Cover Image

Дробно-дифференциальный аналог бипараболического эволюционного уравнения и некоторые его применения

Исследован дробно-дифференциальный аналог известного бипараболического эволюционного уравнения, предназначенный для описания динамики процессов тепломассопереноса в условиях их временной неравновесности. Получены замкнутые решения ряда задач, в частности задачи типа Коши и краевой задачи для конечно...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Кибернетика и системный анализ
Date:2016
Main Author: Булавацкий, В.М.
Format: Article
Language:Russian
Published: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2016
Subjects:
Системный анализ
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142018
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Дробно-дифференциальный аналог бипараболического эволюционного уравнения и некоторые его применения / В.М. Булавацкий // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 5. — С. 89-100. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1860165128488484864
author Булавацкий, В.М.
author_facet Булавацкий, В.М.
citation_txt Дробно-дифференциальный аналог бипараболического эволюционного уравнения и некоторые его применения / В.М. Булавацкий // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 5. — С. 89-100. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.
collection DSpace DC
container_title Кибернетика и системный анализ
description Исследован дробно-дифференциальный аналог известного бипараболического эволюционного уравнения, предназначенный для описания динамики процессов тепломассопереноса в условиях их временной неравновесности. Получены замкнутые решения ряда задач, в частности задачи типа Коши и краевой задачи для конечного промежутка. Предложена новая (дробно-дифференциальная) математическая модель для описания неравновесной динамики фильтрационных процессов в трещиновато-пористых средах. Досліджено дробово-диференційний аналог відомого біпараболічного еволюційного рівняння, призначеного для опису динаміки проесів тепломасопереносу за умов їхньої часової нерівноважності. Одержано замкнені розв’язки низки задач, зокрема задачі типу Коші та крайової задачі для скінченного проміжку. Запропоновано нову (дробово-диференційну) математичну модель для опису нерівноважної динаміки фільтраційних процесів у тріщинувато-пористих середовищах. The authors analyze the fractional differential analog of the wellknown biparabolic evolution equation intended to describe the dynamics of heat and mass transfer processes in terms of their non-equilibrium in time. Closed solution of some problems, in particular, the problem of Cauchy type and boundary-value problem for a finite interval, are obtained. A new (fractional differential) mathematical model is proposed to describe the non-equilibrium dynamics of filtrational processes in fractured porous media.
first_indexed 2025-12-07T17:56:06Z
format Article
fulltext ÓÄÊ 517.9:519.6 Â.Ì. ÁÓËÀÂÀÖÊÈÉ ÄÐÎÁÍÎ-ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÉ ÀÍÀËÎà ÁÈÏÀÐÀÁÎËÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÝÂÎËÞÖÈÎÍÍÎÃÎ ÓÐÀÂÍÅÍÈß È ÍÅÊÎÒÎÐÛÅ ÅÃÎ ÏÐÈÌÅÍÅÍÈß Àííîòàöèÿ. Èññëåäîâàí äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíûé àíàëîã èçâåñòíîãî áèïà- ðàáîëè÷åñêîãî ýâîëþöèîííîãî óðàâíåíèÿ, ïðåäíàçíà÷åííûé äëÿ îïèñàíèÿ äè- íàìèêè ïðîöåññîâ òåïëîìàññîïåðåíîñà â óñëîâèÿõ èõ âðåìåííîé íåðàâíîâåñ- íîñòè. Ïîëó÷åíû çàìêíóòûå ðåøåíèÿ ðÿäà çàäà÷, â ÷àñòíîñòè çàäà÷è òèïà Êîøè è êðàåâîé çàäà÷è äëÿ êîíå÷íîãî ïðîìåæóòêà. Ïðåäëîæåíà íîâàÿ (äðîá- íî-äèôôåðåíöèàëüíàÿ) ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äëÿ îïèñàíèÿ íåðàâíîâåñíîé äèíàìèêè ôèëüòðàöèîííûõ ïðîöåññîâ â òðåùèíîâàòî-ïîðèñòûõ ñðåäàõ. Êëþ÷åâûå ñëîâà: áèïàðàáîëè÷åñêîå ýâîëþöèîííîå óðàâíåíèå, äðîáíî-äèô- ôåðåíöèàëüíûé àíàëîã, ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå, îäíîìåðíàÿ çàäà÷à òèïà Êîøè, êðàåâàÿ çàäà÷à íà êîíå÷íîì ïðîìåæóòêå, ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðî- âàíèå äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîé äèíàìèêè ôèëüòðàöèîííûõ ïðîöåññîâ, íå- êëàññè÷åñêèå ìîäåëè. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Êàê èçâåñòíî [1–3], êëàññè÷åñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè îñíîâàíà íà ëèíåéíîì óðàâíåíèè ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ~ ( , )L u t u x t1 2 0� � � �� � � � �� � , (1) ãäå u — òåìïåðàòóðà, x En , � — îïåðàòîð Ëàïëàñà, � � 0 — ôèçè÷åñêàÿ êîíñòàíòà. Ïðè ýòîì â äàííîé òåîðèè ïîñòóëèðîâàíû òàêèå æåñòêèå îãðàíè÷å- íèÿ íà ïðîöåññû, êàê áåñêîíå÷íàÿ ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçìóùåíèé è ëè- íåéíàÿ çàâèñèìîñòü ïîòîêà îò ãðàäèåíòà ïîëÿ, à òàêæå ýíåðãèè îò òåìïåðàòóðû. Íàðóøåíèå óêàçàííûõ óñëîâèé íå ïîçâîëÿåò â ðàìêàõ äàííîé ìîäåëè ïîëó÷èòü äîñòàòî÷íî êîððåêòíîãî îïèñàíèÿ äèíàìèêè ïðîöåññîâ òåïëîìàññîïåðåíîñà è ïðèâîäèò ê íåêîòîðûì èçâåñòíûì ïàðàäîêñàì [2–4]. Ïðè ýòîì ðÿäîì àâòîðîâ, â ÷àñòíîñòè [3, 4], äëÿ îïèñàíèÿ ïðîöåññîâ ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ ïðåäëîæåíî ãèïåðáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå, ó÷èòûâàþùåå ðåëàêñàöèþ òåïëîâîãî ïîòîêà. Êàê îòìå÷åíî â [5], çàìåíà óðàâíåíèÿ (1) óðàâíåíèåì ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà ïðèíöèïèàëüíà, íî òðóäíî îáúÿñíèìà ñ òåîðåòèêî-ãðóïïîâîé òî÷êè çðåíèÿ, ïî- ñêîëüêó âñå íåñòàöèîíàðíûå óðàâíåíèÿ, â êîòîðûå âõîäÿò âòîðûå ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè, íåèíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Ãàëèëåÿ. Ãèïåðáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè íå èìååò ñîîòâåòñòâóþùèõ ñèììåòðèéíûõ ñâîéñòâ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îíî íå îòîáðàæàåò îñíîâíûõ ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ [5].  ñâÿçè ñ ýòèì â ðàáîòàõ [5, 6] óêàçàíî íà îäíî åñòåñòâåííîå îáîáùåíèå óðàâíåíèÿ (1) ~ ~ ~ , ~ ~ ~ L u L u L u L L L� � � �� �1 1 2 2 2 1 10 , (2) ãäå � �1 2, — äåéñòâèòåëüíûå ïàðàìåòðû. Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (2) â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ÷åòâåðòîãî ïîðÿä- êà èíâàðèàíòíî [6] îòíîñèòåëüíî ãðóïïû Ãàëèëåÿ G( , )1 3 , ïîýòîìó ïðåäïîëàãàåò- ñÿ, ÷òî åãî ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ îïèñàíèÿ äèôôóçèîííûõ ïðîöåññîâ, íå çàâè- ñÿùèõ îò òîãî, â êàêèõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îíè íàáëþäàþòñÿ [5, 6]. Óðàâíå- íèå (2) íàçûâàåòñÿ áèïàðàáîëè÷åñêèì [5]; ïðè �1 1� , � 2 0� îíî ñîâïàäàåò ñ êëàññè÷åñêèì óðàâíåíèåì Ôóðüå. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 89 � Â.Ì. Áóëàâàöêèé, 2016 Îòìåòèì, ÷òî áèïàðàáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå (2) íåîäíîêðàòíî èñïîëüçîâà- ëîñü ïðè ìîäåëèðîâàíèè ðàçëè÷íûõ ýâîëþöèîííûõ ïðîöåññîâ â åñòåñòâîçíàíèè, â ÷àñòíîñòè, äëÿ îïèñàíèÿ îñîáåííîñòåé äèíàìèêè äåôîðìèðóåìûõ âîäîíàñû- ùåííûõ ïîðèñòûõ ñðåä â ïðîöåññå èõ ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííûõ íàãðóçîê [7–9]. Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà ïîñòðîåíèþ äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîãî àíà- ëîãà áèïàðàáîëè÷åñêîãî ýâîëþöèîííîãî óðàâíåíèÿ (2), ïðåäíàçíà÷åííîãî äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè òåïëîâûõ è äèôôóçèîííûõ ïðîöåññîâ ñ ó÷åòîì èõ âðå- ìåííîé íåðàâíîâåñíîñòè.  ðàìêàõ äàííîãî ïîäõîäà ïðåäëîæåíà íîâàÿ (íåêëàñ- ñè÷åñêàÿ) ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äëÿ îïèñàíèÿ äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîé äèíàìèêè ôèëüòðàöèîííûõ ïðîöåññîâ â òðåùèíîâàòî-ïîðèñòûõ ïëàñòàõ. ÄÐÎÁÍÎ-ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÉ ÀÍÀËÎà ÁÈÏÀÐÀÁÎËÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÒÅÏËÎÏÐÎÂÎÄÍÎÑÒÈ Çàïèøåì îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ýíåðãèè è ïîòîêà â âèäå e e c u u c LV r V� � � �0 0 1( ) � , (3) � q u c L ur V� � � � �� � � 2 1( ), (4) ãäå u u x t� ( , ) — òåìïåðàòóðà, cV — òåïëîåìêîñòü, � — êîýôôèöèåíò òåï- ëîïðîâîäíîñòè, � �2 � / cV , �r — âåùåñòâåííûé ïàðàìåòð (ïàðàìåòð ðåëàê- ñàöèè), L Dt1 2� �( )� � � — äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíûé àíàëîã îïåðàòîðà òåïëîï- ðîâîäíîñòè, Dt ( )� — îïåðàòîð äðîáíîé ïðîèçâîäíîé Êàïóòî–Ãåðàñèìîâà [10, 11] ïî ïåðåìåííîé t ïîðÿäêà � �( )0 1� � , � — îïåðàòîð Ëàïëàñà, �— îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà [12]. Ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (3), (4) èç îáîáùåííîãî óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ ýíåð- ãèè D e qt ( )� � �div � 0 ïîëó÷àåì óðàâíåíèå Lu L u L ur� � �1 2 0� , L L L D D Dt t t2 1 1 2 4 22� � � �( ) ( ) ( )� � �� �� � . (5) Îòñþäà, êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé, ïðè � �1 ïîëó÷àåì ñòàíäàðòíîå [5, 6] áèïàðàáî- ëè÷åñêîå ýâîëþöèîííîå óðàâíåíèå (2).  äàëüíåéøåì óðàâíåíèå (5) áóäåì íàçûâàòü äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíûì àíàëîãîì áèïàðàáîëè÷åñêîãî ýâîëþöèîííîãî óðàâíåíèÿ. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äàííîå óðàâíåíèå ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äè- íàìèêè òåïëîâûõ è äèôôóçèîííûõ ïðîöåññîâ ñ ó÷åòîì ýôôåêòîâ ïàìÿòè, â ÷àñ- òíîñòè, â ñðåäàõ ôðàêòàëüíîé ñòðóêòóðû. ÀÍÀËÎà ÔÓÍÄÀÌÅÍÒÀËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß Íàçîâåì àíàëîãîì ôóíäàìåíòàëüíîãî ðåøåíèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ (5) îáîáùåííóþ ôóíêöèþ G x t r� ( , ), óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ LG L G L G x t r r rr� � �� � �� � �1 2 ( ) ( ), (6) ãäå � — äåëüòà-ôóíêöèÿ, ��� � �x . Ïðèìåíÿÿ ê (6) ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî ïåðåìåííîé x âèäà � ( , ) ( , )u t u x t e dxi x� � �� �� � � 1 2 , ãäå � — âåùåñòâåííûé ïàðàìåòð ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå � � � � � �� � � � �r t t r tD D G t D G t r r ( ) ( ) ( )� ( , ) ( ) � ( , )� � �1 2 2 2 � � �� � � � � � � � � 2 2 2 21 2 ( ) � ( , ) ( ) r G t t r . (7) 90 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5  îáðàçàõ Ëàïëàñà óðàâíåíèå (7) ïðèíèìàåò âèä � ( , )[ ( ) ( )]G s s s r r r r� � �� � � � � � � � � � � 2 2 2 2 2 2 21 2 1 1 2 � � � � � , (8) ãäå � ( , )G s r� � — îáðàç Ëàïëàñà ôóíêöèè � ( , )G t r� � ïî ïåðåìåííîé t, s — ïàðà- ìåòð ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà. Èç ñîîòíîøåíèÿ (8) íàõîäèì � ( , ) / G s s s r r � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 2 1 1 12 2 2 2 . (9) Âîçâðàùàÿñü â îáëàñòü îðèãèíàëîâ ïî âðåìåííîé ïåðåìåííîé ñ èñïîëüçîâà- íèåì ñîîòíîøåíèÿ [10,11] �[ ( )],t E at s a � � � � � � � � � 1 1 ( ( )Re s � 0, | | )as� �� 1 , ãäå � — îïåðàòîð ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà, E z� �, ( ) — äâóõïàðàìåòðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ Ìèòòàã–Ëåôôëåðà [13], ïîëó÷àåì èç (8) � ( , ) ( ) ( ), ,G t t t E t E r r � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � �1 2 2 2 2 2 1 � � � � � � � � � � � � ! " � #� t � , (10) ãäå ( )t — ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà [12]. Íàêîíåö, âîçâðàùàÿñü â ñîîòíîøåíèè (10) â îáëàñòü îðèãèíàëîâ ïî ãåîìåò- ðè÷åñêîé ïåðåìåííîé, ïîëó÷àåì èñêîìîå ðåøåíèå â âèäå G x t t t E t E r r � � � � � � � � � � � � �( , ) ( ) ( ), ,� � � � � � � �� �1 2 2 2 2 2 1 � � � � � � � � � � � ! " � #� � �� � � t e di x� � �. (11) Ñîîòíîøåíèå (11) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé àíàëîã ôóíäàìåíòàëüíîãî ðåøåíèÿ äëÿ îáîáùåííîãî äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà L, çàäàííîãî ñîîòíîøåíèÿìè L L L Lr� �1 1 1� , L D x t1 2 2 2 � � � � ( )� � . Èç (11), â ÷àñòíîñòè ïðè � �1, ïîëó÷àåì íàéäåííîå â [5] ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå ~ G r� áèïàðàáîëè÷åñêîãî îïåðàòîðà ~ L , îïðåäåëÿåìîãî ñîîòíîøåíèÿìè ~ ~ ~ ~ L L L Lr� �1 1 1� , ~ L t x 1 2 2 2 � � � � � � � . Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó E z e z 1 1, ( ) � [10, 11, 13], èç (11) èìååì ~ ( , ) ( ) ( )G x t t e e r r t i x t � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �2 1 2 2 d� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �( ) cos ( ) t e e x d e t t t r r1 1 2 2 0 � � � � � � Q x t( , ), ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 91 ãäå Q x t t t e x t( , ) ( ) � � � � � 2 2 24 — ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå êëàññè÷åñêîãî îïåðà- òîðà òåïëîïðîâîäíîñòè [12]. Îòìåòèì, ÷òî, êàê óêàçàíî â [5], ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå áèïàðàáîëè÷åñ- êîãî îïåðàòîðà îòëè÷àåòñÿ îò ôóíäàìåíòàëüíîãî ðåøåíèÿ êëàññè÷åñêîãî îïåðà- òîðà òåïëîïðîâîäíîñòè ëèøü çàâèñÿùèì îò âðåìåíè ìíîæèòåëåì ( /1� � e t r� ). Ñ ó÷åòîì èçâåñòíîé [13] àñèìïòîòè÷åñêîé ôîðìóëû äëÿ ôóíêöèè Ìèò- òàã–Ëåôôëåðà ïîëó÷àåì èç (11) ñîîòíîøåíèÿ lim ( , ) t G x t r�� �� 0, lim ( , ) ( , ) ( ) � � � r r G x t Q x t x � � $ 0 0 , ãäå Q x t� ( , ) — àíàëîã ôóíäàìåíòàëüíîãî ðåøåíèÿ äëÿ äðîáíî-äèôôåðåíöèàëü- íîãî îïåðàòîðà òåïëîïðîâîäíîñòè L1 [14]: Q x t t t E t x d� � � � � � � � � �( , ) ( ) ( )cos ( ),� � � � � 1 2 2 0 . ÎÄÍÎÌÅÐÍÀß ÇÀÄÀ×À ÒÈÏÀ ÊÎØÈ Ðàññìîòðèì íà ïðÿìîé x � ñëåäóþùóþ çàäà÷ó òèïà Êîøè: Lu D u u x D x D ut r t t� � � � � � � � � � � � � �( ) ( ) ( )� � �� � � �2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 � � � � � � � � u x , (12) u x x( , ) ( )0 � , D u x xt ( ) ( , ) ( )� �0 � , (13) ãäå �( ), ( )x x — çàäàííûå ôóíêöèè, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî ïåðåìåííîé x ( )��� � �x . Ïðèìåíÿÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî ýòîé ïåðåìåííîé ê çàäà÷å (12), (13) ïî- ëó÷àåì çàäà÷ó � � � � � � � �� � � r t t r tD D u t D u t( ) ( ) ( )� ( , ) ( ) � ( , ) (� � �1 2 12 2 2 2 � �� � � �r u t2 2 0) � ( , ) , (14) � ( , ) � ( )u � �0 � , D ut ( ) � ( , ) � ( )� � � �0 � , (15) ãäå � ( ), � ( ) � � � — îáðàçû Ôóðüå ôóíêöèé ( )x è �( )x ñîîòâåòñòâåííî, � — âå- ùåñòâåííûé ïàðàìåòð ïðåîáðàçîâàíèÿ. Äàëåå, ïðèìåíÿÿ ê (14) èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ïî âðåìåííîé ïåðåìåííîé, ïîëó÷àåì ñ ó÷åòîì (15) � ( , ) � ( ) ( ) � ( ) � ( )u s A s r � � � � � � � �� � � � � � �� � � � �1 2 21 2 � � �B s1 ( ), (16) ãäå A s s s sr r 1 2 1 2 2 2 2 2 2 21 2 1 ( ) ( / ) ( / ) � � � � � �� � �� � � � � � � � , (17) B s s s sr r 1 1 2 2 2 2 2 2 21 2 1 ( ) ( / ) ( / ) � � � � � �� � �� � � � � � � � , (18) � ( , )u s� — îáðàç Ëàïëàñà ôóíêöèè � ( , )u t� , s — ïàðàìåòð ïðåîáðàçîâàíèÿ. 92 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 Ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (9) çàêëþ÷àåì, ÷òî ôóíêöèè A s1 ( ), B s1 ( ), îïðåäåëÿå- ìûå ñîîòíîøåíèÿìè (17), (18), ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè äðîáåé s s a� �� �1 / ( ) è s s a2 1� �� �/ ( ). Òîãäà ñ ó÷åòîì èçâåñòíîãî [10, 11, 13, 14] ñîîòíîøåíèÿ �[ ( )],t E at s s a � � � � � � � � � � � � 1 ( ( )Re s � 0, | | )as� �� 1 ïîñëå ñîîòâåòñòâóþùèõ âû÷èñëåíèé ïîëó÷àåì A t t E t Er r 1 1 2 2 1 2 21 ( ) ( ), ,� � � � � � � �� � � � �� � � � � �� � � � � � t �� � � � � � � � � � ! " � #� , (19) B t E t E tr r 1 2 2 2 21 ( ) ( )� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � ! " � #� . (20) Ñîîòíîøåíèÿ (19), (20) ïîçâîëÿþò âåðíóòüñÿ â (16) â îáëàñòü îðèãèíàëîâ îò- íîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà.  ðåçóëüòàòå èìååì � ( , ) � ( ) ( ) ( )u t E t Er r r � � � � � � � � � � � �� � �� � � � � �1 12 2 2 2 2 2 2� �2� � �� � � � � � � � � � � � ! " � #� �t � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � r r E t E t� ( ) ( )2 2 2 21 � ! " � #� . Îòñþäà, ïðèìåíèâ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî ïåðåìåííîé x, îêîí÷à- òåëüíûé ðåçóëüòàò çàïèøåì â âèäå u x t E t Er r r ( , ) � ( ) ( ) ( )� � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �1 12 2 2 2 2 2 2 2� � �� � � � � � � � � � � � � � � � ! " � #� � �� � � t � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � r r E t E t� ( ) ( )2 2 2 21 � ! " � #� ! " � #� �e di x� �, (21) ãäå � ( ) ( ) � � �� �� � � 1 2 x e dxi x , � ( ) ( )� � � � �� �� � � 1 2 x e dxi x . Îòìåòèì, ÷òî èç ñîîòíîøåíèÿ (21) ïðè � �1 ïîëó÷àåì ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ áèïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè u x x( , ) ( )0 � , % �u x xt ( , ) ( )0 � : u x t e er t r tr r( , ) � ( )[ ( )] � ( )(/ /� � � � �� �{ � � � � � � �� �1 1 12 2 ) ( )}e dix t� � �� � � � � � � 2 . Èç (21) ïðè �r � 0 òàêæå ìîæíî ïîëó÷èòü ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ äðîá- íî-äèôôåðåíöèàëüíîãî àíàëîãà óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè L u1 0� ïðè óñëî- âèè u x x( , ) ( )0 � [10, 11, 13, 14] u x t E t e di x( , ) ( ) � ( )� � �� � � � � � �� � � �2 2 . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 93 Èç ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ ïðè � �1 ïîëó÷àåì èçâåñòíîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ êëàññè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ~ L u1 0� [12] u x t d e e d t t i x( , ) ( ) (( )� �� � � �� � �� � �� 1 2 1 2 2 2 � � � � � � � �) ( ) e d x t � � �� � � 2 24 . ÊÐÀÅÂÀß ÇÀÄÀ×À ÍÀ ÊÎÍÅ×ÍÎÌ ÏÐÎÌÅÆÓÒÊÅ Êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, áèïàðàáîëè÷åñêîå ýâîëþöèîííîå óðàâíåíèå ìîæíî èñ- ïîëüçîâàòü â ðàìêàõ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, îïèñûâàþùåé äèíàìèêó èçáû- òî÷íûõ íàïîðîâ â ïðîöåññå ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè âîäîíàñûùåííûõ ãðóíòîâûõ ìàññèâîâ ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííûõ âíåøíèõ íàãðóçîê [7, 8]. Ïðè ýòîì îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ ìîäåëè ñîîòâåòñòâóþò òàêèì çàêîíàì ôèëüòðàöèè è óïëîòíåíèÿ: � � � �� � � � k p L pr( )* 1 , (22) � � � �� � � �0 1 1a p L pr( )* , (23) ãäå � � — ñêîðîñòü ôèëüòðàöèè; � — êîýôôèöèåíò ïîðèñòîñòè; p u� � — ïîðî- âîå äàâëåíèå (u u x t� ( , ) — èçáûòî÷íûé íàïîð, � — îáúåìíûé âåñ æèäêîñòè); k � 0 — êîýôôèöèåíò ôèëüòðàöèè; a è �1 — ñîîòâåòñòâåííî êîýôôèöèåíò ñæèìàåìîñòè è âíåøíÿÿ íàãðóçêà ïðè êîìïðåññèè; L t c x1 2 2* / /� � � � � �� ; c k a� � �� � �( )( )1 1 cp — êîýôôèöèåíò êîíñîëèäàöèè [15]; �0 è �cp — íà÷àëü- íîå è ñðåäíåå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà ïîðèñòîñòè ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè èçâåñòíûõ îãðàíè÷åíèÿõ [15] èç óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè æèäêîé ôàçû ïîëó÷àåì (ñ ó÷åòîì (22)) ñëåäóùåå óðàâíåíèå êîíñîëèäàöèè âîäîíàñûùåí- íîãî ãðóíòîâîãî ìàññèâà: � � � � � � � � �� t a c x u L ur 2 2 1( )* , èëè, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (23), èìååì áèïàðàáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå êîíñîëè- äàöèè [7] ( ) ( , )* * *L L L u x tr1 1 1 0� �� L t c x 1 2 2 * � � � � � � � � � � � � . (24)  áîëåå îáùåì ñëó÷àå ìîäåëèðîâàíèÿ äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîé äèíàìèêè èçáûòî÷íûõ íàïîðîâ â ïðîöåññå ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè â ñîîòíîøåíèÿ (22), (23) ïîëîæèì L D c x Lt c1 2 2* ( ) /� � � � �� � . Òîãäà èç äðîáíî-äèôôåðåíöèàëü- íîãî àíàëîãà óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè æèäêîé ôàçû èìååì óðàâíåíèå 1 1 2 2� � � � � � � �� cp D k x u L ut r c ( ) ( ) èëè ñ ó÷åòîì (23) îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äðîáíî-äèôôåðåíöèàëü- íîé ìîäåëè êîíñîëèäàöèè âîäîíàñûùåííûõ ãðóíòîâ â âèäå ( ) ( , )L L L u x tc r c c� �� 0 L D c x c t� � � � � � � � � ( )� � 2 2 , (25) ãäå u u x t� ( , ) — èçáûòî÷íûé (ñâåðõ ãèäðîñòàòè÷åñêîãî) íàïîð. 94 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ìîäåëèðîâàíèÿ äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîé äèíàìèêè èç- áûòî÷íûõ íàïîðîâ â ïðîöåññå êîíñîëèäàöèè ìàññèâà êîíå÷íîé ìîùíîñòè l ñ õî- ðîøî ïðîíèöàåìîé âåðõíåé ãðàíüþ x � 0, ðàñïîëîæåííîãî íà íåïðîíèöàåìîì îñíîâàíèè x l� .  ýòîì ñëó÷àå çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ â îáëàñòè ( , ) ( , )0 0l & � óðàâíåíèÿ (25) ïðè êðàåâûõ óñëîâèÿõ u t u t u l t u l txx x xxx( , ) ( , ) , ( , ) ( , )0 0 0 0� %% � % � %%% � , (26) u x x( , ) ( )0 � , D u xt ( ) ( , )� 0 0� . (27) Ðåøåíèå çàäà÷è (25)–(27) ìîæíî ïîëó÷èòü ñîãëàñíî ñëåäóþùåìó àëãîðèòìó. Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå êîíå÷íîå ñèíóñ-ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî ïåðåìåí- íîé x âèäà � ( ) ( , )sin ( )u t u x t x dxn n l � � � 0 � � n n l n� � �� � � � ( ) , , , 2 1 2 1 2 � è ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå èññëåäóåìîé êðàåâîé çàäà÷å ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çà- äà÷ òèïà Êîøè: � � � �� � � � �r t t n r n t n nD D u t c D u t c( ) ( ) ( )� ( ) ( ) � ( ) (� � �1 2 12 2 � �� ��r n nc u t2 0) � ( ) , (28) � ( ) , � ( )( )u D un n t n0 0 0� �� � ( , , )n �1 2 � , (29) ãäå îáîçíà÷åíî � �n n l x x dx� � ( )sin ( ) 0 . (30) Êàê è ðàíåå, ðåøåíèå çàäà÷ (28), (29) íàõîäèì ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäèêè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà. Ïðèìåíÿÿ ê (28) ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ïî ïåðåìåí- íîé t, ñ ó÷åòîì (29) ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå � ( ) ( ) ( )u s A s c B sn n r n� � � � � �� � � � � � � �� � ��2 2 2 1 2 , (31) ãäå A s s s c s c cr n n r n 2 2 1 2 2 2 21 2 1 ( ) ( / ) ( / ) � � � � � �� � � � � �� � � � � , (32) B s s s c s c cr n n r n 2 1 2 2 2 21 2 1 ( ) ( / ) ( / ) � � � � � �� � � � � �� � � � � , (33) � ( )u sn — îáðàç Ëàïëàñà ôóíêöèè � ( )u tn , s — ïàðàìåòð ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ïåðåõîä â îáëàñòü îðèãèíàëîâ â ñîîòíîøåíèÿõ âèäà (32), (33) îñóùåñòâëÿåò- ñÿ àíàëîãè÷íî èçëîæåííîìó ðàíåå. Ïîñëå âûïîëíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ âûêëà- äîê â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì èç (31) � ( ) ( ) ( )u t c E c t c E cn n r n n r n r � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � �1 12 2 2 n t2� � �� � � � � � � � � � � � ! " � #� � . Âîçâðàùàÿñü â îáëàñòü îðèãèíàëîâ ïî ãåîìåòðè÷åñêîé ïåðåìåííîé, íàõîäèì ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è â âèäå ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 95 u x t l c E c tn r n n n ( , ) ( ) ( )� � � � � � � � '2 1 2 2 1 � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � ! " � #� � � � � �� � � � r n r n nc E c t x2 21 sin ( ), (34) ãäå âåëè÷èíà � n îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (30). Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè ïðè � �1, ïîëó÷àåì ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé êðàåâîé çàäà÷è â ðàìêàõ áèðàïàáî- ëè÷åñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè [7] u x t l c e en r n t cr( , ) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �2 1 12� � �� � �� �nt n n x 2 1 sin ( ) � � ' .  ñëó÷àå �r � 0 èç (34) ïîëó÷àåì ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ êîíå÷íîãî ïðîìåæóòêà â ðàìêàõ äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîé ìîäåëè òåïëîïðî- âîäíîñòè, îñíîâàííîé íà óðàâíåíèè L uc � 0 [14] u x t l E c t xn n n n ( , ) ( )sin ( )� � � � '2 2 1 � � �� � � � �n n l x x dx� � � � � � � ( ) sin ( ) 0 . ÏÐÈÌÅÍÅÍÈÅ Ê ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÞ ÄÐÎÁÍÎ-ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÉ ÄÈÍÀÌÈÊÈ ÔÈËÜÒÐÀÖÈÎÍÍÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑΠ ÒÐÅÙÈÍÎÂÀÒÎ-ÏÎÐÈÑÒÛÕ ÑÐÅÄÀÕ Êàê èçâåñòíî [16, 17], êëàññè÷åñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ôèëüòðàöèè â òå- ùèíîâàòî-ïîðèñòûõ ñðåäàõ (ïîðèñòûå áëîêè, ðàçäåëÿåìûå ñèñòåìîé òðåùèí) áàçèðóåòñÿ íà ñëåäóþùåé ñèñòåìå óðàâíåíèé íåðàçðûâíîñòè ôèëüòðàöèîííîãî ïîòîêà â ñèñòåìå òðåùèí è ïîðèñòûõ áëîêîâ: �1 1 1 * � � � � p t u qdiv � , � 2 2 2 * � � � � � p t u qdiv � èëè ~ ( )L p p p1 1 1 2 1� �� , (35) ~ ( )L p p p2 2 2 1 2� �� , (36) ãäå p p1 2, — äàâëåíèÿ â ñèñòåìå òðåùèí è â ïîðèñòûõ áëîêàõ ñîîòâåòñòâåí- íî; � u1 — ñêîðîñòü ôèëüòðàöèè â ñèñòåìå òðåùèí; � u2 — ñêîðîñòü ôèëüòðàöèè â ïîðèñòûõ áëîêàõ; q p p� � � � 0 2 1( ) — èíòåíñèâíîñòü ïåðåòîêà [17]; � 0 — êîýôôèöèåíò ïåðåòîêà; � — âÿçêîñòü æèäêîñòè; � i i* ( , )�1 2 — êîýôôèöèåíòû óïðóãîåìêîñòè îáåèõ ñðåä; ~ L t i i� � � � � � ( , )i �1 2 , � �� i i i k � * ( , )i �1 2 — âåëè÷è- íû ïüåçîïðîâîäíîñòè â ñèñòåìå òðåùèí è ïîðèñòûõ áëîêîâ ñîîòâåòñòâåííî; � � �� i i � 0 * ( , )i �1 2 . Èñêëþ÷àÿ èç ñèñòåìû óðàâíåíèé (35), (36) ëþáóþ èç ôóíêöèé pi ( , )i �1 2 , ïîëó÷àåì äëÿ ôóíêöèè äàâëåíèÿ p â áëîêàõ èëè òðåùèíàõ óðàâíåíèå ~ ~ ~ ~ L p L p L L p1 1 2 2 1 2 0� � �� � , (37) ( / , / , )� � � � � �1 1 2 2 2 21 0� � $ . 96 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 Óðàâíåíèå (37) î÷åâèäíî ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì ñòàíäàðòíîãî áèïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (2), ïîñêîëüêó ïîñëåäíåå ïîëó÷àåòñÿ èç (37) ïðè ~ ~ L L1 2� .  ñâÿçè ñ ýòèì óðàâíåíèå âèäà (37) â äàëüíåéøåì áóäåì íàçûâàòü îáîáùåííûì áèïàðàáîëè÷åñêèì óðàâíåíèåì. Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîé äèíàìèêè íåðàâíîâåñíûõ ôèëüòðàöèîííûõ ïðîöåññîâ â òðåùèíîâàòî-ïîðèñòûõ ñðåäàõ âîñïîëüçóåìñÿ äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíûìè îïåðàòîðàìè L Dt1 1� �( )� � �, L Dt2 2� �( )� � �, (38) ãäå Dt ( )� , Dt ( )� — îïåðàòîðû ïðîèçâîäíîé Êàïóòî–Ãåðàñèìîâà [10, 11] ïî ïå- ðåìåííîé t ïîðÿäêîâ � è � ñîîòâåòñòâåííî (0� �, � � 1). Òîãäà àíàëîã ñèñòåìû óðàâíåíèé íåðàçðûâíîñòè (35), (36) äëÿ íåðàâíîâåñíîãî ôèëüòðàöèîííîãî ïðî- öåññà â òðåùèíîâàòî-ïîðèñòîé ñðåäå çàïèøåòñÿ â âèäå L p p p1 1 1 2 1� �� ( ), (39) L p p p2 2 2 1 2� �� ( ). (40) Èñêëþ÷àÿ èç ñèñòåìû óðàâíåíèé (39), (40), íàïðèìåð, ôóíêöèþ p2 , ïîëó÷àåì äëÿ ôóíêöèè äàâëåíèÿ p p� 1 óðàâíåíèå Lp L p L p L L p� � � �1 1 2 2 2 1 0� � , (41) ãäå L L D D D Dt t t t2 1 1 2 1 2 2� � � �( ) ( ) ( ) ( )( )� � � �� � � �� � . Óðàâíåíèå (41) î÷åâèäíî ÿâëÿåòñÿ äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíûì àíàëîãîì îáîáùåííîãî áèïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (37). Ïðè ýòîì èç äàííîãî óðàâíå- íèÿ ïðè L L1 2� ïîëó÷àåì ðàññìîòðåííûé ðàíåå äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíûé àíà- ëîã ñòàíäàðòíîãî áèïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, ò.å. óðàâíåíèå L p L L pr1 1 1 0� �� ( / ( ))� � �r � �2 11 . (42)  ðàìêàõ ìîäåëè, áàçèðóþùåéñÿ íà óðàâíåíèè (41), ðàññìîòðèì çàäà÷ó ìî- äåëèðîâàíèÿ äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîé äèíàìèêè ïðîöåññà ôèëüòðàöèè â òðå- ùèíîâàòî-ïîðèñòîì ìàññèâå êîíå÷íîé ìîùíîñòè l ñ õîðîøî ïðîíèöàåìûìè îáå- èìè ãðàíÿìè. Ñîîòâåòñòâóþùóþ îäíîìåðíóþ êðàåâóþ çàäà÷ó â îáëàñòè ( , ) ( , )0 0l & � ñôîðìóëèðóåì â âèäå L p L p L L p1 1 2 2 2 1 0� � �� � , (43) p t p t p l t p l txx xx( , ) ( , ) , ( , ) ( , )0 0 0 0� %% � � %% � , (44) p x p x D p xt( , ) ( ), ( , )( )0 0 00� �� , (45) ãäå L L1 2, îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (38). Ìåòîäèêà ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è (43)–(45) êðàòêî ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Îïåðàòîð êîíå÷íîãî ñèíóñ-ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå âèäà � ( ) ( , )sin ( )p t p x t x dxn n l � � � 0 � � n n l n� �� � � � , , ,1 2 � ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå ðàññìàòðèâàåìîé êðàåâîé çàäà÷å ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çà- äà÷ òèïà Êîøè: ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 97 D D p t D p tt t n n t n ( ) ( ) ( )� ( ) � ( )� � �� � � � �� � � � � � 1 2 2 2 � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � ��1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2n t n n nD p t( ) � ( ) 2 0 � � �� � �� ( )p tn , (46) � ( ) ( )sin ( )p p x x dxn n n l 0 0 0 � �� � � , D pt n ( ) � ( )� 0 0� ( , , )n �1 2 � . (47) Ïðèìåíÿÿ ê (46) ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ïî ïåðåìåííîé t, ñ ó÷åòîì óñëîâèé (47), íàõîäèì � ( )p s s a s b s s a s b s c n n n n n n n � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 , (48) ãäå an n� �1 2 2 2 � � � , bn n� � � � � �1 2 1 2 , cn n n� � � � � �� � � � � � � � � �2 1 1 2 2 1 2 2 , � ( )p sn — îáðàç Ëàïëàñà ôóíêöèè � ( )p tn . Ïåðåõîä ê îðèãèíàëàì â ñîîòíîøåíèè (48) îñóùåñòâëÿåòñÿ íà îñíîâàíèè ñëåäóþùåé ôîðìóëû îáðàùåíèÿ èç [18]: � � � � � � � � � � � � ! " � #� � � � � �� � '1 s s as bs c r mr r � � � � 1 0 1( ) m r m r m r ma b t � � � � � � �' & 0 ( ) ( )� � � � � � & �� � � � � � �E ct r m r � � � � � � � � ,( ) ( ) ( )1 1 , Re ( , , , , ) ,� � � � � � � s as bs s c � � � ( ( ( ( ( (� � � � � � 0 1 , (49) ãäå E � � � , ( )) — òðåõïàðàìåòðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ Ìèòòàã–Ëåôôëåðà [13], r m r m r m � � �� � � � ! !( )! . Èç (48) ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (49) ïîñëå ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé íàõîäèì � ( ) ( )( , )p t tn n rn r � � � '� � �* 0 , (50) ãäå îáîçíà÷åíî * +rn r n m n r m r m rnmt r m a b t( , ) ( ) (( ) ( )� � � � �� � � � �� � � � �1 � �, ) ( )t m r � ' 0 , + rnm r m r n nt E c t a t E( , ) , ( )( ) ( )� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � �1 1 , ( ) ( ) � � � � � � r m r nc t� � � � � �� �1 1 � �� � � � � � �b t E c tn r m r n � � � � � � � � � , ( ) ( )1 1 . Ïîñëå ïåðåõîäà â (50) â îáëàñòü îðèãèíàëîâ ïî ïåðåìåííîé x ïîëó÷àåì ñîîò- íîøåíèå äëÿ äàâëåíèÿ p x t l t xn rn rn n( , ) ( )sin ( )( , )� � � � � ''2 01 � �� �* . (51) 98 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èñêîìîå ðåøåíèå ðàññìàòðèâàå- ìîé çàäà÷è ïðè óñëîâèè ñõîäèìîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ ðÿäîâ. Èç (51) ïðè � �� è � � �1 2� � ïîëó÷àåì ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ (42) â âèäå p x t l t xn rn rn n( , ) ( )sin ( )( )� � � � � ''2 01 � ��* , ãäå îáîçíà÷åíî * +rn r n n r r rnt a b t t( ) ( )( ) ( ) (~ ~ ) ( )� � �� � �1 , + rn r r n n n r t E c t a b t E( ) , ,( ) ( ~ ) (~ ~ )� � � � � � � � � � � �� � �2 1 1 2 2 � � �1 1 2r nc t( ~ )� , ~an n� �1 2 2 �� � , ~ bn n� � � � ��1 2 2 , ~ ( ) cn n n� � � � � �� � � � � � � �2 1 2 2 21 . Îòìåòèì, ÷òî àíàëîãè÷íî èçëîæåííîìó ðàíåå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü äðîá- íî-äèôôåðåíöèàëüíûé àíàëîã äâóõòåìïåðàòóðíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè òåð- ìîìåõàíèêè áèíàðíûõ ñèñòåì (â ðàìêàõ êëàññè÷åñêèõ ïîñòàíîâîê òàêèå ìîäåëè ðàññìàòðèâàëèñü, â ÷àñòíîñòè, â [19]). Ïðè ýòîì ñ òî÷íîñòüþ äî îáîçíà÷åíèé èñ- êîìûõ âåëè÷èí ïðèõîäèì ê óðàâíåíèÿì âèäà (41) äëÿ àáñîëþòíûõ òåìïåðàòóð êîìïîíåíò. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Â íàñòîÿùåé ñòàòüå èññëåäîâàíî äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîå îáîáùåíèå èçâåñò- íîãî áèïàðàáîëè÷åñêîãî ýâîëþöèîííîãî óðàâíåíèÿ. Ðàññìàòðèâàåìûé àíàëîã áèïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïðåäíàçíà÷åí äëÿ îïèñàíèÿ äèíàìèêè òåïëîâûõ è äèôôóçèîííûõ ïðîöåññîâ â óñëîâèÿõ èõ âðåìåííîé íåðàâíîâåñíîñòè.  ðàì- êàõ èçó÷àåìîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ïîëó÷åíû çàìêíóòûå ðåøåíèÿ ðÿäà çà- äà÷, â ÷àñòíîñòè çàäà÷è òèïà Êîøè è êðàåâîé çàäà÷è äëÿ êîíå÷íîãî ïðîìå- æóòêà. Ïðåäëîæåíà íîâàÿ (äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíàÿ) ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äëÿ îïèñàíèÿ íåðàâíîâåñíîé äèíàìèêè ôèëüòðàöèîííûõ ïðîöåññîâ â òðåùèíî- âàòî-ïîðèñòûõ ñðåäàõ. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ê à ð ñ ë î ó à . , Å ã å ð Ä . Òåïëîïðîâîäíîñòü òâåðäûõ òåë. — Ì.: Íàóêà, 1964. — 488 ñ. 2. Ê à ð ò à ø î â Ý . È . Àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû â òåïëîïðîâîäíîñòè òâåðäûõ òåë. — Ì.: Âûñø. øêîëà, 1979. — 415 ñ. 3. Ë û ê î â À .  . Òåïëîìàññîîáìåí. — Ì.: Ýíåðãèÿ, 1978. — 479 ñ. 4. C a t t a n e o G . Sur une forme de l’equation de la chaleur eleminat le paradoxe d’une propagation instantanee // Compte Rendus. — 1958. — 247, N 4. — P. 431–433. 5. Ô ó ù è ÷  . È . , à à ë è ö û í À . Ñ . , Ï î ë ó á è í ñ ê è é À . Ñ . Î íîâîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìî- äåëè ïðîöåññîâ òåïëîïðîâîäíîñòè // Óêð. ìàòåì. æóðíàë. — 1990. — 42, ¹2. — Ñ. 237–245. 6. Ô ó ù è ÷  . È . Î ñèììåòðèè è ÷àñòíûõ ðåøåíèÿõ íåêîòîðûõ ìíîãîìåðíûõ óðàâíåíèé ìàòå- ìàòè÷åñêîé ôèçèêè // Òåîðåòèêî-àëãåáðàè÷åñêèå ìåòîäû â çàäà÷àõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. — Êèåâ: Èí-ò ìàòåìàòèêè ÀÍ ÓÑÑÐ, 1983. — Ñ. 4–22. 7. Á ó ë à â à ö ü ê è é  . Ì . Á³ïàðàáîë³÷íà ìàòåìàòè÷íà ìîäåëü ïðîöåñó ô³ëüòðàö³éíî¿ êîí- ñîë³äàö³¿ // Äîïîâ. ÍÀÍ Óêðà¿íè, 1997. — ¹ 8. — Ñ. 13–17. 8. B u l a v a t s k y V . M . Mathematical modeling of filtrational consolidation of soil under motion of saline solutions on the basis of biparabolic model // Journal of Automation and Information Science. — 2003. — 35, ¹ 8. — P.13–22. 9. B u l a v a t s k y V . M . , S k o p e t s k y V . V . Generalized mathematical model of the dynamics of consolidation processes with relaxation // Cybernetics and systems analysis. — 2008. — 44, N 5. — P. 646–654. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 99 10. P o d l u b n y I . Fractional differential equations. — New York: Academic Press, 1999. — 341 p. 11. K i l b a s A . A . , S r i v a s t a v a H . M . , T r u j i l l o J . J . Theory and applications of fractional differential equations. — Amsterdam: Elsevier, 2006. — 523 p. 12.  ë à ä è ì è ð î â  . Ñ . Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. — Ì.: Íàóêà, 1967. — 436 ñ 13. G o r e n f l o R . , K i l b a s A . A . , M a i n a r d i F . , R o g o s i n S . V . Mittag–Leffler functions, related topics and applications. — Berlin: Springer Verlag, 2014. — 454 p. 14. P o v s t e n k o Y u . Linear fractional diffusion-wave equation for scientists and engineers. — Springer Int. Publ. Switzerland, 2015. — 460 p. 15. È â à í î â Ï . Ë . Ãðóíòû è îñíîâàíèÿ ãèäðîòåõíè÷åñêèõ ñîîðóæåíèé. — Ì.: Âûñø. øêîëà, 1991. — 447 ñ. 16. Á à ð å í á ë à ò ò à . È . , Æ å ë ò î â Þ . Ï . , Ê î ÷ è í à È . Í . Îá îñíîâíûõ ïðåäñòàâëåíèÿõ òåîðèè ôèëüòðàöèè îäíîðîäíûõ æèäêîñòåé â òðåùèíîâàòûõ ïîðîäàõ // Ïðèêë. ìàòåì. è ìåõà- íèêà — 1960. — 24, âûï. 3. — Ñ. 852–864. 17. Á à ð å í á ë à ò ò à . È . , Å í ò î â  . Ì . , Ð û æ è ê  . Ì . Äâèæåíèå æèäêîñòåé è ãàçîâ â ïðè- ðîäíûõ ïëàñòàõ. — Ì.: Íåäðà, 1984. — 211 ñ. 18. S a x e n a R . K . , M a t h a i F . M . , H a u b o l d H . J . Solutions of fractional reaction–diffusion equations in terms of the Mittag–Leffler functions // Intern. Journ. Scient. Research. — 2006. — 15. — P. 1–17. 19. Á ó ð à ê ß . É . , × à ï ë ÿ ª . ß . Êîíòèíóàëüí³ ìîäåë³ íåë³í³éíî¿ òåðìîìåõàí³êè á³íàðíèõ ñèñ- òåì // Ô³ç.-õ³ì. ìåõ. ìàòåð³àë³â. — 1995. — ¹ 4. — Ñ. 7–15. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 16.02.2016 Â.Ì. Áóëàâàöüêèé ÄÐÎÁÎÂÎ-ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÉÍÈÉ ÀÍÀËÎà Á²ÏÀÐÀÁÎ˲×ÍÎÃÎ ÅÂÎËÞÖ²ÉÍÎÃΠвÂÍßÍÍß ÒÀ ÄÅßʲ ÉÎÃÎ ÇÀÑÒÎÑÓÂÀÍÍß Àíîòàö³ÿ. Äîñë³äæåíî äðîáîâî-äèôåðåíö³éíèé àíàëîã â³äîìîãî á³ïàðà- áîë³÷íîãî åâîëþö³éíîãî ð³âíÿííÿ, ïðèçíà÷åíîãî äëÿ îïèñó äèíàì³êè ïðî- öåñ³â òåïëîìàñîïåðåíîñó çà óìîâ ¿õíüî¿ ÷àñîâî¿ íåð³âíîâàæíîñò³. Îäåðæàíî çàìêíåí³ ðîçâ’ÿçêè íèçêè çàäà÷, çîêðåìà çàäà÷³ òèïó Êîø³ òà êðàéîâî¿ çà- äà÷³ äëÿ ñê³í÷åííîãî ïðîì³æêó. Çàïðîïîíîâàíî íîâó (äðîáîâî-äèôå- ðåíö³éíó) ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü äëÿ îïèñó íåð³âíîâàæíî¿ äèíàì³êè ô³ëüòðàö³éíèõ ïðîöåñ³â ó òð³ùèíóâàòî-ïîðèñòèõ ñåðåäîâèùàõ. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: á³ïàðàáîë³÷íå åâîëþö³éíå ð³âíÿííÿ, äðîáîâî-äèôå- ðåíö³éíèé àíàëîã, ôóíäàìåíòàëüíèé ðîçâ'ÿçîê, îäíîì³ðíà çàäà÷à òèïó Êîø³, êðàéîâà çàäà÷à íà ê³íöåâîìó ïðîì³æêó, ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ äðîáî- âî-äèôåðåíö³éíî¿ äèíàì³êè ô³ëüòðàö³éíèõ ïðîöåñ³â, íåêëàñè÷í³ ìîäåë³. V.M. Bulavatsky FRACTIONAL DIFFERENTIAL ANALOG OF BIPARABOLIC EVOLUTION EQUATION AND SOME ITS APPLICATIONS Abstract. The authors analyze the fractional differential analog of the well- known biparabolic evolution equation intended to describe the dynamics of heat and mass transfer processes in terms of their non-equilibrium in time. Closed solution of some problems, in particular, the problem of Cauchy type and boundary-value problem for a finite interval, are obtained. A new (fractional differential) mathematical model is proposed to describe the non-equilibrium dynamics of filtrational processes in fractured porous media. Keywords: biparabolic evolution equation, fractional-differential analog, fundamental solution, Cauchy-type one-dimensional problem, boundary value problem on a finite interval, mathematical modeling of fractional-differential dynamics of filtration processes, non-classical models. Áóëàâàöêèé Âëàäèìèð Ìèõàéëîâè÷, ïðîôåññîð, äîêòîð òåõí. íàóê, âåäóùèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, å-mail: v_bulav@ukr.net. 100 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-142018
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn 0023-1274
language Russian
last_indexed 2025-12-07T17:56:06Z
publishDate 2016
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format dspace
spelling Булавацкий, В.М.
2018-09-20T18:00:01Z
2018-09-20T18:00:01Z
2016
Дробно-дифференциальный аналог бипараболического эволюционного уравнения и некоторые его применения / В.М. Булавацкий // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 5. — С. 89-100. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.
0023-1274
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142018
517.9:519.6
Исследован дробно-дифференциальный аналог известного бипараболического эволюционного уравнения, предназначенный для описания динамики процессов тепломассопереноса в условиях их временной неравновесности. Получены замкнутые решения ряда задач, в частности задачи типа Коши и краевой задачи для конечного промежутка. Предложена новая (дробно-дифференциальная) математическая модель для описания неравновесной динамики фильтрационных процессов в трещиновато-пористых средах.
Досліджено дробово-диференційний аналог відомого біпараболічного еволюційного рівняння, призначеного для опису динаміки проесів тепломасопереносу за умов їхньої часової нерівноважності. Одержано замкнені розв’язки низки задач, зокрема задачі типу Коші та крайової задачі для скінченного проміжку. Запропоновано нову (дробово-диференційну) математичну модель для опису нерівноважної динаміки фільтраційних процесів у тріщинувато-пористих середовищах.
The authors analyze the fractional differential analog of the wellknown biparabolic evolution equation intended to describe the dynamics of heat and mass transfer processes in terms of their non-equilibrium in time. Closed solution of some problems, in particular, the problem of Cauchy type and boundary-value problem for a finite interval, are obtained. A new (fractional differential) mathematical model is proposed to describe the non-equilibrium dynamics of filtrational processes in fractured porous media.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Кибернетика и системный анализ
Системный анализ
Дробно-дифференциальный аналог бипараболического эволюционного уравнения и некоторые его применения
Дробово-диференційний аналог біпараболічного еволюційного рівняння та деякі його застосування
Fractional differential analog of biparabolic evolution equation and some its applications
Article
published earlier
spellingShingle Дробно-дифференциальный аналог бипараболического эволюционного уравнения и некоторые его применения
Булавацкий, В.М.
Системный анализ
title Дробно-дифференциальный аналог бипараболического эволюционного уравнения и некоторые его применения
title_alt Дробово-диференційний аналог біпараболічного еволюційного рівняння та деякі його застосування
Fractional differential analog of biparabolic evolution equation and some its applications
title_full Дробно-дифференциальный аналог бипараболического эволюционного уравнения и некоторые его применения
title_fullStr Дробно-дифференциальный аналог бипараболического эволюционного уравнения и некоторые его применения
title_full_unstemmed Дробно-дифференциальный аналог бипараболического эволюционного уравнения и некоторые его применения
title_short Дробно-дифференциальный аналог бипараболического эволюционного уравнения и некоторые его применения
title_sort дробно-дифференциальный аналог бипараболического эволюционного уравнения и некоторые его применения
topic Системный анализ
topic_facet Системный анализ
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142018
work_keys_str_mv AT bulavackiivm drobnodifferencialʹnyianalogbiparaboličeskogoévolûcionnogouravneniâinekotoryeegoprimeneniâ
AT bulavackiivm drobovodiferencíiniianalogbíparabolíčnogoevolûcíinogorívnânnâtadeâkíiogozastosuvannâ
AT bulavackiivm fractionaldifferentialanalogofbiparabolicevolutionequationandsomeitsapplications

Similar Items