ïðèáëèæåíèåì, â öåëÿõ ïîâûøåíèÿ ýôôåêòèâíîñòè
ðàáîòû ìåòîäà ìóëüòèñòàðòà, à âòîðîé îñíîâàí íà óòâåðæäåíèè, ÷òî ãëîáàëüíûé
ìàêñèìóì âûïóêëîé ôóíêöèè íà íåïóñòîì çàìêíóòîì îãðàíè÷åííîì âûïóêëîì
äîïóñòèìîì ìíîæåñòâå äîñòèãàåòñÿ íà íåêîòîðîé ýêñòðåìàëüíîé (êðàéíåé) òî÷êå
ýòîãî ìíîæåñòâà. Îí ïîçâîëÿåò íàéòè òî÷íîå ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è
ïðè êîëè÷åñòâå ïåðåìåííûõ, íå ïðåâûøàþùåì 15. Ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à îïòè-
ìèçàöèè õèìè÷åñêîãî ñîñòàâà ñïëàâîâ è òåõíîëîãè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ èõ èçãî-
òîâëåíèÿ â ïðîöåññå ðàçðàáîòêè íîâûõ ìàðîê ñòàëåé óäîâëåòâîðÿåò ýòîìó îãðà-
íè÷åíèþ. Ïðè áîëüøåé ðàçìåðíîñòè çàäà÷è ïðåäëàãàåìûé ìåòîä ìîæíî ëåãêî
àäàïòèðîâàòü ñ èñïîëüçîâàíèåì ñðåäñòâ ïàðàëëåëüíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.
Ðàçðàáîòàííûé èíñòðóìåíòàðèé èñïîëüçîâàëñÿ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ìàêñè-
ìèçàöèè 20% CVaR(CVN) ïðè îãðàíè÷åíèè íà yield. Ïîëó÷åííûå ðåøåíèÿ ïðåä-
ñòàâëåíû â âèäå ãðàíèöû ýôôåêòèâíîñòè, ò.å. ãðàíèöû îïòèìàëüíîñòè, âûøå êî-
òîðîé çíà÷åíèé ïîêàçàòåëÿ 20% ÑVaR(CVN) ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè
ïîêàçàòåëÿ yield íå ñóùåñòâóåò.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. G o l o d n i k o v A . , M a c h e r e t Y . , T r i n d a d e A . , U r y a s e v S . , Z r a z h e v s k y G .
Optimization of ñomposition and processing parameters for the development of steel alloys:
A statistical model-based approach // Journal of Industrial and Management Optimization. — 2007.
— 3(3). — P. 489–501.
2. G o l o d n i k o v A . , M a c h e r e t Y . , T r i n d a d e A . , U r y a s e v S . , Z r a z h e v s k y G .
Statistical modeling of composition and processing parameters for alloy development // Modeling
and Simulation in Material Science and Engineering. — 2005. — 13. — P. 633–644.
3. Z r a z h e v s k y G . , G o l o d n i k o v A . , U r y a s e v S . , Z r a z h e v s k y A . Advanced
statistical tools for modelling of composition and processing parameters for alloy development /
A. Migdalas, A. Karakitsiou (eds.) // Optimization, Control, and Applications in the Information
Age, Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, 2015. — P. 393–413.
4. C o r o w i n W . R . , H o u g h l A . M . Effect of specimen size and material condition on the
Charpy impact properties of 9Cr-1Mo-V-Nb steel // The Use of Small-Scale Specimens for Testing
Irradiated Material, ASTM STP 888 (Philadelphia, PA), 1986. — P. 325–338.
5. L u c o n E . , C h a o u a d i R . , F a b r y A . , P u z z o l a n t e J . - L . , V a l l e E . Characterizing
material properties by the use of full-size and sub-size Charpy tests / T. Siewert, M.P. Manahan
(eds.) // Pendulum Impact Testing: A Century of Progress, ASTM STP 1380, American Society for
Testing and Materials (West Conshohocken, PA), 1999. — P. 146–163. — 399 p.
6. K o e n k e r R . , B a s s e t t G . Regression quantiles // Econometrica, 1978. — 46, N 1. —
P. 33–50.
7. R o c k a f e l l a r R . T . , U r y a s e v S . Conditional Value-at-Risk for general loss distributions //
Journal of Banking and Finance. — 26, N 7. — 2002, — P. 1443–1471.
8. R o c k a f e l l a r R . T . Convex analysis. — Princeton (NJ): Princeton University Press, 1970. —
453 p.
9. F r i e d m a n J . H . a n d F i s h e r N . I . Bump-hunting in high-dimensional data // Statistics and
Computing. — 1999. — 9. — P. 123–143.
132 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
10. G a s s S . I . Linear programming. Methods and applications. 5th ed. — New York: McGraw-Hill,
1985.
11. M a r k o w i t z H . M . Portfolio selection // Journal of Finance. — 1952. — 7. — P. 77–91.
12. G o l d r e n A . P . , C o x T . B . AMAX Report, CPR-2, AMAX Materials Research Center, Ann
Arbor, MI (1986).
13. Æ è ã ë ÿ â ñ ê è é À . À . , Æ è ë è í ñ ê à ÿ À . Ã . Ìåòîäû ïîèñêà ãëîáàëüíîãî ýêñòðåìóìà. —
Ì.: Íàóêà, 1991. — 248 ñ.
14. H a n s e n E . Global optimization using interval analysis. — New York: Dekker, 1992. — 532 p.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 04.01.2016
Ã.Ì. Çðàæåâñüêèé, Î.Ì. Ãîëîäí³êîâ, Ñ.Ï. Óðÿñüºâ, O.Ã. Çðàæåâñüêèé
ÐÎÇÐÎÁÊÀ ÌÅÒÎIJ ÎÏÒÈ̲ÇÀÖ²¯ ÄËß ÏÎØÓÊÓ ÍÀÉÊÐÀÙί ÊÎÌÁ²ÍÀÖ²¯
̲ÖÍÎÑÒ² ÒÀ Â’ßÇÊÎÑÒ² ÑÏËÀ²Â
Àíîòàö³ÿ. Çàïðîïîíîâàíî ìàòåìàòè÷í³ ìåòîäè äëÿ îïòèì³çàö³¿ õ³ì³÷íîãî
ñêëàäó ñïëàâ³â òà òåõíîëîã³÷íèõ ïàðàìåòð³â ¿õíüîãî âèãîòîâëåííÿ â ïðî-
öåñ³ ðîçðîáëåííÿ íîâèõ ìàðîê ñòàëåé â óìîâàõ çíà÷íî¿ íåâèçíà÷åíîñò³.
 îïòèì³çàö³éíèõ çàäà÷àõ âèêîðèñòîâóþòüñÿ ñòàòèñòè÷í³ ìîäåë³ ìåõàí³÷íèõ
âëàñòèâîñòåé íîâèõ ñïëàâ³â. Äëÿ îö³íêè ïðàâîãî õâîñòà éìîâ³ðí³ñíîãî ðîç-
ïîä³ëó ïîêàçíèêà ðóéíóâàííÿ çà ìåòîäîì Øàðï³ ç V-ïîä³áíèì íàäð³çîì
(CVN) âèêîðèñòàíî CVaR, ÿêèé º îïóêëîþ ôóíêö³ºþ. Çàïðîïîíîâàíî ìàòå-
ìàòè÷í³ ìåòîäè ðîçâ’ÿçàííÿ òàêèõ çàäà÷ ìàêñèì³çàö³¿.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ñïëàâ, îïòèì³çàö³ÿ, CVaR, êâàíòèëü, CVN.
G.M. Zrazhevsky, À.N. Golodnikov, S.Ð. Uryasev, A.G. Zrazhevsky
OPTIMIZATION TECHNIQUES TO OBTAIN THE BEST COMBINATION
OF ALLOY STRENGTH AND TOUGHNESS
Abstract. The paper proposes mathematical tools for optimization of
combinations of processing parameters and alloy compositions for the
development of new and improved steels. Development process of new steels
involves a lot of uncertainties. For this reason statistical models for mechanical
properties of new alloys are used in optimization problems. Particularly, we use
CVaR for estimating the right tail of CVN (Charpy V-Notch impact on
toughness) distribution. This results in non-concave (convex) objective functions
in maximization problem. The paper suggests methods for solving such
a problem.
Keywords: alloy, optimization, CVaR, quantile, CVN.
Çðàæåâñêèé Ãðèãîðèé Ìèõàéëîâè÷,
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêî,
e-mail: zgrig@univ.kiev.ua.
Ãîëîäíèêîâ Àëåêñàíäð Íèêîëàåâè÷,
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, âåäóùèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà
ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ.
Óðÿñüåâ Ñòàíèñëàâ Ïàâëîâè÷,
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð Ôëîðèäñêîãî óíèâåðñèòåòà, Ãåéíñâèëë, Ôëîðèäà, ÑØÀ,
e-mail: uryasev@ufl.edu.
Çðàæåâñêèé Àëåêñåé Ãðèãîðüåâè÷,
êàíäèäàò òåõí. íàóê, àíàëèòèê-ñòàòèñòèê êîìïàíèè American Optimal Decisions, Gainesville, Fl,
USA, e-mail: alex.zrazhevsky@aorda.com.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 133
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-142004 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T21:58:06Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Зражевский, Г.М. Голодников, A.Н. Урясьев, С.П. Зражевский, A.Г. 2018-09-19T19:22:54Z 2018-09-19T19:22:54Z 2016 Разработка методов оптимизации для поиска наилучшей комбинации показателей прочности и вязкости сплавов / Г.М. Зражевский, A.Н. Голодников, С.П. Урясьев, A.Г. Зражевский // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 4. — С. 118-133. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142004 669:539.42:519.853.4 Предложены математические методы для оптимизации химического состава сплавов и технологических параметров их изготовления в процессе разработки новых марок сталей в условиях значительной неопределенности. В оптимизационных задачах использованы статистические модели механических свойств новых сплавов. Для оценки правого хвоста распределения вероятностей показателя разрушения по методу Шарпи с V-образным надрезом (CVN) использован CVaR, который является выпуклой функцией. Предложены математические методы решения задач максимизации. Запропоновано математичні методи для оптимізації хімічного складу сплавів та технологічних параметрів їхнього виготовлення в процесі розроблення нових марок сталей в умовах значної невизначеності. В оптимізаційних задачах використовуються статистичні моделі механічних властивостей нових сплавів. Для оцінки правого хвоста ймовірнісного розподілу показника руйнування за методом Шарпі з V-подібним надрізом (CVN) використано CVaR, який є опуклою функцією. Запропоновано математичні методи розв’язання таких задач максимізації. The paper proposes mathematical tools for optimization of combinations of processing parameters and alloy compositions for the development of new and improved steels. Development process of new steels involves a lot of uncertainties. For this reason statistical models for mechanical properties of new alloys are used in optimization problems. Particularly, we use CVaR for estimating the right tail of CVN (Charpy V-Notch impact on toughness) distribution. This results in non-concave (convex) objective functions in maximization problem. The paper suggests methods for solving such a problem. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Разработка методов оптимизации для поиска наилучшей комбинации показателей прочности и вязкости сплавов Розробка методів оптимізації для пошуку найкращої комбінації міцності та в’язкості сплавів Optimization techniques to obtain the best combination of alloy strength and toughness Article published earlier |
| spellingShingle | Разработка методов оптимизации для поиска наилучшей комбинации показателей прочности и вязкости сплавов Зражевский, Г.М. Голодников, A.Н. Урясьев, С.П. Зражевский, A.Г. Системный анализ |
| title | Разработка методов оптимизации для поиска наилучшей комбинации показателей прочности и вязкости сплавов |
| title_alt | Розробка методів оптимізації для пошуку найкращої комбінації міцності та в’язкості сплавів Optimization techniques to obtain the best combination of alloy strength and toughness |
| title_full | Разработка методов оптимизации для поиска наилучшей комбинации показателей прочности и вязкости сплавов |
| title_fullStr | Разработка методов оптимизации для поиска наилучшей комбинации показателей прочности и вязкости сплавов |
| title_full_unstemmed | Разработка методов оптимизации для поиска наилучшей комбинации показателей прочности и вязкости сплавов |
| title_short | Разработка методов оптимизации для поиска наилучшей комбинации показателей прочности и вязкости сплавов |
| title_sort | разработка методов оптимизации для поиска наилучшей комбинации показателей прочности и вязкости сплавов |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142004 |
| work_keys_str_mv | AT zraževskiigm razrabotkametodovoptimizaciidlâpoiskanailučšeikombinaciipokazateleipročnostiivâzkostisplavov AT golodnikovan razrabotkametodovoptimizaciidlâpoiskanailučšeikombinaciipokazateleipročnostiivâzkostisplavov AT urâsʹevsp razrabotkametodovoptimizaciidlâpoiskanailučšeikombinaciipokazateleipročnostiivâzkostisplavov AT zraževskiiag razrabotkametodovoptimizaciidlâpoiskanailučšeikombinaciipokazateleipročnostiivâzkostisplavov AT zraževskiigm rozrobkametodívoptimízacíídlâpošukunaikraŝoíkombínacíímícnostítavâzkostísplavív AT golodnikovan rozrobkametodívoptimízacíídlâpošukunaikraŝoíkombínacíímícnostítavâzkostísplavív AT urâsʹevsp rozrobkametodívoptimízacíídlâpošukunaikraŝoíkombínacíímícnostítavâzkostísplavív AT zraževskiiag rozrobkametodívoptimízacíídlâpošukunaikraŝoíkombínacíímícnostítavâzkostísplavív AT zraževskiigm optimizationtechniquestoobtainthebestcombinationofalloystrengthandtoughness AT golodnikovan optimizationtechniquestoobtainthebestcombinationofalloystrengthandtoughness AT urâsʹevsp optimizationtechniquestoobtainthebestcombinationofalloystrengthandtoughness AT zraževskiiag optimizationtechniquestoobtainthebestcombinationofalloystrengthandtoughness |