Двоякопериодическая задача для полых круговых цилиндров
Классический метод мультиполей для произвольной двоякопериодической системы сплошных цилиндров обобщен для полых цилиндров. Задача сведена к бесконечной системе алгебраических уравнений относительно моментов мультиполей. Получены расчетные выражения для решения системы уравнений методом редукции. Пр...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Електротехніка і електромеханіка |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут технічних проблем магнетизму НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/143321 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Двоякопериодическая задача для полых круговых цилиндров / С.Т. Толмачев,Д.Л. Юхимович, С.Л. Бондаревский // Електротехніка і електромеханіка. — 2010. — № 2. — С. 42-45. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860267148193038336 |
|---|---|
| author | Толмачев, С.Т. Юхимович, Д.Л. Бондаревский, С.Л. |
| author_facet | Толмачев, С.Т. Юхимович, Д.Л. Бондаревский, С.Л. |
| citation_txt | Двоякопериодическая задача для полых круговых цилиндров / С.Т. Толмачев,Д.Л. Юхимович, С.Л. Бондаревский // Електротехніка і електромеханіка. — 2010. — № 2. — С. 42-45. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Електротехніка і електромеханіка |
| description | Классический метод мультиполей для произвольной двоякопериодической системы сплошных цилиндров обобщен для полых цилиндров. Задача сведена к бесконечной системе алгебраических уравнений относительно моментов мультиполей. Получены расчетные выражения для решения системы уравнений методом редукции. Приведены примеры численной реализации полевой задачи и предложенного аналитического метода.
Класичний метод мультиполів для довільної двоперіодичної системи суцільних циліндрів узагальнений для порожнистих циліндрів. Задача зведена до нескінченої системи алгебраїчних рівнянь відносно моментів мультиполів. Отримані розрахункові вирази для вирішення системи рівнянь методом редукції. Наведені приклади чисельної реалізації польової задачі і запропонованого аналітичного методу.
A classical multifield method for an arbitrary doubly periodic system of solid cylinders is generalized for hollow cylinders. The problem is reduced to an infinite system of algebraic equations in multifield moments. Computational expressions for solving the system of equations by a reduction method are derived. Examples of numerical implementation of the field problem and the introduced analytical method are given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T19:02:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
42 ISSN 2074-272X. Електротехніка і Електромеханіка. 2010. №2
УДК 621.318.13
С.Т. Толмачев, Д.Л. Юхимович, С.Л. Бондаревский
ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛЫХ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРОВ
Класичний метод мультиполів для довільної двоперіодичної системи суцільних циліндрів узагальнений для порожни-
стих циліндрів. Задача зведена до нескінченої системи алгебраїчних рівнянь відносно моментів мультиполів.
Отримані розрахункові вирази для вирішення системи рівнянь методом редукції. Наведені приклади чисельної
реалізації польової задачі і запропонованого аналітичного методу.
Классический метод мультиполей для произвольной двоякопериодической системы сплошных цилиндров обобщен для
полых цилиндров. Задача сведена к бесконечной системе алгебраических уравнений относительно моментов мульти-
полей. Получены расчетные выражения для решения системы уравнений методом редукции. Приведены примеры
численной реализации полевой задачи и предложенного аналитического метода.
ВВЕДЕНИЕ
Расчет потенциального поля в прямоугольной
двоякопериодической системе круговых цилиндров с
применением метода мультиполей рассмотрен в клас-
сической работе Дж. Рэлея [1]. В [2-4] эти результаты
обобщены на случай произвольной решетки перио-
дов. В данной статье сделана попытка дальнейшего
развития упомянутых результатов, а именно, на при-
мере задачи магнитостатики рассмотрен расчет поля в
двоякопериодической системе полых круговых ци-
линдров, расположенных в однородном магнитном
поле с напряженностью Н0.
Рассмотрим произвольную периодическую ре-
шетку, в узлах которой расположены центры цилинд-
ров с внутренними и внешними радиусами а и b соот-
ветственно (рис. 1). Магнитные проницаемости сред
обозначим через μ1, μ2 и μ3. Обозначим основные пе-
риоды параллелограмма Ω через ω1 и ω2, при этом вы-
берем их так, чтобы выполнялось условие: τ = ω2 / ω1,
Imτ > 0. Для произвольного периода будем использо-
вать выражение ω = mω1+nω2; т, n = 0, ±1, ±2, ±3, … .
Рис.1. Двоякопериодическая система полых цилиндров
ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Введем комплексные потенциалы для областей
F1, F2 и F3:
,, 11 FzzCW k
k
k
∈=∑ (1)
22 )( FzzBzAW ,k
k
k
k
k ∈−+=∑ , (2)
,33 )( FzzEzDW ,k
k
k
k
k
∈−+=∑ (3)
где z = x+jy = |z| ejφ– комплексная переменная, k =1, 3,
5, … в силу нечетности потенциалов относительно
комплексной координаты z. Заметим, что потенциалы
(1)-(3) не являются двоякопериодическими функция-
ми и справедливы только в окрестности центрального
цилиндра [2].
Пусть Г – граница двух областей с индексами i и
e, на которой выполняются стандартные условия со-
пряжения
eHiHneBniB ττ == , . (4)
Здесь индексы n и τ соответствуют нормальному
и тангенциальному направлениям в произвольной
точке границы Г, а индексы i и e относятся к предель-
ным значениям функций на границе Г. Условимся при
этом, что обход Г осуществляется так, что "внешняя"
область e остается справа (положительный обход Г -
против часовой стрелки).
Преобразуем граничное условие (4) в более
удобную форму. Пусть z(s) = x(s)+jy(s) – параметриче-
ское уравнение контура Г, где z(s) – аффикс точки
кривой Г, соответствующий длине дуги s. Обозначим
z' = dz / ds = e jγ, где γ – угол, определяющий касатель-
ное к Г направление dz (рис. 2). Тогда dszzd '= и,
поскольку 1' =z , то
( ) γjesz
zd
dz 22' −== (5)
Рис. 2
В последнем соотношении и во всем тексте черта
над комплексным числом означает операцию сопря-
жения. Граничное условие (4) представим в эквива-
лентной форме
)(2
)()()()(
enee
inieiiniei
jНН
jННjНН
τ
ττ
+=
=−−+++
μ
μμμμ
. (6)
Из рис. 2 видно, что ,)( НzjjННn ′=+ τ тогда
НzjjНН n ′−=− τ )( и с учетом соотношения (5) вы-
ражение (6) принимает вид
Г.,)(2
)(')()()()( 2
∈=
=−−+
ξξμ
ξξμμξμμ
ee
ieiiei
Н
zНН (7)
На границах Г1 и Г2 окружностей радиусов а и b
соответственно ξa = aejφ, ξb = bejφ, z'(ξ)2 = −ej2φ, поэтому
ISSN 2074-272X. Електротехніка і Електромеханіка. 2010. №2 43
,1
2
1112
21
2 Г,)()(2 ∈+=
+
ξλξξ
μμ
μ ϕjeHНН (8)
,Г,)()(
2
2
2
2223
32
3 ∈+=
+
ξλξξ
μμ
μ ϕjeHНН
(9)
где
,
21
21
1 μμ
μμ
λ
+
−
= .
32
32
2 μμ
μμ
λ
+
−
= (10)
Поскольку ′−= WH , то используя выражения
для потенциалов (1)-(3) и учитывая условия (8), (9) на
границах Г1 и Г2, нетрудно получить выражения
,Г,)(2
1
2-
1
2-
21
2 ∈+=−
+
zeCCzBA kj
kk
k
kk
ϕλ
μμ
μ
(11)
.Г,)(
)()(
2
2
2-
1
1
1
1
2
2-2-
32
3
∈−+
+−=−
+
−
−−
−
−
ze
z
zB
z
zA
zBAzED
j
k
k
kk
k
k
k
kk
k
kk
ϕλ
μμ
μ
(12)
Рассматривая эти выражения для произвольных
z = aejϕ и z = bejϕ, получим связь между коэффициен-
тами комплексных потенциалов (1)-(3):
kk AC
21
2
μ+μ
2μ= ; (13)
,
2
2
1
2
2
21
k
k
k
k
k AaCaB λ
μ
μμ
−=
−
−= (14)
k
k
k
k
k
C
ba
A
ba
D
32
2
213221
3
2
2132
4
])/(1)[)((
2
])/(1)[(
μμ
λλμμμμ
μ
λλμμ
+++
=
=
++
=
, (15)
k
kkk
k
kk
k
B
baa
A
ba
E
3
2
2
2
132
21
1
3
2
2
2
132
2
))((
2
])[(
μ
λλμμλ
μ
λλμμ
++
=
=
++
−=
−−
, (16)
.)/(1
,)/(1
2
2
2
1
2
21
2
2
2
1
2
21
kk
k
k
kkkkk
k
k
ba
ba
EE
ba
baD
λλ
λλβ
β
λλ
λλ
+
+−=
=
+
+−=
(17)
Нетрудно видеть, что при a = 0 приведенные со-
отношения дают решение классической задачи о кру-
говых цилиндрах.
Пусть z∈F3. Результирующее поле образовано
внешними источниками напряженностью Н0 и соз-
данными ими мультиполями, расположенными в цен-
трах всех цилиндров. Принимая во внимание, что в
формуле (3) слагаемое ΣEk z-k представляет собой по-
тенциал всех мультиполей основного цилиндра, за-
пишем очевидное выражение
k
k
knm,
k
k
k
zEzHzD −−′−= ∑∑∑ + )(0 ω , (18)
где символ ' при суммировании означает исключение
центрального цилиндра (т2 + п2 ≠ 0).
Разлагая (z − ω)−k в ряд по степеням z и обозначая
k
k Σ=−′Σ ω , (19)
запишем уравнение (18) в виде эквивалентной систе-
мы уравнений
pk
p p
pk
pEkDkHk
k
+Σ∑
−
−+=+−
)!1(
)!1( )!01()1( δ (20)
или, учитывая выражение (17)
pk
p p
pk
pEkEkkHk
k
+Σ∑
−
−+=+−
)!1(
)!1( )!01()1( βδ .(21)
В выражениях (20) и (21) δ1k – символ Кронекке-
ра: δ11 = 1, δ1k =0 при k ≠ 1. Систему уравнений (21)
можно представить в матричном виде
BAE = , (22)
где CCІA −= ; 00 HHCB += ; H0 – матрица-
столбец с компонентами
!
01
0 k
H
H
k
k
k β
δ
−= ; C – матри-
ца с компонентами pkpkk
pkCkp +Σ
−
−+=
)!1(!
)!1(
β
.
Бесконечная система уравнений (21) распадается
на две независимые системы – с нечетными и четными
индексами k, р. Вторая подсистема имеет только триви-
альные решения, так как все δ1k = 0. Таким образом, в
выражениях (19)-(21) следует принимать k, р = 1, 3, 5,….
Комплексные ряды Σ2l в дальнейшем целесооб-
разно использовать в виде
,)()( 2
2
1
22
12 τωτω l
lll
l Snm −−− =+′= ∑∑ l = 1, 2, 3, … ,
где S2l(τ) – ряды Эйзенштейна, которые широко при-
меняются в теории эллиптических функций [5, 6].
Для практических вычислений можно применять
следующие выражения для рядов S2(τ), S4(τ) и S6(τ) [5]:
( ) ∑
∞
=
−=
1
2-2
2
2 sh2
3 m
jmS πτππτ ; (23)
( ) ∑
∞
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++=
1
4-2-4
4
4 shsh
3
22
45 m
jmjmS πτπτππτ ; (24)
( )
)πτ
πτπτππτ
jm
jmjmS
m
6-
1
4-2-6
6
6
sh
shsh
15
22
3527
2
+
⎜
⎝
⎛ ++−
⋅
= ∑
∞
= .(25)
Замечательной особенностью рядов Σ2l (и S2l) яв-
ляется возможность их выражения для l > 3 через Σ4 и
Σ6. Например, Σ8 = 3/7⋅Σ4
2, Σ10 = 5/11⋅Σ4⋅Σ6,
Σ12 = 1/143⋅(18Σ4
3 + 25Σ6
2), Σ14 = 30/143⋅Σ6Σ4
2,….
Более подробно о рядах Σ2l изложено в [2, 5, 6].
Таким образом, для решения системы уравнений (21)
достаточно предварительно вычислить для заданного
параметра τ числовые ряды S2(τ), S4(τ), и S6(τ). Важно
отметить, что при l ≥ 2 ряды S2l сходятся абсолютно
[5]. Ряд S2, как нетрудно видеть, связан с комплекс-
ным потенциалом двоякопериодической системы ди-
полей и его значение зависит от порядка суммирова-
ния. Именно с этой особенностью ряда S2 связаны
44 ISSN 2074-272X. Електротехніка і Електромеханіка. 2010. №2
анизотропные свойства приведенной среды.
В случае одиночного цилиндра в однородном
поле, когда (ω1, ω2) → ∞, все ряды Σ2l равны нулю,
поэтому из (20) следует, что D1 = − ,0H а моменты
всех мультиполей более высоких порядков равны ну-
лю. Используя соотношение (15), легко установить
поле внутри цилиндра (в области F1):
.
]2)/(211)[32)(21(
324
0
1
1
1
baH
H
D
C
λλμμμμ
μμ
+++
== (26)
Здесь Н1 – напряженность поля в области D1. В
частном случае магнитного экрана, когда μ1 = μ3 = μ0,
μ2 >> μ0, выражение (26) упрощается и принимает
известный вид [7]:
,4
][)1(
4
22
2
2
222
2
2
2
2
0
1
ab
b
ab
b
H
H
rr
r
−
⋅≈
−
⋅
+
=
μλμ
μ (27)
где μ2r – относительная магнитная проницаемость
ферромагнетика, λ = (μ2r − 1) / (μ2r + 1).
В качестве другого примера рассмотрим произ-
вольную двоякопериодическую систему полых ци-
линдров, ограничившись в системе уравнений (21)
учетом только дипольного, квадрупольного и окту-
польного влияния, т.е. системой третьего порядка:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⋅Σ−⋅Σ−⋅Σ−=
⋅Σ−⋅Σ−⋅Σ−=
−⋅Σ−⋅Σ−⋅Σ−=
5
5
10
3
5
8
1
5
6
5
5
3
8
3
3
6
1
3
4
3
1
0
5
1
6
3
1
4
1
1
2
1
12621
3510
53
EEEE
EEEE
HEEEE
βββ
βββ
ββββ
. (28)
Согласно матричному соотношению (22)
5
10
5
8
5
6
3
8
3
6
3
4
1
6
1
4
1
2
12621
3510
53
βββ
βββ
βββ
Σ
−
Σ
−
Σ
−
Σ
−
Σ
−Σ−
Σ
−Σ−Σ−
=C ,
51
60
31
40
1
0
11
20
ββ
ββ
βββ
⋅
Σ⋅
⋅
Σ⋅
−
⋅
Σ⋅
=
H
H
HH
B ,
55
1010
53
88
51
66
55
108
53
86
51
64
55
106
53
84
51
62
35
810
33
68
31
46
35
88
33
66
31
44
35
86
33
64
31
42
15
610
13
48
11
26
15
68
13
46
11
24
15
66
13
44
11
22
158767355
1
2646210312621
44103505735100313510
6301055105303531
ββββββββββββββββββ
ββββββββββββββββββ
ββββββββββββββββββ
⋅
Σ⋅Σ
−
⋅
Σ⋅Σ
−
⋅
Σ⋅Σ
−
⋅
Σ⋅Σ
−
⋅
Σ⋅Σ
−
⋅
Σ⋅Σ
−
⋅
Σ⋅Σ
−
⋅
Σ⋅Σ
−
⋅
Σ⋅Σ
−
⋅
Σ⋅Σ−
⋅
Σ⋅Σ−
⋅
Σ⋅Σ−
⋅
Σ⋅Σ−
⋅
Σ⋅Σ−
⋅
Σ⋅Σ−
⋅
Σ⋅Σ−
⋅
Σ⋅Σ−
⋅
Σ⋅Σ−
⋅
Σ⋅Σ−
⋅
Σ⋅Σ−
⋅
Σ⋅Σ−
⋅
Σ⋅Σ−
⋅
Σ⋅Σ−
⋅
Σ⋅Σ−
⋅
Σ⋅Σ−
⋅
Σ⋅Σ−
⋅
Σ⋅Σ−
=A
Ниже для иллюстрации приведены результаты ре-
шения системы уравнений (28) для следующих число-
вых параметров: основные периоды ω1 = 4, ω2 = 3e j75°,
радиусы цилиндров a = 0,5, b = 1, относительные маг-
нитные проницаемости областей μ1r = 1, μ2r = 1000, μ3r
= 1, напряженность внешнего поля H0 = 1.
Рассчитанные по (23) – (25) значения рядов S2l:
S2 = 3,024 − 0,799j, S4 = 3,638 − 5,473j, S6 = 1,441 −
12,430j, S8 = −7,164 − 17,064j, S10 = 33,304 − 16,969j.
В результате решения (28) получаем: E1 = 1,234 +
0,052j, E3 = 0,016 − 0,026j, E5 = 0,000709 + 0,003561j.
Коэффициенты Ak, Bk, Ck, Dk, входящие в выражения
для потенциалов W1, W2, W3 вычисляются по форму-
лам (13) – (17).
РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ
ЭКСПЕРИМЕНТОВ
На рис. 3,а – 6,а приведены картины силовых линий и
эквипотенциалей поля, рассчитанные по выражениям
(1) – (3). Для сравнения на рис. 3,б – 6,б показаны ре-
зультаты расчета поля в тех же областях, полученные
методом вторичных источников при численной реа-
лизации интегрального уравнений, ядро которого
учитывает двоякопериодические особенности задачи
[8]. Как видно из сравнения приведенных иллюстра-
ций, в области центрального цилиндра картины полей
практически совпадают даже при ограничении систе-
мы уравнений 3-м порядком. Это объясняется ограни-
ченным кругом сходимости степенных рядов (1) – (3).
В то же время моменты мультиполей могут быть вы-
числены из системы уравнений (28) практически точ-
но, что позволяет предложить другой способ построе-
ния выражений для комплексного потенциала – через
непосредственное вычисление потенциалов всех
мультиполей в комплексной плоскости [2].
а б
Рис. 3. Картина поля в окрестности основного цилиндра при
направлении вектора напряженности H0 вдоль горизонталь-
ной оси: а – поле рассчитано по выражениям (1) – (3);
б – поле рассчитано численным методом
а б
Рис. 4. То же, что на рис. 3, но область расчетов расширена
на несколько периодов
ISSN 2074-272X. Електротехніка і Електромеханіка. 2010. №2 45
а б
Рис. 5. Картина поля в окрестности основного цилиндра при
направлении вектора напряженности H0 под углом 75° к
горизонтальной оси (вдоль периода ω2): а – поле рассчитано
по выражениям (1) – (3); б – поле рассчитано численным
методом
а б
Рис. 6. То же, что на рис. 5, но область расчетов расширена
на несколько периодов
Пусть Pk(z) = (z − ω)−k = z−k + Σ'(z − ω)−k. Тогда,
например, для всех точек, расположенных вне цилин-
дров, Wk = EkPk(z) – комплексный потенциал мульти-
полей порядка k, а комплексный потенциал двоякопе-
риодической системы цилиндров во внешнем одно-
родном поле H0:
,...5,3,1,),()( 30 =⊂+−= ∑ kFzzPEzHzW k
k
k . (29)
Для k ≥ 3функции Wk является двоякопериодиче-
скими (эллиптическими) и могут быть выражены че-
рез функцию Вейерштрасса ℘(z) и ее производную
℘'(z). По определению [5]
,32
343)(
123
2)(
,2
1
2)(
1
2
1)(
gg
zz
z
zz
z
−℘−℘=
−
′Σ−−=℘′
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
′Σ+=℘
ω
ωω ,
где g2 = 60Σ4, g3 = 140Σ6. Заметим также, что для не-
четных k эллиптическую функцию можно предста-
вить в виде R(℘)℘′, где R – рациональная функция
[5]. Легко также получить соотношение
...,7,5,3),(
)!1(
)1()( 2 =℘
−
−= − kz
k
zP k
k
k ,
в котором k-2 означает порядок производной. В част-
ности P3(z) = −0,5⋅℘′(z), P5(z) = −0,5⋅℘(z)⋅℘′(z).
Функция ℘(z) выражается в виде быстросходя-
щегося ряда [5, 6], в котором достаточно оставлять 2-
4 члена. Отдельного рассмотрения требует двоякопе-
риодическая система диполей, поскольку функция
Р1(z) не выражается через абсолютно сходящийся ряд
и не является эллиптической. Однако и в этом случае
можно учесть двоякопериодические особенности за-
дачи [2], что обеспечивает эффективного решения
задачи о системе полых цилиндров. Иллюстрация
такого подхода будет предметом отдельной статьи.
ВЫВОДЫ
Метод мультиполей позволяет обобщить клас-
сическую задачу для системы сплошных цилиндров в
прямоугольной матрице на случай двоякопериодиче-
ской системы полых цилиндров с произвольными
периодами. Получена система линейных алгебраиче-
ских уравнений для моментов мультиполей любого
порядка. Предложены два способа построения анали-
тических решений для комплексных потенциалов – в
виде разложений в ряд в окрестности центрального
цилиндра и в виде суммы потенциалов всех мульти-
полей. Сравнение с результатами численного реше-
ния, полученного методом вторичных источников,
подтверждает правильность полученных результатов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Rayleigh J.W. On the Influence of Obstacles Arranged in
Rectangular Order upon the Properties of a Medium // Phil.
mag., 1982, v.5, p. 481-505.
2. Толмачев С.Т. Специальные методы решения задач маг-
нитостатики. – Киев: Вища школа, 1983. – 166 с.
3. Толмачев С.Т. Однородное поле, возмущенное периоди-
ческой системой круговых цилиндров // Теоретическая элек-
тротехника. Респ. межвед. научн.-техн. сб., вып. 23. – Львов:
Вища школа. Изд-во при Львов. ун-те, 1977, с. 97-106.
4. Толмачев С.Т. Расчет эффективной электропроводности
(проницаемости) двухфазных сред с цилиндрическими
включениями // Электричество, 1975, №2, с. 39-43.
5. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функ-
ций. – М.: Наука, 1970. – 304 с.
6. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, – М.: Наука,
1968. – 648 с.
7. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. –
М.: Высшая школа, 1996. – 638 с.
8. Толмачев С.Т., Ильченко А.В., Рожненко Ж.Г., Бонда-
ревский С.Л. Математическое моделирование магнитного
поля с двоякопериодической структурой // Праці Лугансь-
кого відділення Міжнародної Академії інформатизації. –
Луганськ, 2007. – № 1. – С. 141-146.
Поступила 09.10.2009
Толмачов Станіслав Трохимович, д.т.н., проф.
Юхимович Дмитро Леонідович,
Бондаревський Станіслав Львович,
Криворізький технічний університет,
кафедра електромеханіки,
Україна, 50027, Кривий Ріг, вул. ХХII Партз’їзду, 11,
тел. (056) 409 06 33, e-mail: kafem@mail.ru
S.T. Tolmachov, D.L. Yukhimovich, S.L. Bondarevskiy
A doubly periodic problem for hollow circular cylinders.
A classical multifield method for an arbitrary doubly periodic
system of solid cylinders is generalized for hollow cylinders.
The problem is reduced to an infinite system of algebraic equa-
tions in multifield moments. Computational expressions for
solving the system of equations by a reduction method are de-
rived. Examples of numerical implementation of the field prob-
lem and the introduced analytical method are given.
Key words – doubly periodic problem, circular cylinders,
potential field, numerical implementation.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-143321 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 2074-272X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T19:02:07Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут технічних проблем магнетизму НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Толмачев, С.Т. Юхимович, Д.Л. Бондаревский, С.Л. 2018-10-28T19:50:25Z 2018-10-28T19:50:25Z 2010 Двоякопериодическая задача для полых круговых цилиндров / С.Т. Толмачев,Д.Л. Юхимович, С.Л. Бондаревский // Електротехніка і електромеханіка. — 2010. — № 2. — С. 42-45. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 2074-272X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/143321 621.318.13 Классический метод мультиполей для произвольной двоякопериодической системы сплошных цилиндров обобщен для полых цилиндров. Задача сведена к бесконечной системе алгебраических уравнений относительно моментов мультиполей. Получены расчетные выражения для решения системы уравнений методом редукции. Приведены примеры численной реализации полевой задачи и предложенного аналитического метода. Класичний метод мультиполів для довільної двоперіодичної системи суцільних циліндрів узагальнений для порожнистих циліндрів. Задача зведена до нескінченої системи алгебраїчних рівнянь відносно моментів мультиполів. Отримані розрахункові вирази для вирішення системи рівнянь методом редукції. Наведені приклади чисельної реалізації польової задачі і запропонованого аналітичного методу. A classical multifield method for an arbitrary doubly periodic system of solid cylinders is generalized for hollow cylinders. The problem is reduced to an infinite system of algebraic equations in multifield moments. Computational expressions for solving the system of equations by a reduction method are derived. Examples of numerical implementation of the field problem and the introduced analytical method are given. ru Інститут технічних проблем магнетизму НАН України Електротехніка і електромеханіка Теоретична електротехніка Двоякопериодическая задача для полых круговых цилиндров A doubly periodic problem for hollow circular cylinders Article published earlier |
| spellingShingle | Двоякопериодическая задача для полых круговых цилиндров Толмачев, С.Т. Юхимович, Д.Л. Бондаревский, С.Л. Теоретична електротехніка |
| title | Двоякопериодическая задача для полых круговых цилиндров |
| title_alt | A doubly periodic problem for hollow circular cylinders |
| title_full | Двоякопериодическая задача для полых круговых цилиндров |
| title_fullStr | Двоякопериодическая задача для полых круговых цилиндров |
| title_full_unstemmed | Двоякопериодическая задача для полых круговых цилиндров |
| title_short | Двоякопериодическая задача для полых круговых цилиндров |
| title_sort | двоякопериодическая задача для полых круговых цилиндров |
| topic | Теоретична електротехніка |
| topic_facet | Теоретична електротехніка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/143321 |
| work_keys_str_mv | AT tolmačevst dvoâkoperiodičeskaâzadačadlâpolyhkrugovyhcilindrov AT ûhimovičdl dvoâkoperiodičeskaâzadačadlâpolyhkrugovyhcilindrov AT bondarevskiisl dvoâkoperiodičeskaâzadačadlâpolyhkrugovyhcilindrov AT tolmačevst adoublyperiodicproblemforhollowcircularcylinders AT ûhimovičdl adoublyperiodicproblemforhollowcircularcylinders AT bondarevskiisl adoublyperiodicproblemforhollowcircularcylinders |