Взвешенная псевдоинверсия с вырожденными весами
Статья носит обзорный характер и посвящена развитию теории взвешенной псевдоинверсии. Определяются и исследуются взвешенные псевдообратные матрицы с вырожденными весами. Приведены теоремы существования и единственности этих матриц. Установлена связь взвешенных псевдообратных матриц с вырожденными...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2016 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2016
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142016 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Взвешенная псевдоинверсия с вырожденными весами / И.В. Сергиенко, Е.Ф. Галба // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 5. — С. 56-80. — Бібліогр.: 46 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859645830299910144 |
|---|---|
| author | Сергиенко, И.В. Галба, Е.Ф. |
| author_facet | Сергиенко, И.В. Галба, Е.Ф. |
| citation_txt | Взвешенная псевдоинверсия с вырожденными весами / И.В. Сергиенко, Е.Ф. Галба // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 5. — С. 56-80. — Бібліогр.: 46 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Статья носит обзорный характер и посвящена развитию теории взвешенной псевдоинверсии. Определяются и исследуются взвешенные псевдообратные матрицы с вырожденными весами. Приведены теоремы существования и единственности этих матриц. Установлена связь взвешенных псевдообратных матриц с вырожденными весами со взвешенными нормальными псевдорешениями. Дано представление взвешенных псевдообратных матриц с вырожденными весами в терминах коэффициентов характеристических многочленов симметричных и симметризуемых матриц, получены разложения этих матриц в матричные степенные ряды и произведения, предельные представления этих матриц, получены взвешенные сингулярные разложения матриц с вырожденными весами, на основе которых определены разложения взвешенных псевдообратных матриц.
Стаття носить оглядовий характер і присвячена розвитку теорії зваженої псевдоінверсії. Визначаються та досліджуються зважені псевдообер-нені матриці з виродженими вагами. Наведено теореми існування та єди-ності цих матриць. Встановлено зв’язок зважених псевдообернених матриць з виродженими вагами зі зваженими нормальними псевдорозв’язками. Наведено представлення зважених псевдообернених матриць з виродженими вагами в термінах коефіцієнтів характеристичних многочленів симетричних матриць та матриць, що симетризуються, одержано розклад цих матриць в матричні степеневі ряди та добутки, граничні представлення цих матриць, одержано зважені сингулярні розклади матриць з виродженими вагами, на основі яких визначено розклади зважених псевдообернених матриць.
The paper reviews the development of the theory of weighted pseudoinversion. Weighted pseudoinverse matrices with singular weights are determined and investigated. Theorems of the existence and uniqueness of these matrices are provided. Weighted pseudoinverse matrices with singular weights are related with weighted normal pseudosolutions. Weighted pseudoinverse matrices with singular weights are represented in therms of coefficients of characteristic polynomials of symmetric and symmetrizable matrices. Their expansions in matrix power series and products and limit representations are obtained. Decompositions of weighed pseudoinverse matrices are determined on the basis of the obtained weighed singular decomposition of matrices with singular weights.
|
| first_indexed | 2025-11-30T03:03:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
È.Â. ÑÅÐÃÈÅÍÊÎ, Å.Ô. ÃÀËÁÀ
ÓÄÊ 512.61 ÂÇÂÅØÅÍÍÀß ÏÑÅÂÄÎÈÍÂÅÐÑÈß
Ñ ÂÛÐÎÆÄÅÍÍÛÌÈ ÂÅÑÀÌÈ
Àííîòàöèÿ. Ñòàòüÿ íîñèò îáçîðíûé õàðàêòåð è ïîñâÿùåíà ðàçâèòèþ òåîðèè
âçâåøåííîé ïñåâäîèíâåðñèè. Îïðåäåëÿþòñÿ è èññëåäóþòñÿ âçâåøåííûå
ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Ïðèâåäåíû òåîðåìû ñó-
ùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ýòèõ ìàòðèö. Óñòàíîâëåíà ñâÿçü âçâåøåííûõ
ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè ñî âçâåøåííûìè íîðìàëü-
íûìè ïñåâäîðåøåíèÿìè. Äàíî ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ
ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè-
÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ñèììåòðè÷íûõ è ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö, ïîëó÷åíû
ðàçëîæåíèÿ ýòèõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ,
ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ýòèõ ìàòðèö, ïîëó÷åíû âçâåøåííûå ñèíãóëÿðíûå
ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, íà îñíîâå êîòîðûõ îïðåäåëå-
íû ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: âçâåøåííûå ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû ñ âûðîæäåííûìè
âåñàìè, ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ, ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâ-
ëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëî-
æåíèå ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 ðàáîòå [1] âïåðâûå äàíî îïðåäåëåíèå îäíîãî èç âàðèàíòîâ âçâåøåííûõ ïñåâäî-
îáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè (ñ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûìè
âåñîâûìè ìàòðèöàìè), à òàêæå îïðåäåëåíû íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ
ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðàññìîòðåííîãî âàðèàíòà âçâåøåííûõ ïñåâäîîá-
ðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Â ðàáîòàõ [2–4] èññëåäîâàíû äðóãèå âà-
ðèàíòû ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Îïðåäåëåíû íåîáõîäè-
ìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðàññìîòðåííûõ âà-
ðèàíòîâ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, à òàêæå îïðåäåëåíû âçâåøåííûå
íîðìàëüíûå ïñåâäîðåøåíèÿ ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè è óñòàíîâëåíà èõ ñâÿçü ñî
âçâåøåííûìè ïñåâäîîáðàòíûìè ìàòðèöàìè.  óïîìÿíóòûõ ðàáîòàõ ïîëó÷åíû
ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè
â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ñèììåòðè÷íûõ è
ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö, ðàçëîæåíèÿ ýòèõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû
è ïðîèçâåäåíèÿ, ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ýòèõ ìàòðèö. Â ðàáîòàõ [5–7] âïåðâûå
ïîëó÷åíû ðàçëè÷íûå âàðèàíòû âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö
ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Îïðåäåëåíû íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñó-
ùåñòâîâàíèÿ îäíîãî èç ðàññìîòðåííûõ âàðèàíòîâ âçâåøåííûõ ñèíãóëÿðíûõ ðàç-
ëîæåíèé ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Íà îñíîâå âçâåøåííûõ ñèíãóëÿðíûõ
ðàçëîæåíèé ìàòðèö ïîëó÷åíû ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö
ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Â ðàáîòå [8] ââåäåíî ïîíÿòèå ML-âçâåøåíííîé ïñåâäî-
îáðàòíîé ìàòðèöû, à â ðàáîòàõ [9, 10] èñïîëüçóåòñÿ âçâåøåííàÿ ïñåâäîèíâåðñèÿ
ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, êîãäà âåñà ïðåäñòàâëÿþò äèàãîíàëüíûå ìàòðèöû, ïðè
56 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5
© È.Â. Ñåðãèåíêî, Å.Ô. Ãàëáà, 2016
ïîñòðîåíèè èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ çàäà÷. Â äàëüíåéøåì
áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ âçâåøåííûå ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû ñ âûðîæäåííûìè
âåñàìè, îïðåäåëåííûå â ðàáîòàõ [1–4].
Íàñòîÿùàÿ ñòàòüÿ âêëþ÷àåò ñåìü ðàçäåëîâ.  ðàçä. 1 ââîäÿòñÿ íåîáõîäèìûå
äëÿ äàëüíåéøåãî èçëîæåíèÿ îáîçíà÷åíèÿ, îïðåäåëåíèÿ, ïðèâîäÿòñÿ èçâåñòíûå
ôàêòû è âñïîìîãàòåëüíûå óòâåðæäåíèÿ. Â ðàçä. 2 ïðèâåäåíû òåîðåìû ñóùåñòâî-
âàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðàçëè÷íûõ âàðèàíòîâ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàò-
ðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå èñïîëüçîâàíà òåîðåìà Ãàìèëü-
òîíà–Êýëè, íà åå îñíîâå ïîëó÷åíî ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ
ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñèõ
ìíîãî÷ëåíîâ ñèììåòðèçóåìûõ è ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö.  ðàçä. 3 ïðèâåäåíû òå-
îðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ åäèíñòâåííûõ âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé,
îïðåäåëÿåìûõ íà îñíîâå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè
âåñàìè.  ðàçä. 4 ïðåäñòàâëåíû ðàçëè÷íûå âàðèàíòû âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî
ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Îïðåäåëåíû íåîáõîäèìûå è äîñòà-
òî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðàññìîòðåííûõ âàðèàíòîâ âçâåøåííûõ ñèíãóëÿð-
íûõ ðàçëîæåíèé ìàòðèö. Ïðèâåäåíû ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ
ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, êîòîðûå ïîëó÷åíû íà îñíîâå âçâåøåííûõ ñèí-
ãóëÿðíûõ ðàçëîæåíèé ìàòðèö. Â ðàçä. 5 è 6 íà îñíîâå ñâîéñòâ ñèììåòðèçóåìûõ
ìàòðèö, ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè
âåñàìè â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ñèììåòðè-
çóåìûõ è ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö è ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö ïðåäñòàâëå-
íû ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè
â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî ñ ïîëîæèòåëüíûìè
è îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé. Íà îñíîâå ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ
ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ ñ îòðèöà-
òåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé ïîëó÷åíû ìíîãî÷ëåííûå ïðåäåëüíûå
ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè.
 ðàçä. 7 äàíû ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåí-
íûìè âåñàìè ÷åðåç äðóãèå ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû.
1. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈß, ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈß, ÈÇÂÅÑÒÍÛÅ ÔÀÊÒÛ
È ÂÑÏÎÌÎÃÀÒÅËÜÍÛÅ ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈß
Îòìåòèì, ÷òî â äàëüíåéøåì âåçäå ïðåäïîëàãàåòñÿ âåùåñòâåííîñòü èñïîëüçóå-
ìûõ ñêàëÿðîâ, âåêòîðîâ, ìàòðèö è ïðîñòðàíñòâ. Îáîçíà÷èì �
n n-ìåðíîå âåêòîð-
íîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, ãäå âåêòîðû — ìàòðèöû
ðàçìåðà n�1. Ïóñòü H — ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ èëè ïîëî-
æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. Îáîçíà÷èì �
n H( ) åâêëèäîâî ïðîñòðàí-
ñòâî â ñëó÷àå ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííîé ìåòðèêè èëè ïñåâäîåâêëèäîâî
ïðîñòðàíñòâî â ñëó÷àå íåîòðèöàòåëüíîé ìåòðèêè, ââåäåííîé ñêàëÿðíûì ïðîèçâå-
äåíèåì ( , ) ( , )u HuH E� �� , ãäå ( , )u uE� �� T . Íîðìó (ïîëóíîðìó) â �
n H( )
ââåäåì ñîîòíîøåíèåì | | | | ( , ) /u u uH H
� 1 2 .  ñëó÷àå ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííîé
ìàòðèöû H áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç � �
n nH H( ) ( )� è � �
n
EE
n
EE
H H( ) ( )� ��
ïîäïðîñòðàíñòâî âåêòîðîâ u, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ HH u H H u u
EE EE
� �� �1 2 1 2/ / ,
ãäå H H
EE EE
� ��1 2 1 2/ /( ) , E — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, H
EE
� — ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðè-
öà Ìóðà–Ïåíðîóçà ê ìàòðèöå H [11, 12]. Â äàëüíåéøåì äëÿ ìàòðèö A áóäåì
èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå A A
EE
p p
EE
� �� ( ) , ãäå p — öåëîå èëè äðîáíîå ÷èñëî.
Òàê êàê íóëü-ïðîñòðàíñòâà ìàòðèö H , H
EE
� , HH
EE
� è H H
EE
1 2 1 2/ /� ñîâïàäàþò
[13], òî ïîëóíîðìû || | | , | | | |� � �H HEE
äëÿ âåêòîðîâ â �
n H( ), �
n
EE
H( )� ñòàíîâÿò-
ñÿ íîðìàìè â �
n H( ), �
n
EE
H( )� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 57
Îïðåäåëèì íîðìó ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöû [14]. Ïóñòü A m n� �
� è H m m� �
� —
ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ èëè ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ
ìàòðèöà, V n n� �
� — ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ èëè ïîëîæèòåëü-
íî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà, x — ïðîèçâîëüíûé âåêòîð èç �
n . Ïðåäïîëàãàåì âû-
ïîëíåíèå óñëîâèé rk HA rk A( ) ( )� , rk AV rk A( ) ( )� . Äëÿ ìíîæåñòâà ìàòðèö A,
óäîâëåòâîðÿþùèõ ýòèì óñëîâèÿì, íîðìó ââåäåì ñîîòíîøåíèåì
| | | | sup
| | | |
| | | |
/
A
H AVx
x
HV
x
E
E
m
n
�
�0
1 2
, (1)
ãäå x n�� , à íèæíèé èíäåêñ ïðè åäèíè÷íîé ìàòðèöå îçíà÷àåò åå ðàçìåð.
Ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè íîðìà ìàòðèöû A îïðåäåëÿåòñÿ êàê | | | |A HV �
� [ ( )]max
/� VA HAVT 1 2 , ãäå � max ( )L — ìàêñèìàëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàò-
ðèöû L.
 [14] ïîêàçàíî, ÷òî âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ | | | |� HV , îïðåäåëåííàÿ ôîðìó-
ëîé (1), ïðè âûïîëíåíèè îòìå÷åííûõ óñëîâèé ÿâëÿåòñÿ àääèòèâíîé (îáîáùåí-
íîé) ìàòðè÷íîé íîðìîé.
Ïóñòü A m p� �
� , B p n� �
� , à H m m� �
� , V n n� �
� , M p p� �
� — ñèììåò-
ðè÷íûå ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûå ìàòðèöû, ïðè÷åì óäîâëåòâîðÿåòñÿ
îäíî èç óñëîâèé: AMM AM M A
EE EE
� �� � , MM B M MB B
EE EE
� �� � , òîãäà
(ñì. [14, 15]) èç îïðåäåëåíèÿ íîðìû ìàòðèö ñîîòíîøåíèåì (1) ñëåäóåò | | | |AB HV
�| | | | | | | |A B
HM M VEE
2 .
 [16] îïðåäåëåíà âçâåøåííàÿ íîðìà äëÿ êâàäðàòíîé ìàòðèöû, à òàêæå îïðå-
äåëåíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ýòà íîðìà ÿâëÿåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé ìàòðè÷íîé
íîðìîé. Ïóñòü A n n� �
� — ïðîèçâîëüíàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà, à H n n� �
� —
ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿ-
þò óñëîâèÿì rk HA rk AH rk A( ) ( ) ( )� � . Òîãäà íîðìà ìàòðèöû A îïðåäåëÿåòñÿ
ñîîòíîøåíèåì
| | | | sup
| | | |
| | | |
sup
| | / / /
A
Ax
x
H AH H
H
x
H
H x
EE� �
� �
�
0 0
1 2 1 2 1 2
1 2
x
H x
E
E
| |
| | | |/
, x Hn�� ( ).
 ðÿäå ðàáîò îïðåäåëÿëèñü ñèììåòðèçóåìûå ìàòðèöû è èçó÷àëèñü èõ ñâîéñòâà.
 êà÷åñòâå ñèììåòðèçàòîðîâ, â îñíîâíîì, âûñòóïàþò ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûå ìàò-
ðèöû, à â ðàáîòàõ [17–19] èçó÷àëèñü Í -ñèììåòðè÷íûå ìàòðèöû, ãäå Í ïðåäïîëàãàåòñÿ
ñèììåòðè÷íîé íåâûðîæäåííîé çíàêîíåîïðåäåëåííîé ìàòðèöåé. Îïðåäåëèì ñèììåòðè-
çóåìûå ìàòðèöû ñ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûìè ñèììåòðèçàòîðàìè [16].
Îïðåäåëåíèå 1. Êâàäðàòíóþ ìàòðèöó U áóäåì íàçûâàòü ñèììåòðèçóåìîé
ñëåâà èëè ñïðàâà ñ ïîìîùüþ ñèììåòðè÷íûõ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûõ
ìàòðèö M è N , åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî óñëîâèÿ
MU U M rk MU rk U UN NU rk UN rk U� � � �T T, ( ) ( ); , ( ) ( ).
Îïðåäåëåíèå 2. Ìàòðèöó Q , îïðåäåëåííóþ ðàâåíñòâîì Q HQ I HT � ( ), ãäå H —
ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ (ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ)
ìàòðèöà, I H( ) — ìàòðèöà èíåðöèè äëÿ H , áóäåì íàçûâàòü H-âçâåøåííîé îðòîãî-
íàëüíîé (ïñåâäîîðòîãîíàëüíîé).
Îòìåòèì îñíîâíûå âñïîìîãàòåëüíûå óòâåðæäåíèÿ, íà îñíîâå êîòîðûõ èñ-
ñëåäîâàëèñü ôóíäàìåíòàëüíûå ñâîéñòâà âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö
ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè.
Ïðè èññëåäîâàíèè âîïðîñà ñóùåñòâîâàíèÿ åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ âçâåøåí-
íîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå
óòâåðæäåíèÿ [2].
58 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5
Ëåììà 1. Ïóñòü äëÿ êâàäðàòíûõ ìàòðèö K , L, M âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ
KM MK� , LM ML� . Òîãäà èç ðàâåíñòâà KM LM2 2� ñëåäóåò ðàâåíñòâî
KM LM� .
Ëåììà 2. Ïóñòü A m n� �
� , à B m m� �
� è C n n� �
� — ñèììåòðè÷íûå ïîëî-
æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûå ìàòðèöû. Ïóñòü ìàòðèöû A BT , AC, A T èìåþò
îäèíàêîâûé ðàíã. Òîãäà ìàòðèöà A BACAT T èìååò òîò æå ðàíã.
Ïðè èññëåäîâàíèè ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàò-
ðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïå-
íåé èñïîëüçóþòñÿ óòâåðæäåíèÿ èç [2].
Ëåììà 3. Äëÿ ëþáûõ ìàòðèö P n n� �
� , W n m� �
� è äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà
0
�� èìååò ìåñòî òîæäåñòâî
� � � �{ }
k
n
k
k
E E P W E P W n
k
n
�
�
�
�
�� � � � �
0
1
2
0
2 1
1 2( ) ( ) , , ,�
Ïðè èññëåäîâàíèè ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàò-
ðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïå-
íåé èñïîëüçóþòñÿ óòâåðæäåíèÿ èç [20].
Ëåììà 4. Äëÿ ëþáûõ ìàòðèö P R n n� � , W R n m� � è äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà
0
�� èìååò ìåñòî òîæäåñòâî
{ }
k
n
k
k
E P E P E W P E
k k
n
�
�
� � �
�
�� � � � �
0
1
2 2 1 1
1
2
� � � � �( ) ( ) (( ) ) , , ,� �k W n 1 2 �
Ëåììà 5. Äëÿ ëþáûõ ìàòðèö L m m� �
� , M n m� �
� è äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà
0
�� èìååò ìåñòî òîæäåñòâî
M L E E L E M L
k
n
k
k
k k
n
( ) ( ) (( )� � � � ��
�
�
� �
�
�� � � � �1
0
1
2 2 1
1
2
{ } E nk) , , ,� �1 2 �
 [21, 22] îïðåäåëåíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ìàòðèöà-ïðîèçâåäåíèå äâóõ ýð-
ìèòîâûõ ìàòðèö áóäåò äèàãîíàëèçóåìîé ìàòðèöåé ïðîñòîé ñòðóêòóðû. Ñôîðìó-
ëèðóåì ýòîò ðåçóëüòàò â âèäå ëåììû äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ñèììåòðè÷íûõ äåé-
ñòâèòåëüíûõ ìàòðèö, êîòîðàÿ èñïîëüçóåòñÿ ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåì î âçâå-
øåííîì ñèíãóëÿðíîì ðàçëîæåíèè ìàòðèö.
Ëåììà 6. Ïóñòü A è B — ñèììåòðè÷íûå ìàòðèöû, ïðè÷åì îäíà èç íèõ ïîëî-
æèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ. Òîãäà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû AB — äåéñòâè-
òåëüíûå ÷èñëà, ïðè ýòîì ìàòðèöà AB èìååò ïðîñòóþ ñòðóêòóðó.
Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû î ñèíãóëÿðíîì ðàçëîæåíèè ìàòðèö íà îñíîâå
âçâåøåííûõ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ ïñåâäîîðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö
èñïîëüçóþòñÿ ëåììà 6 è ëåììà î ïðèâåäåíèè ê äèàãîíàëüíîé ôîðìå ñèììåòðèçó-
åìîé âûðîæäåííûì ñèììåòðèçàòîðîì ìàòðèöû, äîêàçàííàÿ â [5].
Ëåììà 7. Ñèììåòðèçóåìàÿ ñëåâà ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûì ñèììåò-
ðèçàòîðîì H n n� �
� ìàòðèöà L n n� �
� ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ H HL L
EE
� � ïðè-
âîäèòñÿ ê äèàãîíàëüíîé ôîðìå ñ ïîìîùüþ K-âçâåøåííîãî îðòîãîíàëüíîãî ïðåîá-
ðàçîâàíèÿ, ò.å. ñóùåñòâóþò òàêèå íåâûðîæäåííûå ìàòðèöû U è K, U KU ET � ,
÷òî U KLUT � �, U HLUT � �, à ìàòðèöà L ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå L U U K� � T ,
ãäå K QD Q� 2 T, Q — îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, êîòîðàÿ äèàãîíàëèçóåò ìàòðèöó H ,
ò.å. Q HQT � �, � � �DI H D i( ) ( )diag � , � � �1 2 0, , ... , r � , � �r n� �1 0, ... , —
ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû H , r — ðàíã ìàòðèöû H ,
D r� � �diag ( , ... , , , ..., )� �1 1 1 , I H( ) — ìàòðèöà èíåðöèè äëÿ H , ñòîëáöû ìàò-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 59
ðèöû U îáðàçóþò ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû
L, à äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû � ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè ñîáñòâåííû-
ìè çíà÷åíèÿìè ìàòðèöû L.
Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû î ñèíãóëÿðíîì ðàçëîæåíèè ìàòðèö íà îñíîâå
âçâåøåííûõ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö èñïîëüçóåòñÿ ëåììà, äîêàçàííàÿ â [23].
Ëåììà 8. Ñèììåòðèçóåìàÿ ñëåâà ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûì ñèììåò-
ðèçàòîðîì H
EE
n n� ��� ìàòðèöà L n n� �
� ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ HH L L
EE
� �
ïðèâîäèòñÿ ê äèàãîíàëüíîé ôîðìå ñ ïîìîùüþ S-âçâåøåííîãî îðòîãîíàëüíîãî
ïðåîáðàçîâàíèÿ, ò.å. ñóùåñòâóþò òàêèå íåâûðîæäåííûå ìàòðèöû G è S ,
G SG ET � , ÷òî G SLG G H LG
EE
T T� ��� �, , à ìàòðèöà L ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
L G G S� � T , ãäå S QD Q� �2 T , Q — îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, êîòîðàÿ äèàãîíàëè-
çóåò ìàòðèöó H , ò.å. Q HQT � �, � � �DI H D i( ) ( )diag � , � � �1 2 0, � � �� r ,
� �r n� �1 0, ... , — ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû H , r — ðàíã ìàòðèöû H ,
D r� � � � �diag ( , , ..., )� �1 1 1� , I H( ) — ìàòðèöà èíåðöèè äëÿ H , ñòîëáöû ìàò-
ðèöû G îáðàçóþò ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû L,
à äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû � ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè ñîáñòâåííûìè
çíà÷åíèÿìè ìàòðèöû L.
2. ÑÓÙÅÑÒÂÎÂÀÍÈÅ È ÅÄÈÍÑÒÂÅÍÍÎÑÒÜ ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ
ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÕ ÌÀÒÐÈÖ Ñ ÂÛÐÎÆÄÅÍÍÛÌÈ ÂÅÑÀÌÈ
Ðàññìîòðèì òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðàçëè÷íûõ âàðèàíòîâ âçâå-
øåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå èñ-
ïîëüçîâàíà òåîðåìà Ãàìèëüòîíà–Êýëè è íà åå îñíîâå ïîëó÷åíî ïðåäñòàâëåíèå âçâå-
øåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â òåðìèíàõ êîýôôèöèåí-
òîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ñèììåòðèçóåìûõ è ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö.
Ïóñòü A m n� �
� , X n m� �
� , à B m m� �
� è C n n� �
� — ñèììåòðè÷íûå ïîëî-
æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûå ìàòðèöû. Òîãäà âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðè-
öà äëÿ ìàòðèöû A â ðàáîòå [1] îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìàòðèöà X A
BC
� � , óäîâëåòâîðÿ-
þùàÿ ÷åòûðåì óñëîâèÿì:
AXA A XAX X BAX BAX XAC XAC� � � �, , ( ) , ( )T T , (2)
ò.å. ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà èäåìïîòåíòíûå ìàòðèöû AX è XA ñèììåòðè-
çóåìûå ñîîòâåòñòâåííî ñëåâà ñèììåòðèçàòîðîì B è ñïðàâà ñèììåòðèçàòîðîì C.
 ðàáîòå [1] îïðåäåëåíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ñèñòåìà ìàòðè÷íûõ óðàâíå-
íèé (2) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.
Òåîðåìà 1. Ñèñòåìà óðàâíåíèé (2) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ðàíãîâ ìàòðèö:
rk BA rk A rk AC rk A( ) ( ), ( ) ( )� � . (3)
 ðàáîòå [24] ïîëó÷åíî ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö,
îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (2), (3), â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêî-
ãî ìíîãî÷ëåíà ñèììåòðèçóåìîé ìàòðèöû.
Òåîðåìà 2. Ìàòðèöà A
BC
� , óäîâëåòâîðÿþùàÿ (2), (3), ïðåäñòàâèìà â âèäå
A CSA B
BC
� � T , ãäå S f A BAC� ( )T — ìíîãî÷ëåí îò ìàòðèöû A BACT âèäà
S A BAC A BAC E
k
k k
k� � � � �� � �
�� � �1 1
1
2
1[( ) ( ) ]T T
� , � p p n, , ,�1 � , — êîýô-
ôèöèåíòû õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà f n n
n( )� � � � �� � � � ��
1
1
�
� �det T[ ]�E A BAC , à � k — ïîñëåäíèé, îòëè÷íûé îò íóëÿ êîýôôèöèåíò ýòîãî
ìíîãî÷ëåíà.
60 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5
Ñëåäñòâèå 1. Âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà, îïðåäåëåííàÿ óñëîâèÿ-
ìè (2), (3), èìååò ïðåäñòàâëåíèÿ
A S CA B CA BS CA S B C S C A B CA B S B
BC
� � � � � �1 2 3
1 2
4
1 2 1 2
5
T T T T T/ / / 1 2/ ,
ãäå S1, S 2 , S 3 — ìíîãî÷ëåíû îò ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö, à S 4 , S 5 — ìíî-
ãî÷ëåíû îò ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö âèäà
S CA BA CA BA E
k
k k
k1
1 1
1
2
1� � � � �� � �
�� � �[( ) ( ) ]T T
� ,
S ACA B ACA B E
k
k k
k2
1 1
1
2
1� � � � �� � �
�� � �[( ) ( ) ]T T
� ,
S BACA BACA E
k
k k
k3
1 1
1
2
1� � � � �� � �
�� � �[( ) ( ) ]T T
� ,
S C A BAC C A BAC
k
k k
4
1 1 2 1 2 1
1
1 2 1 2 2� � � � �� � �� � �[( ) ( )/ / / /T T
� k E�1 ],
S B ACA B B ACA B
k
k k
5
1 1 2 1 2 1
1
1 2 1 2 2� � � � �� � �� � �[( ) ( )/ / / /T T
� k E�1 ].
Ñëåäñòâèå 2. Ñèììåòðèçóåìûå èäåìïîòåíòíûå ìàòðèöû A A
BC
� è AA
BC
� èìå-
þò ñëåäóþùèå ïðåäñòàâëåíèÿ:
A A CSA BA f CA BA
BC
� � � �T T( )
� � � � �� �
�� � �
k
k k
kCA BA CA BA CA BA1
1
1
1[( ) ( ) ]T T T
� ,
AA ACSA B f ACA B
BC
� � � �T T( )
� � � � �� �
�� � �
k
k k
kACA B ACA B ACA B1
1
1
1[( ) ( ) ]T T T
� .
Ñëåäñòâèå 3. Èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà A BAA A B
BC
T T� � , A ACA CA
BC
� �T T .
Ñëåäñòâèå 4. Ïðè rk A( ) �1 èìååì ôîðìóëó A A BAC CA B
BC
� �� [ ( )]tr T T1 äëÿ
âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, îïðå-
äåëåííûõ óñëîâèÿìè (2), (3), ãäå tr ( )L — ñëåä ìàòðèöû L.
 ðàáîòå [2] èçó÷àëàñü âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà ñ âûðîæäåííû-
ìè âåñàìè, îïðåäåëåííàÿ ñèñòåìîé ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé
AXA A XAX X BAX BAX CXA CXA� � � �, , ( ) , ( )T T , (4)
ò.å. ñëó÷àé, êîãäà îáå èäåìïîòåíòíûå ìàòðèöû AX è XA ñèììåòðèçóåìû ñëå-
âà ñîîòâåòñòâåííî âûðîæäåííûìè ñèììåòðèçàòîðàìè B è C.
 ðàáîòå [2] îïðåäåëåíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ñèñòåìà ìàòðè÷íûõ óðàâíå-
íèé (4) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå è ïîëó÷åíî ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííûõ
ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî
ìíîãî÷ëåíà ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö.
Òåîðåìà 3. Äëÿ òîãî ÷òîáû ñèñòåìà (4) èìåëà åäèíñòâåííîå ðåøåíèå
X A
BC
� � , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèå óñëîâèé
rk BA rk A AC C A
EE
( ) ( ),� �� , (5)
ïðè÷åì ìàòðèöà A
BC
� , óäîâëåòâîðÿþùàÿ (4), (5), ïðåäñòàâèìà â âèäå A
BC
� �
� �C SA B
EE
T , ãäå S f A BAC
EE
� �( )T — ìíîãî÷ëåí îò ìàòðèöû A BAC
EE
T � âèäà
S A BAC A BAC E
k EE
k
EE
k
k� � � � �� � � � �
�� � �1 1
1
2
1[( ) ( ) ]T T
� ,
� p p n, , ,�1 � , — êîýôôèöèåíòû õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà
f n( )� �� � � � � � �� �� � � �1
1n
n EE
E A BAC� det T[ ], à � k — ïîñëåäíèé, îò-
ëè÷íûé îò íóëÿ êîýôôèöèåíò ýòîãî ìíîãî÷ëåíà, C
EE
� — ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàò-
ðèöà Ìóðà–Ïåíðîóçà ê ìàòðèöå C .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 61
Ñëåäñòâèå 1. Âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà, îïðåäåëåííàÿ óñëîâèÿ-
ìè (4), (5), èìååò òàêæå ñëåäóþùèå ïðåäñòàâëåíèÿ:
A S C A B C A BS
BC EE EE
� � �� � �1 2
T T
� � �� � � �C A S B C S C A B C A B S B
EE EE EE EE
T T T
3
1 2
4
1 2 1 2
5
1 2/ / / / ,
ãäå S1, S 2 , S 3 — ìíîãî÷ëåíû îò ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö, S 4 , S 5 — ìíîãî÷-
ëåíû îò ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö âèäà
S C A BA C A BA E
k EE
k
EE
k
k1
1 1
1
2
1� � � � �� � � � �
�� � �[( ) ( ) ]T T
� ,
S AC A B AC A B E
k EE
k
EE
k
k2
1 1
1
2
1� � � � �� � � � �
�� � �[( ) ( ) ]T T
� ,
S BAC A BAC A E
k EE
k
EE
k
k3
1 1
1
2
1� � � � �� � � � �
�� � �[( ) ( ) ]T T
� ,
S C A BAC C A BAC
k EE EE
k
EE EE4
1 1 2 1 2 1
1
1 2� � �� � � � �� �[( ) (/ / /T T � �
�� �1 2 2
1
/ ) ]k
k E� � ,
S B AC A B B AC A B
k EE
k
EE
k
5
1 1 2 1 2 1
1
1 2 1 2� � �� � � �� �[( ) ( )/ / / /T T �
�� �2
1� � k E ].
Ñëåäñòâèå 2. Ñèììåòðèçóåìûå èäåìïîòåíòíûå ìàòðèöû A A
BC
� è AA
BC
� èìå-
þò ñëåäóþùèå ïðåäñòàâëåíèÿ:
A A C SA BA f C A BA
BC EE EE
� � �� � �T T( )
� � � � �� � � �
�
�� � �
k EE
k
EE
k
k EE
C A BA C A BA C A BA1
1
1
1[( ) ( ) (T T T
� )],
AA AC SA B f AC A B
BC EE EE
� � �� � �T T( )
� � � � �� � � �
�
�� � �
k EE
k
EE
k
k EE
AC A B AC A B AC A B1
1
1
1[( ) ( ) (T T T
� )].
Ñëåäñòâèå 3. Èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà A BAA A BBC
T T� � , A AC A C ABC EE EE
� � ��T T.
Ñëåäñòâèå 4. Ïðè rk A( ) �1 èìååì ôîðìóëó A A BAC
BC EE
� � �� �[ ( )]tr T 1
� �C A B
EE
T äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííû-
ìè âåñàìè, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (4), (5).
Çàìå÷àíèå 1. Åñëè ìàòðèöû B è C (èëè îäíà èç ýòèõ ìàòðèö ) íóëåâûå, òî
ñèñòåìà ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé (4) ïðè óñëîâèÿõ (5) èìååò ðåøåíèå òîãäà è òîëü-
êî òîãäà, êîãäà A — íóëåâàÿ ìàòðèöà, ïðè÷åì ïñåâäîîáðàòíàÿ ê íåé ìàòðèöà òàê-
æå íóëåâàÿ.
Çàìå÷àíèå 2. Åñëè ìàòðèöû B è C ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûå, òî â ïðåäû-
äóùèõ óòâåðæäåíèÿõ (òåîðåìà 3, ñëåäñòâèÿ 1–4) âìåñòî ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö
ê ýòèì ìàòðèöàì íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü îáðàòíûå. Òîãäà óñëîâèÿ (5) çàâåäî-
ìî âûïîëíÿþòñÿ è ïîëó÷èì ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö
ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè (ñì., íàïðèìåð, [25]). Èç ñîîòâåòñòâóþ-
ùåãî ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû äëÿ íåâûðîæäåííûõ
âåñîâ ñëåäóåò ïðåäñòàâëåíèå ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà, ïîëó-
÷åííîå â ñòàòüå [26].
 ðàáîòå [3] èçó÷àëàñü âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà ñ âûðîæäåííû-
ìè âåñàìè, îïðåäåëåííàÿ ñèñòåìîé ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé
AXA A XAX X AXB AXB CXA CXA� � � �, , ( ) , ( )T T , (6)
ò.å. ñëó÷àé, êîãäà èäåìïîòåíòíàÿ ìàòðèöà AX ñèììåòðèçóåìà ñïðàâà ñèììåò-
ðèçàòîðîì B, à èäåìïîòåíòíàÿ ìàòðèöà XA ñèììåòðèçóåìà ñëåâà ñèììåòðèçà-
òîðîì C.  ýòîé ðàáîòå îïðåäåëåíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ñèñòåìà ìàòðè÷íûõ
óðàâíåíèé (6) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, è ïîëó÷åíî ïðåäñòàâëåíèå âçâå-
øåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñ-
êîãî ìíîãî÷ëåíà ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö.
62 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5
Òåîðåìà 4. Äëÿ òîãî ÷òîáû ñèñòåìà (6) èìåëà åäèíñòâåííîå ðåøåíèå
X A
BC
� � , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèå óñëîâèé
B BA A AC C A
EE EE
� �� �, , (7)
ïðè÷åì ìàòðèöà A
BC
� , óäîâëåòâîðÿþùàÿ (6), (7), ïðåäñòàâèìà â âèäå A
BC
� �
� � �C SA B
EE EE
T , ãäå S f A B ACEE EE� � �( )T — ìíîãî÷ëåí îò ìàòðèöû A B AC
EE EE
T � �
âèäà
S A B AC A B AC
k EE EE
k
EE EE
k
k� � � � �� � � � � � �
�� � �1 1
1
2
1[( ) ( )T T
� E ],
� p p n, , ,�1 � , — êîýôôèöèåíòû õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà f ( )� �
� � � � � �� � �� � � � �n n
n EE EE
E A B AC1
1
� det T[ ], à � k — ïîñëåäíèé, îòëè÷-
íûé îò íóëÿ êîýôôèöèåíò ýòîãî ìíîãî÷ëåíà, B
EE
� , C
EE
� — ïñåâäîîáðàòíûå
ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà ê ìàòðèöàì B è C ñîîòâåòñòâåííî.
Ñëåäñòâèå 1. Âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà, îïðåäåëåííàÿ óñëîâèÿ-
ìè (6), (7), èìååò òàêæå ñëåäóþùèå ïðåäñòàâëåíèÿ:
A S C A B C A B S C A S B
BC EE EE EE EE EE EE
� � � � � � �� � � �1 2 3
T T T
� �� � � � � �C S C A B C A B S B
EE EE EE EE EE EE
1 2
4
1 2 1 2
5
1 2/ / / /T T ,
ãäå S1, S 2 , S 3 — ìíîãî÷ëåíû îò ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö, à S 4 , S 5 — ìíî-
ãî÷ëåíû îò ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö âèäà
S C A B A C A B A
k EE EE
k
EE EE
k
k1
1 1
1
2� � � � �� � � � � � �
�� � �[( ) ( )T T
� 1E ],
S AC A B AC A B
k EE EE
k
EE EE
k
k2
1 1
1
2� � � � �� � � � � � �
�� � �[( ) ( )T T
� 1E ],
S B AC A B AC A
k EE EE
k
EE EE
k
k3
1 1
1
2� � � � �� � � � � � �
�� � �[( ) ( )T T
� 1E ],
S C A B AC C A B
k EE EE EE
k
EE E4
1 1 2 1 2 1
1
1 2� � �� � � � � �� �[( ) (/ / /T T
E EE
k
kAC E� � �
�� �1 2 2
1
/ ) ],� �
S B AC A B B AC
k EE EE EE
k
EE EE5
1 1 2 1 2 1
1
1 2� � �� � � � � �� �[( ) (/ / /T � � �
�� �A B E
EE
k
k
T 1 2 2
1
/ ) ].� �
Ñëåäñòâèå 2. Ñèììåòðèçóåìûå èäåìïîòåíòíûå ìàòðèöû A A
BC
� è AA
BC
� èìå-
þò ñëåäóþùèå ïðåäñòàâëåíèÿ:
A A C SA B A f C A B A
BC EE EE EE EE
� � � � �� � �T T( )
� � � � �� � � � � �
�� � �
k EE EE
k
EE EE
k
k E
C A B A C A B A C1
1
1
1[( ) ( ) (T T
�
E EE
A B A� �T )],
AA AC SA B f AC A B
BC EE EE EE EE
� � � � �� � �T T( )
� � � � �� � � � � �
�� � �
k EE EE
k
EE EE
k
kAC A B AC A B AC1
1
1
1[( ) ( ) (T T
�
EE EE
A B� �T )].
Ñëåäñòâèå 3. Èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà
A B AA A B
EE BC EE
T T� � �� , A A
BC
� C A C A
EE EE
� ��T T .
Ñëåäñòâèå 4. Ïðè rk A( ) �1 èìååì ôîðìóëó A A B AC
BC EE EE
� � � �� �[ ( )]tr T 1
� � �C A B
EE EE
T äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåí-
íûìè âåñàìè, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (6), (7).
 ðàáîòå [4] èçó÷àëàñü âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà ñ âûðîæäåííû-
ìè âåñàìè, îïðåäåëåííàÿ ñèñòåìîé ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé
AXA A XAX X AXB AXB XAC XAC� � � �, , ( ) , ( )T T , (8)
ò.å. ñëó÷àé, êîãäà îáå èäåìïîòåíòíûå ìàòðèöû AX è XA ñèììåòðèçóåìû ñïðà-
âà ñîîòâåòñòâåííî ñèììåòðèçàòîðàìè B è C . Â ýòîé ðàáîòå îïðåäåëåíû óñëî-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 63
âèÿ, ïðè êîòîðûõ ñèñòåìà ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé (3) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøå-
íèå, è ïîëó÷åíî ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â òåðìè-
íàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö.
Òåîðåìà 5. Äëÿ òîãî ÷òîáû ñèñòåìà (8) èìåëà åäèíñòâåííîå ðåøåíèå
X A
BC
� � , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèå óñëîâèé
B BA A rk AC rk A
EE
� � �, ( ) ( ), (9)
ïðè÷åì ìàòðèöà A
BC
� , óäîâëåòâîðÿþùàÿ (8), (9), ïðåäñòàâèìà â âèäå A
BC
� �
� �CSA B
EE
T , ãäå S f A B AC
EE
� �( )T — ìíîãî÷ëåí îò ìàòðèöû A B AC
EE
T � âèäà
S A B AC A B AC E
k EE
k
EE
k
k� � � � �� � � � �
�� � �1 1
1
2
1[( ) ( ) ]T T
� ,
� p p n, , ,�1 � , — êîýôôèöèåíòû õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà f ( )� �
� � � � � �� �� � � � �n n
n EE
E A B AC1
1
� det T[ ], à � k — ïîñëåäíèé, îòëè÷íûé
îò íóëÿ êîýôôèöèåíò ýòîãî ìíîãî÷ëåíà, B
EE
� — ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà Ìó-
ðà–Ïåíðîóçà ê ìàòðèöå B.
Ñëåäñòâèå 1. Âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà, îïðåäåëåííàÿ óñëîâèÿ-
ìè (8), (9), èìååò òàêæå ñëåäóþùèå ïðåäñòàâëåíèÿ:
A S CA B CA B S CA S B
BC EE EE EE
� � � �� � � �1 2 3
T T T
� �� � �C S C A B CA B S B
EE EE EE
1 2
4
1 2 1 2
5
1 2/ / / /T T ,
ãäå S1, S 2 , S 3 — ìíîãî÷ëåíû îò ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö, S 4 , S 5 — ìíîãî÷ëå-
íû îò ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö âèäà
S CA B A CA B A E
k EE
k
EE
k
k1
1 1
1
2
1� � � � �� � � � �
�� � �[( ) ( ) ]T T
� ,
S ACA B ACA B E
k EE
k
EE
k
k2
1 1
1
2
1� � � � �� � � � �
�� � �[( ) ( ) ]T T
� ,
S B ACA B ACA E
k EE
k
EE
k
k3
1 1
1
2
1� � � � �� � � � �
�� � �[( ) ( ) ]T T
� ,
S C A B AC C A B AC
k EE
k
EE
k
4
1 1 2 1 2 1
1
1 2 1 2� � �� � � �� �[( ) ( )/ / / /T T �
�� �2
1� � k E ],
S B ACA B B ACA B
k EE EE
k
EE EE5
1 1 2 1 2 1
1
1 2� � �� � � � �� �[( ) (/ / /T T � �
�� �1 2 2
1
/ ) ]k
k E� � .
Ñëåäñòâèå 2. Ñèììåòðèçóåìûå èäåìïîòåíòíûå ìàòðèöû A A
BC
� è AA
BC
� èìå-
þò ñëåäóþùèå ïðåäñòàâëåíèÿ:
A A CSA B A f CA B A
BC EE EE
� � �� � �T T( )
� � � � �� � � �
�
�� � �
k EE
k
EE
k
k EE
CA B A CA B A CA B A1
1
1
1[( ) ( ) (T T T
� )],
AA ACSA B f ACA B
BC EE EE
� � �� � �T T( )
� � � � �� � � �
�� � �
k EE
k
EE
k
k E
ACA B ACA B ACA B1
1
1
1[( ) ( ) ... (T T T
E
� )].
Ñëåäñòâèå 3. Èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà A B AA A BEE BC EE
T T� � �� , A ACA CABC
� �T T .
Ñëåäñòâèå 4. Ïðè rk A( ) �1èìååì ôîðìóëó A A B AC CA B
BC EE EE
� � � �� [ ( )]tr T T1
äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè,
îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (8), (9).
3. ÑÓÙÅÑÒÂÎÂÀÍÈÅ È ÅÄÈÍÑÒÂÅÍÍÎÑÒÜ ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ ÍÎÐÌÀËÜÍÛÕ
ÏÑÅÂÄÎÐÅØÅÍÈÉ Ñ ÂÛÐÎÆÄÅÍÍÛÌÈ ÂÅÑÀÌÈ
Ïóñòü
Ax f x fn m� � �, , ,� � (10)
— ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (ÑËÀÓ) ñ ïðîèçâîëüíîé ìàò-
ðèöåé A m n� �
� .
64 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5
 ðàáîòå [16] îïðåäåëåíà ñèñòåìà ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé, ðåøåíèå êîòîðîé
îïðåäåëÿåò ðåøåíèå ÑËÀÓ ïî ìåòîäó âçâåøåííûõ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. Òàì
æå óñòàíîâëåíà ñâÿçü ìåæäó âçâåøåííûìè ïñåâäîîáðàòíûìè ìàòðèöàìè, îïðåäå-
ëåííûõ óñëîâèÿìè (2), (3), è âçâåøåííûìè íîðìàëüíûìè ïñåâäîðåøåíèÿìè.
Ïóñòü Y A
B
n m� � �( , )1 3
� — ìàòðèöà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì AYA A� ,
( )BAY BAYT � , rk BA rk A( ) ( )� , ãäå A m n� �
� , à B B m m� � �T
� — ïîëîæèòåëü-
íî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà.
Òåîðåìà 6. Âåêòîð x A f
B
( , ) ( , )1 3 1 3� ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ïî ìåòîäó âçâåøåí-
íûõ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñèñòåìû (10) ñ âåñîâîé ìàòðèöåé B m m� �
� , ò.å.
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
|| | | min | | | |( , )Ax f Ax fB
x
B
n
1 3 � � �
��
. (11)
Ðåøåíèå ñèñòåìû (10) ïî ìåòîäó âçâåøåííûõ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ ïîëî-
æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûì âåñîì â îáùåì ñëó÷àå íå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì.
Îáùèé âèä òàêîãî ðåøåíèÿ óñòàíàâëèâàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 7. Ìíîæåñòâî âåêòîðîâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ (11), îïðåäåëÿåòñÿ ôîð-
ìóëîé z A f E A A y
B
� � �( , ) ( )( )1 3 1 , ãäå A ( )1 — ìàòðèöà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïåðâîìó
óñëîâèþ â (2), y — ïðîèçâîëüíûé âåêòîð èç �
n .
Òåîðåìà 8. Âåêòîð x A f
BC
� �� , ãäå ìàòðèöà A
BC
� îïðåäåëåíà óñëîâèÿìè
(2), (3), ÿâëÿåòñÿ â �
n
EE
C( )� âçâåøåííûì íîðìàëüíûì ïñåâäîðåøåíèåì ÑËÀÓ (10)
ñ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûìè âåñàìè B è C
EE
� , à èìåííî åäèíñòâåííûì ðå-
øåíèåì çàäà÷è: íàéòè
min | | | | , min | | | |
( )x C
C
x
B
n
EE
EE n
x Ax f
� � �
�
� � �
� ��
� Arg .
 ðàáîòå [2] óñòàíîâëåíà ñâÿçü ìåæäó âçâåøåííûìè ïñåâäîîáðàòíûìè ìàò-
ðèöàìè, îïðåäåëåííûìè óñëîâèÿìè (4), (5), è âçâåøåííûìè íîðìàëüíûìè ïñåâ-
äîðåøåíèÿìè.
Òåîðåìà 9. Âåêòîð x A f
BC
� �� , ãäå ìàòðèöà A
BC
� îïðåäåëåíà óñëîâèÿìè (4), (5),
ÿâëÿåòñÿ âçâåøåííûì íîðìàëüíûì ïñåâäîðåøåíèåì çàäà÷è (10) ñ ïîëîæèòåëü-
íî-ïîëóîïðåäåëåííûìè âåñàìè B è C, à èìåííî åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è:
íàéòè
min | | | | , min | | | |
( )x C
C
x
B
n n
x Ax f
� � �
� �
� ��
� Arg .
Îòìåòèì, ÷òî çàäà÷à íàõîæäåíèÿ âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ
ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè îáîáùàåò çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî
ïñåâäîðåøåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè [27, 28] è çàäà÷ó íàõîæ-
äåíèÿ íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ [29]. Çàäà÷à íàõîæäåíèÿ âçâåøåííîãî íîð-
ìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè ïî ôîðìóëèðîâêå áëèçêà ê çà-
äà÷å íàõîæäåíèÿ ML-âçâåøåííîãî ïñåâäîðåøåíèÿ [30]. Çíà÷èòåëüíîå âíèìàíèå
óäåëåíî èññëåäîâàòåëÿìè èçó÷åíèþ ñâîéñòâ è ïîñòðîåíèþ ìåòîäîâ âû÷èñëåíèÿ
âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, îïðåäåëåííûõ
óñëîâèÿìè (2), (3) â íàñòîÿùåé ñòàòüå, è ñîîòâåòñòâóþùèõ âçâåøåííûõ íîðìàëü-
íûõ ïñåâäîðåøåíèé (ñì. [31]), íàõîæäåíèþ L-ïñåâäîðåøåíèé [32] è ñâÿçàííûõ
íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé [33], ðåøåíèþ çàäà÷ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ ëè-
íåéíûìè è íåëèíåéíûìè ñâÿçÿìè [30]. Ðåøåíèå ðÿäà çàäà÷ íàèìåíüøèõ
êâàäðàòîâ ñ ëèíåéíûìè è íåëèíåéíûìè ñâÿçÿìè ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ
ML-âçâåøåííûõ [30] è âçâåøåííûõ [16] ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 65
 ðàáîòå [3] óñòàíîâëåíà ñâÿçü ìåæäó âçâåøåííûìè ïñåâäîîáðàòíûìè ìàò-
ðèöàìè, îïðåäåëåííûìè óñëîâèÿìè (6), (7), è âçâåøåííûìè íîðìàëüíûìè ïñåâ-
äîðåøåíèÿìè. Äîêàçàíû óòâåðæäåíèÿ îòíîñèòåëüíî ðåøåíèé ïî ìåòîäó âçâå-
øåííûõ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ.
Ïóñòü Y A R
B
n m� ��
�( , )1 3 — ìàòðèöà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì AYA A� ,
( )AYB AYBT � , B BA A
EE
� � , ãäå A m n� �
� , à B B m m� � �T
� — ïîëîæèòåëü-
íî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà.
Òåîðåìà 10. Âåêòîð x A f
B
( , ) ( , )1 3 1 3�
�
ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ïî ìåòîäó âçâåøåí-
íûõ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûì âåñîì
B
EE
m m� ��� ÑËÀÓ (10), ò.å. óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
|| | | min | | | |( , )Ax f Ax f
B
x
BEE n EE
1 3 � � �� �
��
. (12)
Òåîðåìà 11. Ìíîæåñòâî âåêòîðîâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ (12), îïðåäåëÿåòñÿ
ôîðìóëîé z A f E A A y
B
� � ��
( , ) ( )( )1 3 1 , ãäå A ( )1 — ìàòðèöà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïåð-
âîìó óñëîâèþ â (6), y — ïðîèçâîëüíûé âåêòîð èç �
n .
Òåîðåìà 12. Âåêòîð x A f
BC
� �� , ãäå ìàòðèöà A
BC
� îïðåäåëåíà óñëîâèÿìè
(6), (7), ÿâëÿåòñÿ â �
n C( ) âçâåøåííûì íîðìàëüíûì ïñåâäîðåøåíèåì ÑËÀÓ (10)
ñ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûìè âåñàìè B
EE
� è C , à èìåííî åäèíñòâåííûì
ðåøåíèåì çàäà÷è: íàéòè
min | | | | , min | | | |
( )x C
C
x
Bn n EE
x Ax f
� � �
� � �
� ��
� Arg .
 ðàáîòå [4] óñòàíîâëåíà ñâÿçü ìåæäó âçâåøåííûìè ïñåâäîîáðàòíûìè ìàò-
ðèöàìè, îïðåäåëåííûìè óñëîâèÿìè (8), (9), è âçâåøåííûìè íîðìàëüíûìè
ïñåâäîðåøåíèÿìè.
Òåîðåìà 13. Âåêòîð x A f
BC
� �� , ãäå ìàòðèöà A
BC
� îïðåäåëåíà óñëîâèÿìè
(8), (9), ÿâëÿåòñÿ âçâåøåííûì íîðìàëüíûì ïñåâäîðåøåíèåì ÑËÀÓ (10) ñ ïîëî-
æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûìè âåñàìè B
EE
� è C
EE
� , à èìåííî åäèíñòâåííûì ðå-
øåíèåì çàäà÷è: íàéòè
min | | | | , min | | | |
( )x C
C
x
Bn
EE
EE n EE
x Ax f
� � �
�
� �� �
� ��
� Arg .
4. ÂÇÂÅØÅÍÍÎÅ ÑÈÍÃÓËßÐÍÎÅ ÐÀÇËÎÆÅÍÈÅ ÌÀÒÐÈÖ Ñ ÂÛÐÎÆÄÅÍÍÛÌÈ
ÂÅÑÀÌÈ È ÂÇÂÅØÅÍÍÎÅ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÙÅÍÈÅ ÌÀÒÐÈÖ
 ðàáîòå [5] ïîëó÷åíî âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèö ñ âûðîæ-
äåííûìè âåñàìè íà îñíîâå âçâåøåííûõ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ
ïñåâäîîðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö. Îïðåäåëåíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâà-
íèÿ ïðåäëîæåííîãî âàðèàíòà âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö.
Ïðèâåäåí òàêæå îáçîð ëèòåðàòóðû ïî èñïîëüçîâàíèþ âçâåøåííîãî ñèíãóëÿð-
íîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè äëÿ òåîðåòè-
÷åñêèõ èññëåäîâàíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è ïîñòðîåíèÿ ìåòî-
äîâ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ íîðìàëü-
íûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè, à òàêæå äëÿ
àíàëèçà âëèÿíèÿ âîçìóùåíèé èñõîäíûõ äàííûõ íà ðåøåíèÿ çàäà÷ íàèìåíüøèõ
êâàäðàòîâ (ñì., íàïðèìåð, [34–36]).
66 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5
Òåîðåìà 14. Ïóñòü A m n� �
� è âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà
B BA A AC C A
EE EE
� �� �, , (13)
òîãäà äëÿ ìàòðèöû A ñóùåñòâóþò âçâåøåííàÿ îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà U m m� �
�
è âçâåøåííàÿ ïñåâäîîðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà V n n� �
� ñîîòâåòñòâåííî ñ âåñàìè
K m m� �
� è C n n� �
� òàêèå, ÷òî
U BAV
O m nr m
n m
T
diag åñëè
diag� �
� � �
�
( , , , , ) , ,� � �1 2 0 0� �
( , , , ... , )
, ,
� � �1 2 0 0� �
�
�
�
�
�
�
�
� r
m n
nO
m nåñëè
è
A U V C� � T ,
ãäå r — ðàíã ìàòðèöû A, ñòîëáöû ìàòðèöû U — îðòîíîðìèðîâàííûå â �
m K( )
ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû AC A B
EE
� T , ñòîëáöû ìàòðèöû V ñîñòîÿò èç ñèñ-
òåìû îðòîíîðìèðîâàííûõ è èçîòðîïíûõ â �
n C( ) ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàò-
ðèöû C A BA
EE
� T , � i , i r� �1, , , — êâàäðàòíûå êîðíè èç íåíóëåâûõ ñîáñòâåí-
íûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû AC A B
EE
� T , O
k
l k l� �
� — íóëåâàÿ ìàòðèöà,
B B m m� � �T
� — ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà, ìàòðèöà K m m� �
�
îïðåäåëåíà â ëåììå 7, ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü H B� .
Çàìå÷àíèå 3. Îòìåòèì, ÷òî âïåðâûå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå êâàäðàòíûõ ìàò-
ðèö ïîëó÷åíî â [37].  ðàáîòàõ [38, 39] ïîëó÷åíî âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå
ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè. Èç ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö,
îïðåäåëåííîãî â òåîðåìå 14, ñëåäóåò ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèö, ïîëó÷åííîå
â [39], à èç [39] ñëåäóåò ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèö, ïîëó÷åííîå â [37].
Çàìå÷àíèå 4. Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî èç ïåðâîãî óñëîâèÿ â (13) ñëåäóåò ïåðâîå
óñëîâèå â (5), ïîýòîìó âñå ñâîéñòâà âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðå-
äåëåííûõ óñëîâèåì (4), (5), áóäóò èìåòü ìåñòî äëÿ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëî-
âèåì (4), (13).
 [5] ïîëó÷åíû ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæ-
äåííûìè âåñàìè, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (4), (13), íà îñíîâå âçâåøåííîãî ñèí-
ãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö, ïîëó÷åííîãî â òåîðåìå 14.
Òåîðåìà 15. Âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà ê ìàòðèöå A, îïðåäåëåí-
íîé óñëîâèÿìè (4), (13), èìååò ðàçëîæåíèå A V U B
BC EE
� �� � T , ãäå ìàòðèöû V , U ,
B , � îïðåäåëåíû â òåîðåìå 14, ìàòðèöà �
EE
� ÿâëÿåòñÿ ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöåé
Ìóðà–Ïåíðîóçà ê ìàòðèöå �.
 ðàáîòàõ [6, 7] ïîëó÷åíî âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèö ñ âû-
ðîæäåííûìè âåñàìè íà îñíîâå îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö. Îïðåäåëåíû íåîáõîäè-
ìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ýòîãî ðàçëîæåíèÿ.
Òåîðåìà 16. Ïóñòü A R m n� � è âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà (13), òîãäà:
1) äëÿ ìàòðèöû A ñóùåñòâóþò îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû U m m� �
� è
V n n� �
� òàêèå, ÷òî
U B AC V
O
EE
r m
n m
T
diag åñëè
1 2 1 2
1 2 0 0
/ /
( , , , , ) ,
�
�
� �
� �
�
� � �� �
diag
åñëè
m n
O
m nr
m n
n
� �
�
�
�
�
� �
,
( , , , ... , )
, ,
� � �1 2 0 0�
�
è
A B U V C
EE
� �1 2 1 2/ /� T , (14)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 67
ãäå r — ðàíã ìàòðèöû A, ñòîëáöû ìàòðèöû U — îðòîíîðìèðîâàííûå â �
m E( )
ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû B AC A B
EE
1 2 1 2/ /� T , ñòîëáöû ìàòðèöû V —
îðòîíîðìèðîâàííûå â �
n E( ) ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû C A BAC
EE EE
� �1 2 1 2/ /T ,
� i i r, , ,� �1 , — êâàäðàòíûå êîðíè èç íåíóëåâûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàò-
ðèöû B AC A B
EE
1 2 1 2/ /� T , O
k
l k l� �
� — íóëåâàÿ ìàòðèöà;
2) óñëîâèÿ (13) ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè è äîñòàòî÷íûìè äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ
âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèöû A âèäà (14).
 [6, 7] ïîëó÷åíû ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæ-
äåííûìè âåñàìè, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (4), (5), íà îñíîâå âçâåøåííîãî ñèí-
ãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö, îïðåäåëåííîãî â òåîðåìå 16.
Òåîðåìà 17. Âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà äëÿ ìàòðèöû A ïðè âû-
ïîëíåíèè óñëîâèé (13) èìååò ðàçëîæåíèå A C V U B
BC EE EE
� � �� 1 2 1 2/ /� T , ãäå ìàòðè-
öû V , U , B , Ñ, � îïðåäåëåíû â òåîðåìå 16.
 ðàáîòå [23] ïîëó÷åíî äâà âàðèàíòà âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ
ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè íà îñíîâå âçâåøåííûõ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö.
Îïðåäåëåíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ýòèõ ðàçëîæåíèé.
Òåîðåìà 18. Ïóñòü A m n� �
� — ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà è âûïîëíÿþòñÿ óñëî-
âèÿ (13), ãäå B B m m� � �T
� è C C n n� � �T
� — ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåí-
íûå ìàòðèöû, òîãäà äëÿ ìàòðèöû A ñóùåñòâóþò âçâåøåííûå îðòîãîíàëüíûå ìàò-
ðèöû U m m� �
� è W n n� �
� ñîîòâåòñòâåííî ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âå-
ñàìè M m m� �
� è N n n� �
� òàêèå, ÷òî
U BAW
O m nr m
n m
T
diag åñëè
diag� �
� � �
�
( , , , , ) , ,� � �1 2 0 0� �
( , , , ... , )
, ,
� � �1 2 0 0� �
�
�
�
�
�
�
�
� r
m n
nO
m nåñëè
è
A U W N� � T ,
ãäå r — ðàíã ìàòðèöû A, ñòîëáöû ìàòðèöû U — îðòîíîðìèðîâàííûå â �
m M( )
ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû AC A B
EE
� T , ñòîëáöû ìàòðèöû W — îðòîíîðìè-
ðîâàííûå â �
n N( ) ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû C A BA
EE
� T , M K m m� � �
� ,
N K n n� � �
� , ìàòðèöà K îïðåäåëåíà â ëåììå 7, ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü
H B m m� � �
� â ñëó÷àå ìàòðèöû M è H C n n� � �
� â ñëó÷àå ìàòðèöû N ,
� i i r, , ,� �1 , — êâàäðàòíûå êîðíè èç íåíóëåâûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàò-
ðèöû AC A B
EE
� T , O
k
l k l� �
� — íóëåâàÿ ìàòðèöà.
 [23] ïîëó÷åíû ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæ-
äåííûìè âåñàìè, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (4), (13), íà îñíîâå âçâåøåííîãî ñèí-
ãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö, ïîëó÷åííîãî â òåîðåìå 18.
Òåîðåìà 19. Âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà, îïðåäåëåííàÿ óñëîâèÿìè
(4), (13), èìååò ðàçëîæåíèå A W U B
BC EE
� �� � T , ãäå ìàòðèöû W, U , B, � îïðåäåëå-
íû â òåîðåìå 18.
Òåîðåìà 20. Ïóñòü A m n� �
� — ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà è âûïîëíÿþòñÿ óñëî-
âèÿ (13), ãäå B B m m� � �T
� è C C n n� � �T
� — ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåí-
íûå ìàòðèöû, òîãäà äëÿ ìàòðèöû A ñóùåñòâóþò âçâåøåííûå îðòîãîíàëüíûå ìàò-
ðèöû G m m� �
� è V n n� �
� ñîîòâåòñòâåííî ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âå-
ñàìè M m m� �
� è N n n� �
� òàêèå, ÷òî
68 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5
G B AV
O m n
EE
r m
n m
T
diag åñëè
d
�
�
� �
� �
�
( , , , , ) , ,� � �1 2 0 0� �
iag
åñëè
( , , , ... , )
, ,
� � �1 2 0 0� �
�
�
�
�
�
�
�
� r
m n
nO
m n
è
A G V N� � T ,
ãäå r — ðàíã ìàòðèöû A, ñòîëáöû ìàòðèöû G — îðòîíîðìèðîâàííûå â �
m M( )
ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû ACA B
EE
T � , ñòîëáöû ìàòðèöû V — îðòîíîðìè-
ðîâàííûå â �
n N( ) ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû CA B A
EE
T � , M S m m� � �
� ,
N S n n� � �
� , ìàòðèöà S îïðåäåëåíà â ëåììå 8, ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü
H B m m� � �
� â ñëó÷àå ìàòðèöû M è H C n n� � �
� â ñëó÷àå ìàòðèöû N ,
� i i r, , ,� �1 , — êâàäðàòíûå êîðíè èç íåíóëåâûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàò-
ðèöû ACA B
EE
T � , O
k
l k l� �
� — íóëåâàÿ ìàòðèöà.
 [23] ïîëó÷åíû ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæ-
äåííûìè âåñàìè, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (8), (13), íà îñíîâå âçâåøåííîãî ñèí-
ãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö, ïîëó÷åííîãî â òåîðåìå 20.
Òåîðåìà 21. Âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà äëÿ ìàòðèöû A, îïðåäå-
ëåííàÿ óñëîâèÿìè (8), (13), èìååò ðàçëîæåíèå A V G B
BC EE EE
� � �� � T , ãäå ìàòðèöû
V , G , B, � îïðåäåëåíû â òåîðåìå 20.
5. ÐÀÇËÎÆÅÍÈß Â ÌÀÒÐÈ×ÍÛÅ ÑÒÅÏÅÍÍÛÅ ÐßÄÛ
È ÏÐÎÈÇÂÅÄÅÍÈß ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÕ ÌÀÒÐÈÖ
Ñ ÏÎËÎÆÈÒÅËÜÍÛÌÈ ÏÎÊÀÇÀÒÅËßÌÈ ÑÒÅÏÅÍÅÉ
Ðàññìîòðèì ðàçëîæåíèÿ â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ ñ ïîëî-
æèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âû-
ðîæäåííûìè âåñàìè.
Äëÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, îïðåäå-
ëåííûõ óñëîâèÿìè (2), (3), â ðàáîòå [14] ïîëó÷åíû ðàçëîæåíèÿ â ìàòðè÷íûå ñòå-
ïåííûå ðÿäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé íà îñíîâå ïðåäñòàâëåíèÿ
âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷å-
ñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííîãî â òåîðåìå 2.
Òåîðåìà 22. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A m n� � �0 � , ñèììåòðè÷íûõ ïîëî-
æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûõ ìàòðèö B m m� �
� , C n n� �
� , óäîâëåòâîðÿþùèõ
óñëîâèÿì (3), è äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà � , 0 2 1 2 1 2 1
�� �[ ( )]max
/ /C A BACT èìå-
åò ìåñòî ñîîòíîøåíèå
A C E C A BAC C A B
BC
k
k�
�
�
� ��� �1 2
0
1 2 1 2 1 2/ / / /( )T T . (15)
Ñëåäñòâèå 1. Èç (15) âûòåêàþò ñîîòíîøåíèÿ
A E CA BA CA B C E A BAC A B
BC
k
k
k
k�
�
�
�
�
� � � � �� �� � � �( ) ( )
0 0
T T T T
� � � � �
�
�
�
�
� �� � � �CA B E ACA B CA E BACA B
k
k
k
kT T T T( ) ( )
0 0
� �
�
�
�� �CA B E B ACA B B
k
kT T1 2
0
1 2 1 2 1 2/ / / /( ) .
 ðàáîòå [40] äëÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âå-
ñàìè, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (2), (3), ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå ðàçëîæåíèÿ â ìàò-
ðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 69
Òåîðåìà 23. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A m n� � �0 � , ñèììåòðè÷íûõ ïîëîæè-
òåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûõ ìàòðèö B m m� �
� è C n n� �
� , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëî-
âèÿì (3), è äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà � , 0 2 2
�� dmax , èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå
A C E E C A BAC C A B
BC
k
k�
�
�
� � �
� �1 2 1 2 1 2 2
0
1 2/ / / /( ){ }T T , (16)
ãäå dmax — ìàêñèìàëüíîå ñèíãóëÿðíîå ÷èñëî ìàòðèöû B AC1 2 1 2/ / .
Ñëåäñòâèå 1. Èç ðàâåíñòâà (16) âûòåêàåò ñïðàâåäëèâîñòü ñîîòíîøåíèé
A C E E A BAC A B E E CA BA C
BC
k
k k�
�
�
� � � � � �
� � � �{ } { }T T T( ) ( )2
0
2
k
A B
�
�
�
0
T
� � � � � �
�
�
� � � �CA B E E ACA B CA E E BACA B
k k
k k
T T T T{ } { }( ) ( )2
0
2
�
�
�
0
� � �
�
�
� �CA B E E B ACA B B
k
k
T T{ }1 2 1 2 1 2 2
0
1 2/ / / /( ) .
Äëÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (4), (5),
â ðàáîòå [2] ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå ðàçëîæåíèÿ â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû
è ïðîèçâåäåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé.
Òåîðåìà 24. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A m n� � �0 � , ñèììåòðè÷íûõ ïîëî-
æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûõ ìàòðèö B m m� �
� , C n n� �
� , óäîâëåòâîðÿþùèõ
óñëîâèÿì (5), è äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà � , 0 2 1 2 1 2 1
� � �� �[ ( )]max
/ /C A BAC
EE EE
T ,
èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ
A C E C A BAC C A
BC EE
k
EE EE
k
EE
� �
�
�
� � �� ��� �1 2
0
1 2 1 2 1 2/ / / /( )T TB , (17)
| | | | max | |,
/
/A A
BC p CB i i
p
EE
i
� �
�
�� ���
�
� ��1 2
0
1 2 1{ }, (18)
ãäå A C E C A BAC Cp EE
k
p
EE EE
k
EE� � �,
/ / /( )� �
�
�
� � �� �� 1 2
0
1
1 2 1 2 1T /2 A BT , p �1 2, ,� , � i —
ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû L C A BAC
EE EE
� � �1 2 1 2/ /T .
Ñëåäñòâèå 1. Èç (17) âûòåêàþò ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:
A E C A BA C A B C E A B
BC
k
EE
k
EE EE
k
�
�
�
� � �
�
�
� � � �� �� � � �( ) (
0 0
T T T AC A B
EE
k� �) T
� � � ��
�
�
� �
�
�
� �� � � �C A B E AC A B C A E BAC
EE
k
EE
k
EE
k
EE
T T T( ) (
0 0
� �A BkT )
� ��
�
�
��� �C A B E B AC A B B
EE
k
EE
kT T1 2
0
1 2 1 2 1 2/ / / /( ) .
 ñèëó ñëåäñòâèÿ 1 è ëåììû 3 èìååì ñëåäóþùåå ðàçëîæåíèå âçâåøåííûõ
ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèç-
âåäåíèå:
A E E C A BA C A B
BC EE EE
k
k� � �
�
�
� � �
� �{ }T T( )2
0
. (19)
70 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5
Îáîçíà÷èì A E E C A BA C A Bn EE EE
k
n k
� � �, ( )� � �
�
�
� � �
{ }T T2
0
1
, n �1 2, ,� Òîãäà
â ñèëó ëåììû 3 è ñîîòíîøåíèÿ (18) ïîëó÷èì
| | | | max | |,
/
/A A
BC n CB i i
EE
i
n� �
�
�� ���
�
� ��1 2
0
1 2 21{ }.
Íà îñíîâàíèè (19) ìîæíî ïîëó÷èòü äðóãèå âèäû ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ
ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ:
A C E E A BAC A B
BC EE EE
k
k� � �
�
�
� � � �
� �{ }T T( )2
0
� � �� � � �
�
� �C E E C A BAC C A B
EE EE EE EE
k
k1 2 1 2 1 2 2 1 2/ / / /( ){ }T T
0
�
�
� � � � � �� �
�
�
�
� � � �C A B E E AC A B C A E E BAEE EE
k
EE
kT T T{ } {( ) (2
0
C A BEE
k
k�
�
�
�T })2
0
� � �� �
�
�
� �C A B E E B AC A B B
EE EE
k
kT T{ }1 2 1 2 1 2 2
0
1 2/ / / /( ) .
Äëÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö , îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (6), (7),
â ðàáîòå [3] ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå ðàçëîæåíèÿ â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðî-
èçâåäåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé íà îñíîâå ïðåäñòàâëåíèÿ âçâå-
øåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ
ìíîãî÷ëåíîâ ñèììåòðèçóåìûõ è ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííîãî â òåîðåìå 4.
Òåîðåìà 25. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A m n� � �0 � , ñèììåòðè÷íûõ ïîëîæè-
òåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûõ ìàòðèö B m m� �
� , C n n� �
� , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâè-
ÿì (6), (7), è äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà �, 0 2 1 2 1 2 1
� � � �� �[ ( )]max
/ /C A B AC
EE EE EE
T ,
èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ
A C E C A B AC C
BC EE
k
EE EE EE
k
EE
� �
�
�
� � � �� ��� �1 2
0
1 2 1 2 1/ / /( )T /2 A B
EE
T � ,
(20)
| | | | max | |,
/
/A A
BC p CB i i
p
i
� �
�
�� ��
�
� ��1 2
0
1 2 1{ },
ãäå A C E C A B AC Cp EE
k
p
EE EE EE
k
E� � �,
/ / /( )� �
�
�
� � �� �� 1 2
0
1
1 2 1 2T
E EE
A B� �1 2/ T , p �1 2, ,� ;
� i — ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû L C A B AC
EE EE EE
� � � �1 2 1 2/ /T .
Ñëåäñòâèå 1. Èç (20) èìååì ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:
A E C A B A C A B
BC
k
EE EE
k
EE EE
�
�
�
� � � �� � ��� �( )
0
T T
� � ��
�
�
� � ��� �C E A B AC A B
EE
k
EE EE
k
EE
( )
0
T T
� � � �� �
�
�
� � �
�
�
�� � � �C A B E AC A B C A EEE EE
k
EE EE
k
EE
k
T T T( ) (
0 0
� � � � �B AC A BEE EE
k
EE
T )
� �� �
�
�
� � ��� �C A B E B AC A B B
EE EE
k
EE EE EE
k
EE
T T1 2
0
1 2 1 2/ / /( ) �1 2/ .
 [3] òàêæå ïîëó÷åíû ôîðìóëû ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ
ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 71
A E E C A B A C A B
BC EE EE EE EE
k
k� � � � �
�
�
� � � �
� �{ }T T( )2
0
� � � �� � � �
�
�
� �C E E A B AC A B
EE EE EE EE
k
k
{ }T T( )2
0
� � �� � � � �� �C E E C A B AC C A
EE EE EE EE EE
k1 2 1 2 1 2 2 1 2/ / / /( ){ }T T B
EE
k
�
�
�
�
0
� � � �� � � �
�
�
� �C A B E E AC A B
EE EE EE EE
k
kT T{ }( )2
0
� � � �� � � �
�
�
� �C A E E B AC A B
EE EE EE EE
k
kT T{ }( )2
0
� � �� � � � �
�
� �C A B E E B AC A B
EE EE EE EE EE
k
kT T{ }1 2 1 2 1 2 2
0
/ / /( )
�
�
B
EE
1 2/
è îöåíêà
| | | | max | |,
/
/A A
BC n CB i i
i
n� �
�
�� ��
�
� ��1 2
0
1 2 21{ },
ãäå A E E C A B A C A Bn EE EE EE EE
k
n k
� � �, ( )� � � � �
�
�
� � �
{ }T T2
0
1
, n �1 2, ,�
Äëÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (8), (9),
â ðàáîòå [4] ïîëó÷åíû ðàçëîæåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé
â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ.
Òåîðåìà 26. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A m n� � �0 � , ñèììåòðè÷íûõ ïîëî-
æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûõ ìàòðèö B m m� �
� , C n n� �
� , óäîâëåòâîðÿþùèõ
óñëîâèÿì (9), è äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà �, 0 2 1 2 1 2 1
� �� �[ ( )]max
/ /C A B AC
EE
T ,
èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ
A C E C A B AC C A B
BC
k
EE
k
EE
�
�
�
� �� ��� �1 2
0
1 2 1 2 1 2/ / / /( )T T ,
(21)
| | | | max | |,
/
/A A
BC p C B i i
p
EE
i
� �
�
�� ���
�
� ��1 2
0
1 2 1{ },
ãäå A C E C A B AC C A Bp
k
p
EE
k
EE� � �,
/ / / /( )�
�
�
� �� �� 1 2
0
1
1 2 1 2 1 2T T , p �1 2, ,� ;
� i — ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû L C A B AC
EE
� �1 2 1 2/ /T .
Ñëåäñòâèå 1. Èç (21) âûòåêàþò ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:
A E CA B A CA B C E A B
BC
k
EE
k
EE
k
EE
�
�
�
� �
�
�
�� � � �� �� � � �( ) (
0 0
T T T AC A Bk
EE
) T � �
� � � ��
�
�
�
�
�
�� �� � � �CA B E ACA B CA E B ACA
EE
k
EE
k
k
EE
T T T T( ) (
0 0
)k
EE
B � �
� ��
�
�
� � ��� �CA B E B ACA B B
EE
k
EE EE
k
EE
T T1 2
0
1 2 1 2 1 2/ / / /( ) .
 [4] ïîëó÷åíû ôîðìóëû ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ
âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ
A C E E A B AC A B
BC EE EE
k
k� � �
�
�
� � � �
� �{ }T T( )2
0
72 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5
� � � �� �
�
�
� �C E E C A B AC C A B
EE EE
k
k1 2 1 2 1 2 2 1 2
0
/ / / /( ){ }T T
� � � � � �� �
�
�
�
� � � �CA B E E ACA B CA E E B AEE EE
k
EE
kT T T{ } {( ) (2
0
CA B
k
EE
k
T })2
0
�
�
�
�
� � �� � �
�
�
�
� �CA B E E B ACA B B
EE EE EE
k
EE
kT T{ }1 2 1 2 1 2 2
0
/ / /( ) 1 2/ �
� � � � �
�
�
� �{ }T TE E CA B A CA B
EE EE
k
k
( )2
0
è îöåíêà
| | | | max | |,
/
/A A
BC n C B i i
EE
i
n� �
�
�� ���
�
� ��1 2
0
1 2 21{ },
ãäå A E E CA B A CA Bn EE EE
k
n k
� � �, ( )� � �
�
�
� � �
{ }T T2
0
1
, n �1 2, ,�
6. ÐÀÇËÎÆÅÍÈß Â ÌÀÒÐÈ×ÍÛÅ ÑÒÅÏÅÍÍÛÅ ÐßÄÛ È ÏÐÎÈÇÂÅÄÅÍÈß
ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÕ ÌÀÒÐÈÖ Ñ ÎÒÐÈÖÀÒÅËÜÍÛÌÈ
ÏÎÊÀÇÀÒÅËßÌÈ ÑÒÅÏÅÍÅÉ È ÏÐÅÄÅËÜÍÛÅ ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈß ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ
ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÕ ÌÀÒÐÈÖ
Äëÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, îïðåäåëåí-
íûõ óñëîâèÿìè (2), (3), â ðàáîòå [20] ïîëó÷åíû ðàçëîæåíèÿ â ìàòðè÷íûå ñòå-
ïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé íà
îñíîâå ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â òåðìèíàõ êîýô-
ôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö, îïðåäå-
ëåííîãî â òåîðåìå 1, à òàêæå ñâîéñòâà ïñåâäîîáðàùåíèÿ ïî Ìóðó–Ïåíðîóçó
äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ìàòðèö.
Òåîðåìà 27. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A m n� � �0 � , ñèììåòðè÷íûõ ïîëîæè-
òåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûõ ìàòðèö B m m� �
� è C n n� �
� , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëî-
âèÿì (3), è äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà �, 0
�� , èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ
A C C A BAC E C A B
BC
k
k
k� �
�
�
�� � �� � �1 1 2
1
1 2 1 2 1 2/ / / /( )T T
� � ��
�
�
�� � �k
k
kCA BA E CA B1
1
( )T T
� � ��
�
�
� �
�
�
� �� � �k
k
k k
k
C A BAC E A B CA B B AC1
1
1 1 2
1
1 2( ) (/ /T T T A B E BkT 1 2 1 2/ /)� ���
� � � ��
�
�
� �
�
�
�� �� � � �k
k
k k
k
CA B ACA B E CA BACA E1
1
1
1
T T T T( ) ( ) k B ,
ïðè÷åì
| | | | [ ( ) ] | |
, min
* / /A A C A BAC A
BC p C V
p p
EE
� � �� ���
� � �1 2 1 2T
BC C VEE
�
�| | , (22)
ãäå A C C A BAC E C A B
p
k
k
p
k
�
� �
,
/ / / /( )� �
�
�� �� 1 1 2 1 2
1
1 2 1 2T T , p �1 2, ,� ;
V — ëþáàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ èëè ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ
ìàòðèöà, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ rk A A V rk A A
BC p BC p
[( ) ] ( )
, ,
� � � �� � �
� �
,
� min
* ( )L — ìèíèìàëüíîå íåíóëåâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû L.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 73
Ñëåäñòâèå 1. Èç (22) èìååì îöåíêó
| | | | [ ( ) ] | | | |
, min
*A A CA BA A
BC p C V
p p
BC CEE E
� � � �� ���
� � �T
EV� , (23)
ãäå A CA BA E CA B
p
k
k
p
k
�
� �
,
( )� �
�
�� �� 1
1
T T , A CA B ACA B E
p
k
k
p
k
�
� �
,
( )� �
�
�� �� 1
1
T T ,
p � 1 2, ,�
Èç îöåíêè (23) èìååì äëÿ ëþáîãî p �1 2, ,� ñëåäóþùèå ïðåäåëüíûå ïðåä-
ñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè:
A C A BA E CA B
p
k
k
p
k
� �
� �
,
lim ( )�
��
�
�
�� ��
0
1
1
T T ,
(24)
A CA B AC A B E
p
k
k
p
k
� �
� �
,
lim ( )�
��
�
�
�� ��
0
1
1
T T .
Íà îñíîâàíèè ñëåäñòâèÿ 1 èç òåîðåìû 27 è ëåììû 4 èìååì ñëåäóþùåå ðàç-
ëîæåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷-
íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå
A E CA BA E CA BA E CA B
BC
k
k k�
�
�
� �� � � �
{ }T T T
0
2 2 1� � �( ) ( )( ) .
 ñèëó ëåììû 4 è îöåíêè (23) ïîëó÷èì
| | | | [ ( ) ] | |
, min
* ( )A A CA BA A
BC n C V BCEE
n n� � � �� ���
� � �2 2T | |
C VEE
� , (25)
ãäå A E CA BA E CA BA E CA
n
k
n k k
�
� � �
,
( )( ) ( )�
�
�
� �� � � �
{ }T T T
0
1
2 2 1 B , n � �1 2, ,
Èç îöåíêè (25) äëÿ ëþáîãî n � �1 2, , èìååì ñëåäóþùåå ïðåäåëüíîå ïðåä-
ñòàâëåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè:
A E CA BA E CA BA E
BC
k
n k k�
�� �
�
�� � � �
lim ( ) (( )
�
� � �
0 0
1
2 2{ }T T )�1CA BT . (26)
Îïðåäåëåíèå 3. Ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ (24), (26) â ðàáîòå [20] íàçâàíû ìíî-
ãî÷ëåííûìè ïðåäåëüíûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö.
Ïðè p �1 èç (24) èìååì îäíî÷ëåííûå ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ
ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, èññëåäîâàííûå â ðàáîòå [15]. Ðàç-
ëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íûå
ñòåïåííûå ðÿäû è ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ ïðè � �1 èññëåäîâàíû ñîîò-
âåòñòâåííî â ðàáîòàõ [16] è [40], ïðè p �1, B C E� � èìååì ïðåäåëüíîå ïðåäñòàâëå-
íèå ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà, ïðåäëîæåííîå è èññëåäîâàííîå â ðà-
áîòå [41]. Ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäå-
ëåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå
ïðîèçâåäåíèÿ ïðè � �1 èññëåäîâàíû ñîîòâåòñòâåííî â ðàáîòàõ [42, 43].
 ðàáîòàõ [44, 45] èññëåäîâàíû äðóãèå âèäû ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâ-
äîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (2), (3), ñîîòâåòñòâåííî â ìàòðè÷-
íûå ñòåïåííûå ðÿäû è â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ. Îíè ìîãóò ñëóæèòü
àëüòåðíàòèâîé ðàññìîòðåííûì âûøå ðàçëîæåíèÿì.
Òåîðåìà 28. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A m n� � �0 � , ñèììåòðè÷íûõ ïîëî-
æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûõ ìàòðèö B m m� �
� è C n n� �
� , óäîâëåòâîðÿþùèõ
óñëîâèÿì (3), è äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà 0
�� èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå
ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàò-
ðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû:
74 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5
A C E C A BAC C
BC
k
k�
�
�
�� ��� �
1
1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( )T A B E CA BA CA B
k
kT T T� �
�
�
��� �( )
1
,
ïðè÷åì
| | | | [ ( )] | | | |, min
*A A CA BA A
BC p C E
p
BC CEE m E
� � � �� ��� � �1 T
E mE� ,
ãäå A E CA BA CA Bp
k
p
k
� � �, ( )�
�
�� ��
1
T T , � min
* ( )L — ìèíèìàëüíîå íåíóëåâîå
ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû L.
Ñëåäñòâèå 1. Äëÿ ëþáîãî p � �1 2, , èìååì ñëåäóþùåå ïðåäåëüíîå ïðåäñòàâ-
ëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû, îïðåäåëåííîé óñëîâèÿìè (2), (3):
A E CA BA CA B
BC
k
p
k�
�� �
�� ��lim ( )
�
� �
1
T T .
Òåîðåìà 29. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A m n� � �0 � , ñèììåòðè÷íûõ ïîëî-
æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûõ ìàòðèö B m m� �
� è C n n� �
� , óäîâëåòâîðÿþùèõ
óñëîâèÿì (3), è äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà 0
�� èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå
ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàò-
ðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ:
A C E C A BAC E E C A BACBC
� � �� � � �� � �1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2/ / / / /( ) ( )T T{ ( ) /2 1 2
0
k
C A B
k
} T
�
�
�
� � � �� �
�
�
� � �( ) ( ) ( )E CA BA E E CA BA CA B
k
k
T T T{ }1 2
0
,
ïðè÷åì
| | | | [ ( )], min
* / / ( )A A C A BAC
BC n C EEE m
n� � �� ��� ��1 1 2 1 2 2T | | | |A
BC C EEE m
�
� ,
ãäå
A C E C A BAC E E C A BACn� � � �,
/ / / / /( ) ( )� �� � � �1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2T T{ �
�
�
( ) /2 1 2
0
1 k
C A B
k
n
} T ,
n �1 2, ,�
Ñëåäñòâèå 1. Äëÿ ëþáîãî n � �1 2, , èìååì ñëåäóþùåå ïðåäåëüíîå ïðåäñòàâ-
ëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû, îïðåäåëåííîé óñëîâèÿìè (2), (3):
A E CA BA E E CA BA C
BC
k
n k�
��
� �
�
�
� � � �lim ( ) ( ) ( )
�
� � �T T{ }1 2
0
1
A BT .
 äàëüíåéøåì áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî äëÿ âåñîâûõ ìàòðèö B è C âûïîëíÿ-
þòñÿ óñëîâèÿ (13).
Äëÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, îïðåäå-
ëåííûõ óñëîâèÿìè (8), (13), â ðàáîòå [23] ïîëó÷åíû ðàçëîæåíèÿ â ìàòðè÷íûå ñòå-
ïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé íà îñíî-
âå âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö è ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ
ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ ñîîòâåòñòâåííî â òåîðåìàõ 20, 21 íàñòîÿ-
ùåé ñòàòüè.
Òåîðåìà 30. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A m n� � �0 � , ñèììåòðè÷íûõ ïîëî-
æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûõ ìàòðèö B m m� �
� è C n n� �
� , óäîâëåòâîðÿþùèõ
óñëîâèÿì (27), è äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà 0
�� èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ðàç-
ëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (8), (13),
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 75
â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû:
A CA B B ACA B E B
BC
k
EE
k
EE EE
k� � �
�
�
� � �� �� � �1 1 2
1
1 2 1 2T T/ / /( )
EE
� �1 2/
� � ��
�
�
� � �� � �k
k
EE
k
EE
CA B A E CA B1
1
( )T T � �k
EE
k
EE
kCA B ACA B E� �
�
�
� �� � �1
1
T T( )
� � ��
�
�
� � �� � �k
k
EE
k
EE
C A B AC E A B1
1
( )T T
� � ��
�
�
� � �� � �k
k
EE
k
EE
C C A B AC E C A B1 1 2
1
1 2 1 2 1 2/ / / /( )T T
� ��
�
�
� � �� � �k
k
EE
k
EE
CA B ACA E B1
1
T T( ) ,
ïðè÷åì
| | | | ( )
, /A A
BC p C B
p p
EE
� �
�
�
�
�� ���
� � � �1 2
1 2 ,
ãäå A CA B B ACA B E
p
k
EE
k
p
EE EE
k
�
� �
,
/ / /( )� � �
�
� � �� �� 1 1 2
1
1 2 1 2T T B
EE
�1 2/ , p �1 2, ,� ;
�� — ìèíèìàëüíûé íåíóëåâîé äèàãîíàëüíûé ýëåìåíò ìàòðèöû �, îïðåäåëåí-
íîé â òåîðåìå 20.
Íà îñíîâàíèè òåîðåìû 30 è ëåììû 4 èìååì ñëåäóþùåå ðàçëîæåíèå âçâå-
øåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íîå
ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå:
A E CA B A E CA B A E
BC
k
EE EE
k k�
�
�
� � � �� � � �
{ }T T
0
2 2 1� � �( ) ( )( ) CA B
EE
T � .
Îáîçíà÷èì A E CA B A E CA B A E
n
k
n
EE EE
k k
�
� � �
,
( )( ) (�
�
�
� � �� � � �
{ }T T
0
1
2 2 )� �1CA B
EE
T ,
n � �1 2, , Òîãäà
| | | | ( )
,
( )
/A A
BC n C BEE
n n� �
�
�
�
�� ���
� � � �1 2
1 2 2 2 .
Äëÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, îïðåäåëåí-
íûõ óñëîâèÿìè (4), (13), â ðàáîòå [7] ïîëó÷åíû ðàçëîæåíèÿ â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå
ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé íà îñíîâå âçâåøåí-
íîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö è ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ
ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ ñîîòâåòñòâåííî â òåîðåìàõ 16, 17 íàñòîÿùåé ñòàòüè.
Òåîðåìà 31. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A m n� � �0 � , ñèììåòðè÷íûõ ïîëî-
æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûõ ìàòðèö B m m� �
� è C n n� �
� , óäîâëåòâîðÿþùèõ
óñëîâèÿì (13), è äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà 0
�� èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå
ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (4),
(13), â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû:
A C A B B AC A B E B
BC
k
EE
k
EE
k� � �
�
�
� �� �� � �1 1 2
1
1 2 1 2 1 2T T/ / / /( ) �
� � ��
�
�
� � �� � �k
k
EE
k
EE
C A BA E C A B1
1
( )T T � �k
EE
k
EE
kC A B AC A B E� �
�
�
� �� � �1
1
T T( )
� � �� �
�
�
� �� � �k
EE
k
EE
kC A BAC E A B1
1
( )T T
� �� �
�
�
� � � �� � �k
EE
k
EE EE
k
EE
C C A BAC E C A1 1 2
1
1 2 1 2 1 2/ / / /( )T T B �
� �� �
�
�
� �� � �k
EE
k
EE
kC A BAC A E B1
1
T T( ) ,
76 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5
ïðè÷åì
| | | | ( )
, /A A
BC p CB
p p
EE
� �
�
�
�
�� ���
� � � �1 2
1 2 , (27)
ãäå A C A B B AC A B E B
p
k
EE
k
p
EE
k
�
� �
,
/ / / /( )� � �
�
� �� �� 1 1 2
1
1 2 1 2 1T T 2 ; p �1 2, ,� ,
�� — ìèíèìàëüíûé íåíóëåâîé äèàãîíàëüíûé ýëåìåíò ìàòðèöû �, îïðåäåëåí-
íîé â òåîðåìå 16.
Íà îñíîâàíèè òåîðåìû 31 è ëåììû 4 èìååì ðàçëîæåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîá-
ðàòíîé ìàòðèöû ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå
A E C A BA E C A BA E
BC
k
EE EE
k k�
�
�
� � � �� � � �
0
2 2 1{ }T T� � �( ) ( )( ) C A B
EE
� T .
Îáîçíà÷èì
A E C A BA E C A BA E
n
k
n
EE EE
k k
�
� � �
,
( )( ) (�
�
�
� � �� � � �
0
1
2 2{ }T T )� �1C A B
EE
T , n � �1 2, ,
Òîãäà
| | | | ( )
,
( )
/A A
BC n CBEE
n n� �
�
�
�
�� ���
� � � �1 2
1 2 2 2 . (28)
Èç îöåíêè (27) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî p � �1 2, , èìååì ïðåäåëüíîå ïðåäñòàâ-
ëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû
A C A BA E C A B
BC
k
k
p
EE
k
EE
�
��
�
�
� � �� ��lim ( )
�
� �
0
1
1
T T ,
à èç îöåíêè (28) äëÿ ëþáîãî n � �1 2, , èìååì
A E C A BA E C A
BC
k
n
EE EE
k k�
�� �
�
� � �� � �
lim ( ) (( )
�
� �
0 0
1
2 2{ }T T TBA E C A B
EE
� � �� ) 1 .
7. ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈÅ ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÕ ÌÀÒÐÈÖ
×ÅÐÅÇ ÄÐÓÃÈÅ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÅ ÌÀÒÐÈÖÛ
Èçëîæèì ôîðìóëû äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû
ñ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûìè âåñàìè, îïðåäåëåííîé óñëîâèÿìè (2), (3),
÷åðåç ïñåâäîîáðàòíóþ ìàòðèöó Ìóðà–Ïåíðîóçà è ÷àñòíûå âèäû âçâåøåííûõ
ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö [46].
Òåîðåìà 32. Ïóñòü A m n� �
� , B m m� �
� è C n n� �
� — ñèììåòðè÷íûå ïîëî-
æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûå ìàòðèöû, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì (3). Òîã-
äà âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà A
BC
� , îïðåäåëåííàÿ óñëîâèÿìè (2), (3),
ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
A C B AC B
BC EE
� �� �1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( ) C C A BAC C A B
EE
1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( )T T� �
� ��CA B B ACA B B
EE
T T1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( ) CA B ACA B
BBEE
T T( )
�
� �
� �
�
�CA BACA
B BEE
T T( ) ( )CA BA CA B
C CEE
T T
�
� �
� �
�
�C A BAC A B
CCEE
( )T T ( )A BA A B
CC
T T� � CA ACA
BB
T T( )� .
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 32 èñïîëüçóþòñÿ ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ
ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà [13] è âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé
ìàòðèöû [15], ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû â òåðìèíàõ
êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö, ïî-
ëó÷åííîå â òåîðåìå 2 íàñòîÿùåé ñòàòüè.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 77
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ñòàòüå ïðèâåäåí îáçîð îñíîâíûõ ðàáîò, â êîòîðûõ èññëåäîâàíû ôóíäàìåí-
òàëüíûå ñâîéñòâà âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè,
à èìåííî ïîëó÷åíû íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ
è åäèíñòâåííîñòè ýòèõ ìàòðèö, óñòàíîâëåíà ñâÿçü âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ
ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè ñî âçâåøåííûìè íîðìàëüíûìè ïñåâäîðåøåíèÿ-
ìè, äàíî ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè
âåñàìè â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ñèììåòðè÷-
íûõ è ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö , ïîëó÷åíû è èññëåäîâàíû ðàçëîæåíèÿ ýòèõ ìàò-
ðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ, ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ
ýòèõ ìàòðèö, ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííû-
ìè âåñàìè ÷åðåç äðóãèå ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû, ïîëó÷åíû âçâåøåííûå ñèíãó-
ëÿðíûå ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, íà îñíîâå êîòîðûõ îïðåäå-
ëåíû ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè.
Èññëåäîâàííûå ñâîéñòâà âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè
âåñàìè èñïîëüçîâàíû â öèòèðóåìûõ âûøå ïóáëèêàöèÿõ è â äðóãèõ ðàáîòàõ ïðè
ïîñòðîåíèè è èññëåäîâàíèè ïðÿìûõ è èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ äëÿ âû÷èñëåíèÿ
âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé
ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, ðåøåíèÿ çàäà÷ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. W a r d J . F . , B o u l l i o n T . L . , L e w i s T . O . Weighted pseudoinverses with singular weights
// SIAM J. Appl. Math. — 1971. — 21, N 3. — P. 480–482.
2. Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . Âçâåøåííûå ïñåâäîîáðàòíûå ìàò-
ðèöû è âçâåøåííûå íîðìàëüíûå ïñåâäîðåøåíèÿ ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè // Æóðíàë âû-
÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. — 2009. — 49, ¹ 8. — Ñ. 1347–1363.
3. Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü
âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ âûðîæäåí-
íûìè âåñàìè // Óêðà¿íñüêèé ìàòåìàòè÷íèé æóðíàë. — 2011. — 63, ¹ 1. — Ñ. 80–101.
4. Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèí-
ñòâåííîñòè â òåîðèè âçâåøåííîé ïñåâäîèíâåðñèè ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè // Êèáåðíåòèêà
è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2011. — ¹ 1. — Ñ. 14–33.
5. Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . Âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæå-
íèå è âçâåøåííîå ïñåâäîîáðàùåíèå ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè // Æóðíàë âû÷èñëèòåëü-
íîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. — 2012. — 52, ¹ 12. — Ñ. 2115–2132.
6. à à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à  . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È .  . Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëî-
âèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ îäíîãî èç âàðèàíòîâ âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö ñ âû-
ðîæäåííûìè âåñàìè // Äîêëàäû ÐÀÍ. — 2014. — 455, ¹ 3. — Ñ. 261–264.
7. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , à à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à  . Ñ . Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëî-
âèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè //
Óêðà¿íñüêèé ìàòåìàòè÷íèé æóðíàë. — 2015. — 67, ¹ 3. — Ñ. 406–426.
8. M i t r a S . K . , R a o C . R . Projections under seminorms and generalized Moore–Penroze inverses
// Linear Algebra and Appl. — 1974. — 9. — P. 155–167.
9. C e n s o r Y . , E l f v i n g T . Block-iterative algorithms with diagonally skaled oblique projections
for the linear feasibility problem // SIAM J. Matrix. Anal. — 2002. — 24, N 1. — P. 40–58.
10. C e n s o r Y . , E l f v i n g T . Iterative algorithms with seminorm-induced oblique projections //
Abstr. Appl. Anal. — 2003. — N 7. — P. 387–406.
11. M o o r e E . H . On the reciprocal of the general algebraic matrix // Abstract. Bull. Amer. Math. Soc.
— 1920. — 26. — P. 394–395.
12. P e n r o s e R . A generalized inverse for matrices // Proc. Cambridge Phil. Soc. — 1955. — 51, N 3.
— P. 406–413.
13. À ë á å ð ò À . Ðåãðåññèÿ, ïñåâäîèíâåðñèÿ è ðåêóððåíòíîå îöåíèâàíèå. — Ì.: Íàóêà, 1977. —
223 ñ.
14. Ã à ë á à Å . Ô . , Ì î ë ÷ à í î â È . Í . , Ñ ê î ï å ö ê è é Â . Â . Èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ âû-
÷èñëåíèÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè // Êèáåðíåòèêà è
ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1999. — ¹ 5. — Ñ. 150–169.
15. Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . Ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåí-
íûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè è ðåãóëÿðèçàöèÿ çàäà÷ // Æóðíàë âû÷èñëè-
òåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. — 2004. — 44, ¹ 11. — Ñ. 1928–1946.
78 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5
16. à à ë á à Å . Ô . Èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ
ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè // Æóðíàë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. —
1999. — 39, ¹ 6. — Ñ. 882–896.
17. L a n c a s t e r P . , R o z s a P . Eigenvectors of H-self-adjoint matrices // Z. Angew. Math. und
Mech. — 1984. — 64, N 9. — S. 439–441.
18. G o h b e r g I . , L a n c a s t e r P . , R o d m a n L . Indefinite linear algebra and applications. —
Basel; Boston; Berlin: Birkh��auser Verlag, 2005. — 357 p.
19. È ê ð à ì î â Õ . Ä . Îá àëãåáðàè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ êëàññîâ ïñåâäîïåðåñòàíîâî÷íûõ è Í-ñàìî-
ñîïðÿæåííûõ ìàòðèö // Æóðíàë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. —
1992. — 32, ¹ 8. — Ñ. 155–169.
20. à à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à  . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È .  . Ðàçëîæåíèÿ è ìíîãî÷ëåííûå ïðåä-
åëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö // Æóðíàë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòå-
ìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. — 2007. — 47, ¹ 5. — Ñ. 747–766.
21. È ê ð à ì î â Õ . Ä . Çàäà÷íèê ïî ëèíåéíîé àëãåáðå. — Ì.: Íàóêà, 1975. — 320 ñ.
22. Õ î ð í Ð . , Ä æ î í ñ î í × . Ìàòðè÷íûé àíàëèç. — Ì.: Ìèð, 1989. — 656 c.
23. Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ã à ë á à Å . Ô . Âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèö ñ âûðîæ-
äåííûìè âåñàìè íà îñíîâå âçâåøåííûõ îðòîãîíàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé // Êèáåðíåòèêà è ñèñ-
òåìíûé àíàëèç. — 2015. — 51, ¹ 4. — Ñ. 28–43.
24. Ã à ë á à Å . Ô . Âçâåøåííîå ïñåâäîîáðàùåíèå ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè // Óêðà¿íñüêèé
ìàòåìàòè÷íèé æóðíàë. — 1994. — 46, ¹ 10. — Ñ. 1323–1327.
25. Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ
âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè è ðåãóëÿðèçàöèÿ
çàäà÷ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2003. — ¹ 6. — Ñ. 46–65.
26. D e c e l l H . P . An application of the Cayley–Hamilton theorem to generalized matrix inversion //
SIAM Rev. — 1965. — 7, N 4. — P. 526–528.
27. Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ïðåäñòàâëåíèÿ è ðàçëîæåíèÿ âçâå-
øåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, èòåðàöèîííûå ìåòîäû è ðåãóëÿðèçàöèÿ çàäà÷. I. Ïîëîæè-
òåëüíî-îïðåäåëåííûå âåñà // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2008. — ¹ 1. — Ñ. 47–73.
28. B e n - I s r a e l A . , G r e v i l l e T . N . E . Generalized inverses: Theory and applications. — New
York: Springer-Verlag, Inc., 2003. — 420 p.
29. Ò è õ î í î â À . Í . , À ð ñ å í è í Â . ß . Ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷. — Ì.: Íàóêà,
1974. — 288 ñ.
30. E l d e n L . A weighted pseudoinverse generalized singular values and constrained least squares
problems // BIT. — 1982. — 22, N 4. — P. 487–502.
31. Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ïðåäñòàâëåíèÿ è ðàçëîæåíèÿ âçâå-
øåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, èòåðàöèîííûå ìåòîäû è ðåãóëÿðèçàöèÿ çàäà÷. II. Âûðîæäåí-
íûå âåñà // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2008. — ¹ 3. — Ñ. 75–102.
32. Ì î ð î ç î â Â . À . Ðåãóëÿðíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííûõ çàäà÷. — Ì.: Íàó-
êà, 1987. — 240 ñ.
33. À ð õ à ð î â Å .  . , Ø à ô è å â Ð . À . Ìåòîäû ðåãóëÿðèçàöèè çàäà÷è ñâÿçàííîãî ïñåâäîîáðà-
ùåíèÿ ñ ïðèáëèæåííûìè äàííûìè // Æóðíàë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé
ôèçèêè. — 2003. — 43, ¹ 3. — Ñ. 347–353.
34. Õ è ì è ÷ À . Í . Îöåíêè âîçìóùåíèé äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ // Êèáåðíå-
òèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1996. — ¹ 3. — Ñ. 142–145.
35. Õ è ì è ÷ À . Í . , Í è ê î ë à å â ñ ê à ÿ Å . À . Àíàëèç äîñòîâåðíîñòè êîìïüþòåðíûõ ðåøåíèé
ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ ïðèáëèæåííî çàäàííûìè èñõîäíûìè äàííûìè
// Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2008. — ¹ 6. — Ñ. 83–95.
36. Í è ê î ë à å â ñ ê à ÿ Å . À . , Õ è ì è ÷ À . Í . Îöåíêà ïîãðåøíîñòè âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî
ïñåâäîðåøåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè // Æóðíàë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòè-
êè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. — 2009. — 49, ¹ 3. — Ñ. 422–430.
37. Ô î ð ñ à é ò Ä æ . , Ì î ë å ð Ê . ×èñëåííîå ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíå-
íèé. — Ì.: Ìèð, 1969. — 168 ñ.
38. V a n L o a n C . F . Generalizing the singular value decomposition // SIAM J. Numer. Anal. —
1976. — 13, N 1. — P. 76–83.
39. Ã à ë á à Å . Ô . Âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå è âçâåøåííîå ïñåâäîîáðàùåíèå ìàòðèö //
Óêðà¿íñüêèé ìàòåìàòè÷íèé æóðíàë. — 1996. — 48, ¹ 10. — Ñ. 1426–1430.
40. Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . Èòåðàöèîííûå ìåòîäû âûñîêèõ
ñêîðîñòåé ñõîäèìîñòè äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ
íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè // Æóðíàë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè
è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. — 2005. — 45, ¹10. — Ñ. 1731–1755.
41. B r o e d e r G . G . , C h a r n e s A . Contributions to the theory generalized inverses for matrices //
ONR Res. Memo N 39, Northwestern Univ., 1962.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 79
42. à à ë á à Å . Ô . Èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû //
Æóðíàë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. — 1996. — 36, ¹ 6. —
Ñ. 28–39.
43. Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ðàçëîæåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîá-
ðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ // Óêðà¿íñüêèé ìàòåìàòè÷íèé æóðíàë.
— 2004. — 56, ¹ 11. — Ñ. 1539–1556.
44. Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ðàçëîæåíèå â ðÿäû âçâåøåííûõ
ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàò-
íûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç.
— 2006. — ¹ 1. — Ñ. 32–62.
45. Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ðàçëîæåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîá-
ðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ è èòåðàöèîí-
íûå ìåòîäû // Óêðà¿íñüêèé ìàòåìàòè÷íèé æóðíàë. — 2007. — 59, ¹ 9. — Ñ. 1269–1290.
46. à à ë á à Å . Ô . Ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ÷åðåç äðóãèå ïñåâäîîá-
ðàòíûå ìàòðèöû // Äîïîâ³ä³ ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 1997. — ¹ 4. — Ñ. 12–17.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 22.02.2016
².Â. Ñåð㳺íêî, ª.Ô. Ãàëáà
ÇÂÀÆÅÍÀ ÏÑÅÂÄβÍÂÅÐÑ²ß Ç ÂÈÐÎÄÆÅÍÈÌÈ ÂÀÃÀÌÈ
Àíîòàö³ÿ. Ñòàòòÿ íîñèòü îãëÿäîâèé õàðàêòåð ³ ïðèñâÿ÷åíà ðîçâèòêó òåîð³¿
çâàæåíî¿ ïñåâäî³íâåðñ³¿. Âèçíà÷àþòüñÿ òà äîñë³äæóþòüñÿ çâàæåí³ ïñåâäîîáåð-
íåí³ ìàòðèö³ ç âèðîäæåíèìè âàãàìè. Íàâåäåíî òåîðåìè ³ñíóâàííÿ òà ºäè-
íîñò³ öèõ ìàòðèöü. Âñòàíîâëåíî çâ’ÿçîê çâàæåíèõ ïñåâäîîáåðíåíèõ ìàòðèöü
ç âèðîäæåíèìè âàãàìè ç³ çâàæåíèìè íîðìàëüíèìè ïñåâäîðîçâ’ÿçêàìè. Íàâå-
äåíî ïðåäñòàâëåííÿ çâàæåíèõ ïñåâäîîáåðíåíèõ ìàòðèöü ç âèðîäæåíèìè âà-
ãàìè â òåðì³íàõ êîåô³ö³ºíò³â õàðàêòåðèñòè÷íèõ ìíîãî÷ëåí³â ñèìåòðè÷íèõ
ìàòðèöü òà ìàòðèöü, ùî ñèìåòðèçóþòüñÿ, îäåðæàíî ðîçêëàä öèõ ìàòðèöü
â ìàòðè÷í³ ñòåïåíåâ³ ðÿäè òà äîáóòêè, ãðàíè÷í³ ïðåäñòàâëåííÿ öèõ ìàòðèöü,
îäåðæàíî çâàæåí³ ñèíãóëÿðí³ ðîçêëàäè ìàòðèöü ç âèðîäæåíèìè âàãàìè, íà
îñíîâ³ ÿêèõ âèçíà÷åíî ðîçêëàäè çâàæåíèõ ïñåâäîîáåðíåíèõ ìàòðèöü.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: çâàæåí³ ïñåâäîîáåðíåí³ ìàòðèö³ ç âèðîäæåíèìè âàãàìè, ìàò-
ðè÷í³ ñòåïåíåâ³ ðÿäè ³ äîáóòêè, ãðàíè÷í³ çîáðàæåííÿ çâàæåíèõ ïñåâäîîáåðíå-
íèõ ìàòðèöü, çâàæåíèé ñèíãóëÿðíèé ðîçêëàä ìàòðèöü ç âèðîäæåíèìè âàãàìè.
I.V. Sergienko, E.F. Galba
WEIGHTED PSEUDOINVERSION WITH SINGULAR WEIGHTS
Abstract. The paper reviews the development of the theory of weighted
pseudoinversion. Weighted pseudoinverse matrices with singular weights are
determined and investigated. Theorems of the existence and uniqueness of these
matrices are provided. Weighted pseudoinverse matrices with singular weights
are related with weighted normal pseudosolutions. Weighted pseudoinverse
matrices with singular weights are represented in therms of coefficients of
characteristic polynomials of symmetric and symmetrizable matrices. Their
expansions in matrix power series and products and limit representations are
obtained. Decompositions of weighed pseudoinverse matrices are determined on
the basis of the obtained weighed singular decomposition of matrices with
singular weights.
Keywords: weighted pseudoinverse matrices with singular weights, matrix
power series and products, limit representations of weighted pseudoinverse
matrices, weighed singular decomposition of matrices with singular weights.
Ñåðãèåíêî Èâàí Âàñèëüåâè÷,
àêàäåìèê ÍÀÍ Óêðàèíû, äèðåêòîð Èíñòèòóòà êèáåðåíòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ,
e-mail: aik@public.icyb.kiev.ua.
Ãàëáà Åâãåíèé Ôåäîðîâè÷,
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà êèáåðåíòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ
Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: e.f.galba@ukr.net.
80 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-142016 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T03:03:36Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сергиенко, И.В. Галба, Е.Ф. 2018-09-20T17:55:40Z 2018-09-20T17:55:40Z 2016 Взвешенная псевдоинверсия с вырожденными весами / И.В. Сергиенко, Е.Ф. Галба // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 5. — С. 56-80. — Бібліогр.: 46 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142016 512.61 Статья носит обзорный характер и посвящена развитию теории взвешенной псевдоинверсии. Определяются и исследуются взвешенные псевдообратные матрицы с вырожденными весами. Приведены теоремы существования и единственности этих матриц. Установлена связь взвешенных псевдообратных матриц с вырожденными весами со взвешенными нормальными псевдорешениями. Дано представление взвешенных псевдообратных матриц с вырожденными весами в терминах коэффициентов характеристических многочленов симметричных и симметризуемых матриц, получены разложения этих матриц в матричные степенные ряды и произведения, предельные представления этих матриц, получены взвешенные сингулярные разложения матриц с вырожденными весами, на основе которых определены разложения взвешенных псевдообратных матриц. Стаття носить оглядовий характер і присвячена розвитку теорії зваженої псевдоінверсії. Визначаються та досліджуються зважені псевдообер-нені матриці з виродженими вагами. Наведено теореми існування та єди-ності цих матриць. Встановлено зв’язок зважених псевдообернених матриць з виродженими вагами зі зваженими нормальними псевдорозв’язками. Наведено представлення зважених псевдообернених матриць з виродженими вагами в термінах коефіцієнтів характеристичних многочленів симетричних матриць та матриць, що симетризуються, одержано розклад цих матриць в матричні степеневі ряди та добутки, граничні представлення цих матриць, одержано зважені сингулярні розклади матриць з виродженими вагами, на основі яких визначено розклади зважених псевдообернених матриць. The paper reviews the development of the theory of weighted pseudoinversion. Weighted pseudoinverse matrices with singular weights are determined and investigated. Theorems of the existence and uniqueness of these matrices are provided. Weighted pseudoinverse matrices with singular weights are related with weighted normal pseudosolutions. Weighted pseudoinverse matrices with singular weights are represented in therms of coefficients of characteristic polynomials of symmetric and symmetrizable matrices. Their expansions in matrix power series and products and limit representations are obtained. Decompositions of weighed pseudoinverse matrices are determined on the basis of the obtained weighed singular decomposition of matrices with singular weights. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Взвешенная псевдоинверсия с вырожденными весами Зважена псевдоінверсія з виродженими вагами Weighted pseudoinversion with singular weights Article published earlier |
| spellingShingle | Взвешенная псевдоинверсия с вырожденными весами Сергиенко, И.В. Галба, Е.Ф. Системный анализ |
| title | Взвешенная псевдоинверсия с вырожденными весами |
| title_alt | Зважена псевдоінверсія з виродженими вагами Weighted pseudoinversion with singular weights |
| title_full | Взвешенная псевдоинверсия с вырожденными весами |
| title_fullStr | Взвешенная псевдоинверсия с вырожденными весами |
| title_full_unstemmed | Взвешенная псевдоинверсия с вырожденными весами |
| title_short | Взвешенная псевдоинверсия с вырожденными весами |
| title_sort | взвешенная псевдоинверсия с вырожденными весами |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142016 |
| work_keys_str_mv | AT sergienkoiv vzvešennaâpsevdoinversiâsvyroždennymivesami AT galbaef vzvešennaâpsevdoinversiâsvyroždennymivesami AT sergienkoiv zvaženapsevdoínversíâzvirodženimivagami AT galbaef zvaženapsevdoínversíâzvirodženimivagami AT sergienkoiv weightedpseudoinversionwithsingularweights AT galbaef weightedpseudoinversionwithsingularweights |