Точные нижние границы вероятности отказа системы в интервале времени при неполной информации о функции распределения времени до отказа системы
Решаются задачи нахождения точных нижних границ вероятности F(v) - F(u), 0 < u < v < ∞, в множестве функций распределения F(x) неотрицательных случайных величин с унимодальной плотностью с модой m, u < m < v, и двумя первыми фиксированными моментами. Розв’язано задачі знаходження точн...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2016 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2016
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142060 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Точные нижние границы вероятности отказа системы в интервале времени при неполной информации о функции распределения времени до отказа системы / Л.С. Стойкова, С.Н. Красников // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 6. — С. 84-94. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-142060 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Стойкова, Л.С. Красников, С.Н. 2018-09-24T14:33:03Z 2018-09-24T14:33:03Z 2016 Точные нижние границы вероятности отказа системы в интервале времени при неполной информации о функции распределения времени до отказа системы / Л.С. Стойкова, С.Н. Красников // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 6. — С. 84-94. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142060 519.2 Решаются задачи нахождения точных нижних границ вероятности F(v) - F(u), 0 < u < v < ∞, в множестве функций распределения F(x) неотрицательных случайных величин с унимодальной плотностью с модой m, u < m < v, и двумя первыми фиксированными моментами. Розв’язано задачі знаходження точних нижніх границь імовірності F(v) - F(u), 0 < u < v < ∞, в множині функцій розподілу F(x) невід’ємних випадкових величин з унімодальною щільністю з модою m, u < m < v, і двома першими фіксованими моментами. The authors solve problems of finding exact lower bounds for the probabilityFF(v) - F(u), 0 < u < v < ∞, in the set of distribution functions F(x) of nonnegative random variables with unimodal density with mode m, u < m < v, and two first fixed moments. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Точные нижние границы вероятности отказа системы в интервале времени при неполной информации о функции распределения времени до отказа системы Точні нижні границі імовірності відмови системи в інтервалі часу при неповній інформації щодо функції розподілу часу до відмови системи Exact lower bounds of system failure probability on a time interval under incomplete information about the distribution function of time to failure Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Точные нижние границы вероятности отказа системы в интервале времени при неполной информации о функции распределения времени до отказа системы |
| spellingShingle |
Точные нижние границы вероятности отказа системы в интервале времени при неполной информации о функции распределения времени до отказа системы Стойкова, Л.С. Красников, С.Н. Системный анализ |
| title_short |
Точные нижние границы вероятности отказа системы в интервале времени при неполной информации о функции распределения времени до отказа системы |
| title_full |
Точные нижние границы вероятности отказа системы в интервале времени при неполной информации о функции распределения времени до отказа системы |
| title_fullStr |
Точные нижние границы вероятности отказа системы в интервале времени при неполной информации о функции распределения времени до отказа системы |
| title_full_unstemmed |
Точные нижние границы вероятности отказа системы в интервале времени при неполной информации о функции распределения времени до отказа системы |
| title_sort |
точные нижние границы вероятности отказа системы в интервале времени при неполной информации о функции распределения времени до отказа системы |
| author |
Стойкова, Л.С. Красников, С.Н. |
| author_facet |
Стойкова, Л.С. Красников, С.Н. |
| topic |
Системный анализ |
| topic_facet |
Системный анализ |
| publishDate |
2016 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Точні нижні границі імовірності відмови системи в інтервалі часу при неповній інформації щодо функції розподілу часу до відмови системи Exact lower bounds of system failure probability on a time interval under incomplete information about the distribution function of time to failure |
| description |
Решаются задачи нахождения точных нижних границ вероятности F(v) - F(u), 0 < u < v < ∞, в множестве функций распределения F(x) неотрицательных случайных величин с унимодальной плотностью с модой m, u < m < v, и двумя первыми фиксированными моментами.
Розв’язано задачі знаходження точних нижніх границь імовірності F(v) - F(u), 0 < u < v < ∞, в множині функцій розподілу F(x) невід’ємних випадкових величин з унімодальною щільністю з модою m, u < m < v, і двома першими фіксованими моментами.
The authors solve problems of finding exact lower bounds for the probabilityFF(v) - F(u), 0 < u < v < ∞, in the set of distribution functions F(x) of nonnegative random variables with unimodal density with mode m, u < m < v, and two first fixed moments.
|
| issn |
0023-1274 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142060 |
| citation_txt |
Точные нижние границы вероятности отказа системы в интервале времени при неполной информации о функции распределения времени до отказа системы / Л.С. Стойкова, С.Н. Красников // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 6. — С. 84-94. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT stoikovals točnyenižniegranicyveroâtnostiotkazasistemyvintervalevremeniprinepolnoiinformaciiofunkciiraspredeleniâvremenidootkazasistemy AT krasnikovsn točnyenižniegranicyveroâtnostiotkazasistemyvintervalevremeniprinepolnoiinformaciiofunkciiraspredeleniâvremenidootkazasistemy AT stoikovals točnínižnígranicíímovírnostívídmovisistemivíntervalíčasuprinepovníiínformacííŝodofunkcíírozpodílučasudovídmovisistemi AT krasnikovsn točnínižnígranicíímovírnostívídmovisistemivíntervalíčasuprinepovníiínformacííŝodofunkcíírozpodílučasudovídmovisistemi AT stoikovals exactlowerboundsofsystemfailureprobabilityonatimeintervalunderincompleteinformationaboutthedistributionfunctionoftimetofailure AT krasnikovsn exactlowerboundsofsystemfailureprobabilityonatimeintervalunderincompleteinformationaboutthedistributionfunctionoftimetofailure |
| first_indexed |
2025-11-25T22:46:42Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:46:42Z |
| _version_ |
1850573406406180864 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.2
Ë.Ñ. ÑÒÎÉÊÎÂÀ, Ñ.Í. ÊÐÀÑÍÈÊÎÂ
ÒÎ×ÍÛÅ ÍÈÆÍÈÅ ÃÐÀÍÈÖÛ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÈ ÎÒÊÀÇÀ ÑÈÑÒÅÌÛ
 ÈÍÒÅÐÂÀËÅ ÂÐÅÌÅÍÈ ÏÐÈ ÍÅÏÎËÍÎÉ ÈÍÔÎÐÌÀÖÈÈ
Î ÔÓÍÊÖÈÈ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß ÂÐÅÌÅÍÈ ÄÎ ÎÒÊÀÇÀ ÑÈÑÒÅÌÛ
Àííîòàöèÿ. Ðåøàþòñÿ çàäà÷è íàõîæäåíèÿ òî÷íûõ íèæíèõ ãðàíèö âåðîÿò-
íîñòè F F u u( ) ( ),� �� � � � �0 , â ìíîæåñòâå ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ F x( )
íåîòðèöàòåëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ óíèìîäàëüíîé ïëîòíîñòüþ ñ ìîäîé m ,
u m� � � , è äâóìÿ ïåðâûìè ôèêñèðîâàííûìè ìîìåíòàìè.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ýêñòðåìóì ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà, óíèìîäàëüíàÿ ôóíê-
öèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ìîäîé m è äâóìÿ ôèêñèðîâàííûìè ìîìåíòàìè, ðàçáèå-
íèå îáëàñòè ïàðàìåòðîâ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Íàñòîÿùàÿ ñòàòüÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì ðàáîò [1–3]. Â [1] áûëè íàéäåíû
òî÷íûå âåðõíèå ãðàíèöû ôóíêöèîíàëà è ñîáðàíà áèáëèîãðàôèÿ, îòíîñÿùàÿñÿ
ê äàííîé çàäà÷å; âñïîìîãàòåëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñâîäÿò ïîñòàâëåííóþ çàäà-
÷ó ê áîëåå ïðîñòîé.  ðàáîòå [2] íàéäåíû òî÷íûå íèæíèå ãðàíèöû ôóíêöèî-
íàëà ïðè îãðàíè÷åíèè m u� . Áûëî ââåäåíî ïîíÿòèå ãðàíè÷íîé ôóíêöèè ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ, ÷òî îáëåã÷àåò íàõîæäåíèå ðàçáèåíèé îáëàñòè ïàðàìåòðîâ. Âïåð-
âûå áûëè ðàññìîòðåíû ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ G5 â êà÷åñòâå ýêñòðåìàëüíîé è
óñëîâèÿ åå ñóùåñòâîâàíèÿ.
 ðàáîòå [3] ðåøàåòñÿ ýòà æå çàäà÷à äëÿ ñëó÷àÿ �� m , êîòîðûé âïåðâûå âû-
ÿâèë âîçìîæíîñòü ïåðåõîäà èç îäíîé ïîäîáëàñòè ïàðàìåòðîâ â áîëåå ÷åì îäíó
ñîñåäíþþ ïîäîáëàñòü ïàðàìåòðîâ. (Íàõîæäåíèå «ñîñåäíèõ» ôóíêöèé ðàñïðåäå-
ëåíèÿ è «ñîñåäíèõ» îáëàñòåé ïàðàìåòðîâ èçëîæåíî â [4].) Â [3] òàêæå ïîêàçàíî,
÷òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ èíôèìóìà (ñóïðåìóìà) îäíîãî è òîãî æå ôóíêöèîíàëà ìî-
æåì ïîëó÷èòü íåñêîëüêî ðàçáèåíèé âñåé çàäàííîé îáëàñòè ïàðàìåòðîâ. Ýòîò
ãëàâíûé íîâûé ðåçóëüòàò òðåáóåò äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé, â ÷àñòíîñòè
äîêàçàòåëüñòâà, ÷òî âñå âîçìîæíûå ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ îõâà÷åíû
ðàçëè÷íûìè ðàçáèåíèÿìè.
Îáúÿñíèòü ïîÿâëåíèå íåñêîëüêèõ ðàçáèåíèé â îáëàñòè ïàðàìåòðîâ ìîæíî ñëåäó-
þùèì îáðàçîì. Êàê ïîêàçàíî â [4], ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (ô. ð.) G3 ìîæåò ïåðåõî-
äèòü â òàêèå ñîñåäíèå ô. ð.: G2 (åñëè çíàê âûðàæåíèÿ L B( ( ), )� � � �0 0 èçìåíÿåòñÿ
íà ïðîòèâîïîëîæíûé: L B( ( ), )� � � �0 0 ); G4 (åñëè â íåðàâåíñòâå M B( , ( ), )0 0� � �
èçìåíÿåòñÿ çíàê: M B( , ( ), )0 0� � � ); G6 (åñëè çíàê íåðàâåíñòâà M x B( , ( ), )36 0� � �
èçìåíÿåòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûé). Ïîýòîìó â çàâèñèìîñòè îò ÷èñëåííîãî çíà÷åíèÿ
âåêòîðà ïàðàìåòðîâ è îò òîãî, êàêàÿ èç ôóíêöèé: L B M B( ( ), ), ( , ( ), )� � � ��0 0 èëè
M x B( , ( ), )36 � � , ðàíüøå èçìåíèò ñâîé çíàê ïðè èçìåíåíèè ïàðàìåòðà u , ñîâåðøàåò-
ñÿ ïåðåõîä ê ôóíêöèè G G2 4, èëè G6 ñîîòâåòñòâåííî.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå (ñëó÷àé u m� � �) ïîëó÷åíû ðåçóëüòàòû äëÿ äâóõ âàðè-
àíòîâ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ïÿòè ïàðàìåòðîâ çàäà÷è (2), (3). Ïîñêîëüêó äàí-
íàÿ çàäà÷à óñëîæíÿåòñÿ âîçìîæíûìè ðàçëè÷íûìè ðàçáèåíèÿìè, êîòîðûå çàâèñÿò
îò âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ïàðàìåòðîâ, ÷èñòî àíàëèòè÷åñêîå åå ðåøåíèå áûëî
áû äîñòàòî÷íî çàòðóäíèòåëüíûì ââèäó íåîáõîäèìîñòè îòñëåæèâàòü ìíîãî âàðè-
àíòîâ. Îäíàêî áëàãîäàðÿ ÷èñëåííûì ðàñ÷åòàì ñîàâòîðà Ñ. Êðàñíèêîâà ýòî
óäàëîñü ñäåëàòü.
84 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6
© Ë.Ñ. Ñòîéêîâà, Ñ.Í. Êðàñíèêîâ, 2016
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Èñõîäíàÿ çàäà÷à ôîðìóëèðóåòñÿ òàê: íàéòè òî÷íûå íèæíèå ãðàíèöû ôóíêöèîíàëà
I F dF x u
u
( ) ( ),� � � � �� 0 �
�
, (1)
â êëàññå A ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ íåîòðèöàòåëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþ-
ùèõ óíèìîäàëüíóþ ïëîòíîñòü ñ ìîäîé m (u m� � �) è äâà ïåðâûõ ôèêñèðîâàííûõ
ìîìåíòà: � �1 2, . Ýòó èñõîäíóþ çàäà÷ó íàçîâåì çàäà÷åé (1). Çàäà÷à (1) ñâîäèòñÿ ê
ñëåäóþùåé, áîëåå ïðîñòîé çàäà÷å: íàéòè òî÷íûå íèæíèå ãðàíèöû èíòåãðàëà
I F R G g x dG x g x
m u
m x
x u
u x u m( ) ( ) ( ) ( ), ( )
, ,
, (� � �
�
�
� �
� � � �
0
1 � �
�
�
),
, ,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
m
x m
x
0
(2)
à òàêæå íàéòè ñåìåéñòâà ô. ð., íà êîòîðûõ îíè äîñòèãàþòñÿ, â êëàññå K:
K G G G x G x x dG x s i s si
i� � � � � � � � � �: ( ) , ( ) ( ), ( ) , , ;0 0 0 1 2 0
1
2
2 �
�
�
�
�
�
�
��
�
�
0
. (3)
Î ñâÿçè � �1 2, ñ s s1 2, ñì. â [1]. Èíòåãðàë (1) ÿâëÿåòñÿ òàêîé õàðàêòåðèñòè-
êîé íàäåæíîñòè ñèñòåìû, êàê âåðîÿòíîñòü îòêàçà ñèñòåìû â èíòåðâàëå âðåìåíè
( , )u � , åñëè ô.ð. âðåìåíè äî îòêàçà ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ F x A( )� . Ïðèìåðû äðóãèõ
õàðàêòåðèñòèê íàäåæíîñòè, êîòîðûå âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ëèíåéíûå ôóíêöèîíàëû
îò íåèçâåñòíîé ô. ð., ìîæíî íàéòè â ðàáîòàõ [5–10]. Òåîðèÿ ïîëó÷åíèÿ îáîáùåí-
íûõ íåðàâåíñòâ ×åáûøåâà ðàçâèâàëàñü âî ìíîãèõ ïóáëèêàöèÿõ, â òîì ÷èñëå
â [10–17]. Îäíàêî ðàáîòà, ãäå ðåøàëàñü áû îáùàÿ çàäà÷à íàõîæäåíèÿ òî÷íûõ ãðà-
íèö ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ â êëàññå A, àâòîðàì íåèçâåñòíà.
Ðåøåíèå çàäà÷è (2), (3) çàâèñèò îò ïÿòè ïàðàìåòðîâ: u m s s, , , ,� 1 2 . Ðàñ-
ñìîòðèì ñëó÷àé u m� � �. Ïðè ýòîì ðàçáèåíèå îáëàñòè ïàðàìåòðîâ, ïîëó÷åííîå â
çàäà÷å (2), (3), ñîõðàíÿåòñÿ è äëÿ çàäà÷è (1) è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
inf ( ) inf ( )R G I F
G K F A� �
� (ñì. [1]) .
Äàëåå áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ îáîçíà÷åíèÿ, ââåäåííûå â ïðåäûäóùèõ ñòàòüÿõ
àâòîðà:
B x
s s x
s x
( ) �
�
�
2 1
1
, x s� 1 èëè x B� ( )0 ; (4)
L x y g x g y
g y g x
y x
( , ) ( ) ( )
( ( ) ( ))
� � � � �
�
�
2
, 0� �x y ; (5)
M x y z
g y
y x
g y g x
y x
g y
z y
g z g
( , , )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) (
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
y
z y
)
( )� 2
; (6)
N x y z
g x
y x
g y g x
y x
g x
z x
g z
1 2
( , , )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� g x
z x
( )
( )� 2
. (7)
Ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê ôîðìóëèðîâêå è äîêàçàòåëüñòâó îñíîâíûõ òåîðåì 2 è 3,
ïðîàíàëèçèðóåì âîçìîæíûå ýêñòðåìàëüíûå ô. ð. è ïîñòðîèì äâà ðàçáèåíèÿ îáëà-
ñòè ïàðàìåòðîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ äâóì âàðèàíòàì èõ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ.
ÑÅÌÅÉÑÒÂÀ ÝÊÑÒÐÅÌÀËÜÍÛÕ ÔÓÍÊÖÈÉ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß Â ÇÀÄÀ×Å (2), (3)
Âñå ô. ð. (çà èñêëþ÷åíèåì ãðàíè÷íûõ), êîòîðûå áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ äàëåå,
ÿâëÿþòñÿ ñåìåéñòâàìè, òàê êàê çàâèñÿò îò ïàðàìåòðîâ. (Äàëåå äëÿ ñîêðàùåíèÿ
òåêñòà ñëîâî «ñåìåéñòâî» áóäåì îïóñêàòü.)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6 85
Îñîáåííûì äëÿ çàäà÷è (2), (3) (ñëó÷àé u m� � �) ÿâëÿåòñÿ á�ëüøåå ðàçíîîá-
ðàçèå ýêñòðåìàëüíûõ ô. ð., ÷åì â ðàáîòàõ [1]–[3]. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ ñòðóêòóðîé
ôóíêöèè g x( ) (ñì. (2)), êîòîðàÿ ñîñòîèò èç òðåõ êðèâûõ, ñîåäèíåííûõ äâóìÿ
óãëîâûìè òî÷êàìè: x u x� �, � . Òàê, íàïðèìåð, ÷èñëî ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ,
èìåþùèõ äâå òî÷êè ðîñòà x B x L x B x, ( ): ( , ( )) � 0 , ðàâíî òðåì â çàâèñèìîñòè îò èõ
ðàñïîëîæåíèÿ ïî îòíîøåíèþ ê óãëîâûì òî÷êàì. Îáîçíà÷èì G x21 ( ) ô. ð. ñ òî÷êà-
ìè ðîñòà x u21 0�( , ) êàê B x u( ) ( , )21 � � ; G x22 ( ) — ô. ð. ñ òî÷êàìè ðîñòà
x u22 �( , )� êàê B x( ) ( , )22 � �� ; G x23 ( ) — ô. ð. ñ òî÷êàìè ðîñòà x u23 0�( , ) êàê
B x( ) ( , )23 � �� .
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ G5 èìååò òî÷êè ðîñòà 0 5 5, ,y z , êîòîðûå óäîâëåòâî-
ðÿþò ñèñòåìå óðàâíåíèé
L y z u y z
M y z u y z
( , ) , ,
( , , ) , .
� � � �
� � � �
�
0
0 0
�
�
(8)
Èìååì äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ äâóìÿ òî÷êàìè ðîñòà x y B1 10 0� �, ( ):
G x1 ( ) ïðè B u( ) ( , )0 � � è G x1 * ( ) ïðè B ( ) ( . )0 � �� .
Íàêîíåö, ñåìåéñòâî ô. ð. G x7 ( ) èìååò òî÷êè ðîñòà x u7 0�( , ) , y u7 �( , )� ,
z7 � �( , )� , êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå óðàâíåíèé:
L x y
L y z
M x y z
( , ) ,
( , ) ,
( , , ) .
�
�
�
�
�
�
0
0
0
(9)
Ìíîãî÷ëåí, ñîîòâåòñòâóþùèé ô. ð. G7 , èìååò ðàçëè÷íûå ôîðìû ñòàðøèõ êî-
ýôôèöèåíòîâ:
a
g x
y x
g y g x
y x
g x
z x
g
7
7
7 7
7 7
7 7
2
7
7 7
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
z g x
z x
7 7
7 7
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
g y
y x
g y g x
y x
g y
z y
g z( ) ( ) ( )
( )
( ) (7
7 7
7 7
7 7
2
7
7 7
7 ) ( )
( )
�
�
�
g y
z y
7
7 7
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
g z
z x
g z g x
z x
g z
z y
g z( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )7
7 7
7 7
7 7
2
7
7 7
7 �
�
g y
z y
( )
( )
7
7 7
2
. (10)
Èç (10) ñëåäóåò, ÷òî òî÷êè x y z7 7 7, , óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì (9) è óðàâ-
íåíèþ N x y z1 0( , , ) � (ñì. (7)).
Çàìå÷àíèå 1. Ïóñòü ô. ð. G x( ) èìååò òî÷êè ðîñòà x x x1 2 3, . Èñõîäÿ èç ìî-
ìåíòíûõ óñëîâèé èì ñîîòâåòñòâóþò ñëåäóþùèå âåðîÿòíîñòè (ñêà÷êè):
p
x B x x s
x x x x
1
2 3 3 1
2 1 3 1
�
� �
� �
( ( )( )
( )( )
; p
x B x s x
x x x x
2
3 1 1 1
2 1 3 2
�
� �
� �
( ( ))( )
( )( )
;
p
B x x x s
x x x x
3
3 1 3 1
2 1 3 2
�
� �
� �
( ( ) )( )
( )( )
. (11)
Åñëè âåðîÿòíîñòü â êàêîé-ëèáî òî÷êå ðàâíà íóëþ, òî äâå äðóãèå òî÷êè âçà-
èìîñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè
p x B x1 2 30� � � ( ) ; p x B x2 3 10� � � ( ) ; p x B x3 2 10� � � ( ). (12)
Åñëè âñå pi � 0 , òî � � � � � � � �i p x B x x B x xi 0 0 1 3 2 1 3( ) ( ) .
86 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6
ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÏÅÐÂÎÃÎ ÐÀÇÁÈÅÍÈß ÎÁËÀÑÒÈ ÏÀÐÀÌÅÒÐÎÂ (ÂÀÐÈÀÍÒ 1)
Ïîäîáëàñòü ðàçáèåíèÿ îáîçíà÷èì òàê æå, êàê è ô. ð., ýêñòðåìàëüíóþ â ýòîé
ïîäîáëàñòè. Ïîñòðîèì ðàçáèåíèå îáëàñòè ïàðàìåòðîâ äëÿ ñëó÷àÿ B m( )0 � ,
0� �u m , êîòîðîå áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü òàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îáëàñòåé:
G G G G G G22 5 1 21 7 23� � � � � .
Ãðàíè÷íóþ ô. ð. ïðè ïåðåõîäå G G22 5� îáîçíà÷èì (äëÿ ñîêðàùåíèÿ íèæíèõ
èíäåêñîâ) êàê G25 . Åå òî÷êè ðîñòà ñîîòâåòñòâóþò x25 0� ; y x y25 22 5� � ;
z B x z25 22 5� �( ) , ïðè÷åì ñêà÷îê â òî÷êå x25 ðàâåí íóëþ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
y B z25 25� ( ) è ãðàíè÷íàÿ ô. ð. G25 èìååò òî÷êè ðîñòà 0 25 25, ( ),B z z , à ãðàíè÷íàÿ
òî÷êà u u� 1 ìåæäó îáëàñòÿìè G G22 5� íàõîäèòñÿ èç óðàâíåíèÿ
M B z z( , ( ), )0 025 25 � , êîòîðîå ñëåäóåò èõ ðàâåíñòâà ñòàðøèõ êîýôôèöèåíòîâ ãðà-
íè÷íîãî ìíîãî÷ëåíà U 25 . Ïîñêîëüêó [ ( , ( ), )]M B z z u0 25 25 � � � �
1
0
25
2mx
è
[ ( , ( ), )]M B z z u u0 025 25 1� � , òî â îáëàñòè G u u22 10( )� � èìååì M x( , ,0 22
B x( ))22 0� , à â îáëàñòè G u u u5 1 2( )� � èìååì M x B x( , , ( ))0 022 22 � .
Ðàññìîòðèì ïåðåõîä G G5 1� . Ãðàíè÷íàÿ ô. ð. G51 èìååò òî÷êè ðîñòà
x x x y y y B z z51 5 1 51 5 1 51 00 0� � � � � � �, ( ), , ïðè÷åì ñêà÷îê â òî÷êå z0 ðàâåí
íóëþ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî y B x1 1� ( ) (ñì. (12)). Ãðàíè÷íîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà u u� 2
ìåæäó ïîäîáëàñòÿìè G G5 1� è çíà÷åíèå z0 íàõîäÿòñÿ èç óðàâíåíèé L B z( ( ), )0 0� ,
M B z(0, (0), ) � 0 . Ýòî ñëåäóåò èç ñâîéñòâ ãðàíè÷íîãî ìíîãî÷ëåíà U 51.
Åñëè ðàñïèñàòü ýòó ñèñòåìó ñ ó÷åòîì (4)–(6), à òàêæå ÷òî âñå ïàðàìåòðû,
êðîìå ïàðàìåòðà u , ôèêñèðîâàíû, ïîëó÷èì ñèñòåìó äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ íå-
èçâåñòíûìè z è u; z z� 0 , u u� 2 . Ôóíêöèÿ M B z( , ( ), )0 0 0 � � �
u
mB ( )0 2
�
�
� �
z
z m z B
0
0 0
20
�
( )( ( ))
óáûâàåò ñ ðîñòîì ïàðàìåòðà u. Êðîìå òîãî, M B z( , ( ), )0 0 0 �
� �
�
��
�1 0
0
2 0
0
0 0 0
2
( )
( ( ))
; [ ( , ( ), ]
z
z B
M B z u u . Ïîýòîìó â ïîäîáëàñòè G5 èìååì
M B z( , ( ), )0 0 00 � , à â ïîäîáëàñòè G1 èìååì M B z( , ( ), )0 0 00 � .
Äàëåå ðàññìîòðèì ïåðåõîä G G1 21� . Ãðàíè÷íîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà u u� 3
ïðè ýòîì ïåðåõîäå íàõîäèòñÿ èç óðàâíåíèÿ L B( , ( ))0 0 0� , à ãðàíè÷íàÿ ô. ð. G12
èìååò òî÷êè ðîñòà x x12 21 0� � ; y y B12 21 0� � ( ). Ñîîòâåòñòâóþùèé ôóíêöèè ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ G12 ãðàíè÷íûé ìíîãî÷ëåíU 12 êàñàåòñÿ ôóíêöèè g x( ) â òî÷êàõ 0 è B ( )0 .
Òàê êàê [ ( , ( ))]L B u0 0 0� � , òî â îáëàñòè G1 èìååì L B( , ( ))0 0 0� , à â îáëàñòè G21
è ïðè âñåõ u u� 3 áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî L B( , ( ))0 0 0� .
Ñ ðîñòîì ïàðàìåòðà u îò u3 äî u4 âîçðàñòàþò è òî÷êè ðîñòà ô. ð. G21 , è ïðè
u u� 4 âîçíèêàåò ãðàíè÷íàÿ ô. ð. G27 ñ òî÷êàìè ðîñòà x x x27 21 7� � ;
y y B x27 7 27� � ( ); z z27 7� , ïðè÷åì ñêà÷îê â òî÷êå z27 ïðè u u� 4 ðàâåí íóëþ
(ïîýòîìó y B x27 27� ( )). Ïðè u u� 4 èìååì p z( )7 0� . Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà u u� 4 ,
òî÷åê x27 è z27 íàõîäÿòñÿ èç óðàâíåíèé L x B x( , ( )) � 0, L B x z( ( ), ) � 0,
M x B x z( , ( ), ) � 0. Ôóíêöèÿ M x B x z( , ( ), )27 27 27 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàçíîñòü
ñòàðøèõ êîýôôèöèåíòîâ ãðàíè÷íîãî ìíîãî÷ëåíà U 27 , êîòîðûå ðàâíû ìåæäó ñî-
áîé ïðè u u� 4 , ïîýòîìó [ ( , ( ), )]M x B x z u u27 27 27 4
0� � . Êðîìå òîãî, â îáëàñòè G21
èìååì M x B x z
z
x z
( , ( ), )
( )
( )
21 21 27
21 27
21 27
2
� �
�
�
è [ ( , ( ), )]M x B x z u21 21 27 0� � . Ïîýòîìó
â îáëàñòè G21 èìååì M x B x z z( , ( ), ) ( )21 21 27 21 270 0� � �� è â îáëàñòè G7 èìå-
åì M x B x z( , ( ), )7 7 27 0� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6 87
Ðàññìîòðèì ïîñëåäíèé ïåðåõîä: G G7 23� . Ãðàíè÷íóþ ô. ð. ìåæäó G7 è G23
îáîçíà÷èì (äëÿ ñîêðàùåíèÿ èíäåêñîâ) G72 . Îíà âîçíèêàåò ïðè u u� 5 è èìååò
òî÷êè ðîñòà x x x72 7 23� � ; y y y72 7 0� � ; z z B x72 7 72� � ( ). Äëÿ òàêîãî ïåðåõî-
äà öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü ôóíêöèþ N x y z1 ( , , ) (ñì. (7)). Ãðàíè÷íûå çíà÷å-
íèÿ u u� 5 ; x72 ; y0 óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå óðàâíåíèé L x y( , )72 0 0� ,
L y B x( , ( )) ,0 72 0� N x y B x1 72 0 72 0( , , ( )) � . Ôóíêöèÿ N1 èìååò âèä
N x y B x
m u
m x y x
u x
m x y x
1 0 2
0 0
2
( , , ( ))
( ) ( ) ( )( )
� �
�
� �
�
�
� �
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
�
m u
m x B x x
m
B x m
m u
m x B x( ) ( ( ) ) ( ) ( ( )2
1�
x)2
.
Äëÿ íåå ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå:
[ ]N u1 � �
�
� �
�
� �
�
� �
�
�
1 1 1 1
2
0 0
2 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ( ) ) (m x y x m x y x m x B x x m x)( ( ) )B x x�
�
2
0;
N x y B x1 7 0 7 0( , , ( )) � ïðè u u� 5 . Îòñþäà ñëåäóþò íåðàâåíñòâà
N x y B x1 7 0 7 0( , , ( ))� â îáëàñòè G7 è N x y B x1 23 0 23 0( , , ( )) � â îáëàñòè G23 ïðè
u u m5 � � . Äëÿ íàãëÿäíîñòè îòîáðàçèì ýòî ðàçáèåíèå â òàáë. 1.
Äîêàçàòåëüñòâî ýêñòðåìàëüíîñòè ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ â ðàçáèåíèè
G G G G G G22 5 1 21 7 23� � � � � (âàðèàíò 1). Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ëèíåéíîãî ôóíêöè-
îíàëà R G g x dG x G K( ) ( ) ( ),� �
�
�
0
(g x( ) — îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ, äâàæäû äèôôå-
ðåíöèðóåìàÿ â íåêîòîðûõ òî÷êàõ) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî inf ( ) inf ( )
[ ]G K G E
R G R G
� �
� ,
ãäå [ ]E — çàìûêàíèå ìíîæåñòâà E êðàéíèõ ðàñïðåäåëåíèé âûïóêëîãî ìíîæåñò-
88 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6
Ò à á ë è ö à 1
Îáëàñòü ïàðàìåòðîâ
Ðàçáèåíèå îáëàñòè ïàðàìåòðîâ äëÿ âàðèàíòà 1
Ýêñòðåìàëüíûå ôóíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ
Òî÷êè ðîñòà ýêñòðåìàëüíûõ
ô. ð.
M x B x( , , ( ))0 022 22 � ,
0 1� �u u
G22 x u B x22 22� �( , ), ( )� �
M B z z( , ( ), )0 05 5 � ,
M B z( , ( ), )0 0 00 � , u u u1 2� �
G5 0, y u z5 5� �( , ),� �
M B z( , ( ), )0 0 00 � ,
L B( , ( ))0 0 0� , u u u2 3� �
G1 0, B u( ) ( , )0 � �
L B( , ( ))0 0 0� ,
M x B x z( , ( ), )21 21 27 0� ,
u u u3 4� �
G21 x u21 0� ( , ) ; B x u( ) ( , )21 � �
M x B x z( , ( ), )7 7 27 0� ,
N x y B x1 7 0 7 0( , , ( )� ,
u u u4 5� �
G7 x u7 0� ( , ) ; y u z7 7� �( , ),� �
N x y B x1 23 0 23 0( , , ( )) � ,
u u m5 � �
G23 x u23 0� ( , ) ; B x( )23 � �
âà K. Îíî ñîäåðæèò îäíî-, äâóõ- èëè òðåõñòóïåí÷àòûå ô. ð. Êàæäîé òàêîé ô. ð.
G xi ( ) ñîîòâåòñòâóåò ìíîãî÷ëåí U xi ( ) ñòåïåíè íå âûøå âòîðîé, êîòîðûé ñîâïàäà-
åò ñ ôóíêöèåé g x( ) â òî÷êàõ ðîñòà ô. ð. G xi ( ) è êàñàåòñÿ g x( ) â íåêîòîðûõ èç íèõ.
Îáîçíà÷èì � i ix g x U x( ) ( ) ( )� � .
 ðàáîòå [11] äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 1 [11]. Äëÿ òîãî ÷òîáû èíôèìóì ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà
R G G E( ), � , äîñòèãàëñÿ íà íåêîòîðîé ô. ð. G Ei � , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî,
÷òîáû � x xi0 0: ( )� .
Òåîðåìà 1 áóäåò èñïîëüçîâàíà ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåì 2, 3.
Òåîðåìà 2 (âàðèàíò 1: B m u m( ) ,0 0� � � ).
—  îáëàñòè, îïðåäåëÿåìîé íåðàâåíñòâîì M x B x( , , ( ))0 022 22 � , òî÷íàÿ
íèæíÿÿ ãðàíü ôóíêöèîíàëà R G G K( ), � , äîñòèãàåòñÿ íà ô. ð. G x22 ( ) ñ òî÷êàìè
ðîñòà x B x L x B x22 22 22 22 0, ( ), ( , ( )) � .
— Â îáëàñòè ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿåìîé íåðàâåíñòâàìè M x B x( , , ( ))0 022 22 � ,
M B z( , ( ), )0 0 00 � , èíôèìóì ôóíêöèîíàëà R G G K( ), � , äîñòèãàåòñÿ íà ô. ð. G x5 ( )
ñ òî÷êàìè ðîñòà x y z5 5 50� , , , óäîâëåòâîðÿþùèõ ñèñòåìå (8).
— Â îáëàñòè, îïðåäåëÿåìîé íåðàâåíñòâàìè M B z L B( , ( ), ) , ( , ( ))0 0 0 0 0 00 � � ,
òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü ôóíêöèîíàëà R G G K( ), � , äîñòèãàåòñÿ íà ô. ð. G x1 ( ) ñ òî÷-
êàìè ðîñòà 0 0 0, ( ), ( ) ( , )B B u� � .
— Â îáëàñòè ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿåìîé íåðàâåíñòâàìè L B( , ( )) ,0 0 0�
M x B x z( , ( ), )21 21 27 0� , òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü ôóíêöèîíàëà R G G K( ), � , äîñòèãà-
åòñÿ íà ô. ð. G x21 ( ) ñ òî÷êàìè ðîñòà x u B x u21 210� �( , ); ( ) ( , )� .
— Â îáëàñòè ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿåìîé íåðàâåíñòâàìè M x B x z( , ( ), )7 7 27 0� ,
N x y B x1 7 0 7 0( , , ( ))� , òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü ôóíêöèîíàëà R G( ) , G K� , äîñòèãàåòñÿ
íà ô. ð. G x7 ( ) ñ òî÷êàìè ðîñòà x u y u z7 7 70� � � �( , ); ( , ); ( . )� � , óäîâëåòâîðÿþùè-
ìè ñèñòåìå (9).
— Â îáëàñòè ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿåìîé íåðàâåíñòâîì N x y B x1 23 0 23 0( , , ( )) � ,
òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü ôóíêöèîíàëà R G G K( ), � , äîñòèãàåòñÿ íà ô. ð. G x23 ( ) ñ òî÷êà-
ìè ðîñòà x u B x23 230� �( , ); ( ) � .
Çàìå÷àíèå 2. Åñëè òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü ôóíêöèîíàëà R G( ) äîñòèãàåòñÿ íà
äâóõòî÷å÷íîé ô. ð., òî inf ( ) inf ( ) ( )
G K F A i
i iR G I F g x p
� � �
� � �
1
2
, ãäå x1 è x2 — òî÷êè
ðîñòà ñîîòâåòñòâóþùåé ýêñòðåìàëüíîé ô. ð.; p
x s
x x
1
2 1
2 1
�
�
�
; p
s x
x x
2
1 1
2 1
�
�
�
.
Åñëè ýêñòðåìàëüíîé ÿâëÿåòñÿ òðåõòî÷å÷íàÿ ô. ð. ñ òî÷êàìè ðîñòà x x x1 2 3, , , òî
inf ( ) inf ( ) ( )
G K F A i
i iR G I F g x p
� � �
� � �
1
3
, ãäå p ii , � �1 3 , îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì (11).
Äîêàçàòåëüñòâî ýêñòðåìàëüíîñòè ô. ð. G G G22 5 1, , . Ðàññìîòðèì ô. ð. G x22 ( ) .
Òî÷êà ðîñòà x22 íàõîäèòñÿ èç óðàâíåíèÿ L x B x( , ( ))22 22 0� �
��
�
�
m
B x m( )22
�
�
�
2 22
22 22
( ( ))
( )
B x
B x x
�
. Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ñóùåñòâóåò, ïîñêîëüêó âûïîëíÿþòñÿ
íåðàâåíñòâà L B L B n n n( ( ), ) , ( ( ), ) ( )� �� � � ��0 0 0 . Èç óðàâíåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî
x22 è B x( )22 íå çàâèñÿò îò ïàðàìåòðà u è îñòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè (ïðè
ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ îñòàëüíûõ ïàðàìåòðîâ) íà âñåì èíòåðâàëå u u� ( , )0 1 .
Íå çàâèñÿò îò u òàêæå ìíîãî÷ëåíU x22 ( ) è åãî ñòàðøèé êîýôôèöèåíò a22 . Îáîçíà÷èì
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6 89
�22 22( ) ( ) ( )x g x U x� � . Òîãäà � � � ���� ( ) ( )0 0g 2 22 22a x �
m u
m
a x
�
�
2 22 222 , îòêóäà
ñëåäóåò, ÷òî ���� ( )0 óáûâàåò ñ ðîñòîì ïàðàìåòðà u . Îáîçíà÷èì u1 ãðàíè÷íóþ òî÷êó
èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà u ïðè ïåðåõîäå G G22 5� . Îíà íàõîäèòñÿ èç óðàâíåíèÿ
M x B x( , , ( ))0 022 22 � . Çíà÷åíèþ u u� 1 ñîîòâåòñòâóåò ãðàíè÷íàÿ ô. ð. G25 ñ òî÷êàìè
ðîñòà x25 0� (ñ âåðîÿòíîñòüþ íîëü); y x y25 22 5� � ; z B x z25 22 5� �( ) . Ïðè u u� 1
ñîâïàäàþò ìíîãî÷ëåíûU x U x22 5( ) ( )� è � �22 5( ) ( )x x� , â ÷àñòíîñòè �22 0( ) ��5 0( ) ,
� � �� ��� �( ) ( )0 0 .  èíòåðâàëå u u u1 2� � ôóíêöèÿ � �
� �
�� ( )
( )
0
25 5
2
5
my u y m
m y
óáûâàåò
ñ ðîñòîì u äî ��1 0( ) , è ïðè u u� 2 èìååì � � � �� �� ( ) ( )0 01
mB u B m
m B
( ) ( ( ) )
( )
0 0 2
02
� �
;
��1 0( ) ñ ðîñòîì â èíòåðâàëå ( , )u u2 3 óáûâàåò äî íóëÿ ïðè u u� 3 , à ïðè � �u u3 :
L B( , ( ))0 0 0� , òàê êàê ( ( , ( )))L B u0 0 0� � .Òàêèì îáðàçîì, � �1 0 0( ) ïðè u u 2 , à çíà÷èò,
è � ��5 0 0( ) ïðè u u u1 2� � ; ñëåäîâàòåëüíî, � ��22 0 0( ) â èíòåðâàëå 0 1� �u u .
Èòàê, äëÿ x u u u� �[ , ], [ , ]0 0 1 èìååì �� ��22 0( )x , �22 0 0( ) � , � ��22 0 0( ) . Èç ýòî-
ãî ñëåäóåò, ÷òî �22 0( )x äëÿ óêàçàííûõ çíà÷åíèé x è u .
Àíàëîãè÷íî äëÿ ô. ð. G x5 ( ) èìååì �5 0 0( ) � , � ��5 0 0( ) , �� ��5 0( )x , ïðè ýòîì
x u u u u� �( , ), [ , ]0 1 2 . Îòñþäà �5 0( )x � �x u( , )0 .
Àíàëîãè÷íî äëÿ ô. ð. G x1 ( ) ïðè x u u u u� �( , ), [ , ]0 2 3 ñïðàâåäëèâî { ( )�1 0 0� ,
� ��1 0 0( ) , �� � � � �1 10 0( ) } ( )x x � �x u( , )0 .
Äîêàçàòåëüñòâà íåðàâåíñòâ �22 0( )x � � � �x u( , ) ( . )� � ; �5 0( )x
� � � �x u( , ) ( , )� � è �1 0( )x � �x u( , )� — òðèâèàëüíû.
Äëÿ ïîëíîãî äîêàçàòåëüñòâà ýêñòðåìàëüíîñòè ô. ð. G x1 ( ) îñòàåòñÿ äîêàçàòü,
÷òî �1 0( )x ïðè � �x � , u u u�[ , ]2 3 . Ñîãëàñíî óñëîâèþ òåîðåìû â ýòîé îáëàñòè
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî M B z( , ( ), )0 0 00 � . Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
M B z
z
z B
( , ( ), )
( )
( ( ))
0 0
0
0
1 0
0
2
� �
�
�
. Ïîýòîìó �1 0 0( )z � ïðè u u u�( , )2 3 . Ïðè u u� 2
ãðàíè÷íàÿ ô. ð. èìååò òî÷êè ðîñòà x y B z z p z51 51 51 0 00 0 0� � � �, ( ), , ( ) ; êðîìå
òîãî, � � �51 1 5( ) ( ) ( )x x x� � è � ���51 0 00( ) ( )z z� � � . Èñõîäÿ èç âûðàæåíèé
�� ��1 0( )x � �x � , �1 0 0( )z � ïðè u u u�( , )2 3 è � �1 0 1 00( ) ( )z z� � � ïðè u u� 2 , ñëå-
äóåò, ÷òî ôóíêöèÿ �1 ( )x èìååò ìèíèìóì â òî÷êå z z� 0 . Òàêèì îáðàçîì,
�1 0( )x ïðè � �x �, u u u�( , )2 3 .
Äîêàçàòåëüñòâî ýêñòðåìàëüíîñòè ô. ð. G 21 . Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ G21 ñó-
ùåñòâóåò ïðè u u u�[ , ]3 4 , òàê êàê â ýòîì èíòåðâàëå âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà
L B( , ( ))0 0 0� è L u B u( , ( ))� �0 0, åñëè B u u( ) ( , )� � , èëè íåðàâåíñòâî
L B n n( ( ), ) � 0 , åñëè s u1 � . Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî �21 0( )x � �x � . Äëÿ x � �
ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà � �21 0 0( )� � , � � ��21 0( ) , �� ��21 0( )x . À ïðè u u� 4 èìå-
åì � �21 27 21 270( ) ( )z z� � � , ò.å. ôóíêöèÿ �21 ( )x âûïóêëà âíèç, èìååò â òî÷êå z27
ìèíèìóì, ðàâíûé íóëþ ïðè u u� 4 . Ñëåäîâàòåëüíî, �21 0( )x � �x � ,
u u u�[ , ]3 4 .
Äîêàçàòåëüñòâî ýêñòðåìàëüíîñòè ô. ð. G 7 . Â ïîäîáëàñòè G7 âûïîëíÿþòñÿ
ñëåäóþùèå óñëîâèÿ. Ïðè u u M x B x z� �4 27 27 0 0: ( , ( ), ) ; ïðè u u u4 5� � :
M x B x z( , ( ), )7 7 0 0� , N x y B x1 7 0 7 0( , , ( ))� ; ïðè u u N x y B x� �5 1 72 0 72 0: ( , , ( ))
(îïðåäåëåíèå N x y z1 ( , , ) ñì. (7)). Äîêàçàòåëüñòâî ýêñòðåìàëüíîñòè ñåìåéñòâà
ô. ð. G7 òðèâèàëüíî.
Äîêàçàòåëüñòâî ýêñòðåìàëüíîñòè ñåìåéñòâà ô. ð. G 23 . Ïðè u u� 5
(ñì. òàáë. 1) ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî N x y B x1 23 0 23 0( , ( )) � . Ôóíêöèÿ N1 èìååò
90 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6
ñâÿçü ñ �23 23( ) ( ) ( )x g x U x� � : N x y B x1 23 0 23( , ( )) =
�23 0
0 23
2
( )
( )
y
y x�
. Èç íåðàâåíñòâà
äëÿ N1 ñëåäóåò �23 0 0( )y � â îáëàñòè G23 . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýêñòðåìàëüíîñòè
ô. ð. G23 äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî � �23 0( ) , ( , )x x u � . Äëÿ ýòîãî èíòåðâàëà
èìååò ìåñòî �� � � ��23 232 0( )x a . Ïðè u u� 5 : �23 0 0( )y � , � ��23 0 0( )y , ò.å. â èí-
òåðâàëàõ ( , ), ( , )u u m� 5 ôóíêöèÿ �23 ( )x èìååò ìèíèìóì â òî÷êå y0 , ðàâíûé íóëþ.
Ïîýòîìó � �23 0( ) , ( , )x x u � , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Äëÿ íàãëÿäíîñòè è ïðîâåðî÷íûõ âû÷èñëåíèé ïðèâîäèì ÷èñëåííûé ïðèìåð
(òàáë. 2). Èíôèìóì â çàäà÷àõ (1) è (2), (3) íàéäåí äëÿ ñëó÷àÿ u m� � � (âàðèàíò 1
( ( ) ))B m0 � . Èñõîäíûå äàííûå: s1 5 2� , ; s2 301� , ; B ( ) ,0 5 788� ; m � 6; � �10;
B ( ) ,� � 4 56.
ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÂÒÎÐÎÃÎ ÐÀÇÁÈÅÍÈß ÎÁËÀÑÒÈ ÏÀÐÀÌÅÒÐÎÂ (ÂÀÐÈÀÍÒ 2)
Âòîðîå ðàçáèåíèå îòíîñèòñÿ ê ñëåäóþùåìó âçàèìîðàñïîëîæåíèþ ïàðàìåòðîâ:
u m s B� � � �1 0( ) � (âàðèàíò 2). Ýòîìó âàðèàíòó ñîîòâåòñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäî-
âàòåëüíîñòü îáëàñòåé ïàðàìåòðîâ: G G G G22 5 7 23� � � . Ïåðåõîä G G22 5� èçëî-
æåí â âàðèàíòå 1. Ðàññìîòðèì ïåðåõîä G G5 7� . Â îáëàñòè G5 íåîáõîäèìûì
óñëîâèåì åå ýêñòðåìàëüíîñòè åñòü íåðàâåíñòâî L y( , ) ( )0 0 0 05 5� � � �� . Êàê
èçâåñòíî [4], ôóíêöèÿ L y( , )0 5 ÿâëÿåòñÿ ïåðåõîäíîé îò ô. ð. G5 ê ô. ð. G7 .
Äåéñòâèòåëüíî, L y g g y
g y g
y
m u
m
u
my
( , ) ( ) ( )
( ( ) ( ))
0 0
2 0 2
5 5
5
5
2 2 2
� � � � �
�
�
�
� , � �Lu 0.
Ãðàíè÷íàÿ ô.ð. G57 (ìåæäó G5 è G7) èìååò òî÷êè ðîñòà: x x x57 5 70� � � ;
y B z z z z57 57 57 5 7� � �( ); , à ñîîòâåòñòâóþùèé ãðàíè÷íûé ìíîãî÷ëåí U 57 êà-
ñàåòñÿ ôóíêöèè g x( ) âî âñåõ òðåõ òî÷êàõ. Ãðàíè÷íîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà
u u� 2 è çíà÷åíèå B z( )57 íàõîäÿòñÿ èç óðàâíåíèé M B z z( , ( ), )0 057 57 � ,
L B z( , ( ))0 057 � . Â îáëàñòè G5 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî L y( , )0 05 � , à â îáëàñ-
òè G7 — íåðàâåíñòâî L y( , )0 07 � . Íàêîíåö, ðàññìîòðèì ïåðåõîä G G7 23� . Ãðà-
íè÷íàÿ ô. ð. G72 (ìåæäó G7 è G23) èìååò òî÷êè ðîñòà: x x x72 23 7� � ;
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6 91
Ò à á ë è ö à 2
Çíà÷åíèå
ïàðàìåòðà u
Íàõîæäåíèå èíôèìóìà (âàðèàíò 1)
Òî÷êè ðîñòà ýêñòðåìóìà ô. ð. Èíôèìóì Ñóïðåìóì
u� ( , ; , )0 1 0 87 x22 4 76 4 78� , ; , ; B x( ) ,22 12 38� 0,979 1
u� ( , ; , )0 88 1 74
u � 1 74,
x y z5 5 50 4 78 12 39� � �; , ; ,
x y z5 5 50 5 78 12 07� � �; , ; ,
0,979
0,97
1
1
u2 1 75� , , z0 12�
u� ( , ; , )1 75 1 95
x y B1 10 0 5 78 5 79� � ; ( ) , ; , 0,967 1
u3 1 96� ,
u� ( , ; , )1 96 5 21
u � 5 21,
x y21 210 016 5 78 5 8� �, ; , ; ,
x y21 214 26 8 44 8 45� , ; , ; ,
0,967
0,966
1
1
u z4 275 22 11 02� �, ; ,
u � 5 4,
u � 5 46,
x y z7 7 274 27 8 47 11 02� � �, ; , ; ,
x7 4 56� , ; y7 8 625� , ; z7 10 94� ,
x y z7 7 74 65 8 67 10 91� � �, ; , ; ,
0,572
0,478
0,439
0,964
0,945
0,938
u y5 05 47 8 68� �, ; ,
u � 5 5,
u � 5 67,
u � 5 8,
u � 5 9,
x y23 234 67 4 68 10 92� �, ; , ; ,
x y23 234 67 4 68 11 055� �, ; , ; ,
x y23 234 75 4 68 12� �, ; ; , ;
x y23 234 81 4 84 13 75� �, ; , ; ,
x y23 234 92 4 93 16 44� �, ; , ; ,
0,433
0,412
0,289
0,186
0,1
0,937
0,934
0.915
0,898
0,86
y y y z B x z72 7 0 72 23 7� � � �; ( ) , à ñîîòâåòñòâóþùèé ãðàíè÷íûé ìíîãî÷ëåí
U 72 êàñàåòñÿ ôóíêöèè g x( ) âî âñåõ òðåõ òî÷êàõ. Ãðàíè÷íîå çíà÷åíèå ïàðàìåò-
ðà u u� 3 è çíà÷åíèÿ y0 , x72 íàõîäÿòñÿ èç óðàâíåíèé M x y B x( , , ( ))72 0 72 0� ,
L x y L y B x( , ) , ( , ( ))72 0 0 720 0� � . Â îáëàñòè G7 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
M x y B x( , , ( ))7 0 7 0� , à â îáëàñòè G23 — íåðàâåíñòâî M x y B x( , , ( ))23 0 23 0� .
Ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà M x y B x u( , , ( ))72 0 72 0� � . Äëÿ íàãëÿä-
íîñòè îòîáðàçèì ýòî ðàçáèåíèå â òàáë. 3.
Òåîðåìà 3 (âàðèàíò 2: 0 01� � � � �u m s B( ) �).
—  îáëàñòè, îïðåäåëÿåìîé íåðàâåíñòâîì M x B x( , , ( ))0 022 22 � , òî÷íàÿ
íèæíÿÿ ãðàíü ôóíêöèîíàëà R G G K( ), � , äîñòèãàåòñÿ íà ô. ð. G x22 ( ) ñ òî÷êàìè
ðîñòà x B x L x B x22 22 22 22 0, ( ), ( , ( )) � .
— Â îáëàñòè ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿåìîé íåðàâåíñòâàìè M y B y( , , ( ))0 05 5 � ;
L y( , )0 05 � , èíôèìóì ôóíêöèîíàëà R G G K( ), � , äîñòèãàåòñÿ íà ô. ð. G x5 ) ñ òî÷-
êàìè ðîñòà x y z5 5 50� , , , óäîâëåòâîðÿþùèõ ñèñòåìå (8).
— Â îáëàñòè ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿåìîé íåðàâåíñòâàìè L y( , ) ,0 07 �
M x y B x( , , ( ))7 0 7 0� , òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü ôóíêöèîíàëà R G G K( ), � , äîñòèãàåòñÿ íà
ô. ð. G7 ñ òî÷êàìè ðîñòà x u y u z7 7 70� � �( , ); ( , );� �, óäîâëåòâîðÿþùèõ ñèñòåìå (9).
— Â îáëàñòè ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿåìîé íåðàâåíñòâîì M x y B x( , , ( ))7 0 7 0� ,
òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü ôóíêöèîíàëà R G G K( ), � , äîñòèãàåòñÿ íà ô. ð. G x23 ( )
ñ òî÷êàìè ðîñòà x u B x23 230� �( , ); ( ) � .
Äîêàçàòåëüñòâî ýêñòðåìàëüíîñòè ô. ð. G G22 5, àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó
ýêñòðåìàëüíîñòè ýòèõ ô. ð. â âàðèàíòå 1.
Ðàññìîòðèì ïåðåõîä G G5 7� . Â ïîäîáëàñòè G7 âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà,
èçëîæåííûå â òàáë. 3. Îíè îáåñïå÷èâàþò ñóùåñòâîâàíèå ô. ð. G7 . Ïðè
u u L y� �2 570 0: ( , ) ; ïðè u u M x y B x� �3 72 72 72 0: ( , , ( )) . Äîêàçàòåëüñòâî ýêñ-
òðåìàëüíîñòè ñåìåéñòâà ô. ð. G7 òðèâèàëüíî. Äîêàçàòåëüñòâî ýêñòðåìàëüíîñòè
ñåìåéñòâà ô. ð. G23 äîñòàòî÷íî âûïîëíèòü äëÿ èíòåðâàëà x u u u m� �( , ); [ , )� 3 .
Äîêàæåì, ÷òî �23 0( )x � �x u( , )� . Âû÷èñëèì �23 72 72 23 72( ) ( ) ( )y g y U y� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�g y g x
y x
g x
y x
a
( ) ( )
( )
( )72 23
72 23
2
23
72 23
23 �
�( )y x72 23
2 .
Èç íåïîñðåäñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñëåäóåò [ ( )]�23 72 0y u� � , ò.å. �23 72( )y
ðàñòåò ñ ðîñòîì u îò íóëÿ ïðè u u� 3 . Ñëåäîâàòåëüíî, �23 72( )y ïîëîæèòåëüíà â îá-
ëàñòè G23 . Èç âûðàæåíèé
�� � �
� � � �
� �
� �
23
23 72 23 72 3
0
0 0
( ) , ( , );
( ) , ( ) ,
x x u
y y u uåñëè ,
�
ñëåäóåò �23 0( )x � �x u( , )� , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
92 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6
Ò à á ë è ö à 3
Îáëàñòü ïàðàìåòðîâ
Ðàçáèåíèå îáëàñòè ïàðàìåòðîâ äëÿ âàðèàíòà 2
Ýêñòðåìàëüíûå
ôóíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ
Òî÷êè ðîñòà
ýêñòðåìàëüíûõ ô. ð.
M x B x( , , ( ))0 022 22 � , 0 1� �u u G22 x u B x22 22� �( , ), ( )� �
M B z z( , ( ), )0 05 5 � , L y( , )0 05 � ,
u u u1 2� �
G5 0, y u z5 5� �( , ),� �
M x y B x( , , ( ) )7 0 7 0� , L y( , )0 07 � ,
u u u2 3� �
G7 x u7 0� ( , ) ; y u z7 7� �( , ),� �
M x y B x( , , ( ))23 0 23 0� , u u m3 � � G23 x u23 0� ( , ) ; B x( )23 � �
Äëÿ íàãëÿäíîñòè è ïðîâåðî÷íûõ âû÷èñëåíèé ïðèâîäèì ÷èñëåííûé ïðèìåð
(òàáë. 4). Èíôèìóì â çàäà÷àõ (1) è (2), (3) íàõîäèòñÿ äëÿ ñëó÷àÿ u m� � �
( ( ) )u m s B� � � �1 0 � . Èñõîäíûå äàííûå: s s B1 291 1001 0 111� � �, ; , ; ( ) , ;
m B� � �8 15 616; ; ( ) ,� � .
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Íàñòîÿùàÿ ñòàòüÿ ïðîäîëæàåò öèêë ðàáîò [1–3], ïîñâÿùåííûõ íàõîæäåíèþ
òî÷íûõ âåðõíèõ è íèæíèõ ãðàíèö âåðîÿòíîñòè îòêàçà ñèñòåìû â çàäàííîì èí-
òåðâàëå ( , )u � âðåìåíè, êîãäà ô. ð. âðåìåíè äî îòêàçà ñèñòåìû íåèçâåñòíà,
à èçâåñòíû òîëüêî äâà ïåðâûõ åå ìîìåíòà è ìîäà.
 ýòîé ðàáîòå ïîëó÷åíû íîâûå ðåçóëüòàòû äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ìîäà íàõîäèòñÿ
âíóòðè çàäàííîãî èíòåðâàëà. Îíè èíòåðåñíû òåì, ÷òî ïðè áîëüøîì èíòåðâàëå
( , )u � òî÷íûå íèæíèå îöåíêè ìîãóò äîñòèãàòü âûñîêèõ çíà÷åíèé, íàïðèìåð
0,979–0,967, êîòîðûå óìåíüøàþòñÿ ñ óìåíüøåíèåì èíòåðâàëà è óäàëåíèåì îò íåãî
ìîìåíòîâ (ñì. òàáë. 2, âàðèàíò 1 è òàáë. 4, âàðèàíò 2). Îäíàêî ñëåäóåò îòìåòèòü,
÷òî îñòàþòñÿ íåðàññìîòðåííûìè âîïðîñû ïîëó÷åíèÿ ïîëíîãî ðàçáèåíèÿ âñåé ÷èñ-
ëîâîé îáëàñòè ïàðàìåòðîâ è âîïðîñû ñóùåñòâîâàíèÿ ô. ð. G G5 7� ïðè èçìåíåíèè
ïàðàìåòðîâ çàäà÷è. Ýòè òåìû ìîãóò ñòàòü îñíîâîé äëÿ äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ñ ò î é ê î â à Ë . Ñ . Òî÷íûå âåðõíèå ãðàíèöû âåðîÿòíîñòè îòêàçà ñèñòåìû â èíòåðâàëå âðåìåíè
ïðè íåïîëíîé èíôîðìàöèè î ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. —
2004. — ¹ 5. — Ñ.72–83.
2. Ñ ò î é ê î â à Ë . Ñ . Òî÷íûå íèæíèå ãðàíèöû âåðîÿòíîñòè îòêàçà ñèñòåìû â èíòåðâàëå âðåìåíè
ïðè íåïîëíîé èíôîðìàöèè î ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. —
2015. — ¹ 2. — Ñ. 108–116.
3. Ñ ò î é ê î â à Ë . Ñ . , Ê ð à ñ í è ê î â Í . È . Òî÷íûå íèæíèå ãðàíèöû âåðîÿòíîñòè îòêàçà ñèñòå-
ìû â èíòåðâàëå âðåìåíè ïðè íåïîëíîé èíôîðìàöèè î ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ // East European
Scientific Journal (Warszawa, Polska). — 2015. — 1, ¹ 4(4). — C. 94–105.
4. Ñ ò î é ê î â à Ë . Ñ . Îáîáùåííûå íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà è èõ ïðèìåíåíèå â ìàòåìàòè÷åñêîé
òåîðèè íàäåæíîñòè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2010. — ¹ 3. — Ñ. 139–143.
5. Á à ð ç è ë î â è ÷ Å . Þ . , Ê à ø ò à í î â Â . À . , Ê î â à ë å í ê î È . Í . Î ìèíèìàêñíûõ êðèòåðèÿõ
â çàäà÷àõ íàäåæíîñòè // Èçâåñòèÿ ÀÍ ÑÑÑÐ. Òåõíè÷åñêàÿ êèáåðíåòèêà. — 1971. — ¹ 3. —
Ñ. 87–98.
6. Áàðëîó Ð . , Ïðîøàí Ô. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ íàäåæíîñòè. — Ì.: Ñîâ. ðàäèî, 1969. — 488 ñ.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6 93
Ò à á ë è ö à 4
Çíà÷åíèå
ïàðàìåòðà u
Íàõîæäåíèå èíôèìóìà (âàðèàíò 2)
Òî÷êè ðîñòà ýêñòðåìóìà ô. ð. Èíôèìóì Ñóïðåìóì
u� ( , ; , )0 1 113 x y22 227 28 7 31 18 72� �, ; , ; , 0,945 1
u1 1131� , x y z25 25 250 7 3 18 72� � �; , ; , 0,945 1
u � 2 x y z5 5 50 8 59 18 3� � �; , ; , 0,940 1
u2 2 98� ,
u � 6
u � 7
x y z57 57 570 9 5 17 98� � �; , ; ,
x y z7 7 74 04 11 8 17 03� � �, ; , ; ,
x y z7 7 75 55 12 625 16 62� � �, ; , ; ,
0,928
0,798
0,649
1
1
0,995
u3 7 62� ,
u � 7 66,
u � 7 8,
x y z72 72 726 7 13 23 16 3� � �, ; , ; ,
x y23 236 74 16 42 16 43� , ; , ; ,
x y23 236 98 17 24 17 25� , ; , ; ,
0,43
0,406
0,312
0,992
0,991
0,990
7. G e r t s b a k h I . Reliability theory with applications to preventive maintenance. — Berlin: Springer,
2000. — 219 p.
8. Ê î â à ë å í ê î È . Í . Èññëåäîâàíèÿ ïî íàäåæíîñòè ñëîæíûõ ñèñòåì. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1975.
— 210 ñ.
9. Ã î ë î ä í è ê î â À . Í . , Å ð ì î ë ü å â Þ . Ì . , Ê í î ï î â Ï . Ñ . Îöåíèâàíèå ïàðàìåòðîâ íàäåæ-
íîñòè â óñëîâèÿõ íåäîñòàòî÷íîé èíôîðìàöèè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2010. —
¹ 3. — Ñ. 109–125.
10. Ñ ò î é ê î â à Ë . Ñ . Äîñë³äæåííÿ óçàãàëüíåíèõ íåð³âíîñòåé ×åáèøîâà ç çàñòîñóâàííÿì äî ìà-
òåìàòè÷íî¿ òåî𳿠íàä³éíîñò³: Äèñ. ... ä-ð ô³ç.-ìàò. íàóê. — Êè¿â: ÍÀÍ Óêðà¿íè, ²íñòèòóò ê³áåð-
íåòèêè ³ì. Â.Ì. Ãëóøêîâà, 1995. — 154 ñ.
11. Ê ð å é í Ì . Ã . , Í ó ä å ë ü ì à í À . À . Ïðîáëåìà ìîìåíòîâ Ìàðêîâà è ýêñòðåìàëüíûå çàäà-
÷è. — Ì: Íàóêà, 1973. — 551 ñ.
12. Ê à ð ë è í Ñ . , Ñ ò à ä ä å í  . ×åáûøåâñêèå ñèñòåìû è èõ ïðèìåíåíèå â àíàëèçå è ñòàòèñòèêå. —
Ì.: Íàóêà, 1976. — 568 ñ.
13. S h o h a t J . A . , T a m a r k i n J . D . The problem of moments. Math. Surveys. — New York: Amer.
Math. Soc., 1943. — 140 p.
14. G o d w i n H . J . On generalization of Tchebychef’s inequality // J. Amer. Stat. Assoc. — 1955. —
50. — P. 923–945.
15. Ñ à â è ä æ È . Ð . Âåðîÿòíîñòíûå íåðàâåíñòâà ÷åáûøåâñêîãî òèïà // Ñá. ïåðåâîäîâ. Ìàòåìàòè-
êà. — 1962. — 6, ¹ 4. — Ñ.71–95.
16. Ñ ò î é ê î â à Ë . Ñ . , Ñ à ê î â è ÷ à . Í . Òî÷í³ âåðõí³ îö³íêè äëÿ ôóíêö³¿ ðîçïîä³ëó â êëàñ³ îäíî-
âåðøèííèõ ðîçïîä³ë³â ç ô³êñîâàíèìè ìîìåíòàìè // Äîï. ÀÍ ÓÐÑÐ. Ñåð. À. — 1988. —
¹ 1. — Ñ. 28–31.
17. J o h n s o n N . L . , R o g e r s C . A . The moment problem for unimodal distribution // Ann. Math.
Stat. — 1951. — 22. — P. 433–439.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 28.04.2016
Ë.C. Ñòîéêîâà, Ñ.Ì. Êðàñí³êîâ
ÒÎ×Ͳ ÍÈÆͲ ÃÐÀÍÈÖ² ²ÌβÐÍÎÑÒ² ²ÄÌÎÂÈ ÑÈÑÒÅÌÈ Â ²ÍÒÅÐÂÀ˲ ×ÀÑÓ ÏÐÈ
ÍÅÏÎÂÍ²É ²ÍÔÎÐÌÀÖ²¯ ÙÎÄÎ ÔÓÍÊÖ²¯ ÐÎÇÏÎIJËÓ ×ÀÑÓ ÄΠ²ÄÌÎÂÈ ÑÈÑÒÅÌÈ
Àíîòàö³ÿ. Ðîçâ’ÿçàíî çàäà÷³ çíàõîäæåííÿ òî÷íèõ íèæí³õ ãðàíèöü
³ìîâ³ðíîñò³ F F u u( ) ( ),� �� � � � �0 , â ìíîæèí³ ôóíêö³é ðîçïîä³ëó F x( )
íåâ³ä’ºìíèõ âèïàäêîâèõ âåëè÷èí ç óí³ìîäàëüíîþ ù³ëüí³ñòþ ç ìîäîþ
m u m, � � �, ³ äâîìà ïåðøèìè ô³êñîâàíèìè ìîìåíòàìè.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: åêñòðåìóì ë³í³éíîãî ôóíêö³îíàëà, óí³ìîäàëüíà ôóíêö³ÿ
ðîçïîä³ëó ç ìîäîþ m i äâîìà ô³êñîâàíèìè ìîìåíòàìè, ðîçáèòòÿ îáëàñò³ ïà-
ðàìåòð³â.
L.S. Stoikova, S.N. Krasnikov
EXACT LOWER BOUNDS OF SYSTEM FAILURE PROBABILITY ON A TIME INTERVAL
UNDER INCOMPLETE INFORMATION ABOUT THE DISTRIBUTION FUNCTION
OF TIME TO FAILURE
Abstract. The authors solve problems of finding exact lower bounds for the
probability F F u u( ) ( ),� �� � � � �0 , in the set of distribution functions F x( ) of
nonnegative random variables with unimodal density with mode m u m, � � �,
and two first fixed moments.
Keywords: extremum of a linear functional, unimodal distribution function with
mode m and two first moments, partition of the domain of parameters.
Ñòîéêîâà Ëèäèÿ Ñòåïàíîâíà,
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê, Êèåâ, e-mail: stojk@ukr.net.
Êðàñíèêîâ Ñåðãåé Íèêîëàåâè÷,
àñïèðàíò Èíñòèòóòà ñïåöèàëüíîé ñâÿçè è çàùèòû èíôîðìàöèè Íàöèîíàëüíîãî òåõíè÷åñêîãî
óíèâåðñèòåòà Óêðàèíû «ÊÏÈ», Êèåâ, e-mail: wokinsark@gmail.com.
94 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6
|