Обобщенные постановки и свойства моделей процессов переноса в областях с разрезами

Обобщенные постановки и свойства моделей процессов переноса в областях с разрезами

Изучается линейное параболическое уравнение в области с тонким слабопроницаемым включением. Для такой задачи получена новая модель с неизвестными (u, w). В рамках этой модели основное параболическое уравнение второго порядка трансформируется в систему двух дифференциальных уравнений первого порядка...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Кибернетика и системный анализ
Datum:2016
Hauptverfasser: Номировский, Д.А., Востриков, А.И.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2016
Schlagworte:
Системный анализ
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142063
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Обобщенные постановки и свойства моделей процессов переноса в областях с разрезами / Д.А. Номировский, А.И. Востриков // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 6. — С. 114-126. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-142063
record_format dspace
spelling Номировский, Д.А.
Востриков, А.И.
2018-09-24T14:49:04Z
2018-09-24T14:49:04Z
2016
Обобщенные постановки и свойства моделей процессов переноса в областях с разрезами / Д.А. Номировский, А.И. Востриков // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 6. — С. 114-126. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
0023-1274
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142063
517.958
Изучается линейное параболическое уравнение в области с тонким слабопроницаемым включением. Для такой задачи получена новая модель с неизвестными (u, w). В рамках этой модели основное параболическое уравнение второго порядка трансформируется в систему двух дифференциальных уравнений первого порядка с коэффициентами из классов обобщенных функций. Изучена связь этого подхода с классической и слабой постановками задачи.
Вивчається лінійне параболічне рівняння в області з тонким слабопроникним включенням. Для цієї задачі отримано нову модель з невідомими (u, w). В межах цієї моделі основне параболічне рівняння другого порядку трансформується в систему двох диференціальних рівнянь першого порядку з коефіцієнтами з класів узагальнених функцій. Досліджено зв’язок цього підходу з класичною та слабкою постановками задачі.
We study a linear parabolic system in a domain with a thin low-permeable insertion. A new formulation of the problem is obtained with the unknowns (u, w). Under this approach, the main second-order parabolic equation is converted to a set of first-order partial differential equations with distributional coefficients. The relations of the approach to the classical and weak formulations of the problem are analyzed.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Кибернетика и системный анализ
Системный анализ
Обобщенные постановки и свойства моделей процессов переноса в областях с разрезами
Узагальнені постановки та властивості моделей процесів переносу в областях з розрізами
Generalized formulations and properties of models of transmission processes in domains with cuts
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Обобщенные постановки и свойства моделей процессов переноса в областях с разрезами
spellingShingle Обобщенные постановки и свойства моделей процессов переноса в областях с разрезами
Номировский, Д.А.
Востриков, А.И.
Системный анализ
title_short Обобщенные постановки и свойства моделей процессов переноса в областях с разрезами
title_full Обобщенные постановки и свойства моделей процессов переноса в областях с разрезами
title_fullStr Обобщенные постановки и свойства моделей процессов переноса в областях с разрезами
title_full_unstemmed Обобщенные постановки и свойства моделей процессов переноса в областях с разрезами
title_sort обобщенные постановки и свойства моделей процессов переноса в областях с разрезами
author Номировский, Д.А.
Востриков, А.И.
author_facet Номировский, Д.А.
Востриков, А.И.
topic Системный анализ
topic_facet Системный анализ
publishDate 2016
language Russian
container_title Кибернетика и системный анализ
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
title_alt Узагальнені постановки та властивості моделей процесів переносу в областях з розрізами
Generalized formulations and properties of models of transmission processes in domains with cuts
description Изучается линейное параболическое уравнение в области с тонким слабопроницаемым включением. Для такой задачи получена новая модель с неизвестными (u, w). В рамках этой модели основное параболическое уравнение второго порядка трансформируется в систему двух дифференциальных уравнений первого порядка с коэффициентами из классов обобщенных функций. Изучена связь этого подхода с классической и слабой постановками задачи. Вивчається лінійне параболічне рівняння в області з тонким слабопроникним включенням. Для цієї задачі отримано нову модель з невідомими (u, w). В межах цієї моделі основне параболічне рівняння другого порядку трансформується в систему двох диференціальних рівнянь першого порядку з коефіцієнтами з класів узагальнених функцій. Досліджено зв’язок цього підходу з класичною та слабкою постановками задачі. We study a linear parabolic system in a domain with a thin low-permeable insertion. A new formulation of the problem is obtained with the unknowns (u, w). Under this approach, the main second-order parabolic equation is converted to a set of first-order partial differential equations with distributional coefficients. The relations of the approach to the classical and weak formulations of the problem are analyzed.
issn 0023-1274
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142063
citation_txt Обобщенные постановки и свойства моделей процессов переноса в областях с разрезами / Д.А. Номировский, А.И. Востриков // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 6. — С. 114-126. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT nomirovskiida obobŝennyepostanovkiisvoistvamodeleiprocessovperenosavoblastâhsrazrezami
AT vostrikovai obobŝennyepostanovkiisvoistvamodeleiprocessovperenosavoblastâhsrazrezami
AT nomirovskiida uzagalʹnenípostanovkitavlastivostímodeleiprocesívperenosuvoblastâhzrozrízami
AT vostrikovai uzagalʹnenípostanovkitavlastivostímodeleiprocesívperenosuvoblastâhzrozrízami
AT nomirovskiida generalizedformulationsandpropertiesofmodelsoftransmissionprocessesindomainswithcuts
AT vostrikovai generalizedformulationsandpropertiesofmodelsoftransmissionprocessesindomainswithcuts
first_indexed 2025-11-24T23:51:05Z
last_indexed 2025-11-24T23:51:05Z
_version_ 1850501055038619648
fulltext ÓÄÊ 517.958 Ä.À. ÍÎÌÈÐÎÂÑÊÈÉ, À.È. ÂÎÑÒÐÈÊΠÎÁÎÁÙÅÍÍÛÅ ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÈ È ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÌÎÄÅËÅÉ ÏÐÎÖÅÑÑΠÏÅÐÅÍÎÑÀ  ÎÁËÀÑÒßÕ Ñ ÐÀÇÐÅÇÀÌÈ Àííîòàöèÿ. Èçó÷àåòñÿ ëèíåéíîå ïàðàáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå â îáëàñòè ñ òîíêèì ñëàáîïðîíèöàåìûì âêëþ÷åíèåì. Äëÿ òàêîé çàäà÷è ïîëó÷åíà íîâàÿ ìîäåëü ñ íåèçâåñòíûìè ( , )u � .  ðàìêàõ ýòîé ìîäåëè îñíîâíîå ïàðàáîëè- ÷åñêîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà òðàíñôîðìèðóåòñÿ â ñèñòåìó äâóõ äèô- ôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ êîýôôèöèåíòàìè èç êëàññîâ îáîáùåííûõ ôóíêöèé. Èçó÷åíà ñâÿçü ýòîãî ïîäõîäà ñ êëàññè÷åñêîé è ñëà- áîé ïîñòàíîâêàìè çàäà÷è. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïàðàáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå, ðàçðûâíûå ðåøåíèÿ, óñëîâèÿ ïåðåíîñà, îáîáùåííûå ôóíêöèè. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Âî ìíîãèõ àêòóàëüíûõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ èçó÷àåòñÿ òåïëî- è ìàññîïåðåíîñ, ïðîòåêàþùèé â ñðåäàõ, êîòîðûå ñîäåðæàò èíîðîäíûå çîíû è âêëþ÷åíèÿ. Âíóòðè îáëàñòè èëè íà åå ãðàíèöå ìîãóò íàõîäèòüñÿ òîíêèå ñëîè êðàñêè, îãíåóïîðíûå ñëîè, îêèñëû è äðóãèå ïëåíêè, òðåùèíû è ðàçëîìû, òîíêèå ïðî- ñëîéêè æèäêîñòåé, ãàçîâûå çàçîðû, ðàçëè÷íûå ìåìáðàíû è ò.ä. Îáû÷íî ïðè ìîäåëèðîâàíèè òàêèõ ïðîöåññîâ âêëþ÷åíèÿ, ââèäó èõ ìàëîãî õà- ðàêòåðíîãî ðàçìåðà, óäàëÿþò èç îáëàñòè ïðîòåêàíèÿ ïðîöåññà, îïðåäåëÿÿ íà ïî- âåðõíîñòÿõ óäàëåííûõ âêëþ÷åíèé íåêîòîðûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ, ó÷èòûâàþùèå ôèçè÷åñêèå ñâîéñòâà è èíòåãðàëüíî îïèñûâàþùèå ïðîöåññ ïåðåíî- ñà â ýòîé ÷àñòè ïðîñòðàíñòâà. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àþò ãðàíè÷íî-êðàåâóþ çàäà÷ó â îáëàñòè ñ ðàçðåçàìè, îáû÷íî íå ÿâëÿþùóþñÿ îäíîñâÿçíîé.  ðàìêàõ òàêèõ ïî- ñòàíîâîê ïðîöåññ ïåðåíîñà èçó÷àëñÿ âî ìíîãèõ ïóáëèêàöèÿõ (ñì., íàïðèìåð, [1–4] è ñîîòâåòñòâóþùóþ áèáëèîãðàôèþ). Äðóãîé ïîäõîä ê ìîäåëèðîâàíèþ ïðîöåññîâ ïåðåíîñà â îáëàñòÿõ ñ èíîðîäíû- ìè âêëþ÷åíèÿìè áûë ïðåäëîæåí Â.Ô. Äåì÷åíêî è îïèñàí â ðàáîòå [5]. Âìåñòî îä- íîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà, îïèñûâàþùåãî äèíàìèêó ïðîöåññà, ïðåäëàãàëîñü ðàññìàòðèâàòü ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà â åñòåñ- òâåííûõ ïåðåìåííûõ («íîâûìè» ïåðåìåííûìè ÿâëÿþòñÿ êîìïîíåíòû âåêòîðà ïî- òîêà ïåðåíîñèìîé ñóáñòàíöèè). Ïðè ýòîì óäàëåííóþ ïðîñëîéêó (ðàçðåç) âîçâðàùà- þò â îáëàñòü ïðîòåêàíèÿ ïðîöåññà, à ýôôåêò èíîðîäíûõ âêëþ÷åíèé, âûðàæåííûé óñëîâèÿìè ñîïðÿæåíèÿ, óäàåòñÿ ó÷èòûâàòü ÷åðåç êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèé [6–10]. Òàêîé ïîäõîä êîíöåïòóàëüíî ñîäåðæèò ðÿä ïðåèìóùåñòâ. Íàïðèìåð, ïîëó- ÷åííûå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû èìåþò ïðîñòóþ ôèçè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ — âûðà- æàþò îñíîâíûå ôèçè÷åñêèå çàêîíû, îïèñûâàþùèå èçó÷àåìûé ïðîöåññ. Îäíî èç ýòèõ óðàâíåíèé (ñêàëÿðíîå) âûðàæàåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ ñóáñòàíöèè, âòîðîå (âåê- òîðíîå) — ôåíîìåíîëîãè÷åñêèé çàêîí ïåðåíîñà ýòîé ñóáñòàíöèè ïî îïðåäåëåííî- ìó ìåõàíèçìó. Íàëè÷èå íåñêîëüêèõ óðàâíåíèé ñèñòåìû äàåò çíà÷èòåëüíî áîëüøå âîçìîæíîñòåé äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåîáõîäèìûõ ñâîéñòâ èçó÷àåìûõ îïåðàòîðîâ, ÷åì òðàäèöèîííàÿ ïîñòàíîâêà. Íàïðèìåð, òàê íàçûâàåìûé ñìåøàííûé ìåòîä êî- íå÷íûõ ýëåìåíòîâ ïî ñâîåé ñóòè ñîîòâåòñòâóåò ýòîìó ïîäõîäó [11, 12]. Êðîìå òîãî, ïðè äàííîì ñïîñîáå ìîäåëèðîâàíèÿ îáëàñòü ïðîòåêàíèÿ ïðîöåññà ÿâëÿåòñÿ îäíîñâÿçíîé, ÷òî ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì íà ýòàïå ÷èñëåííîãî ðàñ÷åòà ìî- äåëè. Õàðàêòåðíîé íåãàòèâíîé îñîáåííîñòüþ ïðåäëîæåííîãî ïîäõîäà ÿâëÿåòñÿ ïðèñóòñòâèå îáîáùåííûõ ôóíêöèé â êîýôôèöèåíòàõ óðàâíåíèé.  íàñòîÿùåé ñòàòüå íà îñíîâå ïîäõîäà Â.Ô. Äåì÷åíêî ñòðîèòñÿ åäèíàÿ ìàòå- ìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïðîöåññîâ ïåðåíîñà äëÿ ïàðàáîëè÷åñêèõ ñèñòåì ñ ðàçíîîáðàç- 114 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6 © Ä.À. Íîìèðîâñêèé, À.È. Âîñòðèêîâ, 2016 íûìè óñëîâèÿìè ñîïðÿæåíèÿ, â ÷àñòíîñòè èäåàëüíîãî êîíòàêòà, íåèäåàëüíîãî êîíòàêòà, ñîñðåäîòî÷åííîãî ñîáñòâåííîãî èñòî÷íèêà. Êðîìå òîãî, èçó÷àåòñÿ ñâÿçü ïîñòðîåííîé ìîäåëè ñ êëàññè÷åñêîé è ñëàáîé ïîñòàíîâêàìè. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÏÐÎÖÅÑÑÀ ÏÅÐÅÍÎÑÀ  ÑËÎÈÑÒÎ ÍÅÎÄÍÎÐÎÄÍÛÕ ÑÐÅÄÀÕ Ïóñòü ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèåé u t m( , , , )� �1 � , êîòîðàÿ îïðå- äåëåíà â öèëèíäðè÷åñêîé îáëàñòè Q T� �( ; )0 � , ãäå � � R m — îãðàíè÷åííàÿ îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü èçìåíåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ ïåðåìåííûõ � � �� ( , , )1 � m ñ ðåãóëÿðíîé ãðàíèöåé �� . Îáëàñòü � ðàçáèâàåòñÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêîé ãèïåð- ïîâåðõíîñòüþ � 0 íà äâå îäíîñâÿçíûå îáëàñòè: � � è � � ñ ðåãóëÿðíûìè ãðà- íèöàìè, ò.å. ìíîæåñòâî � ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå äèçúþíêòíîãî îáúåäèíå- íèÿ � � � �� � �0 è � � �0 � � � , ãäå � � , � � è � 0 — çàìûêàíèÿ ìíîæåñòâ � � , � � è � 0 â R m ñîîòâåòñòâåííî. Îáîçíà÷èì Q T� �� �( ; )0 � , Q T� �� �( ; )0 � , Q T0 00� �( ; ) � . Ïóñòü Ñ Q Qk ( , )� � , ãäå k � N 0 , — ìíîæåñòâî ôóíêöèé, ïðèíàäëåæàùèõ ïðîñòðàíñòâó C Q Qk ( )� � è äîïóñêàþùèõ ïðîäîëæåíèå ñ ñîõðàíåíèåì ãëàä- êîñòè èç ìíîæåñòâà Q� â Q� è èç ìíîæåñòâà Q� â Q� . Ìíîæåñòâî ôóíêöèé Ñ k ( , )� �� � îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì. Ðàññìîòðèì ïàðàáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå ïðîöåññ ïåðåíîñà, ïðîòåêàþùèé â äâóõ ðàçíîðîäíûõ îáëàñòÿõ: � � è � � , ðàçäåëåííûõ âêëþ- ÷åíèåì � 0 : Lu u t d u k u u i ij ji j m i i� � � � � � � � � � � �� ( ) ( ( ) ) ( ( ) , � � � � � � � 1 ) ( , ) i m f t � � 1 � , (1) ãäå ( , )t Q Q� � � � . Ôóíêöèÿ u t( , )� óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíûì íà÷àëüíûì è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì u t� � 0 0 , u ��� � � 0 . (2) Íà ãèïåðïîâåðõíîñòè Q0 çàäàíû óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïîâå- äåíèå èçó÷àåìîãî ïðîöåññà íà ýòîì âêëþ÷åíèè: [ ] ( )( , ) ( )( , ) ( , )u a n a n f ta� � �� � 1 2� � � � � , ( , )t Q� � 0 , (3) [( , )] ( ) ( ) ( , )� � � �n b u b u f tb� � �� � 1 2 , ( , )t Q� � 0 , (4) ãäå � �� � �Kgrad u u â Q Q� � , K � �{ } , k ij i j m 1 — íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà êî- ýôôèöèåíòîâ k ij , � � �� ( , , )1 � m , ( , )� n — ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ � è n â R m , n n n m � ( , ),� �1 � — âåêòîð íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè � 0 , âíåøíèé îòíîñèòåëüíî � � ; grad u u u m � ( , , )� �1 � ; [ ]u — ñêà÷îê ôóíêöèè u t( , )� íà ãè- ïåðïîâåðõíîñòè Q0 , ò.å. [ ]( , ) ( , ) ( , )u t u t u t� � �0 0 0� �� � , �0 0�� , u t u t� � �� � ( , ) lim ( , )� � � � 0 0 , u t u t� � �� � ( , ) lim ( , )� � � � 0 0 , �� ��� , �� ��� . Ôóíêöèè [( , )]� n , ( , )� n � è ( , )� n � îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, ai ( )� è bi ( )� — íåïðåðûâíûå íà � 0 ôóíêöèè, õàðàêòåðèçóþùèå ôèçè÷åñêèå ïàðà- ìåòðû èíîðîäíîãî âêëþ÷åíèÿ, d Ñ( ) ( , )� � � � 0 � � , k Ñij ( ) ( , )� � � � 1 � � , ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6 115 � �i Ñ( ) ( , )� � � 1 � � — êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà, f Ñ Q Q� � � 0 ( , ) , f Ñ Qa � 0 0( ), f Ñ Qb � 0 0( ) — ôóíêöèè, îïèñûâàþùèå âíåøíèå âîçäåéñòâèÿ íà ñèñòåìó. Îòìåòèì, ÷òî â âèäå (3), (4) ìîæíî ïðåäñòàâèòü óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ, îïèñû- âàþùèå ðàçëè÷íûå ìåõàíèçìû ïåðåíîñà ÷åðåç èíîðîäíîå âêëþ÷åíèå, íàïðè- ìåð [5], âàæíûå ñ ïðèêëàäíîé òî÷êè çðåíèÿ óñëîâèÿ òèïà — èäåàëüíîãî êîíòàêòà [ ]u � 0 , [( , )]� n � 0, — íåèäåàëüíîãî êîíòàêòà [ ] ( , )u a n� ��� 0 , [( , )]� n � 0, — íåèäåàëüíîãî êîíòàêòà ÷åðåç òðåõñëîéíîå âêëþ÷åíèå [ ] ( , ) ( , )u R n R n� � �� � � �� � 0 , [( , )]� n f� 0 , — ñîñðåäîòî÷åííîãî ñîáñòâåííîãî èñòî÷íèêà [ ]u � 0 , [( , )]� �n u� � , — ñîñðåäîòî÷åííîãî âíåøíåãî èñòî÷íèêà [ ]u � 0 , [( , )]� n f� 0 . ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ È ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈß ÄËß ÎÁÎÁÙÅÍÍÛÕ ÏÎÑÒÀÍÎÂÎÊ ÏÐÎÖÅÑÑÀ ÏÅÐÅÍÎÑÀ  ÑËÎÈÑÒÎ ÍÅÎÄÍÎÐÎÄÍÛÕ ÑÐÅÄÀÕ Ïóñòü W0 — ïîïîëíåíèå ìíîæåñòâà ôóíêöèé u Ñ Q Q� � � 1 ( , ) , óäîâëåòâîðÿþ- ùèõ óñëîâèÿì (2), ïî íîðìå || ||u u u dQ W t i m Q Q i0 2 2 2 1 � � � � � � � � � � � � � � � . (5) Ââåäåì òàêæå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî Í êàê ïîïîëíåíèå ìíîæåñòâà ôóíêöèé u Ñ Q Q� � � 1 ( , ) , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ u ��� � � 0 , ïî íîðìå || ||u u u dQ Í i m Q Q i 2 2 2 1 � � � � � � � � � � � � � � � . Îáîçíà÷èì W0 * è Í * ñîîòâåòñòâóþùèå íåãàòèâíûå ê W0 è Í ïðîñòðàíñòâà îòíîñèòåëüíî ïðîñòðàíñòâà L Q2 ( ). Íåñëîæíî óñòàíîâèòü, ÷òî èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ïëîòíûå âëîæåíèÿ: W H L Q H W0 2 0� � � �( ) * * .  ñèëó òåîðåìû î ñëåäàõ ôóíêöèè êëàññà u H� îñòàâëÿþò ñëåäû ( , ) ( ) ( )u u L Q L Q� � � �2 0 2 0 íà ïîâåðõíîñòè Q0 , ïðè÷åì îïåðàòîð âçÿòèÿ ñëåäà ÿâ- ëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì, ò.å. äëÿ âñåõ u H� âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà ( ) || ||u dQ c u Q H � � �2 0 2 0 , ( ) || ||u dQ c u Q H � � �2 0 2 0 , ãäå c — çäåñü è äàëåå íåêîòîðàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà, íå çàâèñÿùàÿ îò ôóíêöèé u H� . 116 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6 Íà ìíîæåñòâå u H� îïðåäåëèì ëèíåéíûå ôóíêöèîíàëû �� ( )Q0 è �� ( )Q0 , äåéñòâóþùèå ïî ñëåäóþùèì ïðàâèëàì: � �� �� �( )( ) ( , )Q u u t dQ Q 0 0 0 , � �� �� �( )( ) ( , )Q u u t dQ Q 0 0 0 . Î÷åâèäíî, ÷òî ýòè ôóíêöèîíàëû ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè â ïðîñòðàí- ñòâå Í , ò.å. �� �( ) *Q H0 è �� �( ) *Q H0 . Åñëè g L Q� 2 0( ), òî ïðîèçâåäåíèå g Q�� ( )0 áóäåì ïîíèìàòü êàê ëèíåéíûé è íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë íàä Í , äåéñòâóþùèé ïî ïðàâèëó g Q u g t u t dQ Q � � �� �� �( )( ) ( , ) ( , )0 0 0 , u H� . Ïðîèçâåäåíèå g Q�� ( )0 îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî. Êðîìå òîãî, äëÿ íåïðåðûâíûõ íà Q0 ôóíêöèé gi è hi îïðåäåëèì ïðîèçâåäå- íèå íåêîòîðûõ îáîáùåííûõ ôóíêöèé êàê îïåðàòîð l g Q g Q h Q h Q H H� � � � �� � � �( ( ) ( )) ( ( ) ( )) : * 1 0 2 0 1 0 2 0� � � � . Åñëè u H� , òî çíà÷åíèåì ôóíêöèîíàëà lu H� * íà ýëåìåíòå q H� ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî ( )( )g u g u h q h q dQ Q 1 2 1 2 0 0 � � � �� �� . Î÷åâèäíî, ÷òî | ( )( )| || || || ||lu q c u q� � .  âåêòîðíîì ñëó÷àå îáîçíà÷åíèÿ òðàêòóþòñÿ ïîäîáíûì îáðàçîì. Òàê, ââå- äåì â ðàññìîòðåíèå ïðîñòðàíñòâî L Q Qm 2 0 ( , )� êàê ïîïîëíåíèå ìíîæåñòâà âåê- òîð-ôóíêöèé � � � �( ( , ))Ñ Q Q m0 ïî íîðìå || || (( , ) ) (( , ) )� � � �2 2 1 2 0 2 0 � � � � � � � � � �i Q Qi m Q dQ n dQ n dQ Q 0 0 � . Åñëè � � �L Q Qm 2 0 ( , ) , òî ñóùåñòâóþò ñëåäû ( , )� n � , ( , )� n � , ÿâëÿþùèåñÿ ýëå- ìåíòàìè ïðîñòðàíñòâà L Q2 0( ) . Òîãäà, íàïðèìåð, ìîæíî îïðåäåëèòü ïðîèçâåäåíèå l n g Q g Q n h Q h Qn � � � �� � � �( ( ) ( )) ( ( ) ( ))1 0 2 0 1 0 2 0� � � � : L Q Q L Q Qm m 2 0 2 0 ( , ) ( ( , ))*� �� . Åñëè � � �L Q Qm 2 0 ( , ) , òî çíà÷åíèåì ôóíêöèîíàëà l L Q Qn m� � �( ( , ))* 2 0 íà ýëå- ìåíòå � � �L Q Qm 2 0 ( , ) ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî ( ( , ) ( , ) )( ( , ) ( , ) )g n g n h n h n dQ Q 1 2 1 2 0 0 � � � �� � � �� �� . ÌÎÄÅËÜ ÒÈÏÀ ÄÅÌ×ÅÍÊÎ ÏÐÎÖÅÑÑÀ ÏÅÐÅÍÎÑÀ  ÑËÎÈÑÒÎ ÍÅÎÄÍÎÐÎÄÍÛÕ ÑÐÅÄÀÕ Ðàññìîòðèì ïàðó ôóíêöèé ( , )u � , ãäå u ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó Ñ Q Q2 ( , )� � , à âåêòîð-ôóíêöèÿ � — ïðîñòðàíñòâó ( ( , ))Ñ Q Q m1 � � . Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå ïåðåíîñà (1) â âèäå ñèñòåìû äâóõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî ïàðû ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6 117 ( , )u � â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìîé çàïèñè ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ (çàêîíà ñîõðàíåíèÿ äàííîé ñóáñòàíöèè è çàêîíà ïåðåíîñà ýòîé ñóáñòàíöèè), îïèñûâàþùèõ èçó÷àåìûé ïðîöåññ: � � � � � u t du fdiv� , (6) � �� � �Kgrad u u , (7) ãäå ( , )t Q Q� � � � . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìàòðèöà K ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé, çàïèøåì óðàâíåíèå (7) â âèäå grad K Ku u� � �� �1 1� �. (8) Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ïîèñêà ïàðû ôóíêöèé ( , )u � , óäîâëåòâîðÿþùèõ ñèñòåìå óðàâíåíèé (6), (8), (2)–(4). Îáîçíà÷èì ( , )* *u � , ãäå u Ñ Q Q* ( , )� � � 1 è � * ( ( , ))� � �Ñ Q Q m1 , ïðîèçâîëüíóþ ïàðó ôóíêöèé, ÿâëÿþùóþñÿ êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è.  ïðîñòðàíñòâå Ñ Q Q1 ( , )� � îïðåäåëèì îáîáùåííûå îäíîñòîðîííèå ïðîèç- âîäíûå. Ïîä îáîáùåííîé ïîëîæèòåëüíîé (îòðèöàòåëüíîé) ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f Ñ Q Q� � � 1 ( , ) áóäåì ïîíèìàòü ôóíêöèîíàë, îïðåäåëåííûé íà ôóíêöèÿõ q H� è äåéñòâóþùèé ïî ïðàâèëó � � � �� �f f f n Q i i i� �� �[ ] ( )0 , � � � � � � �� � � �� � �f f f n Q i i i� �� �[ ] ( )0 , (9) ãäå f i� — êëàññè÷åñêàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f â Q Q� � . Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ f ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðó- åìîé â îáëàñòè Q , òî îáîáùåííûå ïîëîæèòåëüíàÿ è îòðèöàòåëüíàÿ ïðîèçâîäíûå ðàâíû è ñîâïàäàþò ñî ñòàíäàðòíîé ïðîèçâîäíîé òåîðèè îáîáùåííûõ ôóíêöèé. Äàëåå åñòåñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëèì îáîáùåííóþ ïîëîæèòåëüíóþ div � è îòðèöàòåëüíóþ div � äèâåðãåíöèè âåêòîðà � � � �( ( , ))Ñ Q Q m1 îòíîñèòåëüíî ïðîñòðàíñòâåííûõ ïåðåìåííûõ. Èìååì div div� �� �� � � �[( , )] ( )n Q0 , div div� �� �� � � �[( , )] ( )n Q0 . Îòìåòèì, ÷òî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî [( , )] ([ ], )� �n n� . Óìíîæàÿ ïåðâîå èç ïîëó÷åííûõ ðàâåíñòâ íà íåïðåðûâíóþ â Q0 ôóíêöèþ p t1 ( , )� , âòîðîå — íà p t2 ( , )� , ãäå ôóíêöèè p1 è p2 îáëàäàþò ñâîéñòâîì p p1 2 1� � , è ñóììèðóÿ ýòè ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì p p n p Q p Q1 2 1 0 2 0div div div� � � �� � � �� � � � � �* * * *[( , )]( ( ) ( )). Èñïîëüçóÿ óñëîâèå (4), ïåðåïèøåì ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî â âèäå div div div� � �* * *� � �� �p p1 2 � � � � �� � � � � �( )( ( ) ( )) ( ( ) * *b u b u p Q p Q f p Q pb1 2 1 0 2 0 1 0 2� � � � ( ))Q0 . Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå â (6), ïîëó÷àåì � � � � � �� � u t du p p* * * *1 2div div� � � � � � � �� � � � �( )( ( ) ( )) ( ( ) * *b u b u p Q p Q f f p Q pb1 2 1 0 2 0 1 0 2� � � �� ( ))Q0 . Çàïèøåì ïîñëåäíåå óðàâíåíèå â îïåðàòîðíîé ôîðìå. 118 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6 Ïóñòü îïåðàòîð N W H: * 0 � îïðåäåëÿåòñÿ ñèìâîëè÷åñêèì ðàâåíñòâîì N t d b Q b Q p Q p Q� � � � � � � �� � � �( ( ) ( )) ( ( ) ( ))1 0 2 0 1 0 2 0� � � � . Òîãäà äëÿ âñåõ u W� 0 è q H� èìååì � � � � � � � � � � � � � � �Nu q u q duq dQ b u b u p q p q H H t Q Q , ( ) ( )(* 1 2 1 2 )dQ Q 0 0 � . Îïðåäåëèì îïåðàòîð Div ðàâåíñòâîì Div div div� �� �p p1 2 . Åñëè � � � �( ( , ))Ñ Q Q m1 è q H� , òî èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷àåì � � � � � � � � � � � Div � � ��, ( ) [( , )](*q qdQ n p q p q H H i Q Qi m i 1 1 2 � � �) dQ Q 0 0 � � � � � � � � � � � � � � � � ��i Q Qi m q dQ n p q p q n q i 1 1 2([( , )]( ) ( , ) ( , ) ) .� n q dQ Q � � � 0 0 Îòìåòèì, ÷òî ïðàâóþ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê îïðåäåëåíèå îïåðàòîðà Div íà âñåì ïðîñòðàíñòâå L Q Qm 2 0 ( , )� . Ïîýòîìó áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî Div: ( , ) *L Q Q Hm 2 0 � � . Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì àíàëîã óðàâíå- íèÿ (6) â òåðìèíàõ îáîáùåííûõ ôóíêöèé Nu f f p Q p Qb* * ( ( ) ( ))� � � �� �Div � � �1 0 2 0 . (10) Ñëåäóÿ ðàáîòå [5], öåëåñîîáðàçíî ñ÷èòàòü, ÷òî óðàâíåíèå (10) âûðàæàåò îáîáùåííûé çàêîí ñîõðàíåíèÿ äàííîé ñóáñòàíöèè â îáëàñòè �, âêëþ÷àÿ èíîðîä- íóþ ïðîñëîéêó � 0 . Ñôîðìóëèðóåì îáîáùåííûé àíàëîã óðàâíåíèÿ (8). Àíàëîãè÷íî íà îñíîâàíèè ôîðìóëû (9) îïðåäåëèì îáîáùåííûé ïîëîæè- òåëüíûé grad � ��: ( ( , ))*H L Q Qm 2 0 è îòðèöàòåëüíûé grad � ��: ( ( , ))*H L Q Qm 2 0 ãðàäèåíòû ôóíêöèè f H� êàê ôóíêöèîíàëû, îïðåäåëåííûå íà ôóíêöèÿõ � � �L Q Qm 2 0 ( , ) è äåéñòâóþùèå ïî ïðàâèëàì grad grad� �� �f f f n Q[ ] ( )� 0 , grad grad� �� �f f f n Q[ ] ( )� 0 . Èñïîëüçóÿ ýòè îïåðàòîðû è óñëîâèå (3), çàïèñûâàåì ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà: grad K grad K� � � �� � � � �u u u u u n Q* * * * *[ ] ( )1 1 0� � � � � � � �� � � � �K 1 1 2 0 0� � � � �* * *( ( , ) ( , ) ) ( ) ( )a n a n n Q f n Qa . Àíàëîãè÷íî grad K K� � � � � �� � � � �u u a n a n n Q* * * * *( ( , ) ( , ) ) ( )1 1 1 2 0� � � � � � �f n Qa � ( ).0 Óìíîæàÿ ïåðâîå èç ïîëó÷åííûõ ðàâåíñòâ íà íåïðåðûâíóþ â Q0 ôóíê- öèþ s t1 ( , )� , âòîðîå — íà s t2 ( , )� , ãäå ôóíêöèè s1 è s2 îáëàäàþò ñâîéñòâîì s s1 2 1� � , è ñóììèðóÿ ýòè ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6 119 s u s u u1 2 1 1grad grad K K� � � �� � � � �* * * *� � � � � �� � � �( ( , ) ( , ) ) ( ( ) ( )) (* *a n a n n s Q s Q f n sa1 2 1 0 2 0 1� � � � �� ��( ) ( )).Q s Q0 2 0� Çàïèøåì ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî â îïåðàòîðíîé ôîðìå. Ïóñòü îïåðàòîðû Grad è M îïðåäåëåíû ðàâåíñòâàìè Grad grad grad K� � �� � �s s1 2 1� , M n a Q a Q n s Q s Q� � � � �� � � � �K 1 1 0 2 0 1 0 2 0( ( ) ( )) ( ( ) ( ))� � � � . Îòìåòèì, ÷òî Grad: ( ( , ))*W L Q Qm 0 2 0 � � è äëÿ âñåõ u W� 0 è � � �L Q Qm 2 0 ( , ) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî � � � � � � � � � � � Grad u u k u dQ u s n i i i i Q Qi m , ( ) [ ]( ( , )� � � �� 1 1 s n dQ Q 2 0 0 ( , ) )� � � , ãäå �� ��, — áèëèíåéíàÿ ôîðìà íàä ( ( , )) ( , )*L Q Q L Q Qm m 2 0 2 0 � �� , à k i — êîîðäè- íàòû âåêòîðà K�1�. Îïåðàòîð M äåéñòâóåò â ñëåäóþùèõ ïðîñòðàíñòâàõ: M L Q Qm: ( , ) 2 0 � � � �( ( , ))*L Q Qm 2 0 è äëÿ âñåõ � � �L Q Qm 2 0 ( , ) è � � �L Q Qm 2 0 ( , ) âûïîëíÿåòñÿ ðà- âåíñòâî � � �M� �, � � �� � � � � � � k dQ a n a n sij j i Q Qi j m 1 1 1 2 1� � � � � , ( ( , ) ( , ) )( ( , ) ( , ) )n s n dQ Q � ��� 2 0 0 � , ãäå k ij �1 — ýëåìåíòû ìàòðèöû K�1. Äàëåå çàïèøåì àíàëîã óðàâíåíèÿ (8) â òåðìèíàõ îáîáùåííûõ ôóíêöèé Grad u M f n s Q s Qa* * ( ( ) ( ))� � �� �� � �1 0 2 0 . (11) Åñëè ôèçè÷åñêàÿ ñóùíîñòü êîýôôèöèåíòîâ k ij ìàòðèöû K âûðàæàåò óäåëü- íóþ ïðîâîäèìîñòü ñðåäû, òî öåëåñîîáðàçíî ñ÷èòàòü [5], ÷òî îïåðàòîð M âûðàæà- åò îáîáùåííîå óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ñðåäû, à óðàâíåíèå (11) çàäàåò îáîáùåí- íûé çàêîí ïåðåíîñà äàííîé ñóáñòàíöèè â îáëàñòè �, âêëþ÷àÿ èíîðîäíóþ ïðîñëîéêó � 0 . Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ïðîñòðàíñòâà X W L Q Qm� � � 0 2 0 ( , ) , Y H L Q Qm� � � 2 0 ( , ) . Ïóñòü îïåðàòîð A X Y: *� îïðåäåëåí ñèìâîëè÷åñêîé ìàòðèöåé: A N M � � � �� � � �� Div Grad íà ýëåìåíòàõ x u X� �( , )� . Êðîìå òîãî, ïîëîæèì F F F Y� �( , ) * 1 2 , ãäå F f f p Q p Q Hb1 1 0 2 0� � � �� �( ( ) ( )) *� � , (12) F f n s Q s Q L Q Qa m 2 1 0 2 0 2 0 � � �� � �( ( ) ( )) ( ( , ))*� � . (13) Òàêèì îáðàçîì, óñòàíîâëåíî, ÷òî åñëè ïàðà ôóíêöèé x u� ( , )* *� ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì çàäà÷è (6), (8), (2)–(4), òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî Ax F� . 120 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6 Ýëåìåíò x X� , óäîâëåòâîðÿþùèé ðàâåíñòâó Ax F� â ïðîñòðàíñòâå Y * , áó- äåì íàçûâàòü îáîáùåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è (1)–(4). Åñëè x u X� �( , )� — òàêîå ðåøåíèå, òî äëÿ âñåõ y q Y� �( , )� âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî � � � � � � � � � � � � � Nu q u M f q H H H H Div Grad� � �, , ,* * � � � �� � � � � �f p q p q dQ f s n s n dQb Q a Q ( ) ( ( , ) ( , ) )1 2 0 1 2 0 0 0 � � . ÌÎÄÅËÜ ÒÈÏÀ ÄÅÌ×ÅÍÊÎ È ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ Òåîðåìà 1. Ïóñòü ïàðà ôóíêöèé x u X� �( , )� óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ax F� , ãäå ïðàâàÿ ÷àñòü F Y� * îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâàìè (12), (13) äëÿ ôóíêöèé f H� * , f L Qa � 2 0( ), f L Qb � 2 0( ). Ôóíêöèè u t( , )� , � �( , )t è êîýôôè- öèåíòû óðàâíåíèé èìåþò ãëàäêîñòü, íåîáõîäèìóþ äëÿ êëàññè÷åñêîãî ïîíèìà- íèÿ çàäà÷è (6), (8), (2)–(4), ò.å. 1) u, ut , u i� , � i , ( ) ( , )� �i i C Q Q� � � 0 ; 2) k ij , � i C� � � 1 ( , )� � , d C� � � 0 ( , )� � , ai , b Ci � 0 0( )� . Òîãäà ñóùåñòâóþò òàêèå f C Q Q� � �( ), f C Qa � ( )0 è f C Qb � ( )0 , ÷òî ôóíê- öèÿ u t( , )� óäîâëåòâîðÿåò çàäà÷å (6), (8), (2)–(4) â ïîòî÷å÷íîì ñìûñëå è f f� â H * , à f fa a� , f fb b� â L Q2 0( ). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî óñëîâèþ òåîðåìû 1 ðàâåíñòâî � � � � � � � Ax y F y Y Y Y Y , ,* * âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ y q Y� �( , )� . Ðàññìîòðèì òàêèå ïàðû y q Y� �( , )� , ÷òî � � 0 . Òîãäà ðàâåíñòâî � � � � � � � Ax y F y Y Y Y Y , ,* * ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå � � � � � � � � Nu q q Í Í Í Í , ,* *Div � � � � � � � � � � � � f q f p Q p Q q Í Í b Í Í , ( ( ) ( )),* *1 0 2 0� � . Ïóñòü ôóíêöèÿ q C Q� 1 ( ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì q ��� � � 0 è q ��� � �0 0 . Òîãäà ïîëó÷àåì u du qdQ f qt i i m Q Q Í Íi � � � � � � � � � � � � � � � � � � ( ) , *� � 1 . Ñ ó÷åòîì ïëîòíîñòè ìíîæåñòâà ðàññìàòðèâàåìûõ ôóíêöèé q â ïðîñòðàíñòâå H ïîëó÷àåì, ÷òî â H * ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî u du ft � � �div � . (14) Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (14) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé íà ìíî- æåñòâå Q Q� � , åå ìîæíî âçÿòü â êà÷åñòâå ôóíêöèè f , ò.å. ðàâåíñòâî (6) óñòàíîâëåíî. Ðàññìîòðèì òåïåðü òàêèå ïàðû y q Y� �( , )� , ÷òî q � 0 è � �( ( ))C Q m0 , � �( , )t � 0 íà Q0 . Òîãäà ðàâåíñòâî � � � � � � � Ax y F y Y Y Y Y , ,* * ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå � � � �Grad u M� �, 0, u k u k dQ i i ij j j m i Q Qi m � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � 1 11 0. Ñ ó÷åòîì ïëîòíîñòè ìíîæåñòâà ðàññìàòðèâàåìûõ ôóíêöèé � â ïðîñòðàíñòâå L Q Q2 ( )� � ïî÷òè âñþäó âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî grad K Ku u� � �� �1 1 0� � . (15) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6 121 Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ â ëåâîé ÷àñòè ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé, òî ðàâåíñòâî (8) âåðíî è â ïîòî÷å÷íîì ñìûñëå. Óñëîâèÿ (2) âûïîëíÿþòñÿ, ïîñêîëüêó íîðìà ïðîñòðàíñòâà W0 óäåðæèâàåò ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ u t� � 0 0 è u ��� � � 0 . Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ q C Q� 1 ( ), óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèþ q ��� � � 0. Ïóñòü q q Q� � � � è q q Q� � � � , ãäå �A — õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíê- öèÿ ìíîæåñòâà A. Îòìåòèì, ÷òî íà ïîâåðõíîñòè Q0 âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà q q q� �� � � � . Ïîäñòàâèì â � � � � � � � Ax y F y Y Y Y Y , ,* * òàêèå ïàðû y q Y� ��( , )� , ÷òî � � 0 â Q Q� � . Òîãäà ïîëó÷èì � � � � � �� � � � � � � �Nu q u du q dQ b u b u p qdQ Í Í t Q Q , ( ) ( )* 1 2 1 0 0 , � � � �� � � � � � �Div � � ��, ( ) [( , )]*q q dQ n p qdQ H H i Qi m Q i 1 1 0 0 , � � � � � �� � � � �F q f q f p qdQ H H H H b Q 1 1 0 0 , ,* * . Îòñþäà ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà Nu F� �Div � 1 è (14) èìååì ([( , )] )� n b u b u p qdQ f p qdQ Q b Q � � �� � � �1 2 1 0 1 0 0 0 . Ðàññìàòðèâàÿ ïàðû y q Y� ��( , )� , ãäå � � 0 â Q Q� � , è ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷- íî, íåñëîæíî óñòàíîâèòü, ÷òî ([( , )] )� n b u b u p qdQ f p qdQ Q b Q � � �� � � �1 2 2 0 2 0 0 0 . Ñóììèðóÿ ïîëó÷åííûå ðàâåíñòâà, ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå p p1 2 1� � , à òàêæå ïëîòíîñòü ìíîæåñòâà ðàññìàòðèâàåìûõ ôóíêöèé q â ïðîñòðàíñòâå L Q2 0( ), ïî- ëó÷àåì ðàâåíñòâî [( , )]� n b u b u f b� � �� � 1 2 , ñïðàâåäëèâîå ïî÷òè âñþäó íà Q0 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â êà÷åñòâå f b ìîæíî âçÿòü ëåâóþ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ � �( ( ))C Q m0 è � ��� � �Q , � ��� � �Q . Ïîäñòàâèì â � � � � � � � Ax y F y Y Y Y Y , ,* * òàêèå ïàðû y q Y� ��( , )� , ÷òî q � 0 â Q Q� � . Ïîëó÷àåì � � � � �� � � � � Grad u u k u dQ u s n dQ i i i Qi m Q , ( )( ) [ ] ( , )� � �� 1 1 0 0 � , � � � � �� � � � � � � M k dQ a n a nij j i Qi j m � � � � � �, ( ) ( ( , ) ( , ) , 1 1 1 2 � � ) ( , )s n dQ Q 1 0 0 � , � � �� �F f s n dQa Q 2 1 0 0 , ( , )� � . Îòñþäà ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâ Grad u M F� �� 2 è (15) èìååì ([ ] ( , ) ( , ) ) ( , ) ( , )u a n a n s n dQ f s n dQ Q a Q � � �� � � 1 2 1 0 1 0 0 � � � � 0 � . 122 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6 Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåì, ÷òî ([ ] ( , ) ( , ) ) ( , ) ( , )u a n a n s n dQ f s n dQ Q a Q � � �� � � 1 2 2 0 2 0 0 � � � � 0 � . Ñóììèðóÿ ïîëó÷åííûå ðàâåíñòâà, ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå s s1 2 1� � , à òàêæå ïëîòíîñòü ìíîæåñòâà ðàññìàòðèâàåìûõ ôóíêöèé ( , )� n â ïðîñòðàíñòâå L Q2 0( ) , ïîëó÷àåì [ ] ( , ) ( , )u a n a n f a� � �� � 1 2� � , ñïðàâåäëèâîå ïî÷òè âñþäó íà Q0 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â êà÷åñòâå f a ìîæíî ïðèíÿòü ëåâóþ ÷àñòü ïîñëåä- íåãî ðàâåíñòâà. Òåîðåìà äîêàçàíà. ÌÎÄÅËÜ ÒÈÏÀ ÄÅÌ×ÅÍÊÎ È ÑËÀÁÀß ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ u Ñ Q Q� � � 2 ( , ), óäîâëåòâîðÿþùóþ ðàâåíñòâàì (1)–(4), è ïðîáíóþ ôóíêöèþ q Ñ Q Q� � � 1 ( , ), óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèþ q ��� � � 0 . Âñþäó äàëåå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî a a1 2 0� � âî âñåõ òî÷êàõ ìíîæåñòâà � 0 . Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì è ôîðìóëó Îñòðîãðàäñêî- ãî–Ãàóññà, ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà: ( , ) ( ) , Lu q u q duq k u q uqL Q Q t ij i j m i i j i i2 1 1 � � � � � � � � � � �� m Q Q dQ � � � � � � � � � � � � � �� � � � � (( , ) ( , ) )� �n q n q dQ Q 0 0 . Ðàññìîòðèì ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå. Ðàñêðûâàÿ â âûðàæåíèè ( )(( , )a a n q1 2� �� �� � � �( , ) )� n q ñêîáêè è ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâà a n f u a na1 2( , ) [ ] ( , )� �� �� � � è a n f u a na2 1( , ) [ ] ( , )� �� �� � � , ïîëó÷àåì, ÷òî íà ïîâåðõíîñòè Q0 âûïîëíÿåòñÿ ñîîò- íîøåíèå ( )(( , ) ( , ) ) [ ][ ] [( , )] [a a n q n q u q a n q a1 2 1 2� � � � � �� � � � �� � � ( , )] [ ]� n q f qa � � . Ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî [( , )]� n b u b u f b� � �� � 1 2 , ïîëó÷àåì ( )(( , ) ( , ) )a a n q n q1 2� � �� � � �� � � � � � � � � �� � � � � �[ ][ ] ( )( ) [ ] (u q b u b u a q a q f q f a q a qa b1 2 1 2 1 2 ) . Òàêèì îáðàçîì, óñòàíîâëåíî, ÷òî åñëè äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõ ôóíêöèé u è q âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî ( , ) ( , )( ) ( )Lu q f qL Q Q L Q Q2 2� � � � � , òî u q duq k u q uq dt ij i j m i i m Q Q j i i � � � � � � � � � � � � � � � � � �� , 1 1 � �Q � � � � � � � � � � � [ ][ ] ( )( )u q b u b u a q a q a a dQ Q 1 2 1 2 1 2 0 0 � � � � � � � � � � �fqdQ f q f a q a q a a dQ Q Q a b Q [ ] ( )1 2 1 2 0 0 . (16) Ðàâåíñòâî (16) èñïîëüçóþò äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñëàáûõ ðåøåíèé èñõîäíîé çàäà- ÷è, ò.å. áóäåì èñïîëüçîâàòü ëåâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà (16) êàê îïðåäåëåíèå çíà÷åíèÿ � � � L u q Í Í , * äëÿ âñåõ u W� 0 è q H� . Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëåí îïåðàòîð L W H: * 0 � , î÷åâèäíî ÿâëÿþùèéñÿ ëèíåéíûì è íåïðåðûâíûì. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6 123 Ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (16) îïðåäåëÿåò ôóíêöèîíàë F H� * : F f a a f Q Q f a Q a Qa b� � � � � �� � � �1 1 2 0 0 2 0 1 0( ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))� � � � ) . (17) Òàêèì îáðàçîì óñòàíîâëåíî, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì ðåøå- íèåì çàäà÷è (1)–(4), òî â ïðîñòðàíñòâå H * âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî L u F� . Ôóíêöèþ u W� 0 , óäîâëåòâîðÿþùóþ ðàâåíñòâó L u F� â ïðîñòðàíñòâå H * , áóäåì íàçûâàòü ñëàáûì ðåøåíèåì çàäà÷è (1)–(4). Ïîäîáíîå îïðåäåëåíèå ðåøå- íèÿ èñïîëüçîâàíî òàêæå â [3]. Îòíîñèòåëüíî ñëàáîãî ðåøåíèÿ âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå òåîðåìû. Òåîðåìà 2. Ïóñòü ôóíêöèÿ u W� 0 óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ L u F� , ãäå ïðàâàÿ ÷àñòü F H� * îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì (17) äëÿ ôóíêöèé f H� * , f L Qa � 2 0( ), f L Qb � 2 0( ). Ôóíêöèÿ u t( , )� è êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ èìåþò ãëàäêîñòü, íåîáõîäèìóþ äëÿ êëàññè÷åñêîãî ïîíèìàíèÿ çàäà÷è (1)–(4), ò.å. 1) u , ut , u i� , u C Q Q i j� � � � � 0 ( , ) ; 2) k ij , � i C� � � 1 ( , )� � , d C� � � 0 ( , )� � , ai , b Ci � 0 0( )� , a a1 2 0� � â � 0 . Òîãäà ñóùåñòâóþò òàêèå f C Q Q� � �( ) , f C Qa � ( )0 è f C Qb � ( )0 , ÷òî ôóíê- öèÿ u t( , )� óäîâëåòâîðÿåò çàäà÷å (1)–(4) â ïîòî÷å÷íîì ñìûñëå è f f� â H * , à f fa a� , f fb b� â L Q2 0( ). Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ðàññìîòðåòü òàêèå ôóíêöèè q C Q� 1 ( ) , ÷òî q ��� � � 0 è q ��� � �0 0, òî, ó÷èòûâàÿ ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì è ïëîòíîñòü ìíîæåñòâà ðàññìàòðèâàåìûõ ôóíêöèé q â ïðîñòðàíñòâå H , èç ðàâåí- ñòâà � � � � � � � L u q F q Í Í Í Í , ,* * ïîëó÷àåì, ÷òî â H * ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî u du k u u ft ij i j m i i m j i i � � � � � � ( ) ( ) , � � �� 1 1 . (18) Óñëîâèÿ (2) âûïîëíÿþòñÿ, ïîñêîëüêó â ñèëó òåîðåìû î ñëåäàõ íîðìà ïðî- ñòðàíñòâà W0 óäåðæèâàåò ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ u t� � 0 0 , u ��� � � 0 . Ïîäñòàâèì â � � � � � � � L u q F q Í Í Í Í , ,* * òàêèå ôóíêöèè q C Q Q� � � 1 ( , ), ÷òî q ��� � � 0 è q ��� � � � 0 . Òîãäà, ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷àåì k u q uq dQij i j m i i m Q j i i� � �� , � � � � � � � � � � � � � � 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � ( ) ( ) , k u u qdQij i j m i i m Q Q j i i� � �� 1 1 ( , )� n q dQ Q � � � 0 0 . Ñ ó÷åòîì ýòîãî ðàâåíñòâà ìîæíî çàïèñàòü � � � � � � � � � � � � L u q u du k u u Í Í t ij i j m i i m j i i , ( ) ( )* , � � �� 1 1 � � � � � � � � � qdQ Q Q � � � � � � � � � � � � � [ ] ( ) ( , ) u q b u b u a q a a dQ n q dQ Q Q 1 2 2 1 2 0 0 0 0 � . Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ðàâåíñòâî (18), ïîëó÷àåì � � � � � � � � � � � � � �L u f q u q b u b u a q a a dQ n Í Í Q , [ ] ( ) ( ,* 1 2 2 1 2 0 0 � )� � � q dQ Q0 0 . 124 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6 Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èìååì � � � � � �� � � �F f q f q f a q a a d Q Í Í a b Q , * 2 1 2 0 0 . Ó÷èòûâàÿ ïëîòíîñòü ìíîæåñòâà ðàññìàòðèâàåìûõ ôóíêöèé q � â ïðîñòðàíñòâå L Q2 0( ) , ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî [ ] ( ) ( )( , )u a b u b u a a n f a fa b� � � � � �� � � 2 1 2 1 2 2� . (19) Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå L Q2 0( ) âûïîë- íÿåòñÿ ðàâåíñòâî � � � � � � � �� � �[ ] ( ) ( )( , )u a b u b u a a n f a fa b1 1 2 1 2 1� . (20) Ñóììèðóÿ ðàâåíñòâà (19) è (20) è ñîêðàùàÿ íà ( )a a1 2� , ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî â ïîñòðàíñòâå L Q2 0( ) : [( , )]� n b u b u f b� � �� � 1 2 . (21) Òàêæå íåñëîæíî óñòàíîâèòü, ÷òî ñëåäñòâèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé (19) è (20) ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî [ ] ( , ) ( , )u a n a n f a� � �� � 1 2� � . (22) Ó÷èòûâàÿ ãëàäêîñòü ëåâûõ ÷àñòåé ðàâåíñòâ (21), (22), èõ ìîæíî ïðèíÿòü â êà÷åñòâå f a è f b ñîîòâåòñòâåííî. Òåîðåìà äîêàçàíà. Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü ìåæäó ìîäåëüþ òèïà Äåì÷åíêî è ñëàáûì ðåøåíèåì. Òåîðåìà 3. Åñëè p a a a 1 2 1 2 � � , p a a a 2 1 1 2 � � è ïàðà y q Y� �( , )� óäîâëåòâî- ðÿåò ñèñòåìå � � � � � � � � � � � � � Êgrad q t Q Q q a a s n s n t , ( , ) , [ ] ( , ) ( , ) , ( 1 2 1 2 , ) ,� � � � � �� Q0 (23) òî ïàðà x u X� �( , )� óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ � � � � � � � Ax y F y Y Y Y Y , ,* * òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà � � � � � � � L u q F q Í Í Í Í , ,* * . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîäñòàâèì ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå y q Y� �( , )� ñèñòå- ìû (23) â ðàâåíñòâî � � � � � � � Ax y F y Y Y Y Y , ,* * . Åñëè òåïåðü â èíòåãðàëàõ ïî îá- ëàñòè Q Q� � ôóíêöèþ � çàìåíèòü íà Kgrad q, à â èíòåãðàëàõ ïî Q0 âûðàæåíèå s n s n1 2( , ) ( , )� �� �� çàìåíèòü íà [ ]q a a1 2� , òî íåñëîæíûìè ðàâíîñèëüíûìè ïðåîá- ðàçîâàíèÿìè ìîæíî ïîëó÷èòü ðàâåíñòâî � � � � � � � L u q F q Í Í Í Í , ,* * . Òåîðåìà äîêàçàíà. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Â íàñòîÿùåé ñòàòüå ïðåäëîæåíà åäèíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïðîöåññîâ ïå- ðåíîñà äëÿ ïàðàáîëè÷åñêèõ ñèñòåì ñ ðàçíîîáðàçíûìè óñëîâèÿìè ñîïðÿæåíèÿ, èçó÷åíû ñâîéñòâà ýòîé ìîäåëè, à òàêæå óñòàíîâëåíû òåîðåìû ñâÿçûâàþùèå òàêîé ïîäõîä ñ àëüòåðíàòèâíûìè ïîñòàíîâêàìè. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , Ä å é í å ê à  . Ñ . Ñèñòåìíûé àíàëèç ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåí- íûõ ñèñòåì. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2009. — 640 ñ. 2. Ä å é í å ê à  . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , Ñ ê î ï å ö ê è é  .  . Ìîäåëè è ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ ñ óñëîâèÿìè ñîïðÿæåíèÿ. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1998. — 616 ñ. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6 125 3. Ñ å ì å í î â  .  . Ðàçðåøèìîñòü ïàðàáîëè÷åñêîé çàäà÷è ñîïðÿæåíèÿ ñ óñëîâèåì îáîáùåííîãî ñîáñòâåííîãî ñîñðåäîòî÷åííîãî èñòî÷íèêà // Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. — 2005. — 41, ¹ 6. — Ñ. 836–843. 4. Í î ì è ð î â ñ ê è é Ä . À . Ïðèáëèæåííûé ìåòîä ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñ íåîäíîðîäíûìè óñëîâèÿìè ñîïðÿæåíèÿ òèïà íåèäåàëüíîãî êîíòàêòà // Æóðíàë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. — 2006. — 46, ¹ 6. — Ñ. 1045–1057. 5. Ë ÿ ø ê î È . È . , Ä å ì ÷ å í ê î  . Ô . Îáîáùåííûå ôîðìóëèðîâêè çàäà÷ òåïëî- è ìàññîïåðåíî- ñà â ñëîèñòûõ ñðåäàõ / Ïðåïðèíò ÀÍ ÓÑÑÐ. Èí-ò êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà. — Êèåâ, 1987. — 27 ñ. 6. D e m c h e n k o V . F . , K r i v t s u n I . V . , P a v l y k V . O . , D i l t h e y U . , L i s n y i O . B . , N a k v a s y u k V . V . Problems of heat, mass and charge transfer with discontinuous solutions // European Journal of Applied Mathematics. — 2011. — 22, N 4. — P. 365–380. 7. Í î ì è ð î â ñ ê è é Ä . À . Îáîáùåííàÿ ðàçðåøèìîñòü ïàðàáîëè÷åñêèõ ñèñòåì ñ íåîäíîðîäíûìè óñëîâèÿìè ñîïðÿæåíèÿ òèïà íåèäåàëüíîãî êîíòàêòà // Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. — 2004. — 40, ¹ 10. — Ñ. 1390–1399. 8. N o m i r o v s k i i D . Generalized solvability and optimization of a parabolic system with a dis- continuous solution // Journal of Differential Equations. — 2007. — 233, N 1. — P. 1–21. 9. Ë ÿ ø ê î Ñ . È . , Í î ì è ð î â ñ ê è é Ä . À . , Ï å ò ó í è í Þ . È . , Ñ å ì å í î â  .  . Äâàäöàòàÿ ïðîáëåìà Ãèëüáåðòà. Îáîáùåííûå ðåøåíèÿ îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé. — Ì.: OOO «È.Ä. Âèëü- ÿìñ», 2009. — 192 ñ. 10. K l y u s h i n D . A . , L y a s h k o S . I . , N o m i r o v s k i i D . A . , P e t u n i n Y u . I . , S e m e n o v V . V . Generalized solutions of operator equations and extreme elements. — New York: Springer, 2012. — 202 p. 11. F u m i o K i k u c h i . Numerical analysis of a mixed finite element method for plate buckling problems // Institute of Space and Aeronautical Science, University of Tokyo Report. — 1980. — N 584, September. — P. 165–190. 12. M e r c i e r B . , O s b o r n J . , R a p p a z J . , R a v i a r t P . A . Eigenvalue approximation by mixed and hybrid methods // Mathematics of Computation. — 1981. — 36, N 154. — P. 427–453. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 04.04.2016 Ä.À. Íîì³ðîâñüêèé, Î.². Âîñòð³êîâ ÓÇÀÃÀËÜÍÅͲ ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÈ ÒÀ ÂËÀÑÒÈÂÎÑÒ² ÌÎÄÅËÅÉ ÏÐÎÖÅѲ ÏÅÐÅÍÎÑÓ Â ÎÁËÀÑÒßÕ Ç ÐÎÇвÇÀÌÈ Àíîòàö³ÿ. Âèâ÷àºòüñÿ ë³í³éíå ïàðàáîë³÷íå ð³âíÿííÿ â îáëàñò³ ç òîíêèì ñëà- áîïðîíèêíèì âêëþ÷åííÿì. Äëÿ ö³º¿ çàäà÷³ îòðèìàíî íîâó ìîäåëü ç íåâ³äî- ìèìè ( , )u � .  ìåæàõ ö³º¿ ìîäåë³ îñíîâíå ïàðàáîë³÷íå ð³âíÿííÿ äðóãîãî ïî- ðÿäêó òðàíñôîðìóºòüñÿ â ñèñòåìó äâîõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü ïåðøîãî ïîðÿäêó ç êîåô³ö³ºíòàìè ç êëàñ³â óçàãàëüíåíèõ ôóíêö³é. Äîñë³äæåíî çâ’ÿçîê öüîãî ï³äõîäó ç êëàñè÷íîþ òà ñëàáêîþ ïîñòàíîâêàìè çàäà÷³. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ïàðàáîë³÷íå ð³âíÿííÿ, ðîçðèâí³ ðîçâ'ÿçêè, óìîâè ïåðåíåñåí- íÿ, óçàãàëüíåí³ ôóíêö³¿. D.A. Nomirovskii, Î.I. Vostrikov GENERALIZED FORMULATIONS AND PROPERTIES OF MODELS OF TRANSMISSION PROCESSES IN DOMAINS WITH CUTS Abstract. We study a linear parabolic system in a domain with a thin low-permeable insertion. A new formulation of the problem is obtained with the unknowns ( , )u � . Under this approach, the main second-order parabolic equation is converted to a set of first-order partial differential equations with distributional coefficients. The relations of the approach to the classical and weak formulations of the problem are analyzed. Keywords: parabolic equation, discontinuous solution, transmission conditions, generalized functions. Íîìèðîâñêèé Äìèòðèé Àíàòîëüåâè÷, äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêî, e-mail: kashpir@mail.ru. Âîñòðèêîâ Àëåêñåé Èãîðåâè÷, ìàãèñòð, Êèåâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêî, e-mail: alexvost93@yandex.ua. 126 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6

Ähnliche Einträge