Інтегральні рівняння в моделюванні керованих електромеханічних систем

В статье на примере показано использование интегральных уравнений в моделировании управляемых электромеханических систем. С использованием неявных формул Адамса проведен анализ точности и рационального порядка формул численного интегрирования....

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2007
Main Author:	Мороз, В.І.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут технічних проблем магнетизму НАН України 2007
Series:	Електротехніка і електромеханіка
Subjects:	Електричні машини та апарати
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142869
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Інтегральні рівняння в моделюванні керованих електромеханічних систем / В.І. Мороз // Електротехніка і електромеханіка. — 2007. — № 3. — С. 39-43. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-142869
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1428692025-02-23T19:09:32Z Інтегральні рівняння в моделюванні керованих електромеханічних систем Application of integral equations to simulation of controlled electromechanical systems Мороз, В.І. Електричні машини та апарати В статье на примере показано использование интегральных уравнений в моделировании управляемых электромеханических систем. С использованием неявных формул Адамса проведен анализ точности и рационального порядка формул численного интегрирования. У статті на прикладі показано використання інтегральних рівнянь у моделюванні керованих електромеханічних систем. З використанням неявних формул Адамса проведено аналіз точності та раціонального порядку формули числового інтегрування. An example of integral equations application to simulation of controlled electromechanical systems is described in this paper. Analysis of accuracy and rational order of the numeric integration formula is made with implicit Adams methods. 2007 Article Інтегральні рівняння в моделюванні керованих електромеханічних систем / В.І. Мороз // Електротехніка і електромеханіка. — 2007. — № 3. — С. 39-43. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 2074-272X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142869 519.711.3:621.34 uk Електротехніка і електромеханіка application/pdf Інститут технічних проблем магнетизму НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Електричні машини та апарати Електричні машини та апарати
spellingShingle	Електричні машини та апарати Електричні машини та апарати Мороз, В.І. Інтегральні рівняння в моделюванні керованих електромеханічних систем Електротехніка і електромеханіка
description	В статье на примере показано использование интегральных уравнений в моделировании управляемых электромеханических систем. С использованием неявных формул Адамса проведен анализ точности и рационального порядка формул численного интегрирования.
format	Article
author	Мороз, В.І.
author_facet	Мороз, В.І.
author_sort	Мороз, В.І.
title	Інтегральні рівняння в моделюванні керованих електромеханічних систем
title_short	Інтегральні рівняння в моделюванні керованих електромеханічних систем
title_full	Інтегральні рівняння в моделюванні керованих електромеханічних систем
title_fullStr	Інтегральні рівняння в моделюванні керованих електромеханічних систем
title_full_unstemmed	Інтегральні рівняння в моделюванні керованих електромеханічних систем
title_sort	інтегральні рівняння в моделюванні керованих електромеханічних систем
publisher	Інститут технічних проблем магнетизму НАН України
publishDate	2007
topic_facet	Електричні машини та апарати
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142869
citation_txt	Інтегральні рівняння в моделюванні керованих електромеханічних систем / В.І. Мороз // Електротехніка і електромеханіка. — 2007. — № 3. — С. 39-43. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
series	Електротехніка і електромеханіка
work_keys_str_mv	AT morozví íntegralʹnírívnânnâvmodelûvanníkerovanihelektromehaníčnihsistem AT morozví applicationofintegralequationstosimulationofcontrolledelectromechanicalsystems
first_indexed	2025-11-24T15:04:55Z
last_indexed	2025-11-24T15:04:55Z
_version_	1849684598601023488
fulltext	Електротехніка і Електромеханіка. 2007. №3 39 УДК 519.711.3:621.34 ІНТЕГРАЛЬНІ РІВНЯННЯ В МОДЕЛЮВАННІ КЕРОВАНИХ ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНИХ СИСТЕМ Мороз В.І., к.т.н., доц. Національний університет "Львівська політехніка" Україна, 79013, Львів, вул. Ст. Бандери, 12, НУ "Львівська політехніка", кафедра "Електропривод і автоматизація промислових установок" тел. (032) 258-26-20, e-mail: vmoroz@polynet.lviv.ua У статті на прикладі показано використання інтегральних рівнянь у моделюванні керованих електромеханічних си- стем. З використанням неявних формул Адамса проведено аналіз точності та раціонального порядку формули число- вого інтегрування. В статье на примере показано использование интегральных уравнений в моделировании управляемых электромехани- ческих систем. С использованием неявных формул Адамса проведен анализ точности и рационального порядка фор- мул численного интегрирования. Дана стаття з’явилася внаслідок бесід з проф. Р.В. Фільцом, якому автор вдячний за підтримку та розуміння. ВСТУП Опис динамічних властивостей електромеханіч- них систем, у тому числі автоматизованих електро- приводів, традиційно здійснюється диференціальними рівняннями. Такий підхід має ряд недоліків у порів- нянні із застосуванням інтегральних рівнянь для опи- су динамічних процесів [1], [2]: 1) Під час диференціювання функції втрачається час- тина інформації (для диференціального рівняння першого порядку – початкові умови), у той же час в інтегральному рівнянні початкові умови є не- від’ємною частиною рівняння. 2) При розв’язуванні диференціального рівняння, на відміну від інтегрального, за допомогою класич- них числових методів нерідко виникає проблема числової нестійкості. Якоюсь мірою ці положення підтверджуються практикою теорії автоматичного керування (ТАК) і практикою налагодження автоматизованих електро- приводів – введення до системи диференціатора часто спричинює проблеми через посилення диференціато- ром високочастотних завад і шумів. Незважаючи на низку переваг, застосування ін- тегральних рівнянь для опису динаміки електромеха- нічних систем не отримало такого розповсюдження, як використання диференціальних рівнянь. Залиша- ються відкритими такі питання, як раціональний по- рядок методу числового інтегрування, спосіб визна- чення локальної похибки під час моделювання елект- ромеханічних систем. Таким чином, метою проведених досліджень є: • визначення раціонального порядку числового інте- гратора для моделювання динаміки керованих електромеханічних систем, зокрема, сучасних ав- томатизованих електроприводів; • знаходження способу визначення локальних похи- бок під час числового розв’язування інтегральних рівнянь, що описують динаміку електромеханічної системи. Розглянемо застосування підходу з використан- ням інтегральних рівнянь на досить простому прикла- ді розрахунку динаміки двох режимів двигуна постій- ного струму (ДПС) незалежного збудження: прямого пуску і накидання навантаження. Вибір такого при- кладу пояснюється простою можливістю аналітичної перевірки отриманих результатів, а знайдені законо- мірності можуть бути поширені на складніші системи. Якірне коло ДПС можна зобразити заступною електричною схемою (рис. 1), що описується рівнян- нями електричної рівноваги: 0=−−ω− aaaLa RiUCU ; ∫+= t aL a aa dtU L ii 0 1)0( , де aLU – напруга на індуктивності якірного кола. Перейшовши до якірного струму як до однієї з основних змінних, матимемо ( )∫ ⋅−ω⋅−+= t aaa a aa dtRtitCU L iti 0 )()(1)0()( . (1) ↑ ia Ua Ra La e = C·ω ω, M Mc ↑ Рис. 1. Заступна електрична схема якірного кола ДПС незалежного збудження: Ua - напруга на якорі двигуна; ia - струм якірного кола; La - індуктивність якірного кола; Ra - опір якірного кола; e - ЕРС якоря; C - стала двигуна; ω - кутова швидкість якоря; M - електромагнітний момент; Mc - момент статичного опору До цього рівняння додамо інтегральне рівняння динаміки механічної частини приводу, що описує за- лежність кутової швидкості ДПС від часу: ( )∫ −⋅+ω=ω t ca dtMtiC J t 0 )(1)0()( . (2) Таким чином, режим прямого пуску двигуна по- стійного струму описуватиметься системою інтегра- льних рівнянь (3) 40 Електротехніка і Електромеханіка. 2007. №3 ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −⋅+ω=ω ⋅−ω⋅−+= ∫ ∫ ,)(1)0()( ;)()(1)0()( 0 0 t ca t aaa a aa dtMtiC J t dtRtitCU L iti (3) яка доволі просто розв’язується за допомогою відо- мих числових методів наближеного обчислення озна- ченого інтегралу, зокрема, методу трапецій: ∑∫ − = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅≈ 1 0 1 2 )( max min N i ii t t ff hdxxf , (4) де [tmin ; tmax] – інтервал інтегрування; N tt h minmax −= – крок інтегрування; N – число точок розбиття інтер- валу інтегрування. Застосувавши згаданий числовий метод (4) до системи інтегральних рівнянь (3), отримаємо систему неявних рекурентних рівнянь, що описують динамічні режими ДПС: ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +−+⋅+ω=ω +⋅− −ω+ω⋅−+⋅+= +++ + +++ .)()( 2 ;))( )(( 2 111 1 111 iciciaiaii iaiaa iiiaia a iaia MMiiC J h iiR CUU L hii (5) Ввівши позначення Ta = La/Ra і розв’язуючи сис- тему неявних рівнянь (5) відносно змінних 1+iai та ωi+1, матимемо систему явних рекурентних рівнянь для опису часових процесів для струму якоря та куто- вої швидкості двигуна постійного струму: ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +⋅−ω⋅+⋅+ +⋅⋅+⋅ +⋅+ω⋅−+⋅⋅⋅ =ω ⋅−+⋅⋅+ω⋅− +⋅⋅+⋅ −+⋅⋅+⋅−⋅⋅ = + + + + + + ))).(2)(2( )2(2 )4)(( ))()2 )2(2 (2()2(2 1 22 1 1 1 22 1 1 iciciaa aa iaaaiiaia i iaicici aa iaiaiaaa ia MMhJhTR hTJRhC iRTCUUhCh iCMMChC hTJRhC UUJhihTJR i K K K K (6) У випадку послідовної програмної реалізації ал- горитму (спочатку обчислюють значення струму 1+iai , а потім – значення швидкості ωi+1), можна ско- ристатися простішим варіантом системи рівнянь (6): ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +−+⋅+ω=ω ⋅−+⋅⋅+ω⋅− +⋅⋅+⋅ −+⋅⋅+⋅−⋅⋅ = +++ + + + .)()( 2 ;))()2 )2(2 (2()2(2 111 1 22 1 1 iciciaiaii iaicici aa iaiaiaaa ia MMiiC J h iCMMChC hTJRhC UUJhihTJR i K K (6а) Як приклад, для двигуна постійного струму не- залежного збудження з параметрами: − номінальна напруга якоря двигуна Ua ном = 220 В; − стала двигуна C = 2.5 В⋅с-1; − активний опір якірного кола Ra = 0.25 Ом; − електромагнітна стала часу якірного кола Ta = = 0.05 с; − сумарний момент інерції приводу J = 0.5 кГм2; − електромеханічна стала часу 2ем C RJ T a⋅ = = = 0.02 с; − номінальний момент навантаження (статичного опору) Mc ном = 100 Нм, за формулами (6) для кроку інтегрування h = 0.01 с проведено розрахунки перехідних процесів режимів прямого пуску для номінальної напруги на якорі Ua ном та накидання номінального навантаження Mc ном після розгону до номінальної швидкості ωном (рис. 2). СПОСОБИ ПІДВИЩЕННЯ ТОЧНОСТІ Підвищити точність розв’язування інтегральних рівнянь числовими методами можна двома способами: 1) зменшенням кроку (цілком очевидний спосіб) – менш економний, на перший погляд, у зв’язку з пропорційним зростанням обчислювальних ви- трат; 2) підвищенням порядку формули числового інтегру- вання (потрібно застосовувати з обережністю, бо, як показали числові експерименти, для великих значень кроку може дати протилежний до очікува- ного результат). 0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 200 100 100 200 300 400 струм якоря швидкість (x2) струм якоря швидкість (x2) t, c Рис. 2. Результати розрахунку за формулами (6) для кроку h = 0.01 с Порівняти ефективність обох способів можна зі- ставляючи отримані результати з аналітичним розв’я- зком, що для наведеної лінійної системи знаходиться доволі просто – наприклад, із застосуванням прямого і оберненого перетворень Лапласа. Для одержаних вище рекурентних формул (6) слід очікувати другого порядку точності, тобто, зі зменшенням кроку вдвічі точність зросте у 4 рази, що підтверджується число- вим експериментом (рис. 3), проведеним для двох зна- чень кроку h = 0.02 і 0.04 с. ФОРМУЛИ ІНТЕГРУВАННЯ ВИЩОГО ПОРЯДКУ Виведення формул інтегрування є нескладною та відомою процедурою (особливо, із застосуванням комп’ютерних пакетів аналітичної математики): за n рівновіддаленими на крок h точками будується апрок- симаційний поліном 01 2 2 1 1 ... axaxaxaxa n n n n +⋅+⋅++⋅+⋅ − − . Далі знаходиться первісна (інтеграл) апроксимуючого полінома для проміжку [xi ; xi+1]. Хід знаходження фо- рмули інтегрування показано нижче на прикладі фор- мули третього порядку (використовуються три точки) (див. рис. 4). 1) Задається апроксимаційний поліном другого по- рядку: 01 2 2)( axaxaxP +⋅+⋅= . Електротехніка і Електромеханіка. 2007. №3 41 0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 5 10 15 20 25 струму якоря швидкості струму якоря швидкості Відносні похибки (%) для h 0.04= t , c 0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 5 10 15 20 25 струму якоря швидкості струму якоря швидкості Відносні похибки (%) для h 0.02= t, c 0 x y h xi xi+1 h xi–1 yi–1 yi+1 yi Рис. 3. Графіки похибок методу трапецій для двох значень кроку інтегрування Рис. 4. Ілюстрація процесу побудови формули числового інтегрування третього порядку 2) За рівновіддаленими на крок h трьома точками ар- гументу xi-1 , xi , xi+1 та відповідними їм абсцисами yi-1 , yi , yi+1 знаходяться коефіцієнти апроксимуючо- го полінома: . 2 2 ; 2 ; ; ; ; 2 11 2 11 1 0 101 2 2 0 101 2 2 h yyy a h yy a ya yahaha ya yahaha iii ii i i i i −+ −+ − + +− = − = = ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ =+− = =++ 3) Знаходиться первісна полінома: CxaxaxadxxP +++=∫ 0 2 1 3 2 23 )( . 4) Підставивши в одержану формулу первісної раніше знайдені в п. 2 значення коефіцієнтів полінома і значення сталої інтегрування C (дорівнює нулеві), отримуємо формулу інтегрування, відому, як неяв- на формула Адамса третього порядку: )85( 12 111 −++ −++= iiiii yyyhII , де Ii , Ii+1 – значення інтегралу на i-му та i+1-ому кро- ках інтегрування. Для знаходження даних формул існує й інший шлях – застосування інтерполяції за Лаґранжем чи Ньютоном, але результат буде той самий: відомо, що через задані точки можна побудувати лише один по- ліном визначеного порядку. Відповідно, результатом будуть формули числових інтеграторів, що знані, як неявні формули Адамса. Аналогічно, зі збільшенням кількості точок, за якими будується апроксимаційний поліном, можна отримати формули числових інтеграторів вищих, на- приклад, четвертого і п’ятого порядків: ( )2111 5199 24 −−++ +−++= iiiiii yyyyhII ; .)19106 264646251( 720 32 111 −− −++ −+ +−++= ii iiiii yy yyyhII Підвищення їх порядку призводить до зростання точності та складності виразу для обчислень. У зв’яз- ку з цим доцільно визначити раціональний порядок формули числового інтегрування з метою забезпечен- ня максимального кроку для локальної похибки в ме- жах 10-3…10-4 (в межах т. н. "інженерної" точності). Для аналізу раціонального порядку числового методу можна використати два підходи: 1) на підставі дослідження частотних характеристик числових інтеграторів, які розглядаються як циф- рові фільтри – це запропоновано в [3], де за ре- зультатами аналізу стверджується, що нема потре- би у використанні числових інтеграторів вище третього-четвертого порядків; 2) на підставі результатів числових експериментів; у цьому випадку за перше наближення доцільно взя- ти рекомендації п. 1, а далі провести їх уточнення. Очевидно, що другий спосіб дає додаткову інфо- рмацію в оцінці раціонального порядку числового ме- тоду інтегрування. Як тестову використано вже рані- ше розв’язану задачу (3), для якої отримані моделюю- чі рекурентні рівняння на основі формул третього і четвертого порядків. Знайдені вирази для швидкості ω та струму якоря ia для інтеграторів вищих порядків мають доволі складний вигляд, тому в статті не наво- дяться через брак місця. Похибки для формул інтег- рування другого-четвертого порядків та різних кроків (h = 0.01; 0.02 і 0.04 с) показані на рис. 5 (потрібно звернути увагу на масштаб похибок). Аналіз отриманих графіків показує наявність практично незалежних від порядку числового інтегра- тора похибок у розв’язку за дії стрибкоподібних збу- рень (момент накидання навантаження для t = 1 c). Такі похибки пояснюються розривом першого роду функції розв’язку та її похідних. Формули ж числово- го інтегрування апроксимують рішення обмеженим розкладом у ряд Тейлора, який існує лише для непе- рервних і диференційованих функцій. Таким чином, наявність розривів у функції розв’язку може бути джерелом досить суттєвих похибок під час моделю- вання систем з імпульсними елементами. ОЦІНКА ПОХИБОК РОЗВ’ЯЗУВАННЯ У застосуванні інтегральних рівнянь для моде- лювання динамічних систем актуальною є проблема оцінки локальної похибки на кроці розв’язування. Та- ка оцінка дозволяє використати стратегію автоматич- ного вибору кроку розв’язування для підвищення ефе- ктивності процедури розв’язування. З цією метою можливе використання двох підходів: 1) застосування екстраполяції за Річардсоном [5], зо- крема з одиничним і подвійним (або половинним і одиничним) кроками; недоліком даного способу є відчутне ускладнення процедури обчислень; 2) використання для оцінки локальної похибки фор- мули вищого порядку, що є простішим у викорис- танні і може ґрунтуватися на вже виконаних рані- ше кроках інтегрування (даний підхід є досить поширеним у прикладній математиці, зокрема, в оцінці похибок числових методів інтегрування диференціальних рівнянь [6]). 42 Електротехніка і Електромеханіка. 2007. №3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 10 20 30 2-ий порядок 3-ій порядок 4-ий порядок 2-ий порядок 3-ій порядок 4-ий порядок Відносні похибки за струмом (%) h 0.04= 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 5 10 15 2-ий порядок 3-ій порядок 4-ий порядок 2-ий порядок 3-ій порядок 4-ий порядок Відносні похибки за швидкістю (%) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 2 4 6 2-ий порядок 3-ій порядок 4-ий порядок 2-ий порядок 3-ій порядок 4-ий порядок Відносні похибки за струмом (%) h 0.02= 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 2 4 6 2-ий порядок 3-ій порядок 4-ий порядок 2-ий порядок 3-ій порядок 4-ий порядок Відносні похибки за швидкістю (%) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0.5 1 1.5 2-ий порядок 3-ій порядок 4-ий порядок 2-ий порядок 3-ій порядок 4-ий порядок Відносні похибки за струмом (%) h 0.01= 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0.5 1 1.5 2-ий порядок 3-ій порядок 4-ий порядок 2-ий порядок 3-ій порядок 4-ий порядок Відносні похибки за швидкістю (%) а) для кроку h = 0.04 с б) для кроку h = 0.02 c в) для кроку h = 0.01 c Рис. 5. Графіки відносних похибок числових інтеграторів другого-четвертого порядків для різних кроків Примітка: Зверніть увагу на масштаб кожного графіка. Очевидно, що другий спосіб виглядає простішим у використанні й не потребує великої кількості обчис- лень. Проте пересторогою в його використанні є похи- бки результатів моделювання, які показані на рис. 5, де видно, що за наявності розривів у функції розв’язку (момент накидання навантаження на двигун) практич- но нема відмінностей у величинах похибок методів ін- тегрування різних порядків. Практична перевірка дано- го способу може бути здійснена таким чином: • за допомогою неявної формули інтегрування тра- пецій (другого порядку) знаходиться i-те значення інтегралу за формулою )( 2 11 )2( iiii yyhII ++= +− ; • для уточнення отриманої величини інтегралу за- стосовується неявний метод інтегрування Адамса третього порядку, в якому i-те значення інтегралу визначається за формулою )85( 12 111 )3( −+− −++= iiiii yyyhII ; • оцінка відносної похибки знаходиться з виразу %100 )(6 2 %100 1 11 )2( )2()3( ⋅ +⋅ −− =⋅ − =Δ + −+ ii iii i ii i yy yyy I II . Порівняння відносної похибки (стосовно аналі- тичного розв'язку) та її оцінки за допомогою формули інтегрування третього порядку для неявного методу трапецій з кроком h = 0.02 с показано на рис. 6 для основних змінних моделі (рис. 1) – струму якоря та кутової швидкості. Таким чином, проведений простий числовий експеримент показав прийнятність пропонованого підходу для оцінки похибок числового методу під час розв’язування інтегральних рівнянь. Деяка розбіж- ність у результатах оцінки порівняно з точним зна- ченням є допустимою в силу природи оцінки, яка сві- дчить про необхідність зміни кроку інтегрування та використовується в реалізації стратегії автоматичного кроку розв’язування. Потрібно зауважити, що за на- явності розривів у функції розв’язку (в даній моделі – момент накидання навантаження), оцінка похибки да- ла задовільний результат, що свідчить про можливість узагальнення такого підходу для моделювання систем з імпульсними елементами. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60 2 4 6 8 Струм якоря В ід но сн а по хи бк а (% ) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60 1 2 3 4 5 Швидкість В ід но сн а по хи бк а (% ) Рис. 6. Графіки відносних похибок у розрахунку динаміч- них процесів для методу трапецій і кроку h = 0.02 с: ─── точне значення відносної похибки; ••••••• оцінка за допомогою методу інтегрування третього порядку Не таким оптимістичним виглядає застосування для розв’язування формул вищого порядку: як при- клад, розглянемо випадок застосування формули інте- грування третього порядку та оцінки похибок за фор- мулою четвертого порядку. Як показують числові екс- перименти (рис. 7), таке поєднання дає менш точні результати оцінки похибки і при цьому є значно скла- днішим. Електротехніка і Електромеханіка. 2007. №3 43 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60 0.5 1 1.5 2 2.5 Струм якоря В ід но сн а по хи бк а (% ) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60 0.5 1 1.5 2 Швидкість В ід но сн а по хи бк а (% ) Рис. 7. Графіки відносних похибок у розрахунку динаміч- них процесів для методу третього порядку і кроку h = 0.02 с: ─── точне значення відносної похибки; ••••••• оцінка за допомогою методу інтегрування четвертого порядку. ВИСНОВКИ Зазначені вище числові експерименти можна бу- ло провести на складнішій моделі, але виходячи зі стародавнього принципу "Не слід ускладнювати сут- ності понад потребу", була застосована проста мо- дель ДПС, яка виявилась достатньо інформативною для аналізу та роздумів. Аналіз отриманих графіків результатів та похи- бок дає змогу зробити певні висновки: 1) за наявності в моделі імпульсних елементів поря- док методу інтегрування (з метою забезпечення заданої точності) не має визначального значення, тому раціональним буде використання формули інтегрування другого порядку (неявної формули трапецій) з відповідним кроком; використання ме- тоду трапецій має й побічні позитивні ефекти: • спрощується реалізація стратегії автоматичного вибору кроку розв’язування; • деяке зменшення кроку для збільшення точності розв’язування порівняно з методами вищих поряд- ків дозволяє "акуратніше" відслідковувати зміни функції розв’язку; • не вносить фазних похибок в отримані з його до- помогою цифрові моделі [3], [4], що є важливим у дослідженнях замкнутих систем автоматичного регулювання; 2) у разі гладкого розв’язку для отримання інженер- ної точності (не вище 10-3…10-4) раціональним є застосування формул інтегрування другого- третього порядків; застосування формул вищих порядків призводить до значного ускладнення розрахункового виразу – аналогічного ефекту мо- жна досягти незначним зменшенням кроку для згаданих формул; 3) відсутнє накопичення похибок числового методу в розв’язку. Підсумовуючи вище сказане, можна зробити ви- сновок про те, що раціональним варіантом для розв’я- зування систем інтегральних рівнянь, що описують динаміку сучасних керованих електромеханічних сис- тем, є неявний метод трапецій. Ві д ав т ор а Власне кажучи, про переваги методу трапецій автор й сам давно підозрював, але, як завжди, бракувало доказів… Автор з нетерпінням очікує на дискусію щодо поданого матеріалу чи його обговорення як на сторін- ках журналу, так і в листуванні. ЛІТЕРАТУРА [1] Filc R. Equivalents Method for Linear Circuits Transients Calculation. Proceedings of International Conference on Modern Problems of Telecommunications, Computer Sci- ence and Engineering Training. TCSET’2002, Lviv-Slavsko. February, 18-22, 2002, pp. 18-23. [2] Верлань А. Ф., Москалюк С. С. Математическое моде- лирование непрерывных динамических систем. – К.: Наукова думка, 1988. – 288 с. [3] Мороз В. Аналіз чисельних методів для аналізу керова- них електромеханічних систем// Тези доповідей 3-ої Міжнародної науково-технічної конференції "Матема- тичне моделювання в електротехніці, електроніці та електроенергетиці", 25 - 30 жовтня 1999 р., Львів, Укра- їна. [4] Мороз В. Аналіз числових методів для моделювання керованих електромеханічних систем// Вісник ДУ "Львівська політехніка" "Електроенергетичні та елект- ромеханічні системи", 2000, № 403, с. 111-113. [5] Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – 608 с. [6] Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновен- ных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи: Пер. с англ. – М.: Мир, 1990. Надійшла 01.09.2006

Інтегральні рівняння в моделюванні керованих електромеханічних систем

Institution

Similar Items