Упрощенная математическая модель микропроцессов в проводнике с электрическим током проводимости
На основе разработанной в соответствии с принципами классической физики упрощенной математической модели микропроцессов в металлическом проводнике с электрическим током проводимости произвольной временной формы приведена расчетная оценка важнейших физических величин, определяющих направленное переме...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Електротехніка і електромеханіка |
|---|---|
| Datum: | 2006 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут технічних проблем магнетизму НАН України
2006
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142697 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Упрощенная математическая модель микропроцессов в проводнике с электрическим током проводимости / М.И. Баранов // Електротехніка і електромеханіка. — 2006. — № 2. — С. 66-70. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-142697 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Баранов, М.И. 2018-10-13T19:45:40Z 2018-10-13T19:45:40Z 2006 Упрощенная математическая модель микропроцессов в проводнике с электрическим током проводимости / М.И. Баранов // Електротехніка і електромеханіка. — 2006. — № 2. — С. 66-70. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 2074-272X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142697 621.3:533.9 На основе разработанной в соответствии с принципами классической физики упрощенной математической модели микропроцессов в металлическом проводнике с электрическим током проводимости произвольной временной формы приведена расчетная оценка важнейших физических величин, определяющих направленное перемещение (дрейф) под воздействием внешнего электрического поля свободных электронов материала проводника. На основі розробленої згідно зі принципами класичної фізики спрощеної математичної моделі мікропроцесів у металевому провіднику зі електричним струмом провідності довільної часової форми наведено розрахункову оцінку важливих фізичних величин, які визначають направлене переміщення (дрейф) під дією зовнішнього електричного поля вільних електронів матеріалу провідника. On the basis of a simplified mathematical model developed in accordance with classical physics principles for microprocesses in a metallic conductor with an electric current of an arbitrary time curve, an estimation of the most important physical magnitudes specifying free electron drift in the conductor material under external electric field action is given. ru Інститут технічних проблем магнетизму НАН України Електротехніка і електромеханіка Теоретична електротехніка Упрощенная математическая модель микропроцессов в проводнике с электрическим током проводимости A simplified mathematical model of microprocesses in a conductor with a conduction current Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Упрощенная математическая модель микропроцессов в проводнике с электрическим током проводимости |
| spellingShingle |
Упрощенная математическая модель микропроцессов в проводнике с электрическим током проводимости Баранов, М.И. Теоретична електротехніка |
| title_short |
Упрощенная математическая модель микропроцессов в проводнике с электрическим током проводимости |
| title_full |
Упрощенная математическая модель микропроцессов в проводнике с электрическим током проводимости |
| title_fullStr |
Упрощенная математическая модель микропроцессов в проводнике с электрическим током проводимости |
| title_full_unstemmed |
Упрощенная математическая модель микропроцессов в проводнике с электрическим током проводимости |
| title_sort |
упрощенная математическая модель микропроцессов в проводнике с электрическим током проводимости |
| author |
Баранов, М.И. |
| author_facet |
Баранов, М.И. |
| topic |
Теоретична електротехніка |
| topic_facet |
Теоретична електротехніка |
| publishDate |
2006 |
| language |
Russian |
| container_title |
Електротехніка і електромеханіка |
| publisher |
Інститут технічних проблем магнетизму НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
A simplified mathematical model of microprocesses in a conductor with a conduction current |
| description |
На основе разработанной в соответствии с принципами классической физики упрощенной математической модели микропроцессов в металлическом проводнике с электрическим током проводимости произвольной временной формы приведена расчетная оценка важнейших физических величин, определяющих направленное перемещение (дрейф) под воздействием внешнего электрического поля свободных электронов материала проводника.
На основі розробленої згідно зі принципами класичної фізики спрощеної математичної моделі мікропроцесів у металевому провіднику зі електричним струмом провідності довільної часової форми наведено розрахункову оцінку важливих фізичних величин, які визначають направлене переміщення (дрейф) під дією зовнішнього електричного поля вільних електронів матеріалу провідника.
On the basis of a simplified mathematical model developed in accordance with classical physics principles for microprocesses in a metallic conductor with an electric current of an arbitrary time curve, an estimation of the most important physical magnitudes specifying free electron drift in the conductor material under external electric field action is given.
|
| issn |
2074-272X |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142697 |
| citation_txt |
Упрощенная математическая модель микропроцессов в проводнике с электрическим током проводимости / М.И. Баранов // Електротехніка і електромеханіка. — 2006. — № 2. — С. 66-70. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT baranovmi uproŝennaâmatematičeskaâmodelʹmikroprocessovvprovodnikesélektričeskimtokomprovodimosti AT baranovmi asimplifiedmathematicalmodelofmicroprocessesinaconductorwithaconductioncurrent |
| first_indexed |
2025-11-27T00:42:10Z |
| last_indexed |
2025-11-27T00:42:10Z |
| _version_ |
1850789153272233984 |
| fulltext |
Теоретична електротехніка
66 Електротехніка і Електромеханіка. 2006. №2
УДК 621.3:533.9
УПРОЩЕННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МИКРОПРОЦЕССОВ
В ПРОВОДНИКЕ С ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ТОКОМ ПРОВОДИМОСТИ
Баранов М.И., д.т.н.
НИПКИ "Молния" Национального технического университета "Харьковский политехнический институт"
Украина, 61013, г. Харьков, ул. Шевченко, 47, НИПКИ "Молния" НТУ "ХПИ"
тел. (057) 707-68-41, факс (057) 707-61-33, E-mail: nipkimolniya@kpi.kharkov.ua
На основі розробленої згідно зі принципами класичної фізики спрощеної математичної моделі мікропроцесів у метале-
вому провіднику зі електричним струмом провідності довільної часової форми наведено розрахункову оцінку важливих
фізичних величин, які визначають направлене переміщення (дрейф) під дією зовнішнего електричного поля вільних
електронів матеріалу провідника.
На основе разработанной в соответствии с принципами классической физики упрощенной математической модели
микропроцессов в металлическом проводнике с электрическим током проводимости произвольной временной формы
приведена расчетная оценка важнейших физических величин, определяющих направленное перемещение (дрейф) под
воздействием внешнего электрического поля свободных электронов материала проводника.
ВВЕДЕНИЕ
В соответствии с современными общепризнан-
ными научными теориями и физическими положе-
ниями любое твердое тело, в том числе и металличе-
ский проводник, состоит из отдельных атомов, обра-
зующих его кристаллическую решетку [1]. При этом
концентрация атомов 0N (м-3) в данной решетке для
большинства проводниковых материалов численно
составляет величину порядка 1029 м-3 [2]. Отдельные
атомы кристаллической решетки со своими атомными
оболочками, содержащими распределенные по энер-
гетическим уровням (орбитам) отрицательно заря-
женные частицы − электроны, из-за непрерывно про-
текающих внутри вещества (материала проводника)
процессов их ионизации квантами (размеренными
порциями) электромагнитной (тепловой) энергии по
существу становятся положительно заряженными
ионами [1, 2]. Освободившиеся от своих атомов на
основе таких внутриатомных процессов электроны из
связанных становятся свободными. Так, например,
для широко используемого в электротехнике такого
проводникового материала как медь ее первый иони-
зационный потенциал 0E (Дж) составляет численное
значение, равное 0E =12,21·10-19 Дж [3]. В межатом-
ное пространство материала проводника попадают,
прежде всего, электроны с внешних валентных зон
рассматриваемых атомов вещества. Напомним, что
согласно зонной теории атомов вещества [4] в метал-
лах верхние энергетические зоны атомов (зоны про-
водимости атомов) совпадают с валентными зонами,
частично или полностью заселенными связанными
электронами атомов. Именно эти ставшими свобод-
ными мечущееся (хаотично движущееся) тепловые
электроны практически полностью занимают и про-
низывают атомное пространство между указанными
ионами кристаллической решетки проводникового
материала. Именно эти свободные электроны и опре-
деляют, в конце концов, проводниковые свойства лю-
бого металла. Тем не менее, в случае не выхода сво-
бодных электронов за пределы межатомного про-
странства (металла) и нахождения их в энергетиче-
ской отрицательной потенциальной "яме" проводни-
ка, глубина которой не превышает постоянного зна-
чения работы выхода BW (Дж) электронов из про-
водника (например, для меди BW =7,03·10-19 Дж [3]),
материал проводника в результате таких внутренних
микропроцессов по отношению к окружающему его
макромиру оказывается, как и до их (микропроцессов)
протекания, электронейтральным. Свободные элек-
троны проводника, исходя из принятых в атомной
физике понятий, напоминают некий "электронный
газ", заполняющий межатомное пространство его ма-
териала [3, 4]. Следуя такой физической аналогии
можно, с определенной долей обоснованности и уве-
ренности, предположить то, что в состоянии теплово-
го равновесия свободные электроны металлического
проводника будут приближенно подчиняться стати-
стическому распределению, характерному для моле-
кул идеального газа, то есть известному распределе-
нию Максвелла-Больцмана [3, 4]. На таком подходе
базируется известная классическая электронная тео-
рия электропроводности металлов Друде-Лоренца
[5, 6]. Определенные недостатки этой теории (возни-
кающие трудности при практическом определении с
ее помощью средней скорости и средней длины сво-
бодного пробега свободных электронов в проводнике
и др. [5]) заставляют специалистов для практических
целей искать более простые и ясные как для электро-
техников, так и электрофизиков приближения в опи-
сании сложных микроэлектромеханических процес-
сов, возникающих в проводящей структуре металли-
ческого проводника при внешнем приложении к по-
следнему электрического напряжения (поля). Данного
научного экскурса, посвященного общефизической
картине протекающих микропроцессов в металличе-
ском проводнике, вполне достаточно для того, чтобы
при решении прикладных задач рассматривать нам
специалистам − электротехникам (электрофизикам) в
дальнейшем электромагнитные микропроцессы в нем
(проводнике) с электрическим током проводимости
как процессы, обусловленные распространением из-
вестных теорий атомистики на область электричества
Електротехніка і Електромеханіка. 2006. №2 67
(электрофизики) [5].
Целью данной работы является разработка на
принципах классической физики, не прибегая к зако-
номерностям квантовой физики, упрощенной матема-
тической модели поведения свободных электронов
внутри металлического проводника с электрическим
током проводимости, базирующейся практически
только на корпускулярном представлении свободных
электронов как элементарных частиц вещества с то-
чечным электрическим зарядом 0e (Кл), приближен-
но равным 0e =1,602·10-19 Кл [3].
1. ПРИНЯТЫЕ ДОПУЩЕНИЯ И ПОСТАНОВКА
НАУЧНОЙ ЗАДАЧИ
Рассмотрим размещенный в воздухе тонкий в
электромагнитном отношении изотропный прямоли-
нейный сплошной проводник радиусом Пr (м) и дли-
ной Пl (м) при условии Пl >> Пr (рис.). Примем, что
к противоположным концам металлического провод-
ника приложена разность электрических потенциалов
)(П tU (В), изменяющаяся во времени t (с) по произ-
вольному закону. Пусть по данному проводнику по-
перечным сечением ПS (м2) вдоль его продольной
оси OZ протекает постоянный или переменный (им-
пульсный) ток проводимости )(П ti (А).
Рис. Расчетная модель тонкого металлического проводника
с электрическим током проводимости ( )tiП .
Как известно, в рассматриваемом проводнике его
радиус Пr будет значительно меньше толщины токо-
вого скин-слоя в его материале и протекающий по
нему ток проводимости )(П ti будет равномерно рас-
пределен по поперечному сечению ПS цилиндриче-
ского проводника. Рассмотрим случай, когда влияни-
ем токов смещения и выделяющегося в материале
проводника джоулева тепла на электрофизические
характеристики материала исследуемого проводника,
и прежде всего, на его удельную электропроводность
Пγ (См/м), можно пренебречь. Считаем, что хаотич-
но движущиеся или дрейфующие по проводнику сво-
бодные электроны находятся в энергетической отри-
цательной потенциальной "яме" и удовлетворяют мо-
дели "электронного газа", а также приближению, ба-
зирующемуся на их чисто корпускулярном представ-
лении элементарными носителями отрицательного
электрического заряда в материале проводника. При-
мем, что концентрация свободных электронов в мате-
риале проводника не зависит от напряженности
внешнего электрического поля ( )tEП (В/м), прило-
женного к исследуемому проводнику.
Требуется с учетом принятых допущений для
практических расчетов получить простым и ясным
путем, как с методической, так и с физической точки
зрения, приближенные аналитические соотношения,
описывающие поведение свободных электронов в
металлическом проводнике до воздействия на него
электрического напряжения )(П tU и протекание в
материале рассматриваемого проводника микропро-
цессов, сопровождающих направленное перемещение
(дрейф) свободных электронов под электромагнит-
ным (силовым) воздействием приложенного к про-
воднику электрического напряжения )(П tU , произ-
вольно изменяющегося во времени t .
2. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
МОДЕЛИ
Согласно вышеупомянутому классическому рас-
пределению Максвелла−Больцмана до приложения к
исследуемому проводнику электрического напряже-
ния )(П tU средняя величина кинетической энергии
КW (Дж) свободного электрона, приходящейся на его
три степени свободы, соответствующих указанному
выше случаю хаотичного (теплового) движения сво-
бодных электронов в проводнике, будет равна [3, 4]:
КW = 2/3 Б Tk ⋅⋅ , (1)
где Бk =1,38·10-23 Дж/К − постоянная Больцмана; −T
абсолютная температура материала проводника, К.
Выполненная по (1) численная оценка значения
кинетической энергии КW для свободного электрона
в медном проводнике при комнатной температуре
проводника (T = 293,16 К [3]) показывает, что она не
превышает величину =КW 0,606·10-20 Дж, то есть в
нашем случае КW << BW .
Тогда, до силового воздействия на свободный
электрон электрического напряжения )(П tU в первом
приближении для рассматриваемой нами простейшей
модели микропроцессов в твердом материале провод-
ника можно будет записать такое энергетическое со-
отношение [3, 7]:
232 Б
2 Tkvm Te ⋅⋅=⋅ , (2)
где =em 9,108·10-31 кг − масса покоя свободного
электрона; Tv - тепловая скорость хаотичного движе-
ния свободного электрона в проводнике (м/с).
Очевидно, что из-за приложенного к металличе-
скому проводнику между его концами электрического
напряжения )(П tU внутренняя структура материала
проводника будет испытывать воздействие напряжен-
ности внешнего электрического поля )(П tE , равной:
)(П tE = ПП )( ltU . (3)
Воздействие напряженности )(П tE такого
внешнего электрического поля в соответствии с (3) на
микроструктуру материала проводника вызывает, в
свою очередь, согласно законам классической физики
и механики в направлении ее действия (например,
68 Електротехніка і Електромеханіка. 2006. №2
вдоль продольной оси проводника OZ ) ускорение ea
(м/с2) его свободных электронов, определяемое из
следующего приближенного выражения [3]:
( ) ee mtEea П0 ⋅= (4)
В результате указанного силового воздействия
внешнего электрического поля на свободные электро-
ны металлического проводника последние приобре-
тают дополнительно к скорости Tv хаотичного дви-
жения некоторую среднюю дрейфовую скорость Dv
(м/с), которая в первом приближении может быть вы-
ражена в виде [3]:
eeD av τ⋅= , (5)
где eτ − среднее время пробега свободного электрона
между актами его упругого кулоновского рассеяния
на ионах кристаллической решетки материала про-
водника (время релаксации) (с).
В результате из (4) и (5), с одной стороны, для
средней дрейфовой скорости Dv свободных электро-
нов в материале проводника с электрическим током
проводимости )(П ti имеем:
eeD mEev П0 ⋅τ⋅= . (6)
С другой стороны, для средней дрейфовой ско-
рости Dv свободных электронов в материале рас-
сматриваемого проводника будет справедливо сле-
дующее соотношение [2, 8]:
Dv = )(П tδ / 0e · en , (7)
где )(П tδ = )(П ti / ПS − плотность электрического тока
проводимости в металлическом проводнике (А/м2);
en − плотность свободных электронов в металличе-
ском проводнике (м-3).
Следует подчеркнуть, что согласно (7) вклад в
плотность )(П tδ тока проводимости и соответственно
в сам электрический ток проводимости )(П ti металли-
ческого проводника дает только средняя дрейфовая
скорость Dv свободных электронов. Скорость же их
хаотичного (теплового) движения Tv никакого вклада
в электрический ток проводимости )(П ti проводника
не вносит, так как ее среднее значение равно нулю.
Как известно, плотность en свободных электро-
нов в металлическом проводнике будет равна концен-
трации 0N (м-3) атомов материала проводника, ум-
ноженной на валентность химического элемента, об-
разующего этот проводящий материал. В свою оче-
редь, валентность материала проводника определяет-
ся числом неспаренных электронов на валентных
электронных оболочках (энергетических уровнях) его
атомов (например, для меди валентность равна двум
[1, 4]). Что касается концентрации атомов 0N в ме-
таллическом проводнике с плотностью Пd (кг/м3) его
материала, то она вычисляется из следующего извест-
ного выражения [3, 8]:
0N = Пd [ ] 127106606,1
−−⋅⋅aM , (8)
где −aM атомная масса материала проводника, прак-
тически равная массовому числу A ядра атома ис-
пользованного в проводнике материала, вычисляемо-
му согласно периодической системе элементов
Д.И. Менделеева в атомных единицах массы (одна
атомная единица массы равна 1/12 массы атома изо-
топа углерода С12
6 , составляющей 1,6606·10-27кг).
Приравняв выражения (6) и (7), для плотности
тока )(П tδ в металлическом проводнике получаем:
)(П tδ = Пγ · )(П tE , (9)
где Пγ = 2
0e · en · eτ / em −удельная электропроводность
материала проводника.
Из (9) видно, что полученное нами на основе уп-
рощенной модели микропроцессов в проводнике со-
отношение для плотности )(П tδ тока проводимости в
металлическом проводнике полностью соответствует
дифференциальной форме записи закона Ома для
электрической линейной цепи и первому электроди-
намическому уравнению Максвелла [2, 9]. Кроме то-
го, найденное нами весьма простым путем соотноше-
ние для удельной электропроводности Пγ твердого
материала проводника в виде Пγ = 2
0e · en · eτ / em ока-
зывается равным известному аналитическому выра-
жению (4-91) из [4], ранее примененному в радио-
электронике при исследовании температурной зави-
симости ряда проводниковых материалов, включая
электролитическую медь.
Полученное согласно (9) для Пγ аналитическое
выражение можно переписать в следующем удобном
для последующего анализа виде:
( ) evee
e
e uen
m
e
ρ⋅=⋅⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ τ⋅
=γ 0
0
П , (10)
где eee meu τ⋅= 0 − подвижность свободных электро-
нов в металлическом проводнике с током проводимо-
сти )(П ti (м2/В·с) [2, 4]; 0eneev ⋅=ρ − пространствен-
ная плотность отрицательного заряда в металлическом
проводнике с током проводимости )(П ti , определяе-
мая свободными электронами проводника (Кл/м3).
Из (10) вытекает важный как для практических
целей, так и для физического понимания протекаю-
щих в металлическом проводнике с током проводи-
мости )(П ti микропроцессов вывод, заключающийся
в том, что удельная электропроводность Пγ рассмат-
риваемого проводника обеспечивается только его
свободными электронами − элементарными носите-
лями отрицательного заряда, то есть для исследуемо-
го проводника будет характерна только электронная
проводимость. Причем, согласно (10) чем выше под-
вижность eu свободных электронов, тем больше и
значение удельной электропроводности Пγ материа-
ла проводника. Так как для большинства металлов
численное значение плотности en их свободных элек-
тронов изменяется незначительно (например, для низ-
коэлектропроводного вольфрама значение en состав-
ляет en =12,51·1028 м-3, а для высокоэлектропроводной
меди − en =16,86·1028 м-3 [3, 4]), то в соответствии с
Електротехніка і Електромеханіка. 2006. №2 69
(10) основным параметром, определяющим значение
подвижности eu свободных электронов и соответст-
венно значение удельной электропроводности Пγ
материала исследуемого проводника, будет являться
среднее время eτ пробега свободного электрона в
металлическом проводнике (например, для меди вре-
мя релаксации eτ имеет порядок 10-14 с [2, 3]).
Величину среднего времени eτ пробега свобод-
ного электрона, для решаемой нами задачи и ее соот-
ношений (9) и (10), в частности, можно приближенно
найти из следующего выражения [4, 7]:
( )DTee vvl +=τ , (11)
где el - средняя длина пробега свободного электрона
в материале проводника (м) (например, для меди дли-
на el имеет порядок 10-8 м [2, 3]).
Выполним численную оценку значений скорости
Tv хаотичного (теплового) движения и средних ско-
ростей Dv дрейфа свободных электронов в медном
проводнике при комнатной температуре T , напри-
мер, для случая, когда амплитуда ПАE воздействую-
щей на них напряженности )(П tE внешнего электри-
ческого поля равна достаточно высокому значению
100ПА =E В/м. Так как для большинства применяе-
мых в электротехнике металлов типичное значение
подвижности eu свободных электронов при
T =293,16 К составляет незначительную величину и в
среднем примерно равную ≈eu 0,003 м2/В·с [2, 7], то
из (6) следует, что средняя скорость Dv дрейфа сво-
бодного электрона в рассматриваемом случае числен-
но составляет всего Dv = 0,3 м/с. Для оценки досто-
верности этого результата относительно численного
значения Dv используем формулы (7) и (9). Известно,
что при T =293,16 К удельная электропроводность
Пγ для меди примерно равна Пγ =5,81·107 См/м [2,3].
Тогда согласно (9) при 100ПА =E В/м для амплитуды
плотности ПАδ тока проводимости в медном провод-
нике следует, что ПАδ =5,81·109 А/м2. В результате
подстановки этого численного значения для ПАδ в
формулу (7) получаем, что при en =16,86·1028 м-3 [3, 4]
наибольшая величина средней скорости Dv дрей-
фующего в медном проводнике свободного электрона
не превышает значения Dv =0,22 м/с, которое хорошо
согласуется с ранее нами полученным по (6) значени-
ем Dv и численно равным Dv =0,3м/с.
Из (2) для скорости Tv хаотичного (теплового)
движения свободных электронов в металлическом
проводнике вытекает следующее приближенное соот-
ношение:
( ) 21
eБ3 mTkvT ⋅⋅= . (12)
Используя (12), при комнатной температуре воз-
духа и материала проводника ( T =293,16 К [3]) нахо-
дим, что скорость Tv хаотичного движения свободно-
го электрона в нашем случае будет примерно равна
Tv =1,15·105 м/с. Так как для исследуемого случая
Tv >> Dv , то практически влиянием средней скорости
дрейфа Dv свободных электронов металлического
проводника на изменения времени eτ их релаксации
можно обоснованно пренебрегать.
Приближенную оценку в (11) значений средней
длины el пробега свободных электронов в металли-
ческом проводнике на основании известной модели
свободных электронов Зоммерфельда и их упругого
рассеяния кулоновским полем ионов кристаллической
решетки материала проводника [2, 3] можно осущест-
влять с помощью следующего выражения:
( ) 1
0
610 −⋅⋅= ee SNl , (13)
где ( )22
0
4
0
2 16 ke WeZS ⋅ε⋅π⋅⋅= - сечение рассеивания
свободных электронов ионами (атомами) кристалличе-
ской решетки материала проводника (м2); −Z порядко-
вый номер химического элемента, из которого выполнен
металлический проводник, определяемый согласно пе-
риодической системе элементов Д.И. Менделеева и чис-
ленно равный положительному заряду ядра его атома
(например, для меди − Z =29 [3]); 12
0 10854,8 −⋅=ε Ф/м
− диэлектрическая постоянная [2].
Использование на практике расчетной формулы
(12) показывает, что она дает весьма заниженные оце-
ночные значения для скорости Tv хаотичного (тепло-
вого) движения свободных электронов в металличе-
ском проводнике. Лучшее приближение к опытным
данным, касающимся Tv , дает для нее (этой скоро-
сти) та формула, которая основывается не на класси-
ческом распределении Максвелла − Больцмана для
"электронного газа", а на статистическом распределе-
нии Ферми − Дирака, то есть на понятии энергии FE
Ферми для электронов (например, для меди
FE =11,27·10-19Дж [4]). В последнем случае выраже-
ние применительно к определению значения скорости
Tv хаотичного (теплового) движения для свободных
электронов в металлическом проводнике принимает
следующий вид [3]:
Tv = 2/1)/2( eF mE⋅ . (14)
Численная оценка значения для Tv , выполненная
для медного проводника по (14), приводит нас к такой
величине скорости Tv хаотичного (теплового) движе-
ния свободного электрона в нем как Tv =1,57·106 м/с,
которая оказывается примерно на порядок выше ранее
рассчитанной нами аналогичной скорости Tv по (12).
Заметим, что при вычислении значений Tv по
(14) в выражении для eS согласно (13) вместо сред-
ней кинетической энергии КW свободных электронов
необходимо также использовать соответствующее
значение для энергии FE Ферми. Основанием для
такой замены может служить то, что при приложении
к рассматриваемому проводнику длиной Пl электри-
70 Електротехніка і Електромеханіка. 2006. №2
ческого напряжения )(П tU распределение его сво-
бодных электронов по скоростям изменяется лишь
вдоль продольной оси OZ и то на незначительную
величину ( Dv << Tv ), влиянием которой при практи-
ческих расчетах микропроцессов в металлическом
проводнике с током проводимости )(П ti можно про-
сто пренебрегать.
Поразительным и одновременно парадоксаль-
ным фактом в общей картине рассматриваемых мик-
ропроцессов внутри металлического проводника с
током проводимости )(П ti является то, что при почти
незаметном изменении распределения свободных
электронов по скоростям из-за приложения к нему
электрического напряжения ( )tUП , например, для
медного проводника ( =en 16,86·1028 м-3 [3,4]) в слу-
чае, когда =ПАE 100 В/м, амплитуда ПАδ плотности
тока в нем в соответствии с полученными нами рас-
четными соотношениями (9) и (10) достигает доста-
точно больших численных значений порядка
≈δПА 6·109 А/м2 ≈ 6 кА/мм2. Такие значения плотно-
сти тока ПАδ при относительно малых значениях
подвижности eu для свободных электронов (напри-
мер, для меди их подвижность eu при =T 273,16 К
характеризуется примерно численным значением
≈eu 0,0025 м2/В·с [2,3]) могут быть объяснены только
высокими значениями пространственной плотности
evρ отрицательного заряда дрейфующих свободных
электронов в металлическом проводнике с электриче-
ским током проводимости )(П ti (например, для меди
их объемная плотность evρ заряда имеет примерно
такое численное значение − ≈ρev 2,7·1010 Кл/м3 [3]).
ВЫВОДЫ
1. На основе положений классической физики
для чисто корпускулярного приближения свободных
электронов металлического проводника с электриче-
ским постоянным или переменным (импульсным)
током проводимости )(П ti разработана упрощенная
математическая модель микропроцессов внутри мате-
риала исследуемого проводника, позволяющая доста-
точно просто находить распределения его свободных
электронов по хаотичным Tv и дрейфовым Dv ско-
ростям, а также определять значения подвижности eu
и пространственной плотности evρ отрицательных
зарядов свободных электронов в металлическом про-
воднике, к противоположным концам которого при-
ложено электрическое напряжение )(П tU произволь-
ной временной формы.
2. Разработанная приближенная модель микро-
процессов в металлическом проводнике с изменяю-
щимся во времени t по произвольному закону элек-
трическим током проводимости )(П ti удовлетворяет
закону Ома в дифференциальной форме для электри-
ческой линейной цепи, полностью соответствует пер-
вому уравнению Максвелла и позволяет вычислять
удельную электропроводность Пγ материала провод-
ника через подвижность eu и пространственную
плотность evρ отрицательного заряда его дрейфую-
щих под воздействием напряженности )(П tE внеш-
него электрического поля свободных электронов.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Астафуров В.И., Бусев А.И. Строение вещества.- М.:
Просвещение, 1977.- 160 с.
[2] Кнопфель Г. Сверхсильные импульсные магнитные
поля/ Пер. с англ.- М.: Мир, 1972. – 391 с.
[3] Кузьмичев В.Е. Законы и формулы физики/ Отв. ред.
В.К. Тартаковский.- Киев: Наукова думка, 1989.- 864 с.
[4] Справочник по теоретическим основам радиоэлектро-
ники/ Под ред. Б.Х. Кривицкого, В.Н. Дулина. Т.1.-М.:
Энергия, 1977.- 504 с.
[5] Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике.-
М.: Наука, 1990.- 624 с.
[6] Лоренц Г.А. Теория электронов и ее применение к явле-
ниям света и теплового излучения/ Пер. с англ. под ред.
Т.П. Кравца. - М.: Гостехиздат, 1956.- 472 с.
[7] Солимар Л., Уолш Д. Лекции по электрическим свойст-
вам материалов/ Пер. с англ. под ред. С.И. Баскакова.-
М.: Мир, 1991.-504 с.
[8] Баранов М.М., Баранов М.И. Квантовомеханическая
модель поглощения электромагнитных волн проводни-
ком и явление его электрического взрыва// Електро-
техніка і електромеханіка. Харьков: НТУ "ХПИ".- 2005.-
№2.- С. 63-71.
[9] Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы
электротехники. Т.2. -Ленинград: Энергоиздат, 1981.-
416 с.
Поступила 21.10.2005
|