Апроксимація кривої намагнічування сталі в суміщених електричних машинах
Рассмотрена возможность аппроксимации кривой намагничивания стали с использованием кубических сплайнов дефекта 2, которые обеспечивают высокую точность и гладкость кривой и ее производных. Розглянута можливість апроксимації кривої намагнічування сталі з використанням кубічних сплайнів дефекту 2, які...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Електротехніка і електромеханіка |
|---|---|
| Дата: | 2003 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут технічних проблем магнетизму НАН України
2003
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/143608 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Апроксимація кривої намагнічування сталі в суміщених електричних машинах / В.Л. Борзік // Електротехніка і електромеханіка. — 2003. — № 2. — С. 11-12. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-143608 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Борзік, В.Л. 2018-11-07T16:46:32Z 2018-11-07T16:46:32Z 2003 Апроксимація кривої намагнічування сталі в суміщених електричних машинах / В.Л. Борзік // Електротехніка і електромеханіка. — 2003. — № 2. — С. 11-12. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 2074-272X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/143608 621.314.26 Рассмотрена возможность аппроксимации кривой намагничивания стали с использованием кубических сплайнов дефекта 2, которые обеспечивают высокую точность и гладкость кривой и ее производных. Розглянута можливість апроксимації кривої намагнічування сталі з використанням кубічних сплайнів дефекту 2, які забезпечують високу точність і гладкість кривої та її похідних. In close approximating of the magnetization curve with usage of cubic splines of defect 2, which ensures high accuracy and a smoothness of the curve and its derivatives, is considered. uk Інститут технічних проблем магнетизму НАН України Електротехніка і електромеханіка Електричні машини та апарати Апроксимація кривої намагнічування сталі в суміщених електричних машинах Approximating of the magnetization curve for steel in the combined electrical machines Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Апроксимація кривої намагнічування сталі в суміщених електричних машинах |
| spellingShingle |
Апроксимація кривої намагнічування сталі в суміщених електричних машинах Борзік, В.Л. Електричні машини та апарати |
| title_short |
Апроксимація кривої намагнічування сталі в суміщених електричних машинах |
| title_full |
Апроксимація кривої намагнічування сталі в суміщених електричних машинах |
| title_fullStr |
Апроксимація кривої намагнічування сталі в суміщених електричних машинах |
| title_full_unstemmed |
Апроксимація кривої намагнічування сталі в суміщених електричних машинах |
| title_sort |
апроксимація кривої намагнічування сталі в суміщених електричних машинах |
| author |
Борзік, В.Л. |
| author_facet |
Борзік, В.Л. |
| topic |
Електричні машини та апарати |
| topic_facet |
Електричні машини та апарати |
| publishDate |
2003 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Електротехніка і електромеханіка |
| publisher |
Інститут технічних проблем магнетизму НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Approximating of the magnetization curve for steel in the combined electrical machines |
| description |
Рассмотрена возможность аппроксимации кривой намагничивания стали с использованием кубических сплайнов дефекта 2, которые обеспечивают высокую точность и гладкость кривой и ее производных.
Розглянута можливість апроксимації кривої намагнічування сталі з використанням кубічних сплайнів дефекту 2, які забезпечують високу точність і гладкість кривої та її похідних.
In close approximating of the magnetization curve with usage of cubic splines of defect 2, which ensures high accuracy and a smoothness of the curve and its derivatives, is considered.
|
| issn |
2074-272X |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/143608 |
| citation_txt |
Апроксимація кривої намагнічування сталі в суміщених електричних машинах / В.Л. Борзік // Електротехніка і електромеханіка. — 2003. — № 2. — С. 11-12. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT borzíkvl aproksimacíâkrivoínamagníčuvannâstalívsumíŝenihelektričnihmašinah AT borzíkvl approximatingofthemagnetizationcurveforsteelinthecombinedelectricalmachines |
| first_indexed |
2025-11-27T03:14:53Z |
| last_indexed |
2025-11-27T03:14:53Z |
| _version_ |
1850796581114085376 |
| fulltext |
ISBN 966-593-254-3 Електротехніка і Електромеханіка. 2003. №2 11
УДК 621.314.26
АПРОКСИМАЦІЯ КРИВОЇ НАМАГНІЧУВАННЯ СТАЛІ
В СУМІЩЕНИХ ЕЛЕКТРИЧНИХ МАШИНАХ
Борзік В.Л.
Українська інженерно-педагогічна академія
Україна, 94000, Стаханов, вул. Тельмана, 53, Гірничий факультет УІПА, кафедра “Гірничої електромеханіки”
Тел. (06444) 4-29-62, Факс (06444) 4-10-49
Розглянута можливість апроксимації кривої намагнічування сталі з використанням кубічних сплайнів дефекту 2, які
забезпечують високу точність і гладкість кривої та її похідних.
Рассмотрена возможность аппроксимации кривой намагничивания стали с использованием кубических сплайнов де-
фекта 2, которые обеспечивают высокую точность и гладкость кривой и ее производных.
При проектуванні та математичному моделю-
ванні суміщених електричних машин, зокрема безко-
нтактних одномашинних перетворювачів частоти з
урахуванням насичення їх магнітопроводів необхідно
будувати апроксимації для таблично заданих кривих
намагнічування (КН) як електротехнічних сталей, так
і окремих ділянок магнітопроводу. Від точності та
способу представлення цих кривих нерідко залежить
успіх розв´язування поставленої задачі в цілому, тому
питання апроксимації має важливе значення.
Способів апроксимації КН існує досить багато, їх
аналіз приведений в [1]. Вони розвивались та вдоско-
налювались у залежності вимог, які ставились до них
практикою розрахунків. Однак до останнього часу цю
проблему не можна вважати вирішеною, про що свід-
чать численні публікації, кількість яких продовжує
зростати.
Відомі способи представлення КН можна поді-
лити на:
a) апроксимації однією аналітичною функцією
на всьому інтервалі зміни аргументу;
b) апроксимації одним поліномом високого сту-
пеня (наприклад, Лагранжа);
c) апроксимації кількома поліномами або інши-
ми функціями;
d) кусково-лінійні апроксимації;
e) апроксимації сплайнами.
Розглянемо кожен з них з точки зору викорис-
тання при математичному моделюванні динамічних
режимів роботи суміщених електричних машин.
Апроксимація одним аналітичним виразом є
проста, однак має надто низьку точність, її викорис-
тання може диктуватись лише необхідністю отримати
аналітичний розв´язок задачі.
Апроксимація одним степеневим поліномом,
який співпадає зі заданими значеннями КН у вузлових
точках здійснюється достатньо просто, однак поліном
такого типу має так звані осциляції, що призводить до
ще більших осциляцій похідної.
При апроксимації кривої кількома поліномами,
як правило, невисокої степені, точність достатньо ви-
сока, але в точках стикування крива має розриви по-
хідних. Аналогічні недоліки має і кусково-лінійна
апроксимація.
Перелічених вище недоліків позбавлені апрокси-
мації КН сплайнами, зокрема третього порядку [2].
Однак апроксимація КН кубічним сплайном, що про-
ходить через таблично задані вузли, забезпечує високу
точність і гладкість кривої лише за умови відсутності
суттєвого розкиду табличних значень. Оскільки остан-
ні мають експериментальне походження, то цього мо-
жна досягнути шляхом попереднього згладжування
ручним способом або за допомогою обчислювальної
техніки, наприклад, методом найменших квадратів [3].
Також цю проблему можна вирішати шляхом по-
будови згладжувального сплайна [4]. Для
розв´язування багатьох задач електромеханіки, що ви-
никають при проектуванні та математичному моделю-
ванні, достатньо, щоб КН мала неперервну лише першу
похідну. Для таких випадків пропонується використо-
вувати кубічний сплайн дефекту 2 (сплайн Ерміта).
Розглянемо питання побудови сплайна Ерміта
для КН, заданої у вигляді В=В(Н). Для цього роз-
іб´ємо весь інтервал зміни аргументу В (рис. 1) на ряд
ділянок, необов´язково рівномірних. Як відомо, при
практичних розрахунках перша та остання ділянки
приймаються лінійними. Тому точка В1 відповідає
кінцю першої ділянки, а точка ВN - початку останньої
прямолінійної ділянки. Таким чином, необхідно по-
будувати сплайн на інтервалі [B1, BN].
В1
H
Вj ВN ВN+1 В
H1
HN+1
HN
Hj
Рис.1. Побудова сплайна кривої намагнічування сталі
12 Електротехніка і Електромеханіка. 2003. №2 ISBN 966-593-254-4
Кубічний сплайн Ерміта дефекту 2 у даному ви-
падку – це функція Н=Н(В), неперервна разом з пер-
шою похідною на всьому діапазоні зміни аргументу В,
яка співпадає з поліномом третього ступеня на кожній
ділянці [Bj-1, Bj], де j=2,...,N і задовольняє умовам:
( )( )
j
j
j
jj dB
BHd
dB
dHHBH == ;)( . (1)
Для побудови таких сплайнів необхідно знати
значення похідної в кожному внутрішньому вузлі.
Оскільки в таблицях задаються тільки значення Нj
функції, то її похідну необхідно попередньо визначи-
ти за однією з формул чисельного диференціювання
[5], наприклад,
11
11
−+
−+
−
−
=
jj
jj
j BB
HH
dB
dH . (2)
Запишемо сплайн для j-ої ділянки КН у вигляді
( ) ( )+−+= BBbaBH jjj (3)
( ) ( )32 BBdBBc jjjj −+−+ ,
де j – номер ділянки, рівний номеру вузла на правій її
границі; Вj - значення аргументу в цьому вузлі.
Похідна сплайна (3) має вигляд
( ) ( )232 BBdBBcb
dB
dH
jjjjj −−−−−= . (4)
Запишемо необхідні для обчислення коефіцієнтів
сплайна рівняння. Для цього підставимо в (3) та (4)
значення Bj та Bj-1 аргументу В відповідно на правій та
лівій границях j-ої ділянки:
( ) jjj aHBH == ; (5)
( ) 32
11 jjjjjjj hdhbaHBH ++== −− ,
j
j
b
dB
dH
−= ;
2
1
32 jjjjj
j
hdhcb
dB
dH
−−−=
−
,
де hj = Bj + Bj-1 – довжина j-ої ділянки.
З рівнянь (5) знаходимо:
j
jjj dB
dHbHa −== ; ;
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−=
−
−
jjj
jj
j
j dB
dH
dB
dH
h
HH
h
c 213
1
12
; (6)
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−−−=
−
−
jjj
jj
j
j dB
dH
dB
dH
h
HH
h
d
1
213
12 .
Підставивши (6) в (3), отримаємо вираз для об-
числення сплайна на j-ої ділянки
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ,11
23211)(
2
1
2
1
22
jjjj
jj
HhAHhAA
HAAHAABH
′−−′−+
+−++−=
−
−
(7)
де А = (Вj - B)/hj; jH ′ - похідна dH/dB в j-ому вузлі.
В свою чергу похідна сплайна в будь-якій точці
j-ої ділянки обчислюється за формулами (4), (6). Та-
ким чином, для побудови сплайнів необхідно мати
масиви функцій та їх похідних. При цьому сітку вуз-
лів краще брати рівномірною, хоча з точки зору кіль-
кісті вузлів рівномірна сітка не є оптимальною. Однак
у цьому випадку більш економічною є процедура по-
шуку необхідної ділянки при обчисленні значеннь
сплайнів для заданого значення аргументу КН. При
цьому ермітові сплайни третього порядку дефекту 2
при відповідному виборі сітки вузлів практично не
мають осциляцій і стійкі до розкиду вхідних даних.
Використання зазначеного способу апроксимації в
суміщених електричних машинах дозволяє отримати
більш точну криву намагнічування сталі в порівнянні
з іншими відомими способами, що дає можливість
оптимізувати показники цих машин при проектуванні.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Оганян Р.В. Аппроксимация кривой намагничивания
стали квадратичной функцией// Электричество. – 1998. -
№4. – С. 70-73.
[2] Маляр В.С., Фильц Р.В. Аппроксимация характеристик
намагничивания сплайнами// Изв. ВУЗов СССР. Энерге-
тика. – 1977. - №11. – С.119-121.
[3] Перхач В.С. Математичні задачі електроенергетики. –
Львів: Вища школа, 1989. – 464 с.
[4] Маляр В.С. Методи розрахунку динамічних режимів
електромеханічних перетворювачів на основі сплайн–
функцій: Автореф. дис... д-ра техн. наук: (05.09.01) /
Нац. Ун-т “Львів. Політехніка”. – Львів, 2001. – 36 с.
[5] Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука. 1978. –
512 с.
Надійшла 19.03.03
|