Математические модели динамики симметричного волчка во внешних аксиально симметричных полях
Описан новый подход к исследованию динамической устойчивости магнитных тел в аксиально симметричном магнитном поле. Рассмотрен гамильтониан, описывающий широкий класс моделей с симметричным
 волчком, взаимодействующим с внешними аксиально симметричными полями. Найдены необходимые и до&#x...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2018 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2018
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/143533 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Математические модели динамики симметричного волчка во внешних аксиально симметричных полях / С.С. Зуб // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 9. — С. 12-20. — Бібліогр.: 1 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860239957824634880 |
|---|---|
| author | Зуб, С.С. |
| author_facet | Зуб, С.С. |
| citation_txt | Математические модели динамики симметричного волчка во внешних аксиально симметричных полях / С.С. Зуб // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 9. — С. 12-20. — Бібліогр.: 1 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Описан новый подход к исследованию динамической устойчивости магнитных тел в аксиально симметричном магнитном поле. Рассмотрен гамильтониан, описывающий широкий класс моделей с симметричным
волчком, взаимодействующим с внешними аксиально симметричными полями. Найдены необходимые и до
статочные условия динамического равновесия для нового класса моделей с симметричным волчком. Получены уравнения движения в форме удобной для численного моделирования.
Описано новий підхід щодо дослідження динамічної стійкості магнітних тіл в аксіально симетричному
магнітному полі. Розглянуто гамільтоніан, що описує широкий клас моделей із симетричною дзиґою, яка
взаємодіє із зовнішніми аксіально симетричними полями. Знайдено необхідні та достатні умови динамічної рівноваги для нового класу моделей із симетричною дзиґою. Отримано рівняння руху у формі, зручній
для чисельного моделювання.
The article describes a new approach to the investigation of the dynamic stability of magnetic bodies in an axially
symmetric magnetic field. We consider a Hamiltonian for a broad class of models with a symmetric top that
interacts with external axially symmetric fields. Necessary and sufficient conditions of the dynamic equilibrium
for a new class of models with a symmetric top are found. Motion equations in the form that is convenient for
the numerical simulation are obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:28:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
12 ISSN 10256415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 9
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
В работе обобщаются все предыдущие подходы к исследованию динамической ус тойчи
вости магнитных тел в аксиально симметричном магнитном поле с учетом силы тяжести.
Предлагается гамильтониан, описывающий широкий класс моделей с симметричным волч
ком, взаимодействующим с внешними аксиально симметричными полями. Рассматривает
ся устойчивость относительных равновесий. Ис следо вание проводится с использованием
инер циальной системы отсчета. Устойчивость исследуется с помощью теоремы Ратью—Ор
тега. Эквивалентность алгоритмов этой теоремы и классического метода энергиимомента
обоснована в работе [1].
Найдены необходимые и достаточные условия динамического равновесия.
Впервые в общем виде выведены законченные аналитические формулы для достаточ
ных условий. Это сделано благодаря новому, более простому, условию трансверсальности и
методу исключения изолированных квадратов.
Имеем скобки Пуассона
{ , } , { , } 0, { , } , { , }i j ij i k i j ijl l i j ijl lx p = δ ν ν = π ν = ε ν π π = ε π .
2 21 1
(( , ), ( , )) ( , )
2 2
h x p p V x
M I⊥
ν π = + π + ν
rr r r rr rr
.
© С.С. Зуб, 2018
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2018.09.012
УДК 517.58/.5892
С.С. Зуб
Киевский национальный университет им. Тараса Шевченко
Email: stah@univ.kiev.ua
Математические модели динамики симметричного волчка
во внешних аксиально симметричных полях
Представлено членомкорреспондентом НАН Украины С.И. Ляшко
Описан новый подход к исследованию динамической устойчивости магнитных тел в аксиаль но симмет
ричном магнитном поле. Рассмотрен гамильтониан, описывающий широкий класс моделей с симметричным
волчком, взаимодействующим с внешними аксиально симметричными полями. Найдены необходимые и до
статочные условия динамического равновесия для нового класса моделей с симметричным волчком. Получе
ны уравнения движения в форме удобной для численного моделирования.
Ключевые слова: динамические системы, математические модели, симметричный волчок, устойчивость,
уравнения движения.
ІНФОРМАТИКА
13ISSN 10256415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 9
Математические модели динамики симметричного волчка во внешних аксиально симметричных полях
Применяя { , }�f f h=& к базовым динамическим переменным (д. п.), получаем
1
;
( , );
1
;
( , ) .
x
x p
M
p V x
I
V x
⊥
ν
=
= −∇ ν
ν = π×ν
π = ∇ ν ×ν
r&
r r&
r rr&
rr
r
&
r
r r
Так как кинетическая энергия � (3)SO — симметрична, то условие аксиальной симметрии га
мильтониана системы сводится к требованию аксиальной симметрии потенциальной энергии:
2 1 2
1
1
2 1 2
3{ , } 0,j
V
x
V
V V V
x
x x
∂ ∂ ∂ ∂
ν ν
∂ ∂ ∂
= −
ν ∂ν
− + =
которое также можно записать в виде
( ) ( ) 0.xx V Vν
⊥ ⊥ ⊥ ⊥× ∇ + ν × ∇ =
rr
(1)
Как будет показано ниже, соотношение (1) тождественно выполняется на орбите отно
сительного равновесия, поэтому не вносит ничего нового в исследование устойчивости.
Интегралы движения и форма присоединенного гамильтониана остаются такими же,
как и в задаче об Орбитроне, а именно
3 1 1 2 2 ,h h J C Cξ = − ω + λ + λ
где
2
1
2
3 3 1 2 2 1
( , ) ;
( , ) ;
((( , ), ( , ))) .
C
C
J x p x p x p
ν π = ν
ν π = ν ⋅π
ν π = π + −
r
r rr
r rr r
rr r
Из
3 3 2
3 1 2
1 1
( ) ( 2 )x
dh p e x dp e d
M I
V e p dx V d
ξ
⊥
ν
= − ω × ⋅ + π − ω + λ ν ⋅ π +
+ ∇ + ω × ⋅ + ∇ + λ ν + λ π ⋅ ν
r rr
r
r
r
r r r r
r rrr
получаем необходимые условия относительного равновесия
3
3
3 2
1 2
( );
0;
;
2 0;
x
p M e x
V e p
I e I
V
⊥ ⊥
ν
= ω ×
∇ + ω × =
π = ω − λ ν
∇ + λ ν + λ π =
r r r
r r
r rr
r r
(2)
14 ISSN 10256415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 9
С.С. Зуб
2
2 3 2
2 3
;
1
;
0,
xV M x
C
I
V I e
⊥
⊥
ν
⊥
∇ = ω
λ = ων −
∇ + λν + ωλ =
r
r r
(3)
где
2
1 22 .I⊥λ = λ − λ
Отсюда следует
2
2
2
;
( ) ;
, ( ) .
x
z
z
V M x
V
V
C I
⊥
ν
⊥ ⊥
⊥
∇ = ω
∇ = −λν
∂ω = ω〈ν π〉 = + λ + ω ν
∂ν
r
r
r
r
(4)
Здесь символ u⊥
r
означает составляющую вектора u
r
, ортогональную оси симметрии
сис темы z.
Замечание 1. Вектор ν
r
и множитель Лагранжа ω находятся из первых двух строк (2)
или, что то же самое, из первой строки (3). Это отличается от Орбитрона, где было посту
лировано, что ν
r
направлен вдоль оси z.
Замечание 2. Соотношения (4) не только определяют ν
r
и множители Лагранжа ω ,
1λ , 2λ , но и, скорее всего, накладывают ограничения на функцию V дополнительно к ее
аксиальной симметрии. Опорная точка и допустимые вариации
0
0 0 1
0 0 2
2
0 0 0
0 2 0 3
;
;
, 1;
( ).
x r e
p M r e
C I P e
ν
⊥ ⊥
=
= ω
ν = ν ν =
π = ν + ω
r
r
r
r r
r r
r rr
(5)
Как уже отмечалось, вектор 0ν
r
должен быть найден из необходимых условий устойчи
вости. Допустимые вариации ( , , , )v x p= δ δ δν δπ в опорной точке удовлетворяют следующим
условиям:
δ = ν δν =
δ = π δν + ν δπ =
δ = δπ + δ + δ =
1 0
2 0 0
3 3 0 1 0 2
2 0;
0;
0.
v i i
v i i i i
v
C
C
J p x r p
К этим условиям добавляем условие трансверсальности, которое в отличие от задачи об
Орбитроне берем в более простом виде, упрощающем дальнейшие вычисления. Таким об
разом, полный набор условий может быть записан в следующем виде:
15ISSN 10256415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 9
Математические модели динамики симметричного волчка во внешних аксиально симметричных полях
3 0
0
3 0
0 0
0
2 1 3
0 0
2
1
, ;
1
, ;
1
;
0.
z
z z
I
p
p x
r r
x
⊥
⊥
⊥
δν = − 〈ν δν〉 ν
ωδπ = − ν δπ − δν ν ν
δ = − δ − δπ
δ =
r r
r rr
(6)
Замечание 3. То, что для касательного к орбите вектора не может выполняться 02 0x =& ,
следует из второй строки (5), если 0 0r ≠ и 0ω ≠ , что всегда предполагается.
Анализ связей на вариации удобно выполнить в системе координат, приспособленной к
вектору 0⊥ν
r
.
Замечание 4. Если этот вектор (как в случае Орбитрона) равен 0, то новая система коор
динат на плоскости совпадает с исходной декартовой.
Рассмотрим систему координат на плоскости, связанную с выделенным вектором a
r
.
Пусть на плоскости задана система координат 1 2{ , }e e
r r
и вектор a
r
. Направим базисный вектор
1E
r
новой системы координат 1 2{ , }E E
r r
по вектору a
r
. Для того чтобы новая система коор
динат была правильно ( 1 2 3E E e× =
r r r
) ориентирована, должны выполняться следующие соот
ношения:
1 2
1 1 2
2 1
2 1 2
;
| | | | | |
| | | |
.
a a a
E e e
a a a
a a
E e e
a a
−
= + =
= +
rr r r
r r r
r r r
r r
Введем матрицу
1 2
2 1
| | | |
,� , , .
| | | |
i ki k ki k i
a a
a a
E e e E
a a
a a
−
α = = α α = 〈 〉
r r
r rr r
r r
Тогда
, ,ki i k i i k kX e X E e x xα = 〈 〉 = 〈 〉 =
rr r r
,
то есть
,�k ki ix X= α = αx X ,
= −
= +
r r
r r
1 2
1 1 2
2 1
2 1 2
| | | |
.
| | | |
;
a a
x X X
a a
a a
x X X
a a
16 ISSN 10256415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 9
С.С. Зуб
Соответственно,
1 1( ) , ,k ki iX x x− −= α = αX
r
где
1 2
1
2 1
| | | |
.
| | | |
T
a a
a a
a a
a a
−
α = α =
−
r r
r r
В нашем случае выделенный вектор на плоскости — это 0⊥ν
r
, поэтому
01 02
02 010
1
, , ,A BA B BA B AE e e E
⊥
ν −ν
α = = α α = 〈 〉 ν νν
r rr
r
r
,
01 02
0 0
AB AB AB
⊥ ⊥
ν ν
α = δ − ε
ν ν
r r ,
0
1 01 1 02 2
0 0
2 02 1 01 2
0
1
( ) ;
1
( );
E e e
E e e
⊥
⊥ ⊥
⊥
ν
= ν + ν = ν ν
= −ν + ν
ν
r
r r
r
r r r
r r r
1 0
0
2 0
0
1
;
| |
1
.
| |
AB A B
AB A B
E e
E e
⊥
⊥
= δ ν ν
= ε ν
ν
r
r
r
r
r
r
Будем использовать исходную систему координат для вариаций xδ , pδ и базис 1 2 3{ , },E E e
r r r
для вариаций δν, δπ, обозначим эти вариации в новой системе большими буквами δΝ, δΠ.
Тогда связи (6) будут иметь вид
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
ν
δν = − δΝ ν
ν δπ = − δΠ − ωδΝ ν ν
ν δ = − ωδ + δΠ − ωδΝ ν ν
δ =
r
r
r
0
3 1
0
0
3 1 1
0 0
0
2 1 1 1
0 0 0
2
;
1
;
1
;
0.
z
z z
z z
I
p M x I
r
x
Введем переменную 1′δΠ :
17ISSN 10256415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 9
Математические модели динамики симметричного волчка во внешних аксиально симметричных полях
1 1 1
0
1 1 1
0
;
1
1
.
z
z
I N
I N
⊥
⊥
′δΠ = δΠ − ωδ ν
′δΠ = δΠ + ωδ
ν
Тогда
⊥
⊥
⊥
ν
δν = − δΝ ν
ν
δπ = − δΠ′
ν
νδ = − ωδ + δΠ′ ν
δ =
r
r
r
0
3 1
0
0
3 1
0
0
2 1 1
0 0
2
;
;
;
0.
z
z
z
p M x
r
x
Вторая вариация присоединенного гамильтониана имеет вид (индексы i, j, k = 1 … 3, A, B,
C = 1 … 2)
2 2 2 2 2 2
3 1 2 3
2 2
2 2 3 3 1 1 3
2
1 2 2 1
2 2
3
3
2 2 2
3
3 2
3
1 1 1 1 1
2 , 2 2 2
2 ( )
2 2
2
v
i j
i j
i A i
i A i
A B A
A B A
h p p p
M M M I I
V
x p x p x x
x x
V V
x x
x x
V V V
λ
⊥
⊥ ⊥
⊥ ⊥ ⊥
δ = δ + δ + δ + δπ + δπ +
+ λ δπ δν + λ δπ δν + λ δν + λ δν −
∂
− ω δ δ − δ δ + δ δ +
∂ ∂
∂ ∂
+ δ δν + δ δν +
∂ ∂ν ∂ ∂ν
∂ ∂ ∂
+ δν δν + δν δν + δν
ν
〈 〉
∂ν ∂ ∂ν ∂ν ∂ν
r
r rr
2
3 . (7)
Используя связи, получаем
⊥ ⊥
⊥
⊥ ⊥ ⊥
⊥
ν ν
δ = ω δ − ω δ δΠ + δΠ′ ′
ν ν
δπ = δΠ + ωδΠ δΝ + ω δΝ + δΠ′ ′
νν ν
〈δπ δν〉 = δΠ δΝ + δΠ δΝ + ωδΝ′
νν
δν = δΝ + δΝ
ν
− ω δ δ − δ δ = ω δ
r r
r
rr
r
2
02 2 2 20
2 1 1 1 12 2
0 0 0 0
2 2 2 2 2
1 1 1 1 22 2
00 0
2
1 1 2 2 12
00
2 2 2
1 22
0
2 2
1 2 2 1 1
1
2 ;
1 1 1 1 1 1
2 ;
1 1
, ;
1
;
2 ( ) 2
z z
zz z
zz
z
p M x x
M r Mr
I
I I I
I
x p x p M x ⊥
ν − ω δ δΠ′ ν
r
0
1 1
0 0
2 .
z
x
r
(8)
18 ISSN 10256415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 9
С.С. Зуб
Далее используются следующие обозначения:
∂
=
∂ ∂Ν
∂
=
∂Ν ∂Ν
∂ ∂ = ∂ ∂Ν ∂ν ∂ν
r
rr
r r
2
2
2
2
2
3 3
( , );
( , );
,
A
i Ai
A
A B
A B
E
A
V
d V e E
x
V
d V E E
V V
причем в выражениях этого типа всегда считается, что векторы ie
r
касательны к прос т
ранству переменных x
r
, а AE
r
— к пространству переменных ν
r
. Подставляя (8) в (7), на
хо дим приведенную квадратичную форму 1( , , )nQ Q x x= … :
λ ⊥ ⊥
⊥
⊥ ⊥
⊥
ν ν
δ = δ + δ + ω δ − ω δ δΠ + δΠ + δΠ +′ ′ ′
ν ν ν
+ ωδΠ δΝ + ω δΝ + δΠ + λ δΠ δΝ + δΠ δΝ + ωδΝ +′ ′ ν νν ν
ν
+ λ δΝ + δΝ + ω δ − ω
ν
r r
r
2
2 2 2 2 2 2 20 0
3 1 1 1 1 1 12 2 2
0 0 0 0 0
2 2 2 2
1 1 1 2 2 1 1 2 2 12 2
0 00 0
2 2 2 2 0
1 1 2 12
0
| |1 1 1 1
2
1 1 1 1 1
2 2
|1
2 2 2
v
z z z
z zz z
z
h p p M x x
M M r IMr
I I
I
M x ⊥
⊥
⊥
⊥
∂ ∂ ∂
δ δΠ + δ + δ δ + δ +′
ν ∂ ∂∂ ∂
ν∂ ∂ ∂
+ δ δΝ + δ δΝ − δ δΝ −
ν∂ ∂Ν ∂ ∂Ν ∂ ∂ν
ν ∂ ∂ ∂ ∂
− δ δΝ + δΝ + δΝ δΝ + δΝ −
ν ∂Ν ∂Ν∂ ∂ν ∂Ν ∂
ν ∂
−
ν ∂
r
r
r
2 2 2
2 2
1 1 1 1 3 32 2
0 0 1 31 3
2 2 2
1 3 10
11 3 1 3
0
2 2 2 2
3 2 20
1 1 1 2 23 3 2 2
0 1 21 2
2
0
0
|
2
| |
2 2 2
| |
2 2
N
| |
2
z
A A
zA A
z
z
V V V
x x x x x
r x xx x
V V V
x x x
x x x
V V V V
x
x
V ⊥ ⊥ν ν∂ ∂
δΝ − δΝ δΝ + δΝ
νΝ ∂ν ∂Ν ∂ν ν ∂ν
r r22 2
2 20 0
1 1 2 13 3 2 2
01 2 0 3
| |
2 .
z z
V V
Для вывода условий положительной определенности квадратичной формы Q исполь зу
ем метод последовательного исключения изолированных квадратов, аналогичный процедуре
Гильберта—Шмидта ортогонализации базиса. Представим
1 2
2
1 21( , , ) 2 ( , , ) ( , , ),n n nQ x x Ax B x x x Q x x′= + +… … …
где B — линейная функция своих переменных, а Q′ — квадратичная функция своих пере
мен ных, уже независящие от 1x .
Для положительной определенности Q необходимо, чтобы A > 0, тогда положитель
ная определенность Q эквивалентна положительной определенности следующей ниже ква
дратичной формы 1Q от меньшего числа переменных:
2 2 2
2
1
1
( , , ) ( , , ) ( , , ).n n nQ x x B x x Q x x
A
′= − +… … …
Последовательно применяя эту процедуру, можно найти все условия положительной оп
ределенности исходной квадратичной формы, т. е. все очередные A > 0.
19ISSN 10256415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 9
Математические модели динамики симметричного волчка во внешних аксиально симметричных полях
Замечание 5. Порядок исключения переменных является произвольным.
Применяя метод последовательного исключения изолированных квадратов в следую
щем порядке: 3 1 2 1 2 1, , , , ,p p ′δ δ δΠ δΠ δΝ δΝ , получаем
2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 20 2 0
0 0 0 2 02 2 2
0 0 2 2
2
( , ) 0;
( , )
( , ) ( ) 0;
( , )
0,���� 0,���� 0,
z
d V E E
I d V E
d V I
I Mr d V E E
A C AC B
Τ
Τ Τ ⊥ ⊥
⊥ ⊥
⊥ ⊥
λ + >
ν ν
λ + ν ν + ν ω + λ + ν ω − >
ν + λ +
> > − >
r r
r r r
r r
r
r rr
где A, B, C — громоздкие аналитические выражения. Используются следующие обо значения.
Введем вектор 0 0 1 0 3 0 0, , 0.z E eΤ Τ
⊥ν = ν − ν 〈ν ν 〉 =
r rr r r r
Тогда
Τ
⊥
Τ
⊥
Τ
⊥
Τ Τ
⊥ ⊥
∂ ∂
ν = ν − ν
∂Ν ∂Ν ∂Ν ∂ν
∂ ∂ ν = ν − ν
∂ ∂Ν ∂ ∂ν
∂ ∂ ν = ν − ν ∂ ∂Ν ∂ ∂ν
∂ ∂ ∂
ν ν = ν − ν ν + ν
∂Ν ∂Ν ∂ν ∂ν
r r
r r
r
r
r
r
r
r r
r
r
2 2
2
2 0 0 0 3
1 2 2
2 2
2
1 0 0 01 1 3
1
2 2
2
3 0 0 03 3 3
1
2 2 2
2 2 2
0 0 0 0 0 02 3 2
1 1 3
( , ) ;
( , ) ;
( , ) ;
( , ) 2 ,
z
z
z
z z
V V
d V E
V V
d V e
x x
V V
d V e
x x
V V V
d V
⊥ ⊥
⊥ ⊥
⊥ ⊥
⊥ ⊥
ν ν∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ν ν ∂ ∂ν ν∂ ∂Ν
ν ν∂ ∂ ∂
= − +
∂ ∂Ν ∂ ∂ν ν ∂ ∂ν ν
ν ν∂ ∂ ∂
= +
∂ν ∂ν ν ∂ν ∂ν ν∂Ν ∂ν
ν ν∂ ∂ ∂
= − +
∂ν ∂ν ν ∂ν ∂ν ν∂Ν ∂ν
∂
∂Ν
r r
r r
r r
r r
2 2 2
01 02
1
1 0 1 2 011
2 2 2
02 01
1 2 1 1 0 1 2 0
2 2 2
01 02
3
1 3 0 2 3 01
2 2 2
02 01
3
1 3 0 2 3 02
2
1
;
| | | |
;
| | | |
;
| | | |
;
| | | |
V V V
x xx
V V V
x x x
V V V
V V V
V
⊥
⊥
⊥
∂ ∂ ∂
= ν + ν ν + ν ∂ν ∂νν ∂ν ∂ν
∂ ∂ ∂ ∂
= − ν ν + ν ν + ν − ν ∂Ν ∂Ν ∂ν ∂νν ∂ν ∂ν
∂ ∂ ∂ ∂
= ν − ν ν + ν ∂ν ∂ν∂Ν ν ∂ν ∂ν
r
r
r
2 2 2
2 2
01 01 02 022 2 2 2
1 20 1 2
2 2 2 2
2 2
01 02 01 02 01 022 2 2
1 2 1 20 1 2
2 2 2 2
2 2
02 01 02 012 2 2 2
1 22 0 1 2
1
2 ;
| |
1
( ) ;
| |
1
2 .
| |
V V V
V V V V
V V V V
20 ISSN 10256415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 9
С.С. Зуб
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Zub S.I., Zub S.S., Lyashko V.S., Lyashko N.I., Lyashko S.I. Mathematical model of interaction of a symmetric
top with an axially symmetric external field. Cybernetics and Systems Analysis. 2017. 53, Iss. 3. P. 333—345.
Поступило в редакцию 29.05.2018
REFERENCES
1. Zub, S. I., Zub, S. S., Lyashko, V. S., Lyashko, N. I. & Lyashko, S. I. (2017). Mathematical model of interaction
of a symmetric top with an axially symmetric external field. Cybernetics and Systems Analysis, 53, Iss. 3,
pp. 333345.
Received 29.05.2018
С.С. Зуб
Київський національний університет ім. Тараса Шевченка
Email: stah@univ.kiev.ua
МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ДИНАМІКИ СИМЕТРИЧНОЇ ДЗИҐИ
В ЗОВНІШНІХ АКСІАЛЬНО СИМЕТРИЧНИХ ПОЛЯХ
Описано новий підхід щодо дослідження динамічної стійкості магнітних тіл в аксіально симетричному
магнітному полі. Розглянуто гамільтоніан, що описує широкий клас моделей із симетричною дзиґою, яка
взаємодіє із зовнішніми аксіально симетричними полями. Знайдено необхідні та достатні умови динаміч
ної рівноваги для нового класу моделей із симетричною дзиґою. Отримано рівняння руху у формі, зручній
для чисельного моделювання.
Ключові слова: динамічні системи, математичні моделі, симетрична дзиґа, стійкість, рівняння руху.
S.S. Zub
Taras Shevchenko National University of Kiev
Email: stah@univ.kiev.ua
MATHEMATICAL MODELS OF A SYMMETRIC TOP DYNAMICS
IN THE EXTERNAL FIELDS WITH AXIAL SYMMETRY
The article describes a new approach to the investigation of the dynamic stability of magnetic bodies in an axi
ally symmetric magnetic field. We consider a Hamiltonian for a broad class of models with a symmetric top that
interacts with external axially symmetric fields. Necessary and sufficient conditions of the dynamic equilibrium
for a new class of models with a symmetric top are found. Motion equations in the form that is convenient for
the numerical simulation are obtained.
Keywords: dynamical systems, mathematical models, symmetric top, stability, motion equations.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-143533 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:28:56Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Зуб, С.С. 2018-11-05T13:03:20Z 2018-11-05T13:03:20Z 2018 Математические модели динамики симметричного волчка во внешних аксиально симметричных полях / С.С. Зуб // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 9. — С. 12-20. — Бібліогр.: 1 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2018.09.012 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/143533 517.58/.5892 Описан новый подход к исследованию динамической устойчивости магнитных тел в аксиально симметричном магнитном поле. Рассмотрен гамильтониан, описывающий широкий класс моделей с симметричным
 волчком, взаимодействующим с внешними аксиально симметричными полями. Найдены необходимые и до
 статочные условия динамического равновесия для нового класса моделей с симметричным волчком. Получены уравнения движения в форме удобной для численного моделирования. Описано новий підхід щодо дослідження динамічної стійкості магнітних тіл в аксіально симетричному
 магнітному полі. Розглянуто гамільтоніан, що описує широкий клас моделей із симетричною дзиґою, яка
 взаємодіє із зовнішніми аксіально симетричними полями. Знайдено необхідні та достатні умови динамічної рівноваги для нового класу моделей із симетричною дзиґою. Отримано рівняння руху у формі, зручній
 для чисельного моделювання. The article describes a new approach to the investigation of the dynamic stability of magnetic bodies in an axially
 symmetric magnetic field. We consider a Hamiltonian for a broad class of models with a symmetric top that
 interacts with external axially symmetric fields. Necessary and sufficient conditions of the dynamic equilibrium
 for a new class of models with a symmetric top are found. Motion equations in the form that is convenient for
 the numerical simulation are obtained. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика Математические модели динамики симметричного волчка во внешних аксиально симметричных полях Математичні моделі динаміки симетричної дзиґи в зовнішніх аксіально симетричних полях Mathematical models of a symmetric top dynamics in the external fields with axial symmetry Article published earlier |
| spellingShingle | Математические модели динамики симметричного волчка во внешних аксиально симметричных полях Зуб, С.С. Інформатика |
| title | Математические модели динамики симметричного волчка во внешних аксиально симметричных полях |
| title_alt | Математичні моделі динаміки симетричної дзиґи в зовнішніх аксіально симетричних полях Mathematical models of a symmetric top dynamics in the external fields with axial symmetry |
| title_full | Математические модели динамики симметричного волчка во внешних аксиально симметричных полях |
| title_fullStr | Математические модели динамики симметричного волчка во внешних аксиально симметричных полях |
| title_full_unstemmed | Математические модели динамики симметричного волчка во внешних аксиально симметричных полях |
| title_short | Математические модели динамики симметричного волчка во внешних аксиально симметричных полях |
| title_sort | математические модели динамики симметричного волчка во внешних аксиально симметричных полях |
| topic | Інформатика |
| topic_facet | Інформатика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/143533 |
| work_keys_str_mv | AT zubss matematičeskiemodelidinamikisimmetričnogovolčkavovnešnihaksialʹnosimmetričnyhpolâh AT zubss matematičnímodelídinamíkisimetričnoídzigivzovníšníhaksíalʹnosimetričnihpolâh AT zubss mathematicalmodelsofasymmetrictopdynamicsintheexternalfieldswithaxialsymmetry |