Двумерная теория поля и критические явления
Рассмотрена теория поля, применяемая для описания гравитации в двумерном пространстве. Показано, что при определенных условиях такая теория допускает скрытую симметрию, позволяющую сильно упростить и проинтегрировать соответствующие уравнения. Розглянуто теорію поля, яку використовують для опису гр...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2018 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2018
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/143373 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Двумерная теория поля и критические явления / А.В. Бабич, В.Ф. Клепиков // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 7. — С. 59-63. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-143373 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бабич, А.В. Клепиков, В.Ф. 2018-10-31T11:18:43Z 2018-10-31T11:18:43Z 2018 Двумерная теория поля и критические явления / А.В. Бабич, В.Ф. Клепиков // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 7. — С. 59-63. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2018.07.059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/143373 530.12 Рассмотрена теория поля, применяемая для описания гравитации в двумерном пространстве. Показано, что при определенных условиях такая теория допускает скрытую симметрию, позволяющую сильно упростить и проинтегрировать соответствующие уравнения. Розглянуто теорію поля, яку використовують для опису гравітації у двовимірному просторі. Показано, що за деяких умов така теорія допускає приховану симетрію. Наявність такої симетрії дозволяє значно спростити відповідні рівняння та в деяких випадках побудувати точні розв'язки. A theory that allows one to describe the two-dimensional gravity is considered. Conditions, under which the theory has a hidden group of symmetry, are found. This group of symmetry allow one to simplify the corresponding equations and, under some conditions, to find the exact solutions. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Фізика Двумерная теория поля и критические явления Двовимірна теорія поля і критичні явища Two-dimensional field theory and critical phenomena Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Двумерная теория поля и критические явления |
| spellingShingle |
Двумерная теория поля и критические явления Бабич, А.В. Клепиков, В.Ф. Фізика |
| title_short |
Двумерная теория поля и критические явления |
| title_full |
Двумерная теория поля и критические явления |
| title_fullStr |
Двумерная теория поля и критические явления |
| title_full_unstemmed |
Двумерная теория поля и критические явления |
| title_sort |
двумерная теория поля и критические явления |
| author |
Бабич, А.В. Клепиков, В.Ф. |
| author_facet |
Бабич, А.В. Клепиков, В.Ф. |
| topic |
Фізика |
| topic_facet |
Фізика |
| publishDate |
2018 |
| language |
Russian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Двовимірна теорія поля і критичні явища Two-dimensional field theory and critical phenomena |
| description |
Рассмотрена теория поля, применяемая для описания гравитации в двумерном пространстве. Показано,
что при определенных условиях такая теория допускает скрытую симметрию, позволяющую сильно упростить и проинтегрировать соответствующие уравнения.
Розглянуто теорію поля, яку використовують для опису гравітації у двовимірному просторі. Показано, що
за деяких умов така теорія допускає приховану симетрію. Наявність такої симетрії дозволяє значно спростити відповідні рівняння та в деяких випадках побудувати точні розв'язки.
A theory that allows one to describe the two-dimensional gravity is considered. Conditions, under which the
theory has a hidden group of symmetry, are found. This group of symmetry allow one to simplify the corresponding
equations and, under some conditions, to find the exact solutions.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/143373 |
| citation_txt |
Двумерная теория поля и критические явления / А.В. Бабич, В.Ф. Клепиков // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 7. — С. 59-63. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT babičav dvumernaâteoriâpolâikritičeskieâvleniâ AT klepikovvf dvumernaâteoriâpolâikritičeskieâvleniâ AT babičav dvovimírnateoríâpolâíkritičníâviŝa AT klepikovvf dvovimírnateoríâpolâíkritičníâviŝa AT babičav twodimensionalfieldtheoryandcriticalphenomena AT klepikovvf twodimensionalfieldtheoryandcriticalphenomena |
| first_indexed |
2025-11-27T08:39:25Z |
| last_indexed |
2025-11-27T08:39:25Z |
| _version_ |
1850809369980043264 |
| fulltext |
59ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 7
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2018.07.059
УДК 530.12
А.В. Бабич, В.Ф. Клепиков
Институт электрофизики и радиационных технологий НАН Украины, Харьков
E-mail: babichart@gmail.com
Двумерная теория поля и критические явления
Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.Ф. Клепиковым
Рассмотрена теория поля, применяемая для описания гравитации в двумерном пространстве. Показано,
что при определенных условиях такая теория допускает скрытую симметрию, позволяющую сильно упро-
стить и проинтегрировать соответствующие уравнения.
Ключевые слова: теория поля, гравитация, критические явления.
Одним из важных направлений современной теоретической физики является разработка
двумерной теории поля. Это тесно связано с одной из важнейших нерешенных проблем со-
временной физики — построением квантовой теории гравитации. Несмотря на усилия веду-
щих мировых физиков, окончательного решения данной проблемы так и не найдено. Од-
нако в процессе решения этой проблемы наука обогатилась большим числом новых теорий
(теория суперструн, М-теория и др.) Как известно, в пространстве двух измерений классиче-
ская эйнштейновская теория гравитации становится тривиальной. Это является следствием
того, что, согласно теореме Гаусса—Боне в двумерном пространстве скалярная кривизна и,
следовательно, действие Эйнштейна—Гильберта являются топологическими инварианта-
ми. Существует ряд альтернативных теорий для описания двумерной гравитации. Одна из
таких моделей — теория Лиувилля [1]. Важным свойством теории Лиувилля является ее
конформная инвариантность. Конформно инвариантные модели играют крайне важную роль
в современной теории поля и в последние десятилетия привлекают внимание многих исследова-
телей. Особо важную роль комформно инвариантные модели играют в физике двумерных
систем. Связано это с тем, что в двумерном пространстве конформная группа бесконечно-
мерна. Соответствующая бесконечномерная алгебра — это алгебра Вирасоро. Следствием
бесконечномерности двумерной конформной группы является точная решаемость многих дву-
мерных моделей, описывающих различные критические явления (наиболее известные при-
меры: точное решение двумерных моделей Изинга, точно решаемые модели в двумерной
квантовой теории поля [2], точные решения в двумерной гидродинамике [3, 4] и т.д.). Дей-
ствие в теории Лиувилля имеет следующий вид:
2 1 21
( ( ) 4 ).
4
bS d x g g b b R eμν − φ
μ ν= ∂ φ∂ φ+ + φ+ π
π ∫ (1)
© А.В. Бабич, В.Ф. Клепиков, 2018
ФІЗИКА
60 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 7
А.В. Бабич, В.Ф. Клепиков
Центральный заряд алгебры Вирасоро, соответствующий этой модели, связан с b сле-
дующим выражением:
21 6( 1/ ) .c b b= + + (2)
Уравнения движения для действия (1) выглядят следующим образом:
1 2 ( )1
( ) ( ) ( ) 4
2
,b xx b b R x be− φΔφ = + + π (3)
где 1/2 1/2( )g g g− μν
μ νΔ = ∂ ∂ .
В центрально симметричном случае уравнение (3) можно переписать в виде:
1 2 ( )
2
2
1
( ) ( ) 4 .
1
0
2
b xd
b b R x b
d
r dr
e
dr
− φ− −+ + πφ φ = (4)
Таким образом вариационное уравнение для (1) в общем случае принимает вид:
2
( )
2
( ) ( ) 0.y xd y dy
f x Ke F x
dxdx
+ + + = (5)
В следующих разделах будет рассмотрена групповая и лагранжева структура уравнений
типа (5), построены некоторые типы точных решений.
Групповая структура и скрытая симметрия уравнений теории Лиувилля. Уравнения
типа (5) возникают в различных областях физики. В частности, в теории сверхизлучения
(обсуждение связи теории сверхизлучения с уравнениями (5), а также ссылки на ориги-
нальные работы на эту тему можно найти в [5]). В статье [5] также приведены подробности
нахождения групповой структуры уравнения (5). В данной статье для нас важным является
следующий факт. В случае выполнения условия
22
df
F f
dx
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
(6)
уравнение (5) допускает группу с генератором:
( ) ( ) ,X A x B x
x y
∂ ∂= +
∂ ∂
(7)
где
( ) ( ) ( )
1 2
( ) ( ) ( )
1 2
( ) ,
( ) 2 ( ) 2 (1 ( ) ) ,
f x dx f x dx f x dx
f x dx f x dx f x dx
A x C e C e e dx
B x C f x e C f x e e dx
−
−
∫ ∫ ∫= +
∫ ∫ ∫= − − +
∫
∫
(8)
где C1 и C2 — константы интегрирования.
Интересно отметить, что условие (6) по внешнему виду совпадает с одним из простей-
ших суперсимметричных потенциалов — потенциалом Виттена [6].
Генераторы соответствующих подгрупп могут быть записаны следующим образом:
( ) ( )
1
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 ( ) ,
2(1 ( ) ) .
f x dx f x dx
f x dx f x dx f x dx f x dx
X e f x e
x y
X e e dx f x e e dx
x y
∧
∧ − −
∂ ∂∫ ∫= −
∂ ∂
∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫= − + ⋅
∂ ∂∫ ∫
(9)
61ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 7
Двумерная теория поля и критические явления
Используем подгруппу с генератором 1X
∧
для упрощения уравнения (5). Для этого пе-
рейдем к новым переменным z и t, где z-инвариант группы, т.е. 1( ) 0X z
∧
= , а t определяется
из условия 1( ) 1X t
∧
= , также считаем переменную t функцией только от х. В явном виде эти
условия выглядят следующим образом:
( ) ( )
( )
2 ( ) 0,
1.
f x dx f x dx
f x dx
z z
e f x e
x y
t
e
x
∂ ∂∫ ∫+ =
∂ ∂
∂∫ =
∂
(10)
Решая (10), находим искомую замену переменных:
( )( ) 2 ( ) , .f x dzz t y f x dx t e dx−∫= + =∫ ∫ (11)
Подставляя выражения (11) в уравнение (5) и упрощая полученные выражения, полу-
чаем уравнение в переменных t и z:
2
2
0.Zd z
Ke
dt
+ = (12)
Для этого уравнения легко найти производящий функционал, то есть такой функционал
для которого оно является вариационным уравнением Эйлера—Лагранжа:
1
2
zdz
L Ke dt
dt
⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫ (13)
Генератор 2X
∧
в переменных z и t выглядит следующим образом:
2 2X t
t z
∧ ∂ ∂= −
∂ ∂
. (14)
Преобразования, соответствующие 2X
∧
, в явном виде выглядят как:
, 2at te z z a→ = − . (15)
Таким образом, благодаря скрытой симметрии (7), допускаемой уравнением (5) при
выполнении условия (6), оказывается возможным значительно упростить рассматриваемое
уравнение. При этом довольно сложные преобразования, которые в исходных переменных
соответствуют генератору (11), в новых переменных соответствуют одновременному сдви-
гу функции и масштабному преобразованию аргумента (18). Преобразования же, соответ-
ствующие 1X
∧
, в новых переменных переходят в трансляции по аргументу. Кроме того, как
легко увидеть из выражения (13), они являются вариационными. Как известно, наличие в
уравнении вариационной симметрии позволяет понизить его порядок сразу на 2. В нашем
случае речь идет о полной интегрируемости уравнения (12). Решение уравнения (12) вы-
глядит следующим образом:
2 2
1
1
( ) ln 2
2
t C
z t KC ch
C
⎛ ⎞⎛ ⎞+
= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
. (16)
62 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 7
А.В. Бабич, В.Ф. Клепиков
С помощью обратной замены переменных можно из выражения (13) найти производя-
щий функционал для уравнения (5):
( )1
2 ( )
2
f x dxxdy dy
F f x Ke e
dx dx
⎡ ⎤⎛ ⎞ ∫= + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫ . (17)
В принципе, используя замену переменных (14), можно было бы напрямую с помо-
щью решения (16) находить классы точных решений уравнения (5). Однако эти решения
слишком громоздки и малоинформативны. Поэтому имеет смысл выбирать конкретные вы-
ражения для f(x), соответствующие различным выражениям для метрики пространства—
времени и для них строить точные решения.
Таким образом, в пространстве произвольной размерности для описания критических
явлений используют модели с лагранжаном типа:
2 11
[( ) ]N dF d x
V
+= ∇φ + +βφ∫ … , (18)
где φ — поле параметра порядка; d — размерность пространства. Как известно [7], для мо-
делей типа (18) существуют две критические размерности: верхняя и нижняя. Нижняя
размерность определяет саму возможность возникновения упорядоченных состояний. В
пространстве же верхней размерности система обладает рядом важных свойств. А именно:
модель является перенормируемой, система допускает вариационную масштабную симме-
трию, а соответствующие уравнения являются конформно инвариантными. Все эти свой-
ства значительно облегчают анализ таких систем. Верхняя критическая размерность связа-
на с параметрами модели таким соотношением:
2
2
d
N
d
+=
−
. (19)
Видно, что при d = 2 N обращается в бесконечность. Аналогом модели (18) для двумер-
ного пространства служит модель с лагранжианом:
2 21
[( ) ]F e d x
S
φ= ∇φ + +β∫ … . (20)
Именно такого типа модель была рассмотрена в данной статье. Группа симметрии (7)
может рассматриваться как двумерный аналог соответствующих многомерных симметрий.
Как было показано, она также позволяет значительно упростить модель и проинтегриро-
вать соответствующие дифференциальные уравнения.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Nakayama, Yu. Liouville Field Theory — A decade after the revolution. Int. J. Modern Phys. 2004. A. 19. Iss.
17—18. P. 2771—2930. doi: https://doi.org/10.1142/S0217751X04019500
2. Замолодчиков А.Б., Замолодчиков Ал.Б. Конформная теория поля и критические явления в двумерных
системах. Москва: МЦНМО. 2009. 168 с.
3. Бабич А.В., Клепиков В.Ф., Щелоковский П.А. Скрытая симметрия уравнений газовой динамики и
«мелкой воды». Вестн. ХНУ. Сер. Ядра, частицы, поля. 2001. В.4(16), № 541. С. 68—72.
4. Бабич А.В. Скрытая симметрия уравнений магнитной гидродинамики и инвариантные решения. Допов.
Нац. акад. наук України. 2014. № 2. С. 78—83.
5. Бабич А.В., Березовский С.В., Клепиков В.Ф. Динамический дальний порядок и коллективное спон-
танное излучение. Вопросы атомной науки и техники. 2005. № 5. С. 63—65.
63ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 7
Двумерная теория поля и критические явления
6. Witten E. Dynamical Breaking of Supersymmetry. Nucl. Phys. B188. 1981. P. 513—554. doi: https://doi.
org/10.1016/0550-3213(81)90006-7
7. Babich A.V., Kitcenko L.N., Klepikov V.F. Critical dimensions of systems with joint multicritical and Lifshitz-
point-like behavior. Modern Phys. Lett. B. 2011. 25. № 22. P. 1839—1845.
Поступило в редакцию 22.02.2018
REFERENCES
1. Nakayama, Yu. (2004). Liouville Field Theory — A decade after the revolution. Int. J. Modern Phys. A. 19, Iss.
17—18, pp. 2771-2930. doi: https://doi.org/10.1142/S0217751X04019500
2. Zamolodchikov, A. B. & Zamolodchikov, Al. B. (2009). Conformal Field Theory and Critical Phenomena in
Two Dimensional Systems. Moskow: MCCME (in Russian).
3. Babich, A. V., Klepikov, V. F. & Shelokovsky, P. A. (2001). The hidden symmetry of the equations of gas dynam-
ics and "shallow water". Reportd of KhNU, No. 541, pp. 68-72 (in Russian).
4. Babich, A. V. (2014). The hidden symmetry of the equations of magnetohydrodynamics and invariant solu-
tions. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr., No. 2, pp. 78-83 (in Russian).
5. Babich, A. V., Berezovsky, S. V. & Klepikov, V. F. (2005). Dynamic long-range order and collective spontaneous
radiation. Problems of Atomic Science and Technology, No. 5, pp. 63-65 (in Russian).
6. Witten, E. (1981). Dynamical Breaking of Supersymmetry. Nucl. Phys. B188, pp. 513-554. doi: https://doi.
org/10.1016/0550-3213(81)90006-7
7. Babich, A. V., Kitcenko, L. N. & Klepikov, V. F. (2011). Critical dimensions of systems with joint multicritical
and Lifshitz-point-like behavior. Modern Phys. Lett. B, 25, No. 22, pp. 1839-1845.
Received 22.02.2018
А.В. Бабіч, В.Ф. Клепіков
Інститут електрофізики і радіаційних технологій НАН України, Харків
E-mail: babichart@gmail.com
ДВОВИМІРНА ТЕОРІЯ ПОЛЯ І КРИТИЧНІ ЯВИЩА
Розглянуто теорію поля, яку використовують для опису гравітації у двовимірному просторі. Показано, що
за деяких умов така теорія допускає приховану симетрію. Наявність такої симетрії дозволяє значно спрос-
тити відповідні рівняння та в деяких випадках побудувати точні розв’язки.
Ключові слова: теорія поля, гравітація, критичні явища.
A.V. Babich, V.F. Klepikov
Institute of Electrophysics and Radiation Technologies of the NAS of Ukraine, Kharkiv
E-mail: babichart@gmail.com
TWO-DIMENSIONAL FIELD THEORY AND CRITICAL PHENOMENA
A theory that allows one to describe the two-dimensional gravity is considered. Conditions, under which the
theory has a hidden group of symmetry, are found. This group of symmetry allow one to simplify the corresponding
equations and, under some conditions, to find the exact solutions.
Keywords: field theory, gravity, critical phenomena.
|