Неевклидова экономика: проблемы и перспективы развития
Saved in:
| Published in: | Економічний вісник Донбасу |
|---|---|
| Date: | 2018 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут економіки промисловості НАН України
2018
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/143582 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Неевклидова экономика: проблемы и перспективы развития / К.В. Павлов // Економічний вісник Донбасу. — 2018. — № 3 (53). — С. 209-211. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-143582 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Павлов, К.В. 2018-11-05T21:06:56Z 2018-11-05T21:06:56Z 2018 Неевклидова экономика: проблемы и перспективы развития / К.В. Павлов // Економічний вісник Донбасу. — 2018. — № 3 (53). — С. 209-211. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1817-3772 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/143582 ru Інститут економіки промисловості НАН України Економічний вісник Донбасу Дискусійний клуб Неевклидова экономика: проблемы и перспективы развития Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Неевклидова экономика: проблемы и перспективы развития |
| spellingShingle |
Неевклидова экономика: проблемы и перспективы развития Павлов, К.В. Дискусійний клуб |
| title_short |
Неевклидова экономика: проблемы и перспективы развития |
| title_full |
Неевклидова экономика: проблемы и перспективы развития |
| title_fullStr |
Неевклидова экономика: проблемы и перспективы развития |
| title_full_unstemmed |
Неевклидова экономика: проблемы и перспективы развития |
| title_sort |
неевклидова экономика: проблемы и перспективы развития |
| author |
Павлов, К.В. |
| author_facet |
Павлов, К.В. |
| topic |
Дискусійний клуб |
| topic_facet |
Дискусійний клуб |
| publishDate |
2018 |
| language |
Russian |
| container_title |
Економічний вісник Донбасу |
| publisher |
Інститут економіки промисловості НАН України |
| format |
Article |
| issn |
1817-3772 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/143582 |
| citation_txt |
Неевклидова экономика: проблемы и перспективы развития / К.В. Павлов // Економічний вісник Донбасу. — 2018. — № 3 (53). — С. 209-211. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT pavlovkv neevklidovaékonomikaproblemyiperspektivyrazvitiâ |
| first_indexed |
2025-11-26T10:06:49Z |
| last_indexed |
2025-11-26T10:06:49Z |
| _version_ |
1850620112485220352 |
| fulltext |
К. В. Павлов
209
Економічний вісник Донбасу № 3(53), 2018
К. В. Павлов,
доктор экономических наук,
Камский институт гуманитарных и инженерных технологий,
г. Ижевск, Российская федерация
НЕЕВКЛИДОВА ЭКОНОМИКА:
ПРОБЛЕМЫ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ
В последнее время при изучении социально-
экономических процессов широко используются
математические и инструментальные методы иссле-
дования. Уже первые опыты экономико-математи-
ческого моделирования (например, использование
производственной функции Кобба-Дугласа более
ста лет назад) дали значительный результат в про-
цессе исследования и поиска резервов повышения
эффективности системы общественного воспроиз-
водства.
Однако, как показывает анализ, в качестве тео-
ретико-методологической основы, базиса разра-
ботки экономико-математических моделей, как пра-
вило, используется только лишь евклидова метрика
и, прежде всего, категория евклидова п-мерного
пространства (в основном, двух- или трехмерного,
однако, если местоположение точки определяется n-
координатами, то в этом случае речь идет об n-мер-
ном евклидовом пространстве). На наш взгляд, та-
кое положение дел вполне оправдано. Но при разра-
ботке экономико-математических моделей в прин-
ципе можно основываться и на ином теоретическом
базисе, а именно, использовать неевклидову мет-
рику. В этой связи следует уточнить, о чем идет
речь.
Евклидово пространство – это пространство,
свойства которого описываются аксиомами евкли-
довой геометрии. Кроме того, это векторное про-
странство над полем действительных чисел, в кото-
ром каждой паре векторов ставится в соответствие
действительное число, называемое скалярным про-
изведением этих векторов. Здесь также вводится по-
нятие ортогональности: ортогональными считаются
векторы, если их скалярное произведение равно
нулю.
К неевклидовым геометриям относятся все гео-
метрические системы, отличные от геометрии Ев-
клида. Среди неевклидовых геометрий особое зна-
чение имеют геометрия Лобачевского и геометрия
Римана (в честь великих математиков русского
Н.И. Лобачевского и немца Б. Римана, впервые со-
общивших о своих открытиях соответственно в 1826
и в 1854 годах) [1]. Причем геометрия Лобачев-
ского – первая в историческом аспекте геометриче-
ская система, отличная от геометрии Евклида, а
также первая более общая, включающая евклидову
геометрию как крайний, предельный случай. На наш
взгляд, неевклидова метрика также может быть ис-
пользована при разработке различных экономико-
математических моделей. Более того, в ряде случаев
она может оказаться более эффективной, чем евкли-
дова метрика – как в математическом аспекте
(например, позволяя существенно упростить мате-
матический вид модели или облегчить решение свя-
занной с ней задачи), так и в экономическом плане
(скажем, для выявления глубинных тенденций и за-
кономерностей социально-экономического разви-
тия, для определения скрытых эффектов и явлений
в системе общественного воспроизводства). Дан-
ную сферу экономики условно можно назвать не-
евклидовой экономикой (более того, изложенное
выше вполне применимо и к определенной группе
экологических моделей, особенно эколого-экономи-
ческих). Чтобы было более понятно, о чем идет речь,
рассмотрим данную проблему подробнее.
При исследовании различных воспроизвод-
ственных процессов в используемых в настоящее
время экономико-математических моделях практи-
чески постоянно применяется метрика, основанная
на применении декартовой системы координат, то
есть прямоугольной системы координат в евклидо-
вом пространстве. Под метрикой понимается рас-
стояние между двумя элементами а и в множества
А – это действительная числовая функция ρ (а, в),
удовлетворяющая следующим трем условиям:
1) ρ (а, в) ≥ 0, причем ρ (а, в) = 0 тогда и только
тогда, когда а=в; 2) ρ (а, в) = ρ (в, а) и 3) ρ (а, в) +
+ ρ (в, с) ≥ ρ (а, с). Под евклидовым пространством
понимается векторное пространство Е над полем
действительных чисел, в котором каждой паре век-
торов а и в из Е ставится в соответствие действи-
тельное число, называемое скалярным произведе-
нием (а, в) этих векторов [2]. Через скалярное про-
изведение в евклидовом пространстве определяются
длины этих векторов и угол между ними, а также
вводится понятие ортогональности (перпендикуляр-
ности) между векторами: они ортогональны в том
случае, если их скалярное произведение равно 0.
При этом в экономических исследованиях наиболее
часто используется множество всех векторов плос-
кости (то есть двухмерного) или трехмерного про-
странства евклидовой геометрии с обычным скаляр-
ным произведением, однако в отдельных случаях
применяют и более общую модель, основанную на
евклидовом n-мерном пространстве (то есть конеч-
номерное векторное пространство над множеством
действительных чисел, в котором скалярное произ-
ведение векторов a=(a1,…, an) и в=(в1,…, вn) опреде-
ляется формулой (а, в) = а1*в1 + а2*в2 + …. + аn*вn).
К. В. Павлов
210
Економічний вісник Донбасу № 3(53), 2018
Выше нами упоминалась декартовая система
координат в евклидовом пространстве. В этой связи
целесообразно напомнить, что общая декартовая си-
стема координат, называемая также аффинной си-
стемой координат, задается точкой О (начало коор-
динат) и упорядоченной системой приложенной к
этой точке n неколлинеарных (непараллельных) век-
торов а1, а2,.., аn, называемых также базисными век-
торами. Прямые, проходящие через начало коорди-
нат в направлении базисных векторов, называются
осями координат данной декартовой системы коор-
динат. В экономико-математических моделях чаще
всего ограничиваются двумерным случаем (то есть
плоскостью) и тогда эти оси называются осью абс-
цисс и осью ординат (в случае трехмерного про-
странства добавляется третья ось аппликат).
При анализе воспроизводственных процессов и
явлений в основном используют прямоугольную де-
картовую систему координат. В этом случае базис-
ные векторы ортонормированы, то есть взаимно
перпендикулярны и по длине равны единице [3]. Од-
нако вполне возможно, на наш взгляд, также и ис-
пользование косоугольной декартовой системы ко-
ординат, отличающейся от прямоугольной тем, что
угол между единичными базисными векторами не
является прямым. При использовании производ-
ственных функций, особенно с переменной эластич-
ностью замещения производственных факторов, пе-
реход по известным математическим формулам от
одной декартовой системы косоугольных координат
к другой системе координат позволит наилучшим
образом упростить математический вид такого рода
производственных функций, что наверняка приве-
дет не только к более широкому их использованию
в обозримом будущем, но и позволит выявить скры-
тые тенденции и закономерности социально-эконо-
мического развития на разных уровнях управленче-
ской иерархии.
Таким образом, использование косоугольных
координат при изучении социально-экономических
процессов может стать важным дополнением к тра-
диционному применению прямоугольных декарто-
вых координат в системе экономико-математиче-
ского моделирования. Однако данная форма обоб-
щения не только не является единственной, но и да-
леко не самой важной. На наш взгляд, гораздо более
перспективным направлением обобщения, име-
ющим значительные внутренние резервы упроще-
ния как самих моделей, так и расширение возмож-
ностей их использования в экономическом анализе
является применение подходов неевклидовой мате-
матики.
Здесь следует уточнить, что к неевклидовым
геометриям относят все геометрические системы,
отличные от геометрии Евклида. Среди них особое
значение имеют геометрия Лобачевского и геомет-
рия Римана. Геометрия Лобачевского является пер-
вой геометрической системой, отличной от геомет-
рии Евклида. Она же является и первой более общей
теорией, включающей евклидову геометрию как
предельный случай. Позднее открытая великим
немецким математиком Б. Риманом геометрия,
названная его именем, в некоторых отношениях
противоположна геометрии Лобачевского, однако
вместе с тем геометрия Римана служит для послед-
ней необходимым дополнением. Напомним, что
если в геометрии Евклида к любой данной прямой
через точку, лежащую вне этой прямой, можно про-
вести только одну параллельную ей прямую, то в
геометрии Лобачевского такого рода параллельных
прямых через эту точку можно провести бесчислен-
ное множество, а в геометрии Римана – ни одной, то
есть в этом случае все прямые на плоскости обяза-
тельно пересекаются.
Для экономико-математического моделирова-
ния важно то, что в неевклидовых геометриях мет-
рические отношения существенно отличаются от
метрических пропорций, характерных для евкли-
дова пространства. В этой связи заметим, что по ана-
логии с поверхностью в евклидовом пространстве в
неевклидовой плоскости также могут быть введены
внутренние координаты U, V таким образом, что
дифференциал dS дуги кривой, соответствующий
дифференциалам dU и dV координат, определяется
равенством
dS2 = Edu2+2Fdudv+Gdv2,
где E, F, G – коэффициенты.
Для евклидовой плоскости это равенство пре-
образуется следующим образом:
dS2 = du2+ dv2.
Для плоскости Лобачевского общая формула
оценки дифференциальных свойств плоскости бу-
дет иметь вид:
dS2 = du2+ ch2 ( )dv2,
а для плоскости Римана
dS2 = du2+ cos2 ( )dv2,
где R – радиус кривизны анализируемой поверхно-
сти (кстати при R = ∞, то есть при стремлении ради-
уса кривизны к бесконечности каждое из двух по-
следних равенств дает метрическую форму евклидо-
вой плоскости).
Полученные результаты можно использовать в
процессе математических преобразований в различ-
ных экономических моделях, например, в теории
производственных функций [4]. Так, даже простей-
ший вариант – двухфакторная производственная
функция P = f(C, T) (например, производственная
функция Кобба-Дугласа P = A*Cλ
*T1-λ, где Р – ре-
зультаты производства, С – затраты капитала, Т – за-
траты труда, А – коэффициент масштаба, λ – показа-
тель степенной функции) при использовании выше-
указанных формул, характерных для неевклидовых
геометрических систем, приобретет вид, в котором
тот или иной фактор – труд или капитал – получит
большее значение (типа весовых коэффициентов) по
К. В. Павлов
211
Економічний вісник Донбасу № 3(53), 2018
сравнению с другим фактором в зависимости от ре-
альных хозяйственных условий.
Все это позволит расширить возможности ма-
тематического описания реальных производствен-
ных ситуаций и различных хозяйственных условий,
в том числе в зависимости от различных пропорций
производственных факторов. Разумеется, данный
подход может быть использован и в более сложных
случаях применения производственных функций,
например, когда кроме факторов труда и капитала в
этих функциях используются также фактор научно-
технического прогресса и земельный фактор, а
также в случае применения производственных
функций с переменной эластичностью замещения
факторов. На наш взгляд, использование метриче-
ских соотношений неевклидовых геометрий позво-
лит также более глубоко изучить явление эффекта
от масштаба (в производственных функциях он ко-
личественно характеризуется коэффициентом А), а,
значит, изучить также и тенденции, характеризу-
ющие рост концентрации и централизации произ-
водства и капитала.
Возможно, неевклидовые метрические соотно-
шения можно использовать (хотя бы в целях упро-
щения математического вида модели) при решении
оптимизационных задач нелинейного программиро-
вания. Например, в процессе использования одного
из наиболее популярных методов нелинейного про-
граммирования – метода штрафных функций. Как
известно, этот метод позволяет свести задачу нели-
нейного программирования с ограничениями к за-
даче нелинейного программирования без ограниче-
ний путем формирования штрафной функции, обра-
зующейся из целевой функции задачи путем вычи-
тания «штрафов» за нарушение ее ограничений,
причем, чем выше штрафы, тем ближе задача мак-
симизации штрафной функции к исходной задаче.
Процесс решения задачи нелинейного програм-
мирования складывается из нескольких этапов, на
каждом из которых решается задача линейного или
квадратичного программирования, то есть решается
более простой вариант задачи или ее части. Матема-
тическое выражение штрафных функций, на наш
взгляд, может быть упрощено при правильном ис-
пользовании неевклидовой метрики. Это возможно
и в случае разработки оптимальной стратегии в тео-
рии игр [5]. Это также применимо в функциях
спроса и в функциях предложения.
Таким образом, при анализе различных про-
блем, связанных с функционированием системы
производственных отношений на основе использо-
вания разнообразных экономико-математических
моделей, наряду с традиционным применением де-
картовой прямоугольной системы координат в ев-
клидовом пространстве во многих случаях более эф-
фективным оказывается использование математиче-
ских моделей, сконструированных на основе приме-
нения неевклидовой метрики. Все это позволит не
только упростить математическое выражение ис-
пользуемых моделей, но и на их основе обнаружить
скрытые тенденции и закономерности развития вос-
производственных систем. Данная сфера экономи-
ческой науки названа нами неевклидовой экономи-
кой.
Как уже выше отмечалось, широкие возможно-
сти использования неевклидовой метрики, на наш
взгляд, имеются и в отношении применения матема-
тических моделей, используемых в экологической
сфере, то есть при изучении экологических процес-
сов и явлений. Результаты развития неевклидовой
математики можно использовать и при осуществле-
нии разнообразных статистических исследований в
эколого-экономической области, например, при
осуществлении дисперсионно-регрессионного ана-
лиза. Таким образом, направления и формы разви-
тия неевклидовой математики весьма многочис-
ленны и разнообразны, что свидетельствует о целе-
сообразности ее использования и дальнейшего ее
развития в системе экономического моделирования.
Более того, все это может, в свою очередь, повлиять
на развитие самих неевклидовых геометрий по-
добно тому, как и еще при жизни Н.И. Лобачевского
его геометрические изыскания повлияли на разви-
тие теории интегральных и дифференциальных
уравнений [6], а эта теория, в свою очередь, оказала
позитивное обратное воздействие на развитие не-
евклидовой геометрии.
Литература
1. Мир математики: в 45 т. Т. 36: Висенте
Муньос. Деформируемые формы. Топология / пер. с
исп. Москва: Де Агостини, 2014. 176 с. 2. Ефимов
Н.В. Высшая геометрия: 6-е изд. Москва: Высшая
школа, 1978. 482 с. 3. Математика: Энциклопедия /
под ред. Ю.В. Прохорова. Москва: Большая Россий-
ская энциклопедия, 2003. 845 с. 4. Браун М. Теория
и измерение технического прогресса / пер. с анг.
Москва: Статистика, 1981. 147 с. 5. Теория игр:
учеб. пособие для университетов / Л. А. Петросян,
Н.А. Зинкевич, Е.А. Селина. Москва: Высшая
школа, 1998. 304 с. 6. Мир математики: в 45 т. Т. 4:
Жуан Гомес. Когда кривые искривляются. Неевкли-
довы геометрии / пер. с исп. Москва: Де Агостини,
2014. 160 с.
Стаття надійшла до редакції 25.01.2018
Прийнято до друку 11.09.2018
|