Об одном численном методе решения задачи Неймана в связи с решением проблемы управления внешним магнитным полем технических объектов в замкнутой системе

Изложен численный метод решения внешней задачи Неймана для уравнения Лапласа, основанный на методе фундаментальных решений, и проведено его сравнение с методом граничных интегральных уравнений. Предложенный метод решения задачи Неймана позволяет существенно повысить точность и скорость преобразовани...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2008
Автори:	Реуцкий, С.Ю., Ассуиров, Д.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут технічних проблем магнетизму НАН України 2008
Назва видання:	Електротехніка і електромеханіка
Теми:	Теоретична електротехніка
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/143048
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Об одном численном методе решения задачи Неймана в связи с решением проблемы управления внешним магнитным полем технических объектов в замкнутой системе / С.Ю. Реуцкий, Д.А. Ассуиров // Електротехніка і електромеханіка. — 2008. — № 3. — С. 58-62. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-143048
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1430482025-02-09T11:42:19Z Об одном численном методе решения задачи Неймана в связи с решением проблемы управления внешним магнитным полем технических объектов в замкнутой системе On a numerical method of solving Neumann problem in connection with a closed loop control system for external magnetic field in technical objects Реуцкий, С.Ю. Ассуиров, Д.А. Теоретична електротехніка Изложен численный метод решения внешней задачи Неймана для уравнения Лапласа, основанный на методе фундаментальных решений, и проведено его сравнение с методом граничных интегральных уравнений. Предложенный метод решения задачи Неймана позволяет существенно повысить точность и скорость преобразования первичной информации о внешнем магнитном поле технических объектов при осуществлении автоматичного управления этим полем в замкнутой системе. Викладено чисельний метод рішення зовнішньої задачі Неймана для рівняння Лапласа, що заснований на методі фундаментальних рішень, і проведено його порівняння з методом граничних інтегральних рівнянь. Запропонований метод рішення задачі Неймана дозволяє суттєво підвищити точність і швидкість перетворення первинної інформації о зовнішнім магнітним полі технічних об’єктів при здійснюванні автоматичного управління цім полем у замкнутій системі. A numerical technique for solving Laplace equation with Neumann boundary conditions is presented. The technique is based on a method of fundamental solutions. Comparison with a method of boundary integral equations is performed. It is shown that the technique developed provides high precision and speed of transformation of initial information about external magnetic field of technical objects, which is important for automated control of the field in a closed loop system. 2008 Article Об одном численном методе решения задачи Неймана в связи с решением проблемы управления внешним магнитным полем технических объектов в замкнутой системе / С.Ю. Реуцкий, Д.А. Ассуиров // Електротехніка і електромеханіка. — 2008. — № 3. — С. 58-62. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 2074-272X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/143048 538.12:621.3.073 ru Електротехніка і електромеханіка application/pdf Інститут технічних проблем магнетизму НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Теоретична електротехніка Теоретична електротехніка
spellingShingle	Теоретична електротехніка Теоретична електротехніка Реуцкий, С.Ю. Ассуиров, Д.А. Об одном численном методе решения задачи Неймана в связи с решением проблемы управления внешним магнитным полем технических объектов в замкнутой системе Електротехніка і електромеханіка
description	Изложен численный метод решения внешней задачи Неймана для уравнения Лапласа, основанный на методе фундаментальных решений, и проведено его сравнение с методом граничных интегральных уравнений. Предложенный метод решения задачи Неймана позволяет существенно повысить точность и скорость преобразования первичной информации о внешнем магнитном поле технических объектов при осуществлении автоматичного управления этим полем в замкнутой системе.
format	Article
author	Реуцкий, С.Ю. Ассуиров, Д.А.
author_facet	Реуцкий, С.Ю. Ассуиров, Д.А.
author_sort	Реуцкий, С.Ю.
title	Об одном численном методе решения задачи Неймана в связи с решением проблемы управления внешним магнитным полем технических объектов в замкнутой системе
title_short	Об одном численном методе решения задачи Неймана в связи с решением проблемы управления внешним магнитным полем технических объектов в замкнутой системе
title_full	Об одном численном методе решения задачи Неймана в связи с решением проблемы управления внешним магнитным полем технических объектов в замкнутой системе
title_fullStr	Об одном численном методе решения задачи Неймана в связи с решением проблемы управления внешним магнитным полем технических объектов в замкнутой системе
title_full_unstemmed	Об одном численном методе решения задачи Неймана в связи с решением проблемы управления внешним магнитным полем технических объектов в замкнутой системе
title_sort	об одном численном методе решения задачи неймана в связи с решением проблемы управления внешним магнитным полем технических объектов в замкнутой системе
publisher	Інститут технічних проблем магнетизму НАН України
publishDate	2008
topic_facet	Теоретична електротехніка
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/143048
citation_txt	Об одном численном методе решения задачи Неймана в связи с решением проблемы управления внешним магнитным полем технических объектов в замкнутой системе / С.Ю. Реуцкий, Д.А. Ассуиров // Електротехніка і електромеханіка. — 2008. — № 3. — С. 58-62. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
series	Електротехніка і електромеханіка
work_keys_str_mv	AT reuckijsû obodnomčislennommetoderešeniâzadačinejmanavsvâzisrešeniemproblemyupravleniâvnešnimmagnitnympolemtehničeskihobʺektovvzamknutojsisteme AT assuirovda obodnomčislennommetoderešeniâzadačinejmanavsvâzisrešeniemproblemyupravleniâvnešnimmagnitnympolemtehničeskihobʺektovvzamknutojsisteme AT reuckijsû onanumericalmethodofsolvingneumannprobleminconnectionwithaclosedloopcontrolsystemforexternalmagneticfieldintechnicalobjects AT assuirovda onanumericalmethodofsolvingneumannprobleminconnectionwithaclosedloopcontrolsystemforexternalmagneticfieldintechnicalobjects
first_indexed	2025-11-25T22:26:48Z
last_indexed	2025-11-25T22:26:48Z
_version_	1849802996942110720
fulltext	58 Електротехніка і Електромеханіка. 2008. №3 УДК 538.12:621.3.073 ОБ ОДНОМ ЧИСЛЕННОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА В СВЯЗИ С РЕШЕНИЕМ ПРОБЛЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ВНЕШНИМ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ В ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЕ Реуцкий С.Ю., к.т.н., Ассуиров Д.А., к.т.н. Научно-технический центр магнетизма технических объектов НАН Украины Украина, 61106, Харьков, ул. Индустриальная, 19 тел./факс: (0572) 99-21-62, E-mail: magnetizm@kharkov.com Викладено чисельний метод рішення зовнішньої задачі Неймана для рівняння Лапласа, що заснований на методі фунда- ментальних рішень, і проведено його порівняння з методом граничних інтегральних рівнянь. Запропонований метод рі- шення задачі Неймана дозволяє суттєво підвищити точність і швидкість перетворення первинної інформації о зовніш- нім магнітним полі технічних об’єктів при здійснюванні автоматичного управління цім полем у замкнутій системі. Изложен численный метод решения внешней задачи Неймана для уравнения Лапласа, основанный на методе фунда- ментальных решений, и проведено его сравнение с методом граничных интегральных уравнений. Предложенный ме- тод решения задачи Неймана позволяет существенно повысить точность и скорость преобразования первичной ин- формации о внешнем магнитном поле технических объектов при осуществлении автоматичного управления этим полем в замкнутой системе. ВВЕДЕНИЕ Магнитное поле (МП) является неотъемлемой физической составляющей многих технических объ- ектов (ТО), конструктивные элементы которых обла- дают магнитоактивными свойствами и в составе ко- торых имеется электротехническое оборудование раз- личного функционального назначения. Для некото- рых ТО, таких, например, как суда для геофизических исследований, наличие собственного внешнего МП (то есть поля вне наружной поверхности ТО) является нежелательным фактором и, поэтому, его величину стремятся уменьшить до минимального значения [1]. Эффективным способом снижения внешнего МП ТО является его компенсация с помощью специальных обмоток с регулируемым током, размещенных на по- верхности ТО, управление током которых осуществ- ляется автоматически в функции отклонения скаляр- ного потенциала МП в отдельных точках поверхности ТО от нулевого значения [2]. Такое управление реали- зуется в замкнутой системе с использованием данных о параметрах МП, измеренных на поверхности ТО. Поскольку скалярный потенциал является рас- четной характеристикой МП и не может быть измерен непосредственно, для его определения используют физически измеряемую характеристику МП – напря- женность. При этом исходят из существования из- вестной зависимости между скалярным потенциалом U и вектором напряженности Н r МП UH grad−= r . (1) Согласно (1), по измеренной на поверхности ТО S нормальной составляющей nH вектора напряжен- ности МП может быть определена нормальная произ- водная скалярного потенциала на этой поверхности n S H n U = ∂ ∂ . Задача определения скалярного потенциала поля вне замкнутой поверхности S по его нормальным производным на этой поверхности относится к крае- вым задачам уравнений математической физики и в теории потенциала известна как внешняя задача Ней- мана для уравнения Лапласа. Ее решение в общем случае произвольной поверхности S возможно толь- ко численными методами с использованием вычисли- тельных устройств. В настоящее время существуют различные мето- ды численного решения краевых задач теории потен- циала, отличающиеся как математическими метода- ми, лежащими в основе алгоритма нахождения реше- ния задачи, так и эффективностью, оцениваемой по критериям точности и быстродействия [3, 4]. Как пра- вило, эти методы создавались для решения приклад- ных задач, связанных с разработкой различных тех- нических устройств и систем, поэтому требования к их эффективности формировались в первую очередь исходя из обеспечения заданной точности расчета при приемлемом времени счета от единиц до десятков минут. В случае необходимости точность расчета все- гда можно было увеличить при соответствующем увеличении времени счета. При осуществлении управления внешним МП ТО с использованием преобразования измеренных значе- ний напряженности МП в скалярный магнитный по- тенциал наряду с точностью преобразования сущест- венную роль играет и время, затрачиваемое на это пре- образование, поскольку процесс управления протекает в реальном масштабе времени. В этой связи актуальной проблемой является создание новых эффективных чис- ленных методов решения внешней задачи Неймана, обеспечивающих достижение высокой точности реше- ния при минимальных временных затратах. Целью работы является сравнение эффективно- сти двух численных методов решения внешней задачи Неймана, один из которых – метод фундаментальных решений – разработан с учетом применения к реше- нию задачи управления внешним МП ТО. Електротехніка і Електромеханіка. 2008. №3 59 МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (МГИУ) МГИУ можно отнести к традиционной методике, применяемой к численному решению задач теории потенциала начиная с 60-х годов. Пусть D есть некоторая неограниченная область, дополнение которой DR \3 есть ограниченная одно- связная область. Требуется найти функцию )(2 DCu∈ , которая удовлетворяет уравнению Лапласа 0)(2 =∇ Pu , DP∈ , (2) граничному условию Неймана )()( Pf n Pu P = ∂ ∂ , SP∈ (3) и условиям роста на бесконечности ),()( 1−= POPu )()( 2−=∇ POPu , если ∞→P . (4) Здесь Pn есть внешняя нормаль к поверхности S . Используя формулу Грина, задачу (2) – (4) мож- но представить в виде интегрального уравнения − − =π ∫ Q S dS QP QfPu 1)()(4 Q S Q dS QPn Qu ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −∂ ∂ − ∫ 1)( , DP∈ . (5) Устремляя SP → мы получаем интегральное уравнение + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −∂ ∂ +π ∫ Q S Q dS QPn QuPu 1)()(2 [ ] Q S dS QP QfPuP ∫ − =Ω−π+ 1)()()(2 , SP∈ , (6) где Qn – вектор внешней нормали в точке Q , лежа- щей на поверхности S ; )(PΩ – внешний телесный угол поверхности в точке P . Если P находится на гладкой поверхности, то π=Ω 2)(P и уравнение (6) упрощается = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −∂ ∂ +π ∫ Q S Q dS QPn QuPu 1)()(2 Q S dS QP Qf∫ − = 1)( , .SP∈ (7) В дальнейшем мы рассматриваем случай гладкой поверхности S . Подобного рода интегральные уравнения хорошо изучены как для гладких, так и для кусочно-гладких поверхностей. Алгоритм решения включает в себя: 1) однородную триангуляцию поверхности S ; 2) ло- кальную аппроксимацию кусочно-гладкими полино- мами внутри каждого поверхностного треугольника; 3) коллокацию решения в вершинах треугольников; 4) вычисление интегралов в пределах каждого поверх- ностного треугольника с использованием квадратуры Гаусса; 5) решение результирующей системы линей- ных уравнений методом исключения Гаусса. Более подробная информация о методе граничных инте- гральных уравнений представлена в работах [5, 6]. Ниже приведены результаты применения ука- занного алгоритма для случая, когда область решения D является внешностью эллипсоида ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++= 1,, 2 2 2 2 2 2 c z b y a xzyxS , (8) у которого 1=a , 5.1=b , 2=c . В качестве источни- ков поля использована система из четырех диполей, потенциал которых определяется точным решением 3 4 1 , ),,( j jj j jex r er dzyxu ζ− ζ− = ∑ = . (9) где ),,( zyxr = − точка наблюдения; jζ − координата расположения дипольного источника; jev − вектор на- правления диполя; jd − величина дипольного момента. В расчете использованы следующие параметры: 1=jd , )0,0,1.0(1 =ζ , )0,0,1.0(2 −=ζ , )1.0,0,0(3 =ζ , )1.0,0,0(4 −=ζ , )0,0,1(1 =e , )0,0,1(2 −=e , )1,0,0(3 =e , )1,0,0(4 −=e . В левой части табл. 1 помещена среднеквадра- тичная ошибка решения ∑ = −= N j jexjsq xuxu N e 1 2)]()([1 . (10) Здесь jx – координаты точек, в которых вычис- ляется решение. Эти координаты равномерно распо- ложены на поверхности эллипсоида и получаются в результате применения алгоритма триангуляции. В вычислительном процессе также измерялось время использования центрального процессора - TCPU. Таблица 1 МГИУ МФР N esq TCPU N M esq TCPU 18 4·10-3 1.02 18 18 3·10-5 10-4 66 6·10-4 14.9 66 66 7·10-8 0.05 162 1·10-4 57 66 162 3·10-9 0.08 258 9·10-5 114 152 258 4·10-11 0.32 642 1·10-5 301 268 642 9·10-15 1.5 Триангуляция поверхности S в процессе вычис- лений. Задается начальная триангуляция. Для эллипсои- да она производится сечением его поверхности тремя взаимно перпендикулярными плоскостями на восемь треугольных элементов kΔ , один из которых изобра- жен на рис. 1 ( jkv , – узлы элемента kΔ ). Для увели- чения количества элементов разбиения и повышения точности аппроксимации середины сторон внутри каждого элемента kΔ соединяются, как это показано на рис. 2. В результате получается новое разбиение поверхности, содержащее вчетверо больше элемен- тов. Для уточнения решения эту операцию можно повторять несколько раз. 60 Електротехніка і Електромеханіка. 2008. №3 3,kν 3,kν 1,kν Рис. 1 3,kν 3,kν 1,kν 4,kν 6,kν 5,kν Рис. 2 Параметризация элемента kΔ для квадратичной интерполяции. Рассматриваемый алгоритм решения граничных интегральных уравнений основан на использовании локальной кусочно-полиномиальной аппроксимации решения внутри каждого элемента kΔ . Используются аппроксимирующие функции, которые внутри каждо- го элемента kΔ являются квадратичными полинома- ми по каждой из локальных координат. Вводим базовый элемент интерполяции, который яв- ляется общим для всех элементов kΔ : }1,,0),{( ≤+≤=σ tststs . Каждый элемент kΔ представляется, как резуль- тат отображения этого базового элемента при помощи некоторого преобразования kkm Δ→σ: . Вводим квадратичные базисные функции }{ jl : )12(),(1 −= uutsl , )12(),(2 −= tttsl , )12(),(3 −= sstsl , tutsl 4),(4 = , sttsl 4),(5 = , sutsl 4),(6 = , где stu −−=1 . Вводим точки, принадлежащие базисному эле- менту, которые при отображении kkm Δ→σ: перехо- дят в узлы jkv , : )0,0(1 =q , )1,0(2 =q , )0,1(3 =q , )5.0,0(4 =q , )5.0,5.0(5 =q , )0,5.0(6 =q . Легко показать, что jiij ql ,)( δ= , 6,...,1, =ji . (11) Соответствие точек при отображении kkm Δ→σ: указано на рис. 3. Тогда, квадратичную аппроксимацию решения внутри элемента kΔ запи- шем в виде ),()()( 6 1 , tslvuPu j j jk∑ = ≈ . (12) Из (11) следует, что квадратичная аппроксима- ция (12) совпадает с точными значениями аппрокси- мируемой функции в узловых точках базисного эле- мента σ . Для приближенного решения интегрального уравнения запишем его для SPi ∈ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −∂ ∂ +π ∑ ∫ = Δ N k Q iQ i dS QPn QuPu k1 1)()(2 ∑ ∫ = Δ − = N k Q i dS QP Qf k1 1)( , SPi ∈ . (13) Здесь точка iP пробегает узловые точки всех триангуляционных элементов kΔ , Nk ,...,1= . Внутри каждого элемента kΔ аппроксимируем решение с помощью (12) и заменяем интегрирование по kΔ интегрированием по базовому элементу σ σ=∫ ∫ Δ σ dtsJtsmFdSQF k kQ ),(),(()( , где ),( tsJ – якобиан преобразования kkm Δ→σ: . Следует отметить, что при использовании ло- кальных координат s, t численное интегрирование всегда производится по поверхности стандартного треугольника, изображенного в левой части рис. 3. Когда точка наблюдения находится за пределами об- ласти интегрирования, интеграл является неособым и может быть вычислен стандартными методами. В сингулярном случае приходится использовать квадра- туры Гаусса. Рис. 3 В результате уравнение (13) аппроксимируем системой линейных уравнений: ∑ = =+π N k ikiki FPuAPu 1 , )()(2 . (14) Здесь точки kP соответствуют координатам уз- лов, а коэффициенты матрицы ikA , зависят от ис- пользуемой квадратуры интегрирования. Система уравнений (14) решается численно с ис- пользованием стандартной процедуры гауссового ис- ключения. МЕТОД ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ (МФР) МФР принадлежит к группе так называемых "бессеточных" численных методов решения уравне- ний с частными производными. Следует отметить, что в последние три десятиле- 3,kν 1,kν 4,kν 6,kν 5,kν 1q s t 6q 3q 5q 4q 2q km 3,kν Електротехніка і Електромеханіка. 2008. №3 61 тия в области инженерных и научных расчетов доми- нировали метод конечных элементов (МКЭ) и метод конечных разностей (МКР). Оба этих метода исполь- зуют сложные и весьма затратные алгоритмы разбие- ния области решения. В частности, генерация сетки является главным препятствием при решении трех- мерных задач в нерегулярных областях. С вычислительной точки зрения крайне жела- тельно решать краевые задачи, используя только дис- кретизацию границы области решения. В результате интенсивных исследований в этой области возник метод граничных элементов (МГЭ) как альтернатив- ный подход к решению уравнений с частными произ- водными. В настоящее время он рассматривается как один из основных методов в области инженерных и научных расчетов. Одной из версий МГЭ является метод граничных интегральных уравнений, рассмот- ренный выше. Несмотря на тот факт, что МГЭ является гранич- ным методом, разбиение на поверхности общего вида является нетривиальной задачей. Кроме того, он включает в себя достаточно сложный алгоритм интег- рирования сингулярных функций. Подобная ситуация возникает при вычислении интегралов, входящих в (13), когда точка коллокации iP является одним из узлов элемента kΔ . В этом случае интегрирование производится с аналитическим выделением сингуляр- ности интегрируемой функции. Детальное описание этого алгоритма изложено в работах [5, 6]. В последние десятилетия большие усилия были направлены на разработку бессеточных (meshless) методов, которые не требуют дискретизации ни об- ласти решения, ни ее границы. МФР принадлежит к этой группе и является эффективным средством ре- шения однородных эллиптических граничных задач. Первоначально этот метод был предложен В.Д. Куп- радзе [7, 8]. Современное состояние развития МФР изложено в [9, 10]. Метод не требует дискретизации ни области решения, ни ее границы. Он не содержит численного интегрирования и, таким образом, труд- ности граничных методов, связанные с интегрирова- нием сингулярных функций также исключены. При решении краевых задач с гладкими краевыми усло- виями МФР имеет спектральную сходимость. Основная идея МФР состоит в аппроксимации решения конечным рядом фундаментальных решений рассматриваемого уравнения. Точнее, пусть рассмат- ривается решение следующей краевой задачи: DxxuL ∈= ,0)]([ , (15) DxxgxuB ∂∈= ),()]([ , (16) где [...]L – линейный дифференциальный оператор с известным фундаментальным решением; dRD∈ , 3,2=d – ограниченная непустая связная область с достаточно гладкой границей D∂ ; [...]B оператор краевого условия и )(xg известная гладкая функция. Согласно МФР приближенное решение задачи ищем в виде линейной комбинации ∑ = ξ−Ψ= N j jjN xqqxu 1 ),(),( (17) где функция )( ξ−Ψ x удовлетворяет уравнению )()]([ ξ−δ=ξ−Ψ xxL . Особые точки jξ , Nj ,...,1= расположены за пределами области решения. Таким образом, линейная комбинация (16) удов- летворяет дифференциальному уравнению (15) при любом выборе jq . Коэффициенты jq мы находим из краевого условия (16). Это можно сделать, записав (16) в виде условия минимума квадратичного функ- ционала dlxgqxuB D N q ∫ ∂ − 2)]()],([[min . (18) Аппроксимируя интеграл конечной суммой, по- лучим ≈−=− ∑∫∫ =∂ M i l N D N dlxgqxuBdlxgqxuB i1 22 )]()],([[)]()],([[ i M i iiN lxgqxuB Δ−≈∑ =1 2)]()],([[ . Если длины участков разбиения границы области взять одинаковыми lli Δ=Δ , то для определения не- известных коэффициентов jq получаем задачу о наименьших квадратах =−∑ = M i iiN q xgqxuB 1 2)]()],([[min 2 1 1 )()]([min∑ ∑ = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −ξ−Ψ= M i i N j jij q xgxBq . (19) Здесь ii lx ∈ . Этот же алгоритм определения jq получается, если записать условия коллокации граничного усло- вия (13) в M точках ix на границе области решения ),()]([ 1 i N j jij xgxBq =ξ−Ψ∑ = ,Dxi ∂∈ .,...,1 Mi = (20) Если взять NM > и решать переопределенную линейную систему (20) методом наименьших квадра- тов, то получим алгоритм, совпадающий с (19). Применим МФР для решения внешней задачи Неймана (2) – (4). С точностью до несущественной постоянной, фундаментальное решение уравнения Лапласа равно ξ− =ξ−Ψ x x 1)( . Решение ищем в виде (17). Для определения неиз- вестных коэффициентов используем систему уравнений ),(1 )(1 i N j ji j xf xxn q = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ξ−∂ ∂∑ = ,Dxi ∂∈ .,...,1 Mi = 62 Електротехніка і Електромеханіка. 2008. №3 Задача решалась для того же эллипсоида (8) и дипольного источника поля (9). Особые точки jξ расположены на сфере радиуса 2,0=R . Таким обра- зом, все источники поля попадают внутрь этой сферы. Точки коллокации ix мы выбираем в узлах триангу- ляционного разбиения эллипсоида. Переопределенная система уравнений решалась с использованием алго- ритма DLQRRV из библиотеки Microsoft IMSL Libraries. Результаты представлены в правой части табл. 1. ВЫВОДЫ Приведенные данные демонстрируют значитель- ное преимущество МФР по сравнению с методом гра- ничных интегральных уравнений. При этом следует отметить, что МГИУ значительно превосходит по эффективности объемные вычислительные методы МКЭ и МКР, поскольку работает только с граничны- ми данными. Кроме того, использование МГИУ по- зволяет получить решение только в фиксированных точках – узлах kΔ триангуляционного разбиения по- верхности. Для получения решения в других точках необходимо использовать интерполирование или ин- тегральное представление, подобное (5). Это же отно- сится и к объемным методам. В тоже время, после решения задачи с использованием МФР мы получаем аналитическое выражение (17) с известными коэффи- циентами jq , которое легко может быть вычислено в любой точке области решения. Это решение можно аналитически продифференцировать, численно про- интегрировать или получить другие необходимые характеристики. ЛИТЕРАТУРА [1] Проблемы электромагнитной совместимости и расчетно- го уровня электромагнитных помех: Симпозиум, Санкт- Петербург, 1993 // Электричество.-1994. -№ 1. -С. 78. [2] Розов В.Ю., Ассуиров Д.А. Принципы построения систем автоматического управления внешним магнит- ным полем технических объектов. Вісник Національного технічного університету "Харківський політехнічний інститут". – Харків, НТУ "ХПІ", 2005, № 45.- С. 101-102. [3] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для науч- ных работников и инженеров). – М.: Наука, 1974. – 832 с. [4] Курбатов П.А., Аринчин С.А. Численный расчет элек- тромагнитных полей. – М.: Энергоатомиздат, 1984. – 168 с. [5] K. Atkinson. The Numerical Solution of Fredholm Inte- gral Equations of the Second Kind, Cambridge Univ. Press, 1997. [6] K. Atkinson. A survey of boundary integral equation methods for the numerical solution of Laplace's equation in three dimensions, in Numerical Solution of Integral Equations, ed. by M. Golberg, Plenum Press, New York, 1990, pp. 1 - 34. [7] В.Д. Купрадзе. О приближенном решении задач мате- матической физики. Успехи математических наук, т. 22, № 2, 1967, С. 59–107. [8] В.Д. Купрадзе, М.А. Алексидзе. Метод функциональ- ных уравнений для приближенного решения некото- рых граничных задач. Журнал вычислительной мате- матики и математической физики, т. 4, № 4, 1964, С. 683–715. [9] G. Fairweather and A. Karageorghis. The method of fun- damental solutions for elliptic boundary value problems. Advances in Comp. Math. 9, pp. 69 - 95, 1998. [10] GB : M.A. Golberg and C.S. Chen. The Method of Funda- mental Solutions for Potential, Helmholtz and Diffusion Problems, in: M.A. Golberg (Ed.), Boundary Inetgral Meth- ods - Numerical and Mathematical Aspects, Computational Mechanics Publications, 1998, pp. 103-176. Поступила 04.07.2007

Об одном численном методе решения задачи Неймана в связи с решением проблемы управления внешним магнитным полем технических объектов в замкнутой системе

Репозитарії

Схожі ресурси