Зображення обкладинки

Об одной полумарковской модели управления запасами

Рассмотрены управляемые полумарковские процессы для исследования многономенклатурной модели теории управления запасами. Для данной модели при убывающих функциях общих издержек найдены условия существования оптимальной стратегии, а также доказано существование оптимальной (, )sS-стратегии управления...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Кибернетика и системный анализ
Дата:2016
Автори: Кнопов, П.С., Пепеляева, Т.В., Демченко, И.Ю.
Формат: Стаття
Мова:Російська
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2016
Теми:
Системный анализ
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142017
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Об одной полумарковской модели управления запасами / П.С. Кнопов, Т.В. Пепеляева, И.Ю. Демченко // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 5. — С. 81-88. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1859665968005906432
author Кнопов, П.С.
Пепеляева, Т.В.
Демченко, И.Ю.
author_facet Кнопов, П.С.
Пепеляева, Т.В.
Демченко, И.Ю.
citation_txt Об одной полумарковской модели управления запасами / П.С. Кнопов, Т.В. Пепеляева, И.Ю. Демченко // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 5. — С. 81-88. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.
collection DSpace DC
container_title Кибернетика и системный анализ
description Рассмотрены управляемые полумарковские процессы для исследования многономенклатурной модели теории управления запасами. Для данной модели при убывающих функциях общих издержек найдены условия существования оптимальной стратегии, а также доказано существование оптимальной (, )sS-стратегии управления запасами. Розглянуто керовані напівмарковські процеси для досліджень багатономенклатурної моделі теорії керування запасами. Для такої моделі при спадних функціях загальних витрат знайдено умови існування оптимальної стратегії, а також доведено існування оптимальної (, )sS-стратегії керування запасами. We consider controlled semi-Markov processes as applied to the analysis of a multi-task model in inventory control theory. The existence conditions for the optimal strategy are found for this model, with decreasing functions of common costs and the existence of optimal (s, S)-strategy in inventory control is proved.
first_indexed 2025-11-30T11:08:50Z
format Article
fulltext ÓÄÊ 519.21 Ï.Ñ. ÊÍÎÏÎÂ, Ò.Â. ÏÅÏÅËßÅÂÀ, È.Þ. ÄÅÌ×ÅÍÊÎ ÎÁ ÎÄÍÎÉ ÏÎËÓÌÀÐÊÎÂÑÊÎÉ ÌÎÄÅËÈ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÇÀÏÀÑÀÌÈ Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíû óïðàâëÿåìûå ïîëóìàðêîâñêèå ïðîöåññû äëÿ èñ- ñëåäîâàíèÿ ìíîãîíîìåíêëàòóðíîé ìîäåëè òåîðèè óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè. Äëÿ äàííîé ìîäåëè ïðè óáûâàþùèõ ôóíêöèÿõ îáùèõ èçäåðæåê íàéäåíû óñëî- âèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè, à òàêæå äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå îïòèìàëüíîé ( , )s S -ñòðàòåãèè óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïîëóìàðêîâñêèå ïðîöåññû, óïðàâëåíèå çàïàñàìè, ( , )s S -ñòðàòåãèÿ, êðèòåðèé îïòèìàëüíîñòè, îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ïðè ðåøåíèè ìíîãèõ çàäà÷ îïòèìèçàöèè ñèñòåì ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ è óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè, à òàêæå ïðè èññëåäîâàíèè íàäåæíîñòè ñëîæíûõ òåõ- íè÷åñêèõ ñèñòåì ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ óïðàâëÿåìûå ïîëóìàðêîâñêèå ïðîöåññû.  íàñòîÿùåé ñòàòüå ýòè ïðîöåññû ðàññìîòðåíû äëÿ èññëåäîâàíèÿ çàäà÷è îïòè- ìèçàöèè ìíîãîíîìåíêëàòóðíîé ìîäåëè òåîðèè óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè. Èçâåñòíî, ÷òî çàïàñû êàæäîãî ïðîäóêòà ìîæíî ïîïîëíÿòü íåïðåðûâíî, ïîýòîìó óðîâíè ýòèõ çàïàñîâ è çàêàçîâ îãðàíè÷åíû ñâåðõó è ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ â R� . Öåëüþ íàñòîÿùåé ñòàòüè ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå îïòèìàëüíîé ( , )s S -ñòðàòå- ãèè äëÿ ìíîãîíîìåíêëàòóðíîé ìîäåëè óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè ïðè óáûâàþùèõ ôóíêöèÿõ îáùèõ èçäåðæåê.  ðàáîòå [1] íàéäåíû óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè ( , )s S -ñòðàòåãèè äëÿ ìíîãîíî- ìåíêëàòóðíîé ìîäåëè óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè ñ ôóíêöèåé ñòîèìîñòè, îïðåäåëÿå- ìîé èçäåðæêàìè õðàíåíèÿ çàïàñîâ è ñòîèìîñòüþ çàêàçà ïðîäóêöèè, à òàêæå ñ èçäåðæêàìè, âûçâàííûìè äåôèöèòîì ïðîäóêöèè.  ðàáîòàõ [2–5] äàí îáùèé îáçîð òåîðèè çàïàñîâ, à â [6–9] âïåðâûå ïðåä- ñòàâëåíà òåîðèÿ äèíàìè÷åñêîãî ïîëóìàðêîâñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, ïîëó÷èâ- øàÿ ðàçâèòèå â [10–20]. Äëÿ ïîëóìàðêîâñêîé îäíîíîìåíêëàòóðíîé ñèñòåìû òåî- ðèè óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè ïðîáëåìà íàõîæäåíèÿ óñëîâèé îïòèìàëüíîñòè ( , )s S -ñòðàòåãèè ðàññìàòðèâàëàñü â [21]. ÏÐÅÄÂÀÐÈÒÅËÜÍÛÅ ÑÂÅÄÅÍÈß ÎÁ ÓÏÐÀÂËßÅÌÛÕ ÏÎËÓÌÀÐÊÎÂÑÊÈÕ ÏÐÎÖÅÑÑÀÕ Ïðèâåäåì íåêîòîðûå îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ èç òåîðèè óïðàâëåíèÿ ïîëóìàðêîâ- ñêèìè ïðîöåññàìè, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ â íàñòîÿùåé ñòàòüå. Ðàññìàòðèâàåò- ñÿ ñèñòåìà ñî ñëó÷àéíûìè âîçäåéñòâèÿìè â ñëó÷àéíûå ìîìåíòû âðåìåíè, óïðàâëÿåìàÿ íåêîòîðûì îáðàçîì ñ öåëüþ ìèíèìèçèðîâàòü èçäåðæêè, ñâÿçàí- íûå ñ ñèñòåìîé óïðàâëåíèÿ. Îáîçíà÷èì X ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé (ôàçîâîå) ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîöåññà X X n Nn� �( : ), îïèñûâàþùåå ðàçâèòèå ñèñòåìû âî âðåìåíè, è À — ïðîñòðàíñòâî óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé (ðåøåíèé èëè äåé- ñòâèé). Ïóñòü Õ À, — íåêîòîðûå ïîëíûå ñåïàðàáåëüíûå ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà ñ áîðåëåâûìè �-àëãåáðàìè � è � ñîîòâåòñòâåííî, à òàêæå çàäàíî èçìåðèìîå îòîáðà- æåíèå, ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó õ Õ� íåêîòîðîå íåïóñòîå çàìêíóòîå ìíî- æåñòâî A Ax � , ò. å. îòîáðàæåíèå F ñâÿçûâàåò äàííîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ñ äîïóñòè- ìûì íàáîðîì äåéñòâèé (ðåøåíèé). Ïðè ýòîì ìíîæåñòâî � � � �{ }( , ): ,x a x X a Ax èçìåðèìî ïî Áîðåëþ â ïðîèçâåäåíèè ïðîñòðàíñòâ Õ À [6]. Åñëè â ñîñòîÿíèè õ Õ� ïðèíÿòî ðåøåíèå à Àõ� , òî ñëåäóþùåå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû âûáèðàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïåðåõîäíîé âåðîÿòíîñòè P x a( / , ) , à ïðè óñëî- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 81 © Ï.Ñ. Êíîïîâ, Ò.Â. Ïåïåëÿåâà, È.Þ. Äåì÷åíêî, 2016 âèè, ÷òî ñëåäóþùåå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû åñòü ó Õ� , âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ â õ ÿâëÿ- åòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ � ( / , , ) x a y . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî P x a( / , ) è � ( / , , ) x a y — áîðåëåâû ôóíêöèè íà � è � X ñîîòâåòñòâåííî. Îáîçíà÷èì xn ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ïîñëå n-ãî ïåðåõîäà, an — ïðèíÿòîå ðåøå- íèå, à �n — âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ â ýòîì ñîñòîÿíèè ( , , , )n � �0 1 2 . Äîïóñòèìàÿ ñòðàòåãèÿ � äëÿ óïðàâëÿåìîé ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïîñëå- äîâàòåëüíîñòü � � � �� � �{ , , , ,0 1 n } ÿäåð ïåðåõîäà òàêàÿ, ÷òî âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà �n nh( / ) íà ( ,À � ), ñîñðåäîòî÷åííàÿ íà AX n è èçìåðèìî çàâèñÿùàÿ îò h õ à õ a õn n n n n� � ( , , , , , , , )0 0 0 1 1 1� � , ÿâëÿåòñÿ èñòîðèåé óïðàâëÿåìîé ñèñòå- ìû ê ìîìåíòó n-ãî ïåðåõîäà. Ñòðàòåãèÿ � íàçûâàåòñÿ ìàðêîâñêîé, åñëè � �n n n nh x n( / ) ( / ), , , , � � �0 1 2 Ìàðêîâñêàÿ ñòðàòåãèÿ � íàçûâàåòñÿ ñòà- öèîíàðíîé, åñëè � �n n nx x( / ) ( / ) � , n , , ,� �0 1 2 , è ñòàöèîíàðíîé íå- ðàíäîìèçèðîâàííîé (äåòåðìèíèðîâàííîé), åñëè ìåðà �( / ) xn âûðîæäåíà è ñîñðå- äîòî÷åíà â òî÷êå äëÿ ëþáîãî õ Õ� .  ýòîì ñëó÷àå îáîçíà÷èì �( )õ òî÷êó ñîñðåäî- òî÷åíèÿ ìàññû �( / ) x , �— êëàññ âñåõ äîïóñòèìûõ ñòðàòåãèé, �1 — êëàññ ñòàöè- îíàðíûõ ìàðêîâñêèõ íåðàíäîìèçèðîâàííûõ (äåòåðìèíèðîâàííûõ) ñòðàòåãèé. Âûáîðîì ñòðàòåãèè � îïðåäåëÿåòñÿ ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, êîòîðûé íàçîâåì ïðîöåññîì, óïðàâëÿåìûì ñòðàòåãèåé � . Åñëè ñòðàòåãèÿ � ìàðêîâñêàÿ ñòàöèîíàð- íàÿ, òî óïðàâëÿåìûé ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ ïîëóìàðêîâñêèì. Ââåäåì ïîíÿòèå èçäåðæåê, ñâÿçàííûõ ñ óïðàâëÿåìûì ïðîöåññîì. Åñëè â ñî- ñòîÿíèè õ Õ� ïðèíÿòî ðåøåíèå à Àõ� è âðåìÿ, ïðîâåäåííîå â ñîñòîÿíèè x, ðàâ- íî t, òî îæèäàåìûå èçäåðæêè çà âðåìÿ s s t( )� ðàâíû r s x a( / , ). Ôóíêöèÿ r s x a( / , ) ïðåäïîëàãàåòñÿ èçìåðèìîé ïî Áîðåëþ íà [ ; )0 �� �. Ðàññìîòðèì êðèòåðèé îïòèìàëüíîñòè âûáðàííîé ñòðàòåãèè. Cðåäíÿÿ îæèäàåìàÿ ñòîèìîñòü ñòðàòåãèè � èìååò âèä � � � � � � ( , ) lim ( / , ) x E r x a E n x k k k k n x k k n � �� � � � � sup 0 0 , ãäå �0 � x, à Ex � — ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ïðîöåññó, óïðàâëÿåìîìó ñòðàòåãèåé � ïðè óñëîâèè, ÷òî �0 � x. Ñòðàòåãèÿ �� îïòèìàëüíà îòíîñèòåëüíî äàííîãî êðèòåðèÿ, åñëè � ��( , )x � � � inf � � � R x( , ) , x X� . Îáîçíà÷èì �( , ) ( / , , ) ( / , )x a t d t x a y P dy x a X � � �� � 0 , r x a r t x a d t a y P dy x a X ( , ) ( / , ) ( , , ) ( / , )� � �� � 0 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî �( , )õ à è r õ à( , ) ñóùåñòâóþò è êîíå÷íû äëÿ âñåõ ( , )õ à �� è | ( , )|r x a C� � �, ( , )õ à ��. Ïîñêîëüêó ïåðâûé êðèòåðèé çàâèñèò òîëüêî îò P x a( / , ) è óñðåäíåííûõ õàðàêòåðèñòèê �( , )õ à è r õ à( , ) , îãðàíè÷èìñÿ ðàñ- ñìîòðåíèåì óïðàâëÿåìûõ ïðîöåññîâ, äëÿ êîòîðûõ � ( / , , ) , , ( , ), ( , ), t x a y t x a t x a � � � � � � 1 0 � � r t x a r x a t x a t x a ( / , ) , ( , ), ( , ), ( , ). � � � � � � 0 � � Îáîçíà÷èì �( )X áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî îãðàíè÷åííûõ èçìåðèìûõ ïî Áîðå- ëþ ôóíêöèé íà Õ ñ íîðìîé || || | ( )|u u x x X � � sup . Äàëåå èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû [6]. 82 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 Òåîðåìà 1. Ïóñòü ïðîñòðàíñòâî À óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé êîìïàêòíî, îòîáðàæåíèå F X set A: ( )� 2 , õ Àõ� , ïîëóíåïðåðûâíî ñâåðõó. Êðîìå òîãî, ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ: 0� � � � �l x a L�( , ) , ( , )õ à �� è ñó- ùåñòâóåò íåîòðèöàòåëüíàÿ ìåðà � íà ( , )X � òàêàÿ, ÷òî �( ) ( / , )B P B x a� , ( , )x a ��, B �� è �( )X � 0. Òîãäà, åñëè ôóíêöèÿ r õ à( , ) ïîëóíåïðåðûâíà ñâåðõó, à �( , )õ à íåïðåðûâíà ïî õ à õ à, , ( , )��, à òàêæå ïåðåõîäíàÿ âåðîÿòíîñòü P x a( / , ) ñëàáî íåïðåðûâíà ïî õ à, , ( , )õ à ��, òî â êëàññå �1 ñóùåñòâóåò ñòàöèîíàðíàÿ ìàðêîâñêàÿ äåòåðìèíè- ðîâàííàÿ îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ �* ñ ìèíèìàëüíîé ñòîèìîñòüþ W L v x dx X � � 1 ( ) ( )� . Çäåñü ôóíêöèÿ ( )x åäèíñòâåííàÿ â ïðîñòðàíñòâå �( )X è îïðåäåëÿåòñÿ ðåøå- íèåì óðàâíåíèÿ îïòèìàëüíîñòè v x r x a v y P dy x a a A Xx ( ) { ( , ) ( ) ( / , )}� � � � �inf , x X� , ãäå P B x a P B x a L B x a B X� � �( / , ) ( / , ) ( ) ( , ), 1 � � . Çàìå÷àíèå 1. Äàííàÿ òåîðåìà èìååò ìåñòî äëÿ ôóíêöèè èçäåðæåê ñî çíà÷å- íèÿìè â [ ; )0 �� , êîòîðûå íåîáõîäèìî ìèíèìèçèðîâàòü.  [6] ïðèâåäåíû óñëî- âèÿ ìàêñèìèçàöèè âîçíàãðàæäåíèÿ (äîõîäà) r õ à( , ) çà îäèí ïåðèîä, åñëè ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè õ è ïðèíÿòî ðåøåíèå à Àõ� .  íàñòîÿùåé ñòàòüå òåîðåìà 1 ïåðåôîðìóëèðîâàíà ñ èñïîëüçîâàíèåì îòðè- öàòåëüíîé ôóíêöèè r x a r x a1 ( , ) ( , )� . Ðàññìîòðèì ìîäåëü óïðàâëåíèÿ ñèñòåìîé, ó êîòîðîé ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿ- íèé ÿâëÿåòñÿ äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì m ìíîæåñòâ, ò.å. X X X X m� 1 2 ... . Ïðîñòðàíñòâî ïðèíèìàåìûõ ðåøåíèé A A A Am� 1 2 ... . Îáîçíà÷èì xi k ñîñòî- ÿíèå i-é ïîäñèñòåìû ïîñëå k-ãî ïåðåõîäà, ai k — ïðèíÿòîå ðåøåíèå, � i k — âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ i-é ïîäñèñòåìû â ýòîì ñîñòîÿíèè, k � 0 1 2, , , ... Åñëè â ñîñòîÿíèè x Xi i� ïðèíÿòî ðåøåíèå a Ai xi � è âðåìÿ, ïðîâåäåííîå â ñîñòîÿíèè xi ðàâíî ti , òî îæèäàåìûå èçäåðæêè i-é ïîäñèñòåìû çà âðåìÿ s s ti i i( )� ðàâíû r s x ai i i i( / , ) . Ôóíêöèè r s x ai i i i( / , ) ïðåäïîëàãàþòñÿ èçìåðèìû- ìè ïî Áîðåëþ íà [ ; )0 �� � . Ïóñòü îæèäàåìûå èçäåðæêè âñåé ñèñòåìû çà âðåìÿ s îïðåäåëÿþòñÿ ôóíêöè- åé r s x a( / , ) , ãäå x x x xm� ( , , , )1 2 � , a a a am� � �( , )1 2 � , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ñåïà- ðàáåëüíîé, ò.å. èìååò âèä r s x a r s x ai i i i i m ( / , ) ( / , )� � � 1 . Äàëåå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâà X i , Ai è ôóíêöèè r s x ai i i i( / , ) , i m�1, ..., , óäîâëåòâîðÿþò ñîîòâåòñòâóþùèì óñëîâèÿì. Äëÿ îïèñàííîé ðàíåå ñòðàòåãèè ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé êðèòåðèé îïòèìàëü- íîñòè. Ñðåäíÿÿ îæèäàåìàÿ ñòîèìîñòü ñòðàòåãèè � îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé � � � � � � ( , ) lim ( / , ) x E r x a E n x i i k i k i k k n x i k k n � �� � � � � sup 0 0 i m � � 1 . Ñòðàòåãèÿ �* îïòèìàëüíà îòíîñèòåëüíî ýòîãî êðèòåðèÿ, åñëè � ��( , )x � � � inf � � � R x( , ) , x X� . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 83 Îáîçíà÷èì � i i i i i i i i X x a t d t x a y P dy x a i ( , ) ( / , , ) ( / , )� � �� � 0 , r x a r t x a d t a y P dy x ai i i i i i i i i i X i ( , ) ( / , ) ( , , ) ( / , )� � �� � 0 , �i i i i i i i i i t x a y t x a t x a ( / , , ) , , ( , ), ( , ), � � � � � � 1 0 � � r t x a r x a t x a t x ai i i i i i i i i i i i ( / , ) , ( , ), ( , ), ( , ), � � � � � 0 � �� r x a r x ai i i i m ( , ) ( , )� � � 1 , à òàêæå �1 ( )X áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî îãðàíè÷åííûõ èçìåðèìûõ ïî Áîðåëþ ôóíêöèé íà X ñ íîðìîé v x v x x Xi m i i i i ( ) | ( )|� �� � sup 1 . Òåîðåìà 2 [1]. Ïóñòü A — êîìïàêòíîå ïðîñòðàíñòâî è îòîáðàæåíèå F X set A: ( )� 2 , õ Àõ� , ïîëóíåïðåðûâíî ñâåðõó. Êðîìå òîãî, ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ: 0� � � � �l x a Li i i� ( , ) , ( , )x ai i i�� , i m�1, , è äëÿ êàæäîãî i m�1, ñóùåñòâóåò íåîòðèöàòåëüíàÿ ìåðà � i íà ( , )X i i� òàêàÿ, ÷òî � i i i i i iX Q B x a( ) ( / , )� , Bi i�� , i m�1, , è � i iX( ) � 0. Ïóñòü òàêæå âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: ôóíêöèè r x ai i i( , ) ïîëóíåïðå- ðûâíû ñâåðõó íà ( , )x ai i , à � i i ix a( , ) íåïðåðûâíû ïî x ai i, , ( , )x ai i i�� , è ïåðå- õîäíûå âåðîÿòíîñòè Q B x ai i i i( / , ) ñëàáî íåïðåðûâíû ïî ( , )x ai i . Òîãäà â êëàññå ñòàöèîíàðíûõ ìàðêîâñêèõ äåòåðìèíèðîâàííûõ ñòðàòåãèé �0 ñóùåñòâóåò îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ �* ñ ìèíèìàëüíîé ñòîèìîñòüþ W L V x dx� � 1 ( ) ( )� , ãäå V �inf a A X r x a V y Q dy x a � � � � � � �� � � � � ��( , ) ( ) ( / , ) � � �� � �inf a Ai m i i i i i X i i i i i i i r x a V y Q dy x a L1 1 ( , ) ( ) ( / , ) � i i i i i j j j j i m dy x a X( ) ( , ) ( ) . , � � � ! " # $ % % & ' ( ( � � � �� � � � �1 ÌÍÎÃÎÍÎÌÅÍÊËÀÒÓÐÍÛÅ ÌÎÄÅËÈ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÇÀÏÀÑÀÌÈ ÏÐÈ ÓÁÛÂÀÞÙÈÕ ÔÓÍÊÖÈßÕ ÎÁÙÈÕ ÈÇÄÅÐÆÅÊ Ðàññìîòðèì ñèñòåìó óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè m ïðîäóêòîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ìîæåò íåïðåðûâíî ïîïîëíÿòüñÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Qi — ìàêñèìàëüíûé óðî- âåíü çàïàñà i-ãî ïðîäóêòà, òîãäà åãî çàïàñ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå íà [ , ]0 Qi .  äèñêðåòíûå ìîìåíòû âðåìåíè N ïðîâåðÿåòñÿ ñîñòîÿíèå çàïàñîâ êàæäîãî ïðîäóêòà è ïðèíèìàþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ðåøåíèÿ î ïîïîëíåíèè ñêëàäîâ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Åñëè óðîâåíü çàïàñîâ i-ãî ïðîäóêòà â ìîìåíò âðåìåíè n N� îïðåäåëÿåòñÿ X i n= x Qi i�[ , ]0 , òî îñóùåñòâëÿåòñÿ çàêàç ýòîãî ïðîäóêòà D Ai n i x� , A Q xi x i i: [ , ]� 0 . Òàêèì îáðàçîì, îáîçíà÷èì X X X X m� 1 2 ... , X Qi i� [ , ]0 , X � � �( : )X nn N , ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé ñèñòåìû, îïèñûâàþùåå ðàçâèòèå ñèñòå- ìû âî âðåìåíè, è A A A Ax x m x� 1 2 ... — ïðîñòðàíñòâî ïðèíèìàåìûõ ðåøåíèé. 84 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñòîèìîñòü çàêàçà (êîòîðàÿ ìîæåò âêëþ÷àòü èçäåðæêè ïðîèçâîäñòâà) ñîñòîèò èç ôèêñèðîâàííîé ñòîèìîñòè è ëèíåéíîé ôóíêöèè. Òàê, çàêàç xi > 0 òîâàðîâ ïðèâîäèò ê îæèäàåìûì èçäåðæêàì C x A c xi i i i i 2 ( ) � � , Ai � 0 , ci � 0 . Êðîìå òîãî, îáùèå èçäåðæêè õðàíåíèÿ è äåôèöèòà çà ïåðèîä âðå- ìåíè f x di i ai( , ) çàâèñÿò îò óðîâíÿ çàïàñîâ xi � 0 è çàêàçà a Q xi i i� [ , ]0 â íà÷àëå ïåðèîäà, ãäå f i ( , ) ïîëóíåïðåðûâíû ñíèçó ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ñî ñðåäíèìè èçäåðæêàìè (�-êðèòåðèåì). Äëÿ ñèñòåìû, íàõîäÿùåéñÿ â ñîñòîÿíèè x â íà÷àëå ïåðèîäà, ïðè ïðèíÿòèè ðåøåíèÿ a A� îæè- äàåìûå èçäåðæêè çà îäèí ïåðèîä ñîñòàâëÿþò r x a r x ai i i i m ( , ) ( , )� � � 1 , ãäå r x ai i i( , ) — îæèäàåìûå èçäåðæêè ïî i-ìó ïðîäóêòó çà îäèí ïåðèîä âðåìåíè, åñëè ñîñòîÿíèå äàííîãî ïðîäóêòà ðàâíî xi è ïðèíÿòî ðåøåíèå d ai : r x di i( , )0 � f x di i( , )0 , i m�1, , äëÿ ai > 0 âûïîëíåíî r x di i ai( , ) � f x a d C ai i i a i i i( , ) ( )� � 2 , i m�1, . Âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà íà X i äëÿ ëþáîãî áîðåëåâîãî ïîäìíîæåñòâà [ , ]0 Qi çàäàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: P y y x di i i ai([ , ] / , )1 2 � G x a y G x a yi i i i i i i i( ) ( )� � 1 2 , a Q xi i i� [ , ]0 , 0 1 2� � � �y y x ai i i i , P x di ai({ }/ , )0 � 1 � G x ai i i( ) , x Qi i�[ , ]0 . Âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà ñèñòåìû P B x d a( / , ) � P B x di i a i m i( / , ) � " 1 , ãäå Bi — áî- ðåëåâû ïîäìíîæåñòâà [ , ]0 Qi , áóäåì ñ÷èòàòü G Q( )� 1 .- Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà äàåò óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè ìíîãîíîìåíêëàòóðíîé ìîäåëè óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè. Òåîðåìà 3. Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ïîëóìàðêîâñêîé ìîäåëè óïðàâëåíèÿ â êëàññå �1 ñóùåñòâóåò �-îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ñ ìèíèìàëüíîé ñòîèìîñòüþ W L V x dx� � 1 ( ) ( )� . Çäåñü � � �( ) ( ) ( ) � 1 � m , � i ( ) — ìåðà, ñêîíöåíòðèðîâàííàÿ â òî÷êå 0 ñ âå- ñîì G G xi � 1 ( ), i m�1, , G G Gm� 1 � , à V x( ) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ îïòè- ìàëüíîñòè: V x LV x( ) ( )� � min ( , ) a A i i i a i m f x a d i �� � � � � �� �� 1 C ai i ai 2 01( ) �� � � � V y P dy x a L dy x a xi i X i i i i i i i i j j j i ( ) ( / , ) ( ) ( , ) ( ) 1 1 � � � , j i m ! " # $ % % & ' ( ( � � � � . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíèì òåîðåìó 2 î ñóùåñòâîâàíèè �-îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè, ïðèíàäëåæàùåé êëàññó äåòåðìèíèðîâàííûõ (ìàðêîâñêèõ) ñòðàòåãèé, äëÿ êîòîðûõ äîñòèãàåòñÿ ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå èçäåðæåê W V x dx� � ( ) ( )� . Ïðî- âåðèì âûïîëíåíèå ñëåäóþùèõ ïðåäïîëîæåíèé ýòîé òåîðåìû: — ïóñòü F Q Qm set A: [ , ] ... [ , ] ( )0 0 21 � , x Ax� , — îòîáðàæåíèå, êîòîðîå ñâÿçûâàåò ñ êàæäûì ñîñòîÿíèåì x íàáîð äîïóñòèìûõ ðåøåíèé Ax , òîãäà F ïîëó- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 85 íåïðåðûâíî ñâåðõó. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè äëÿ x , x X Q Qn m� � [ , ] ... [ , ]0 01 , a a an n m n� � � �( ) 1 � A Q x Q xx n m m nn � [ , ] ... [ , ]0 01 1 , lim ( ) x n mx x x x �� � � � �1 � , lim ( ) a n ma a a a �� � � � �1 � , òî â ïðåäåëå ( , ..., ) ( )0 0 1� � �a am� � � � ( )Q x Q xm m1 1 � , ò.å. a A x� . Ïîýòî- ìó A ïîëóíåïðåðûâíà ñâåðõó; — äîêàæåì, ÷òî ôóíêöèè r x di i ai( , ) ïîëóíåïðåðûâíû ñíèçó.  ñîîòâåòñòâèè ñ âèäîì îæèäàåìûõ èçäåðæåê ïî i-ìó ïðîäóêòó çà îäèí ïåðèîä âðåìåíè, à òàêæå c ïðåäïîëîæåíèåì î ïîëóíåïðåðûâíîñòè ñíèçó ôóíêöèé f i , Ci 2 , i m�1, , ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ôóíêöèè r x ai i i( , ) , i m�1, , ïîëóíåïðåðûâíû ñíèçó; — ñëàáàÿ íåïðåðûâíîñòü âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäà P B x di i i ai( / , ) ñëåäóåò èç èõ îïðåäåëåíèÿ; — îãðàíè÷åííîñòü âûèãðûøà r x ai i i( , ) ñëåäóåò èç îãðàíè÷åííîñòè f i ,Ci 2 , i m�1, . Äàëåå èñïîëüçóåì ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé â [21] äëÿ îäíîíîìåí- êëàòóðíîé çàäà÷è òåîðèè çàïàñîâ è ïðèâåäåííûé â îáîçíà÷åíèÿõ íàñòîÿùåé ñòàòüè ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî â äàííîé ìîäåëè âåðîÿòíîñòü âûïîëíåíèÿ çàêàçà äëÿ êàæäîãî ïðîäóêòà ðàâíà 1. Òåîðåìà 4. Ïóñòü c x f x di i i i ai � ( , ) , i m�1, , ìîíîòîííî óáûâàåò ïî x Qi i�[ , ]0 è a Q xi i i� ( ; ]0 . Êðîìå òîãî, ïóñòü ôóíêöèÿ � i i a x d i( , ) ìîíîòîííî âîçðàñòàåò ïî x Qi i�[ ; ]0 è a Q xi i i� ( ; ]0 . Îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ �i * ��i 1 (�i 1 — êëàññ ñòàöèîíàðíûõ ìàðêîâñêèõ äå- òåðìèíèðîâàííûõ ñòðàòåãèé äëÿ i-ãî ïðîäóêòà) äëÿ çàäà÷è óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè èìååò âèä: ñóùåñòâóåò ïîðîã x Qi i * [ , )� 0 òàêîé, ÷òî �i Q x i i i i d d x x x x i i* * * , , ; . � � � � � � �� 0 Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ôîðìó îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè äëÿ ìíîãîíîìåíêëàòóðíîé ñèñòåìû çàïàñîâ. Òåîðåìà 5. Ïóñòü c x f x di i i i ai � ( , ) , i m�1, , ìîíîòîííî óáûâàåò ïî x Qi i�[ , ]0 è a Q xi i i� ( ; ]0 . Êðîìå òîãî, ïóñòü ôóíêöèÿ � i i a x d i( , ) ìîíîòîííî âîçðàñòàåò ïî x Qi i�[ , ]0 è a Q xi i i� ( ; ]0 . Äëÿ çàäà÷è óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè �-îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ �*��1 èìååò âèä: ñó- ùåñòâóåò ïîðîã x x xm * * *( )� � � �1 � [ , ] ... [ , ]0 01Q Qm òàêîé, ÷òî � � �* * *( )� � �1 � m è äëÿ i m�1, �i Q x i i i i d x x d x x i i* * * , ; , . � � � � � �� < 0 Äîêàçàòåëüñòâî. Óñëîâèÿ äàííîé òåîðåìû îáåñïå÷èâàþò âûïîëíåíèå óñëî- âèé òåîðåìû 4, êîòîðàÿ çàäàåò ñòðóêòóðó îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè �i * , i m�1, , ïî êàæäîìó i-ìó òîâàðó , ò .å . � �i i ix( , )* � inf � � � i i i i ix �� ( , ) , � �i i ix( , ) � � �� � � � � lim ( / , ) sup n x i i k i k i k k n x i k k n E r x d E � � � � 0 0 , ãäå � i — ñðåäíÿÿ îæèäàåìàÿ ñòîèìîñòü ñòðàòå- ãèè �i , à �i — êëàññ äîïóñòèìûõ ñòðàòåãèé äëÿ i-ãî òîâàðà, i m�1, . 86 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 Ïîñêîëüêó � � � � � � ( , ) lim ( / , ) x E r x d E n x i i k i k i k k n x i k k n � �� � � � � sup 0 0 i m � � 1 � � �� �i i i i m x( , ) 1 , ò.å. � �( , )*x � inf � � � �� �i x( , ) inf � � � �� � � �i i i i m x( , ) 1 inf � � � i i i i i i m x ��� � �( , ) 1 � �i i i i m x( , )* � � 1 , óòâåðæäåíèå òåîðåìû âûïîëíåíî. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Òàêèì îáðàçîì, ðàññìîòðåíà ïîëóìàðêîâñêàÿ ìíîãîíîìåíêëàòóðíàÿ ìîäåëü óïðàâ- ëåíèÿ çàïàñàìè ïðè óáûâàþùèõ ôóíêöèÿõ îáùèõ èçäåðæåê. Äëÿ äàííîé ìîäåëè íàéäåíû óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè, à òàêæå îïðåäåëåíà ñòðóêòóðà îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè ïðè âûïîëíåííûõ óñëîâèÿõ îïòèìàëüíîñòè. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ï å ï å ë ÿ å â à Ò .  . , Ä å ì ÷ å í ê î È . Þ . Îá îäíîé ìíîãîíîìåíêëàòóðíîé ìîäåëè äëÿ ïîëó- ìàðêîâñêîé ñèñòåìû çàïàñîâ // Êîìïüþòåðíàÿ ìàòåìàòèêà. — 2015. — ¹ 2. — Ñ. 150–162. 2. P o r t e u s E . L . Stochastic inventory theory / D. P. Heyman, M. J. Sobel (eds.) // Stochastic Models: Handbooks Oper. Res. and Manag. Sci. — Amsterdam: North Holland, 1990. — 2, chap. 12. — P. 605–652. 3. à ó á å í ê î Ë . à . , Ø ò à ò ë à í ä Ý . Ñ . Îá óïðàâëÿåìûõ ìàðêîâñêèõ ïðîöåññàõ ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. — 1972. — ¹ 7. — Ñ. 51–64. 4. Ä à ä ó í à à . , Ê í î ï î â Ï . Ñ . , Ò ó ð Ë . Ï . Îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèè äëÿ ñèñòåìû çàïàñîâ ñ ôóíêöèÿìè ñòîèìîñòè îáùåãî âèäà // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1999. — ¹ 4. — Ñ. 106–123. 5. Ä å ì ÷ å í ê î Ñ . Ñ . , Ê í î ï î â À . Ï . , Ï å ï å ë ÿ å â  . À . Îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèè äëÿ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè ñ âûïóêëîé ôóíêöèåé èçäåðæåê // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2000. — ¹ 6. — Ñ. 113–120 6. à ó á å í ê î Ë . à . , Ø ò à ò ë à í ä Ý . Ñ . Îá óïðàâëÿåìûõ ïîëóìàðêîâñêèõ ïðîöåññàõ // Êèáåð- íåòèêà. — 1972. — ¹ 2. — Ñ. 26–29. 7. à ó á å í ê î Ë . à . , Ø ò à ò ë à í ä Ý . Ñ . Óïðàâëÿåìûå ìàðêîâñêèå è ïîëóìàðêîâñêèå ìîäåëè è íåêîòîðûå êîíêðåòíûå çàäà÷è îïòèìèçàöèè ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèñòåì // Óïðàâëÿåìûå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû è ñèñòåìû: Ñá. òð. Ïåðâîé øêîëû-ñåìèíàðà ïî óïðàâëÿåìûì ñëó÷àéíûì ïðîöåññàì è ñèñòåìàì (Êèåâ, Èíñòèòóò êèáåðíåòèêè ÀÍ ÓÑÑÐ, Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÀÍ ÓÑÑÐ, 1971). — Êèåâ, 1973. — Ñ. 87–119. 8. L i p p m a n S . A . Maximal average-reward policies for semi-Markov decision processes with arbitrary state and action space // Ann. Math. Stat. — 1971. — 42, N 5. — P. 1717–1726. 9. F e d e r g r u e n A . , T i j m s H . S . The optimality equation in average cost denumerable state semi-Markov decision problems, recurrency conditions and algorithms // J. Appl. Probab. — 1978. — 15, N 2. — P. 356–373. 10. K i t a e v M . Elimination of randomization in semi-Markov decision models with average cost criterion // Optimization. — 1987. — 18, N 3. — P. 439–446. 11. K u r a n o M . Semi-Markov decision processes and their applications in replacement models // J. Oper. Res. Soc. Jap. — 1985. — 28, N 1. — P. 18–30 12. K s i r B . Controle optimal des processus semi-Markoviens sur des espaces compacts metriques et solution au probleme de replacement d’un systeme soumis a des chocs aleatoires semi-Markoviens // Cah. Rech. — 1982. — 17. — P. 23–52. 13. W a k u t a K . Arbitrary state semi-Markov decision processes with unbounded rewards // Optimization. — 1987. — 18, N 3. — P. 447–454. 14. Þ ø ê å â è ÷ À . À . Î ïîëóìàðêîâñêèõ óïðàâëÿåìûõ ìîäåëÿõ ñ êðèòåðèåì ñðåäíåãî äîõîäà // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è åe ïðèìåíåíèÿ. — 1981. — 26, ¹ 4. — Ñ. 808–815. 15. Ê è ò à å â Ì . Þ . Ïîëóìàðêîâñêèå è ñêà÷êîîáðàçíûå ìàðêîâñêèå óïðàâëÿåìûå ìîäåëè. Êðèòå- ðèé ñðåäíåé öåíû // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è åe ïðèìåíåíèÿ. — 1985. — 30, ¹ 2. — Ñ. 252–268. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 87 16. Þ ø ê å â è ÷ À . À . Î ïîëóìàðêîâñêèõ óïðàâëÿåìûõ ìîäåëÿõ ñ êðèòåðèåì ñðåäíåãî äîõîäà // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è åe ïðèìåíåíèÿ. — 1981. — 26, ¹ 4. — Ñ. 808–815. 17.  è í î ã ð à ä ñ ê à ÿ Ò . Ì . , à å í è í ñ î í Á . À . , Ð ó á ÷ è í ñ ê è é À . À . Ïîëóìàðêîâñêèå ïðî- öåññû ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé ñ âåêòîðíûìè äîõîäàìè // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è åe ïðèìåíåíèÿ. — 1983. — 28, ¹ 1. — Ñ. 182–184. 18. M a i t r a A . P . , S u d d e r t h W . D . Discrete gambling and stochastic games. — New York; Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, Inc., 1996. — 248 p. 19. V e g a - A m a y a O . Average optimality in semi-Markov control models on Borel spaces: Unbounded cost and controls // Bol. Soc. Math. Mex. — 1993. — 38, N 1–2. — P. 47–60. 20. G u o n u e n g X . , X i a n p i n g G . , Q i n g p i n g L . The optimizing condition for semi-Markov decision programming with average criterion // Hunan Ann. Math. — 1995. — 15, N 1. — P. 6–13. 21. Ä å ì ÷ å í ê î Ñ . Ñ . , Ê í î ï î â Ï . Ñ . , × î ð í å é Ð . Ê . Îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèè äëÿ ïîëóìàð- êîâñêîé ñèñòåìû çàïàñîâ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2002. — ¹ 1. — Ñ. 146–160. Íàä³øëà äî ðåäàêö³¿ 25.04.2016 Ï.Ñ. Êíîïîâ, Ò.Â. Ïåïåëÿºâà, ².Þ. Äåì÷åíêî ÏÐÎ ÎÄÍÓ ÍÀϲÂÌÀÐÊÎÂÑÜÊÓ ÌÎÄÅËÜ ÊÅÐÓÂÀÍÍß ÇÀÏÀÑÀÌÈ Àíîòàö³ÿ. Ðîçãëÿíóòî êåðîâàí³ íàï³âìàðêîâñüê³ ïðîöåñè äëÿ äîñë³äæåíü áà- ãàòîíîìåíêëàòóðíî¿ ìîäåë³ òåî𳿠êåðóâàííÿ çàïàñàìè. Äëÿ òàêî¿ ìîäåë³ ïðè ñïàäíèõ ôóíêö³ÿõ çàãàëüíèõ âèòðàò çíàéäåíî óìîâè ³ñíóâàííÿ îïòèìàëüíî¿ ñòðàòå㳿, à òàêîæ äîâåäåíî ³ñíóâàííÿ îïòèìàëüíî¿ ( , )s S -ñòðàòå㳿 êåðóâàííÿ çàïàñàìè. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: íàï³âìàðêîâñüê³ ïðîöåñè, óïðàâë³ííÿ çàïàñàìè, ( , )s S -ñòðà- òåã³ÿ, êðèòåð³é îïòèìàëüíîñò³, îïòèìàëüíà ñòðàòåã³ÿ. P.S. Knopov, T.V. Pepelyaeva, I.Yu. Demchenko A SEMI-MARKOV MODEL OF INVENTORY CONTROL Abstract. We consider controlled semi-Markov processes as applied to the analysis of a multi-task model in inventory control theory. The existence conditions for the optimal strategy are found for this model, with decreasing functions of common costs and the existence of optimal ( , )s S -strategy in inventory control is proved. Keywords: semi-Markov processes, inventory control, ( , )s S -strategy, optimality criterion, the optimal strategy. Êíîïîâ Ïàâåë Ñîëîìîíîâè÷, äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû, çàâåäóþùèé îòäåëîì Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: knopov1@yahoo.com. Ïåïåëÿåâà Òàòüÿíà Âëàäèìèðîâíà, êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: pepelaev@yahoo.com. Äåì÷åíêî Èðèíà Þðüåâíà, àñïèðàíòêà Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêî, e-mail: irishka8891@ukr.net. 88 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-142017
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn 0023-1274
language Russian
last_indexed 2025-11-30T11:08:50Z
publishDate 2016
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format dspace
spelling Кнопов, П.С.
Пепеляева, Т.В.
Демченко, И.Ю.
2018-09-20T17:58:16Z
2018-09-20T17:58:16Z
2016
Об одной полумарковской модели управления запасами / П.С. Кнопов, Т.В. Пепеляева, И.Ю. Демченко // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 5. — С. 81-88. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.
0023-1274
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142017
519.21
Рассмотрены управляемые полумарковские процессы для исследования многономенклатурной модели теории управления запасами. Для данной модели при убывающих функциях общих издержек найдены условия существования оптимальной стратегии, а также доказано существование оптимальной (, )sS-стратегии управления запасами.
Розглянуто керовані напівмарковські процеси для досліджень багатономенклатурної моделі теорії керування запасами. Для такої моделі при спадних функціях загальних витрат знайдено умови існування оптимальної стратегії, а також доведено існування оптимальної (, )sS-стратегії керування запасами.
We consider controlled semi-Markov processes as applied to the analysis of a multi-task model in inventory control theory. The existence conditions for the optimal strategy are found for this model, with decreasing functions of common costs and the existence of optimal (s, S)-strategy in inventory control is proved.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Кибернетика и системный анализ
Системный анализ
Об одной полумарковской модели управления запасами
Про одну напівмарковську модель керування запасами
A semi-Markov model of inventory control
Article
published earlier
spellingShingle Об одной полумарковской модели управления запасами
Кнопов, П.С.
Пепеляева, Т.В.
Демченко, И.Ю.
Системный анализ
title Об одной полумарковской модели управления запасами
title_alt Про одну напівмарковську модель керування запасами
A semi-Markov model of inventory control
title_full Об одной полумарковской модели управления запасами
title_fullStr Об одной полумарковской модели управления запасами
title_full_unstemmed Об одной полумарковской модели управления запасами
title_short Об одной полумарковской модели управления запасами
title_sort об одной полумарковской модели управления запасами
topic Системный анализ
topic_facet Системный анализ
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142017
work_keys_str_mv AT knopovps obodnoipolumarkovskoimodeliupravleniâzapasami
AT pepelâevatv obodnoipolumarkovskoimodeliupravleniâzapasami
AT demčenkoiû obodnoipolumarkovskoimodeliupravleniâzapasami
AT knopovps proodnunapívmarkovsʹkumodelʹkeruvannâzapasami
AT pepelâevatv proodnunapívmarkovsʹkumodelʹkeruvannâzapasami
AT demčenkoiû proodnunapívmarkovsʹkumodelʹkeruvannâzapasami
AT knopovps asemimarkovmodelofinventorycontrol
AT pepelâevatv asemimarkovmodelofinventorycontrol
AT demčenkoiû asemimarkovmodelofinventorycontrol

Схожі ресурси