Наибольшая точная нижняя граница вероятности отказа системы в специальном интервале времени при неполной информации о функции распределения времени до отказа системы

Наибольшая точная нижняя граница вероятности отказа системы в специальном интервале времени при неполной информации о функции распределения времени до отказа системы

Решается задача нахождения точных нижних границ вероятности F(v)−F(u), 0<u<v<∞, где u=m−σμ3√3, v=m+σμ3√3, σμ — заданная дисперсия в множестве функций распределения F(x) неотрицательных случайных величин с унимодальной дифференцируемой плотностью с модой, равной m, и двумя первыми фиксирован...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Кибернетика и системный анализ
Datum:2017
1. Verfasser: Стойкова, Л.С.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2017
Schlagworte:
Системний аналіз
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144712
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Наибольшая точная нижняя граница вероятности отказа системы в специальном интервале времени при неполной информации о функции распределения времени до отказа системы / Л.С. Стойкова // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 2. — С. 65–73. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-144712
record_format dspace
spelling Стойкова, Л.С.
2019-01-02T15:58:36Z
2019-01-02T15:58:36Z
2017
Наибольшая точная нижняя граница вероятности отказа системы в специальном интервале времени при неполной информации о функции распределения времени до отказа системы / Л.С. Стойкова // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 2. — С. 65–73. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
0023-1274
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144712
519.2
Решается задача нахождения точных нижних границ вероятности F(v)−F(u), 0<u<v<∞, где u=m−σμ3√3, v=m+σμ3√3, σμ — заданная дисперсия в множестве функций распределения F(x) неотрицательных случайных величин с унимодальной дифференцируемой плотностью с модой, равной m, и двумя первыми фиксированными моментами μ₁, μ₂. Рассматривается случай, когда мода совпадает с первым моментом: m=μ₁. Найдена наибольшая вероятность из всех точных нижних границ вероятностей для решаемой задачи, и она является близкой к единице, т.е. равной 0,98430.
Розв'язується задача знаходження точних нижніх границь імовірності F(v)−F(u), 0<u<v<∞, де u=m−σμ 3√3, v=m+σμ 3√3, σμ — фіксована дисперсія в множині функцій розподілу F(x) невід'ємних випадкових величин з унімодальною диференційованою щільністю з модою, рівною m, і двома першими фіксованими моментами μ₁, μ₂. Розглянуто випадок, коли мода збігається з першим моментом: m=μ₁. Знайдено найбільшу ймовірність із всіх точних нижніх границь ймовірностей для даної задачі, і вона є близькою до 1, а саме рівна 0,98430.
The author solves the problem of finding exact lower bounds for the probability F(v)−F(u), 0<u<v<∞, where u=m−σμ3√3, v=m+σμ3√3, and σμ is a fixed dispersion in the set of distribution functions F(x) of non-negative random variables with unimodal differentiable density with mode m and two first fixed moments μ₁, μ₂. The case is considered where the mode coincides with the first moment: m=μ₁. The greatest lower bound of all possible exact lower bounds for this problem is obtained and it is nearly one, namely, is equal to 0.98430.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Кибернетика и системный анализ
Системний аналіз
Наибольшая точная нижняя граница вероятности отказа системы в специальном интервале времени при неполной информации о функции распределения времени до отказа системы
Найбільша точна нижня границя ймовірності відмови системи в спеціальному інтервалі часу при неповній інформації щодо функції розподілу часу до відмови системи
Greatest lower bound of system failure probability in a special time interval under incomplete information about the distribution function of the time to failure of system
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Наибольшая точная нижняя граница вероятности отказа системы в специальном интервале времени при неполной информации о функции распределения времени до отказа системы
spellingShingle Наибольшая точная нижняя граница вероятности отказа системы в специальном интервале времени при неполной информации о функции распределения времени до отказа системы
Стойкова, Л.С.
Системний аналіз
title_short Наибольшая точная нижняя граница вероятности отказа системы в специальном интервале времени при неполной информации о функции распределения времени до отказа системы
title_full Наибольшая точная нижняя граница вероятности отказа системы в специальном интервале времени при неполной информации о функции распределения времени до отказа системы
title_fullStr Наибольшая точная нижняя граница вероятности отказа системы в специальном интервале времени при неполной информации о функции распределения времени до отказа системы
title_full_unstemmed Наибольшая точная нижняя граница вероятности отказа системы в специальном интервале времени при неполной информации о функции распределения времени до отказа системы
title_sort наибольшая точная нижняя граница вероятности отказа системы в специальном интервале времени при неполной информации о функции распределения времени до отказа системы
author Стойкова, Л.С.
author_facet Стойкова, Л.С.
topic Системний аналіз
topic_facet Системний аналіз
publishDate 2017
language Russian
container_title Кибернетика и системный анализ
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
title_alt Найбільша точна нижня границя ймовірності відмови системи в спеціальному інтервалі часу при неповній інформації щодо функції розподілу часу до відмови системи
Greatest lower bound of system failure probability in a special time interval under incomplete information about the distribution function of the time to failure of system
description Решается задача нахождения точных нижних границ вероятности F(v)−F(u), 0<u<v<∞, где u=m−σμ3√3, v=m+σμ3√3, σμ — заданная дисперсия в множестве функций распределения F(x) неотрицательных случайных величин с унимодальной дифференцируемой плотностью с модой, равной m, и двумя первыми фиксированными моментами μ₁, μ₂. Рассматривается случай, когда мода совпадает с первым моментом: m=μ₁. Найдена наибольшая вероятность из всех точных нижних границ вероятностей для решаемой задачи, и она является близкой к единице, т.е. равной 0,98430. Розв'язується задача знаходження точних нижніх границь імовірності F(v)−F(u), 0<u<v<∞, де u=m−σμ 3√3, v=m+σμ 3√3, σμ — фіксована дисперсія в множині функцій розподілу F(x) невід'ємних випадкових величин з унімодальною диференційованою щільністю з модою, рівною m, і двома першими фіксованими моментами μ₁, μ₂. Розглянуто випадок, коли мода збігається з першим моментом: m=μ₁. Знайдено найбільшу ймовірність із всіх точних нижніх границь ймовірностей для даної задачі, і вона є близькою до 1, а саме рівна 0,98430. The author solves the problem of finding exact lower bounds for the probability F(v)−F(u), 0<u<v<∞, where u=m−σμ3√3, v=m+σμ3√3, and σμ is a fixed dispersion in the set of distribution functions F(x) of non-negative random variables with unimodal differentiable density with mode m and two first fixed moments μ₁, μ₂. The case is considered where the mode coincides with the first moment: m=μ₁. The greatest lower bound of all possible exact lower bounds for this problem is obtained and it is nearly one, namely, is equal to 0.98430.
issn 0023-1274
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144712
citation_txt Наибольшая точная нижняя граница вероятности отказа системы в специальном интервале времени при неполной информации о функции распределения времени до отказа системы / Л.С. Стойкова // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 2. — С. 65–73. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT stoikovals naibolʹšaâtočnaânižnââgranicaveroâtnostiotkazasistemyvspecialʹnomintervalevremeniprinepolnoiinformaciiofunkciiraspredeleniâvremenidootkazasistemy
AT stoikovals naibílʹšatočnanižnâgranicâimovírnostívídmovisistemivspecíalʹnomuíntervalíčasuprinepovníiínformacííŝodofunkcíírozpodílučasudovídmovisistemi
AT stoikovals greatestlowerboundofsystemfailureprobabilityinaspecialtimeintervalunderincompleteinformationaboutthedistributionfunctionofthetimetofailureofsystem
first_indexed 2025-11-26T15:27:24Z
last_indexed 2025-11-26T15:27:24Z
_version_ 1850626465816641536
fulltext ÓÄÊ 519.2 Ë.Ñ. ÑÒÎÉÊÎÂÀ ÍÀÈÁÎËÜØÀß ÒÎ×ÍÀß ÍÈÆÍßß ÃÐÀÍÈÖÀ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÈ ÎÒÊÀÇÀ ÑÈÑÒÅÌÛ Â ÑÏÅÖÈÀËÜÍÎÌ ÈÍÒÅÐÂÀËÅ ÂÐÅÌÅÍÈ ÏÐÈ ÍÅÏÎËÍÎÉ ÈÍÔÎÐÌÀÖÈÈ Î ÔÓÍÊÖÈÈ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß ÂÐÅÌÅÍÈ ÄÎ ÎÒÊÀÇÀ ÑÈÑÒÅÌÛ Àííîòàöèÿ. Ðåøàåòñÿ çàäà÷à íàõîæäåíèÿ òî÷íûõ íèæíèõ ãðàíèö âåðîÿòíîñòè F F u( ) ( )� � , 0 � � � �u � , ãäå u m m� � � �� � � �� � �3 3 3 3, , — çà- äàííàÿ äèñïåðñèÿ â ìíîæåñòâå ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ F x( ) íåîòðèöàòåëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ óíèìîäàëüíîé äèôôåðåíöèðóåìîé ïëîòíîñòüþ ñ ìîäîé, ðàâíîé m , è äâóìÿ ïåðâûìè ôèêñèðîâàííûìè ìîìåíòàìè � �1 2, . Ðàññìàòðè- âàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà ìîäà ñîâïàäàåò ñ ïåðâûì ìîìåíòîì: m � �1. Íàéäåíà íàèáîëüøàÿ âåðîÿòíîñòü èç âñåõ òî÷íûõ íèæíèõ ãðàíèö âåðîÿòíîñòåé äëÿ ðå- øàåìîé çàäà÷è, è îíà ÿâëÿåòñÿ áëèçêîé ê åäèíèöå, ò.å. ðàâíîé 0,98430. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ýêñòðåìóì ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà, êëàññ óíèìîäàëüíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðâûìè ôèêñèðîâàííûìè ìîìåíòàìè, ðàç- áèåíèå îáëàñòè ïàðàìåòðîâ. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ðàáîòàõ [1–4] ðàññìàòðèâàëàñü çàäà÷à íàõîæäåíèÿ òî÷íûõ âåðõíèõ è íèæ- íèõ ãðàíèö ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû � â ïðîèçâîëüíûé íåîòðèöàòåëü- íûé èíòåðâàë ( , )u � , 0� � � �u � , ïðè óñëîâèè, ÷òî åå ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëå- íèÿ (ô.ð.) F x( ) èìååò óíèìîäàëüíóþ äèôôåðåíöèðóåìóþ ïëîòíîñòü ñ çàäàí- íîé ìîäîé è äâóìÿ ïåðâûìè ôèêñèðîâàííûìè ìîìåíòàìè. Çàäà÷à ðåøàëàñü â îáùåì âèäå ïðè ðàçëè÷íûõ âçàèìîðàñïîëîæåíèÿõ ïàðàìåòðîâ u m, , , ,� � �1 2 .  íàñòîÿùåé ñòàòüå èññëåäóåòñÿ ÷àñòíûé ñëó÷àé, à èìåííî: âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû � â ñïåöèàëüíûé èíòåðâàë u m� � � � 3 3 , � � �� �m 3 3, ãäå � � � �� � 2 2 1 2 3 3� � �, m , ïðè ýòîì m � �1. Ýòà õàðàêòåðèñòèêà î÷åíü âàæíà äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî êëàññà óíèìîäàëüíûõ ô.ð., òàê êàê íàèìåíüøàÿ âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû � â óêàçàííûé èíòåðâàë áëèçêà ê åäèíèöå. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È Òðåáóåòñÿ íàéòè òî÷íóþ íèæíþþ ãðàíèöó èíòåãðàëà I F dF x u m m m u ( ) ( ), , ,� � � � � � � 0 3 3 3 3 1� � � �� � � , (1) ãäå ô.ð. F x( ) ïðèíàäëåæèò êëàññó A ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ íåîòðèöàòåëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõ äèôôåðåíöèðóåìóþ óíèìîäàëüíóþ ïëîòíîñòü ñ ìîäîé m è äâà ïåðâûõ ôèêñèðîâàííûõ ìîìåíòà � �1 2, , ïðè÷åì �1 � m, � � �� 2 2 1 2� � . Ñõåìà ðåøåíèÿ çàäà÷, ïîäîáíûõ [1–4], ðàçðàáîòàíà â [5], ãäå âìåñòî çàäà- ÷è (1) ðåøàåòñÿ áîëåå ïðîñòàÿ çàäà÷à. Ïåðåõîä ê íåé îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 2 65 © Ë.Ñ. Ñòîéêîâà, 2017 dG x m x df x( ) ( ) ( )� � , (2) ãäå f x( ) — ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ F x( ) , à ô.ð. G x( ) — ïðîèçâîëüíàÿ (íå îáÿçàòåëüíî óíèìîäàëüíàÿ). Åå ìîìåíòû âû÷èñëÿþòñÿ ÷åðåç ìîìåíòû ô.ð. F x( ) ñëåäóþùèì îáðàçîì: �0 0 0 1� � � � � dF x dG x( ) ( ) , (3) s x dG x i imi i i i� � � � � � ( ) ( ) 0 11 � � , i �1 2, . (4) Èç (4) è ðàâåíñòâà m � �1 ñëåäóåò ðàâåíñòâî s m1 � . Ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî s m1 � è ìîìåíòíûå îãðàíè÷åíèÿ (4), èìååì � � � � � 2 2 1 2 2 1 2 23 3 3� � � � �s s . Îòñþäà ñëåäóþò ðàâåíñòâà � � �� 3, u s s� � � �1 13 3� � �, . Õîòÿ â çàäà÷å ôèãóðèðóþò ïÿòü ïàðàìåòðîâ, íî ìåæäó íèìè èìåþòñÿ òðè ñâÿçè: m s u s s� � � � �1 1 13 3, ,� � �. Ïîýòîìó ñâîáîäíûìè îñòàþòñÿ òîëüêî äâà ïàðàìåòðà: s1 è � . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî m u ( , )� , ñ ïîìîùüþ èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì I F( ) è ñ èñ- ïîëüçîâàíèåì (2) ïîëó÷àåì I F f x dx J G g x dG x m m ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � � � 3 3 3 3 0 , g x s x x s s x s x s x s ( ) , ; , ; , � � � � � � � � � � � � 3 0 3 1 3 3 3 1 1 1 1 1 1 � � � � � 3�. � � � (5) Êëàññ ôóíêöèé G x( ), óäîâëåòâîðÿþùèé ìîìåíòíûì îãðàíè÷åíèÿì (3), (4), îáîçíà÷èì K. Ñîîòíîøåíèÿ (2) è (5) óñòàíàâëèâàþò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñî- îòâåòñòâèå ìåæäó êëàññàìè A è K è ôóíêöèîíàëàìè I F( ) è J G( ) . Ïîýòîìó inf ( ) inf ( ) F A G K I F J G � . Êðîìå òîãî, ðàçáèåíèå îáëàñòè ïàðàìåòðîâ, ïîëó÷åííîå â êëàññå K áóäåò òàêèì æå è â êëàññå A . Äàëåå áóäåì ðåøàòü ñëåäóþùóþ çàäà÷ó. Íàéòè èíôèìóì J G G K( ), . (6) Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è (6) èñïîëüçóåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ, ââåäåííûå â ïðåäûäóùèõ ñòàòüÿõ àâòîðà: B x s s x s x x s x B( ) , ( )� � � � � �2 1 1 1 0 ; (7) L x y g x g y g y g x y x ( , ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) � � � � � � � 2 , 0� �x y ; (8) M x y z g y y x g y g x y x g y z y g z g ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( � � � � � � � � � � � 2 y z y ) ( )� 2 . (9) Ïðîàíàëèçèðóåì âîçìîæíûå ýêñòðåìàëüíûå ô.ð. è ïîñòðîèì ðàçáèåíèå îá- ëàñòè ïàðàìåòðîâ çàäà÷è (6). 66 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 2 ÑÅÌÅÉÑÒÂÀ ÝÊÑÒÐÅÌÀËÜÍÛÕ ÔÓÍÊÖÈÉ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß Â ÇÀÄÀ×Å (6) Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïðåäâàðèòåëüíûõ ÷èñëåííûõ ðåçóëüòàòîâ áûëà èñïîëüçîâàíà ïðî- ãðàììà, ñîñòàâëåííàÿ ïðîãðàììèñòîì Ñ. Êðàñíèêîâûì äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (6) ñ ïîìîùüþ ñîâðåìåííîãî ïîêîëåíèÿ ïåðñîíàëüíûõ êîìïüþòåðîâ. Îíà ïîçâîëÿåò ïðè ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ çàäà÷è íàõîäèòü òî÷êè ðîñ- òà ýêñòðåìàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé è ïðåäñòàâëÿòü ãðàôèêè ñîîòâåòñòâóþùåãî ýêñ- òðåìàëüíîãî ìíîãî÷ëåíà. Ñ åå ïîìîùüþ ìîæíî ïðîâåðèòü ïðàâèëüíîñòü òåîðåòè- ÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ. Ïðè íàïèñàíèè ïðîãðàììû èñïîëüçîâàëñÿ ïðîñòîé àëãîðèòì (äëÿ óçêîãî êëàññà çàäà÷). Áîëåå îáùèé àëãîðèòì áûë ðåàëèçîâàí â ïðîãðàììå àâòîðîâ Ã.À. Ìàð÷óêà, Ë.Ñ. Ñòîéêîâîé, Î.À. Þùåíêî (1981 ã.), êîòîðàÿ õðàíèòñÿ â Èíñòèòóòå êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðàèíû, îäíàêî îíà, ê ñîæà- ëåíèþ, íå áûëà ïîçäíåå äîðàáîòàíà äëÿ íàñòîÿùåãî ïîêîëåíèÿ ïåðñîíàëüíûõ êîìïüþòåðîâ. Ïðîãðàììà Ñ. Êðàñíèêîâà íå áûëà îïóáëèêîâàíà.  òàáë. 1 ïðèâå- äåí ïðèìåð âû÷èñëåíèé ïî ýòîé ïðîãðàììå, ãäå èñïîëüçîâàíû ñëåäóþùèå èñ- õîäíûå äàííûå: s s s1 2 2 1 2301 2 10� � � � �, ; ;� � .  ñêîáêàõ óêàçàíû çíà÷åíèÿ x22 , y B x22 22� ( ) , âû÷èñëåííûå ïî ôîðìóëàì (ñì. òàáë. 2). Èíôèìóì âû÷èñ- ëåí òàêæå ïî ôîðìóëàì ñîãëàñíî òåîðåìå 2, çà èñêëþ÷åíèåì ñòðîê 9–12. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 2 67 Ò à á ë è ö à 1 . Íàõîæäåíèå èíôèìóìà â çàäà÷àõ (1), (6). Íîìåð ñòðîêè � Òî÷êè ðîñòà ýêñòðåìàëüíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ Èíôèìóì 1 2 x7 21 09� , ; y7 30 09� , ; z7 39 09� , 0,9835 2 3 x7 16 59� , ; y7 30 09� , ; z7 43 59� , 0,9835 3 4 x7 12 094� , ; y7 30 125� , ; z7 48 094� , 0,9835 4 5 x7 7 6� , ; y7 30 1� , ; z7 52 6� , 0,9835 5 6 x7 3 1� , ; y7 30 1� , ; z7 57 1� , 0,9835 6 6,686 x7 0 0156� , ; y7 30 1� , ; z7 60 2� , 0,9835 7 6,687 x75 0� ; y75 30 1� , ; z75 60 2� , 0,9835 8 6,688 x75 0� ; y75 30 1� , ; z75 60 2� , 0,9835 9 7 x5 0� ; y5 30� ; z5 61 6� , 0,9836 10 8 x5 0� ; y5 29� ; z5 66 5� , 0,9842 11 8,2 x5 0� ; y5 28 5� , ; z5 67 5� , 0,9843 12 8,25 x5 0� ; y5 28 375� , ; z5 67 81� , 0,9843 13 8,26 x52 0� ; y52 28 375� , ; z52 67 875� , ( ,y52 28 293� ; z52 67 87� , ) 0,9843 14 8,27 x22 28 25 28 375� , ; , ; y22 67 875� , (x22 28 291� , ; y22 67 91� , ) 0,9843 15 8,28 x22 28 25 28 375� , ; , ; y22 67 94� , ( ,x22 28 289� ; y22 67 96� , ) 0,9843 16 8,29 x22 28 25 28 375� , ; , ; y22 68 0� , ( ,x22 28 287� ; y22 68 00� , ) 0,9843 17 9 x22 28 25 28 125� , ; , ; y22 71 25� , ( ,x22 28 13� ; y22 71 25� , ) 0,9843 18 10 x22 27 875 28� , ; ; y22 75 80� , ( ,x22 27 91� ; y22 75 8� , ) 0,9843  òðåòüåì ñòîëáöå ÷èñëà èìåþò îäíó èëè äâå òî÷íûå öèôðû ïîñëå çàïÿòîé. Ñòðîêè 7, 8 è 13 ñîäåðæàò ãðàíè÷íûå ðàñïðåäåëåíèÿ. Èç âû÷èñëåíèé ñëåäóåò, ÷òî ýêñòðåìàëüíûìè ô.ð. â çàäà÷å (6) ìîãóò áûòü òà- êèå ñòóïåí÷àòûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ: G x7 ( ) , G x5 ( ) , G x22 ( ) . Îïèøåì èõ áî- ëåå ïîäðîáíî. Òî÷êè ðîñòà x7 , y7 , z7 òðåõñòóïåí÷àòîé ô.ð. G7 ïðèíàäëåæàò èíòåðâàëàì x s y s s z s7 1 7 1 1 7 10 3 3 3 3 � � � � �( , ), ( , ),� � � � è óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå óðàâ- íåíèé (ñì. (8), (9)) L x y L y z M x y z( , ) , ( , ) , ( , , )� � �0 0 0 . Ìíîãî÷ëåí U x7 ( ), ñîîòâåòñòâóþùèé ô.ð. G7 , êàñàåòñÿ ôóíêöèè g x( ) (ñì. (5)) â òî÷êàõ x7 , y7 , z7 è ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷- êó y s7 1� , g s( )1 1� . Ïîýòîìó ïðè y s7 1� ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà L x y s x s x y x ( , ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � 3 2 3 0 1 2 1 2 � � 3 2 3 4 51 7 1 � � �� � � � � �s x x s , ; L y z z s z s z s z s( , ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � � � � �0 3 2 3 0 3 2 3 1 2 1 1 2 1 � � � � �� � �z s7 1 4 5, . Òàêèì îáðàçîì, ô.ð. G7 èìååò òî÷êè ðîñòà x s7 1 4 5� � , �, y s7 1� , z s7 1 4 5� � , �, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò òàêæå óðàâíåíèþ M x y z( , , ) � 0 . Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ G x5 ( ) èìååò òî÷êè ðîñòà x5 0� , y s s5 1 13 3 � �( , )� � , z s5 1 3� � � , êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå óðàâíåíèé L y z u y z M y z u y z ( , ) , , ( , , ) , . � � � � � � � � � � � 0 0 0 � � (10) Ýòó ñèñòåìó ñëîæíî ðåøèòü àíàëèòè÷åñêè, òàê êàê îíà ñîäåðæèò âûñîêèå ñòå- ïåíè y z, . ×èñëåííî ýòè òî÷êè íàõîäÿòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðîãðàììû. Íàêîíåö, ðàññìîòðèì ô.ð. G22 . Îíà èìååò äâå òî÷êè ðîñòà: x s s22 1 13 3 � �( , )� � , y s22 1 3� � � , ñâÿçÿííûå óðàâíåíèåì L x y( , )22 22 0� , y B x22 22� ( ) . Ïîêàæåì, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ äëÿ ñóùåñòâî- âàíèÿ ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ. Èç (7) ñëåäóåò, ÷òî B s ( )� � � �3 3 1 . Ëåãêî ïðîâå- ðèòü, ÷òî u B s� �( )� 1 è L B m ( ( ), )� � � � � � � �0 1 0 . Âû÷èñëèì B n s n s n s s n( ) ,� � � � � �1 2 1 1 , B B n s( ) ( )� � � 1 ; L B n n s n s ( ( ), ) ( ) � � � � � 1 1 2 � � � � � � � � 2 3 2 0 1 2 ( ) ( )( ( )) n n s n B n n n � � . Ñëåäîâàòåëüíî, âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ L B( ( ), )� � � �0 0 , � �nL B n n( ( ), ) 0 . Òîãäà � x B B n22 ( ( ), ( ))� òàêîå, ÷òî L x B x( , ( ))22 22 0� . Íàéäåì x22 . Îáîçíà÷èì z s x� �1 22 è ïîäñòàâèì åãî â óðàâíåíèå L x B x z z z z z( , ( )) ( ) 22 22 2 2 3 2 3 0 3 2 3 3 2 3 0� � � � � � � � � � � � � � � . (11) Ýòî êóáè÷åñêîå óðàâíåíèå ìîæíî ðåøèòü ñ ïîìîùüþ ôîðìóë Êàðäàíî. Îáùèé âèä êóáè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ax bx cx d3 2 0� � � � ñ ïîìîùüþ ïîäñòà- 68 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 2 íîâêè è äåëåíèÿ íà a ïðåîáðàçóåòñÿ â óðàâíåíèå y py q2 3 2 0� � � , (12) ãäå 2 2 27 3 3 3 2 q b a bc a d a � � � ; 3 3 3 2 2 p ac b a � � . ×èñëî äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé óðàâíåíèÿ (11) çàâèñèò îò çíàêà äèñêðèìè- íàíòà D q p� �2 3 . Åñëè D � 0 , òî óðàâíåíèå èìååò îäíî äåéñòâèòåëüíîå ðåøå- íèå è äâà ìíèìûõ.  ñëó÷àå (11) èìååì a �1 , b � 0, c � 3 2� , d � � 2 3 3� . Ïî ôîð- ìóëàì (12) âû÷èñëÿåì 2 2 3 3 q � � � ; 3 3 10 9 02 6 p D� � �� � ; . Äåéñòâèòåëüíîå ðå- øåíèå èìååò âèä z u1 1 1� � � , ãäå u q D1 3� � � ; �1 3� � �q D .  äàííîì ñëó÷àå u1 3 1 3 10 9 111532� � �� �, , � � �1 3 1 3 10 9 0 89659� � � � , . Èñêîìûé êî- ðåíü óðàâíåíèÿ (11) ðàâåí z u� � �1 1 0 2187� �, . Èç z s x� �1 22 ñëåäóåò x s22 1 0 2187� � , �; B x s s x s( ) , , 22 2 1 22 1 0 2187 0 2187 � � � � � � . ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÐÀÇÁÈÅÍÈß ÎÁËÀÑÒÈ ÏÀÐÀÌÅÒÐΠÏóñòü ô.ð. G x( ) èìååò òî÷êè ðîñòà x1, x2 , x3 . Èñõîäÿ èç ìîìåíòíûõ óñëîâèé èì ñîîòâåòñòâóþò ñëåäóþùèå âåðîÿòíîñòè (ñêà÷êè): p x B x x s x x x x 1 2 3 3 1 2 1 3 1 � � � � � ( ( ))( ) ( )( ) ; p x B x s x x x x x 2 3 1 1 1 2 1 3 2 � � � � � ( ( ))( ) ( )( ) ; p B x x x s x x x x 3 3 1 3 1 2 1 3 2 � � � � � ( ( ) )( ) ( )( ) . (13) Åñëè âåðîÿòíîñòü â êàêîé-ëèáî òî÷êå ðàâíà íóëþ, òî äâå äðóãèå òî÷êè ñâÿçà- íû ìåæäó ñîáîé ñîîòâåòñòâóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè p x B x1 2 30� � � ( ) ; p x B x2 3 10� � � ( ) ; p x B x3 2 10� � � ( ) . (14) Îòìåòèì, ÷òî � � � � � � � �i p x B x x B x xi 0 0 1 3 2 1 3( ) ( ) . Óñëîâèìñÿ ïîäîáëàñòè ðàçáèåíèÿ îáîçíà÷àòü òàê æå, êàê è ôóíêöèè ðàñ- ïðåäåëåíèÿ, ýêñòðåìàëüíûå â ñîîòâåòñòâóþùåé ïîäîáëàñòè. Ðàññìîòðèì ñëåäó- þùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîäîáëàñòåé: G7 , G5 , G22 . Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ýêñòðå- ìàëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ â êàæäîé ïîäîáëàñòè ÿâëÿåòñÿ ñåìåéñòâîì ô.ð., òàê êàê åå òî÷êè ðîñòà èçìåíÿþòñÿ âìåñòå ñ èçìåíåíèåì ïàðàìåòðîâ. Ïîñ- êîëüêó ôóíêöèÿ g x( ) (ñì. (5)) íåïðåðûâíà, òî íà ãðàíèöå ìåæäó ïîäîáëàñòÿìè âîçíèêàåò ãðàíè÷íàÿ ô.ð., êîòîðàÿ íå ÿâëÿåòñÿ ñåìåéñòâîì, à îïðåäåëÿåòñÿ åäèí- ñòâåííûì ôèêñèðîâàííûì íàáîðîì çíà÷åíèé âñåõ ïàðàìåòðîâ. Îíà ñîâïàäàåò ñ ñîñåäíèìè ô.ð., à ñîîòâåòñòâóþùèé åé ìíîãî÷ëåí ñîâïàäàåò ñ ñîñåäíèìè ýêñ- òðåìàëüíûìè ìíîãî÷ëåíàìè. Òàê, ãðàíè÷íàÿ ô.ð. G x75 ( ) ìåæäó ôóíêöèÿìè ðàñ- ïðåäåëåíèÿ G7 è G5 èìååò òî÷êè ðîñòà: x x x75 7 5 0� � � , y y y s75 7 5 1� � � , z z z s75 7 5 1 4 5� � � � , �, à ãðàíè÷íîå çíà÷åíèå � �� 1, ðàçäåëÿþùåå îáëàñòè G7 è G5 , íàõîäèòñÿ èç óðàâíåíèÿ L y( , )0 075 � . Ýòî óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî óðàâíå- íèþ 3 2 6 0 1 2 1 1 2 � � s s s � � � , îòêóäà �1 6 688� , ïðè s1 301� , . Ïîñêîëüêó [ ( , )]L y0 075 � �� , ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 2 69 òî çíàê L y( , )0 75 ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ãðàíèöó � �� 1 áóäåò ìåíÿòüñÿ ñ ìèíóñà íà ïëþñ. Òàêèì îáðàçîì, â îáëàñòè G7 áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî L y( , )0 07 � , à â îáëàñòè G5 — íåðàâåíñòâî L y( , )0 05 � . Ðàññìîòðèì ïåðåõîä èç ïîäîáëàñòè G5 â ïîäîáëàñòü G22 . Ãðàíè÷íàÿ ô.ð. G52 èìååò òî÷êè ðîñòà: x52 0� (ñ íóëåâîé âåðîÿòíîñòüþ (ñì. (13), (14))), y B z x52 5 22� �( ) , z z B x52 5 22� � ( ). Ãðàíè÷íîå çíà÷åíèå � �� 2 ìåæäó îáëàñòÿ- ìè G5 è G22 íàõîäèòñÿ èç óðàâíåíèÿ M B z( , ( )0 52 , z52 0) � , êîòîðîå ñëåäóåò èç ðà- âåíñòâà ñòàðøèõ êîýôôèöèåíòîâ ãðàíè÷íîãî ìíîãî÷ëåíà U 52 . Ïîñêîëüêó [ ( , ( ), )]M B z z0 052 52 2� �� � è [ ( , ( ), )]M B z z0 052 52 � �� , òî çíàê [ ( , ( ), )]M B z z0 52 52 ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ãðàíèöó � 2 áóäåò ìåíÿòüñÿ ñ ìèíóñà íà ïëþñ. Ñëåäîâà- òåëüíî, â îáëàñòè G5 èìååì [ ( , ( ), )]M B z z0 05 5 � , à â îáëàñòè G22 èìååì M x B x( , , ( ))0 022 22 � . Äëÿ íàãëÿäíîñòè ïîëó÷åííîå ðàçáèåíèå îáëàñòè ïàðàìåòðîâ îòîáðàçèì â òàáë. 2. Îòìåòèì, ÷òî ýòî ðàçáèåíèå îáëàñòè ïàðàìåòðîâ ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì. Äîêàçàòåëüñòâî ýêñòðåìàëüíîñòè ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ G 7 , G 5 , G 22 . Èçâåñòíî [6], ÷òî äëÿ ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà R G g x dG x G K( ) ( ) ( ),� � 0 , (g x( ) — îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ, äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìàÿ â íåêîòîðûõ òî÷- êàõ) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî inf ( ) inf ( ) [ ]G K G E R G R G � , ãäå [ ]E — çàìûêàíèå ìíîæåñòâà E êðàéíèõ ðàñïðåäåëåíèé âûïóêëîãî ìíîæåñòâà K. Îíî ñîäåðæèò îäíî-, äâóõ- èëè òðåõñòóïåí÷àòûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Êàæäîé òàêîé ô.ð. G xi ( ) ñîîòâåòñòâóåò ìíîãî÷ëåí U xi ( ) ñòåïåíè íå âûøå âòîðîé, êîòîðûé ñîâïà- äàåò ñ ôóíêöèåé g x( ) â òî÷êàõ ðîñòà ô.ð. G xi ( ) è êàñàåòñÿ g x( ) â íåêîòîðûõ èç íèõ. Îáîçíà÷èì � i ix g x U x( ) ( ) ( )� � . Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, äîêàçàííàÿ â [7]. Òåîðåìà 1 [7]. ×òîáû èíôèìóì ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà R G( ) , G E , äîñòè- ãàëñÿ íà íåêîòîðîé ô.ð. G Ei , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû � �x 0: � i x( ) � 0. Òåîðåìà 1 áóäåò èñïîëüçîâàíà ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 2. Òåîðåìà 2. Ñôîðìóëèðóåì ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ çàäà÷è (6). —  îáëàñòè ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿåìîé íåðàâåíñòâîì L y( , )0 07 � , òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü ôóíêöèîíàëà J G G K( ), , äîñòèãàåòñÿ íà ô.ð. G x7 ( ) ñ òî÷êàìè ðî- ñòà x s7 1 4 5� � , � ; y s7 1� ; z s7 1 4 5� � , � è ðàâíà 0,9835. —  îáëàñòè ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿåìîé íåðàâåíñòâàìè L y( , )0 05 � , M B z z( , ( ), )0 05 5 � , èíôèìóì J G G K( ), , äîñòèãàåòñÿ íà ô.ð. G x5 ( ) ñ òî÷êàìè ðîñòà x y z5 5 50� , , , óäîâëåòâîðÿþùèìè ñèñòåìå (10). 70 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 2 Ò à á ë è ö à 2 . Ðàçáèåíèå îáëàñòè ïàðàìåòðîâ â çàäà÷àõ (5), (6). Îáëàñòü ïàðàìåòðîâ Ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðûå ìîãóò áûòü ýêñòðåìàëüíûìè Òî÷êè ðîñòà ñîîòâåòñòâóþùèõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ L y( , )0 07 � G7 x s7 1 4 5� � , �; y s7 1� ; z s7 1 4 5� � , � ; x s7 10 3 �( , )� ; y s s7 1 13 3 � �( , )� � ; z s7 1 3� � � L y( , )0 05 � , M B z z( , ( ), )0 05 5 � G5 x5 0� ; òî÷êè y z5 5, íàõîäÿòñÿ èç ñèñòåìû óðàâíåíèé (10) M x B x( , , ( ))0 022 22 � G22 x s B x s22 1 22 10 2187 0 2187 � � � �, ; ( ) , � � —  îáëàñòè ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿåìîé íåðàâåíñòâîì M x( ,0 22 , B x( ))22 0� , òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü ôóíêöèîíàëà J G G K( ), , äîñòèãàåòñÿ íà ô.ð. G x22 ( ) ñ òî÷- êàìè ðîñòà x s22 1 0 2187� � , �; B x s( ) , 22 1 0 2187 � � � è ðàâíà 0,9843. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2. Äîêàçàòåëüñòâî ýêñòðåìàëüíîñòè ô.ð. G x7 ( ) òðèâèàëüíî. Âû÷èñëèì èíôèìóì, êîòîðûé ô.ð. G7 äîñòàâëÿåò ôóíêöèîíàëó J G( ) â îáëàñòè L y( , )0 07 � : inf ( ) ( ) G K J G J G s x p � � � �7 1 7 1 3� 1 3 3 4 5 3 4 5 1 3 2 7 1 3 1 3 2 2p z s p p p p p� � � � � � � � , ( ) , . Âû÷èñëèì p z B x s x y x z y 2 7 7 1 7 7 7 7 7 2 2 4 5 1 4 5 0 95� � � � � � � � ( ( ))( ) ( )( ) , , , 062 . Èòàê, J G( ) ,7 0 9835� . Ðàññìîòðèì äîêàçàòåëüñòâî ýêñòðåìàëüíîñòè ô.ð. G5 . Ýòîé ô.ð. ñîîòâåòñòâóåò ìíîãî÷ëåí U x g y g y x y a x y a x y5 5 5 5 5 5 2 5 5 21( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )� � � � � � � � � . Îí ñîâ- ïàäàåò ñ g x( ) ïðè x � 0 : U g s 5 1 0 0 3 ( ) ( )� � � . Îòñþäà ñëåäóåò a s s y 5 1 1 5 2 3 � � � � . Ó÷èòû- âàÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî, âû÷èñëèì � � � � � � �� � � ( ) ( ) ( )0 0 0 3 25 1 2 5 5g U s a y , â êîòîðîå ïîäñòàâèì a5 è ïîëó÷èì � � � � �� � � � ( ) ( ) ( , )0 3 2 3 0 1 2 1 1 5 5 s s s y L y . Ïî óñëîâèþ òåîðåìû 2 L y( , )0 05 � , ïîýòîìó � ��� ( )0 0 . Èòàê, äëÿ x s �( , )0 31 � ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå ( ( )�� 0 0� ; � ��� ( )0 0 , �� � � �� �� ( ) ) ( )x x0 05 . Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâà �5 0( )x � äëÿ èíòåðâàëîâ x s s � �( , )1 13 3� � , x s � �( , )1 3� òðèâèàëüíî. Èòàê, ýêñ- òðåìàëüíîñòü G5 äîêàçàíà. Àíàëèòè÷åñêè îïðåäåëèòü J G( )5 è òî÷êè ðîñòà G5 íå óäàëîñü.  òàáë. 1 ñîäåðæàòñÿ ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ y5 , z5 è ñîîòâåòñòâóþùèé èíôè- ìóì ïðè ôèêñèðîâàííîì s1 301� , è � � �1 2� � . Èíôèìóì íåçíà÷èòåëüíî âîçðàñòàåò îò 0,9836 äî 0,9843. Äîêàæåì ýêñòðåìàëüíîñòü G22 . Ðàññìîòðèì ïåðåõîä èç ïîäîáëàñòè G5 â ïîä- îáëàñòü G22 . Ãðàíè÷íàÿ ô.ð. G52 èìååò òî÷êè ðîñòà: x52 0� , y B z x52 5 22� �( ) , z z B x52 5 22� � ( ), òàê êàê âåðîÿòíîñòü â òî÷êå x52 ðàâíà íóëþ. Ãðàíè÷íîå çíà÷å- íèå � �� 2 íàõîäèòñÿ èç óðàâíåíèÿ M y z( , , )0 052 52 � : � 2 8 26� , , y52 28 293� , , z52 67 87� , . Íà ãðàíèöå èìååì a a22 52� , � � � � �� ��� �( ) ( ) ( , )0 0 0 05 52L y . Ïðè � �� 2 a g B x B x x 22 22 22 222 � � � ( ( )) ( ( ) ) ; � � � � � � � � � � � � �2 22 22 1 2 3 10 0 2 3 3 0 2187 0 2187 ( ) ( ) , ( , ) g a x s s 2 21 0 2187( , )� ; [ ( )] , ( , ) ( , � � � � � � � � � � � �2 1 2 3 1 3 0 3 3 0 2187 2 0 2187 1 0 2187s s 2 0 ) � . Èòàê, ïðè � �� 2 ñïðàâåäëèâî �22 0 0( ) � , � �� �2 0 0( ) , à ïðè � � � �� �2 2 0( ) âîçðàñòàåò îò ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà. Ïîýòîìó âî âñåé îáëàñòè � �� 2 âûïîëíÿåò- ñÿ íåðàâåíñòâî � �� �2 0 0( ) .  ýòîé æå îáëàñòè âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 2 71 M x B x x ( , , ( )) ( ) 0 0 022 22 22 22 2 � � � . Èòàê, äëÿ x s �( , )0 31 � ñïðàâåäëèâî óòâåðæäå- íèå {�22 0 0( ) � , � �� �2 0 0( ) , �� �� �2 0 0( ) } � � �2 0 0( ) � . Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ �22 0( )x � äëÿ äâóõ îñòàëüíûõ èíòåðâàëîâ òðèâèàëüíî. Ñëåäîâàòåëüíî, ýêñòðå- ìàëüíîñòü ô.ð. G22 â îáëàñòè M x B x( , , ( ))0 022 22 � äîêàçàíà. Âû÷èñëèì èíôèìóì, êîòîðûé ô.ð. G22 äîñòàâëÿåò ôóíêöèîíàëó J G( ) . Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà: p B x s B x x p s x B x x B x1 22 1 22 22 2 1 22 22 22 22� � � � � � � ( ) ( ) , ( ) , ( ) x s x s x22 2 1 22 1 22� � � � � , s x1 22 0 2187� � , � , B x s s x ( )22 1 2 1 22 � � � � ; J G p g B x p( ) ( ( )) , , , 22 1 22 2 2 31 1 0 2187 3 0 2187 1 0 2187 � � � � � � � 2 0 9843� , . Òåîðåìà 2 äîêàçàíà ïîëíîñòüþ. Ñëåäñòâèå. Èç âñåõ òî÷íûõ íèæíèõ ãðàíèö âåðîÿòíîñòåé ïîïàäàíèÿ ñëó÷àé- íîé âåëè÷èíû � â èíòåðâàë ( , )m m� �� �� �3 3 3 3 ïðè óñëîâèè, ÷òî åå ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F x( ) ïðèíàäëåæèò êëàññó A, íàèáîëüøàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâ- íà 0,9843. Îíà äîñòèãàåòñÿ â îáëàñòè ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿåìîé íåðàâåíñòâîì M x B x( , , ( ))0 022 22 � , è íå çàâèñèò îò çàäàííûõ ïàðàìåòðîâ m, � �: max inf ( ) max inf ( ) ( F A u m m G K dF x J G J G � � � � � � � � � � � 3 3 3 3 22 0 9843) ,� . (15) ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Òî÷íîå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå (ñóïðåìóì) èíòåãðàëà (15) ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïà- ðàìåòðîâ ðàâíî åäèíèöå è äîñòèãàåòñÿ íà ôóíêöèÿõ ðàñïðåäåëåíèÿ, òî÷êè ðîñòà êîòîðûõ ðàñïîëîæåíû â èíòåðâàå (u, �). Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî åñëè çàôèêñèðî- âàòü � è èçìåíÿòü s1, òî ïîëó÷èì òîò æå ðåçóëüòàò (15). Íå èñêëþ÷åíî, ÷òî îí ìîæåò áûòü ïðèìåíåí ïðè ïðîåêòèðîâàíèè âûñîêîòî÷íûõ ñèñòåì. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ñòîéêîâà Ë.Ñ. Òî÷íûå âåðõíèå ãðàíèöû âåðîÿòíîñòè îòêàçà ñèñòåìû â èíòåðâàëå âðåìåíè ïðè íåïîë- íîé èíôîðìàöèè î ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2004. ¹ 5. Ñ. 72–83. 2. Ñòîéêîâà Ë.Ñ. Òî÷íûå íèæíèå ãðàíèöû âåðîÿòíîñòè îòêàçà ñèñòåìû â èíòåðâàëå âðåìåíè ïðè íåïîë- íîé èíôîðìàöèè î ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2015. ¹ 2. Ñ. 108–116. 3. Ñòîéêîâà Ë.Ñ., Êðàñíèêîâ Í.È. Òî÷íûå íèæíèå ãðàíèöû âåðîÿòíîñòè îòêàçà ñèñòåìû â èíòåðâàëå âðåìåíè ïðè íåïîëíîé èíôîðìàöèè î ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. East European Scientific Journal (Warszawa, Polska). 2015. Vol. 1, 4(4). Czesc 2. Ð. 94–105. 4. Ñòîéêîâà Ë.Ñ., Êðàñíèêîâ Í.È. Òî÷íûå íèæíèå ãðàíèöû âåðîÿòíîñòè îòêàçà ñèñòåìû â èíòåðâàëå âðåìåíè ïðè íåïîëíîé èíôîðìàöèè î ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè äî îòêàçà ñèñòåìû. Êèáåðíå- òèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2016. Ò. 52, ¹ 6. Ñ. 84–94. 72 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 2 5. Êàðëèí Ñ., Ñòàääåí Â. ×åáûøåâñêèå ñèñòåìû è èõ ïðèìåíåíèå â àíàëèçå è ñòàòèñòèêå. Ìîñêâà: Íàóêà, 1976. 568 ñ. 6. Mulholland H.P., Rogers C.A. Representation theorems for distribution functions. Proc. London. Math. Soc. 1958. Vol. 52, N 3. P. 177–223. 7. Êðåéí Ì.Ã., Íóäåëüìàí À.À. Ïðîáëåìà ìîìåíòîâ Ìàðêîâà è ýêñòðåìàëüíûå çàäà÷è. Ìîñêâà: Íàóêà, 1973. 551 ñ. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 07.09.2016 Ë.C. Ñòîéêîâà ÍÀÉÁ²ËÜØÀ ÒÎ×ÍÀ ÍÈÆÍß ÃÐÀÍÈÖß ÉÌβÐÍÎÑÒ² ²ÄÌÎÂÈ ÑÈÑÒÅÌÈ Â ÑÏÅÖ²ÀËÜÍÎÌÓ ²ÍÒÅÐÂÀ˲ ×ÀÑÓ ÏÐÈ ÍÅÏÎÂÍ²É ²ÍÔÎÐÌÀÖ²¯ ÙÎÄÎ ÔÓÍÊÖ²¯ ÐÎÇÏÎIJËÓ ×ÀÑÓ ÄΠ²ÄÌÎÂÈ ÑÈÑÒÅÌÈ Àíîòàö³ÿ. Ðîçâ'ÿçóºòüñÿ çàäà÷à çíàõîäæåííÿ òî÷íèõ íèæí³õ ãðàíèöü ³ìîâ³ðíîñò³ F F u( ) ( )� � , 0 � � � �u � , äå u m� � � � 3 3, � � �� �m 3 3, � � — ô³êñîâàíà äèñïåðñ³ÿ â ìíîæèí³ ôóíêö³é ðîçïîä³ëó F x( ) íåâ³ä'ºìíèõ âèïàäêîâèõ âåëè÷èí ç óí³ìîäàëüíîþ äèôåðåíö³éîâàíîþ ù³ëüí³ñòþ ç ìîäîþ, ð³âíîþ m, ³ äâîìà ïåðøèìè ô³êñîâàíèìè ìîìåíòàìè � �1 2, . Ðîçãëÿíóòî âè- ïàäîê, êîëè ìîäà çá³ãàºòüñÿ ç ïåðøèì ìîìåíòîì: m � �1. Çíàéäåíî íàéá³ëüøó éìîâ³ðí³ñòü ³ç âñ³õ òî÷íèõ íèæí³õ ãðàíèöü éìîâ³ðíîñòåé äëÿ äà- íî¿ çàäà÷³, ³ âîíà º áëèçüêîþ äî 1, à ñàìå ð³âíà 0,98430. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: åêñòðåìóì ë³í³éíîãî ôóíêö³îíàëó, êëàñ óí³ìîäàëüíèõ ôóíêö³é ðîçïîä³ëó ç äâîìà ïåðøèìè ô³êñîâàíèìè ìîìåíòàìè, ðîçáèòòÿ îá- ëàñò³ ïàðàìåòð³â. L.S. Stoikova GREATEST LOWER BOUND OF SYSTEM FAILURE PROBABILITY IN A SPECIAL TIME INTERVAL UNDER INCOMPLETE INFORMATION ABOUT THE DISTRIBUTION FUNCTION OF THE TIME TO FAILURE OF SYSTEM Abstract. The author solves the problem of finding exact lower bounds for the probability F F u( ) ( )� � , 0 � � � �u � where u m� � � � 3 3, � � �� �m 3 3, and � � is a fixed dispersion in the set of distribution functions F x( ) of non-negative random variables with unimodal differentiable density with mode m and two first fixed moments � �1 2, . The case is considered where the mode coincides with the first moment: m � �1. The greatest lower bound of all possible exact lower bounds for this problem is obtained and it is nearly one, namely, is equal to 0.98430. Keywords: extremum of a linear functional, the set of unimodal distribution functions with two first fixed moments, partition of the domain of parameters. Ñòîéêîâà Ëèäèÿ Ñòåïàíîâíà, äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê, e-mail: stojk@ukr.net. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 2 73

Ähnliche Einträge