Оценка точности разностной схемы для двумерного уравнения Пуассона с учетом эффекта от краевых условий
Получена априорная оценка скорости сходимости сеточного решения к обобщенному решению двумерного уравнения Пуассона в случае смешанного краевого условия (краевые условия первого и третьего рода). Показано, что точность схемы выше вблизи тех сторон квадрата, на которых задано краевое условие Дирих...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2016 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2016
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142020 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Оценка точности разностной схемы для двумерного уравнения Пуассона с учетом эффекта от краевых условий / Н.В. Майко, В.Л. Рябичев // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 5. — С. 113-124. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859651997223878656 |
|---|---|
| author | Майко, Н.В. Рябичев, В.Л. |
| author_facet | Майко, Н.В. Рябичев, В.Л. |
| citation_txt | Оценка точности разностной схемы для двумерного уравнения Пуассона с учетом эффекта от краевых условий / Н.В. Майко, В.Л. Рябичев // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 5. — С. 113-124. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Получена априорная оценка скорости сходимости сеточного решения к обобщенному решению двумерного уравнения Пуассона в случае смешанного краевого условия (краевые условия первого и третьего рода). Показано, что точность схемы выше вблизи тех сторон квадрата, на которых задано краевое условие Дирихле.
Отримано апріорну оцінку швидкості збіжності сіткового розв’язку до узагальненого розв’язку двовимірного рівняння Пуассона у випадку мішаної крайової умови (крайові умови першого і третього роду). Показано, що точність схеми вища поблизу тих сторін квадрата, на яких задана крайова умова Діріхле.
We obtain the weighted error estimate of the finite-difference scheme for Poisson’s equation in a unit square, which takes into account the effect of the first boundary condition. We prove that the accuracy order is higher near the sides of the domain where the Dirichlet boundary condition is specified.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:34:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.6
Í.Â. ÌÀÉÊÎ, Â.Ë. ÐßÁÈ×ÅÂ
ÎÖÅÍÊÀ ÒÎ×ÍÎÑÒÈ ÐÀÇÍÎÑÒÍÎÉ ÑÕÅÌÛ
ÄËß ÄÂÓÌÅÐÍÎÃÎ ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÏÓÀÑÑÎÍÀ
Ñ Ó×ÅÒÎÌ ÝÔÔÅÊÒÀ ÎÒ ÊÐÀÅÂÛÕ ÓÑËÎÂÈÉ
Àííîòàöèÿ. Ïîëó÷åíà àïðèîðíàÿ îöåíêà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè ñåòî÷íîãî
ðåøåíèÿ ê îáîáùåííîìó ðåøåíèþ äâóìåðíîãî óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà â ñëó-
÷àå ñìåøàííîãî êðàåâîãî óñëîâèÿ (êðàåâûå óñëîâèÿ ïåðâîãî è òðåòüåãî
ðîäà). Ïîêàçàíî, ÷òî òî÷íîñòü ñõåìû âûøå âáëèçè òåõ ñòîðîí êâàäðàòà,
íà êîòîðûõ çàäàíî êðàåâîå óñëîâèå Äèðèõëå.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: óðàâíåíèå Ïóàññîíà, êðàåâàÿ çàäà÷à, ðàçíîñòíàÿ ñõåìà,
îöåíêà ñ âåñîì, ó÷åò âëèÿíèÿ êðàåâîãî óñëîâèÿ.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È È ÅÅ ÊÎÍÅ×ÍÎ-ÐÀÇÍÎÑÒÍÀß ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈß
 ïóáëèêàöèÿõ, ïîñâÿùåííûõ êîíå÷íî-ðàçíîñòíîé äèñêðåòèçàöèè êðàåâûõ è
íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷, òî÷íîñòü ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ íåðåäêî îöåíèâàåò-
ñÿ â íîðìå ñ âåñîì. Òàêèå îöåíêè èíîãäà ìîæíî òðàêòîâàòü êàê êîëè÷åñòâåí-
íîå âûðàæåíèå èçâåñòíîãî íàáëþäåíèÿ (ñì., íàïðèìåð, [1, 2]), ÷òî òî÷íîñòü
ñõåìû âûøå âáëèçè òîé ÷àñòè ãðàíèöû îáëàñòè, ãäå çàäàíî êðàåâîå óñëîâèå
Äèðèõëå, ïîñêîëüêó ñåòî÷íîå ðåøåíèå óäîâëåòâîðÿåò åìó òî÷íî.
Âëèÿíèå êðàåâîãî óñëîâèÿ íà ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû äëÿ ýë-
ëèïòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, ïðåäñòàâëåííîãî â äèâåðãåíòíîé ôîðìå, èññëåäîâàíî â [3].
Èäåè [3] ïîëó÷èëè ðàçâèòèå â [4] ïðè èçó÷åíèè òî÷íîñòè òðàäèöèîííûõ ðàçíîñò-
íûõ ñõåì äëÿ îäíîìåðíîãî è äâóìåðíîãî ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ êðàåâûì
óñëîâèåì Äèðèõëå. Èç äîêàçàííûõ àïðèîðíûõ îöåíîê ñëåäóåò, ÷òî òî÷íîñòü ñõåìû
ïîâûøàåòñÿ âáëèçè ñòîðîí è äíà ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîãî ïðÿìîóãîëüíèêà
â îäíîìåðíîì ñëó÷àå è âáëèçè áîêîâûõ ãðàíåé è äíà ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîãî
ïàðàëëåëåïèïåäà — â äâóìåðíîì ñëó÷àå.
Ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû äëÿ îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ òåï-
ëîïðîâîäíîñòè ïðè ñìåøàííîì êðàåâîì óñëîâèè èññëåäîâàíà â [5]. Óñòàíîâëåí-
íûå àïðèîðíûå îöåíêè â íîðìå ñ âåñîì ó÷èòûâàþò âëèÿíèå íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ
è çàäàííîãî íà îäíîì èç êîíöîâ îòðåçêà êðàåâîãî óñëîâèÿ Äèðèõëå.
Òî÷íîñòü êîíå÷íî-ðàçíîñòíîé àïïðîêñèìàöèè ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ
äâóìåðíîãî êâàçèëèíåéíîãî ýëëèïòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôôè-
öèåíòàìè ñ ó÷åòîì ýôôåêòà âëèÿíèÿ óñëîâèÿ Äèðèõëå èçó÷åíà â [6].
 äàííîé ñòàòüå ðàññìîòðåíà ñìåøàííàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à (ñ óñëîâèÿìè Äè-
ðèõëå è Íüþòîíà) äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà â êâàäðàòå è ïîëó÷åíà îöåíêà ñêîðî-
ñòè ñõîäèìîñòè ïðèáëèæåííîãî ñåòî÷íîãî ðåøåíèÿ ê òî÷íîìó îáîáùåííîìó ðå-
øåíèþ â íîðìå ñ âåñîì, ó÷èòûâàþùàÿ âëèÿíèå óñëîâèÿ Äèðèõëå.
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó
� � ��u f x x D( ), ,
�
�
�
� � � �
u
x
u x x
1
10� ( ) , � , (1)
u x� � �0 1, \� � ,
ãäå x x x� ( , )1 2 , � �
�
�
�
�
�
2
1
2
2
2
2x x
, D x x x� �{ ( , )1 2 : 0 1 x� , � �1 2, }, � � �D —
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 113
© Í.Â. Ìàéêî, Â.Ë. Ðÿáè÷åâ, 2016
ãðàíèöà êâàäðàòà D, �� � � 1 2 20 0 1{ ( , ): }x x x — ëåâàÿ ñòîðîíà êâàäðàòà D,
� �
const 0 .
Ïðè ïîñòðîåíèè è èññëåäîâàíèè äèñêðåòíîãî àíàëîãà çàäà÷è (1) èñïîëüçó-
þòñÿ òðàäèöèîííûå îáîçíà÷åíèÿ òåîðèè ðàçíîñòíûõ ñõåì [7].
Ââåäåì ñåòî÷íûå ìíîæåñòâà:
� � � � � � � � �
�� � � � �{ , , , / }
( )
x i h i N h N
i
1 1 1 , N �
2 — öåëîå ÷èñëî,
� �� �
� � �{ }0 , � �� �
� � �{ }1 , � �� �� � �{ } { }0 1 ,
� � �� �1 2 , � � �� �1 2 , � � �� \ ;
� �� � � �� � �� � �{ ,x x0 3 3 }, � �� � � �� � �� � �{ , }x x1 3 3 , � �1 2, .
Ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðîâ
( )( , ) ( | | ) ( , )T x x
h
h x x d
x h
x h
2 1 2
2
2 2 2 2 1 2 2
1
2 2
2 2
� � � � �� � �
�
�
� � �, ,x � � 1
( )( , )
( | | ) ( , )
T x x
h
h x x d
x h
x h
1 1 2
1
2 1 1 1 1 2 1
1
1 1
1 1
�
� � � �
�
� �
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, ,
( ) ( , ) , ,
x
h
h x d x
h
�
� � � � �
2
1
2 1 1 1 2 1
0
1
1
äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ [8]
T
u
x
u xx x�
�
� �
�
�
�
� �
2
2
, ,
T T x
h
T x x T
u
x h
u
u
x
x1 1 1
1
1 2 2 1
2
1
2
1 1
1 1
3
2
1
� � �
�
�
� �
�
�
�
�
��
�
, , ,
�
�� � �, x � 1 ,
àïïðîêñèìèðóåì çàäà÷ó (1) ðàçíîñòíîé ñõåìîé
� � � � ��y x x� � �( ), 1 ,
y x� � �0 1, \� � , (2)
ãäå �( ) ( )( )x T T f x� 1 2 , � � �� �1 2 ,
�1
1
1
1 1
1
2y
y x
h
y y x
x x
x
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
, ,
( ), ,
�
� �
� 2 1
1
2 2
2 2
1
3
y
y x
h
y x
x x
x x
�
�
�
�
�
��
�
�
�� �
�
�
�
�
�
�
, ,
, .
�
�
�
ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÐÀÇÍÎÑÒÍÎÃÎ ÎÏÅÐÀÒÎÐÀ È ÎÖÅÍÊÀ ÐÀÇÍÎÑÒÍÎÉ ÔÓÍÊÖÈÈ ÃÐÈÍÀ
Äëÿ ïîãðåøíîñòè z y u� � ïîëó÷èì çàäà÷ó
� � � � ��z x x � �( ), 1 ,
z x� � �0 1, \� � , (3)
ãäå
� � � � �T T f u x x1 2 1 1 2 2 2
� � — ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè:
� �1 2 1( ) ( )( ) ( ),x T u x u x x� � � � � ,
�
� �2
1
1
1
3
( )
( )( ) ( ), ,
( )( ) ( ) ( ),
x
T u x u x x
T u x u x
h
u x x
�
� �
� � � �
�
�
�
� 1.
114 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5
Íà ìíîæåñòâå H h ñåòî÷íûõ ôóíêöèé, çàäàííûõ íà � è îáðàùàþùèõñÿ â
íóëü íà � �\ �1 , îïðåäåëèì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è íîðìó:
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )y h h y x x
h
h y x x
x x
� � �
� �
� �
� �
� �
�
1 2
1
2
2
1
,
|| || ( , ) ( ) ( )� � � � �
� �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
�
h h x
h
h x
x x
1 2
2 1
2
2
2
1
1 2/
.
Ââåäåì îïåðàòîðû A� �� �� , � �1 2, , A A A� � � �1 2 �, äåéñòâóþùèå â H h .
Òîãäà ñõåìà (2) çàïèøåòñÿ â âèäå îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ Ay y H h� �� �, , , à çà-
äà÷à (3) — â âèäå îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ Az z H h� � , , .
 ïðîñòðàíñòâå H h ðàçíîñòíûå îïåðàòîðû A1 è A2 ñèììåòðè÷íû è ïîëîæè-
òåëüíî îïðåäåëåíû:
( , )A y1 � �
� � �
�
� �
� �
� �
�
h h y
h
h
h
y y h h yx x
x
x
x
x1 2
1
2
1
1 21 1 1
1
2
2
( ) ( )� � �
� �
1 1
1 2 1
2� � �
� � �
x
x x
h y
� � ��
�
� �� ,
( , )A y y h h y h y h h y
x
x x
x
x
1 1 2
2
2
2
1 2
2
1
1 2 1
1
1
� �
� � � ��
�
� �
� � � �
�
� �� ��
� ���
� ��
2
1
1 12 2
2 1
2h h y
x
xx
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�� h
l
h y x
h
y x
xx
2
1
2 1
2 1 2
2
2
2
0 2
1 12 2
( ) ( , ) ||
��
y|| 2 (0 11 1� � �x l ),
( , ) ( ) (A y h h y
h
h
h
yx x
x
x2 1 2
1
2
1
2 2 22
1
3
� �
�
�
� � � �
�
�
��
�
�
�� �
�
� x
x
2
1
)�
�� �
� �
� � �
�
�
��
�
�
��
� � ��
� h h y
h h
h yx x
x
x x
x
1 2
1 1
22 2
1 2
2 2
2
1
3 2
�
�
�
� � �2
1 0
�
�
�
( )x
,
( , )A y y2 �
� � �
�
�
��
�
�
��
� � �� �
� h h y
h h
h y
x
x
x
x
x
1 2
2 1 1
2
2
2
1 2
2
2 2
1
3 2
� � �
�
( 1
2
2 21 1
2
2 2
1
0
1 2
2 1
2
2
0
2
�
�� �
�
� �� �
�
� �
) ( )
h h y
h
h y
x
xx
x
x
x
�� �
�
�� �
�� �h
l
h y x
h
l
h y x
xx x
1
2
2 2
2 1
2
2 2
2
2
8
2
8
0
2 21 1 2 2
( ) ( , )
�� �
� 8 2|| ||y (0 12 2� � �x l ).
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ðàçíîñòíûé îïåðàòîð A ñèììåòðè÷åí è ïîëîæèòåëüíî
îïðåäåëåí â H h , à çíà÷èò, ñóùåñòâóåò îáðàòíûé îïåðàòîð A �1.
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû ñóììèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì è �-íåðàâåíñòâî ïðè
� ��1 4/ ( ) , íàéäåì
|| || ( , ) ( , ) || || || ||Ay Ay Ay A y A y A y A y A y A y2
1 2 1 2 1
2
2� � � � � � 2
1 22�
( , )A y A y
� � �
�
�2 2 2
2
2
11 2 1 2
1
2
1
1 1 2 2 1
( , ) ( )A y A y h h y y
h
h
h
y yx x x x
x
x
�
� �
�
�
��
�
�
�� �
� �
�
h
yx x
x
1
3 2 2
1
�
�
� �
� � �
�
� � �
�2 2
3
1 2
2 1
2
0
1 2
1 2
1 2 2
2 2
1
h h y
h
h y y
x x
x
x x x
x
x
� � �
�
( )
� �� �
�
�
��
�
�
��
�
�
�
2 1
3
1
2
2
0
2
2 2
1
�
�
�
h
h y
x
x
x( )
(4)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 115
116 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5
�
� � �
�
� � �
�2 2
3
1
4
1 2
2 1
2
2
0
1 2
1 2
1 2
2 2
1
h h y
h
h y
x x
x
x x
x
x
� � �
�
�
( ) ( )
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
h y
x
x
x
2
2
0
2
2 2
1
� �
�
�
��
�
�
�� �
�
�
��
�2 1
3
21
2
2
0
1 2
2
2
2 2
1
1 2
�
�
�
h
h y h h y
x
x
x
x x
x
( )
� �1 2
� ��
� �
� �
�
�
�
�
� �
�2
3
1
4
21
2
2
0
2
2
0
1 2
2 2
1
2
2 2
1
h
h y h y
x x
x
x
x
x
x
�
�
�
� �
( ) ( )
�
�
�
� � �
�
� � �
� �2
6
21 2
2 1
2
2
0
1 2
1 2
1 2
2 2
1
h h y
h
h y
x x
x
x x
x
x
� � �
( )
1
6
11
6
1 2
2
1
2
1 2
1 2
�
�
�
�
�
� �
� �� �
� h h y B y
x x
x � �
|| ||*
*
,
ãäå B y yx x1 1 2
* � � , x � �� �� �1 2 , — ðàçíîñòíûé îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé èç H h
â ïðîñòðàíñòâî H h
* ñåòî÷íûõ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà ìíîæåñòâå óçëîâ
� �1 2
� �� ; ( , ) ( ) ( )*y h h y x x
x
� �
� �
�
� �� �
� 1 2
1 2
, || || ( , ) ( )* *y y y h h y x
x
� �
� �� �
� 1 2
2
1 2� �
— ñî-
îòâåòñòâåííî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è íîðìà â H h
* . Èìååì
( , ) ( )*
*B y w h h y w h h ywx x
x
x x
x
1 1 2 1 21 2
1 2
1 2
� � � � �
� � �� �
� �
� � �
h
h y
h
w y B wx
x
1
2
1
1
2
2
2
1� �
� �
�
( , ),
ãäå B H Hh h1: * � , — îïåðàòîð, ñîïðÿæåííûé ê îïåðàòîðó B H Hh h1
* *: � ,
B w
w x
h
w x
x x
x
1
1
1
1 2
2
2� �
�
�
�
�
�
�
�
�
, ,
, .
�
�
(5)
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì
|| || || || || || ( , ) ( , )Ay A y A y A y A y A y A y2
1
2
2
2
1 2 1 22 2� � �
�
� � � �
�
�
��
�
��
�2 2
2
2
1
3
1 2
1
2
1
1
1 1 2 2 1
h h y y
h
h
h
y y
h
x x x x
x
x
�
�
�
( ) �� �
� �
� yx x
x
2 2
1�
� �
� � �
�
� � �
�2 2
3
1 2
2 1
2
0
1 2
1 2
1 2 2
2 2
1
h h y
h
h y y
x x
x
x x x
x
x
� � �
�
( )
� �� �
�
�
��
�
�
��
�
�
�
2 1
3
1
2
2
0
2
2 2
1
�
�
�
h
h y
x
x
x( )
�
� � �
�
� � �
�2 2
3
1
4
1 2
2 1
2
2
0
1 2
1 2
1 2
2 2
1
h h y
h
h y
x x
x
x x
x
x
� � �
�
�
( ) ( )
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
h y
x
x
x
2
2
0
2
2 2
1
� �
�
�
��
�
�
�� �
�
�
��
�2 1
3
21
2
2
0
1 2
2
2
2 2
1
1 2
�
�
�
h
h y h h y
x
x
x
x x
x
( )
� � �
�
�
1 2
1 2
2 2
1
2
3
1
4
1
2
2
0
� � �� �
�
� �� �
h
h y
x x
x
x( )
�
�
�
�
� �� � �
� �2 2
6
2
2
0
1 2
2 1
2
2
2 2
1
1 2
1 2
�
� � �
h y h h y
h
h
x
x
x
x x
x
( )
y
x x
x
x
1 2
2 2
1
2
0
�
�
�
�
�
( )
�
�
�
�
�
�
� �
� �� �
�2
1
6
11
6
1 2
2
2
2
1 2
1 2
h h y B y
x x
x � �
|| ||*
*
, (6)
ãäå B y yx x2 1 2
* � � , x � �� �� �1 2
, — ðàçíîñòíûé îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé èç H h
â ïðîñòðàíñòâî H h
* ñåòî÷íûõ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà ìíîæåñòâå óçëîâ
� �1 2
� �� ; ( , ) ( ) ( )*y h h y x x
x
� �
� �
�
� �� �
� 1 2
1 2
, || || ( , ) ( )* *y y y h h y x
x
� �
� �� �
� 1 2
2
1 2� �
— ñêà-
ëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è íîðìà â H h
* . Èìååì
( , )*
*B y w h h y w h h yw
h
x x
x
x x
x
2 1 2 1 2
1
1 2
1 2
1 2
� � � � �
� � �� �
� �
� � � 2
2
2
1
22
1
h y
h
w y B wx
x� �
� �
�
( , ),
ãäå B H Hh h2 : * � , — îïåðàòîð, ñîïðÿæåííûé ê îïåðàòîðó B H Hh h2
* *: � ,
B w
w x
h
w x
x x
x
2
1
1
1 2
2
2� �
�
�
�
�
�
�
�
�
, ,
, .
�
�
(7)
Äàëåå áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò (îñíîâíàÿ ëåììà â [8]).
Ëåììà 1. Ïóñòü: 1) A — ëèíåéíûé ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð, äåéñòâóþ-
ùèé â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H ; 2) B — ëèíåéíûé îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé
èç H * â H (H H* � ); 3) ñóùåñòâóåò A �1 ; 4) || || || ||*
*B A� � �� � �� H , ãäå
B H H* *: � , — îïåðàòîð, ñîïðÿæåííûé ê îïåðàòîðó B H H: * � , ( , )*y � è
|| || ( , )* *� � �� — ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è íîðìà â H * . Òîãäà
|| || || || *A B� �1 � � � � �� H * .
Ïðèìåíÿÿ ëåììó 1 ê îïåðàòîðàì A , B1 , B2 , ïîëó÷àåì îöåíêó
|| || || || *A Bk
� �1 6
11
� � � �� H * (k �1 2, ). (8)
Ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà G x G x x( , ) ( , ; , )� � �� 1 2 1 2 ðàçíîñòíîé êðàåâîé
çàäà÷è
� � � �G x G x
x x
h h
� � � �� �
� � � �
� �
1 1 2 2
1 1 2 2
1 2
( , ) ( , )
( , ) ( , )
, ,
� � � �
�
�
��
�
�
�� �
2
1
31
1
1 2 2h
G x G x
h
G x( ( , ) ( , )) ( , )� � �� � �
�
�
�
2
1
1 1 2 2
2h
x x
h
� � � �( , ) ( , )
, � �� �1, (9)
G x( , )� � 0, � � �� �\ 1,
ãäå �( , )m n — ñèìâîë Êðîíåêåðà, ðåøåíèå çàäà÷è (3) ìîæíî ïðåäñòàâèòü
â âèäå
z x G x( ) ( ( , ), ( ))� � � , x � � �� � 1.
Äëÿ îöåíêè ôóíêöèè Ãðèíà âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèì ðåçóëüòàòîì.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 117
Ëåììà 2. Èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
|| ( , ) || ( )G x x� �
6
11
,
ãäå
( ) min ( )( ), ( )x x x x x� � � �{ }1 1 11 2 1 2 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàäà÷ó (9) ìîæíî çàïèñàòü òàêæå â âèäå
� � � � � �G x G x H x H x� � � � � �� � � � � �
1 1 2 2 1 2
1 1 2 2( , ) ( , ) ( ( ) ( )) , ,
� � � �
�
�
��
�
�
�� �
2
1
31
1
1 2 2h
G x G x
h
G x( ( , ) ( , )) ( , )� � �� � �
�
�
� � � � �
2
1
1 1 2 2 1
2h
H x H x( ( ) ( )) ,� � � �� ,
G x( , ) , \� � � �� � �0 1 ,
ãäå H s( ) — ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà, H s
s
s
( )
, ,
, ,
�
�
��
1 0
0 0
èëè â îïåðàòîðíîì âèäå
A G x B H x H x� � � �
�
( , ) ( ( ) ( ))� � � �1 1 1 2 2 .
Îòñþäà
|| ( , ) || || ( ( ) ( )) || || (G x A B H x H x H x� � � �� � � � ���
� �
1
1 1 2
6
11
1 2) ( ) ||*H x�� �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� �
�
6
11
1 2
2
1 1
2
2 2
1 2
1 2
h h H x H x( ) ( )
/
� �
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
6
11
1
2
1 1
0
1
1 2
2
2
2 2
01
1
2
h H x h H x
h
( ) ( )
/
� �
� �
1
1 2
2�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
h
/
(10)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
6
11
1
1
1 2
2
1
1 2
1 1
1
2 2
2
h h
x
h
x
h
� �
/ /
� � �
6
11
1 11 2( )( )x x .
Çàïèøåì òåïåðü çàäà÷ó (9) èíà÷å:
� � � � � � �G x G x H x H x� � � � � �� � � � � �
1 1 2 2 1 2
1 1 2 2( , ) ( , ) ( ( ) ( )) , ,
� � � �
�
�
��
�
�
�� �
2
1
31
1
1 2 2h
G x G x
h
G x( ( , ) ( , )) ( , )� � �� � �
�
�
� � � � � �
2
1
1 1 2 2 12h
H x H x( ( ) ( )) ,� � � �� ,
G x( , ) , \� � � �� � �0 1 ,
èëè â îïåðàòîðíîì âèäå
A G x B H x H x� �� � �( , ) ( ( ) ( ))� � �2 1 1 2 2 .
Îòñþäà
|| ( , ) || || ( ( ) ( )) || || (G x A B H x H x H x� � � � � � � ���
� �
1
2 1 2 1
6
11
) ( )||*H x2 � � �
118 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 119
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� �
�
6
11
1 2
2
1 1
2
2 2
1 2
1 2
h h H x H x( ) ( )
/
� �
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
6
11
1
2
1 1
0
1
1 2
2
2
2 2
1
1
2
h H x h H x
h
h
( ) ( )
/
� �
� � 2
1
1 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
/
(11)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
6
11
6
1
1
1 2
2
1 2
1 1
1
2 2
2
h h
x
h
h
x
� �
/ /
11
1 1 2( )� x x .
Èç îöåíîê (10) è (11) ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå ëåììû.�
ÀÏÐÈÎÐÍÀß ÎÖÅÍÊÀ ÒÎ×ÍÎÑÒÈ ÐÀÇÍÎÑÒÍÎÉ ÑÕÅÌÛ
Èç ëåììû 2 ñëåäóåò îöåíêà
| ( ) | | ( ( , ), ( ))| || ( , ) || || || ( ) ||z x G x G x x� � � � � � �
6
11
|| �
� �
6
11
1 1 2 2 2
( )( || || || || ).x x x� (12)
Îöåíèì çäåñü ñëàãàåìûå || ||�1 1
è || ||
2 2 2x x . Äëÿ
1 ïðè x � � �� � 1 èìååì
� � �1 2
2
2 2 2 1
1
2 2
( ) ( )( ) ( ) ( | | ) ( , )x T u x u x
h
h x u x d
x h
x
� � � � �
�
2 2
1 2
�
� �
h
u x x( , )
� � � � �
�
�
1
2
2 2 2 1 1 2
2 2
2 2
h
h x u x u x x d
x h
x h
( | | )( ( , ) ( , ))� � �
� � �
�
�
�
�
�
1
2
2 2 2
1 1
1
1
22 2
2 2
h
h x d
u x
d
xx h
x h
( | | )
( , )
� �
�
�
�
�
(13)
� � �
�
�
�
�
�
1 1
2
2 2 2
1 1
1 2
1 2
2
2
h
h x d
u x
h
u x
d
x
( | | )
( , ) ( , )
� �
�
�
�
�
�
2
2
2
2
22 2
2 2
2
2
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
h
x
h
xx h
x h
d�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
��
1
2
3 2 2 1
1 1
1
1 2
2h
h x d d
u x u x
( | | )
( , ) ( , )
� � �
�
�
�
�
�
�
�� �
�
�
�
�
d
x
h
x
h
xx h
x h
�
�
2
2
2
2
2
2
2
22 2
2 2
� � �
�
�
�
1
2
3 2 2 1 2
2
1 3
3
2 3
2
1
2
h
h x d d d
u x
d
x
h
( | | )
( , )
� � � �
�
�
�
�
�
2
2
2
22 2
2 2
2
2
x
h
xx h
x h
�
�
�
�
.
Îòñþäà ââèäó ñîîòíîøåíèÿ T
u
x
x u xx x1
2
1
2 1 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �( ) ( ) , x ��, ñëåäóåò ïðåäñòàâ-
ëåíèå
� � � �1
1
2
2
3 2 2 1 2
2
2
1 1
2
2
2
2
1
x x
x
h
x
h
x
h h
h x d d d( ) ( | | )� � � �
�
�
xx h
x h
22 2
2 2 �
�
�
� � �
�
� ��
�
d h x
u
d
x h
x h
� �
� �
� �
�
�
3 1 1 4
4
4 3
4
2
3
2 4
1 1
1 1
2
( | | )
( , )
�
�
1
�, x ,
òîãäà
| ( )|
( , )
� � � �
� �
� �
1
2 1
1
2
2
3 1 2 3
4
4 3
4
2
3
1 1x x x
h h
h h
d d d d
u
�
�
� � 2 4
2
2
1 1
1 1
2 2
2 2
2
2
2
2
2 2
2 2
d
x h
x h
x h
x h
x
h
x
h
x h
x h
�
�
�
�
�
�
�
�
�
x h
x h
2 2
2 2
�
�
�
� � �
�
� ��
h h
h h
h h h d
u
d
x h
2 1
1
2
2
3 2 2 2 3
4
4 3
4
2
3
2 42 2
1 1
�
� �
� �
�
( , )
x h
x h
x h 1 1
2 2
2 2 �
�
�
� (14)
� � � �
�
� �
h h
h h
h h h h h d
u2 1
1
2
2
3 2 2 2 2 1 3
4
4 3
4
2
3
2
2
2 2 2 2 �
� �
� �
( , )
d
x h
x h
x h
x h
�4
1 2
1 1
1 1
2 2
2 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
/
�
�
� ��
�
�
8 2
3
1
3
4
4 3
4
2
3
2
2
4
1 1
1 1
2 2
2h
h
d
u
d
x h
x h
x h
x
�
� �
� �
�
( , )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
h2
1 2/
, x ��.
Àíàëîãè÷íî ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ T
u
x h
u
u
x
x1
2
1
2
1 1
2
1
�
�
� �
�
�
�
�
��
�
�
�� ïðè x � �� 1 èç
ôîðìóëû (13) ïîëó÷èì ïðåäñòàâëåíèå
2 2
1
1 1
1
2
2
3 2 2 1 21
2
h
x x
h h
h x d d dx
x
( ( ) ( )) ( | | )
�
� � � �� � � � �
�
h
x
h
xx h
x h
2
2
2
22 2
2 2
2
2
�
�
�
�
� �
�
� �
�
�d h
u
d x
h
� �
� �
� �
� �
�
�
3 1 4
4
4 3
4
2
3
2 4
0
1
1
2
1
( )
( , )
, ,
îòêóäà
2
8
2
1
1 1
2
3
1
3
4
4 3
4
2
3
2
2
1h
x x
h
h
d
u
dx( ( ) ( ))
( , )
�
�
� �
� �
� �
�
� �
�4
0
1 2
1
2 2
2 2 h
x h
x h
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
/
, x � �� 1. (15)
Èç íåðàâåíñòâ (14) è (15) èìååì
|| || ( ) ( ) (�1 1
2
1 2 1
2 1
2
1
1 1
1 1 12
2
�
�
� � �
�
� h h x
h
h
h
x x
x x
x
x )
�
�
��
�
�
�� �
� �
�
2
1x �
�
�
� ��
�
�
�
64
2
4
3
4
4 3
4
2
3
2
2
4
1 1
1 1
2 2
2
h d
u
d
x h
x h
x h
x
�
� �
� �
�
( , )
h
x
2
�
�
�
�
120 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5
�
�
� �
�
�
�
64
2
4
3
4
4 3
4
2
3
2
2
4
0
1
2 2
2 2
2
h d
u
d
h
x h
x h
x
�
� �
� �
�
�
( , )
2
� �
� �
�
� �
�
�
4 64 256
2
4
4
4 3
4
2
3
2
2
3 4 2
4
4
1h
u
d d h
u x
D
( , ) ( ,� �
� �
� �
x
x x
dx dx
D
2
1
2
2
2
2
1 2
)
� �
,
÷òî äàåò îöåíêó
|| ||
( , )
�1 1 2
2
4
1 2
1
2
2
2
2
1 216
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
h
u x x
x x
dx dx
D
�
�
1 2/
. (16)
Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëàãàåìîå || ||
2 2 2x x â (12). Ïðè x �� èìååì
� � �2 1
1
2 1 1 2
1
1 1
( ) ( )( ) ( ) ( | | ) ( , )x T u x u x
h
h x u x d
x h
x
� � � � �
�
1 1
1 2
�
� �
h
u x x( , )
� � �
�
�
�
1
1
3 1 1 1 2
2
3 2
3
2 3
2
1
1
h
h x d d d
u x
d
x
h
( | | )
( , )
� � � �
�
�
�
�
�
1
1
1
11 1
1 1
2
2
x
h
xx h
x h
�
�
�
�
,
îòêóäà ñëåäóåò ïðåäñòàâëåíèå
� � � �2
2
2
1
3 1 1 1 2
2
2
2 2
1
1
1
1
1
x x
x
h
x
h
x
h h
h x d d d( ) ( | | )� � � �
�
�
xx h
x h
11 1
1 1 �
�
�
� � �
�
� ��
�
d h x
u
d
x h
x h
� �
� �
� �
�
�
3 2 2 4
4
3 4
2
2
4
2 4
2 2
2 2
2
( | | )
( , )
�
�
1
�, x ,
òîãäà, êàê è â (14), ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî
| ( ) |
( , )
�
� �
� �
�2
1
3
2
3
4
3 4
3
2
4
2
2
42 2
2 2
2
8x x
x h
x
x
h
h
d
u
d�
�
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
h
x h
x h 2
1 1
1 1
1 2/
, x ��. (17)
Ïðè x � �� 1 èìååì
�2 1
1
3
( ) ( )( ) ( ) ( )x T u x u x
h
u x� � � �
� � � �
�
�
�
2
0
3
0
1
2 1 2
0
2
1 2
1
1
h
h u x d u x
h u x
x
h
( ) ( , ) ( , )
( , )
� � �
� � � �
�
�
�
2
0
3
0
1
2 1 2 2
0
1 2
1
1
h
h u x u x d
h u x
x
h
( )( ( , ) ( , ))
( , )
� � �
� �
�
�
�
�
�
2
3
0
1
2 1
1 2
1
1
00
1 2
1
1
h
h d
u x
d
h u x
x
h
( )
( , ) ( , )
� �
�
�
�
�
�
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 121
� �
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
2 0
1
2 1
1 2
1
2
1
1
0h
h d
u x u x
x
d( )
( , ) ( , )
� �
�
�
�
�
�
0
1h
� �
�
�
2
1
2 1 1
2
2 2
2
2 2
000
11
h
h d d
u x
d
h
( )
( , )
� � �
�
�
�
��
,
îòêóäà âñëåäñòâèå ñîîòíîøåíèÿ T
u
x
x u x xx x2
2
2
2 12 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � �( ) ( ), � � , ïîëó÷èì
� � � � �
�
2
1
2
2
2 1 1 2 2 2 3
4
2
2 2
2
x x x
h h
h d d d h x
u
( ) ( ) ( | | )
( ,
� � � �
� �
� �
�
��
3
2
2
3
2 3
000 2 2
2 211 )
� ��
�
d
x h
x hh
,
x � �� 1.
Îòñþäà ñëåäóåò öåïî÷êà íåðàâåíñòâ
| ( )|
( , )
� � �
� �
� �
2
1 2
1
2
2
2 1 2
4
2 3
2
2
3
22 2
2
x x x
h h
h h
d d d
u
d�
�
� �
�3
000 2 2
2 2111
x h
x hhhh
�
�
�
� �
�
� ��
2
21 2
1
2
2
2 1
2
1 2 2
4
2 3
2
2
3
2
2
3
2
h h
h h
h h h d
u
d
x h
�
� �
� �
�
( , )
2
2 21
0
1 2
x hh �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
/
(18)
�
�
� �
�
�
�
�
2
2
1
3
2
2
4
2 3
2
2
3
2
2
3
0 2 2
2 21h
h
d
u
d
x h
x hh
�
� �
� �
�
( , )�
�
�
�
�
�
�
�
1 2/
, x � �� 1.
Èç (17) è (18) âûòåêàåò
|| || ( ) ( )
� �
2
2
1 2 2
2 1
2 2
2
2 2 2 2 2 22
x x x x
x
x x
x
h h x
h
h x� �
� �
�
�1
� �
�
�
� ��
�
�
�
64
1
4
3
4
3 4
3
2
4
2
2
4
2 2
2 2
1 1
1
h d
u
d
x h
x h
x h
x
�
� �
� �
�
( , )
h
x
1
�
�
�
�
�
�
� ��
�
�
4
1
4
2
4
2 3
2
2
3
2
2
3
0 2 2
2 21
2 2
h d
u
d
x h
x hh
x
�
� �
� �
�
�
( , )
� �
� �
�
� �
�
�
4 64 256
1
4
4
3 4
3
2
4
2
2
3 4 1
4
4
1h
u
d d h
u x
D
( , ) ( ,� �
� �
� �
x
x x
dx dx
D
2
1
2
2
2
2
1 2
)
� �
,
÷òî äàåò îöåíêó
|| ||
( , )
2 1
2
4
1 2
1
2
2
2
2
1 22 2
16x x
D
h
u x x
x x
dx dx�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2/
. (19)
Íà îñíîâàíèè ïðèâåäåííûõ ðàññóæäåíèé ïðèõîäèì ê òàêîìó ðåçóëüòàòó.
122 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5
Òåîðåìà 1. Ïóñòü ðåøåíèå u x x( , )1 2 çàäà÷è (1) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
u W D�
2
4 ( ) . Òîãäà äëÿ òî÷íîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû (2) èìååò ìåñòî àïðèîðíàÿ
îöåíêà ñ âåñîì
| || | | | |
( )
�
� �1 216
6
11 2
4z h u
W D
,
( ) min ( )( ), ( )x x x x x� � � �{ }1 1 11 2 1 2 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîäñòàâëÿÿ (16) è (19) â (12), ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî
| ( ) | ( )( )
( , )
z x x h h
u x x
x x
dx
D
� �
�
� �
16
6
11 1
2
2
2
4
1 2
1
2
2
2
2
1
dx2
1 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
/
� � � �16
6
11
2
1
2
4
� �( ) | | | | ,
( )
x h u x
W D
, (20)
îòêóäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû 1. �
ÂÛÂÎÄÛ È ÎÁÎÁÙÅÍÈß
 oòëè÷èå îò ñõåìû (2) òðàäèöèîííàÿ äèñêðåòèçàöèÿ çàäà÷è (1) ðàçíîñòíîé ñõåìîé
� � � �
� � � �
y y T T f x x
h
y y y T
x x x x
x x x
1 1 2 2
1 2 2
1 2
1
1
2
( )( ), ,
( ) (
�
� T f x x
y x
2 1
10
)( ), ,
, \ ,
�
� �
�
�
�
� �
èìååò ïîðÿäîê O h( | | )/3 2 , ÷òî îçíà÷àåò ïîòåðþ ïîëîâèíû ïîðÿäêà ïðè àïïðîê-
ñèìàöèè êðàåâîãî óñëîâèÿ ñ ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé.
Àíàëîã äîêàçàííîé òåîðåìû ìîæíî ïîëó÷èòü è â ñëó÷àå íåîäíîðîäíîãî êðà-
åâîãî óñëîâèÿ Íüþòîíà (ñì. çàäà÷ó (1)):
� � ��u f x x D( ), ,
�
�
�
� � � �
u
x
u x g x x
1
1� ( ) ( ), � , (21)
u x� � �0 1, \� � .
 êà÷åñòâå ðàçíîñòíîé àïïðîêñèìàöèè çàäà÷è (21) ìîæíî ïðèíÿòü ñõåìó (2),
ïîëàãàÿ â íåé �( ) ( )( ) ( )x T T f x
h
T g
h
S g x x� � �1 2
1
2
1
2
2
3 2 2
ïðè x � �� 1. Òîãäà äëÿ
ïîãðåøíîñòè z y u� � ïîëó÷èì çàäà÷ó (3), â êîòîðîé
�
�2 1
1 1
21
3 3
( ) ( )( ) ( ) ( )( ),x T u x
h
u x
h
S g x x� � �
�
�
��
�
�
�� � � �1.
Ïðèìåíÿÿ ëåììó Áðýìáëà–Ãèëüáåðòà è ðàññóæäàÿ êàê è â [8, ñ. 165], ïîëó÷à-
åì àïðèîðíóþ îöåíêó ñ âåñîì
|| || | | || ||
( )
� �1 2
2
4z M h u
W D
,
ãäå M — íå çàâèñÿùàÿ îò | |h è u ïîñòîÿííàÿ.
Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèîíàëû
1 è
2 â (16) è (19) òàêæå ìîæíî îöåíèâàòü ñ
ïîìîùüþ ëåììû Áðýìáëà–Ãèëüáåðòà [8], íî òàêèå îöåíêè ñîäåðæàëè áû íåîïðå-
äåëåííûå ïîñòîÿííûå (íå çàâèñÿùèå îò | |h è u x( )).
Èòàê, îöåíêà (20) ïîêàçûâàåò, ÷òî ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (2) èìååò âòîðîé ïîðÿ-
äîê òî÷íîñòè, ïðè÷åì òî÷íîñòü ñõåìû âûøå âáëèçè òðåõ ñòîðîí ��2 , ��1 êâàäðà-
òà D , íà êîòîðûõ çàäàíî êðàåâîå óñëîâèå Äèðèõëå.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 123
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. à à ë á à Å . Ô . Î ïîðÿäêå òî÷íîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà ñî ñìåøàííûì ãðàíè÷-
íûì óñëîâèåì // Îïòèìèçàöèÿ àëãîðèòìîâ ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ ÝÂÌ. — Ê.: Èí.-ò êèáåðíåòè-
êè èì. Â. Ì. Ãëóøêîâà ÀÍ ÓÑÑÐ, 1985. — Ñ. 30–34.
2. Ì î ë ÷ à í î â È . Í . , Ã à ë á à Å . Ô . Î ñõîäèìîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû, àïïðîêñèìèðóþùåé çàäà÷ó Äè-
ðèõëå äëÿ ýëëèïòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñ êóñî÷íî-ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè // ×èñëåííûå ìåòîäû
è òåõíîëîãèÿ ðàçðàáîòêè ïàêåòîâ ïðèêëàäíûõ ïðîãðàìì. — Ê.: Èí-ò êèáåðíåòèêè èì. Â. Ì. Ãëóøêî-
âà ÀÍ ÓÑÑÐ, 1990. — Ñ. 161–165.
3. M a k a r o v V . On a priori estimate of difference schemes giving an account of the boundary effect //
C.R. Acad. Bulg. Sci. (Proceedings of the Bulgarian Academy of Sciences). — 1989. — 42, N 5. — P. 41–44.
4. Ì à ê à ð î â  . Ë . , Ä å ì ê ³ â Ë . ² . Ïîêðàùåí³ îö³íêè òî÷íîñò³ òðàäèö³éíèõ ð³çíèöåâèõ ñõåì äëÿ ïàðà-
áîë³÷íèõ ð³âíÿíü // Ïðàö³ Óêðà¿íñüêîãî ìàòåìàòè÷íîãî êîíãðåñó, 2001. — Ñ. 31–42.
5. Ì à é ê î Í .  . Îöåíêè òî÷íîñòè ðàçíîñòíûõ ñõåì äëÿ îäíîìåðíîãî ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
ñ ó÷åòîì ýôôåêòà îò íà÷àëüíûõ è êðàåâûõ óñëîâèé // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2014. —
¹ 5. — Ñ. 154–163.
6. M a k a r o v V . L . , D e m k i v L . I . Accuracy estimates of difference schemes for quasi-linear elliptic
equations with variable coefficients taking into account boundary effect // Lect. Notes Comput. Sci. —
2005. — 3401. — P. 80–90.
7. S a m a r s k i i A . A . The theory of difference schemes. — New York: Marcel Dekker, Inc., 2001. — 762 p.
8. Ñ à ì à ð ñ ê è é A . A . , Ë à ç à ð î â Ð . Ä . , Ì à ê à ð î â Â . Ë . Ðàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé ñ îáîáùåííûìè ðåøåíèÿìè. — M.: Âûñø. øê., 1987. — 296 ñ.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 23.07.2015
Í.Â. Ìàéêî, Â.Ë. Ðÿá³÷åâ
ÎÖ²ÍÊÀ ÒÎ×ÍÎÑÒ² вÇÍÈÖÅÂί ÑÕÅÌÈ ÄËß ÄÂÎÂÈ̲ÐÍÎÃÎ
вÂÍßÍÍß ÏÓÀÑÑÎÍÀ Ç ÓÐÀÕÓÂÀÍÍßÌ ÅÔÅÊÒÓ Â²Ä ÊÐÀÉÎÂÈÕ ÓÌÎÂ
Àíîòàö³ÿ. Îòðèìàíî àïð³îðíó îö³íêó øâèäêîñò³ çá³æíîñò³ ñ³òêîâîãî ðîç-
â’ÿçêó äî óçàãàëüíåíîãî ðîçâ’ÿçêó äâîâèì³ðíîãî ð³âíÿííÿ Ïóàññîíà ó âèïàä-
êó ì³øàíî¿ êðàéîâî¿ óìîâè (êðàéîâ³ óìîâè ïåðøîãî ³ òðåòüîãî ðîäó). Ïîêà-
çàíî, ùî òî÷í³ñòü ñõåìè âèùà ïîáëèçó òèõ ñòîð³í êâàäðàòà, íà ÿêèõ çàäàíà
êðàéîâà óìîâà ijð³õëå.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ð³âíÿííÿ Ïóàññîíà, êðàéîâà çàäà÷à, ð³çíèöåâà ñõåìà,
îö³íêà ç âàãîþ, óðàõóâàííÿ âïëèâó êðàéîâî¿ óìîâè.
N.V. Mayko, V.L. Ryabichev
THE BOUNDARY EFFECT IN THE ERROR ESTIMATE
OF THE FINITE-DIFFERENCE SCHEME FOR POISSON’S EQUATION
Abstract. We obtain the weighted error estimate of the finite-difference scheme
for Poisson’s equation in a unit square, which takes into account the effect of
the first boundary condition. We prove that the accuracy order is higher near the
sides of the domain where the Dirichlet boundary condition is specified.
Keywords: Poisson’s equation, mixed boundary condition, finite-difference
scheme, weighted error estimate, boundary effect.
Ìàéêî Íàòàëèÿ Âàëåíòèíîâíà,
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêî,
e-mail: mayko@knu.ua, natmaiko@gmail.com.
Ðÿáè÷åâ Âÿ÷åñëàâ Ëüâîâè÷,
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêî,
e-mail: ryabichev@knu.ua.
124 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-142020 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:34:24Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Майко, Н.В. Рябичев, В.Л. 2018-09-20T18:04:40Z 2018-09-20T18:04:40Z 2016 Оценка точности разностной схемы для двумерного уравнения Пуассона с учетом эффекта от краевых условий / Н.В. Майко, В.Л. Рябичев // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 5. — С. 113-124. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142020 519.6 Получена априорная оценка скорости сходимости сеточного решения к обобщенному решению двумерного уравнения Пуассона в случае смешанного краевого условия (краевые условия первого и третьего рода). Показано, что точность схемы выше вблизи тех сторон квадрата, на которых задано краевое условие Дирихле. Отримано апріорну оцінку швидкості збіжності сіткового розв’язку до узагальненого розв’язку двовимірного рівняння Пуассона у випадку мішаної крайової умови (крайові умови першого і третього роду). Показано, що точність схеми вища поблизу тих сторін квадрата, на яких задана крайова умова Діріхле. We obtain the weighted error estimate of the finite-difference scheme for Poisson’s equation in a unit square, which takes into account the effect of the first boundary condition. We prove that the accuracy order is higher near the sides of the domain where the Dirichlet boundary condition is specified. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Оценка точности разностной схемы для двумерного уравнения Пуассона с учетом эффекта от краевых условий Оцінка точності різницевої схеми для двовимірного рівняння пуассона з урахуванням ефекту від крайових умов The boundary effect in the error estimate of the finite-difference scheme for poisson’s equation Article published earlier |
| spellingShingle | Оценка точности разностной схемы для двумерного уравнения Пуассона с учетом эффекта от краевых условий Майко, Н.В. Рябичев, В.Л. Системный анализ |
| title | Оценка точности разностной схемы для двумерного уравнения Пуассона с учетом эффекта от краевых условий |
| title_alt | Оцінка точності різницевої схеми для двовимірного рівняння пуассона з урахуванням ефекту від крайових умов The boundary effect in the error estimate of the finite-difference scheme for poisson’s equation |
| title_full | Оценка точности разностной схемы для двумерного уравнения Пуассона с учетом эффекта от краевых условий |
| title_fullStr | Оценка точности разностной схемы для двумерного уравнения Пуассона с учетом эффекта от краевых условий |
| title_full_unstemmed | Оценка точности разностной схемы для двумерного уравнения Пуассона с учетом эффекта от краевых условий |
| title_short | Оценка точности разностной схемы для двумерного уравнения Пуассона с учетом эффекта от краевых условий |
| title_sort | оценка точности разностной схемы для двумерного уравнения пуассона с учетом эффекта от краевых условий |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142020 |
| work_keys_str_mv | AT maikonv ocenkatočnostiraznostnoishemydlâdvumernogouravneniâpuassonasučetoméffektaotkraevyhuslovii AT râbičevvl ocenkatočnostiraznostnoishemydlâdvumernogouravneniâpuassonasučetoméffektaotkraevyhuslovii AT maikonv ocínkatočnostíríznicevoíshemidlâdvovimírnogorívnânnâpuassonazurahuvannâmefektuvídkraiovihumov AT râbičevvl ocínkatočnostíríznicevoíshemidlâdvovimírnogorívnânnâpuassonazurahuvannâmefektuvídkraiovihumov AT maikonv theboundaryeffectintheerrorestimateofthefinitedifferenceschemeforpoissonsequation AT râbičevvl theboundaryeffectintheerrorestimateofthefinitedifferenceschemeforpoissonsequation |