Резонансні рівняння і класичні ортогональні многочлени
З використанням загальної теореми В.Л. Макарова про зображення частинних розв'язків резонансних рівнянь у банахових просторах (1974) побудовано та обґрунтовано рекурентний алгоритм знаходження частинних розв'язків резонансних рівнянь першого та другого роду із загальним диференціальним опе...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2018
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144546 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Резонансні рівняння і класичні ортогональні многочлени / І.П. Гаврилюк, В.Л. Макаров // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 11. — С. 3-10. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-144546 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1445462025-02-09T14:07:21Z Резонансні рівняння і класичні ортогональні многочлени Резонансные уравнения и классические ортогональные многочлены Resonant equations and classical orthogonal polynomials Гаврилюк, І.П. Макаров, В.Л. Математика З використанням загальної теореми В.Л. Макарова про зображення частинних розв'язків резонансних рівнянь у банахових просторах (1974) побудовано та обґрунтовано рекурентний алгоритм знаходження частинних розв'язків резонансних рівнянь першого та другого роду із загальним диференціальним оператором для класичних ортогональних многочленів. Наведено приклад загального розв’язку резонансних рівнянь із диференціальним оператором для многочленів Лежандра. С использованием общей теоремы В.Л. Макарова о представлении частичных решений резонансных уравнений в банаховых пространствах (1974) построен и обоснован рекуррентный алгоритм нахождения частных решений резонансных уравнений первого и второго рода с общим дифференциальным оператором для классических ортогональных многочленов. Приведен пример общего решения резонансных уравнений с дифференциальным оператором для многочленов Лежандра. Using the general theorem by V.L. Makarov on the representation of particular solutions of the resonant equation in Banach spaces (1974), the authors propose and justify an recurrent algorithm for particular solutions of the resonant equations of the first and second kinds with the general differential operator defining the classical orthogonal polynomials. An example of the general solution of the resonant equations with the differential Legendre operator is given. 2018 Article Резонансні рівняння і класичні ортогональні многочлени / І.П. Гаврилюк, В.Л. Макаров // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 11. — С. 3-10. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2018.11.003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144546 517.587 uk Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Гаврилюк, І.П. Макаров, В.Л. Резонансні рівняння і класичні ортогональні многочлени Доповіді НАН України |
| description |
З використанням загальної теореми В.Л. Макарова про зображення частинних розв'язків резонансних рівнянь у банахових просторах (1974) побудовано та обґрунтовано рекурентний алгоритм знаходження частинних розв'язків резонансних рівнянь першого та другого роду із загальним диференціальним оператором
для класичних ортогональних многочленів. Наведено приклад загального розв’язку резонансних рівнянь із диференціальним оператором для многочленів Лежандра. |
| format |
Article |
| author |
Гаврилюк, І.П. Макаров, В.Л. |
| author_facet |
Гаврилюк, І.П. Макаров, В.Л. |
| author_sort |
Гаврилюк, І.П. |
| title |
Резонансні рівняння і класичні ортогональні многочлени |
| title_short |
Резонансні рівняння і класичні ортогональні многочлени |
| title_full |
Резонансні рівняння і класичні ортогональні многочлени |
| title_fullStr |
Резонансні рівняння і класичні ортогональні многочлени |
| title_full_unstemmed |
Резонансні рівняння і класичні ортогональні многочлени |
| title_sort |
резонансні рівняння і класичні ортогональні многочлени |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2018 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144546 |
| citation_txt |
Резонансні рівняння і класичні ортогональні многочлени / І.П. Гаврилюк, В.Л. Макаров // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 11. — С. 3-10. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT gavrilûkíp rezonansnírívnânnâíklasičníortogonalʹnímnogočleni AT makarovvl rezonansnírívnânnâíklasičníortogonalʹnímnogočleni AT gavrilûkíp rezonansnyeuravneniâiklassičeskieortogonalʹnyemnogočleny AT makarovvl rezonansnyeuravneniâiklassičeskieortogonalʹnyemnogočleny AT gavrilûkíp resonantequationsandclassicalorthogonalpolynomials AT makarovvl resonantequationsandclassicalorthogonalpolynomials |
| first_indexed |
2025-11-26T15:27:16Z |
| last_indexed |
2025-11-26T15:27:16Z |
| _version_ |
1849867205131370496 |
| fulltext |
3ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 11
МАТЕМАТИКА
© І.П. Гаврилюк, В.Л. Макаров, 2018
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2018.11.003
УДК 517.587
І.П. Гаврилюк 1, В.Л. Макаров 2
1 Дуальна вища школа Гера-Айзенах, Німеччина
2 Інститут математики НАН України, Київ
E-mail: iwan.gawriljuk@dhge.de, makarov@imath.kiev.ua
Резонансні рівняння
і класичні ортогональні многочлени
Представлено академіком НАН України В.Л. Макаровим
З використанням загальної теореми В.Л. Макарова про зображення частинних розв’язків резонансних рів-
нянь у банахових просторах (1974) побудовано та обґрунтовано рекурентний алгоритм знаходження час-
тинних розв’язків резонансних рівнянь першого та другого роду із загальним диференціальним оператором
для класичних ортогональних многочленів. Наведено приклад загального розв’язку резонансних рівнянь із ди-
ференціальним оператором для многочленів Лежандра.
Ключові слова: резонансне рівняння, гіпергеометричне рівняння, гіпергеометричні функції, конфлюентні
гіпергеометричні функції, загальний розв’язок, класичні ортогональні многочлени, функції другого роду.
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
МАТЕМАТИКА
В літературі є різні означення математичного резонансу. Наприклад, в [1] гранична задача
називається резонансною, якщо оператор, визначений диференціальним рівнянням та гра-
ничними умовами, не має оберненого. У даній роботі ми будемо дотримуватися такого
оз начення [2—5]: рівняння Lf g= з правою частиною, що задовольняє рівняння 0Lg =
(або, іншими словами, яка належить ядру N(L) оператора L), називається резонанcним.
Наприклад, такі рівняння є частиною дуже ефективного FD-методу розв’язування опе-
раторних рівнянь і задач на власні значення [6]. Ці рівняння виникають у теорії супер-
симетричних операторів Казиміра та ді-спін алгебр [2, 3]. Вони виникають також під час
розв’язування операторних рівнянь вигляду 2 0A u = з деяким оператором A. Використо-
вуючи позначення Au v= , ми зводимо це рівняння до пари рівнянь 0Av = , Au v= , друге з
яких є резонансним.
Їх важливість для практики можна пояснити, зокрема, на такому прикладі. Нехай дея-
ку систему можна математично описати рівнянням Au u f−λ = у певному гільбертовому
просторі H, де оператор A повністю визначений його власними значеннями jλ , 1, 2,j = … , та
відповідними власними векторами uj, 1, 2,j = … , що утворюють базис простору. Тут число λ
4 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 11
І.П. Гаврилюк, В.Л. Макаров
є параметром, який характеризує систему. Якщо права частина (збудження) має вигляд
kf u= α з деякими фіксованими α, k, то розв’язком операторного рівняння є
.k
k
u u
α=
λ −λ
Ми бачимо, що норма u , яку можна трактувати як “амплітуду” розв’язку, необме-
жено зростає в таких випадках:
1) якщо α → � (тобто амплітуда збудження необмежено зростає);
2) системний параметр прямує до деякого власного значення kλ оператора: kλ→λ .
У другому випадку описане явище резонансу, а параметр kλ оператора визначає резо-
нансну частоту системи.
Явище резонансу відіграє дуже важливу роль у природі та в різноманітних технічних
застосуваннях, наприклад у медичній діагностиці (magnetic resonance imaging або nuclear
spin tomography), динаміці твердих тіл і рідин тощо.
У даній роботі ми пропонуємо та обґрунтовуємо загальний алгоритм знаходження час-
тинних розв’язків резонансних рівнянь із диференціальними операторами гіпергеометрич-
ного типу, а також виродженими операторами гіпергеометричного типу, що визначають кла-
сичні ортогональні многочлени як один із двох лінійно незалежних розв’язків відповідного
однорідного диференціального рівняння. Другим лінійно незалежним розв’язком однорід-
ного рівняння є відповідні так звані функції другого роду. За допомогою цих двох лінійно
незалежних розв’язків однорідного рівняння, а також частинного розв’язку неоднорідного
рівняння можна записати загальний розв’язок неоднорідного резонансного рівняння.
Вірним є таке твердження [4, 5]:
Теорема 1. Нехай A — лінійний оператор, що діє з банахового простору X в X і нехай зв’яз-
на множина ( )AΣ , яка лежить у комплексній площині, є спектром A. Якщо ( )Aλ∈Σ , ( )f λ ∈
( )N A E∈ −λ — сильно диференційовна функція, то частинний розв’язок резонансного рівняння
( ) ( )A u f− λ = λ
можна вибрати у вигляді
( )
( ) .
df
u
d
λλ =
λ
(1)
Розглянемо такий диференціальний оператор гіпергеометричного або виродженого гі-
пергеометричного типу:
2
2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ),n n
n n n
d u x du x
A u x x n u x
dxdx
= σ + τ +λ
де 2
2 1 0( ) ,x a x a x aσ = + + 1 0( ) ,x b x bτ = + 1 2( 1)n nb n n aλ = λ = − − − , 2a , 1a , 0a , 1b , 0b , λ =
1 2( ) ( 1)nn nb n n a= λ = λ = − − − — деякі параметри. Цей оператор для різних значень параме-
трів визначає класичні ортогональні многочлени Якобі, Ерміта, Лягерра. Такий многочлен,
який ми для всіх класичних ортогональних многочленів позначатимемо ),(nP x є одним з
лінійно незалежних розв’язків однорідного рівняння
0nA u = (2)
5ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 11
Резонансні рівняння і класичні ортогональні многочлени
або функцією першого роду. Іншим лінійно незалежним розв’язком однорідного рівняння є
відповідна функція другого роду ),(nQ x отже, загальний розв’язок однорідного рівняння
можна записати у вигляді
1 2) ) )( ( (n nu x c P x c Q x= + ,
де 1c , 2c — довільні сталі. З метою скорочення викладу будемо застосовувати позначен-
ня )(nR x , коли мова йтиме про функції першого або другого роду.
Функції першого роду (класичні ортогональні многочлени) та функції другого роду
(які не є многочленами) задовольняють одне й те ж саме диференціальне рівняння (2), а
також одне й те ж саме рекурентне співвідношення
1 1) ( ) ) ), 1, 2, ,( ( (n n n n n nR x x R x R x n+ −= α +β − γ = …
з певними незалежними від x сталими nα , nβ , nγ .
Неоднорідне рівняння
2
2
) )
) ) ) ) ) )
( (
( ( ( ( ( (n n
n n n n
d u x du x
A u x x x n u x x
dx x
P
d
= σ + τ +λ = (3)
є резонансним, будемо його називати резонансним рівнянням першого роду. Неоднорідне
рівняння
2
2
) )
) ) ) ) ) )
((
( ( ( ( ( (n n
n n n n
d u x du x
A u x x x n u x Q x
dxdx
= σ + τ +λ = (4)
будемо називати резонансним рівнянням другого роду.
Загальний розв’язок неоднорідних резонансних рівнянь можна зобразити у вигляді
( )
1 2 ˆ) ) ) ),( ( ( (k
n n nu x c P x c Q x u x= + + 1, 2,k =
де ( )ˆ )(k
nu x — частинний розв’язок неоднорідного рівняння першого або другого роду, а 1c ,
2c — довільні сталі.
Для знаходження частинних розв’язків резонансних рівнянь із диференціальними опе-
раторами класичних ортогональних многочленів ми пропонуємо такий алгоритм.
1. За допомогою формули (1) з теореми 1 знаходимо частинні розв’язки резонансного
рівняння (3) або (4) для 0, 1n = . Позначимо їх
0
0
)1
) ,
(
(
)(
dR x
x
n d
ν
ν=
χ = −
′λ ν
(5)
1
1
)1
)
)
(
(
(
dR x
x
n d
ν
ν=
χ = −
′λ ν
(тут і надалі диференціювання за натуральним параметром n означає: 1) перехід до дійс-
ного параметра ν, тобто використання відповідних зображень ( )R xν через гіпергеометрич-
ні чи вироджені гіпергеометричні функції; 2) диференціювання за дійсним параметром;
3) заміна у виразі для похідної дійсного ν на ціле невід’ємне n).
6 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 11
І.П. Гаврилюк, В.Л. Макаров
2. Будуємо такі початкові частинні розв’язки резонансного рівняння:
0 0 0 0 0 0) ) ) )( ( ( (u x x c P x d Q x= χ + + , 1 1 1 1 1 1 )(( ) ( () )u x x c P x d Q x= χ + + , (6)
де 10 1 0, , ,c c d d — на цьому кроці довільні сталі, які будуть визначені нижче таким чином,
щоб отримана за рекурентним співвідношенням функція 2( )u x задовольняла резонансне
диференціальне рівняння.
3. Шляхом диференціювання рекурентного співвідношення
1 1) ) )( ( ( ) (n n n n n nR x x R x R x+ −= α +β − γ , 1, 2, ,n = … (7)
для класичних ортогональних поліномів чи, відповідно, функцій другого роду за парамет-
ром n приходимо до рекурентного співвідношення для частинних розв’язків резонансного
рівняння першого або другого роду
1 1
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( )
( 1)n n n n n nu x n x u x n u x
n+ −
⎡= − λ α +β + λ − γ +′ ′⎢λ +′ ⎣
1) ) ,( (n n n
n n
d d d
x R x R x
dn dn dn −
α β γ⎛ ⎞ ⎤+ + −⎜ ⎟ ⎥⎝ ⎠ ⎦
1, 2,n = … . (8)
Покладаємо в ньому 1n = , підставляємо початкові частинні розв’язки (5) і враховуємо ви-
могу, щоб одержаний вираз задовольняв резонансне рівняння (3) або, відповідно, (4) для
2n = . Звідки й знаходимо сталі 10 1 0, , ,c c d d .
Вірною є
Теорема 2. Функції 1 ( )nu x+ , побудовані за рекурентним алгоритмом (5)–(8), задоволь-
няють для всіх n резонансне рівняння першого або, відповідно, другого роду.
Доведення будемо проводити за індукцією. Функції ( )pu x , 0, 1, 2p = , задовольняють
резонансне рівняння за побудовою. Припустимо, що всі функції ( )pu x , 0, 1, ,p n= … , також
задовольняють це рівняння, і покажемо, що те ж саме справджується й для функції 1 ( )nu x+ .
Дійсно, застосуємо до обох частин формули (8) оператор
2
1 2
( ) ( ) ( 1).n
d d
A x x n
dxdx
+ = σ + τ +λ +
Тоді будемо мати
1 1
( )1
( ) 2 ( ) ( ) ( )
( 1)n n
dR xd
A u x x x R x
n d dx
ν
+ + ν ν +
⎧ ⎡ ⎤= − σ + τ α⎨ ⎢ ⎥′λ + ν ⎣ ⎦⎩
1
1
1 1
( ) ( )
( ) ( ) ) .(
n n n
d d
d x R x d R x
d d
ν ν−
ν ν ν ν ν−
+ + ν=
⎫λ ξ λ ξ ⎪+ ξ α +β − ξ γ ⎬ξ ξ ⎪⎭
∫ ∫ (9)
Далі будемо використовувати відомі формули диференціювання функцій першого чи
другого роду (див. [7, с. 171, ф-ла (15), с. 189, ф-ла (12), с. 193, ф-ла (14)])
1 2 1
( )
( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( )n
n n
dR x
x q n x q n R x s n R x
dx −σ = + + (10)
7ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 11
Резонансні рівняння і класичні ортогональні многочлени
для отримання виразу похідної відповідної функції через її саму і одну сусідню. Про ди-
ференціюємо цю рівність за n і скористаємось теоремою 1. Тоді одержимо
( )
( ) ( ) ndu x
n x
dx
′−λ σ =
1 2 1( )[ ( ) ( )] ( ) ( 1) ( ) ( )n nn q n x q n u x n s n u x−′ ′= −λ + −λ − +
1 2
1
( ) ( ) ( )
( ) ( ).n n
dq n dq n ds n
x R x R x
dn dn dn −
⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦
(11)
Запишемо формулу (9) у розгорнутому вигляді, застосуємо теорему 1, формулу (11) та
прирівняємо до нуля коефіцієнти при ( )nu x , 1( )nu x− . З одержаної системи лінійних алге-
браїчних рівнянь знаходимо
1 2( ) [ (2 1) ],n
n
s n b n a
γ
= − + −
α
1 1 2
1
( ) [ ( 1) ( )] ,
2
q n b n n na= − +λ + −λ = (12)
0 0
2 1 2( ) [ ( 1) ( )] [ 2 ].
2 2 2 2
n n
n n
b b
q n n n b na
β β
= − − λ + −λ = − + +
α α
Неважко перевірити, що коефіцієнти формул диференціювання для всіх класичних
ортогональних многочленів задовольняють (12).
Отже, у формулі (10) враховується інформація тільки стосовно коефіцієнтів ди фе-
ренціального рівняння та рекурентного співвідношення для функцій першого і другого
роду. Вона є значно зручнішою у застосуванні, ніж формула (3) (див. [8, с. 32]). У подаль-
шому розгорнутий вигляд формули (9) буде містити тільки функції
( )ndR x
dx
, ( )nR x ,
1 ( )nR x− та їх коефіцієнти. Похідну ( )/ndR x dx змінюємо на її вираз згідно з (10), і після
нескладних, але досить громіздких перетворень, одержуємо 1 1 1( ) ( )n n nA u x R x+ + += , що й
потрібно було довести.
Як приклад, розглянемо таке резонансне рівняння Лежандра першого роду:
2 ( )
(1 ) ( 1) ( ) ( ),n
d du x
x n n u x P x
dx dx
⎡ ⎤− + + =⎢ ⎥⎣ ⎦
де ( )nP x — многочлен Лежандра, та рівняння другого роду, в якому замість многочлена Ле-
жандра в правій частині стоїть функція Лежандра другогу роду
1 22 (1 ) ( !) 2
( ) 1, 1; 2 2;
(2 1)! 1
n n
n
x n
Q x F n n n
n x
− −+ ⎛ ⎞= + + + =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
1
2
0 2 1
1
2 2 3
( ) ( ) ( ),
(2 1) ( 1)
n
n n k
k
n k
Q x P x P x
k n k
+⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
− +
=
− += −
− − +∑ (13)
8 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 11
І.П. Гаврилюк, В.Л. Макаров
a F є гіпергеометричною функцією. Загальний розв’язок резонансних рівнянь Лежандра
першого та другого роду зображується у вигляді
( ) ( ) ( )
1 2( ) ( ) ( ) ( ),k k k
k n n nu x c P x c Q x u x= + + 1, 2,k =
де ( )
1
kc , ( )
2
kc — довільні сталі, а ( ) ( )k
nu x є частинним розв’язком відповідного неоднорід-
ного рівняння.
За допомогою нашого алгоритму знаходимо такі частинні розв’язки резонансного рів-
няння Лежандра першого роду:
(1) 21
( ) ( )ln(1 ) ( ),
2(2 1)n n nu x P x x v x
n
= − − +
+
де функції ( )nv x задовольняють рекурентне співвідношення
2
1 1
1 (2 1) (2 1)
( ) ( ) ( )
2 3 1 1n n n
n x n n
v x v x v x
n n n+ −
⎡ + −= − − + +⎢
+ + +⎢⎣
12 2
1
( ) ( ) ,
( 1) ( 1)
n n
x
P x P x
n n
−
⎤
+ − ⎥
+ + ⎥⎦
1, 2, ,n = …
0 ( ) 0v x = , 1 ( )
3
x
v x = − .
Зокрема, отримаємо
(1) 2
0
1
( ) ln(1 ),
2
u x x= − −
(1) 2
1
1
( ) ln(1 ) .
6 3
x
u x x x= − − −
Для частинних розв’язків резонансного рівняння Лежандра другого роду одержимо
0 0 ,( ) ( ) ( )x P x w xχ = −
2
1 1
1 1 2
( ) ( ) ( ) ln( 1) ,
3 6 3
x P x w x xχ = − − − −
22 1 1
( ) polylog 2, ln ( 1) ln( 1)ln( 1)
1 2 2
w x x x x
x
⎛ ⎞= − − + + + − =⎜ ⎟⎝ ⎠+
22 1 1
dilog ln ( 1) ln( 1)ln( 1),
1 2 2
x x x
x
⎛ ⎞= − − + + + −⎜ ⎟⎝ ⎠+
1,x >
де polylog є так званою полілогарифмічною функцією порядку s та аргументу z:
polylog (s, z) = Lis
1
( ) k s
k
z z k
∞
=
= ∑
9ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 11
Резонансні рівняння і класичні ортогональні многочлени
(dilog, що позначається також Li2 (z) — це частинний випадок функції polylog для s = 2).
Згідно з нашим алгоритмом, для частинних розв’язків резонансного рівняння другого ро-
ду в результаті будемо мати рекурентне співвідношення
2
(2) (2)(2)
1 1 2
1 (2 1) (2 1)
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 1 1 ( 1)
n nn n
n x n n x
u x u x u x Q x
n n n n
+ −
⎡ + −= − − + + −⎢
+ + + +⎢⎣
12
1
( ) ,
( 1)
nQ x
n
−
⎤
− ⎥
+ ⎥⎦
1, 2, ,n = …
із відповідно “виправленими” початковими умовами
(2)
0 00
1
( ) ( ) ( ) ( ),
2
u x P x w x Q x= − −
(2) 2
1 11
1 1 1
( ) ( ) ( ) ln( 1) ( ) 1
3 6 2
, ,u x P x w x x Q x x= − − − − >
і, наприклад, такий частинний розв’язок:
(2) 2
2 22
1 3 1 1 3 1
( ) ( ) ( ) ln( 1) ln ( ),
5 20 30 1 5 3
x x x
u x P x w x x Q x
x
+⎛ ⎞= − − − − − −⎜ ⎟−⎝ ⎠
1.x >
Зауважимо, що в наведених вище формулах булo використане зображення функції Ле-
жандра другого роду (13).
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Об одной схеме исследования на разрешимость резонансных краевых
задач. Изв. вузов. Матем. 1996. № 11. C. 14—22.
2. Backhouse N.B. Resonant equations and special functions. J. Comput. Appl. Math. 2001. 133, № 1—2.
P. 163–169.
3. Backhouse N.B. The resonant Legendre equation. J. Math. Anal. Appl. 1986. 117, № 2. P. 310—317.
4. Макаров В.Л. Разностные схемы с точными и явными спектрами: дис. д-ра физ.-мат. наук / Киевский
госуниверситет им. Т.Г. Шевченко. Киев, 1976.
5. Макаров В.Л., Аразмырадов Т. О построении частных решений резонансных дифференциальных урав-
нений. Дифференц. уравнения. 1978. 14, № 7. С. 1255—1261.
6. Макаров В.Л. FD-метод — експоненційна швидкість збіжності. Журн. обчисл. та прикл. матем. 1997.
№ 82. С. 69—74.
7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. Москва: Наука, 1974. 296 с.
8. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. Москва: Наука, 1978.
320 с.
Надійшло до редакції 24.07.2018
REFERENCES
1. Abdullaev, A. P. & Burmistrova, A. B. (1996). On a scheme for investigating the solvability of resonance
boundary-value problems. Izv. VUZ, Mathem., No. 11, pp. 14-22 (in Russian).
2. Backhouse, N. B. (2001). Resonant equations and special functions. J. Comput. Appl. Math., 133, No. 1-2,
pp. 163-169.
3. Backhouse, N. B. (1986). The resonant Legendre equation. J. Math. Anal. Appl., 117, No. 2, pp. 310-317.
10 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 11
І.П. Гаврилюк, В.Л. Макаров
4. Makarov, V. L. (1976). On the difference schemes with exact and explicit spectrum: (Extended abstract of
Doctor thesis). Taras Shevchenko State University, Kiev, Ukraine (in Russian).
5. Makarov, V. & Arazmyradov, T. (1978). The construction of particular solutions of resonance differential
equations. Differents. uravneniya, 14, No. 7, pp. 1255-1261 (in Russian).
6. Makarov, V. L. (1997). FD-method: the exponential rate of convergence. Zhurn. obchysl. ta Prykl. Matem.,
No. 82, pp. 69-74 (in Ukrainian); (2001) J. Math. Sci., 104, No. 6, pp. 1648-1653.
7. Bateman, H. & Erdélyi, A. (1974). Higher trancendental functions. (Vol. 2). Moscow: Nauka (in Russian).
8. Nikiforov, A. F. & Uvarov, V. B. (1978). Special functions of the mathematical physics. Moscow: Nauka (in
Russian).
Received 24.07.2018
И.П. Гаврилюк 1, В.Л. Макаров 2
1 Дуальная высшая школа Гера-Айзенах, Германия
2 Институт математики НАН Украины, Киев
E-mail: iwan.gawriljuk@dhge.de, makarov@imath.kiev.ua
РЕЗОНАНСНЫЕ УРАВНЕНИЯ И КЛАССИЧЕСКИЕ
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
С использованием общей теоремы В.Л. Макарова о представлении частичных решений резонансных урав-
нений в банаховых пространствах (1974) построен и обоснован рекуррентный алгоритм нахождения част-
ных решений резонансных уравнений первого и второго рода с общим дифференциальным оператором
для классических ортогональных многочленов. Приведен пример общего решения резонансных уравне-
ний с дифференциальным оператором для многочленов Лежандра.
Ключевые слова: резонансное уравнение, гипергеометрическое уравнение, гипергеометрические функции,
конфлюэнтные гипергеометрические функции, общее решение, классические ортогональные многочлены,
функции второго рода.
I.P. Gawriljuk 1, V.L. Makarov 2
1 Duale Hochschule Gera-Eisenach, Germany
2 Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kiev
E-mail: iwan.gawriljuk@dhge.de, makarov@imath.kiev.ua
RESONANT EQUATIONS AND CLASSICAL
ORTHOGONAL POLYNOMIALS
Using the general theorem by V.L. Makarov on the representation of particular solutions of the resonant equa-
tion in Banach spaces (1974), the authors propose and justify an recurrent algorithm for particular solutions of
the resonant equations of the first and second kinds with the general differential operator defining the classical
orthogonal polynomials. An example of the general solution of the resonant equations with the differential
Legendre operator is given.
Keywords: resonant equation, hypergeometric equation, hypergeometric functions, confluent hypergeometric func-
tions, general solution, classical orthogonal polynomials, functions of the second kind.
|