Квантово-механічна модель давачів кута індукційного типу (частина 2)
На прикладі прецизійних давачів кута індукційного типу розвинуто квантово-механічний підхід до аналізу обмінних процесів між дискретними структурами статора та ротора електромеханічних перетворювачів енергії / інформації. Визначено кількісний показник рівня диcиметрії систем, що складаються із симет...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Електротехніка і електромеханіка |
|---|---|
| Дата: | 2003 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут технічних проблем магнетизму НАН України
2003
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/143613 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Квантово-механічна модель давачів кута індукційного типу (частина 2) / В.Д. Завгородній // Електротехніка і електромеханіка. — 2003. — № 2. — С. 28-32. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859855129122963456 |
|---|---|
| author | Завгородній, В.Д. |
| author_facet | Завгородній, В.Д. |
| citation_txt | Квантово-механічна модель давачів кута індукційного типу (частина 2) / В.Д. Завгородній // Електротехніка і електромеханіка. — 2003. — № 2. — С. 28-32. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Електротехніка і електромеханіка |
| description | На прикладі прецизійних давачів кута індукційного типу розвинуто квантово-механічний підхід до аналізу обмінних процесів між дискретними структурами статора та ротора електромеханічних перетворювачів енергії / інформації. Визначено кількісний показник рівня диcиметрії систем, що складаються із симетричних структур. Наведено рекомендації щодо вибору структурних параметрів конструкцій великогабаритних давачів кута .
На примере прецизионных датчиков угла индукционного типа развит квантово-механический подход применительно к анализу обменных процессов между дискретными структурами статора и ротора электромеханических преобразователей энергии / информации. Установлен количественный показатель дисимметрии систем, состоящих из симметричных структур. Приведены рекомендации по выбору структурных параметров конструкций датчиков угла.
On an example of induction type precision angle transducer the quantum mechanical approach to the analysis of energy and information conversion processes between stator and rotor as discrete structures in electromechanical converters is advanced. The quantitative parameter of dissymmetry for systems containing symmetric structures is established. The recommendations upon the choice of design structural parameters of angle transducer are given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:43:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
28 Електротехніка і Електромеханіка. 2003. №2 ISBN 966-593-254-4
УДК 621.313.33.530.145
КВАНТОВО-МЕХАНІЧНА МОДЕЛЬ ДАВАЧІВ КУТА ІНДУКЦІЙНОГО ТИПУ
(ЧАСТИНА 2)
Завгородній В.Д.
Національний університет “Львівська політехніка”, СКБ електромеханічних систем
Україна, 79000, м. Львів, вул. Ак. Колесси, 2, СКБ ЕМС
Тел./факс (0322)74-01-44, E-mail: skbnil68@mail.lviv.ua
На прикладі прецизійних давачів кута індукційного типу розвинуто квантово-механічний підхід до аналізу обмінних
процесів між дискретними структурами статора та ротора електромеханічних перетворювачів енергії / інформації.
Визначено кількісний показник рівня диcиметрії систем, що складаються із симетричних структур. Наведено реко-
мендації щодо вибору структурних параметрів конструкцій великогабаритних давачів кута .
На примере прецизионных датчиков угла индукционного типа развит квантово-механический подход применительно
к анализу обменных процессов между дискретными структурами статора и ротора электромеханических преобра-
зователей энергии / информации. Установлен количественный показатель дисимметрии систем, состоящих из сим-
метричных структур. Приведены рекомендации по выбору структурных параметров конструкций датчиков угла.
ВСТУП
У [1] на прикладі прецизійного давача кута ін-
дукційного типу продемонстровано доцільність опису
функціонування електромеханічних перетворювачів
енергії / інформації (ЕМП) на засадах квантово-меха-
нічного підходу, що базується на використанні хви-
льової функції Шредінгера (ХФ). Цей підхід дав мож-
ливість описати енергетичні та інформаційні характе-
ристики індукційного давача замкненими аналітич-
ними виразами, уникнувши застосування рядів Фур’є.
Незважаючи на те що здебільше магнітопроводи
індукційних давачів кута виконують із різною кількіс-
тю зубців статора zs та ротора zr , із метою спрощення
і демонстрації лише загальних принципів підходу
аналіз в [1] приведено для випадку zs= zr = z. У цьому
викладі той же підхід застосовано для аналізу конс-
трукції при zs ≠ zr, але для цього необхідно спочатку
встановити кількісні показники взаємної симетрії
двох симетричних структур статора та ротора ЕМП і
ввести специфічні координатні системи, які названо
апокастатичними.
Надалі прийнято ті ж позначення величин, що і в
[1], а тому для скорочення викладу вони (за винятком
тих, що вводяться вперше) не номінуються.
КІЛЬКІСНІ ПОКАЗНИКИ ВЗАЄМНОЇ СИМЕТРІЇ
ДВОХ СИМЕТРИЧНИХ СТРУКТУР
ОДНАКОВОГО ТИПУ
Оскільки підхід до математичного опису симетрії
обмінних процесів між двома симетричними структу-
рами одного типу не відрізняється від опису власне
взаємної симетрії цих структур (бо об’єкти структур
завжди можна замінити відповідними представниками
у певному полі), спершу розглянемо останній.
Нехай консервативна частина конструкції ЕМП
складається із двох симетричних структур f та s, кожна
з яких містить відповідно zf та zs упорядковано розта-
шованих об’єктів із голономними зв’язками між ними.
Упорядковане розташування zі ( 1,0 −= zi )
об’єктів можна імітувати рівномірно розташованими
точками по колу одиничного радіуса з різницею коор-
динат між сусідніми Δζ =2π / z. При початку нумера-
ції з довільної точки, якій припишемо індекс і=0, ко-
ординати ζ і всіх наступних запишемо як ζ і =Δζ⋅ і
=2π і / z. Отже, просторове розташування об’єктів zі
еквівалентується деякою симетричною структурою у
замкненому числовому полі z (точніше – у полі Галуа
порядку z ). Поле Галуа має характерну особливість:
для довільного його елемента і завжди справедливо і⋅
z ≡ 0, а для двох елементів і та k − ( i + k ) z =i z + k z. У
полі Галуа будемо оперувати не з власне елементами
zі , а з їхніми представниками [ і ], за які візьмемо ам-
плітуди деяких нормованих на одиницю стаціонарних
ХФ Ψі , котрі визначимо як
[ ] zijj
ii eeiz i /2πζ −− ==Ψ=≈ .
Представники об’єктів zі при мультиплікації гео-
метричного простору їхнього розташування (напри-
клад, при його модуляції зовнішнім магнітним полем
полюсності 2 p) трансформуються як
[ ] zipjp
ip ei /2π−=Ψ= .
Отже, у р-кратно замкненому полі Галуа пред-
ставник [і ] р об’єкта zі однозначно визначається за
його геометричною координатою ζ і .
Доведемо, що взаємодія двох полів Галуа поряд-
ків zf та zs характеризується показником симетрії S = zf
⋅ zs /κ, де κ=(zf ⎜zs ) – найбільший спільний дільник
(НСД) чисел zf та zs. Тобто кожний повний період вза-
ємодії Т=2π містить S підперіодів тривалістю t=T/S,
які назвемо інтервалами тактового стану. Показник
симетрії S можна ще записати як S =κ⋅ z1 ⋅ z2 , де z1 =zf /
κ, а z2 =zs / κ. Отже, z1 та z2 − взаємно прості числа, бо
κ =(zf ⎜zs ). Спершу задля наочності опишемо взаємні
стани структур f та s графічною мовою на конкретно-
му прикладі zf =12; 11,4=sz , які представлено на рис.
1. Кількісні ознаки взаємних станів системи <zs ⎜zf >
зведено в табл.
Аналіз взаємного розташування фігур, що на
рис. 1, дозволяє зробити висновки:
- при наявності між числами zf та zs НСД κ взаєм-
ний стан системи <zs ⎜ zf > розпадається на κ
ідентичних взаємних станів підструктур <z2 ⎜z1 >, які
ISBN 966-593-254-3 Електротехніка і Електромеханіка. 2003. №2 29
Рис. 1. До визначення показника взаємної симетрії
систем <zs ⎜zf >
зсунуті на кут 2π / κ одна відносно іншої, з ідентич-
ним розташуванням елементів z1i та z2i у кожній;
- при взаємному повороті структур f та s на вели-
чину кута тактового інтервалу θ = t=2π /S взаємний
стан системи <zs ⎜zf > не змінюється, що підтвер-
джується перенумерацією елементів zfi та zsi у відпо-
відності з двома останніми стовпцями табл. і що про-
сто відповідає повороту системи координат на кут θ =
t. Закони перенумерації прості, а у важливому для нас
випадку z2 ≥ 0,75 z1, це it
s0 = z2 –1, it
f0 = z1 –1.
У теорії симетричних обмоток ЕМП підструк-
туру <z2 ⎜z1 > ідентифікують із фазною зоною обмот-
ки, а оскільки мета аналізу − дослідження показників
взаємної симетрії обмотаних структур магнітопрово-
дів статора та ротора ЕМП, надалі залишимо це озна-
чення без зміни.
Таблиця
<zs ⎜zf > κ <z2 ⎜z1 > S i ts0 i tf0
<11 ⎜12> (1) <11 ⎜12> 132 10 11
<10 ⎜12 > 2 <5 ⎜6> 60 4 5
<9 ⎜12 > 3 <3 ⎜4> 36 2 3
<8 ⎜12 > 4 <2 ⎜3> 24 1 2
<7 ⎜12 > (1) <7 ⎜12> 84 4 7
<6 ⎜12 > 6 <1 ⎜2> 12 5 11
<5 ⎜12 > (1) <5 ⎜12> 60 2 5
<4 ⎜12 > 4 <1 ⎜3> 12 0 1
Примітки: 1. Число κ = 1 взято в дужки, бо за означен-
ням число 1 не є НСД, але в цьому випадку у відповідні
формули необхідно підставляти κ =1.
2. i t
s0 та i t
f0 − номери елементів zf та zs попереднього
тактового стану, з яких починається нумерація елементів у
наступному тактовому стані системи.
Обсяг статті не дозволяє навести повний аналіти-
чний виклад доведення факту, що функція взаємного
стану Wkn ( 1,0 −= κk ) кожної з фазних зон системи
(при взаємодії між об’єктами zf та zs за законами сило-
вих функцій) на кожному з тактових інтервалів
1,0 −= Sn визначається через функцію 0-стану Wkn(ζ
)= exp( - j t n )⋅ Wk0(ζ ), що підтверджує наявність взає-
мної симетрії між структурами f та s типу “поворот”
(або “кутова трансляція”) з показником S = zf ⋅ zs / κ.
Отже, щоб описати обмінний процес між структурами f
та s по координаті функціонування ζ, досить описати
цей процес лише для однієї фазної зони системи упро-
довж довільного тактового інтервалу t n ≤ ζ ≤ t(n+1).
Увесь виклад тут зроблено без прив’язки до фі-
зичної природи об’єктів системи, якими можуть бути
об’єкти механіки, квантової механіки, електро-
динаміки тощо, що свідчить про деяку фундамен-
тальну спільність фізичних систем, яким властива
симетрія, і що є передумовою існування відповідних
законів збереження (у нашому випадку – законів збе-
реження імпульсу та моменту імпульсу) [2].
а) <11 ⎜12>; κ =1; S=132
t =π / 66
б) <10 ⎜12>; κ =2; S=60
t =π / 30
в) <9 ⎜12>; κ =3; S=36
t =π / 18
t =π / 12
г) <8 ⎜12>; κ =4; S=24
д) <7 ⎜12>; κ =1; S=84
t =π / 42
30 Електротехніка і Електромеханіка. 2003. №2 ISBN 966-593-254-4
АПОКАСТАТИЧНІ СИСТЕМИ КООРДИНАТ
Аналіз структур і фізичних процесів між їхніми
об’єктами, які в просторово-часовому континуумі
характеризуються певною симетрією, доцільно здійс-
нювати в центральних системах координат кожного з
n тактових станів системи (процесу). Зважаючи на
періодичну повторюваність цих систем координат, у
відповідності з дефініцією Піфагора їх можна номіну-
вати як апокастатичні.
Доцільність використання апокастатичних коор-
динат обумовлена тим, що, маючи опис процесу
(структури) на довільному тактовому стані триваліс-
тю t W0(ζ ) ( 0 ≤ ζ ≤ 1/S ), шляхом застосування до
нього оператора зсуву exp( itD ) [2] дістанемо аналі-
тичний опис процесу на всьому періоді Т, оскільки
( ) ( ) ( ) ( )αWitζWζWitDexp 0 =+=× , де D – оператор
диференціювання за відповідною фізичною координа-
тою α (час, віддаль, кут тощо).
За своєю сутністю ця система координат є дво-
відліковою, з шкалами грубого та точного відліків
(аналогічно циферблату двострілкового годинника).
За шкалою грубого відліку задається порядковий но-
мер n тактового стану (аналог – години), а за шкалою
точного відліку (аналог – хвилини) – координата про-
цесу ζ у межах даного тактового інтервалу, тобто
( )tαintegern = ; ( )tfractiont αζ ⋅= , (1)
при умові, що початки систем координат точного від-
ліку прив’язані до початків n-тих тактових станів.
Але, оскільки більшість процесів є симетричними
відносно початку та кінця тактового стану (як і в роз-
глянутому прикладі), початок координати точного
відліку доцільно прив’язати до середини такту, тоді
( ) 2ttfractiont −⋅= αζ , (2)
що при записі в безрозмірній формі в частках величи-
ни t трансформується до
( ) 5,0−= tfraction αζ . (3)
Зворотний зв’язок між апокастатичними та фізи-
чними координатами запишемо як
( )5,0++= ζα nt або 5,0++=∗ ζα n . (4)
Викладене проілюстровано графічно на рис. 2.
Без особливого на те наголосу апокастатичні
координати були застосовані в [1] при визначенні ХФ,
створюваної синусними обмотками ЕМП.
ОПИС ОБМІННИХ ПРОЦЕСІВ МІЖ ОБ’ЄКТАМИ
ДВОХ СТРУКТУР ОДНАКОВОГО ТИПУ СИМЕТРІЇ
Як зазначалося, магнітопроводи структур збуд-
ження f та сигнальної s прецизійних ЕМП здебіль-
шого виконують із різними числами зубців zf та zs від-
повідно. Необхідність облаштування кожної струк-
тури двома квадратурними синусними обмотками
барабанного типу накладає на числа zf та zs обме-
ження: вони щонайменше повинні бути кратними чи-
слу 4. З метою узагальнення розглянемо випадок, ко-
ли (zf ⎜zs ) =κ, де κ =4k і k>0 − довільне ціле число. Як
уже встановлено, в цьому разі показник взаємної си-
метрії структур S = zf ⋅ zs /κ = κ⋅ z1 ⋅ z2 , а інтервал так-
тового стану t=2π κ / zf zs . Створювана заживленою
обмоткою структури f ХФ ψf (α ) не залежить від
структурних параметрів системи s, а тому її значення
на ν-тій зубцевій ділянці першої у її апокастатичних
координатах описується за (13) у [1], яку в нових по-
значеннях перепишемо як
( ) )12(sin2cos +−⋅⋅−= νβ
ν βζβψ fj
ffffff ezjC , (5)
де
fmf
fmf
f Ik
p
Rwz
C
δπ
μ 20
2
= ;
2
sin ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
ff
f z
p
z
pk ππ , (6)
а всі інші позначення − ті ж, що й у [1].
Просторовий розподіл провідників однієї з фаз
синусної 2р-полюсної сигнальної обмотки визнача-
ється за аналогом (2) у [1], тобто як
( ) ( )( )12cos +== sssmsis iwww βα , (7)
де βs = π p / zs = π p / κz2; 1,0 −= ss zi .
Зв’язок між координатами елементів іf та іs, що
належать до однієї фазної зони при кутовому зміщен-
ні θ між ними в межах даного тактового інтервалу у
найбільш важливому для практики випадку ⎜z1 – z2
⎜=1 ілюструє рис. 3 (z1 =4; z2 =3), із якого випливає,
що довільний елемент is структури s розташований у
зоні ν =κ⋅k+if із координатою ζ is (у частках 1/zf )
ssis zi /5,0 κθζ +−= . (8)
0 1 2 3 4
0 1 2 3
2π/ zf 2π/ zf 2π/ zf 2π/ zf
ζ s 1ζ s 0 ζ s 2
θ
інтервал фазної зони 2π/ κ
α
іf=
іs=
Рис.3. Координати елементів is у апокастатичних координа-
тах структури f
Прив’язавши початки систем координат до централь-
ної точки 0-інтервалу (x0=-0,5+κ / 2z2 ), амплітуду ХФ ψf ( is
) у точках розташування об’єктів is та функцію розпо-
ділу провідників фази обмотки ws структури s запи-
шемо в термінах двошкального відліку k = integer( i f /
α*
n
ζ
α
фіз.од.
ζn
в.о.
2
1
0,5
0
-0,5
t t t t
Рис.2. Зв’язок між фізичними (α, α*) та центральними
апокастатичними (n, ζ) системами координат
ISBN 966-593-254-3 Електротехніка і Електромеханіка. 2003. №2 31
z1 )=integer( is / z2 ) – порядковий номер фазної зони
системи <zs ⎜ zf > та i = i2 = fraction( is / z2 ) − порядко-
вий номер елементу k-тої фазної зони структури s, як
( ) ( ) ( )( )kzi
ffff qCik 121, ++−⋅= ζρfΨ ; (9)
( ) ( ) ( )( )kzi
s
kzi
ssm qqwik 22 21215,0, +−−++ +=sw , (10)
де для скорочення запису позначено qf = exp( j βf ), qs
= exp( j βs ) і ρ f (ζ f )=cosβ f - 2ζ f sinβ f.
Амплітуду обмінного електромагнітного імпуль-
су Pfs між структурами f та s у відповідності з (31) у
[1] запишемо як
( )(∑ ∑
−
=
−
=
+⋅=
1
0
1
0
2
2
5,0
κ
ζρ
k
z
i
i
fsffsmffs qlwCP
( )( )
⎟
⎠
⎞+ +⋅++− κπ /2/1/1/12 kizzzpj fsse , (11)
де qfs = qs / qf = exp ( jπ p(1/zs – 1/zf )).
Оскільки завжди ( ) 0
1
0
/2/12 ≡∑
−
=
+−
κ
κπ
k
kzpj se , то
(11) трансформується у
( )∑ ∑
−
=
−
=
−=
1
0
1
0
2
2
5,0
κ
k
z
i
i
fssmffs qlwCP fff βsinj2ζβcos . (12)
Під знаком другої суми в (12) розташовані члени
арифметично-геометричної прогресії типу
( ) ( ) ( )
( )2
1
0 11
11
q
qq
r
q
qrnqa
qra
nnnn
i
i
i
−
−
+
−
−−−
=+∑
−
=
. (13)
Підставивши в (13) a = cos β f - j (1/z2 –1+ζ )sinβ f,
r = -j 2κ sinβ f / zf zs, q = q2
f s, n = z2 і записавши коор-
динату ζ у частках інтервалу тактового стану
t =κ / zf zs , після тригонометричних перетворень
отримаємо
( )fsfsfs βsinj2ζβcos −= fsfs CP , (14)
де fs
smsfmf
fmfs k
p
wz
p
wz
I
lR
C ⋅⋅⋅⋅=
δπ
μ
4
0 ; (15)
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
sfsf
2
fs
fs
fs zz
κpπ
sin
zz
κpπ
sinβ
β
k . (16)
Для зручності подальшого аналізу запишемо (14)
у частках максимальної величини модуля ⎢Pfs ⎢=Cfs,
яка спостерігається на границях тактових інтервалів ζ
fs= ± 0,5, як
( ) ( )ζϕζρ j
fs eP −= , (17)
де ( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
sf
22
sf
2
zz
κpπ
sin4ζ
zz
κpπ
cosζρ ; (18)
( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
sf zz
p
tgarctg
κπ
ζζϕ 2 . (19)
Вирази (17) ÷ (19) мають таку саму структуру, як
і (31), (15) ÷ (17) у [1] відповідно, й повністю збіга-
ються при заміні
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
≤≤−
=
;5,05,0
;
ζ
κπ
β
sf
fs zz
p
⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤≤−
=
.5,05,0
;
x
z
pπ
β
(20)
Вирази (15) та (17) описують величину Pfs лише
впродовж 0-такту системи, але, врахувавши, що при
переході до наступного такту взаємне розташування
об’єктів if та is не змінюється (якщо здійснити їхню
перенумерацію), то відразу можемо записати Pfs(n, ζ )
на довільному такті системи n як
( ) ( ) ( )( )sfnj
fs enP βζϕζρζ 2, +−= . (21)
Фазна електрорушійна сила взаємоіндукції між
структурою f та фазною сигнальною обмоткою запи-
сана в частках величини jω Pfs у відповідності з (23) у
[1] дорівнює
( ) ( ) ( )( )sfnj
fs enE βζϕζρζ 2, +−= . (22)
АНАЛІЗ РЕЗУЛЬТАТІВ
Якісний характер залежностей від координати ζ
упродовж тактового інтервалу нормованого модуля
амплітуди ρ f s та девіації її фази Δϕ f s залишились
такими ж, як і при zf = zs = z (рис. 2 та рис. 4 у [1] ), бо
при заміні величин у відповідності з (20) їхні вирази
збігаються. Але максимальна величина відхилення ρfs
від одиниці тепер складає 1 - cosϕ f s і вона зменши-
лась у
2
2
2
s
2
fsfs
z
1
z
κ
β
β
βcos1
βcos1
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≈
−
−
разів.
Що ж до девіації фази Δϕ f s, то її максимальна
величина ( ) 39/2 3
max sffs zzpκπϕ =Δ зменши-
лась у ( ) ( ) 3
2
33
fs zββ 1== szκ разів.
На рис. 3 і рис. 4 приведено порівняння вказаних
величин при zf = zs =16; р=4 (ρ (ζ ) та Δϕ(ζ ) ); та при
zf =16; zs =12; р=4 ( ρ f s (ζ ) та Δϕ f s (ζ ) ) .
ζ f
-0,5 -0,25 0 0,25 0,5
0,6
0,8
1,0
ρ (ζ ); ρ f s(ζ )
2
1
Рис. 4. Функціональні залежності ρ(ζ ) - 1 та ρ f s (ζ ) - 2
У відповідності з (15) та (22) індуктивний опір
взаємоіндукції між фазами структур f та s Xfs слід за-
писати як
32 Електротехніка і Електромеханіка. 2003. №2 ISBN 966-593-254-4
( )ζρ
δ
μ fsfssmsfmffs kwzwz
p
RlfX ⋅⋅⋅=
20
2
. (23)
- 1
- 0 ,5
0
0 ,5
1
0 ,5-0 ,5 0 ,2 5- 0 ,2 5
ζ f
× Δ ϕ f m Δ ϕ (ζ ) ;Δ ϕ f s (ζ ) 1
2
Рис. 5. Функційні залежності Δϕ(ζ ) - 1 та Δϕ f s (ζ ) – 2
Застосувавши традиційну процедуру зведення
ефективних чисел витків обмоток f та s, приймемо
mssesmffefe wzwwzww 25,025,0 ==== , тоді
Xf=Xm⋅ kf −індуктивний опір фази обмотки збудження;
Xs=Xm⋅ ks −індуктивний опір фази сигнальної обмотки;
Xsf=Xm⋅ ksf − опір взаємоіндукції між фазами f та s, де
Xm − розрахована за першою гармонікою поля макси-
мальна величина опору взаємоіндукції у класичній
теорії електричних машин за (26) у [1].
Сутність коефіцієнтів kf та ks описана в [1] – вони
враховують наявність вищих гармонік у замкненому
вигляді. Тепер покажемо відповідність (16) класичній
теорії ЕМП, згідно з якою структури f та s характери-
зуються наявністю гармонік поля ν f = k1 z f / p+1 та ν s
= k2 zs / p+1 відповідно (-∞ ≤ k1(2) ≤ ∞ ). Обмінний про-
цес між структурами відбувається лише за гармоніка-
ми, номери яких збігаються, тобто νf =νs , що можли-
во лише за умови k1 z f =k2 zs , а внаслідок наявності
НСД κ − за умови k1 z 1 =k2 z2 , що виконується лише
при k1 =k z2 та k2 =k z1 , де -∞ ≤ k ≤ ∞ − ціле число, тоді
νf =νs =νfs = =k zf zs / κp+1. Для синусних обмоток об-
мотковий коефіцієнт kобν =1/ν . Інтенсивність взаємо-
дії між структурами f та s визначається показником
( ) fs
2
fs
fsν
ν
2
sf
ν
ν
2
k
βsin
β
1pκzzk
ν
1
≡⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=+⋅= ∑∑
∞=
−∞=
−
∞=
−∞=
.
Покажемо, що Xf , Xs та Xsf відповідають теоремі
про взаємну індуктивність магнітнозв’язаних конту-
рів, за якою sffs LLKM = при K<1. У частках ве-
личини Xm Ls ≈ ks; Lf ≈ kf, а Mfs ≈ kfs, тоді
( )
( ) ( ) 31
321
222
2
sfsf
sf
sf
fs
zzzzp
zzp
kk
k
K
++
+
≈
⋅
=
π
κπ
, а оскільки
κ =(zf ⎜zs )< zf (s) то κ 2 <<(z2
f + z2
s), тому завжди K<1.
ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ
Викладене свідчить, що при рівних інших умовах
найменшою методичною похибкою перетворення за
показниками ρ та Δϕ характеризується двополюсна
конструкція ЕМП, отже слід приймати р=1. При цьо-
му мінімальна методична похибка буде при κ = =min.
З технологічних умов укладання синусних обмоток
таким числом є κ = 4, отже слід приймати zf = 4 z1, а zs
= 4 z2. Подальше зменшення методичної похибки має
місце за умови ⎜zf – zs ⎜=min ≠ 0, тобто ⎜z1 – z2 ⎜=1, а
відтак z1 = z2 ± 1. При дотриманні цих рекомендацій
максимальна похибка кодування вхідного кута Δm не
перевищуватиме величину
3
21
5
39
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
=Δ
−
zzm
π . (24)
З (24) випливає: щоб забезпечити методичну по-
хибку n-розрядного давача кута на рівні 0,5 ціни мо-
лодшого розряду, більше з чисел z1 і z2 повинно задо-
вольняти умові z(z-1)≥ 2n/ 3 –2, тобто z>0,5(1+2n / 6).
Отже, 17-ти розрядний давач кута, який при zf = zs = z
можна було реалізувати при z =56 [1], при z f ≠ zs уже
реалізується при z =5, тобто при z f =20 і z s =16.
Великогабаритні конструкції високо розрядних
давачів кута характеризуються значними величинами
вхідних активного Rf та індуктивного Xf опорів, що
ускладнює їх адаптивність до електронних джерел
живлення. При заданих габаритних розмірах ці вели-
чини можна зменшити за рахунок максимального чи-
сла провідників фази в пазу wfm. Але тут уже є ліміте-
ром можливість виконання власне синусної обмотки,
який запишемо як wfm ⋅ sin(π p /2 zf ) ≥ 1, тобто wfm ≥ 2
zf /π p, тоді у відповідності з (25) за [1]
4
01,0 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛⋅
≈
p
zlDfX f
f δ
μ .
Наприклад, для спроектованого за цими рекоменда-
ціями давача кута ВТ500-400 (D=0,52м; zf = 80 ) ве-
личина Xf становить 500 Ом у порівнянні з експери-
ментально визначеною – 520 Ом.
ВИСНОВКИ
1. Кількісний показник рівня дисиметрії системи,
складеної з однотипних симетричних структур, ви-
значається як НСД показників симетрії останніх.
2. Внесення незначної дисиметрії між структу-
рами статора та ротора ЕМП (z f ≠ zs ) значно покращує
показники його вихідних параметрів.
3. Квантово-механічний підхід дозволив описати
обмінні процеси між дискретними структурами стато-
ра та ротора ЕМП простими замкненими аналітични-
ми виразами.
4. Запропоновані рекомендації щодо вибору стру-
ктурних параметрів давачів кута полегшують синтез
їхніх нетрадиційних конструктивних виконань.
ЛІТЕРАТУРА
[1] Завгородній В.Д. Квантово-механічна модель давачів
кута індукційного типу. (Частина 1) //Електротехніка і
електромеханіка. − 2002, № 2. − С. 80 –85.
[2] Fermi E. Notes on Quantum Mechanics. Рус. пер. Кванто-
вая механика. − М.: Мир, 1965. − 367 с.
Надійшла 10.01.03
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-143613 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 2074-272X |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:43:22Z |
| publishDate | 2003 |
| publisher | Інститут технічних проблем магнетизму НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Завгородній, В.Д. 2018-11-07T16:57:46Z 2018-11-07T16:57:46Z 2003 Квантово-механічна модель давачів кута індукційного типу (частина 2) / В.Д. Завгородній // Електротехніка і електромеханіка. — 2003. — № 2. — С. 28-32. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. 2074-272X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/143613 621.313.33.530.145 На прикладі прецизійних давачів кута індукційного типу розвинуто квантово-механічний підхід до аналізу обмінних процесів між дискретними структурами статора та ротора електромеханічних перетворювачів енергії / інформації. Визначено кількісний показник рівня диcиметрії систем, що складаються із симетричних структур. Наведено рекомендації щодо вибору структурних параметрів конструкцій великогабаритних давачів кута . На примере прецизионных датчиков угла индукционного типа развит квантово-механический подход применительно к анализу обменных процессов между дискретными структурами статора и ротора электромеханических преобразователей энергии / информации. Установлен количественный показатель дисимметрии систем, состоящих из симметричных структур. Приведены рекомендации по выбору структурных параметров конструкций датчиков угла. On an example of induction type precision angle transducer the quantum mechanical approach to the analysis of energy and information conversion processes between stator and rotor as discrete structures in electromechanical converters is advanced. The quantitative parameter of dissymmetry for systems containing symmetric structures is established. The recommendations upon the choice of design structural parameters of angle transducer are given. uk Інститут технічних проблем магнетизму НАН України Електротехніка і електромеханіка Електричні машини та апарати Квантово-механічна модель давачів кута індукційного типу (частина 2) Quantum mechanical model of induction type angle transducers (Part 2) Article published earlier |
| spellingShingle | Квантово-механічна модель давачів кута індукційного типу (частина 2) Завгородній, В.Д. Електричні машини та апарати |
| title | Квантово-механічна модель давачів кута індукційного типу (частина 2) |
| title_alt | Quantum mechanical model of induction type angle transducers (Part 2) |
| title_full | Квантово-механічна модель давачів кута індукційного типу (частина 2) |
| title_fullStr | Квантово-механічна модель давачів кута індукційного типу (частина 2) |
| title_full_unstemmed | Квантово-механічна модель давачів кута індукційного типу (частина 2) |
| title_short | Квантово-механічна модель давачів кута індукційного типу (частина 2) |
| title_sort | квантово-механічна модель давачів кута індукційного типу (частина 2) |
| topic | Електричні машини та апарати |
| topic_facet | Електричні машини та апарати |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/143613 |
| work_keys_str_mv | AT zavgorodníivd kvantovomehaníčnamodelʹdavačívkutaíndukcíinogotipučastina2 AT zavgorodníivd quantummechanicalmodelofinductiontypeangletransducerspart2 |