Взаємодія одно періодичних податливих дискових еліптичної форми включень при падінні пружної гармонічної хвилі
Розглянуто нормальне падіння плоскої пружної гармонічної поздовжньої хвилі на масив компланарних тонких податливих еліптичних включень одноперіодичного розташування у тривимірній безмежній матриці. Пружні властивості включень описуються лінійними залежностями між напруженнями і стрибками переміщень...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2018
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144521 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Взаємодія одно періодичних податливих дискових еліптичної форми включень при падінні пружної гармонічної хвилі / І.Я. Жбадинський // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 10. — С. 37-43. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-144521 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1445212025-02-23T17:55:50Z Взаємодія одно періодичних податливих дискових еліптичної форми включень при падінні пружної гармонічної хвилі Взаимодействие однопериодических податливых дисковых эллиптической формы включений при падении упругой гармонической волны Interaction of oneperiodic compliant disk ellipticshape inclusions under the action of an incident elastic time-harmonic wave Жбадинський, І.Я. Механіка Розглянуто нормальне падіння плоскої пружної гармонічної поздовжньої хвилі на масив компланарних тонких податливих еліптичних включень одноперіодичного розташування у тривимірній безмежній матриці. Пружні властивості включень описуються лінійними залежностями між напруженнями і стрибками переміщень в областях їх локалізації. Відповідна симетрична задача хвильового розсіяння зводиться до граничного інтегрального рівняння відносно стрибка переміщень на протилежних поверхнях включення в елементарній комірці за допомогою періодичної функції Гріна, яка подана у вигляді інтегралів Фур'є для покращення збіжності її розрахунків. Коректне розв'язання рівняння проводиться методом відображень. Для різних взаємних орієнтацій у системі еліптичних включень встановлено залежності коефіцієнтів інтенсивності напружень відриву в околі включень від хвильового числа. Як окремий випадок, досліджено динамічну взаємодію у одноперіодичному масиві еліптичних тріщин. Рассмотрено нормальное падение плоской упругой гармонической продольной волны на массив компланарных тонких податливых эллиптических включений однопериодического расположения в трехмерной бесконечной матрице. Упругие свойства включений описываются линейными зависимостями между напряжениями и прыжками перемещений в областях их локализации. Соответствующая симметрическая задача волнового рассеяния сводится к граничному интегральному уравнению относительно скачка перемещений на противоположных поверхностях включения в элементарной ячейке с помощью периодической функции Грина, которая представлена в виде интегралов Фурье для улучшения сходимости ее расчетов. Корректное решение уравнения производится методом отображений. Для разных взаимных ориентаций в системе эллиптических включений установлены зависимости коэффициентов интенсивности напряжений отрыва в окрестности включений от волнового числа. Как частичный случай, исследовано динамическое взаимодействие в однопериодическом массиве эллиптических трещин. Normal incidence of the plane elastic time-harmonic longitudinal wave on an array of coplanar thin-walled compliant elliptical inclusions having a one-periodic distribution in the 3D infinite matrix is considered. The elastic properties of inclusions are described by linear dependences between the displacement jumps and stresses in the domains of their localization. The corresponding symmetric wave scattering problem is reduced to a boundary- value integral equation for the displacement jump across the inclusion surfaces in a unit cell by means of periodic Green’s function, which is presented in the form of Fourier integrals to improve the convergence of its calculations. The equation is correctly solved by using the mapping method. The frequency dependences of the mode-I stress intensity factor in vicinities of the inclusion front points for different mutual orientations in the system of elliptic inclusions are revealed. The situation with a one-periodic array of elliptic cracks is considered as a particular case. Результати роботи отримано при підтримці Українського науково-технологічного центру та Національної академії наук України (проект № 6247). 2018 Article Взаємодія одно періодичних податливих дискових еліптичної форми включень при падінні пружної гармонічної хвилі / І.Я. Жбадинський // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 10. — С. 37-43. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2018.10.037 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144521 539.3 uk Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Жбадинський, І.Я. Взаємодія одно періодичних податливих дискових еліптичної форми включень при падінні пружної гармонічної хвилі Доповіді НАН України |
| description |
Розглянуто нормальне падіння плоскої пружної гармонічної поздовжньої хвилі на масив компланарних тонких податливих еліптичних включень одноперіодичного розташування у тривимірній безмежній матриці.
Пружні властивості включень описуються лінійними залежностями між напруженнями і стрибками переміщень в областях їх локалізації. Відповідна симетрична задача хвильового розсіяння зводиться до граничного інтегрального рівняння відносно стрибка переміщень на протилежних поверхнях включення в елементарній комірці за допомогою періодичної функції Гріна, яка подана у вигляді інтегралів Фур'є для покращення збіжності її розрахунків. Коректне розв'язання рівняння проводиться методом відображень. Для
різних взаємних орієнтацій у системі еліптичних включень встановлено залежності коефіцієнтів інтенсивності напружень відриву в околі включень від хвильового числа. Як окремий випадок, досліджено динамічну взаємодію у одноперіодичному масиві еліптичних тріщин. |
| format |
Article |
| author |
Жбадинський, І.Я. |
| author_facet |
Жбадинський, І.Я. |
| author_sort |
Жбадинський, І.Я. |
| title |
Взаємодія одно періодичних податливих дискових еліптичної форми включень при падінні пружної гармонічної хвилі |
| title_short |
Взаємодія одно періодичних податливих дискових еліптичної форми включень при падінні пружної гармонічної хвилі |
| title_full |
Взаємодія одно періодичних податливих дискових еліптичної форми включень при падінні пружної гармонічної хвилі |
| title_fullStr |
Взаємодія одно періодичних податливих дискових еліптичної форми включень при падінні пружної гармонічної хвилі |
| title_full_unstemmed |
Взаємодія одно періодичних податливих дискових еліптичної форми включень при падінні пружної гармонічної хвилі |
| title_sort |
взаємодія одно періодичних податливих дискових еліптичної форми включень при падінні пружної гармонічної хвилі |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2018 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144521 |
| citation_txt |
Взаємодія одно періодичних податливих дискових еліптичної форми включень при падінні пружної гармонічної хвилі / І.Я. Жбадинський // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 10. — С. 37-43. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT žbadinsʹkijíâ vzaêmodíâodnoperíodičnihpodatlivihdiskovihelíptičnoíformivklûčenʹpripadínnípružnoígarmoníčnoíhvilí AT žbadinsʹkijíâ vzaimodejstvieodnoperiodičeskihpodatlivyhdiskovyhélliptičeskojformyvklûčenijpripadeniiuprugojgarmoničeskojvolny AT žbadinsʹkijíâ interactionofoneperiodiccompliantdiskellipticshapeinclusionsundertheactionofanincidentelastictimeharmonicwave |
| first_indexed |
2025-11-24T04:37:15Z |
| last_indexed |
2025-11-24T04:37:15Z |
| _version_ |
1849645109509881856 |
| fulltext |
37ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 10
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
Міцність і довговічність інженерних конструкцій істотно залежить від структури їх мате-
ріалу, який може містити тріщини, заповнені чужорідними речовинами порожнини й інші
дисперсійні частки, породжені процесами виготовлення чи експлуатації деталей та вузлів.
Часто тонкі включення зумисно вбудовуються у матеріал для його зміцнення і перешко-
джання утворенню та поширенню тріщин. Досліджуючи механічні характеристики тіл з та-
кого роду неоднорідностями, слід враховувати їх форму, розміри, кількість та взаємне роз-
ташування. У багатьох випадках зовнішні навантаження елементів конструкцій змінюю-
ться в часі, тому актуальним є вивчення концентрації напружень в околі дефектів типу
тріщин та тонких включень на основі розв’язання динамічних задач теорії пружності.
Особливої уваги заслуговує встановлення концентрації динамічних напружень у тривимір-
ній постановці задач як таких, що найбільш загально відображають просторове розташуван-
ня дефектів та задання зовнішніх чинників. Проблеми динамічного навантаження пружних
© І.Я. Жбадинський, 2018
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2018.10.037
УДК 539.3
І.Я. Жбадинський
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів
E-mail: zhbadynskyi.igor@gmail.com
Взаємодія одноперіодичних податливих
дискових еліптичної форми включень
при падінні пружної гармонічної хвилі
Представлено членом-кореспондентом НАН України Г.С. Кітом
Розглянуто нормальне падіння плоскої пружної гармонічної поздовжньої хвилі на масив компланарних тон-
ких податливих еліптичних включень одноперіодичного розташування у тривимірній безмежній матриці.
Пружні властивості включень описуються лінійними залежностями між напруженнями і стрибками пе-
реміщень в областях їх локалізації. Відповідна симетрична задача хвильового розсіяння зводиться до гра-
ничного інтегрального рівняння відносно стрибка переміщень на протилежних поверхнях включення в еле-
ментарній комірці за допомогою періодичної функції Гріна, яка подана у вигляді інтегралів Фур'є для по-
кращення збіжності її розрахунків. Коректне розв'язання рівняння проводиться методом відображень. Для
різних взаємних орієнтацій у системі еліптичних включень встановлено залежності коефіцієнтів інтен-
сивності напружень відриву в околі включень від хвильового числа. Як окремий випадок, досліджено динаміч-
ну взаємодію у одноперіодичному масиві еліптичних тріщин.
Ключові слова: дискові еліптичні у плані включення, динамічні коефіцієнти інтенсивності напружень, ме-
тод граничних інтегральних рівнянь, періодична функція Гріна, метод відображень.
МЕХАНІКА
38 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 10
І.Я. Жбадинський
тіл з круговими тріщинами та тонкостінними включеннями у тривимірній постановці ви-
світлені у працях [1—3]. Нестаціонарна взаємодія дефектів зі змінною кривиною контуру
обмежена розглядом взаємодії лише двох еліптичних тріщин [4].
У даній роботі методом граничних інтегральних рівнянь (ГІР) досліджена симетрична
задача нормального падіння гармонічної плоскої поздовжньої хвилі на одноперіодичну сис-
тему тонких податливих еліптичних включень, розташованих у пружній матриці.
Постановка задачі. Нехай безмежна пружна матриця з модулем зсуву μ та коефі-
цієнтом Пуассона ν містить у площині 3 0x = одноперіодичний масив тонких податливих
еліптичних включень nS ( n∈ ) з однаковими товщинами h, великими півосями a та ма-
лими півосями b, модулем зсуву 0μ та коефіцієнтом Пуассона 0ν . Геометричні центри
включень розташовані на осі 1Ox з періодичною відстанню d . Включення перебувають в
умовах ідеального механічного контакту з матрицею, тобто забезпечується неперервність
переміщень та напружень при перетині міжфазних поверхонь. В матриці перпендикуляр но
до площини розташування неоднорідностей поширюється пружна гармонічна плоска по-
здовжня хвиля з циклічною частотою ω і відомим розподілом нормальних напружень
33( )inσ x , де 1 2 3( , , )x x xx — радіус-вектор точки простору в декартовій системі координат
1 2 3Ox x x . Тут і далі розглядаються лише амплітудні значення величин хвильового процесу,
оскільки часовий множник exp( )i t− ω , де t — час, 1i = − , вилучається з розв’язку. Адек ват-
ність моделі забезпечується малістю товщини включень відносно їх великої півосі, коли
1 12 ( 1)h a= δ δ << , а також умовою податливості матеріалу включень відносно матричного
матеріалу, коли 0 2 2( 1)μ = δ μ δ << , де величини 1δ і 2δ мають однаковий порядок. За таких
припущень [2] маємо
0 0
33 3
0
2(1 )
( ) ( )
(1 2 )n nu
h
− ν μ
σ = Δ
− ν
x x , nS∈x , n∈ . (1)
ГІР задачі та періодична функція Гріна. З урахуванням умов періодичності Блоха [1]
та граничних умов на поверхнях включень (1), у вказаній постановці задача зводиться до
ГІР з інтегруванням по області розташування лише одного дефекту 0S S= відносно стрибка
нормальних переміщень uΔ у цій області
0 0
332
0 2
2(1 )
( ) ( )[ ( ) ( , )] ( )
(1 2 )
in
S
u u R G dS
h
− ν μ μΔ − Δ − + = σ
− ν πω ∫∫ yx y x y x xy , S∈x . (2)
В ГІР (2) гіперсингулярне ядро ( )R −x y з особливістю потенціалу Гельмгольца визна-
чається формулою
2 2 3 3 2 2 2
2 2 2 2 1 2 1( ) {(9 9 4 )exp( ) [9 9 ( 5 )R r i r r i r i r i r r= − ω − ω + ω ω − − ω + ω − ω +
2 2 3 2 2 2 4 5
1 1 2 1 2 1
1
(2 ) (2 ) ]exp( )}
4
i r r i r r −+ ω ω −ω + ω −ω ω , (3)
де −x y — відстань між точкою джерела x(x1, x2) і точкою інтегрування y(y1, y2); /j jcω = ω
( 1, 2j = ) — хвильові числа; 1 2,c c — швидкості поширення у матриці поздовжніх та попере-
чних хвиль відповідно; ядро ( , )G x y описує взаємодію актуального включення S з нескін-
ченним числом включень у всіх елементарних комірках і відіграє роль періодичної функції
39ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 10
Взаємодія одноперіодичних податливих дискових еліптичної форми включень при падінні пружної...
Гріна для розглянутої задачі. Ядро G має форму нескінченної періодичної суми, яку про-
понується розділити на дві підмножини залежно від впливу включень з різних зон їх роз-
ташування, а саме:
1 2( , ) ( , ) ( , )G G G= +x y x y x y . (4)
Тут
1
1 0
1
( , ) (1 ) [ ( , )]
b
n n
n b
G R r
−
=− +
= − δ ∑x y x y ,
2 2
2
1 1
exp[ ( , )] exp[ ( , )]
( , )
( , ) ( , )
b
j n j n
j j
n nn b j n j
i r i r
G
r r
∞ −
= = =−∞ =
ω ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∑∑ ∑ ∑x xx y x y
x y T T
x y x y
,
(5)
де 2 2
1 1 2 2( , ) ( ) ( )nr x y nd x y= − − + −x y ; 2b� — ціле число; j
xT ( 1, 2)j = — відомі дифе-
ренціальні оператори [3].
З геометричної точки зору функція 1G як частина функції Гріна G відповідає за на-
явність навколо відлікового включення “близьких” включень, розташованих в областях nS
( ( , 1] [1, )n b b∈ − − ∪ ), функція 2G , яка є частиною функції Гріна G , відповідає впливу “дале-
ких” включень, що розташовані в областях nS ( ( , ] [ , )n b b∈ −∞ − ∪ ∞ ). Мета такого поділу по-
лягає в тому, що нескінченні суми (4) сходяться дуже повільно. Таким чином, їх необхідно
перетворити для забезпечення експоненційної збіжності, що може бути досягнуто за до-
помогою суперпозиції (4) і спеціальних інтегральних подань виразу exp( )/j n ni r rω . Крім
того, відокремлення з функції Гріна G функції 1G , як обмеженої суми для сусідніх вклю-
чень спрямоване на прискорення бажаної збіжності. Оскільки 0nr ≠ , функція 1G не містить
особливостей і може обчислюватись стандартними процедурами.
Для запису функції 2G у більш зручній формі використаємо таке інтегральне подання [3]:
2 2
1 1
0 2 22 2
0
expexp[ ( , )]
[ ]
( , )
jj n
n j
x y nd ti r
t J x y t dt
r t
∞ ⎡ ⎤− | − − | −ωω ⎢ ⎥⎣ ⎦= | − |
−ω
∫
x y
x y
. (6)
Тут 0J — функція Бесселя, для забезпечення умов випромінювання присутній радикал ви-
значається наступним чином:
⎧ −ω ω⎪−ω = ⎨
⎪− ω − < ω⎩
2 2
2 2
2 2
, якщо ;
, якщо .
j j
j
j j
t t
t
i t t
�
Тоді після підстановки співвідношення (6) в рівняння (5), підсумування геометричної про-
гресії зі знаменником 2 2exp ( )jt d
⎛ ⎞− ω⎜ ⎟⎝ ⎠ та врахування дії диференціальних операторів
j
xT функція 2G приймає експоненційно збіжну форму:
2
1 1
2 2 25
1 0
exp( ( ))1
( , ) , ( , )
( )[1 exp( ( ))]
j
j j
j jj
U t x y
G t Y t x y t dt
U t U t dd
∞
=
− −⎛ ⎞= Ω −⎜ ⎟⎝ ⎠− −∑ ∫x y ,
40 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 10
І.Я. Жбадинський
де ( , ) exp[ ( 1 ) ( )] exp[ ( 1 ) ( )]j j jY r t b r U t b r U t= − − − + − − + , функції jΩ наведені в праці [3].
Приймаючи досить великим значення b , покращуємо збіжність інтегралів у функції G .
Ефективне числове розв’язування ГІР (2) повинно забезпечуватись відповідними ре-
гуляризаційними процедурами щодо інтегральних доданків цього рівняння, обумовлених
гіперсингулярністю 3−−x y в ядрі R у точці джерела =y x , а також сингулярностями в
інтегральних поданнях ядра 2G в точках jt d= ω , що є коренями функцій ( )jU t . Методика
усунення сингулярностей ядра функції 2G детально описана у роботі [3]. Слід відзначити,
що у окремому випадку 0 0μ = ГІР (2) відповідає задачі динамічної взаємодії системи еліп-
тичних тріщин.
Метод відображень та регуляризація ГІР задачі. Збіг характеристичних частин ГІР
розглянутої задачі і задачі динамічного навантаження безмежного однорідного тіла з трі-
щиною дозволяє використати для побудови регулярного аналога рівняння (2) методику
роботи [4]. Вона передбачає відображення області тріщини на кругову область S одинич-
ного радіуса. З цією метою проводимо заміну змінних:
1 1
2 2
,
,
x a
x b
= ξ⎧
⎨ = ξ⎩
1 1
2 2
,
,
у a
у b
= η⎧
⎨ = η⎩
(7)
де 1 2( , )ξ ξξ 1 2( , )η ηη — нові змінні в області S .
Після заміни (7) ГІР (2) набуде вигляду
in0 0
332
0 2
2(1 )
( ) ( ) ( , ) ( )
(1 2 ) ( , )
S
u u R G dS
h
⎡ ⎤⎛ ⎞−− ν μ μΔ − Δ + = σ⎢ ⎥⎜ ⎟− ν β⎝ ⎠πω ⎢ ⎥⎣ ⎦
∫∫
η
η η
ξ
ξ η ξ η ξ
ξ
, S∈ξ , (8)
У рівнянні (8) введені такі позначення для складних функцій:
1 1
2 2
( ) ( ) ;x a
x b
u ab u = ξ
= ξ
Δ = Δ xξ
1 1
2 2
in in
33 33( ) ( ) ;x a
x b
= ξ
= ξ
σ = σ xξ
1 1 1 1
2 2 2 2
,
,
( , ) ( , ) x a y a
x b y b
G G = ξ = η
= ξ = η
= xξ η y .
Функція ( , )β ξ η характеризує відношення відстаней між точками ξ і η та їх прообра зами, тоб-
то
1 2
2
2 2 2
2
( )1
( , ) 1 ,q
a
−⎡ ⎤η − ξ⎢ ⎥β −
⎢ ⎥−⎣ ⎦
=ξ η
ξ η
1 22
2
1 .
b
q
a
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
У гіперсингулярному ГІР (8) можна виділити особливі інтеграли, перетворивши його
тотожно [5]:
2 23
0 0 2
3
0
8 (1 )(1 ) ( ) (7 12 8 )[ ( , ] ( )
( )
(1 2 ) 8(1 )
S S
u u
u dS dS
h
π − ν − ν μ Δ − ν+ ν ωβ Δ− Δ − −
− ν μ − ν −−
∫∫ ∫∫η η
)ξ ξ η ηη
ξ ηξ η
2 23
2
2 3
2
(7 12 8 ) ( , )4(1 ) [ ( , )]
( )
( , ) 8(1 )
S
u R dS
⎛ ⎞−⎡ ⎤− ν+ ν ω β− ν β− Δ − − −⎢ ⎥⎜ ⎟β − ν −⎝ ⎠ω⎣ ⎦−
∫∫ η
ξ η ξ ηξ ηη
ξ η ξ ηξ η
4(1 ) 4 (1 )
( ) ( , ) ( ),u G dS S
− ν π − ν− Δ = σ ∈
ω μηξη η ξ ξ . (9)
41ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 10
Взаємодія одноперіодичних податливих дискових еліптичної форми включень при падінні пружної...
Тут перші два інтеграли мають особливість ньютонів-
ського (статичного) потенціалу. Їх регуляризація [5] грун-
тується на поданні
2 2
1 2( ) 1 ( ),uΔ = − η − η αη η (10)
де ( )α η — невідома функція. Подання (10) узгоджується із
фізичним змістом функції ( )uΔ x як стрибка нормальних пе-
реміщень на включенні, що дорівнює нулю на контурі не-
однорідності.
Для дискретизації рівняння (9) область S розбивається
на граничні елементи, в межах яких припускається постій-
ність шуканої функції, далі рівняння задовольняється у колокаційних точках посередині
введених елементів. Так отримаємо систему Q (Q — кількість граничних елементів) ліній-
них алгебраїчних рівнянь з комплексними коефіцієнтами відносно значень функції α у
прообразах вузлових точок на крузі.
Аналіз одержаних результатів. Як приклад розглянуто усталену у часі взаємодію од-
ноперіодичних тріщин ( 0 0μ = , рис. 1; 2) та включень ( 0,001h a= , 0/ 0,003μ μ = , рис. 3; 4)
малі b (рис. 1; 3), великі a (рис. 2; 4), півосі яких лежать на осі періодичності 1Ox (орієн-
тація тріщин і включень, відстань d між їх геометричними центрами та відлік кута ϕ на-
ведено на рисунках). Графіки стосуються тріщин і включень, що мають однаковий ексцен-
триситет 0,5b a= і знаходяться у полі плоскої поздовжньої гармонічної хвилі з постій-
ною амплітудою напружень in
33 0( ) Nσ =x . Для нормування амплітуд КІН /
I
st
I IK K K= в
околі тріщини (включення) S використовувалось значення максимального статичного
КІН 2
02 ( 1 ( ) )
I
stK N b E b a= π − у вершині меншої півосі ізольованої тріщини при од но-
осному розтягу зусиллями 0N . Для порівняння маркованими кривими показана поведінка
динамічних КІН без урахування взаємодії тріщин (включень). Коефіцієнти Пуассона вклю-
чення і матриці припускались однаковими ν0 = ν = 0,3.
В розглянутому частотному діапазоні 20 (2 ) 1dϑ = ω π� � для тріщин (включень) КІН
IK досягають абсолютного максимуму після монотонного зростання від статичних значень,
що відповідають нульовій частоті 0ϑ = . Періодичні еліптичні тріщини (включення), роз-
ташовані вздовж малих півосей, характеризуються швидшою зміною КІН IK у порівнянні
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
Рис. 4
42 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 10
І.Я. Жбадинський
з більш плавним графіком залежності від частоти КІН для однієї еліптичної тріщини [4]
(див. рис. 1 та 3). Числові значення КІН IK поблизу вершин великих і малих півосей трі-
щин і включень більші у випадку їх розташування вздовж малих півосей (див. рис. 1 та 3) і
менші за розташування вздовж великих півосей (див. рис. 2 та 4). При розташуванні вклю-
чень вздовж великих півосей (див. рис. 2 та 4) у певному частотному діапазоні КІН IK по-
близу вершин малих півосей еліпсів є меншими, ніж відповідні аналоги у випадку ізольо-
ваного включення. Практично у всьому розглянутому спектрі частот при ідентичному роз-
ташуванні неоднорідностей КІН IK для тріщин є більшими, ніж відповідні аналоги для
включень.
Результати роботи отримано при підтримці Українського науково-технологічного цен-
тру та Національної академії наук України (проект № 6247).
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Ahmadi S.F., Eskandary M. Vibration analysis of a rigid circular disk embedded in a transversely isotropic
solid. J. Eng. Mech. 2014. № 7. P. 04014048-1–04014048-13. doi: https://doi.org/10.1061/(ASCE)EM.1943-
7889.0000757
2. Mikhas’kiv V.V., Butrak I.O., Laushnik I.P. Interaction between a compliant disk-shaped inclusion and a crack
upon incidence of an elastic wave. J. Appl. Mech. Techn. Phys. 2013. № 3. P. 465–471. doi: https://doi.
org/10.1134/S0021894413030164
3. Mykhas’kiv V.V., Zhbadynskyi I.Ya., Zhang Ch. Dynamic stresses due to time-harmonic elastic wave incidence
on doubly periodic array of penny-shaped cracks. J. Math. Sci. 2014. № 1. P. 114–122. doi: https://doi.
org/10.1007/s10958-014-2094-6
4. Хай М.В., Михаськів В.В., Галего Р., Стасюк Б.М. Симетрична задача про усталену за часом взаємодію
еліптичних тріщин у безмежному тілі. Мат. методи та фіз.-мех. поля. 2000. № 2. С. 112–118.
5. Kit H.S., Khaj M.V., Mykhas’kiv V.V. Analysis of dynamic stress concentration in an infinite body with parallel
penny-shaped cracks by BIEM. Engng. Fract. Mech. 1996. № 2. P. 191–207. doi: https://doi.org/10.1016/0013-
7944(96)00003-3
Надійшло до редакції 05.06.2018
REFERENCES
1. Ahmadi, S. F. & Eskandary M. (2014). Vibration analysis of a rigid circular disk embedded in a transversely
isotropic solid. J. Eng. Mech., No. 7, pp. 04014048-1–04014048-13. doi: https://doi.org/10.1061/(ASCE)
EM.1943-7889.0000757
2. Mikhas’kiv, V. V., Butrak, I. O. & Laushnik, I. P. (2013). Interaction between a compliant disk-shaped inclusion
and a crack upon incidence of an elastic wave J. Appl. Mech. Techn. Phys., No. 3, pp. 465-471. doi: https://doi.
org/10.1134/S0021894413030164
3. Mykhas’kiv, V. V., Zhbadynskyi, I. Ya. & Zhang Ch. (2014) Dynamic stresses due to time-harmonic elastic
wave incidence on doubly periodic array of penny-shaped cracks J. Math. Sci., No. 1, pp. 114-122. doi: https://
doi.org/10.1007/s10958-014-2094-6
4. Khaj, M. V., Mykhas’kiv, V. V., Galego, R. & Stasyuk, B. M. (2000). Symmetric problem on Time-harmonic
interaction of elliptic cracks in an infinite solid Math. methods and phys.-mech. fields., No. 2, pp. 112-118 (in
Ukrainian).
5. Kit, H. S., Khaj, M. V. & Mykhas’kiv V. V. (1996). Analysis of dynamic stress concentration in an infinite body
with parallel penny-shaped cracks by BIEM Engng. Fract. Mech., No. 2, pp. 191-207. doi: https://doi.
org/10.1016/0013-7944(96)00003-3
Received 05.06.2018
43ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 10
Взаємодія одноперіодичних податливих дискових еліптичної форми включень при падінні пружної...
И.Я. Жбадинский
Институт прикладных проблем механики и математики
им. Я.С. Подстригача НАН Украины, Львов
E-mail : zhbadynskyi.igor@gmail.com
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ОДНОПЕРИОДИЧЕСКИХ
ПОДАТЛИВЫХ ДИСКОВЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ФОРМЫ ВКЛЮЧЕНИЙ
ПРИ ПАДЕНИИ УПРУГОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ
Рассмотрено нормальное падение плоской упругой гармонической продольной волны на массив комп-
ланарных тонких податливых эллиптических включений однопериодического расположения в трехмер-
ной бесконечной матрице. Упругие свойства включений описываются линейными зависимостями между
напряжениями и прыжками перемещений в областях их локализации. Соответствующая симметрическая
задача волнового рассеяния сводится к граничному интегральному уравнению относительно скачка пере-
мещений на противоположных поверхностях включения в элементарной ячейке с помощью периодиче-
ской функции Грина, которая представлена в виде интегралов Фурье для улучшения сходимости ее рас-
четов. Корректное решение уравнения производится методом отображений. Для разных взаимных ориен-
таций в системе эллиптических включений установлены зависимости коэффициентов интенсивности
напряжений отрыва в окрестности включений от волнового числа. Как частичный случай, исследовано
динамическое взаимодействие в однопериодическом массиве эллиптических трещин.
Ключевые слова: дисковые эллиптические в плане включения, динамические коэффициенты интенсивно-
сти напряжений, метод граничных интегральных уравнений, периодическая функция Грина, метод ото-
бражений.
I.Ya. Zhbadynskyi
Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics
of the NAS of Ukraine, Lviv
E-mail : zhbadynskyi.igor@gmail.com
INTERACTION OF ONE-PERIODIC COMPLIANT
DISK ELLIPTIC-SHAPE INCLUSIONS UNDER THE ACTION
OF AN INCIDENT ELASTIC TIME-HARMONIC WAVE
Normal incidence of the plane elastic time-harmonic longitudinal wave on an array of coplanar thin-walled com-
pliant elliptical inclusions having a one-periodic distribution in the 3D infinite matrix is considered. The elastic
properties of inclusions are described by linear dependences between the displacement jumps and stresses in
the domains of their localization. The corresponding symmetric wave scattering problem is reduced to a boun-
dary-value integral equation for the displacement jump across the inclusion surfaces in a unit cell by means of
periodic Green’s function, which is presented in the form of Fourier integrals to improve the convergence of its
calculations. The equation is correctly solved by using the mapping method. The frequency dependences of the
mode-I stress intensity factor in vicinities of the inclusion front points for different mutual orientations in the
system of elliptic inclusions are revealed. The situation with a one-periodic array of elliptic cracks is considered
as a particular case.
Keywords: disk elliptic-in-plane inclusions, dynamic stress intensity factors, boundary integral equation method,
periodic Green’s function, mapping method.
|