Метод потенциалов для систем типа M/G/1/m с гистерезисными стратегиями функционирования

Предложен метод исследования систем обслуживания M/G/1/m с гистерезисными стратегиями случайного отбрасывания заявок и управления временем обслуживания. Получены формулы для определения преобразований Лапласа распределения числа заявок в системе в течение периода занятости, функции распределения п...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2016
1. Verfasser:	Жерновый, Ю.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2016
Schriftenreihe:	Кибернетика и системный анализ
Schlagworte:	Системный анализ
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142021
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Метод потенциалов для систем типа M/G/1/m с гистерезисными стратегиями функционирования / Ю.В. Жерновый // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 5. — С. 125-138. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-142021
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1420212025-02-23T17:15:25Z Метод потенциалов для систем типа M/G/1/m с гистерезисными стратегиями функционирования Метод потенціалів для систем типу M/G/1/m з гістерезисними стратегіями функціонування Potentials method for M/G/1/m systems with hysteretic operation strategies Жерновый, Ю.В. Системный анализ Предложен метод исследования систем обслуживания M/G/1/m с гистерезисными стратегиями случайного отбрасывания заявок и управления временем обслуживания. Получены формулы для определения преобразований Лапласа распределения числа заявок в системе в течение периода занятости, функции распределения периода занятости и формулы для вычисления стационарных характеристик. Соотношения для стационарных характеристик проверены на примерах с помощью имитационных моделей, построенных с использованием инструментальных средств GPSS World. Запропоновано метод дослідження систем обслуговування M/G/1/m з гістерезисними стратегіями випадкового відкидання замовлень і керування часом обслуговування. Отримано формули для визначення перет ворень Лапласа розподілу кількості замовлень у системі протягом періоду зайнятості, функції розподілу періоду зайнятості та формули для обчислення стаціонарних характеристик. Співвідношення для стаціонарних характеристик перевірено на прикладах за допомогою імітаційних моделей, побудованих із використанням інструментальних засобів GPSS World. We propose a method to analyze M/G/1/m queueing systems with hysteretic strategies of random dropping of customers and control of service time. We obtain formulas to determine Laplace transforms of the distribution of the number of customers in the system during busy period and of the distribution function of busy period and to calculate stationary characteristics. We test the relations for stationary characteristics on examples using simulation models constructed with the assistance of the GPSS World tools. 2016 Article Метод потенциалов для систем типа M/G/1/m с гистерезисными стратегиями функционирования / Ю.В. Жерновый // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 5. — С. 125-138. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142021 519.21 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Жерновый, Ю.В. Метод потенциалов для систем типа M/G/1/m с гистерезисными стратегиями функционирования Кибернетика и системный анализ
description	Предложен метод исследования систем обслуживания M/G/1/m с гистерезисными стратегиями случайного отбрасывания заявок и управления временем обслуживания. Получены формулы для определения преобразований Лапласа распределения числа заявок в системе в течение периода занятости, функции распределения периода занятости и формулы для вычисления стационарных характеристик. Соотношения для стационарных характеристик проверены на примерах с помощью имитационных моделей, построенных с использованием инструментальных средств GPSS World.
format	Article
author	Жерновый, Ю.В.
author_facet	Жерновый, Ю.В.
author_sort	Жерновый, Ю.В.
title	Метод потенциалов для систем типа M/G/1/m с гистерезисными стратегиями функционирования
title_short	Метод потенциалов для систем типа M/G/1/m с гистерезисными стратегиями функционирования
title_full	Метод потенциалов для систем типа M/G/1/m с гистерезисными стратегиями функционирования
title_fullStr	Метод потенциалов для систем типа M/G/1/m с гистерезисными стратегиями функционирования
title_full_unstemmed	Метод потенциалов для систем типа M/G/1/m с гистерезисными стратегиями функционирования
title_sort	метод потенциалов для систем типа m/g/1/m с гистерезисными стратегиями функционирования
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2016
topic_facet	Системный анализ
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142021
citation_txt	Метод потенциалов для систем типа M/G/1/m с гистерезисными стратегиями функционирования / Ю.В. Жерновый // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 5. — С. 125-138. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT žernovyjûv metodpotencialovdlâsistemtipamg1msgisterezisnymistrategiâmifunkcionirovaniâ AT žernovyjûv metodpotencíalívdlâsistemtipumg1mzgísterezisnimistrategíâmifunkcíonuvannâ AT žernovyjûv potentialsmethodformg1msystemswithhystereticoperationstrategies
first_indexed	2025-11-24T02:37:21Z
last_indexed	2025-11-24T02:37:21Z
_version_	1849637565977591808
fulltext	ÓÄÊ 519.21 Þ.Â. ÆÅÐÍÎÂÛÉ ÌÅÒÎÄ ÏÎÒÅÍÖÈÀËÎÂ ÄËß ÑÈÑÒÅÌ ÒÈÏÀ M/G/1/m Ñ ÃÈÑÒÅÐÅÇÈÑÍÛÌÈ ÑÒÐÀÒÅÃÈßÌÈ ÔÓÍÊÖÈÎÍÈÐÎÂÀÍÈß Àííîòàöèÿ. Ïðåäëîæåí ìåòîä èññëåäîâàíèÿ ñèñòåì îáñëóæèâàíèÿ M/G/1/m ñ ãèñòåðåçèñíûìè ñòðàòåãèÿìè ñëó÷àéíîãî îòáðàñûâàíèÿ çàÿâîê è óïðàâëå- íèÿ âðåìåíåì îáñëóæèâàíèÿ. Ïîëó÷åíû ôîðìóëû äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðåîáðà- çîâàíèé Ëàïëàñà ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà çàÿâîê â ñèñòåìå â òå÷åíèå ïåðèîäà çàíÿòîñòè, ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïåðèîäà çàíÿòîñòè è ôîðìóëû äëÿ âû- ÷èñëåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòåðèñòèê. Ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ñòàöèîíàðíûõ õà- ðàêòåðèñòèê ïðîâåðåíû íà ïðèìåðàõ ñ ïîìîùüþ èìèòàöèîííûõ ìîäåëåé, ïîñòðîåííûõ ñ èñïîëüçîâàíèåì èíñòðóìåíòàëüíûõ ñðåäñòâ GPSS World. Êëþ÷åâûå ñëîâà: îäíîêàíàëüíàÿ ñèñòåìà îáñëóæèâàíèÿ, ãèñòåðåçèñíûå ñòðàòåãèè, ñëó÷àéíîå îòáðàñûâàíèå çàÿâîê, ìåòîä ïîòåíöèàëîâ. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â öåëÿõ ïðåäîòâðàùåíèÿ ïåðåãðóçîê â èíôîðìàöèîííî-òåëåêîììóíèêàöèîííûõ ñèñòåìàõ, ìîäåëèðóåìûõ ñ ïîìîùüþ ñèñòåì îáñëóæèâàíèÿ, èñïîëüçóåòñÿ ãèñ- òåðåçèñíîå óïðàâëåíèå íàãðóçêîé [1]. Ìîæíî îñóùåñòâëÿòü óïðàâëåíèå êàê âõîäÿùèì ïîòîêîì è åãî ïàðàìåòðàìè, òàê è èíòåíñèâíîñòüþ (âðåìåíåì) îá- ñëóæèâàíèÿ. Â ñèëó ïðàêòè÷åñêîé âàæíîñòè èññëåäîâàíèþ ñèñòåì îáñëóæèâà- íèÿ ñ ãèñòåðåçèñíûìè ñòðàòåãèÿìè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ïîñâÿùåíî ìíîæåñòâî íàó÷íûõ ïóáëèêàöèé. Â ÷àñòíîñòè, äîñòàòî÷íî ïîäðîáíûé îáçîð ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ïðèâåäåí â [2–4]. Ýôôåêòèâíûì ñïîñîáîì óïðàâëåíèÿ èíòåíñèâíîñòüþ âõîäÿùåãî ïîòîêà ÿâëÿ- åòñÿ ñòðàòåãèÿ ñëó÷àéíîãî îòáðàñûâàíèÿ çàÿâîê, êîãäà êàæäóþ ïîñòóïèâøóþ çàÿâ- êó ìîæíî îòáðîñèòü ñ îïðåäåëåííîé âåðîÿòíîñòüþ, çàâèñÿùåé îò äëèíû î÷åðåäè â ìîìåíò ïðèáûòèÿ çàÿâêè, äàæå åñëè áóôåð åùå ïîëíîñòüþ íå çàïîëíåí [5]. Çàâè- ñèìîñòü âåðîÿòíîñòè îòáðàñûâàíèÿ çàÿâîê îò äëèíû î÷åðåäè íàçûâàþò ôóíêöèåé îòáðàñûâàíèÿ. Ñòðàòåãèè óïðàâëåíèÿ èíòåíñèâíîñòüþ îáñëóæèâàíèÿ ñòðîÿòñÿ èñ- õîäÿ èç ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ çàâèñèò îò ÷èñ- ëà çàÿâîê â ñèñòåìå â ìîìåíò íà÷àëà îáñëóæèâàíèÿ êàæäîé èç íèõ [6, 7]. Àëãîðèòìû âû÷èñëåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåì òèïà M � /G/1/m è Ì � /G/1 ñ ãèñòåðåçèñíûìè ñòðàòåãèÿìè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñîçäàíû ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ïîòåíöèàëîâ [4, 8–10]. Çäåñü M � /G/1/m — ñèñòåìà òèïà M/G/1/m, â êîòîðóþ çàÿâêè ïîñòóïàþò ãðóïïàìè ÷èñëåííîñòüþ �, ïðè÷åì P{� � �k ak} , a kak k k k� � � � � �� 1 1 1, . Ìåòîä ïîòåíöèàëà c îäíèì áàçîâûì ñëó÷àéíûì áëóæäàíèåì ðàçðàáîòàí â öåëÿõ èññëåäîâàíèÿ ñèñòåìû M � /G/1/m ñ îäíèì ôèêñèðîâàííûì ðàñïðåäåëåíè- åì âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ [11] ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîäõîäà, ïðåäëîæåííîãî â [12]. Ìåòîä ïîòåíöèàëîâ ïðåäíàçíà÷åí äëÿ èçó÷åíèÿ ñèñòåì ñ íåñêîëüêèìè ðåæèìàìè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ, êîãäà âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ïðèìåíåíèÿ ñòîëüêèõ áàçî- âûõ ñëó÷àéíûõ áëóæäàíèé è èõ ïîòåíöèàëîâ ñêîëüêî è ðàçëè÷íûõ ðåæèìîâ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ. Â ðàáîòàõ [4, 8–10] ðàññìàòðèâàëèñü ãèñòåðåçèñíûå ñòðàòåãèè ñ âîçìîæíî- ñòüþ ïåðåêëþ÷åíèÿ ðåæèìîâ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ òîëüêî ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 125 © Þ.Â. Æåðíîâûé, 2016 â ìîìåíòû íà÷àëà îáñëóæèâàíèÿ çàÿâîê. Öåëü íàñòîÿùåé ñòàòüè — ïîëó÷åíèå ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ïîòåíöèàëîâ ôîðìóë äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðå- äåëåíèÿ ÷èñëà çàÿâîê â ñèñòåìå òèïà M/G/1/m, â êîòîðîé ïðèìåíÿåòñÿ äâóõïîðî- ãîâàÿ ãèñòåðåçèñíàÿ ñòðàòåãèÿ óïðàâëåíèÿ èíòåíñèâíîñòüþ âõîäÿùåãî ïîòîêà è âðåìåíåì îáñëóæèâàíèÿ, äîïóñêàþùàÿ ïåðåêëþ÷åíèå ðåæèìîâ óïðàâëåíèÿ âõîäÿ- ùèì ïîòîêîì â ìîìåíòû èçìåíåíèÿ ÷èñëà çàÿâîê â ñèñòåìå. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî óïðàâëåíèå èíòåíñèâíîñòüþ âõîäÿùåãî ïîòîêà îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñëó- ÷àéíîãî îòáðàñûâàíèÿ çàÿâîê. Êàæäóþ ïîñòóïàþùóþ çàÿâêó ìîæíî ïðèíÿòü íà îáñëóæèâàíèå èëè îòáðîñèòü ñîãëàñíî ïðàâèëó: åñëè â ìîìåíò ïðèáûòèÿ çàÿâêè â ñèñòåìå íàõîäÿòñÿ n çàÿâîê, òî ïîñòóïèâøàÿ ïðèíèìàåòñÿ â î÷åðåäü ñ âåðîÿòíî- ñòüþ � n è ïîêèäàåò ñèñòåìó (ïîëó÷àåò îòêàç, îòáðàñûâàåòñÿ) ñ âåðîÿòíîñòüþ 1� � n . Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ãèñòåðåçèñíîé ñòðàòåãèè óïðàâëåíèÿ âõîäÿùèì ïîòî- êîì èñïîëüçóþòñÿ äâà íàáîðà âåðîÿòíîñòåé: � n è ~ � n , ñîîòâåòñòâóþùèå îñíîâíî- ìó ðåæèìó ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñèñòåìû è ðåæèìó ïåðåãðóçêè. Êðîìå ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà çàÿâîê, â ðàáîòå íàéäåíû ïðåîá- ðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà çàÿâîê â ñèñòåìå â òå÷åíèå ïåðèîäà çà- íÿòîñòè è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïåðèîäà çàíÿòîñòè, à òàêæå ïîëó÷åíû ôîðìó- ëû äëÿ ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòåðèñòèê: ñðåäíåé ïðîäîëæèòåëüíîñòè ïåðèîäà çàíÿ- òîñòè, îòíîñèòåëüíîé ïðîïóñêíîé ñïîñîáíîñòè ñèñòåìû, ñðåäíåé äëèíû î÷åðåäè è ñðåäíåãî âðåìåíè îæèäàíèÿ. ÎÏÈÑÀÍÈÅ ÈÑÏÎËÜÇÓÅÌÛÕ ÃÈÑÒÅÐÅÇÈÑÍÛÕ ÑÒÐÀÒÅÃÈÉ Ðàññìîòðèì ñèñòåìó M/G/1/m, ãäå m — ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî çàÿâîê, êîòîðûå îä- íîâðåìåííî ìîãóò íàõîäèòüñÿ â î÷åðåäè. Âõîäÿùèé ïîòîê çàÿâîê ïðîñòåéøèé, ò.å. èíòåðâàëû âðåìåíè ìåæäó ìîìåíòàìè ïðèáûòèÿ ñîñåäíèõ çàÿâîê — íåçàâè- ñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ïîêàçàòåëüíî ðàñïðåäåëåííûå ñ ïàðàìåòðîì �. Ãèñòåðåçèñíàÿ ñòðàòåãèÿ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñèñòåìû (íàçîâåì ñîîòâåòñòâó- þùóþ åé ñèñòåìó îáñëóæèâàíèÿ ñèñòåìîé 1) îñíîâàíà íà èñïîëüçîâàíèè äâóõ ðåæèìîâ óïðàâëåíèÿ âõîäÿùèì ïîòîêîì è âðåìåíåì îáñëóæèâàíèÿ: îñíîâíîãî è ðåæèìà ïåðåãðóçêè. Ïåðåêëþ÷åíèå ðåæèìîâ óïðàâëåíèÿ âðåìåíåì îáñëóæèâà- íèÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ òîëüêî â ìîìåíòû íà÷àëà îáñëóæèâàíèÿ çàÿâîê, à ðåæèìîâ óïðàâëåíèÿ âõîäÿùèì ïîòîêîì — â ìîìåíòû èçìåíåíèÿ ÷èñëà çàÿâîê â ñèñòåìå. Óïðàâëåíèå âðåìåíåì îáñëóæèâàíèÿ ïðîâîäèòñÿ ñîãëàñíî ïðàâèëó: åñëè â ìî- ìåíò íà÷àëà îáñëóæèâàíèÿ çàÿâêè èõ ÷èñëî â ñèñòåìå ðàâíî n , òî âðåìÿ îáñëó- æèâàíèÿ ýòîé çàÿâêè — ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F xn ( ) äëÿ îñíîâíîãî ðåæèìà è ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ~ ( )F xn äëÿ ðåæèìà ïåðåãðóç- êè. Çàôèêñèðîâàâ ïîðîãîâûå çíà÷åíèÿ h 1 è h2 (1 1 2� � �h h m), ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðèáûâøàÿ çàÿâêà ïðèíèìàåòñÿ íà îáñëóæèâàíèå ñ âåðîÿòíîñòüþ � n (1 2� �n h ) äëÿ îñíîâíîãî ðåæèìà óïðàâëåíèÿ âõîäÿùèì ïîòîêîì è ñ âåðîÿòíîñ- òüþ ~ � n (h n m1 1 1� � � � ) äëÿ ðåæèìà ïåðåãðóçêè, ãäå n — ÷èñëî çàÿâîê â ñèñòå- ìå â ìîìåíò ïðèáûòèÿ çàÿâêè (áåç ó÷åòà ïîñòóïèâøåé), ïðè÷åì � �1 11 0� ��, ~ m , à ñðåäè âåðîÿòíîñòåé � n (1 2� �n h ) è ~ � n (h n m1 1 1� � � � ) íå ñóùåñòâóåò îäèíà- êîâûõ. Îñíîâíîé ðåæèì óïðàâëåíèÿ âõîäÿùèì ïîòîêîì ôóíêöèîíèðóåò, åñëè ÷èñëî çàÿâîê â ñèñòåìå íå ïðåâûøàåò çíà÷åíèÿ h 1 , à ðåæèì ïåðåãðóçêè – åñëè ÷èñëî çàÿâîê â ñèñòåìå ïðåâûøàåò çíà÷åíèå h2 . Àíàëîãè÷íîå ïðàâèëî ââîäèòñÿ äëÿ ðåæèìîâ óïðàâëåíèÿ âðåìåíåì îáñëóæèâàíèÿ, íî ïåðåêëþ÷åíèå ýòèõ ðåæè- ìîâ äîïóñêàåòñÿ òîëüêî â ìîìåíòû íà÷àëà îáñëóæèâàíèÿ çàÿâîê. Ðåæèì ïåðå- ãðóçêè óïðàâëåíèÿ âõîäÿùèì ïîòîêîì ôóíêöèîíèðóåò îò ìîìåíòà, êîãäà ÷èñëî çàÿâîê â ñèñòåìå äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ h2 1� , äî ìîìåíòà, êîãäà îíî óìåíüøàåòñÿ 126 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 äî çíà÷åíèÿ h 1. Ïåðåêëþ÷åíèå ñ îñíîâíîãî ðåæèìà óïðàâëåíèÿ âðåìåíåì îáñëóæèâàíèÿ íà ðåæèì ïåðåãðóçêè îñóùåñòâëÿåòñÿ â ìîìåíò íà÷àëà îáñëóæèâàíèÿ òîé çàÿâêè, äëÿ êîòîðîé ÷èñëî çàÿâîê â ñèñòåìå ðàâíî h2 . Â ìîìåíò íà÷àëà îáñëóæèâàíèÿ çàÿâêè ðåæèìû óïðàâëåíèÿ âõîäÿùèì ïîòî- êîì è âðåìåíåì îáñëóæèâàíèÿ ñîâïàäàþò, è òîëüêî ðåæèì óïðàâëåíèÿ âõîäÿùèì ïîòîêîì ìîæåò èçìåíèòüñÿ â òå÷åíèå îáñëóæèâàíèÿ îäíîé çàÿâêè. Ðàññìîòðèì äâà ÷àñòíûõ ñëó÷àÿ îïèñàííîé îáùåé ãèñòåðåçèñíîé ñòðàòåãèè, äëÿ êîòîðûõ âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè áàçîâûõ ñëó÷àéíûõ áëóæäàíèé ìåòî- äà ïîòåíöèàëîâ îïðåäåëÿþòñÿ ïî-ðàçíîìó è èíà÷å, ÷åì äëÿ ñèñòåìû 1. Íàçîâåì ñèñòåìîé 2 ÷àñòíûé ñëó÷àé ñèñòåìû 1, êîãäà ~ ~ ( ~ )� � �n � � �0 1 ïðè h n m1 1� � � , è ñèñòåìîé 3 ÷àñòíûé ñëó÷àé ñèñòåìû 1, êîãäà � n �1 ïðè 1 2� �n h è ~ ~ � �n � ( ~ )0 1� �� äëÿ h n m1 1� � � . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ~ � � n äëÿ âñåõ 1 2� �n h . ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊÈ ÁÀÇÎÂÛÕ ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÁËÓÆÄÀÍÈÉ Ïóñòü Pn — óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, ñîâïà- äàþùèé ñ ìîìåíòîì íà÷àëà îáñëóæèâàíèÿ çàÿâêè, â ñèñòåìå íàõîäÿòñÿ n çàÿ- âîê è ñèñòåìà ôóíêöèîíèðóåò â îñíîâíîì ðåæèìå, à ~ Pn — ñîîòâåòñòâóþùàÿ óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü äëÿ ðåæèìà ïåðåãðóçêè. Ïîëîæèì f s f s e dF xn n sx n( ) ( ) ( )( )� � � � 0 0 , f s x i e dF xn i i s x n ( ) ( )( ) ( ) ! ( )� � � � � � � � 0 , i � 0 1 2, , , � ; ~ ( ) ~ ( ) ~ ( )( )f s f s e dF xn n sx n� � � � 0 0 , ~ ( ~ ) ( ~ ) ! ~ ( )( ) ( ~ )f s x i e dF xn i i s x n� � � � � � � � 0 , i � 0 1 2, , ,�; M xdF x M xdF x F x F x Fn n n n n n� � � � � � � � � � 0 0 1( ) , ~ ~ ( ) , ( ) ( ), ~ n nx F x( ) ~ ( )� �1 . Äëÿ îñíîâíîãî ðåæèìà óïðàâëåíèÿ âðåìåíåì îáñëóæèâàíèÿ ââåäåì ïîñëåäî- âàòåëüíîñòè � ni s( ) è q sni ( ), îïðåäåëÿåìûå ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé � �ni n sx n ns f s e x i dF x i( ) ( ) { ( ) } ( ), { , , ,� � � � � � � 1 1 1 0 1 0 P � , };m n� �1 � �n m n n sx n ns f s e x m n dF x, ( ) ( ) { ( ) } ( )� � �� 1 1 0 P ; (1) q s e x i F x dxni sx n n( ) { ( ) } ( )� � � � 0 P � , i m n� �{ , , , , }0 1 2 � ; q s e x m n F x dxn m n sx n n, ( ) { ( ) } ( )� � � �� 1 0 1P � . (2) Çäåñü �( )x — ÷èñëî çàÿâîê, ïîñòóïèâøèõ â ñèñòåìó çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè [ ; )0 x , Re s � 0 , n h�{ , , , }1 2 � , h h� �2 1 . Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü � ni s( ) ïðè s 0 è ôèêñèðîâàííîì n ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ðàñïðåäåëåíèå ñêà÷êîâ íåêîòîðîãî ïîëóíåïðåðûâíîãî ñíèçó ñëó÷àéíîãî áëóæäàíèÿ S n (êîòîðîå íàçîâåì áàçî- âûì), ñîîòâåòñòâóþùåãî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F xn ( ) âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ è âåðîÿòíîñòÿì Pn x i{ ( ) }� � �1 . Ôóíêöèÿ R s f s s n n n ( ) ( ) ( ), � � 1 1� ( { , , , })n m� 1 2 � íàçûâàåòñÿ ðåçîëüâåíòîé, à ïîñòîÿííàÿ R R sn s n� �� lim ( ) 0 — ïîòåíöèàëîì ñëó- ÷àéíîãî áëóæäàíèÿ S n . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 127 Ðåæèìó ïåðåãðóçêè óïðàâëåíèÿ âðåìåíåì îáñëóæèâàíèÿ ïðè n � � � �{ , , , }h h m1 11 2 � ñîîòâåòñòâóþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ~ ( )� ni s , ~ ( )q sni è ~ ( )R sn âèäà ~ ( ) ~ ( ) ~ { ( ) } ~ ( ), { ,� �ni n sx n ns f s e x i dF x i� � � � � � � 1 1 1 0 0 P , , , }1 1� m n� � ; ~ ( ) ~ ( ) ~ { ( ) } ~ ( );,� �n m n n sx n ns f s e x m n dF x� � �� 1 1 0 P (3) ~ ( ) ~ { ( ) } ~ ( ) , { , , , , }q s e x i F x dx i m nni sx n n� � � � � � 0 0 1 2P � � ; ~ ( ) ~ { ( ) } ~ ( ) ; ~ ( ),q s e x m n F x dx R sn m n sx n n n� � � �� 1 0 1P � � � 1 1 ~ ( )~ ( ),f s sn n� . Ïóñòü Tn , ~ Tn , ~ T è T — ïîêàçàòåëüíî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ ïàðàìåòðàìè � ��n n� , ~ ~ � ��n n� , ~ ~ � �� è � ñîîòâåòñòâåííî, à Zn — ñëó÷àé- íàÿ âåëè÷èíà, ðàñïðåäåëåííàÿ ïî çàêîíó Ïàñêàëÿ, ò.å. P{Z kn � �} � � �� n k n n k( )1 , k �1 2, , � Èçâåñòíî [13, c. 95], ÷òî Z T Tn n� , ò.å. â ðåçóëüòàòå ñëó÷àéíîãî ïðîðåæèâàíèÿ ïðîñòåéøåãî ïîòîêà ïîëó÷àåì ïðîñòåéøèé ïîòîê. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé Pn x i{ ( ) }� � è ~ { ( ) }Pn x i� � äëÿ ñèñòåìû 1 íå- îáõîäèìî íàéòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí T Ti i j j � �, ~ è T Ti i j j � �� ~ , äëÿ ñèñòåìû 2 — ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí T jTi i � , ~ è T jTi i � � ~ , à äëÿ ñèñòåìû 3 — ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí iT jT, ~ è iT jT� ~ . Ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèâåäåííûõ ðàñïðåäåëåíèé ïîëó÷åíû â [14]. Ñ ó÷åòîì âûðàæåíèé äëÿ P Pn nx i x i{ ( ) }, ~ { ( ) }� �� [14] è ðàâåíñòâ ( ) ! ( ) ( ) ( ) ( )� � � � ��x k e F x dx g s s s k s x n nk k k � � � � � � � � � � 0 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � i i k n if s 0 ( ) ( ) , ( ~ ) ! ~ ( ) ~ ( ~ ) ~ ( ~ ) ( ~ )� � � � �x k e F x dx g s s k s x n nk k k � � � � � � �0 � � � �� 1 0 1 s f s i i k n i ~ ~ ~ ( ~ )( )� � � ïî ôîðìóëàì (1)–(3) âû÷èñëèì ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé � ni s( ) , q sni ( ) , ~ ( )� ni s è ~ ( )q sni . Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: � � � n n n n h h n m � � � � � � � � � , , ~ , ; 1 1 2 2 G x T rT xn n j r i n n j i( , ), ( ) ~ � � � � � � � � � � � � ��P � � � � �� 1 1 1 1( ) ~ ( )! ( ) j r l l n n j s n s i n j i s i n n j r � � � � � � � � � � � � � � k r r k i r k C r k 0 1 1 1( )! ( ~ )� � 128 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 � � � � � � � � � � � ( )!( ~ ) ! ( ) ! k e xi i k r k x i k i � � � � � � � � � � � � � 1 0 1 0 � � � � � �� k e x k x k! ~ ( ~ ) ! ~ 1 0 , 1 1� � � � � �j h n r m h, ; G x T xn n j i n n j i j k k n n ( , ), ( ) ( )� � � � � � � � � � � � � � ��0 1 1P � � � � � � �� j i n n j x i s n s i n j i s e i� � � �( ) , 1 � � �j h n ; G x nT rT xn r, ( ) ~ � � �P{ } = � � � � � � � � � � ��1 1 1 1 1 0 1 1 ( ) ~ ( )!( )!( ~ ) ( n n r n r k r r k n r C n � � � � � � � � �r k k2 )!( ~ )� � � � � �� ( ) ( )!( ~ ) ! ( ) 1 1 1 0 2 j j k j x j n r k ik j j e x i � � � �� ! ! ~ ( ~ ) ! ~ i k j k x i i kk e x i� � � � � � �� 0 1 0� �� , 1 � � �r m h ; G x nT x e x k n x k k n , ( ) ( ) ! 0 0 1 1� � � � � � � �P{ } � � . Äëÿ ñèñòåìû 1 íàõîäèì: � � n n n n s f s f s , ( ) ( ) ( ) � � � 1 , q s f s s n n n n 0 1 ( ) ( ) � � � � � � , 1 � �n h ; � � � � � n j j n k k n n j n i n i n j s f s f s , ( ) ( ) ( ) ( ) ( � � � � � � � � � � � 1 1 1 � � �i i n n j �� ) , q s f s s nj j k k n n j n i i n i n j ( ) ( ) ( ) ( ) ( � � � � �� 1 1 1 � � � � � � � �i i n n j �� ) , 1 1� � � � �n h j m n, ; � � � � � � n m n m n n k k n m n n i i n s f s f s f s , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( � � � � � � � � � 1 � � � � � � i m i i n m n h � � � ) , 1 ; q s f s s f s s n m n m n k k n m n n i i , ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � � � �1 1 1 1 � � � � i n i m i i n m n h ( ) , � � �� 1 ; ~ ( ) ~ ( ~ ) ~ ( ) , ~ ( ) ~ ( ~ ) ~,� � � � n n n n n n n n s f s f s q s f s � � � � � � 1 0 1 � � � � s h n m, 1 1 ; ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 129 ~ ( ) ( ) ~ ( ) ~ ~ ( ~ ) ( ,� � � � � n j j n k k n n j n i n s f s f s � � � � � � � � �1 1 1 i n j i i n n j � � � � � � ~ ~ )� �� , ~ ( ) ( ) ~ ~ ( ~ ) ( ~ ) ( q s f s s nj j k k n n j n i i n � � � � �� 1 1 1 � � � � � i n j i i n n j � � � � � � ~ ~ )� �� , h n m j m n1 1 1 0� � � � � � �, ; ~ ( ) ~ ( ~ ) ~ ( ) ; ~ ( ) ~ ( ) , ,� � m m m m n m n ns f s f s q s f s s 0 11 1 � � � � � � � � � � � � � � j m n n jq s h n m 0 1 1~ ( ), . Äëÿ ñèñòåìû 2 ïðè 1 � �n h ïîëó÷àåì ðàâåíñòâà: � � � � n n n n n n n n s f s f s q s f s s , ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ;� � � � � � � 1 0 1 � � � � � n j j n k k n n j n i n i n j s f s f s , ( ) ( ) ( ) ( ) ( � � � � � � � � � � � 1 1 1 � � �i i n n j �� ) , q s f s s nj j k k n n j n i i n i n j ( ) ( ) ( ) ( ) ( � � � � �� 1 1 1 � � � � � � � �i i n n j �� ) , 1 1 0� � � � � �n h j h n, ; � n j n sx n h n h j n h ns f s e G x G, ( , ), ( , ),( ) ( ) ( ( )� � � � � �� 1 0 1 1 � �h j nx dF x( )) ( ), q s e G x G x Fnj sx n h n h j n h n h j( ) ( ( ) ( ))( , ), ( , ),� �� 1 0 n x dx( ) , h n j m n� � � � �1 ; � n m n n sx n h m h ns f s e G x dF x, ( , ),( ) ( ) ( ) ( )� � � � � 1 0 , q s e G x F x dxn m n sx n h m h n, ( , ),( ) ( ) ( )� � � � � � 1 0 ; 0 � � � �e G x dF xsx n n j r n( , ), ( ) ( ) � � � � �� f s r n j r l l n n j s n s i n j i s i ( ) ( ) ~ ( )! ( ) 1 1 1� � � �n n j k r r k i r k C r k � � � � �� 0 1 1 1( )! ( ~ )� � � � � � � � � � � � � � ( )!( ~ ) ! ( )( )k f si i k r k n i k� � � � � � � � � � � � 1 0 1 0 � �� k f s k n k! ~ ( ~ )( ) � �� 1 0 , 1 1� � � � � �j h n r m h, ; 130 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 e G x dF x f ssx n n j n n j k k n n j i n � � � � � � �� ( , ), ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 � n j n i i s n s i n j i s f s � � �� ( ) ( ) � � � � , 1 � � �j h n; e G x F x dxsx n n j r n � � � �( , ), ( ) ( ) 0 � � � � � �� 1 1 1 1f s s r n j r l l n n j s n s i n j i s ( ) ( ) ~ ( )! ( � � � � ) ( )! ( ~ )i n n j k r r k i r k C r k � � � � � �� 0 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � ( )!( ~ ) ! ( ) k g si i k r k n i k� � � � � � � � � � � � 1 0 1 0 k g s k n k! ~ ( ~ ) � �� 1 0 , 1 1� � � � � �j h n r m h, ; e G x F x dx f s s sx n n j n n j k k n n j � � � � � � � � �( , ), ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 1 �� i n n j n i i i s n s i n j i s f s s 1 ( ) ( ) ( ) � � � � � , 1 � � �j h n . Äëÿ ñèñòåì 2 è 3 ïðè h n m1 1� � � íàõîäèì ~ ( ) ~ ( ~ ) ~ ( ) , ( ) � � n j n j n s f s f s � � � 1 , ~ ( ) ~ ( ~ )q s g snj nj� � � , 0 � � �j m n ; ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ~ ), ( )� �n m n n j m n n js f s f s� � � � � ��1 1 0 , ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ~ ),q s f s s g sn m n n j m n nj� � � � � � � ��1 0 1 � . Äëÿ ñèñòåìû 3 ïðè 1 � �n h ïîëó÷àåì: � � n j n j n s f s f s , ( ) ( ) ( ) ( ) � � � 1 , q s g snj nj( ) ( )� � � , 0 � � �j h n ; � n j n sx h n n h j h n ns f s e G x G, , ,( ) ( ) ( ( )� � � � � � � � � �� 1 0 1 1 1 1 � �h j nx dF x( )) ( ) , q s e G x G x Fnj sx h n n h j h n n h j( ) ( ( ) ( )), ,� �� 1 1 1 0 n x dx( ) , h n j m n� � � � �1 ; � n m n n sx h n m h ns f s e G x dF x, ,( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � 1 1 0 , q s e G x F x dxn m n sx h n m h n, ,( ) ( ) ( )� � � � � � � � 1 1 0 ; ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 131 0 � � �e G x dF xsx n r n, ( ) ( ) � � � � � � � � � � ��f s n r Cn n n r n r k r r ( ) ( ) ~ ( )!( )!( ~ ) 1 1 1 1 0 1� � � � 1 2k kn r k( )!( ~ )� � � � �� ( ) ( )!( ~ ) ! ( )( )1 1 1 0 2 j j k j j n r k n ik j j f s � � � � i k j k n i i kk f s � � � � � �� 0 1 0 ! ~ ( ~ )( ) � � , 1 � � �r m h ; 0 0 0 1� � � � �� e G x dF x f s f ssx n n n n k k n , ( )( ) ( ) ( ) ( )� ; e G x F x dxsx n r n � � �, ( ) ( ) 0 � � � � � � � � � � � � 1 1 1 1 1 0 1f s s n r n n n r n r k r( ) ( ) ~ ( )!( )!( ~ ) � � � � C n r k r k k � � � � � � 1 2( )!( ~ )� � � � � � �� ( ) ( )!( ~ ) ! ( )1 1 1 0 2 j j k j j n r k ni i k j j g s � � � � 0 1 0 k j k ni i kk g s � � � � �� ! ~ ( ~ ) � � , 1 � � �r m h ; e G x F x dx f s s g ssx n n n nk k n � � � � �� , ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 11 � . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî lim ( ) lim ~ ( ) , lim ( ) , li s n s n s n nf s f s f s s M �� 0 0 0 1 1 m ~ ( ) ~ s n n f s s M �� 0 1 , âû÷èñëÿåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè � � � �ni s ni ni s ni ni s s q q s� � � �� lim ( ), lim ( ), ~ lim ~ 0 0 0 ni ni s nis q q s( ), ~ lim ~ ( ),� �� 0 êîòîðûå èñïîëüçóåì ïðè îïðåäåëåíèè ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòåðèñòèê ðàññìàòðè- âàåìûõ ñèñòåì. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊ ÑÈÑÒÅÌ ÎÁÑËÓÆÈÂÀÍÈß Ïóñòü ( )t — ÷èñëî çàÿâîê â ñèñòåìå â ìîìåíò âðåìåíè t è � inf { : ( ) }t t� �0 0 — ïåðâûé ïåðèîä çàíÿòîñòè äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû îá- ñëóæèâàíèÿ. Äëÿ k m� �{ , , , }1 2 1� ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: � n nt k t k t n h( , ) { ( ) , },� � � �P 1 ; ~ ( , ) ~ { ( ) , },� n nt k t k t h n m� � � � � �P 1 1 1 ; � � � n n n t k t k n h t k h n m ( , ) ( , ), ; ~ ( , ), ; � � � � � � � � � 1 12 � �n st n n st ns k e t k dt s k e t k d( , ) ( , ) , ~ ( , ) ~ ( , )� �� 0 0 � � t , Re s 0 . 132 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 Î÷åâèäíî, ÷òî � � �0 0 1 1 ( , ) , ~ ( , ) ( , )t k t k t kh h� � . Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû ïîë- íîé âåðîÿòíîñòè äëÿ êàæäîé èç ñèñòåì 1–3 ïîëó÷èì ðàâåíñòâà: � � �n j m n t n n j n t t k x j t x k dF x( , ) { ( ) } ( , ) ( )� � � � � � � �� 0 0 1 0 P �Pn x{ ( )� � � � � � � � � � �m n t x k dF x I n k m t k n F tm n n n1 1} ( , ) ( ) { } { ( ) } ( )� �P , 1 � �n h ; ~ ( , ) ~ { ( ) } ~ ( , ) ~ (� � �n j m n t n n j nt k x j t x k dF x� � � � � � �� 0 0 1P ) ~ { ( )� � Pn t x 0 � � � � � � � � � � �m n t x k dF x I n k m t k n Fm n n1 1} ~ ( , ) ~ ( ) { } ~ { ( ) } ~ � �P n t( ), h n m1 1� � � ; ~ ( , ) ~ ( , ) ~ ( ) { } ~ ( )� �m t m m mt k t x k dF x I k m F t� � �� 1 0 1 11 . Çäåñü I A{ } ðàâíî 1 èëè 0 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ñîñòîÿëîñü ëè ñîáûòèå A . Ââåäÿ îáîçíà÷åíèÿ f s k I n k m q sn n k n( ) ,( , ) { } ( )� � � � �1 è ~ ( , ) {( )f s k I nn � � � � �k m 1} ~ ( ),q sn k n� , ïðèäåì ê ñèñòåìå óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé �n s k( , ) è ~ ( , ):�n s k � �n n n j j m n n j ns k f s s s k f s( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ,, ( )� �� 1 0 1 1 k n h), ;1 � � (4) ~ ( , ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( , ) ~ , (� �n n n j j m n n js k f s s s k f� �� 1 0 1 1 n s k h n m) ( , ), ;1 1� � � ~ ( , ) ~ ( ) ~ ( , ) { } ~ ( ) � �m m m ms k f s s k I k m f s s � � �� 1 1 11 1 (5) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè �0 0( , )s k � , ~ ( , ) ( , )� �h hs k s k 1 1 � . (6) Äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (4)–(6) èñïîëüçóåì ôóíêöèè � ni s( ) è ~ ( )�ni s , îïðåäåëÿåìûå ñ ïîìîùüþ ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé �n ns R s1 1( ) ( )� � ; � �n j n n j n i j n is R s s f s s, , ,( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � �� 1 1 1 1 0 1 1� �n i j i s� � � � � � � � � � �1 , ( ) , 0 1 1 1� � � � � � �n h j m n, ; ~ ( ) ~ ( )�n ns R s1 1� � ; � � ~ , ~ , ,( ) ~ ( ) ( ) ~ ( ) ~ n j n n j n i j n is R s s f s� � � � � �� 1 1 1 0 1 1� ( ) ( ) ~ ,s sn i j i� � � � � � � � � � � � 1 , h n m j m n1 1 1 1� � � � � � �, . Ïîñêîëüêó óðàâíåíèÿ (4)–(6) ïî ñòðóêòóðå íå îòëè÷àþòñÿ îò ïîëó÷åííûõ â [15], ïðèâåäåííûå äàëåå óòâåðæäåíèÿ ñïðàâåäëèâû äëÿ ñèñòåì 1–3 è ñëåäóþò íåïîñðåäñòâåííî èç ðàáîòû [15]. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 133 Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: C s s s f s sn n h n ni i h n n i n i h n i( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, ,� �� 1 � C s sh h( ) ( ),� �� 0 1 ; ~ ( ) ( ) ( ) ( ), ,D s s f s sn ni i h n n i n i m n i n i j n� � � � � � � � � � �� 1 � � i j h m js A s � � � � � � � � � � � � 1 1 ( ) ~ ( ) ; ~ ( ) ( ) ( ) ( )~ ~ , ~ ,A s s s f sn n m n ni i m n n i n i m n i� �� 1 � ( ); ~ ( ) ( , )s D s D s kh h� � 0 ; D s kn ( , ) � � � � � � � � � � � � � � �ni i h n n i n i n i j n i j h m s f s k f s 1 1 ( ) ( , ) ( )( ) ,� 1 1 � � � � � � � � � � � � � ( ) ( ) ~ ( , ) ~ ( )s s f s kju u m j j u� . Òåîðåìà 1. Äëÿ âñåõ k m� �{ , , , }1 2 1� è Re s 0 âûïîëíåíû ðàâåíñòâà �n s k( , ) � � � � 1 0 0 0 0 C s C s D s k C s D s C s D s sn n n m ( ) ( ( ) ( , ) ( ( ) ~ ( ) ( ) ~ ( )) (� , )) ( , ), ;k D s k n hn� � �1 � �n n m i m n ni n is k A s s k s f s k h( , ) ~ ( ) ( , ) ( ) ~ ( , ), ~ ( )� � � � �� 1 � 2 1� � �n m ; ~ ( , ) ~ ( ) ( , ) ( ) ~ ( , ), ~ ( )� �n n m i m n ni n is k A s s k s f s k� � � � �� 1 � h n h1 1� � � ; � �m m m ms k f s s k I k m f s s � � �� 1 1 11 1 ( , ) ~ ( ) ( , ) { } ~ ( ) ; �m h i m h h i h i s k C s D s k s f s k ( , ) ( ) ( , ) ( ) ~ ( , ~ ( ) � � � � ��0 1 1 1 1 1 � ) ( ) ( , ) ( ) ~ ( ) ( )( ~ ( ) � � � � � � � � � � � C s D s k C s D s C s D s h h h 1 1 1 0 0 0 ~ ( ))A sh 1 . Òåîðåìà 2. Ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà îò ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïåðèîäà çà- íÿòîñòè îïðåäåëÿåòñÿ â âèäå 0 0 1 0 1 0 0 1 � � � � �e t dt C s C s D s C s D s Cst P{ } ( ) ( ( ) ( ) ( ( ) ~ ( ) (s D s s D sm) ~ ( )) ( )) ( )1 1� � , ãäå D s s f s s f sn ni i h n n i n i n i j n i j ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ,� � � � � � � � � � � �� 1 1 � h m u m j ju j u s s f s s 2 1 1 1� � � �� ( ) ( ) ~ ( ) ; ~ � �m h i m h h i h i s C s D s s f s s ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ( )~ � � �� 0 1 1 1 1 1 1 � � � � � �� C s D s C s D s C s D s A h h h h 1 1 1 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ~ ( ) ( )( ~ ( ) ~ (s)) . 134 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 Òåîðåìà 3. Ïóñòü� �ni s ni s� �� lim ( ) 0 ,� � ~ ~ lim ( )ni s ni s� �� 0 . Ñðåäíÿÿ ïðîäîë- æèòåëüíîñòü ïåðèîäà çàíÿòîñòè E( ) , ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà çàÿâîê â ñèñòåìå lim ( ) } t k t k p �� P{ , 0 1� � �k m , è ñòàöèîíàðíàÿ âåðîÿòíîñòü îáñëó- æèâàíèÿ ïîñòóïèâøåé çàÿâêè Psv (îòíîñèòåëüíàÿ ïðîïóñêíàÿ ñïîñîáíîñòü ñèñòå- ìû) îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì: E( ) ( , ) ~~ � � � � � � � � � � � �� D D R h h D Mh h i h i i m h 0 1 1 2 1 1 1 1 1 � ; Psv � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �p T T R h h T i m h h i h0 0 1 1 2 1 1 1 1 ( , ) ~ � � � � ; p0 1 1 � � � E( ) ; p p q q qk k k i k i i k i i i k i� � � � � � � � � � � � � �� 0 0 0 1 1 0 1 1 1� � �( ), , � � � , 1 1� �k h ; p p q R h h qk i k i i k i i k h h i h i� � � � � � �� 0 1 0 1 2 1 1 1 1 � �, ~ ,( , ) ( ~ k h i� � � � � � � 1 � � � � � �� h i h i k h i i k i i k iq q 1 1 1 1 1 1 1 1, ,) , h k h1 1� � � ; p p D k D k R h h qk i k h h i h i k h� � � � � � �� 0 0 1 1 2 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( , ) ~~ ,� � � � � � � � � � � � � � � � � � �i hD k 1 ( ) , h k m2 � � ; pm� �1 � � � � � � � � ��p D m D m R h h q i m h h i h i m0 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( , ) ~~ ,� 1 1 1 1� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �h i hD m( ) , ãäå D M Mn i h n n i n i j h m n i j n i u m j ju j� � � � � � � � � � � � � � � 1 1 12 � �� , ~ ~ � � � � � � � � �u ; Tn i h n n i j h m n i j n i u m j ju� � � � � � � �� 1 1 1 1 2 � �� , ~ � � ; D k q I h k mn i h n ni n i k n i n i j n i j h ( ) { }, ,� � � � � � � � � � � � � � � 1 2� � 2 1 1 k u k j ju j u k j uq � � � � � �� ~ , ~ ; D m qn i h n ni n i m n i j h m n i j n i u ( ) , ,� � � � � � � � � � � � � �� 1 1 1 1 2 � � � � � � � �� 1 1 m j ju j u m j uq� ~ , ~ ; R h h h h h h h ( , ) , , , 1 2 0 12 1 2 1 � � � � � � . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 135 Ñòàöèîíàðíûå õàðàêòåðèñòèêè î÷åðåäè: åå ñðåäíþþ äëèíó E( )Q è ñðåäíåå âðåìÿ îæèäàíèÿ E( )W , íàõîäèì ïî ôîðìóëàì E E P P ( ) , ( ) ( ) Q kp W Q k m k� � � �� 1 1 � sv . ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈß ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊ Ðàññìîòðèì ñèñòåìó 3, äëÿ êîòîðîé ïîëîæèì: m � 6, h 1 2� , h2 4� , � �10, ~ ,� � 0 4 ; F x F x F xn n( ) ~ ( ) ( )� � , 1 � �n m . Òàêèì îáðàçîì, â äàííîì ïðèìåðå äëÿ ñèñòåìû 3 ïðèìåíÿåòñÿ òîëüêî ãèñòåðåçèñíàÿ ñòðàòåãèÿ ñëó÷àéíîãî îòáðà- ñûâàíèÿ çàÿâîê ñ íåèçìåííûì ðàñïðåäåëåíèåì âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ. Ðàñ- ñìîòðèì äâà ñëó÷àÿ çàäàíèÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ F x( ) ñ îäèíàêîâûì ñðåäíèì çíà÷åíèåì 0,25: ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà ïðîìåæóòêå ( ; , ]0 0 5 (ñîîòâåòñòâóþùóþ ñèñòåìó íàçîâåì ñèñòåìîé 3.1) è ïîêàçà- òåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì � 4 (ñèñòåìà 3.2). Äëÿ îöåíêè ðåçóëüòà- òîâ ïðèìåíåíèÿ ãèñòåðåçèñíîé ñòðàòåãèè ðàññìîòðèì òàêæå ñèñòåìû 4.1 è 4.2 — ñòàíäàðòíûå ñèñòåìû òèïà M/G/1/m, â êîòîðûõ íå ïðèìåíÿåòñÿ ñëó- ÷àéíîãî îòáðàñûâàíèÿ çàÿâîê, à ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ òàêèå æå, êàê â ñèñòåìàõ 3.1 è 3.2 ñîîòâåòñòâåííî. Çíà÷åíèÿ ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåì 3.1, 3.2, 4.1 è 4.2, íàéäåííûå ïî ôîðìóëàì, ïîëó÷åííûì ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ïîòåíöèàëîâ, ïðåäñòàâëåíû â òàáë. 1 è òàáë. 2, ãäå â öåëÿõ ïðîâåðêè íàéäåííûõ çíà÷åíèé ïðèâåäåíû òàêæå ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé äëÿ ñèñòåì 3.1 è 3.2 ñ ïîìîùüþ èìèòàöèîííûõ ìîäåëåé, ïîñòðîåííûõ ñ èñïîëüçîâàíèåì èíñòðóìåíòàëüíûõ ñðåäñòâ GPSS World [16] (çíà÷åíèå âðåìåíè ìîäåëèðîâàíèÿ t �106). Cðàâíåíèå çíà÷åíèé õàðàêòåðèñòèê ðàññìàòðèâàåìûõ ñèñòåì, ïîëó÷åííûõ ñ ïîìîùüþ GPSS World äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé âðåìåíè ìîäåëèðîâàíèÿ, ïîêàçûâàåò, ÷òî çíà÷åíèå âðåìåíè ìîäåëèðî- âàíèÿ t �106 ñîîòâåòñòâóåò ïðàêòè÷åñêè äîñòèãíóòîìó ñòàöèîíàðíîìó ðåæèìó ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñèñòåìû. Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïîêàçàòåëüíûõ è ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèé èñïîëüçîâàíû áèáëèîòå÷íûå ãåíåðàòîðû ñëó÷àéíûõ ÷èñåë ¹ 5 è ¹ 15 ñîîòâåòñòâåííî. Àíàëèçèðóÿ ðåçóëüòàòû, ïðåäñòàâëåííûå â òàáë. 2, âèäèì, ÷òî ïðèìåíåíèå ãèñòåðåçèñíîé ñòðàòåãèè ñëó÷àéíîãî îòáðàñûâàíèÿ çàÿâîê ïîçâîëÿåò óìåíüøèòü ñðåäíþþ äëèíó î÷åðåäè ïðè íåèçìåííîé ïðîïóñêíîé ñïîñîáíîñòè ñèñòåìû. Óìåíüøåíèå ñðåäíåé äëèíû î÷åðåäè â ñèñòåìå 3.1 ïî ñðàâíåíèþ ñ ñèñòåìîé 4.1 ñîñòàâëÿåò 26,9%, à â ñèñòåìå 3.2 ïî ñðàâíåíèþ ñ ñèñòåìîé 4.2 — 24,8%. 136 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 Ò à á ë è ö à 1 . Ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà çàÿâîê â ñèñòåìàõ 3.1 è 3.2 Íîìåð ñèñ- òåìû Ìåòîä Çíà÷åíèÿ ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé p0 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 3.1 Àíàëèòè- ÷åñêèé 0,00229 0,00925 0,03539 0,11529 0,19473 0,24006 0,24173 0,16126 3.1 GPSS World 0,00228 0,00928 0,03559 0,11561 0,19507 0,23937 0,24159 0,16122 3.2 Àíàëèòè- ÷åñêèé 0,00717 0,01791 0,04478 0,11196 0,17225 0,21531 0,21531 0,21531 3.2 GPSS World 0,00712 0,01811 0,04488 0,11150 0,17284 0,21527 0,21553 0,21475 ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Â íàñòîÿùåé ðàáîòå ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ïîòåíöèàëîâ ïîëó÷åíû ïðèãîäíûå äëÿ ÷èñëîâîé ðåàëèçàöèè ôîðìóëû äëÿ îòûñêàíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà çàÿâîê â ñèñòåìå îáñëóæèâàíèÿ òèïà M/G/1/m, â êîòîðîé â öåëÿõ óìåíü- øåíèÿ äëèíû î÷åðåäè ïðèìåíÿåòñÿ ãèñòåðåçèñíàÿ ñòðàòåãèÿ óïðàâëåíèÿ èíòåí- ñèâíîñòüþ âõîäÿùåãî ïîòîêà è âðåìåíåì îáñëóæèâàíèÿ, äîïóñêàþùàÿ ñëó÷àé- íîå îòáðàñûâàíèå çàÿâîê è ïåðåêëþ÷åíèå ðåæèìîâ óïðàâëåíèÿ âõîäÿùèì ïîòî- êîì â ìîìåíòû èçìåíåíèÿ ÷èñëà çàÿâîê â ñèñòåìå. Ïîëó÷åííûå àíàëèòè÷åñêèì ìåòîäîì ðåçóëüòàòû ïîäòâåðæäàþòñÿ äàííûìè èìèòàöèîííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. À á à å â Ï . Î . , Ã à é ä à ì à ê à Þ . Â . , Ñ à ì ó é ë î â Ê . Å . Ãèñòåðåçèñíîå óïðàâëåíèå ñèãíàëü- íîé íàãðóçêîé â ñåòè SIP-ñåðâåðîâ // Âåñòíèê Ðîññèéñêîãî óíèâåðñèòåòà äðóæáû íàðîäîâ. Ìà- òåìàòèêà. Èíôîðìàòèêà. Ôèçèêà. — 2011. — ¹ 4. — Ñ. 54–71. 2. Ï å ÷ è í ê è í À . Â . , Ð à ç ó ì ÷ è ê Ð . Â . Ñòàöèîíàðíûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû M2/G/1/r ñ ãèñ- òåðåçèñíîé ïîëèòèêîé óïðàâëåíèÿ èíòåíñèâíîñòüþ âõîäÿùåãî ïîòîêà // Èíôîðìàöèîííûå ïðîöåññû. — 2013. — 13, ¹ 3. — Ñ. 125–140. 3. K i t a e v M . Y u . , R y k o v V . V . Controlled queueing systems. — New York: CRC-Press, 1995. — 304 p. 4. Z h e r n o v y i K . Y u . , Z h e r n o v y i Y u . V . An M�/G/1/m system with two-threshold hysteresis strategy of service intensity switching // Journal of Communic. Technology and Electronics. — 2012. — 57, N 12. — P. 1340–1349. 5. C h y d z i n' s k i A . Nowe Modele Kolejkowe Dla We,zlo'w Sieci Pakietowych. — Gliwice: Pracownia Komputerowa Jacka Skalmierskiego, 2013. — 286 s. 6. S r i r a m K . , L u c a n t o n i D . M . Traffic smoothing effects of bit dropping in a packet voice multiplexer // IEEE Trans. Comm. — 1989. — 37, N 7. — P. 703–712. 7. Z h e r n o v y i K . Y u . , Z h e r n o v y i Y u . V . M�/G/1/m and M�/G/1 systems with the service time dependent on the queue length // Journal of Communic. Technology and Electronics. — 2013. — 58, N 12. — P. 1267–1275. 8. Z h e r n o v y i K . Y u . , Z h e r n o v y i Y u . V . An M�/G/1 system with hysteretic switching of the service intensity // Journal of Communic. Technology and Electronics. — 2013. — 58, N 6. — P. 602–612. 9. Z h e r n o v y i K . Y u . , Z h e r n o v y i Y u . V . Probabilistic characteristics of an M G / 1 / m2 � / queue with two-loop hysteretic control of the service time and arrival rate // Journal of Communic. Technology and Electronics. — 2014. — 59, N 12. — P. 1465–1474. 10. Æ å ð í î â û é Þ . , Æ å ð í î â û é Ê . Ìåòîä ïîòåíöèàëîâ äëÿ ïîðîãîâûõ ñòðàòåãèé îáñëóæèâà- íèÿ. — Saarbr��ucken: LAP Lambert Academic Publishing, 2015. — 164 c. 11. B r a t i y c h u k M . , B o r o w s k a B . Explicit formulae and convergence rate for the system M G / 1 / N� / as N � � // Stochastic Models. — 2002. — 18, N 1. — P. 71–84. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5 137 Ò à á ë è ö à 2 . Ñòàöèîíàðíûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåì 3.1, 3.2, 4.1 è 4.2 Íîìåð ñèñòåìû Ìåòîä Çíà÷åíèÿ ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòåðèñòèê E( ) E( )Q E( )W Psv 3.1 Àíàëèòè÷åñêèé 43,534 3,987 0,999 0,399 3.1 GPSS World 43,830 3,985 0,998 0,399 3.2 Àíàëèòè÷åñêèé 13,856 4,015 1,011 0,397 3.2 GPSS World 13,830 4,013 1,010 0,397 4.1 Àíàëèòè÷åñêèé 1064,199 5,456 1,364 0,400 4.2 Àíàëèòè÷åñêèé 101,557 5,340 1,336 0,400 12. Ê î ð î ë þ ê Â . Ñ . Ãðàíè÷íûå çàäà÷è äëÿ ñëîæíûõ ïóàññîíîâñêèõ ïðîöåññîâ. — Ê.: Íàóê. äóì- êà, 1975. — 138 ñ. 13. Â å í ò ö å ë ü Å . Ñ . , Î â ÷ à ð î â Ë . À . Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ è åå èíæåíåðíûå ïðèëîæå- íèÿ. — Ì.: Âûñø. øê., 2000. — 383 ñ. 14. Æ å ð í î â û é Þ . Â . , Æ å ð í î â û é Ê . Þ . Ìåòîä ïîòåíöèàëîâ äëÿ ñèñòåì òèïà M/G/1/m ñ ïî- ðîãîâûìè ñòðàòåãèÿìè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2016. — 52, ¹ 3. — Ñ. 170–181. 15. Z h e r n o v y i Y u . , K o p y t k o B . The potentials method for a closed queueing system with hysteretic strategy of the service time change // Journal of Applied Mathematics and Computational Mechanics. — 2015. — N 14(2). — P. 131–143. 16. Z h e r n o v y i Y u . Creating models of queueing systems using GPSS World: Programs, detailed explanations and analysis of results. — Saarbr��ucken: LAP Lambert Academic Publishing, 2015. — 220 p. Íàä³éøëà äî ðåäàö³¿ 16.02.2016 Þ.Â. Æåðíîâèé ÌÅÒÎÄ ÏÎÒÅÍÖ²ÀË²Â ÄËß ÑÈÑÒÅÌ ÒÈÏÓ M/G/1/m Ç Ã²ÑÒÅÐÅÇÈÑÍÈÌÈ ÑÒÐÀÒÅÃ²ßÌÈ ÔÓÍÊÖ²ÎÍÓÂÀÍÍß Àíîòàö³ÿ. Çàïðîïîíîâàíî ìåòîä äîñë³äæåííÿ ñèñòåì îáñëóãîâóâàííÿ M/G/1/m ç ã³ñòåðåçèñíèìè ñòðàòåã³ÿìè âèïàäêîâîãî â³äêèäàííÿ çàìîâëåíü ³ êåðóâàííÿ ÷àñîì îáñëóãîâóâàííÿ. Îòðèìàíî ôîðìóëè äëÿ âèçíà÷åííÿ ïåðåò- âîðåíü Ëàïëàñà ðîçïîä³ëó ê³ëüêîñò³ çàìîâëåíü ó ñèñòåì³ ïðîòÿãîì ïåð³îäó çàéíÿòîñò³, ôóíêö³¿ ðîçïîä³ëó ïåð³îäó çàéíÿòîñò³ òà ôîðìóëè äëÿ îá÷èñëåí- íÿ ñòàö³îíàðíèõ õàðàêòåðèñòèê. Ñï³ââ³äíîøåííÿ äëÿ ñòàö³îíàðíèõ õàðàêòå- ðèñòèê ïåðåâ³ðåíî íà ïðèêëàäàõ çà äîïîìîãîþ ³ì³òàö³éíèõ ìîäåëåé, ïîáóäî- âàíèõ ³ç âèêîðèñòàííÿì ³íñòðóìåíòàëüíèõ çàñîá³â GPSS World. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: îäíîêàíàëüíà ñèñòåìà îáñëóãîâóâàííÿ, ã³ñòåðåçèñí³ ñòðà- òåã³¿, âèïàäêîâå â³äêèäàííÿ çàìîâëåíü, ìåòîä ïîòåíö³àë³â. Yu.V. Zhernovyi POTENTIALS METHOD FOR M/G/1/m SYSTEMS WITH HYSTERETIC OPERATION STRATEGIES Abstract. We propose a method to analyze M/G/1/m queueing systems with hysteretic strategies of random dropping of customers and control of service time. We obtain formulas to determine Laplace transforms of the distribution of the number of customers in the system during busy period and of the distribution function of busy period and to calculate stationary characteristics. We test the relations for stationary characteristics on examples using simulation models constructed with the assistance of the GPSS World tools. Keywords: single-channel queueing system, hysteretic strategies, random dropping of customers, potentials method. Æåðíîâûé Þðèé Âàñèëüåâè÷, êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò Ëüâîâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Èâàíà Ôðàíêî, e-mail: yu.zhernovyi@lnu.edu.ua. 138 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 5

Метод потенциалов для систем типа M/G/1/m с гистерезисными стратегиями функционирования

Institution

Ähnliche Einträge