Моделирование резких изменений популяционной динамики с двумя пороговыми состояниями
Решается задача моделирования вспышки численности биологического вида, которая начинается с достижения особого нетривиального состояния динамической системы. Популяционный процесс разбивается на последовательность отличающихся одна от другой стадий. Модель имитирует эффект самопроизвольного перехо...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Datum: | 2016 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2016
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142006 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Моделирование резких изменений популяционной динамики с двумя пороговыми состояниями / А.Ю. Переварюха // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 4. — С. 145-154. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-142006 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Переварюха, А.Ю. 2018-09-19T19:30:27Z 2018-09-19T19:30:27Z 2016 Моделирование резких изменений популяционной динамики с двумя пороговыми состояниями / А.Ю. Переварюха // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 4. — С. 145-154. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142006 532.22 Решается задача моделирования вспышки численности биологического вида, которая начинается с достижения особого нетривиального состояния динамической системы. Популяционный процесс разбивается на последовательность отличающихся одна от другой стадий. Модель имитирует эффект самопроизвольного перехода от слабых флуктуаций через максимизацию репродуктивной эффективности к превышению экологической емкости среды с последующей фазой быстрого спонтанного затухания процесса. Для описания перехода между заключительными стадиями вспышки используется метод контролируемой функциональной реализации метаморфозов поведения траектории. Оригинальный вычислительный аппарат на основе дискретно-непрерывной структуры времени с предикативными конструкциями позволяет применять сценарный подход к оценке развития экологических ситуаций. Значимость результатов обоснована анализом сведений о вспышках мелких насекомых вредителей, питающихся на ограниченном числе пригодных растений и способных при определенных условиях выходить из-под контроля паразитических наездников. Моделюється спалах чисельності біологічного виду, який починається з досягнення особливого нетривіального стану динамічної системи. Популяційний процес розбивається на послідовність стадій, які відрізняються. Модель імітує ефект мимовільного переходу від слабких флуктуацій через максимізацію репродуктивної ефективності до перевищення екологічної ємності середовища з наступною фазою швидкого спонтанного загасання процесу. Для опису переходу між заключними стадіями спалаху використано метод контрольованої функціональної реалізації метаморфозів поведінки траєкторії. Оригінальний обчислювальний апарат на основі дискретно-безперервної структури часу з предикативними конструкціями дозволяє застосовувати сценарний підхід до оцінки розвитку екологічних ситуацій. Значимість результатів обгрунтована аналізом даних про спалахи дрібних комах шкідників, контрольованих паразитичними наїзниками, що вражають обмежене число придатних сільськогосподарських рослин. The author solves the problem of modeling outbreaks of a species, which begins with the achievement of specific non-trivial state of a dynamic system. Population process is divided into a sequence of substantially different stages. The model simulates the effect of spontaneous transition from weak to acceleration fluctuations of reproductive activity followed by the phase of rapid spontaneous decay. To describe the transition between final stages of the outbreak, the method of controlled functional realization of metamorphoses of trajectory behavior is used. Differential equations are combined with predicative constructions in software environment. The original computational unit based on discrete-continuous time allows us to apply the scenario approach to the assessment of environmental situations. To study such discrete-continuous models, AnyLogic5 computing environment with support for language Java are used, where the developer can enter your own data types as interfaces. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Моделирование резких изменений популяционной динамики с двумя пороговыми состояниями Моделювання різких змін популяційної динаміки з двома пороговими станами Simulation of abrupt changes in populational dynamics with two threshold states Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Моделирование резких изменений популяционной динамики с двумя пороговыми состояниями |
| spellingShingle |
Моделирование резких изменений популяционной динамики с двумя пороговыми состояниями Переварюха, А.Ю. Системный анализ |
| title_short |
Моделирование резких изменений популяционной динамики с двумя пороговыми состояниями |
| title_full |
Моделирование резких изменений популяционной динамики с двумя пороговыми состояниями |
| title_fullStr |
Моделирование резких изменений популяционной динамики с двумя пороговыми состояниями |
| title_full_unstemmed |
Моделирование резких изменений популяционной динамики с двумя пороговыми состояниями |
| title_sort |
моделирование резких изменений популяционной динамики с двумя пороговыми состояниями |
| author |
Переварюха, А.Ю. |
| author_facet |
Переварюха, А.Ю. |
| topic |
Системный анализ |
| topic_facet |
Системный анализ |
| publishDate |
2016 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Моделювання різких змін популяційної динаміки з двома пороговими станами Simulation of abrupt changes in populational dynamics with two threshold states |
| description |
Решается задача моделирования вспышки численности биологического вида, которая начинается с достижения особого нетривиального состояния динамической системы. Популяционный процесс разбивается на последовательность отличающихся одна от другой стадий. Модель имитирует эффект самопроизвольного перехода от слабых флуктуаций через максимизацию репродуктивной эффективности к превышению экологической емкости среды с последующей фазой быстрого спонтанного затухания процесса. Для описания перехода между заключительными стадиями вспышки используется метод контролируемой функциональной реализации метаморфозов поведения траектории. Оригинальный вычислительный аппарат на основе дискретно-непрерывной структуры времени с предикативными конструкциями позволяет применять сценарный подход к оценке развития экологических ситуаций. Значимость результатов обоснована анализом сведений о вспышках мелких насекомых вредителей, питающихся на ограниченном числе пригодных растений и способных при определенных условиях выходить из-под контроля паразитических наездников.
Моделюється спалах чисельності біологічного виду, який починається з досягнення особливого нетривіального стану динамічної системи. Популяційний процес розбивається на послідовність стадій, які відрізняються. Модель імітує ефект мимовільного переходу від слабких флуктуацій через максимізацію репродуктивної ефективності до перевищення екологічної ємності середовища з наступною фазою швидкого спонтанного загасання процесу. Для опису переходу між заключними стадіями спалаху використано метод контрольованої функціональної реалізації метаморфозів поведінки траєкторії. Оригінальний обчислювальний апарат на основі дискретно-безперервної структури часу з предикативними конструкціями дозволяє застосовувати сценарний підхід до оцінки розвитку екологічних ситуацій. Значимість результатів обгрунтована аналізом даних про спалахи дрібних комах шкідників, контрольованих паразитичними наїзниками, що вражають обмежене число придатних сільськогосподарських рослин.
The author solves the problem of modeling outbreaks of a species, which begins with the achievement of specific non-trivial state of a dynamic system. Population process is divided into a sequence of substantially different stages. The model simulates the effect of spontaneous transition from weak to acceleration fluctuations of reproductive activity followed by the phase of rapid spontaneous decay. To describe the transition between final stages of the outbreak, the method of controlled functional realization of metamorphoses of trajectory behavior is used. Differential equations are combined with predicative constructions in software environment. The original computational unit based on discrete-continuous time allows us to apply the scenario approach to the assessment of environmental situations. To study such discrete-continuous models, AnyLogic5 computing environment with support for language Java are used, where the developer can enter your own data types as interfaces.
|
| issn |
0023-1274 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142006 |
| citation_txt |
Моделирование резких изменений популяционной динамики с двумя пороговыми состояниями / А.Ю. Переварюха // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 4. — С. 145-154. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT perevarûhaaû modelirovanierezkihizmeneniipopulâcionnoidinamikisdvumâporogovymisostoâniâmi AT perevarûhaaû modelûvannârízkihzmínpopulâcíinoídinamíkizdvomaporogovimistanami AT perevarûhaaû simulationofabruptchangesinpopulationaldynamicswithtwothresholdstates |
| first_indexed |
2025-11-26T00:08:33Z |
| last_indexed |
2025-11-26T00:08:33Z |
| _version_ |
1850589409390362624 |
| fulltext |
ÓÄÊ 532.22
À.Þ. ÏÅÐÅÂÀÐÞÕÀ
ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÐÅÇÊÈÕ ÈÇÌÅÍÅÍÈÉ ÏÎÏÓËßÖÈÎÍÍÎÉ
ÄÈÍÀÌÈÊÈ Ñ ÄÂÓÌß ÏÎÐÎÃÎÂÛÌÈ ÑÎÑÒÎßÍÈßÌÈ1
Àííîòàöèÿ. Ðåøàåòñÿ çàäà÷à ìîäåëèðîâàíèÿ âñïûøêè ÷èñëåííîñòè áèîëî-
ãè÷åñêîãî âèäà, êîòîðàÿ íà÷èíàåòñÿ ñ äîñòèæåíèÿ îñîáîãî íåòðèâèàëüíîãî
ñîñòîÿíèÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû. Ïîïóëÿöèîííûé ïðîöåññ ðàçáèâàåòñÿ íà
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îòëè÷àþùèõñÿ îäíà îò äðóãîé ñòàäèé. Ìîäåëü èìèòè-
ðóåò ýôôåêò ñàìîïðîèçâîëüíîãî ïåðåõîäà îò ñëàáûõ ôëóêòóàöèé ÷åðåç ìàê-
ñèìèçàöèþ ðåïðîäóêòèâíîé ýôôåêòèâíîñòè ê ïðåâûøåíèþ ýêîëîãè÷åñêîé
åìêîñòè ñðåäû ñ ïîñëåäóþùåé ôàçîé áûñòðîãî ñïîíòàííîãî çàòóõàíèÿ ïðî-
öåññà. Äëÿ îïèñàíèÿ ïåðåõîäà ìåæäó çàêëþ÷èòåëüíûìè ñòàäèÿìè âñïûøêè
èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä êîíòðîëèðóåìîé ôóíêöèîíàëüíîé ðåàëèçàöèè ìåòàìîð-
ôîçîâ ïîâåäåíèÿ òðàåêòîðèè. Îðèãèíàëüíûé âû÷èñëèòåëüíûé àïïàðàò íà
îñíîâå äèñêðåòíî-íåïðåðûâíîé ñòðóêòóðû âðåìåíè ñ ïðåäèêàòèâíûìè êîí-
ñòðóêöèÿìè ïîçâîëÿåò ïðèìåíÿòü ñöåíàðíûé ïîäõîä ê îöåíêå ðàçâèòèÿ ýêî-
ëîãè÷åñêèõ ñèòóàöèé. Çíà÷èìîñòü ðåçóëüòàòîâ îáîñíîâàíà àíàëèçîì ñâåäå-
íèé î âñïûøêàõ ìåëêèõ íàñåêîìûõ âðåäèòåëåé, ïèòàþùèõñÿ íà îãðàíè÷åí-
íîì ÷èñëå ïðèãîäíûõ ðàñòåíèé è ñïîñîáíûõ ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ
âûõîäèòü èç-ïîä êîíòðîëÿ ïàðàçèòè÷åñêèõ íàåçäíèêîâ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìîäåëè ïîïóëÿöèé, ãèáðèäíûå âû÷èñëèòåëüíûå ñòðóêòóðû.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Àíàëèç ñòðåìèòåëüíûõ è íåîæèäàííûõ ñêà÷êîâ ÷èñëåííîñòè îòäåëüíûõ áèîëî-
ãè÷åñêèõ âèäîâ îñòàåòñÿ ìåæäèñöèïëèíàðíîé ïðîáëåìîé. Îäèí èç âàðèàíòîâ
ñêà÷êîîáðàçíîãî ðàçâèòèÿ ïðîöåññà îïèñàí â èçâåñòíîé êíèãå Þ. Îäóìà [1] íà
îñíîâå íàáëþäåíèé àâñòðàëèéñêèõ ýíòîìîëîãîâ çà âñïûøêàìè âðåäèòåëåé ýâêà-
ëèïòîâ. Ïðèìåð èíòåðåñåí òåì, ÷òî èñêëþ÷àåò â óñëîâèÿõ âå÷íîçåëåíîãî ëåñà
âëèÿíèå ñëó÷àéíûõ ïîãîäíûõ ôàêòîðîâ íà âûæèâàåìîñòü çèìóþùåãî ïîêîëå-
íèÿ. Ìîäåëèðîâàíèå ðàçìíîæåíèÿ ìîíîôàãîâ (ïñèëëèä, ïèòàþùèõñÿ òîëüêî íà
îäíîì âèäå ðàñòåíèé) âîçìîæíî ïðè ôîðìàëèçàöèè áèîòè÷åñêèõ ðåãóëèðóþùèõ
ìåõàíèçìîâ, ïðèâîäÿùèõ ê íàëè÷èþ äëÿ ïîïóëÿöèè îïðåäåëåííîé ÷èñëåííîñòè.
Îäíàêî òàêèå ïîðîãîâûå ñîñòîÿíèÿ íå äîëæíû áûòü ëåãêî ïîëó÷åíû èç ëþáîãî
äðóãîãî ñîñòîÿíèÿ ìîäåëè, èíà÷å âñïûøêè îäíîãî âèäà íàáëþäàëèñü áû ïîâñå-
ìåñòíî è ðåãóëÿðíî, à íå áûëè áû ëîêàëèçîâàííûìè è íåîæèäàííûìè. Â ãèïîòå-
çå Îäóìà èìåííî ïðåîäîëåíèå îêðåñòíîñòè íåóñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ çàïóñêàåò
ôàçó ñòðåìèòåëüíîãî óâåëè÷åíèÿ óäåëüíîãî ïðèðîñòà ÷èñëåííîñòè âðåäèòåëåé.
Ïðåäëàãàåìàÿ ìîäåëü îïàñíîãî ýêîëîãè÷åñêîãî ÿâëåíèÿ ñòðîèòñÿ íà äèôôåðåíöè-
ðîâàííîì îïèñàíèè ñèëû âîçäåéñòâèÿ áèîòè÷åñêèõ ôàêòîðîâ íà ðåïðîäóêòèâíóþ
àêòèâíîñòü â ðàçíûõ ñîñòîÿíèÿõ ïîïóëÿöèè. Ñòîõàñòè÷åñêèå ôëóêòóàöèè, õàðàê-
òåðíûå äëÿ ïîïóëÿöèé ñëàáî ïåðåìåùàþùèõñÿ íàñåêîìûõ, ïðåäëîæåíî èìèòè-
ðîâàòü ñïåöèôè÷åñêèì ðåæèìîì äåòåðìèíèðîâàííîãî òðàíçèòèâíîãî õàîñà.
ÏÅÐÅÕÎÄ ÎÒ ÃËÀÄÊÈÕ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈÉ Ê ÈÒÅÐÀÖÈÎÍÍÎÉ ÑÒÐÓÊÒÓÐÅ
Èñõîäÿ èç ýêîëîãè÷åñêîãî îïèñàíèÿ, íåîáõîäèìî íåÿâíî ó÷èòûâàòü âîçäåé-
ñòâèå ïàðàçèòè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà íà ïîïóëÿöèþ, ïðè÷åì ïîïóëÿöèÿ ïàðàçèòà
â äàííîì ñëó÷àå ïðåäñòàâëÿåò «÷åðíûé ÿùèê». Ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ÷èñëåí-
íîñòè ïîêîëåíèÿ ìîæíî îïèñàòü, íà÷èíàÿ îò èñõîäíîé ãåíåðàöèè N ( )0 , äèô-
ôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì, ðàçãðàíè÷èâàÿ â ïðàâîé ÷àñòè ôàêòîðû ìãíî-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 145
1
Ðàáîòà âûïîëíåíà â ðàìêàõ Ïðîåêòà ÐÔÔÈ ¹ 15-04-01226.
© À.Þ. Ïåðåâàðþõà, 2016
âåííîé ñìåðòíîñòè � è � . Èíòåðâàë ìåæäó ðåïðîäóêòèâíûìè öèêëàìè íåïðå-
ðûâíîãî âðåìåíè èìååò ôèêñèðîâàííóþ äëèíó [ , ]0 T . Ñëåäóÿ ïðåäñòàâëåíèÿì
îäíîé èç ïîïóëÿðíûõ ãèïîòåç áèîëîãè÷åñêîé áîðüáû ñ âðåäèòåëÿìè, ñîãëàñíî êî-
òîðîé ðåàêöèÿ ñïåöèàëèçèðîâàííûõ ïàðàçèòîâ îáóñëîâëåíà íà÷àëüíûì ñêîïëåíè-
åì îòëîæåííûõ ÿèö N ( )0 , çàïèøåì çàäà÷ó Êîøè äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà ïîëî-
âîçðåëûõ îñîáåé æåðòâ S , äîæèâàþùèõ äî ñëåäóþùåãî ìîìåíòà ðàçìíîæåíèÿ:
dN
dt
N N t t T� � � �( ( ) ) ( ), [ , ]� �0 0 . (1)
Ïðåäïîëîæèòåëüíî ìîäåëü ìîæåò îïèñûâàòü äåéñòâèå èíòðîäóêöèè íà ïîðàæåí-
íûé âðåäèòåëÿìè îïûòíûé ó÷àñòîê ïàðàçèòè÷åñêèõ íàåçäíèêîâ â ìîìåíò ìàññî-
âîé îòêëàäêè ÿèö ìîòûëüêàìè, îäíàêî âîçìîæíîñòü ñöåíàðèÿ âñïûøêè ïðè ââå-
äåíèè N ( )0 èñêëþ÷åíà èç ñëåäóþùèõ ñîîáðàæåíèé. Óðàâíåíèå èíòåãðèðóåì ïó-
òåì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ
dN
N N t
dt
N
N t
t N
N
N t
� �
� � �� �( ( ) ) ( )
, ln
( )
( )
( ( ) )
( )
� �
� �
0
0
0
0 0
è ïîëó÷àåì çàâèñèìîñòü îò íà÷àëüíîé ÷èñëåííîñòè: N t N et N( ) ( ) / ( ( ) )� �0 0� � .
Îáúåäèíÿÿ ÷åðåç ñðåäíþþ ïîïóëÿöèîííóþ ïëîäîâèòîñòü � ñ ðîäèòåëüñêèì ïîêî-
ëåíèåì S , âûðàçèì âåëè÷èíó íîâîé ðåïðîäóêòèâíîé ãåíåðàöèè f S( ) �
� �� �� �S T S/ exp( ( )); çàâèñèìîñòü N T f S( ) ( )� îïðåäåëèò êóïîëîîáðàçíóþ êðè-
âóþ, àñèìïòîòè÷åñêè ïðèáëèæàþùóþñÿ ê îñè àáñöèññ lim ( )
S
f S
��
� 0 . Ïåðåîïðåäå-
ëèì äëÿ êðàòêîñòè ïàðàìåòðû � � � ���� ��e TT , . Âåëè÷èíà f S Se S( ) � �� � èìååò
åäèíñòâåííûé ýêñòðåìóì � ��f S e SS( ) ( ),� �� 1 S max /�1 �, f S e( ) /max � � � .
 ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 1
n ïîêîëåíèé â âèäå ôóíêöèîíàëüíûõ èòåðàöèé
S S en n
S n
�
��1 � �
ñóùåñòâóåò íåòðèâèàëüíàÿ ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà S * ln /� � �.
Êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè òî÷êè ãëîáàëüíîãî àòòðàêòîðà | ( ) |* �f S 1 çàâèñèò îò îä-
íîãî ïàðàìåòðà: � �f S( ) ln* 1 �. Ïðè áèôóðêàöèîííîì çíà÷åíèè
� 1
2 1� � �e f S, ( )* â èòåðàöèÿõ f f f f S f Sn( ... ( ( )... )) ( )0 0� ëþáîé íà÷àëüíîé
òî÷êè S 0 ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå ïîâåäåíèÿ, ñâÿçàííîå ñî ñâîéñòâàìè êîìïîçèöèè
f f S f S( ( )) ( )� 2 , êîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ
df S
dS
d f S
dS
f f S f S f f S
2 2 2
2
21
( )
,
( )
( ( ))( ( )) ( ( ))
*
� � � f S( ).
Âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ äâîéíîé êîìïîçèöèè â ñòàöèîíàðíîé òî÷êå â êðèòè÷åñêèé
ìîìåíò èìååò âèä
d f S
dS
f S f S f S
2 2
2
1 0
( )
( ) ( )( ( ) )
*
* * *� � � . Ïðîèçâîäíàÿ
df S
dS
2 ( )
èìååò â S * ëîêàëüíûé ìàêñèìóì è
d f S
dS
2 2
2
( )
ìåíÿåò çíàê ïëþñ íà ìè-
íóñ, åñëè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
d f S
dS
3 2
3
0
( )*
� . Òîãäà ïî îáå ñòîðîíû îò áèñ-
ñåêòðèñû ïðè � �1 � ó âåëè÷èíû f S2 ( ) ìîãóò ïîÿâèòüñÿ íîâûå ñòàöèîíàðíûå
òî÷êè S S S1 2
* * *� � , à ó èñõîäíîé âåëè÷èíû f S( ) ïîÿâèòñÿ öèêë äëèíîé 2.
Äèôôåðåíöèàëüíûé èíâàðèàíò H — «ïðîèçâîäíàÿ Øâàðöà» [2] èìååò ñâîéñòâî
146 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
ñîõðàíÿòü çíàê ïðè âñåõ èòåðàöèÿõ g xn ( ): H g x
g x
g x
g x
g x
{ }( )
( )
( )
( )
( )
�
�
�
�
�
�
�
3
2
2
è
â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå H f S
d f S
dS
{ }2
3 2
3
( )
( )*
*
� . Äëÿ ïîëó÷åííîé èç (1) çà-
âèñèìîñòè H f S{ }( ) ñîõðàíÿåò âñþäó îòðèöàòåëüíûé çíàê:
H f S
S S
S
{ }( )
( )
,�
� � �
�
��
� �
�
2
2
2
4 6
2 1
0 S ��. Ïîýòîìó ó âñåõ êîìïîçèöèé f Sn2 ( ) áó-
äóò ïîÿâëÿòüñÿ ïàðû ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê, ðàñïîëîæåííûõ ñèììåòðè÷íî âîêðóã
êàæäîé òåðÿþùåé óñòîé÷èâîñòü S i
* . Èíòåðâàë ìåæäó ñîñåäíèìè áèôóðêàöèîííû-
ìè çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðà � � �1 2, ,� k k �� , áûñòðî ñîêðàùàåòñÿ, è ïðè çíà÷å-
íèè � ïåðèîä öèêëà ìîæíî ñ÷èòàòü áåñêîíå÷íûì (òðàåêòîðèÿ õàîòèçèðóåòñÿ).
Çà ïÿòü ëåò äî ïîÿâëåíèÿ òåîðèè óíèâåðñàëüíîñòè Ôåéãåíáàóìà ïîñëå òîãî,
êàê âîçíèêíîâåíèå öèêëîâ 2 i â âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòàõ áûëî îáíàðóæå-
íî â íåñêîëüêèõ äèñêðåòíûõ «ýêîëîãè÷åñêèõ» ìîäåëÿõ, ñëîæèëîñü íåîäíîçíà÷íî
ïðèíÿòîå ìíåíèå [3], ÷òî òàêèå ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà ìîãóò ôóíäà-
ìåíòàëüíûì îáðàçîì ñîîòâåòñòâîâàòü ïîïóëÿöèîííûì ôëóêòóàöèÿì, â òîì ÷èñëå
àïåðèîäè÷åñêèì. Îòìåòèì, ÷òî öèêëû ïîìèìî äëèíû ðàçëè÷àþòñÿ âçàèìíûì
ðàñïîëîæåíèåì òî÷åê. Íà ðèñ. 1 äàí ãðàôèê òèïè÷íûõ ÷åòûðåõëåòíèõ öèêëè÷åñ-
êèõ êîëåáàíèé ïîïóëÿöèè ãðûçóíà Myodes rufocanus ñóáàðêòè÷åñêîé çîíû èç ðà-
áîòû [4], ãäå çâåçäî÷êàìè îáîçíà÷åíû ãîäû ïèêîâûõ çíà÷åíèé ÷èñëåííîñòè ïî-
ëåâêè, è öèêëà ôóíêöèîíàëüíûõ èòåðàöèé ïîñëå óäâîåíèÿ ïåðèîäà 21 1� . Äëÿ êà-
÷åñòâåííîãî ñîîòâåòñòâèÿ öèêëè÷åñêèå òî÷êè S 2
* è S 3
* ñëåäîâàëî áû ïîìåíÿòü
ìåñòàìè ïðè îáõîäå öèêëà, íî îïèñàííûå ïðè÷èíû áèôóðêàöèé óäâîåíèÿ íå ïî-
çâîëÿò íàðóøèòü èõ ðàñïîëîæåíèå.
ÒÐÈÃÃÅÐÍÎÅ ÄÎÏÎËÍÅÍÈÅ Â ÍÎÂÎÉ ÁÈÑÒÀÁÈËÜÍÎÉ ÌÎÄÅËÈ
Îïûò ìîäåëèðîâàíèÿ ýêñïëóàòàöèè ðûáíûõ ïîïóëÿöèé ñâèäåòåëüñòâóåò î ïðåä-
ïî÷òèòåëüíîì èñïîëüçîâàíèè ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ÷èñëåííî
ðåøàåìûõ íà èíòåðâàëå âðåìåíè, íàä ìîäåëÿìè â âèäå èòåðàöèé ôóíêöèé, äàæå
åñëè îíè ïîëó÷åíû èíòåãðèðîâàíèåì [5]. Ïî-íàøåìó ìíåíèþ, ëó÷øå îïåðèðî-
âàòü íåïîñðåäñòâåííûìè áèîëîãè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè (ïëîäîâèòîñòü, âîç-
ðàñò ñîçðåâàíèÿ è äð.), ÷åì ñëîæíî îöåíèâàåìûìè òàêèìè àáñòðàãèðîâàííûìè
âåëè÷èíàìè, êàê «ðåïðîäóêòèâíûé ïîòåíöèàë», åìêîñòü ýêîëîãè÷åñêîé íèøè,
äàâëåíèå ôàêòîðîâ ñðåäû, êîòîðûå äåëàþò ïðîòèâîðå÷èâûì ïîâåäåíèå ðÿäà èç-
âåñòíûõ èõòèîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé.  èòåðàöèÿõ S S en n
S n
�
��1 � �
ïàðàìåòð �
îòðàæàåò òîëüêî ðåïðîäóêòèâíûé ïîòåíöèàë, íî â åãî èçíà÷àëüíî ýêîëîãè÷åñ-
êîì ñìûñëå âõîäèò ñîñòàâëÿþùàÿ e T� � .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 147
Ðèñ. 1. Ãðàôèê öèêëà 22 â ðåøåíèè (1) è ðåàëüíîé 4-ëåòíåé öèêëè÷íîñòè ïîïóëÿöèè ïîëåâêè
0 50 100 150 200 250
250
200
150
100
50
50
40
30
20
10
0
1935 1940 1945 1950 1955 1960 1965
Ãîä
à á
t
* * * * * * *
Ïîêîëåíèÿ, S N �102
Ïîëîæèì, ñêîðîñòü âåñîâîãî ïðèðîñòà îáðàçóþùèõ êîëîíèè íåïîëîâîçðå-
ëûõ äðåâåñíûõ ôèòîôàãîâ ëèìèòèðîâàíà îáèëèåì ìåäëåííî âîçîáíîâëÿåìîãî
ðåñóðñà q , ñ óâåëè÷åíèåì ÷èñëà ïîòðåáèòåëåé N çàìåäëÿåòñÿ � �w t N( ) ( )� 1 .
Óðàâíåíèå ðàçìåðíîãî ðàçâèòèÿ íèìô îïèøåì îáðàòíîé äðîáíî-ñòåïåííîé
çàâèñèìîñòüþ ñ ïîïðàâêîé :
dw
dt
q
N t
�
�( ( ) ) 23
. (2)
Èç ïðàâîé ÷àñòè (1) èñêëþ÷èì êîìïîíåíò N ( )0 è ìîäèôèöèðóåì ýòî óðàâíå-
íèå ñ ó÷åòîì óâåëè÷åíèÿ ïîòðåáëåíèÿ ðåñóðñà:
dN
dt
w t N t N t� � �� �( ) ( ) ( )2 . (3)
Îáúåäèíèâ ñècòåìó (2) ñ óðàâíåíèåì (3), ïóòåì âû÷èñëåíèÿ ìîæíî ïîëó-
÷èòü êðèâóþ ñ îäíèì ïîëîãèì ìàêñèìóìîì, îòëè÷íîé îò íóëÿ àñèìïòîòîé
L S� 2 3/ ( )max
è ïðèìåíÿòü ìîäåëü, ïåðåîïðåäåëÿÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (3) íà
êîíöàõ íåïðåðûâíûõ ïðîìåæóòêîâ: N Sn n� �1 0( ) � , ãäå �, ( )w 0 � const — ýâîëþ-
öèîííî ñëîæèâøèåñÿ ñòàáèëüíûå õàðàêòåðèñòèêè äëÿ ïîïóëÿöèé. Òàêèì ìåòî-
äîì ïîëó÷èì äèñêðåòíóþ èòåðàöèîííóþ òðàåêòîðèþ, ãäå ðîëü îïåðàòîðà ýâîëþ-
öèè ñ íåçíàêîïîñòîÿííûì H âûïîëíÿåò ÷èñëåííîå ðåøåíèå ñèñòåìû äèôôåðåí-
öèàëüíûõ óðàâíåíèé íà ïðîìåæóòêå âðåìåíè æèçíåííîãî öèêëà.
Îáîñíîâàííîå ðàçâèòèå ïîäõîäà ïðåäñòàâèì íåïðåðûâíî-ñîáûòèéíîé ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòüþ, ãäå èçìåíåíèÿ ïðîèñõîäÿò ïî äîñòèæåíèè îñîáûõ óñëîâèé
âíóòðåííèõ ïåðåìåííûõ ñèñòåìû. Ðåàëèçîâàòü ïðåäèêàòèâíóþ ñòðóêòóðó âîç-
ìîæíî ñ ïðèìåíåíèåì ìåòîäîâ ñîâðåìåííîé òåîðèè ãèáðèäíûõ ñèñòåì [6]. Èõ
ïðåèìóùåñòâî ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: åñëè ïðåäñòàâèòü ñëîæíóþ ñêà÷êîîáðàçíóþ
ýâîëþöèþ ïðîöåññà â âèäå ãðàôà ñ ïåðåõîäàìè, òî ãèáðèäíàÿ ñèñòåìà ìîæåò ðàñ-
ñìàòðèâàòü ïåðåõîäû íå ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè, à ìåæäó ïîâåäåíèÿìè — äîïóñòèìû-
ìè ðàçíîâèäíîñòÿìè ïðîöåññà. Íåäîñòàòî÷íî ïðåäëîæèòü ñïîñîá ìîäåëèðîâàíèÿ
èçìåíåíèé ïî õîäó æèçíåííîãî öèêëà. Íåîáõîäèìî îïèñàòü îñîáûì îáðàçîì â ìî-
äåëè äåéñòâèå âíîñÿùèõ íåëèíåéíîñòü ýêîëîãè÷åñêèõ ýôôåêòîâ, íàáëþäàåìûõ
â ïîïóëÿöèîííîé äèíàìèêå.
Ïîâûøåíèå ÷èñëåííîñòè ïîêîëåíèé ïðèâîäèò ê èñ÷åðïàíèþ ðåñóðñîâ, ÷òî
îáû÷íî âåäåò ê ïëàâíîìó çàìåäëåíèþ òåìïà ðîñòà ïîïóëÿöèè è ñòàáèëèçàöèè, íî
äëÿ âðåäèòåëåé ëåñà áîëåå ïðàâäîïîäîáíà ôàçà ñòðåìèòåëüíîãî ñíèæåíèÿ ÷èñ-
ëåííîñòè. Ðåïðîäóêòèâíûé ïðîöåññ ïðè íèçêîé ëîêàëüíîé ÷èñëåííîñòè àíàëî-
ãè÷íî èìååò ñâîè íåëèíåéíûå îñîáåííîñòè.  ïîïóëÿöèîííîé ýêîëîãèè øèðîêî
îáñóæäàåòñÿ äåéñòâèå «ýôôåêòà àãðåãèðîâàííîé ãðóïïû» îñîáåé ïî äàííûì ðàç-
ëè÷íûõ íàáëþäåíèé [7].  íàèáîëåå ìàëî÷èñëåííûõ ãðóïïàõ ýôôåêòèâíîñòü
âîñïðîèçâîäñòâà áóäåò íåïðîïîðöèîíàëüíî ñíèæàòüñÿ, ÷òî ïðèâîäèò ê íàëè÷èþ
êðèòè÷åñêè íèçêîãî ñîñòîÿíèÿ ïîïóëÿöèè.
 óðàâíåíèè óáûëè (1) èìåþò ìåñòî äâà êîýôôèöèåíòà ñìåðòíîñòè, íåïîñðåä-
ñòâåííî çàâèñÿùåãî � è íåçàâèñèìîãî � îò ïëîòíîñòè ïîïóëÿöèè.  (3) � ó÷èòûâà-
åò âëèÿíèå èñ÷åðïàíèÿ íåîáõîäèìûõ ðåñóðñîâ ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ ïèùåâûõ ïî-
òðåáíîñòåé íèìô. Ïðè íèçêîé ïëîòíîñòè äîñòèãøèõ ñòàäèè ðàçìíîæåíèÿ èìàãî
S öåëåñîîáðàçíî ó÷èòûâàòü ïîòåðè âîñïðîèçâîäñòâà íà ñòàäèè t � 0. Äîïîëíèì �
â (3) òðèããåðíûì ôóíêöèîíàëîì
� � �( ) exp ( ), lim ( ) , ( )S S S
S
� � � � �
��
1 1 0 22� , (4)
ãäå �� 1 îòðàæàåò ñòåïåíü âûðàæåííîñòè ýôôåêòà. Óáûâàþùèé ôóíêöèîíàë
áûñòðî ñòðåìèòñÿ ê åäèíèöå è äàëåå íå âëèÿåò íà âû÷èñëåíèå N T( ) ïðè ÷èñ-
ëåííîñòè ïðîäóöèðóþùèõ ïîêîëåíèå èìàãî, êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò ñðåäíåìíî-
ãîëåòíåìó îïòèìóìó. Çàâèñèìîñòü ñ ó÷åòîì (4) ïîëó÷èò äîïîëíèòåëüíîå ïåðå-
ñå÷åíèå ñ áèññåêòðèñîé, êîòîðîå ñòàíåò äëÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû íåóñòîé÷è-
148 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
âûì îòòàëêèâàþùèì ðàâíîâåñèåì S R , à òî÷êà íà÷àëà êîîðäèíàò (0, 0)
ïðèîáðåòåò óñòîé÷èâîñòü: � � �
��
S S SR
t
tlim ( ){ }
0.
ÏÐÎÃÐÀÌÌÍÎ-ÂÛ×ÈÑËÈÒÅËÜÍÀß ÑÒÐÓÊÒÓÐÀ ÌÎÄÅËÈ
Ðàññìàòðèâàåìûé íèæå ïîäõîä ó÷èòûâàåò, ÷òî æèçíåííûé öèêë âðåäèòåëÿ
âêëþ÷àåò ìåòàìîðôîçû ìåæäó ñòàäèÿìè ñ ðàçíûìè ôèçèîëîãè÷åñêèìè è ýêî-
ëîãè÷åñêèìè îñîáåííîñòÿìè.  ðàáîòàõ î ïðè÷èíàõ âñïûøåê èçíà÷àëüíî ìàëî-
÷èñëåííîãî íàñåêîìîãî îòìå÷àåòñÿ, ÷òî äëÿ êàæäîé ñòàäèè öèêëà òðåáóþòñÿ
îïðåäåëåííûå ðåñóðñû è íàëè÷èå ñïåöèôè÷åñêèõ õèùíèêîâ. Ñîâðåìåííûå âû-
÷èñëèòåëüíûå ñðåäñòâà ïîçâîëÿò ðåàëèçîâàòü êîíöåïöèþ ñòóïåí÷àòîãî îïèñà-
íèÿ äèíàìèêè ïîêîëåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî ñòàäèÿì òèïè÷íîãî âðåäèòåëÿ ñ íå-
ïîëíûì öèêëîì ïðåâðàùåíèé: ÿéöà, íèìôû, èìàãî.
Ïîäõîä çàêëþ÷àåòñÿ â ïîñòðîåíèè àëãîðèòìà âûäåëåíèÿ ìåòàìîðôîçà êàê ñî-
áûòèÿ, îáóñëîâëåííîãî äîñòèæåíèåì îñîáîãî ñîñòîÿíèÿ â ïðîñòðàíñòâå ïåðåìåí-
íûõ íåïðåðûâíîé ìîäåëè. Äèñêðåòíûå ìîìåíòû ñîáûòèé ðàçáèâàþò âðåìÿ íà ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòü êàäðîâ, â êîòîðûõ èçìåíÿåòñÿ ñêîðîñòü óáûëè òåêóùåé ÷èñëåí-
íîñòè ïîêîëåíèÿ. Ñèñòåìó ñ äèíàìè÷åñêè ïåðåîïðåäåëÿåìîé ïðàâîé ÷àñòüþ
ïîñòðîèì íà îñíîâå ìîäèôèêàöèé (3) ïðè óñëîâèè çàâåðøåíèÿ àêòèâíîñòè êàæäîé
èç ôîðì ïðàâîé ÷àñòè:
dN
dt
w t N t N t t
N t w N t�
� � �
� �
( ( ) ( ) ) ( ), ,
( ) / ( ) ( ),
� � �
� � �
1
2
�
� t
w t N t N t w t w
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
,
( ) ( ) ( ), ( ) ,3 3
(5)
ãäå � � 0 2. T — äëèòåëüíîñòü ïåðâîé ñòàäèè ñ ýíäîãåííûì ïèòàíèåì. Äàëåå ìî-
äåëü îïèñûâàåò âûæèâàåìîñòü ñòàäèè, ãäå äîñòèãíóòûé ïîêàçàòåëü ðàçâèòèÿ
w( )� óìåíüøàåò ñìåðòíîñòü, êîòîðàÿ ïðîäîëæàåòñÿ ïî äîñòèæåíèè ïîðîãîâîãî
óðîâíÿ w3 . Â óðàâíåíèå äëÿ ñòàðøåé ñòàäèè ðàçâèòèÿ ââåäåíî íåáîëüøîå çà-
ïàçäûâàíèå
�� . Ñîãëàñíî óñëîâèÿì çàäà÷è äîïóñòèìî, ÷òî èíòåðâàë äåéñòâèÿ
ôàêòîðîâ ñìåðòíîñòè, çàâèñÿùèõ îò ïëîòíîñòè, íå ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííûì è ñïî-
ñîáåí ðàñøèðÿòüñÿ. Âåðîÿòíîñòü ãèáåëè äëÿ ñîâåðøåííî ðàçíûõ áèîëîãè÷åñ-
êèõ îáúåêòîâ ìîæåò ðåçêî èçìåíÿòüñÿ, â òî æå âðåìÿ äëèòåëüíûé ïåðèîä ìî-
æåò íå çàâèñåòü îò âîçðàñòà.
Ìîäåëü ðàññ÷èòàíà íà ïðèìåíåíèå ñîâðåìåííûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ñðåäñòâ,
âêëþ÷àþùèõ áèáëèîòåêè ïðîèçâîäèòåëüíûõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ñ ïåðåìåííûì
øàãîì èíòåãðèðîâàíèÿ. Àëãîðèòìè÷åñêàÿ ðåàëèçàöèÿ íåïðåðûâíî-ñîáûòèéíîé
ñòðóêòóðû âû÷èñëèòåëüíîé ìîäåëè èñïîëüçóåò îïåðàòîðû âåòâëåíèÿ ÿçûêà ïðî-
ãðàììèðîâàíèÿ è ñòðóêòóðû èíêàïñóëÿöèè äàííûõ äëÿ ðåàëèçàöèè äèñêðåò-
íî-íåïðåðûâíîãî âðåìåíè. Ìîäåëü ïðåäñòàâëÿåòñÿ êîíå÷íûì ìíîæåñòâîì ðåæè-
ìîâ èçìåíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ è ïåðåõîäîâ ìåæäó íèìè. Ïåðåõîäàì ñîîòâåòñòâóþò
óñëîâèå çàâåðøåíèå àêòèâíîñòè è ïðàâèëî ïåðåîïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé
äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè íà ñëåäóþùåì êàäðå âðåìåíè (â ñëó÷àå öèêëà ðàçìíî-
æåíèÿ ïñèëëèä T � 45 ñóò.) ñ âûáðàííûì âèäîì ïðàâîé ÷àñòè.
Ãèáðèäíîå âðåìÿ ôîðìàëèçóåòñÿ â âèäå ìóëüòèìíîæåñòâà êîðòåæåé, êîòî-
ðîå ïîçâîëÿåò ðåàëèçîâàòü ýôôåêò ñîáûòèéíîñòè ïðè óïðàâëåíèè èçìåíåíèåì
íåïðåðûâíîãî ïðîöåññà. Ãèáðèäíîå âðåìÿ õðàíèòñÿ â âèäå ñòðóêòóðû äàííûõ:
� � �= { }
n
n n n nR t t L� _ , [ , ], _�1 ,
ãäå R Ln n_ , _� � — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âûäåëÿåìûõ ñîáûòèé ñ ìãíîâåííîé äëè-
òåëüíîñòüþ, îãðàíè÷èâàþùèå ñïðàâà è ñëåâà èíòåðâàëû íåïðåðûâíîãî âðåìåíè.
 íåêîòîðûé âûäåëÿåìûé ìîìåíò ãèáðèäíîãî âðåìåíè ïðîèñõîäèò ïåðåîïðåäå-
ëåíèå íà÷àëüíûõ óñëîâèé äëÿ ðàñ÷åòà çàäà÷è Êîøè íà ñëåäóþùåì â ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè êàäðå íåïðåðûâíîãî âðåìåíè. Ïîâåäåíèå ãèáðèäíîé ñèñòåìû ïðåäñòàâëÿåòñÿ
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 149
íåïðåðûâíûì èçìåíåíèåì ñîñòîÿíèÿ è äèñêðåòíûìè ñîáûòèÿìè, ïåðåîïðåäåëÿþ-
ùèìè ðàçâèòèå ïðîöåññà [8], ÷òî îòëè÷àåòñÿ îò ïîäõîäà, èñïîëüçîâàííîãî â [9], íî
ôàêòè÷åñêè ÿâëÿåòñÿ òåõíîëîãè÷åñêèì ðàçâèòèåì èäåé Â.À. Êîñòèöèíà èç [10].
 ðàññìàòðèâàåìîì ìåòîäå íà îñíîâå òàéìèðîâàííîãî ãèáðèäíîãî àâòîìàòà
ïåðåêëþ÷åíèå ðåàëèçóåòñÿ ìåæäó ðåæèìàìè èçìåíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ. Ðåæèìàì èç-
ìåíåíèÿ ñîïîñòàâëåí íàáîð ôîðì ïðàâîé ÷àñòè ñèñòåìû óðàâíåíèé èç (2), àëãî-
ðèòì êîíòðîëÿ ïðåäèêàòîâ îïðåäåëÿåò âûáîð ðåøàåìîé â äàííûé ìîìåíò çàäà÷è
Êîøè ñ èíèöèàëèçàöèåé íîâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Èíòåðâàë ðàçâèòèÿ âðåäèòå-
ëÿ ðàçäåëåí íà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êàäðîâ ãèáðèäíîãî ìîäåëüíîãî âðåìåíè.
Àëãîðèòìè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ìîäåëè ðåàëèçóåòñÿ íà îñíîâå àâòîìàòà ñ òàé-
ìèðîâàííûìè è ïðåäèêàòèâíûìè ïåðåõîäàìè. Ìíîæåñòâî ðåøåíèé çàäà÷ Êîøè
äëÿ äîïóñòèìûõ S Z� � îïðåäåëèò èíòåðåñóþùóþ íàñ çàâèñèìîñòü.
Èññëåäîâàíèå ïîäîáíûõ äèñêðåòíî-íåïðåðûâíûõ ìîäåëåé ìîæíî îñóùå-
ñòâëÿòü â èíñòðóìåíòàëüíîé âû÷èñëèòåëüíîé ñðåäå Rand Model Designer (RMD).
Ïðîãðàììíûé êîä âûïîëíÿåìîé ìîäåëè â RMD ãåíåðèðóåòñÿ íà îñíîâå âõîäíîãî
ÿçûêà çàïèñè ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, âèçóàëüíûõ äèàãðàìì äëÿ îïèñàíèÿ ñòðóê-
òóðû, êà÷åñòâåííûõ èçìåíåíèé ïîâåäåíèÿ ìîäåëèðóåìîé ñèñòåìû è àâòîìàòè-
÷åñêè êîìïèëèðóåòñÿ. Ýòî îáóñëîâëèâàåò âûñîêóþ ïðîèçâîäèòåëüíîñòü ïðè ïðî-
âåäåíèè óïðàâëÿåìûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Âõîäíîé ïàñêàëåîáðàç-
íûé àëãîðèòìè÷åñêèé ÿçûê ñðåäû ïîçâîëÿåò ôîðìèðîâàòü ìîäåëü ïðîöåññà èç
àëãåáðàè÷åñêèõ èëè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.
ÂÛ×ÈÑËÈÒÅËÜÍÛÉ ÀÍÀËÈÇ ÏÅÐÅÎÏÐÅÄÅËßÅÌÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
Èññëåäîâàííàÿ â èíñòðóìåíòàëüíîé ñðåäå AnyLogic5 äèñêðåòíàÿ äèíàìè÷åñêàÿ
ñèñòåìà, îðãàíèçîâàííàÿ êàê S S S N Tn n� � �1
( ), ( ), ïðîäåìîíñòðèðîâàëà èí-
òåðåñíûå äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ïîïóëÿöèîííîé çàäà÷è õàðàêòåðèñòèêè ôàçîâî-
ãî ïîðòðåòà, òàê êàê êðèâàÿ çàâèñèìîñòè èìååò ëîêàëüíûå ýêñòðåìóìû, ìàêñè-
ìóì, ìèíèìóì è ÷åòûðå ñòàöèîíàðíûå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñ áèññåêòðèñîé êî-
îðäèíàòíîãî óãëà S S�
( ).
Ñâîéñòâà çàâèñèìîñòè ïðèâîäÿò ê òîìó, ÷òî ïåðâûå òðè ñòàöèîíàðíûå òî÷êè
S S S SR R R
1 2 3
, , *� íåóñòîé÷èâû. Ñîõðàíÿþò êà÷åñòâî ïðèòÿæåíèÿ íóëåâîå ðàâíî-
âåñèå è óñòîé÷èâàÿ ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà S * . Ãðàíèöåé îáëàñòåé ïðèòÿæåíèÿ� 0 è
� S ñîãëàñíî ðèñ. 1 ÿâëÿåòñÿ ïåðâàÿ ñòàöèîíàðíàÿ (ðåïåëëåðíàÿ) òî÷êà S R
1
. Ïîâå-
äåíèå äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé S S SR R
0 2 3
�( , ) îòëè÷àåòñÿ îò
èòåðàöèé Ôåéãåíáàóìà, ãäå òðàåêòîðèÿ ìîæåò ïðèòÿãèâàòüñÿ ê òî÷å÷íîìó àò-
òðàêòîðó â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé ïàðàìåòðà — ìîíîòîííî ëèáî ñ çàòóõàþùè-
ìè îñöèëëÿöèÿìè [11].
Ó ïîëó÷åííîé ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè âûäåëÿåòñÿ èíòåðâàë ( , )d d1 2 �
� [ , ]S S R
1
3
2
,
( ) ( )d d S R
1 2 3
� � , êîòîðûé èìååò ñâîéñòâî � �S d d( , )1 2 :
( )S S R�
3
,
è ìíîæåñòâî òî÷åê èíòåðâàëà A1 ìîíîòîííî ïðèòÿãèâàþòñÿ ê S * ïðè ïåðâîé èòå-
ðàöèè. Ïîä äåéñòâèåì ñëåäóþùåé èòåðàöèè íåêîòîðûå íà÷àëüíûå òî÷êè
S S d d SR R
0 1 1 2 2
� �( , ) ( , ) ïîêèäàþò èíòåðâàë, îíè ñîñòàâëÿþò ìíîæåñòâî A2 �
� � �{ }S S S S R RR R R, [ , ], ( )
1 2
2
3
. Ñóùåñòâóåò èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî òî÷åê
�
�
�
[ , ] \S S AR R
n
n1 2
1
� , íå ïîêèäàþùèõ èíòåðâàë ïîä äåéñòâèåì ôóíêöèîíàëüíûõ
èòåðàöèé, è îíî îáëàäàåò ñòðóêòóðîé, àíàëîãè÷íîé êðèòè÷åñêîìó êàíòîðîâñêîìó
àòòðàêòîðó [12]. Ýòî ïðèâîäèò ê íàáëþäåíèþ âðåìåííîãî àïåðèîäè÷åñêîãî äâè-
æåíèÿ äëÿ íà÷àëüíîé òî÷êè S 0 ! .
150 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
Ïîñêîëüêó max ( )
S S R�
3
, êàæäàÿ èç äâóõ íåóñòîé÷èâûõ ñòàöèîíàðíûõ òî-
÷åê èìååò ïî äâå íåïîñðåäñòâåííûå òî÷êè ïðîîáðàçà, êîòîðûå ïîä äåéñòâèåì îä-
íîé èòåðàöèè
�1 ( )R äîëæíû îòîáðàçèòüñÿ â S R
3
èëè â S R
2
. Ó îäíîé èç òî÷åê
ïðîîáðàçîâ
� �1
3 2 3
( ) ( , )S S RR R R áóäåò òðè òî÷êè ïðîîáðàçà
�2
3
( )S R . Î÷åâèäíî,
÷òî äàëåå ôîðìèðóåòñÿ çàìêíóòîå ìíîæåñòâî âñåõ ïðîîáðàçîâ { }
� �n RS( )
2
� �{ }
n RS( )
3
, íå ïðèíàäëåæàùèõ îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ àòòðàêòîðà S *, ÷òî äåëàåò
îáëàñòü ïðèòÿæåíèÿ� S íåñâÿçíûì ïîäìíîæåñòâîì. Òðàåêòîðèÿ
n S( )0 , S 0 !",
èñïûòûâàåò àïåðèîäè÷åñêèå ôëóêòóàöèè. Ãåíåðàöèÿ òðàíçèòèâíîãî õàîñà ïî òåð-
ìèíîëîãèè [13] ïðîèñõîäèò íà îãðàíè÷åííîì ñâåðõó óðîâíå ÷èñëåííîñòè
j RS S( ) ( )0 3
� è êîíå÷íà ïî ïðîäîëæèòåëüíîñòè.
Ðåæèìû ïåðåõîäíîãî èëè «òðàíçèòèâíîãî» õàîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ïðåðû-
âàþòñÿ ïñåâäîñòàáèëèçàöèåé, êîãäà òðàåêòîðèÿ îêàçûâàåòñÿ â áëèçêîé òî÷êå íå-
óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ
n RS S� �1
3
( ) , íî íåçíà÷èòåëüíûå ïîãðåøíîñòè íàðàñ-
òàþò ïðè èòåðàöèÿõ è áóäóò âûòàëêèâàòü òðàåêòîðèþ èç åãî �-îêðåñòíîñòè âíèç.
Îäíî èç ïðèáëèæåíèé ê ïðîîáðàçó
�1
3
( )S R íà íåêîòîðîé èòåðàöèè j çàâåðøèòñÿ
ðåçêèì ïðåâûøåíèåì ïîðîãîâîãî çíà÷åíèÿ. Òðàåêòîðèÿ îêàæåòñÿ â íåïðåðûâíîé
÷àñòè îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ S * è áûñòðî ïðèòÿãèâàåòñÿ ê óñòîé÷èâîìó ðàâíîâå-
ñèþ, õàðàêòåðèçóþùåìó ñîñòîÿíèå ïîïóëÿöèè ïðè âûñîêîé ÷èñëåííîñòè. Ðàçâè-
òèþ âñïûøêè íå áóäåò ïðåäøåñòâîâàòü èíòåðâàë âèäèìîé ñòàáèëèçàöèè íà ïðåä-
ïîðîãîâûõ çíà÷åíèÿõ, êîòîðûé ìîæíî áûëî áû ñâîåâðåìåííî âûÿâèòü.
Ïðîäîëæèòåëüíîñòü ôëóêòóàöèé j â äåòåðìèíèðîâàííîé ìîäåëè èçìåíÿåòñÿ îò
âûáîðà S 0 , à â ðåàëüíûõ óñëîâèÿõ îò ñî÷åòàíèé ôàêòîðîâ ñðåäû.
Äèíàìèêà ïîïóëÿöèè íàñåêîìîãî â ïåðèîä âñïûøêè îòëè÷àåòñÿ òåì, ÷òî, äîñ-
òèãíóâ ñîñòîÿíèÿ íàèáîëåå ýôôåêòèâíîãî âîñïðîèçâîäñòâà, îíà íå ìîæåò çàäåð-
æàòüñÿ â íåì íà ïðîäîëæèòåëüíîå âðåìÿ ââèäó óæå íà÷àâøåéñÿ äåôîëèàöèè ëåñà.
Íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü âîçíèêàþùèé äåôèöèò ðåñóðñîâ äëÿ âûëóïëèâàþùèõñÿ
ëè÷èíîê. Îïèøåì ñíèæåíèå ðåïðîäóêòèâíîé àêòèâíîñòè, èñïîëüçóÿ îñîáåííîñòè
ðàçðàáîòàííîé íåïðåðûâíî-ñîáûòèéíîé ìîäåëè (5). Èçìåíåíèå �1 ðåàëèçóåò êðàò-
êî îïèñàííóþ â ðàáîòàõ Ì. Ôåéãåíáàóìà áèôóðêàöèþ óäâîåíèÿ ïåðèîäà â ìîìåíò
| ( ) |* �f S 1. Â äèñêðåòíûõ ôóíêöèîíàëüíûõ èòåðàöèÿõ âîçìîæíû òðè òèïà áè-
ôóðêàöèé, êîòîðûå ìîãóò áûòü êàê ïðÿìûìè, òàê è âîçâðàòíûìè [14]. Äëÿ îïèñà-
íèÿ çàâåðøàþùåãî ýòàïà ðàçâèòèÿ âñïûøêè ïîïóëÿöèè íàñåêîìîãî ïðåäëàãàåì ðå-
àëèçîâàòü âîçâðàòíóþ êàñàòåëüíóþ áèôóðêàöèþ (backward tangent bifurcation)
â ìîìåíò, êîãäà N f Si
R� ( )
3
.  ýòîì ñëó÷àå ñíà÷àëà S R
3
è S * ñîëüþòñÿ â îäíó ñòà-
öèîíàðíóþ òî÷êó, êîòîðàÿ çàòåì èñ÷åçíåò, îñòàâëÿÿ S R
1
è S R
2
.
Âîñïîëüçóåìñÿ ïîäõîäîì, àíàëîãè÷íûì ôóíêöèîíàëó � ïî ðåàëèçàöèè, íî
çåðêàëüíûì ïî ñìûñëó. Ðåàëèçîâûâàòü öåëåâîå òîïîëîãè÷åñêîå èçìåíåíèå íåîáõî-
äèìî íà÷èíàòü ïëàâíî ïðè íàõîæäåíèè òðàåêòîðèè â îêðåñòíîñòè ðàâíîâåñèÿ. Äëÿ
ýòîãî ïðåäñòàâëÿåòñÿ ýôôåêòèâíûì äîïîëíèòü âòîðîé âàðèàíò ïðàâîé ÷àñòè (5)
ôóíêöèîíàëîì �1#.  ñëó÷àå, åñëè ìåëêèå âèäû íàñåêîìûõ îòíîñÿòñÿ ê âûñàñû-
âàþùèì äðåâåñíûå ñîêè, òî ýòîò âèä ÿâëÿåòñÿ çàâèñÿùèì îò êîëè÷åñòâà äîæèâ-
øèõ äî ïåðâîãî ìåòàìîðôîçà îñîáåé N ( )� è ðåçêî âîçðàñòàâþùèì îò åäèíè÷íîãî
çíà÷åíèÿ ïðè íååñòåñòâåííîì îáèëèè âðåäèòåëåé. Ôóíêöèîíàë # áóäåì âûáè-
ðàòü ïîäîáíûì ôîðìå ñèãìîâèäíîé êðèâîé:
# #( ( )) , lim ( ( ))
( )
( ) ( )
N
l c
N
c
c N
c N N
� �
�
� �
� �
�
� �
��
1 1
11
1
2
e
e 2
, (6)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 151
ãäå ïàðàìåòð ñ2 1� õàðàêòå-
ðèçóåò ñòðåìèòåëüíîñòü èñ-
÷åðïàíèÿ ðåñóðñîâ, l� �2 103
âàðüèðóåò óðîâåíü ÷èñëåí-
íîñòè, ïðè êîòîðîì ýôôåêò
íà÷íåò çàìåòíî ïðîÿâëÿòüñÿ.
Ïðè S S� * çàâèñèìîñòü âî-
ñïîëíåíèÿ ïîêîëåíèé ïðèîá-
ðåòåò âèä, ãðàôè÷åñêè ïðåä-
ñòàâëåííûé íà ðèñ. 2 (ïî îñè
àáñöèññ — ÷èñëî èñõîäíûõ
ïîëîâîçðåëûõ îñîáåé, ïî îñè
îðäèíàò — ÷èñëåííîñòü
âíîâü ïðîäóöèðóåìîãî ïîêî-
ëåíèÿ â ñðàâíåíèè ñ áèññåêò-
ðèñîé êîîðäèíàòíîãî óãëà; � � � �06 10 12. , � � 260, � �2 3 10 4. )� � , c àñèìïòîòè÷åñ-
êè âîñõîäÿùåé ïðàâîé âåòâüþ è ýêñòðåìóìàìè S max è S min .
Âîçâðàòíàÿ êàñàòåëüíàÿ áèôóðêàöèÿ ðåäóöèðóåò ÷èñëî ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê,
ïðè ýòîì ñäâèãàåòñÿ ïîëîæåíèå ýêñòðåìóìîâ çàâèñèìîñòè. Èçâåñòíî ñóùåñòâîâà-
íèå äëÿ äèñêðåòíûõ èòåðàöèé òðåõ òèïîâ àòòðàêòîðîâ. Â ðàáîòàõ ïî òåîðèè ðå-
íîðìàëèçàöèè èññëåäîâàí ñöåíàðèé Ôåéãåíáàóìà — ìåõàíèçì ìåòàìîðôîçà
ìåæäó ïåðèîäè÷åñêîé òðàåêòîðèåé è êàíòîðîâñêèì ôðàêòàëüíûì ìíîæåñòâîì.
Ïîñëå èñ÷åçíîâåíèÿ S R
3
è S * áóäåò ñóùåñòâîâàòü àòòðàêòîð òðåòüåãî òèïà. Òðà-
åêòîðèÿ ïðèòÿãèâàåòñÿ ê ìíîæåñòâó, ñîñòîÿùåìó èç îáúåäèíåíèÿ íåñâÿçíûõ èí-
òåðâàëîâ [ ( ), ( )] \ ( )min max
S S Rn R�
2
, ãäå äîëæíî íàáëþäàòüñÿ àïåðèîäè÷åñ-
êîå äâèæåíèå. Èíòåðâàëüíûé àòòðàêòîð ïðîñóùåñòâóåò äî ìîìåíòà ïðèòÿæåíèÿ
ê íåìó òðàåêòîðèè. Ïðåêðàùåíèå äåéñòâèÿ ôàêòîðà èñ÷åðïàíèÿ ðåñóðñîâ âîññòàíîâèò
íåóñòîé÷èâîå ðàâíîâåñèå. Ñèñòåìà ïåðåéäåò ê ñëåäóþùåìó äëèòåëüíîìó ñîñòîÿíèþ
àïåðèîäè÷åñêèõ ôëóêòóàöèé (ðèñ. 3). Îòìåòèì, ÷òî äåôîëèàöèÿ ëåñà èç-çà âñïûøêè
ïñèëëèä ñâÿçàíà íå ñ íåïîñðåäñòâåííûì âûåäàíèåì ëèñòâû, à ñ òåì, ÷òî â èõ ëèïêèõ
ñàõàðèñòûõ âûäåëåíèÿõ ïîñåëÿþòñÿ îïàñíûå ôèòîïàòîãåííûå ãðèáêè [15].
Âñïûøêà çàêàí÷èâàåòñÿ ÷åðåç 9–10 èòåðàöèé ïàäåíèåì äî ìèíèìàëüíî âîç-
ìîæíîãî óðîâíÿ ÷èñëåííîñòè. Ðåàëüíîñòü ñêîðîé ïîâòîðíîé âñïûøêè â äàííîé
ìîäåëè áóäåò çàâèñåòü îò ñîîòíîøåíèÿ ýêñòðåìóìà min ( )
S è ïåðâîãî ðåïåëëåðà
S R
1
; ïðè çíà÷åíèè íèæå S R
1
äëÿ ìîäåëèðóåìîé ïîïóëÿöèè ñóùåñòâóåò âåðîÿò-
152 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü âîñïîëíåíèÿ ïîêîëåíèé N ïîñëå êàñà-
òåëüíîé áèôóðêàöèè ñ ïîòåðåé óñòîé÷èâîé òî÷êè
0 1000 2000 3000 4000 5000 T
40
35
30
25
20
15
10
5
N �102
Èìàãî, S
Ðèñ. 3. Ãðàôèê ìîäåëüíîé äèíàìèêè åäèíè÷íîé âñïûøêè ÷èñëåííîñòè
15400 15600 15800 16000 16200 16400 16600 16800 17000 t
40
35
30
25
20
15
10
5
0
È
ì
àã
î
,
S
n
�
�
1
2
1
0
íîñòü ïîïàñòü â ñîñòîÿíèå äàëüíåéøåé äåãðàäàöèè è ýëèìèíàöèè èç àðåàëà.
Ââèäó îñîáåííîñòåé îáìåíà âåùåñòâ ïñèëëèä ñëîæíî îïèñàòü íåïîñðåäñòâåííî
ñâÿçü èñ÷åðïàíèÿ ïèùåâîãî ðåñóðñà ñ áèîìàññîé âðåäèòåëÿ êàê ñèñòåìó
ðåñóðñ–ïîòðåáèòåëü.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Íà îñíîâå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïåðåîïðåäåëÿåìîé ïî íàáîðó óñëî-
âèé ïðàâîé ÷àñòüþ ôîðìàëèçîâàíû îñîáåííîñòè ýôôåêòèâíîñòè âîñïðîèçâîä-
ñòâà íàñåêîìûõ. Ïåðåìåíû, íåîáõîäèìûå äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ êëþ÷åâûõ îñîáåí-
íîñòåé ñöåíàðèÿ âñïûøêè, ïðîèñõîäÿò â ðåçóëüòàòå êîìáèíàöèè äâóõ ïîðîãî-
âûõ ñîñòîÿíèé â äèíàìèêå ïîëó÷åííîé ôóíêöèîíàëüíîé èòåðàöèè. Èç-çà
äåéñòâèÿ äâóõ ôóíêöèîíàëîâ îãðàíè÷åííîãî òðèããåðíîãî âîçäåéñòâèÿ íà âû÷èñ-
ëåíèÿ âñïûøêà ðàçðûâàåò äâà ïðîìåæóòêà íåóñòîé÷èâûõ ïåðåõîäíûõ àïåðèîäè-
÷åñêèõ êîëåáàíèé, äëèòåëüíîñòè êîòîðûõ íå çàâèñÿò îò âíóòðåííèõ ïåðåìåííûõ
è êîýôôèöèåíòîâ ìîäåëè. Ïðè áèôóðêàöèÿõ òåðÿåòñÿ è âîçíèêàåò óñòîé÷èâîå
ðàâíîâåñèå è âìåñòå ñ íèì íåóñòîé÷èâîå áàðüåðíîå çíà÷åíèå. Ýôôåêò çíà÷èì
ïðè ìîäåëèðîâàíèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ èñõîäíî ìàëî÷èñëåííîãî âèäà âñåëåíöà
â íîâîé ñðåäå îáèòàíèÿ. Âòîðîé ôóíêöèîíàë òîëüêî íà ýòàïå âñïûøêè îïðåäå-
ëÿåò ïîñëåäñòâèÿ èñ÷åðïàíèÿ ðåñóðñà ëèñòüåâ, ïðèãîäíûõ äëÿ ðàçìíîæåíèÿ.
 ñîîòâåòñòâèè ñ îïèñàíèåì òèïè÷íîé ñèòóàöèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âðåäèòåëÿ ýâ-
êàëèïòîâîãî ëåñà [16] âñïûøêà íà÷èíàåòñÿ ïî÷òè áåç ñòàáèëèçèðîâàâøåãî ñî-
ñòîÿíèÿ ïîñëå ïðåîäîëåíèÿ ïîðîãîâîãî ðàâíîâåñèÿ, ãäå îñíîâíûå ðåãóëÿòîðû
÷èñëåííîñòè ïñèëëèä — ïàðàçèòè÷åñêèå íàåçäíèêè íà÷èíàþò ýôôåêòèâíî ïîäàâ-
ëÿòüñÿ ãèïåðïàðàçèòàìè. Èç-çà äåôîëèàöèè äåðåâüåâ, çàâåðøàþùåé âñïûøêó,
ïîïóëÿöèÿ íàñåêîìûõ ïåðåõîäèò â ðåæèì ìàëî÷èñëåííûõ ôëóêòóàöèé.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Î ä ó ì Þ . Ýêîëîãèÿ. — Ì.: Ìèð, 1986. — Ò. 2. — Ñ. 55–57.
2. d e M e l o W . , v a n S t r i e n S . One-dimensional dynamics: The Schwarzian derivative and
beyond // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1988. — 18, N 2. — P. 159–162.
3. M a y R . M . Biological populations obeying difference equations: Stable points, stable cycles, and
chaos // Journal of Theoretical Biology. — 1975. — 51, Iss. 2. — P. 511–524.
4. K r e b s C . J . , M y e r s J . H . Population cycles in small mammals // Advances in Ecological
Research. — 1974. — 8. — P. 267–399.
5. P e r e v a r y u k h a A . Y . Cyclic and unstable chaotic dynamics in models of two populations of
sturgeon fish // Numerical Analysis and Applications. — 2012. — N 3. — P. 254–264.
6. Ê î ë å ñ î â Þ . Á . , Ñ å í è ÷ å í ê î â Þ . Á . Êîìïîíåíòíûå òåõíîëîãèè ìàòåìàòè÷åñêîãî ìî-
äåëèðîâàíèÿ. — ÑÏá.: Èçä-âî ÑÏáÃÏÓ, 2012. — 223 ñ.
7. K e i t t T . H . , L e w i s M . A . , H o l t R . D . Allee effects, invasion pinning, and species borders
// The American Naturalist. — 2001. — 157, N 2. — P. 203–216.
8. Ñ å í è ÷ å í ê î â Þ . Á . , Ê î ë å ñ î â Þ . Á . , È í è õ î â Ä . Á . Ôîðìû ïðåäñòàâëåíèÿ äèíàìè-
÷åñêèõ ñèñòåì â MvStudium // Êîìïüþòåðíûå èíñòðóìåíòû â îáðàçîâàíèè. — 2007. — ¹ 4. —
Ñ. 44–49.
9. Í å ä î ð å ç î â Ë .  . , Ó ò î ï è í Þ .  . Äèñêðåòíî-íåïðåðûâíàÿ ìîäåëü äèíàìèêè ÷èñëåí-
íîñòè äâóïîëîé ïîïóëÿöèè // Ñèáèðñêèé ìàòåìàòè÷åñêèé æóðíàë. — 2003. — ¹ 3. —
Ñ. 650–659.
10. K o s t i t z i n V . A . La biologie mathematique. — Paris: A. Colin, 1937. — 236 p.
11. F e i g e n b a u m M . J . The transition to aperiodic behavior in turbulent systems // Communications
in Mathematical Physics. — 1980. — 77, N 1. — P. 65–86.
12. G r a c z y k J . , S a n d s D . , S w i a t e k G . Metric attractors for smooth unimodal maps // Annals
of Mathematics. — 2004. — 159. — P. 725–740.
13. A s t a f e v G . B . , K o r o n o v s k i A . A . , H r a m o v A . E . Behavior of dynamical systems in
the regime of transient chaos // Technical Physics Letters. — 2003. — 29, N 11. — P. 923–926.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 153
14. D u s h o f f J . , H u a n g W . Backwards bifurcations and catastrophe in simple models of fatal
diseases // Journal of Mathematical Biology. — 1998. — 36. — P. 227–248.
15. Ì è ð î í å í ê î Í .  . Ñîâðåìåííûå äîñòèæåíèÿ â èçó÷åíèè ãåíåòè÷åñêîé ñòðóêòóðû ïîïóëÿ-
öèé ôèòîïàòîãåííûõ ãðèáîâ // Óñïåõè ñîâðåìåííîé áèîëîãèè. — 2004. — 124, ¹ 3. —
Ñ. 234–245.
16. H a l l A . G . Anatomy of an outbreak: The biology and population dynamics of a Cardiaspina
psyllid species in an endangered woodland ecosystem // Agricultural and Forest Entomology. —
2015. — 17, Iss. 3. — P 292–301.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 23.12.2015
À.Þ. Ïåðåâàðþõà
ÌÎÄÅËÞÂÀÍÍß Ð²ÇÊÈÕ ÇÌ²Í ÏÎÏÓËßÖ²ÉÍί ÄÈÍÀ̲ÊÈ
Ç ÄÂÎÌÀ ÏÎÐÎÃÎÂÈÌÈ ÑÒÀÍÀÌÈ
Àíîòàö³ÿ. Ìîäåëþºòüñÿ ñïàëàõ ÷èñåëüíîñò³ á³îëîã³÷íîãî âèäó, ÿêèé ïî÷è-
íàºòüñÿ ç äîñÿãíåííÿ îñîáëèâîãî íåòðèâ³àëüíîãî ñòàíó äèíàì³÷íî¿ ñèñòåìè.
Ïîïóëÿö³éíèé ïðîöåñ ðîçáèâàºòüñÿ íà ïîñë³äîâí³ñòü ñòàä³é, ÿê³ â³äð³çíÿþòü-
ñÿ. Ìîäåëü ³ì³òóº åôåêò ìèìîâ³ëüíîãî ïåðåõîäó â³ä ñëàáêèõ ôëóêòóàö³é ÷å-
ðåç ìàêñèì³çàö³þ ðåïðîäóêòèâíî¿ åôåêòèâíîñò³ äî ïåðåâèùåííÿ åêîëîã³÷íî¿
ºìíîñò³ ñåðåäîâèùà ç íàñòóïíîþ ôàçîþ øâèäêîãî ñïîíòàííîãî çàãàñàííÿ
ïðîöåñó. Äëÿ îïèñó ïåðåõîäó ì³æ çàêëþ÷íèìè ñòàä³ÿìè ñïàëàõó âèêîðèñòà-
íî ìåòîä êîíòðîëüîâàíî¿ ôóíêö³îíàëüíî¿ ðåàë³çàö³¿ ìåòàìîðôîç³â ïîâåä³íêè
òðàºêòîð³¿. Îðèã³íàëüíèé îá÷èñëþâàëüíèé àïàðàò íà îñíîâ³ äèñêðåòíî-áåçïå-
ðåðâíî¿ ñòðóêòóðè ÷àñó ç ïðåäèêàòèâíèìè êîíñòðóêö³ÿìè äîçâîëÿº çàñòîñî-
âóâàòè ñöåíàðíèé ï³äõ³ä äî îö³íêè ðîçâèòêó åêîëîã³÷íèõ ñèòóàö³é. Çíà-
÷èì³ñòü ðåçóëüòàò³â îáãðóíòîâàíà àíàë³çîì äàíèõ ïðî ñïàëàõè äð³áíèõ êî-
ìàõ øê³äíèê³â, êîíòðîëüîâàíèõ ïàðàçèòè÷íèìè íà¿çíèêàìè, ùî âðàæàþòü
îáìåæåíå ÷èñëî ïðèäàòíèõ ñ³ëüñüêîãîñïîäàðñüêèõ ðîñëèí.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ìîäåë³ ïîïóëÿö³é, ã³áðèäí³ îá÷èñëþâàëüí³ ñòðóêòóðè.
A.Yu. Perevaryukha
SIMULATION OF ABRUPT CHANGES IN POPULATIONAL DYNAMICS
WITH TWO THRESHOLD STATES
Abstract. The author solves the problem of modeling outbreaks of a species,
which begins with the achievement of specific non-trivial state of a dynamic
system. Population process is divided into a sequence of substantially different
stages. The model simulates the effect of spontaneous transition from weak to
acceleration fluctuations of reproductive activity followed by the phase of rapid
spontaneous decay. To describe the transition between final stages of the
outbreak, the method of controlled functional realization of metamorphoses of
trajectory behavior is used. Differential equations are combined with predicative
constructions in software environment. The original computational unit based on
discrete-continuous time allows us to apply the scenario approach to the
assessment of environmental situations. To study such discrete-continuous
models, AnyLogic5 computing environment with support for language Java are
used, where the developer can enter your own data types as interfaces.
Keywords: population dynamics, hybrid computing structures.
Ïåðåâàðþõà Àíäðåé Þðüåâè÷,
êàíäèäàò òåõí. íàóê, ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî èíñòèòóòà èíôîðìàòèêè
è àâòîìàòèçàöèè ÐÀÍ, Ðîññèÿ, e-mail: temp_elf@mail.ru.
154 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
|