Безградієнтні алгоритми керування для задач динамічної оптимізації (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 30 травня 2018 р.)

Доповідь присвячено дослідженню задач динамічної оптимізації з функцією якості, аналітичний вираз якої може бути повністю або частково невідомим. Через це обмеження класичні методи керування, які потребують обчислення градієнта функції якості, виявляються неефективними. У роботі представлено новий...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2018
1. Verfasser:	Грушковська, В.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2018
Schriftenreihe:	Вісник НАН України
Schlagworte:	Молоді вчені
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/143126
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Безградієнтні алгоритми керування для задач динамічної оптимізації (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 30 травня 2018 року) / В.В. Грушковська // Вісник Національної академії наук України. — 2018. — № 8. — С. 66-75. — Бібліогр.: 17 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-143126
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1431262025-02-23T18:32:41Z Безградієнтні алгоритми керування для задач динамічної оптимізації (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 30 травня 2018 р.) Gradient-free control algorithms for dynamic optimization problems (according to the materials of scientific report at the meeting of the Presidium of NAS of Ukraine, May 30, 2018) Безградиентные алгоритмы управления для задач динамической оптимизации (по материалам научного сообщения на заседании Президиума НАН Украины 30 мая 2018 года) Грушковська, В.В. Молоді вчені Доповідь присвячено дослідженню задач динамічної оптимізації з функцією якості, аналітичний вираз якої може бути повністю або частково невідомим. Через це обмеження класичні методи керування, які потребують обчислення градієнта функції якості, виявляються неефективними. У роботі представлено новий безградієнтний метод синтезу функцій керування для задач динамічної оптимізації, який об’єднує та узагальнює деякі наявні результати і дає змогу будувати нові керування з потрібними властивостями. На відміну від більшості безградієнтних алгоритмів керування, які забезпечують лише властивість практичної асимптотичної стійкості, отримано умови асимптотичної (і навіть експоненціальної) стійкості за Ляпуновим. Одержані результати проілюстровано за допомогою чисельного інтегрування та експериментів з мобільним роботом. The paper focuses on the study of dynamic optimization problems with cost function, whose analytical expression is partially or completely unknown. This limitation leads to inefficiency of classical control methods, for which the gradient of a cost functions has to be computed explicitly. This paper presents a novel gradient-free control design approach for dynamic optimization problems. It unifies and generalizes some known results and, moreover, allows constructing new controls with favourable properties. In contrast to many existing gradient-free control algorithms which imply only the practical asymptotic stability, we propose conditions for asymptotic (and even exponential) stability in the sense of Lyapunov. The results obtained are illustrated by numerical simulations and experiments with a mobile robot. 2018 Article Безградієнтні алгоритми керування для задач динамічної оптимізації (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 30 травня 2018 року) / В.В. Грушковська // Вісник Національної академії наук України. — 2018. — № 8. — С. 66-75. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 0372-6436 DOI: doi.org/10.15407/visn2018.08.066 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/143126 uk Вісник НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Молоді вчені Молоді вчені
spellingShingle	Молоді вчені Молоді вчені Грушковська, В.В. Безградієнтні алгоритми керування для задач динамічної оптимізації (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 30 травня 2018 р.) Вісник НАН України
description	Доповідь присвячено дослідженню задач динамічної оптимізації з функцією якості, аналітичний вираз якої може бути повністю або частково невідомим. Через це обмеження класичні методи керування, які потребують обчислення градієнта функції якості, виявляються неефективними. У роботі представлено новий безградієнтний метод синтезу функцій керування для задач динамічної оптимізації, який об’єднує та узагальнює деякі наявні результати і дає змогу будувати нові керування з потрібними властивостями. На відміну від більшості безградієнтних алгоритмів керування, які забезпечують лише властивість практичної асимптотичної стійкості, отримано умови асимптотичної (і навіть експоненціальної) стійкості за Ляпуновим. Одержані результати проілюстровано за допомогою чисельного інтегрування та експериментів з мобільним роботом.
format	Article
author	Грушковська, В.В.
author_facet	Грушковська, В.В.
author_sort	Грушковська, В.В.
title	Безградієнтні алгоритми керування для задач динамічної оптимізації (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 30 травня 2018 р.)
title_short	Безградієнтні алгоритми керування для задач динамічної оптимізації (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 30 травня 2018 р.)
title_full	Безградієнтні алгоритми керування для задач динамічної оптимізації (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 30 травня 2018 р.)
title_fullStr	Безградієнтні алгоритми керування для задач динамічної оптимізації (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 30 травня 2018 р.)
title_full_unstemmed	Безградієнтні алгоритми керування для задач динамічної оптимізації (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 30 травня 2018 р.)
title_sort	безградієнтні алгоритми керування для задач динамічної оптимізації (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні президії нан україни 30 травня 2018 р.)
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2018
topic_facet	Молоді вчені
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/143126
citation_txt	Безградієнтні алгоритми керування для задач динамічної оптимізації (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 30 травня 2018 року) / В.В. Грушковська // Вісник Національної академії наук України. — 2018. — № 8. — С. 66-75. — Бібліогр.: 17 назв. — укр.
series	Вісник НАН України
work_keys_str_mv	AT gruškovsʹkavv bezgradíêntníalgoritmikeruvannâdlâzadačdinamíčnoíoptimízacíízamateríalaminaukovogopovídomlennânazasídanníprezidíínanukraíni30travnâ2018r AT gruškovsʹkavv gradientfreecontrolalgorithmsfordynamicoptimizationproblemsaccordingtothematerialsofscientificreportatthemeetingofthepresidiumofnasofukrainemay302018 AT gruškovsʹkavv bezgradientnyealgoritmyupravleniâdlâzadačdinamičeskojoptimizaciipomaterialamnaučnogosoobŝeniânazasedaniiprezidiumananukrainy30maâ2018goda
first_indexed	2025-11-24T11:03:09Z
last_indexed	2025-11-24T11:03:09Z
_version_	1849669388220760064
fulltext	66 ISSN 1027-3239. Visn. Nac. Acad. Nauk Ukr. 2018. (8) МОЛОДІ МОЛОДІ ВЧЕНІВЧЕНІ doi: https://doi.org/10.15407/visn2018.08.066 БЕЗГРАДІЄНТНІ АЛГОРИТМИ КЕРУВАННЯ ДЛЯ ЗАДАЧ ДИНАМІЧНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇ За матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 30 травня 2018 року Доповідь присвячено дослідженню задач динамічної оптимізації з функцією якості, аналітичний вираз якої може бути повністю або частково невідо- мим. Через це обмеження класичні методи керування, які потребують об- числення градієнта функції якості, виявляються неефективними. У роботі представлено новий безградієнтний метод синтезу функцій керування для задач динамічної оптимізації, який об’єднує та узагальнює деякі наявні ре- зультати і дає змогу будувати нові керування з потрібними властивостя- ми. На відміну від більшості безградієнтних алгоритмів керування, які за- безпечують лише властивість практичної асимптотичної стійкості, отримано умови асимптотичної (і навіть експоненціальної) стійкості за Ляпуновим. Одержані результати проілюстровано за допомогою чисель- ного інтегрування та експериментів з мобільним роботом. Ключові слова: оптимізація, пошук екстремуму, асимптотична стійкість, безградієнтні алгоритми керування, апроксимація з дужками Лі. Задачі динамічної оптимізації виникають у різних галузях сучасної науки і техніки. Наприклад, в енергетиці важливо стабілізувати таку конфігурацію сонячної батареї або вітро- генератора, яка забезпечувала б максимальну віддачу енергії. У хімічній промисловості потрібно отримувати максимальний вихід продукту. Широке коло застосувань виникає також у ро- бототехніці, зокрема у задачах відстеження роботом сталої або рухомої цілі з невідомою траєкторією, задачах консенсусу в ба- гатоагентних системах тощо [1]. Усі ці задачі об’єднує необхід- ність стабілізувати деяку оптимальну конфігурацію системи, в якій певна функція якості досягає екстремального (мінімаль- ного чи максимального) значення. Відповідна функція якості може описувати, скажімо, відстань до статичного або рухомого об’єкта, інтенсивність сонячного випромінювання, концентра- цію хімічних чи біологічних агентів. Одна з основних проблем ГРУШКОВСЬКА Вікторія Василівна — кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник відділу прикладної механіки Інституту прикладної математики і механіки НАН України https://orcid.org/0000-0003-0439-6834 ISSN 1027-3239. Вісн. НАН України, 2018, № 8 67 МОЛОДІ ВЧЕНІ полягає в тому, що оптимальна конфігурація часто є невідомою апріорі і навіть може змі- нюватися з часом, тож важливим завданням є розроблення таких керуючих алгоритмів, які знаходили б і стабілізували цю невідому кон- фігурацію. Таку задачу називають задачею ди- намічної оптимізації; у світовій літературі по- ширеним також є термін «задача пошуку екс- тремуму» (extremum seeking problem) [2]. Задачі пошуку екстремуму є популярним науковим напрямом як в Україні, так і за кордоном. Перші роботи з цієї тематики з’я- ви ли ся ще у 20-х роках ХХ ст., проте значне зростання теоретичного інтересу до них та їх практичних застосувань відбулося відносно недавно [3]. Класичні підходи до розв’язання задач ди- намічної оптимізації ґрунтуються на побудо- ві керуючих алгоритмів, які використовують значення градієнта функції якості. Однак такі підходи не можна безпосередньо застосовува- ти у випадках частково або повністю невідо- мого аналітичного виразу функції якості та невідомої точки екстремуму. Зважаючи на це, важливим напрямом досліджень є розроблен- ня так званих безградієнтних керуючих алго- ритмів, які знаходять і стабілізують апріорі невідомий оптимальний стан системи, вико- ристовуючи при цьому лише значення функції якості (але не її похідні). Вочевидь, вибір керу- ючого алгоритму відіграє важливу роль через вплив на швидкість спадання та можливі обме- ження на керування, а отже, дослідження різ- них типів керування є актуальною науковою проблемою. У статті представлено новий клас безграді- єнтних керуючих алгоритмів, що стабілізують систему в околі точки екстремуму функції якості, аналітичний вираз якої може бути част- ково або повністю невідомим. Слід підкресли- ти, що отриманий клас узагальнює деякі відо- мі керування для задач пошуку екстремуму і, більше того, дозволяє будувати нові керування з важливими властивостями. Зокрема, на від- міну від більшості наявних результатів з по- шуку екстремуму, що забезпечують лише влас- тивість практичної стійкості, доведено нові умови асимптотичної стійкості відповідних траєкторій за Ляпуновим. У статті розглянуто також кілька прикладів і наведено результати експериментів з мобільним роботом, які дають змогу наочно продемонструвати властивості різних керуючих алгоритмів. Представлені в статті результати досліджен- ня проблеми пошуку екстремуму є природним продовженням тематики школи з аналітичної механіки та теорії керування в Інституті при- кладної математики і механіки НАН України. Саме поєднання постановки задачі, що вини- кає в інженерних застосуваннях, і фундамен- тальних результатів у теорії стійкості і керу- вання рухом, отриманих представниками цієї школи, дозволило створити новий ефектив- ний підхід до розв’язання широкого кола задач динамічної оптимізації. Частину наведених у статті результатів одержано в рамках спіль- них досліджень з професором О.Л. Зуєвим та колегами з Інституту теорії систем та автома- тичного керування (Університет Штутгарта, Німеччина) [4–6]. Метод апроксимації з дужками Лі. Для розв’язання задач динамічної оптимізації ство- рено чимало підходів. Один з ефективних під- ходів ґрунтується на алгоритмах керування з періодичними за часом осцилюючими функція- ми (збуджуючими сигналами) для динамічних систем з векторними полями, що залежать від значень функції якості. За певних умов такі ке- рування дозволяють апроксимувати напрямок антиградієнта (або інший напрямок спадання) функції якості; при цьому в самому алгоритмі не використовуються похідні від функції якос- ті. Зокрема, такий підхід становить основу ме- тоду апроксимацій з дужками Лі [7]. Щоб по- яснити головну ідею цього методу, розглянемо афінну за керуванням систему 0 1 1 ( ) ( ) ,j j j x f x f x t u = = ⎛+ ε ⎞ ⎜ ⎟⎝ ⎠ε∑ � � (1) де 1( , , )T n nx x x= … ∈� позначає вектор стану системи, 0(0) nx x= ∈� , 1( ,, )u u u= … ∈ � � � — керування, 0ε > , 2( )n j Cf ∈ � , 1,j = � . 68 ISSN 1027-3239. Visn. Nac. Acad. Nauk Ukr. 2018. (8) МОЛОДІ ВЧЕНІ Припустимо, що (A0) функції керування ( )ju t є неперерв- ними і T -періодичними, 0 ( ) 0, T ju dτ τ =∫ ,0 0 ( ) ( ) , T i j i ju u d d T θ θ τ τ θ = β∫ ∫ 0T > , ,i jβ ∈� , , 1,i j = � . Можна показати, що за певних умов траєк- торії системи (1) апроксимують траєкторії на- ступної системи з дужками Лі: 0 0 ,( ) [ , ]( ), ( ,0)j i i j i j x f x f f x x x < = + β =∑� (2) тобто траєкторії системи (1) знаходяться у де- якому околі траєкторій системи (2) (рис. 1). При цьому радіус такого околу зменшується зі зменшенням ε , так що при 0ε→ траєкто- рії системи (1) рівномірно збігаються до тра- єкторій системи (2) на обмежених проміжках часу [7]. Така властивість виявляється надзвичайно важливою для розв’язання задач динамічної оптимізації. Дійсно, припустимо, що функція якості J є невідомою як аналітичний вираз, але її значення може бути обчислено (виміряно) для кожного nx ∈� ; тоді розглянемо задачу по- будови такої керованої системи ( ), ( )x u t J x=� , щоб усі її розв’язки ( )x t прямували до точки мінімуму функції J при t →+∞ . Для ілюстра- ції основної ідеї припустимо, що 1n = , тобто x ∈� , і розглянемо алгоритм керування, за- пропонований у [7]: ( ) 1 , ( ) 2 ( )cos sin . t t x u t J x J x ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ε⎠⎝ε ⎠ε � (3) Неважко перевірити, що система з дужка- ми Лі для (3) відповідає градієнтному потоку функції J: ( ) [ ( ),1] ( ) . TJ x x J x J x x ⎛ ⎞∂= = −∇ = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠ � (4) Отже, хоч алгоритм керування в (3) і не ви- користовує похідні функції якості J, траєкторії системи (3) апроксимують градієнтний потік ( )J x−∇ і збігаються (наприклад, якщо J опу- кла і має мінімум) до довільно малого околу множини точок мінімуму функції J, якщо зна- чення ε є достатньо малим. Таким чином, ал- горитм керування (3) дозволяє розв’язати за- дачу пошуку екстремуму функції якості J. Побудова керувань для задач динамічної оптимізації. Важливо зазначити, що є багато способів визначити векторні поля системи (1) так, щоб відповідна система з дужками Лі мала вигляд (4). Наприклад, розглянемо систему ( ) ( )1 cos sin .J x J xt t x e e−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎝ ε ε⎠ ⎠ε � Обчислюючи ( ) ( )[ , ]J x J xe e− , маємо 2 ( )J x− ∇ , тож відповідна система з дужками Лі знову має вигляд (4), тобто відповідає градієнтному потоку функції якості. Таким чином, зазначе- ний алгоритм керування також може бути ви- користано для розв’язання задачі динамічної оптимізації. Тому виникає природне запитан- ня: чи можливо отримати опис загального класу таких векторних полів динамічної системи (1), з якими відповідна система з дужками Лі відпо- відає градієнтному потоку функції J? У роботі [4] отримано конструктивну відповідь на це питання, а саме, доведено такий результат. Теорема 1 [4]. Розглянемо систему ( ) 2 1 ( ) ( ) , , n n i i i i x F J x u t e x = = ∈∑� � (5) Рис. 1. Метод апроксимацій з дужками Лі. Траєкторії системи (1) (синя крива) з належним керуванням зна- ходяться в околі траєкторій системи з дужками Лі (2) (червона крива) ISSN 1027-3239. Вісн. НАН України, 2018, № 8 69 МОЛОДІ ВЧЕНІ де 2( ; )nJ C∈ � � , вектор ie позначає одинич- ний вектор в n� з ненульовою i -ю координа- тою для 1 ≤ і ≤ n і з ненульовою (i-n)-ю коорди- натою для 1 2n i n+ ≤ ≤ ; :iF →� � . Припусти- мо, що функції 1, ( )i i nF F C+ ∈ � , 1,i n= , і кожна пара ,i i nF F + задовольняє співвідношення 2 ( ) ( ) ( ) , ( ) i i n i i z F z F z dz F z+ ϕ = − ∫ (6) з деякими функціями :iϕ →� � . Визначимо 1 ( ) :i iu t u t⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎝ = ⎠εε � , 1,i n= , 0ε > , де функції ,i i nu u +� � задовольняють (A0). Тоді система з дужками Лі для (5) має вигляд , 1 ( ) ( ( )) . n i n i i i ii J x x J x e x+ = ∂= − β ϕ ∂∑� (7) Якщо додатково функції 2, ( )i i nF F C+ ∈ � , а компактна множина nS ⊂� є локально (гло- бально) рівномірно асимптотично стійкою для системи (7), то множина S є локально (напів- глобально) практично рівномірно асимпто- тично стійкою для системи (5). Отже, формула (6) описує широкий клас функцій ,i i nF F + , з якими траєкторії систе- ми (5) апроксимують траєкторії системи гра- дієнтного типу (7). Більш того, формула (6) дозволяє об'єднати і узагальнити деякі відомі результати, наприклад алгоритми пошуку екстремуму за допомогою апроксимації з дуж- ками Лі, запропоновані в роботах [7–10]. Для ілюстрації цього факту розглянемо знову ви- падок x ∈� . У таблиці наведено вирази функ- цій 1 2 1, ,F F ϕ , які відповідають керуванням по- шуку екстремуму, наведеним у статях [7–10], а також зазначено їх характерні властивості. Зо- крема, керування, які відповідають випадкам Приклади функцій F1, F2 з робіт [4, 7–10], які використовують керування вигляду ( ) ( ) ( )1 2 1 , ( ) ( ) cos ( ) sin t t u t J x F J x F J x= + ε εε ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ . У кожному випадку функції F1, F2 задовольняють співвідношення (6). Вирази функцій 1( )zϕ , 1( )F z і 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) z F z F z dz F z ϕ = − ∫ Автори Характерні властивості відповідного керування (С1) 1 2ϕ ≡ , 1 2( ) 2 , ( ) 1F z z F z= = Dürr, Stankovic, Ebenbauer, Johansson [7] Простота реалізації (С2) 1 1ϕ ≡ , 1 2( ) sin( ), ( ) cos( )F z z F z z= = Scheinker, Krstić [8] Обмеженість амплітуди керування (С3) 1( ) 2z kzϕ = α , 1( ) r F z z= α , 2 2( ) 1 rk F z z r −= − , [0,1), , 0r k∈ α > Scheinker, Krstić [9] Згасання амплітуди керу- вання: керування пряму- ють до нуля, якщо 0z → (С4) 1 1ϕ ≡ , ( )1( ) sin ln( )F z z z= , ( )2( ) cos ln( )F z z z= для 0z > , 1 2(0) (0) 0F F= = . Suttner, Dashko- vskiy [10] (С5) 1 1ϕ ≡ , ( )1 1 ( ) sin 2ln( 1) 1 z z z z e F z e e e −−= + − + , ( )2 1 ( ) cos 2ln( 1) 1 z z z z e F z e e e −−= + − + для 0z > , 1 2(0) (0) 0F F= = . Грушковська, Зуєв, Ebenbauer [4] Обмеженість і згасання амплітуди керування 70 ISSN 1027-3239. Visn. Nac. Acad. Nauk Ukr. 2018. (8) МОЛОДІ ВЧЕНІ (С1) і (С2) в таблиці, застосовні до широкого класу функцій якості і мають досить простий вигляд. Ці властивості спрощують практичну реалізацію таких алгоритмів, наприклад у сис- темах комп’ютерного керування рухом робото- технічних систем. Додатковою перевагою у ви- падку (С2) є рівномірна обмеженість функцій 1 2,F F , що дозволяє враховувати обмеження, які трапляються в реальних системах. Проте в обох випадках амплітуди керувань не спада- ють при 0,z → що на практиці призводить до незгасаючих коливань розв’язків відповідної динамічної системи в околі точки екстремуму. Керування, амплітуди яких прямують до нуля при 0z → (див. (С3), (С4)), є корисними у ви- падках відомого мінімального значення функ- ції якості (при цьому значення точки мінімуму x* може залишатися невідомим). Такі ситуації виникають, наприклад, у задачах пошуку цілі, консенсусу, синхронізації, стабілізації за до- помогою вібрацій та ін. Неважко перевірити: попри різні властивості, всі наведені керуван- ня можуть бути отримані з формули (6). Крім того, формула (6) дозволяє будувати нові ке- рування з корисними властивостями. Так, мо- жемо отримати керування, які поєднують пе- реваги обмеженості та згасання в нулі, зокрема з функціями (С5) у таблиці. Умови асимптотичної стійкості. Слід підкреслити, що більшість наявних безграді- єнтних алгоритмів керування для задач дина- мічної оптимізації забезпечують лише прак- тичну асимптотичну стійкість точки екстре- муму для замкненої системи, тобто потрібна близькість системи до оптимального стану до- сягається за рахунок вибору достатньо великої частоти керування, а траєкторії системи мають незгасаючі коливання в околі точки екстре- муму. З практичної точки зору реалізація цих керувань може виявитися неефективною че- рез реальні обмеження на припустимі значен- ня частоти та величини керування. На відміну від таких результатів у роботі [4] запропонова- но керування, які забезпечують асимптотичну (і навіть експоненціальну) стійкість за Ляпу- новим траєкторій замкненої системи, що є сут- тєвою перевагою. Наведемо відповідні умови асимптотичної стійкості. Вважатимемо, що в деякій області nD ⊆� виконано такі властивості: (A1) функція J має ізольований локальний мінімум у точці x D∈ , ( )J x J= ; (A2) функція J задовольняє в області D не- рівності 1 12 2 * * 1 2( ) m m x x J x J x xγ − ≤ − ≤ γ − , 1 1 1 2 2* 1 1 2 * 2 ( ) ( )( ) ( )( ) , m m J x J J x J x J − − κ − ≤ ∇ ≤ ≤ κ − 1 12 1 * 2 ( ) ( ( ) ) ,mJ x J x J x −∂ ≤ μ − ∂ з деякими 1 2 1 2, , , ,γ γ κ κ μ і деяким 1 1m ≥ (тоб- то локальна поведінка функції J подібна до по- ведінки степеневої функції); (A3) 2 ( ( )) ( { })iF J C D x⋅ ∈ � , nD ⊆� ; ( ( )) jF iL F J ⋅ , ( ( )) ( ) l jF F iL L F J C D⋅ ∈ для всіх , , 1,2i j l n= (тобто перша та друга по- хідні Лі функцій ( ( ))iF J ⋅ є неперервними, на- віть якщо самі функції ( ( ))iF J ⋅ не є неперерв- но диференційованими в D). (A4) Функції ( ( ))iF J x задовольняють умо- ву Ліпшица на кожній компактній множині Dχ ⊂ , і в області D виконано такі нерівності: 2 2 * 1 * 2 ( ) ( )( ) ( ) ) ,( )( m i m J x J J x J J x J α − ≤ ϕ − ≤ ≤ α − 3* \| ( ) \|( ) ( ( ) )m iF J x J M J x J− ≤ − , 4 ( )) )( )(( l j m F F iL L F J x J H J x J− ≤ − , , , 1,2i j l n= з деякими 1 2, , 0Mα α > , 0H ≥ , 1 2 1 1m m−≥ − , та 3 20.5( 1)m m= + , 1 4 2 11.75(1 )m m m−= + − . У якості збуджуючих сигналів в (5) візьме- мо такі тригонометричні функції: ISSN 1027-3239. Вісн. НАН України, 2018, № 8 71 МОЛОДІ ВЧЕНІ 2 ( ) ( ) 2 cosi i i i k k t u t u tε π π⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠ε ε , 2 ( ) ( ) 2 sini i i n i n k k t u t u tε + + π π⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠ε ε , 1,i n= , (7) де ik ∈� , i jk k≠ для всіх i j≠ , 0ε > . Для 0δ > позначатимемо ( )B xδ δ -окіл точки * nx ∈� . Теорема 2 [4]. Припустимо, що в області ( )D B xΔ= ( 0 < Δ ≤ +∞ ) функція 2( )J C D∈ задовольняє властивості (A1)–(А2), функ- ції ,i i nF F + задовольняють властивість (A3) і співвідношення (6) з деякими iϕ для кожного {1, , }i n∈ … . Тоді виконано такі твердження. А) Нехай ( ( ))i J xϕ = α , де α є деякою до- датною сталою. Тоді x є практично експонен- ціально стійким для системи (5), якщо 1 1m = , і практично асимптотично стійким, якщо 1 1m > . А саме, для кожного 12 1 2(0, / )mδ ∈ Δ γ γ , 1(0, )λ ∈ ακ , (0, )ρ∈ δ існує таке 0ε > , що для кожних (0, ]ε ∈ ε , (0, ]λ ∈ λ розв'язки систе- ми (5) з початковими умовами 0 ( )x B xδ∈ і функціями ( ), ( )i i nu t u tε ε + , заданими формулами (7), 1,i n= , задовольняють умову ( )1 0 * 2 1 ( ) ( ) / ( ) ,m m x t x t x x t − ≤ ≤ σ γ γ − ψ λ − ε +ρ� (8) де ( ) 1 /2 2 1( ) 1 / ( 1), m m m LM t e L ν εσ ≤ + γ γ δ − � � для всіх 0t ≥ , ( ) 1tσ → при 1 1, 1 ,t m m−→∞ = −� і 1 1 20 /2, якщо 0, ( ) ( , якщ1 ( ) о) 0. m s m mm e m s msJ x m − − ⎧ =⎪ ⎨ ⎪⎩ ψ = + > � �� (9) В) Нехай функції ( ( ))i Jϕ ⋅ , ( ( ))iF J ⋅ , ( ( ))i nF J+ ⋅ додатково задовольняють умову (A4). Тоді x є експоненціально стійким для (5), якщо 1 2 11 0m m m−= + − =� , і асимптотично стійким для системи (5), якщо 0m >� . А саме, для кожних 12 1 2(0, / )mδ ∈ Δ γ γ , 1 1(0, )λ ∈ α κ існує таке 0ε > , що для кожних (0, ]ε ∈ ε , (0, ]λ ∈ λ розв'язки системи (5) з початковими умовами 0 ( )x B xδ∈ і функціями ( ), ( )i i nu t u tε ε + , заданими формулами (7), 1,i n= , задовольня- ють умову (8) з 0ρ = . Доведення теореми 2 ґрунтується на автор- ському підході, який поєднує і поширює нещо- давно запропонований підхід до стабілізації та планування руху неголономних систем [11–13] та методи дослідження асимптотичної пове- дінки суттєво нелінійних систем [14, 15]. Хоча практичну асимптотичну стійкість може бути доведено також й іншими методами (наприклад, [7, 9]), наведений результат послаблює вимогу регулярності функцій ,i i nF F + у зазначених ро- ботах і тим самим значно розширює клас при- пустимих алгоритмів керування. Більше того, доведення цього результату є конструктивною процедурою для визначення ε в (5). Приклади. Отже, формула (6) надає опис широкого класу безградієнтних алгоритмів ке- рування з різноманітними властивостями для задач динамічної оптимізації. Проілюструємо поведінку розв'язків системи (5) з деякими представниками цього класу на прикладі ква- дратичної функції якості однієї змінної: ( )21( ) 2 1J x x= − , x ∈� , тобто * 1x = , * 0J = . Візьмемо 1 1, 0.1k = ε = ; тоді система (5) з функціями (7) має вигляд 1 1 1 2 1 ( , ( )) 40 ( ( ) cos(20 ) ( ) sin(20 )( )) .) ( x u t J x F J x t F J x t = = π × × π + π � (10) На рис. 2 наведено графіки розв’язків систе- ми (10) та керування ( )1, ( )u t J x для функцій 1F і 2F , які відповідають випадкам (С1), (С2), (С4), (С5) з таблиці. Бачимо, що амплітуди ке- рувань, які відповідають випадкам (С1) і (С2), не згасають у точці екстремуму, що призводить до коливальної поведінки розв’язків відповід- них динамічних систем (рис. 2a і б). Таку по- ведінку можна поліпшити, використовуючи керування, амплітуди яких прямують до нуля, коли траєкторії системи наближаються до x . Як випливає з теореми 2, використання таких керувань дозволяє забезпечити згасання коливань при ( )x t x→ . Зокрема, рис. 2в і г ілюструють поведінку траєкторій системи (10) 72 ISSN 1027-3239. Visn. Nac. Acad. Nauk Ukr. 2018. (8) МОЛОДІ ВЧЕНІ Рис. 2. Графіки розв’язків системи (10) (зверху, синій) та керування ( )1, ( )u t J x (знизу, синій) з функцією якості = − 2 1( ) 2( 1)J x x і функціями 1 2,F F з таблиці: а — (С1), б — (С2), в — (С4), г — (С5) , а також графік функції 0( ( ))tψ λ − ε (9) (червоний) (іл. з [4]) Рис. 3. Графіки розв’язків системи (11) з функцією якості = − 4 2( ) 2( 1)J x x для випадків (С2) і (С5) з таблиці (синій) і функ- ції 0.5( ( ))tψ λ − ε (9) (червоний) (іл. з [4]) для випадків (С4) і (С5). Графіки відповідних функцій керування ( )1, ( )u t J x ілюструють властивість згасання амплітуди керування за умови (A4) при прямуванні розв'язків системи до точки мінімуму. Для ілюстрації побудованої в теоремі 2 оцінки швидкості спадання (8) розглянемо функцію ( ( ))m tψ λ − ε� , визначену формулою (9) з 1 1λ = α κ . Неважко перевірити, що у роз- глянутих вище випадках 0m =� , 0.5 0( ) ss e−ψ = . Рис. 2 ілюструє високу точність теоретичної оцінки (8). Для порівняння розглянемо також функцію 4 2( ) 2( 1)J x x= − і покладемо 0 1 20.01 ( ( ))m J x −ε = < λ � . У цьому випадку 0.5m =� , 0 2 1/2 0.5( ) (1 0.5 2 1 ) .s s x −ψ = + − На рис. 3 наведено графіки розв’язків системи 2 1 2 2 2 ( , ( )) 400 ( ( ) cos(200 ) ( ) sin(200 ))( ,( ) ) x u t J x F J x t F J x t = = π × × π + π � (11) ISSN 1027-3239. Вісн. НАН України, 2018, № 8 73 МОЛОДІ ВЧЕНІ а також графік функції 0.5( ( ))tψ λ − ε для ви- падків (С2) і (С5) з таблиці. Звернімо увагу, що вищий порядок нелінійності функції 2J при- водить до зменшення швидкості прямування траєкторій системи порівняно з квадратичною функцією 1J . Як зазначено в [4], швидкість збіжності може бути збільшено, наприклад ви- бором належної функції 1 2( ( ))J xϕ . Результати експериментів. Під час ста- жування автора в Інституті теорії систем і ав- томатичного керування (Університет Штут- гарта, Німеччина) отримані вище результати було застосовано до задачі пошуку цілі мобіль- ним роботом: кілька алгоритмів керування, векторні поля яких описуються формулою (6), було впроваджено в системі комп’ютерного ке- рування рухом мобільного робота (рис. 4), рів- няння руху якого мають вигляд 1 2cos( ), sin( ),x u t x u t= Ω = Ω� � (12) де 2 1 2( , )Tx x x= ∈� позначає вектор стану, u ∈� — керування, 0Ω> . Такі рівняння від- повідають моделі руху моноцикла зі сталою кутовою швидкістю Ω . У роботі [5] запропо- новано такий клас керувань для задачі дина- мічної оптимізації для системи (12): 1 2 ( , ( )) ( ( ))cos ( ( ))sin , u u t J x t t F J x F J x ε= = ⎛ ⎞ϑα ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎝ ⎠⎝ ε⎠ ⎠ε ε де 1( )k −ε = Ω , \ {1}k ∈� , 24(1 )k−α = − , 0ϑ > , функції 1 2,F F задовольняють співвідношення (6). Для задачі пошуку цілі функцію якості J було задано як квадрат відстані від робота до цілі і взято значення параметрів 1/ 3ε = , 1.5Ω = . Через фізичні обмеження робота пара- метри α і κ обрано так, що ( ), ( ) 0.4u t J xε ≤ . Порівнювались три типи функцій 1 2,F F , відпо- відно до випадків (С1), (С2), (С5) з таблиці. Результати експериментів наведено на рис. 5. Можемо бачити, що найгірші показники спо- стерігаються у випадку (С1), оскільки від- стань між роботом і ціллю залишається досить Рис. 4. Мобільний робот (іл. з [5]) Рис. 5. Результати експериментів з роботом, рух якого задано рівняннями (10) з керуванням (11): а —траєкторії руху робота з функціями 1 2 ,F F в (11), які відповідають випадкам (С1) (зелений), (С2) (жовтий), (С5) (синій) у таблиці; б — графіки функції, що описує відстань між роботом і ціллю; в — графіки функцій керування для кож- ного випадку (іл. з [5]) а б в 74 ISSN 1027-3239. Visn. Nac. Acad. Nauk Ukr. 2018. (8) МОЛОДІ ВЧЕНІ великою навіть через довший проміжок часу, тож для підвищення точності потрібно вико- ристовувати керування з більшою частотою ε . Найкращу поведінку системи бачимо у ви- падку (С5), що ілюструє отримані теоретичні результати. Висновки. У статті представлено новий без- градієнтний метод синтезу функцій керуван- ня для задач динамічної оптимізації. Одним з основних результатів є загальна формула для побудови керуючих алгоритмів за допомо- гою методу апроксимацій з дужками Лі, яка об’єднує деякі відомі результати і надає мож- ливість побудови нових функцій керування з потрібними властивостями. Другим важливим результатом є концептуально новий підхід до дослідження властивостей стійкості запропо- нованої системи пошуку екстремуму. Цей під- хід має кілька переваг порівняно з наявними результатами. По-перше, доведення основних результатів є конструктивною процедурою для визначення частот функцій керування, достат- ніх для забезпечення бажаних властивостей збіжності. По-друге, для певних класів функ- цій якості доведено практичну експоненціаль- ну стійкість. Нарешті, основною перевагою розробленого підходу є нові умови стійкості за Ляпуновим: на відміну від більшості наяв- них безградієнтних алгоритмів керування, які забезпечують лише практичну асимптотичну стійкість, запропоновано керування, що за- безпечують асимптотичну (і навіть експонен- ціальну) стійкість за Ляпуновим відповідної замкненої системи. Теоретично доведено, а та- кож проілюстровано за допомогою чисельного інтегрування й експериментів з мобільним ро- ботом, що такі керування значно поліпшують якісну поведінку траєкторій системи і дозво- ляють уникнути небажаних коливань в око- лі точки екстремуму. Зокрема, керування, що забезпечують асимптотичну стійкість за Ля- пуновим, на практиці приводять до значного підвищення точності методу та забезпечення бажаних характеристик траєкторій системи. Побудовано також оцінки швидкості пряму- вання розв’язків системи до точки екстремуму. У прикладних задачах цей результат можна за- стосувати для підбору параметрів керування з метою підвищення швидкості збіжності. За- значимо, що ці результати мають значний по- тенціал для подальшого розвитку та широке коло застосувань у суміжних задачах. Напри- клад, у роботах [4, 5] розглянуто задачі дина- мічної оптимізації з функцією якості, яка може змінюватися з часом (зокрема, задачу відсте- ження рухомої цілі з невідомою траєкторією); у [16] безградієнтний метод синтезу функцій керування застосовано до задачі планування руху з уникненням перешкод; у [4] і [17] такі керування застосовано до задач стабілізації за допомогою вібрацій та координації руху багато агентних систем відповідно. REFERENCES [СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ] 1. Liu S.J., Krstić M. Stochastic averaging and stochastic extremum seeking. (Springer Science & Business Media, 2012). 2. Ariyur K.B., Krstić M. Real-time optimization by extremum-seeking control. (Wiley-Blackwell, 2003). 3. Tan Y., Moase W.H., Manzie C., Nešić D., Mareels I.M.Y. Extremum seeking from 1922 to 2010. In: Proc. 29th IEEE Chinese Control Conference (July 28-31, 2010, Beijing, China). 4. Grushkovskaya V., Zuyev A., Ebenbauer C. On a class of generating vector fields for the extremum seeking prob- lem: Lie bracket approximation and stability properties. Automatica. 2018. 94: 151-160. https://doi.org/10.1016/j. automatica.2018.04.024 5. Grushkovskaya V., Michalowsky S., Zuyev A., May M., Ebenbauer C. A family of extremum seeking laws for a uni- cycle model with a moving target: theoretical and experimental studies. In: Proc. European Control Conference’18. 2018. 6. Grushkovskaya V., Dürr H.-B., Ebenbauer C., Zuyev A. Extremum Seeking for Time-Varying Functions using Lie Brack- et Approximations. IFAC-PapersOnLine. 2017. 50 (1): 5522-5528. https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2017.08.1093 ISSN 1027-3239. Вісн. НАН України, 2018, № 8 75 МОЛОДІ ВЧЕНІ 7. Dürr H.-B., Stankovic M.S., Ebenbauer C., Johansson K. Lie bracket approximation of extremum seeking systems. Automatica. 2013. 49: 1538-1552. https://doi.org/10.1016/j.automatica.2013.02.016 8. Scheinker A., Krstić M. Extremum seeking with bounded update rates. Systems & Control Letters. 2014. 63: 25-31. https://doi.org/10.1016/j.sysconle.2013.10.004 9. Scheinker A., Krstić M. Non-C2 Lie bracket averaging for nonsmooth extremum seekers. J. of Dynamic Systems, Measurement, and Control. 2014. 136 (1): 011010-1–011010-10. https://doi.org/10.1115/1.4025457 10. Suttner R., Dashkovskiy S. Exponential stability for extremum seeking control systems. IFAC-PapersOnLine. 2017. 50 (1): 15464-15470. https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2017.08.2106 11. Zuyev A. Exponential stabilization of nonholonomic systems by means of oscillating controls. SIAM Journal on Con- trol and Optimization. 2016. 54: 1678-1696. https://doi.org/10.1137/140999955 12. Zuyev A., Grushkovskaya V. Motion Planning for Control-Affine Systems Satisfying Low-Order Controllability Conditions. International Journal of Control. 2017. 90 (11): 2517-2537. https://doi.org/10.1080/00207179.2016.125 7157 13. Zuyev A., Grushkovskaya V., Benner P. Time-varying stabilization of a class of driftless systems satisfying second-order controllability conditions. Proc. of the European Control Conference’16. 2016. P. 575-580. https://doi.org/10.1109/ ECC.2016.7810346 14. Grushkovskaya V., Zuyev A. Asymptotic Behavior of Solutions of a Nonlinear System in the Critical Case of q Pairs of Purely Imaginary Eigenvalues. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 2013. 80: 156-178. https://doi. org/10.1016/j.na.2012.10.007 15. Grushkovskaya V. On the influence of resonances on the asymptotic behavior of trajectories of nonlinear systems in critical cases. Nonlinear Dynamics. 2016. 86 (1): 587-603. https://doi.org/10.1007/s11071-016-2909-8 16. Grushkovskaya V. Gradient-free control algorithms for motion planning with obstacle avoidance. Proceedings of IAMM NASU. 2017. 31. [Грушковская В. Безградиентные алгоритмы управления для задач планирования движения с обходом пре- пятствий. Праці ІПММ НАН України. 2017. 31.] 17. Grushkovskaya V., Ebenbauer C. Multi-Agent Coordination with Lagrangian Measurements. IFAC-PapersOnLine. 2016. 49 (22): 115-120. https://dx.doi.org/10.1016/j.ifacol.2016.10.382 V.V. Grushkovska Institute of Applied Mathematics and Mechanics of the National Academy of Sciences of Ukraine (Sloviansk) GRADIENT-FREE CONTROL ALGORITHMS FOR DYNAMIC OPTIMIZATION PROBLEMS According to the materials of scientific report at the meeting of the Presidium of NAS of Ukraine, May 30, 2018 The paper focuses on the study of dynamic optimization problems with cost function, whose analytical expression is partially or completely unknown. This limitation leads to inefficiency of classical control methods, for which the gradient of a cost functions has to be computed explicitly. This paper presents a novel gradient-free control design approach for dynamic optimization problems. It unifies and generalizes some known results and, moreover, allows constructing new controls with favourable properties. In contrast to many existing gradient-free control algorithms which imply only the practical asymptotic stability, we propose conditions for asymptotic (and even exponential) stability in the sense of Ly- apunov. The results obtained are illustrated by numerical simulations and experiments with a mobile robot. Keywords: dynamic optimization problems, extremum seeking, asymptotic stability, gradient-free control algorithms, Lie bracket approximation. << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 1200 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages false /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 1200 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages false /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages false /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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a stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA <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> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /RUS <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /UKR <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

Безградієнтні алгоритми керування для задач динамічної оптимізації (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 30 травня 2018 р.)

Institution

Ähnliche Einträge