О численном решении одного класса обратных задач для параболического уравнения
Рассматривается класс обратных задач для параболического уравнения. В частности, к данному классу приводятся краевые задачи с нелокальными условиями. Предлагаемый численный подход основан на применении метода прямых для сведения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, к решению которой пр...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2017 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2017
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144731 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О численном решении одного класса обратных задач для параболического уравнения / А.Б. Рагимов // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 3. — С. 73–84. — Бібліогр.: 30 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-144731 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Рагимов, А.Б. 2019-01-02T19:47:17Z 2019-01-02T19:47:17Z 2017 О численном решении одного класса обратных задач для параболического уравнения / А.Б. Рагимов // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 3. — С. 73–84. — Бібліогр.: 30 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144731 519.633 Рассматривается класс обратных задач для параболического уравнения. В частности, к данному классу приводятся краевые задачи с нелокальными условиями. Предлагаемый численный подход основан на применении метода прямых для сведения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, к решению которой применяется аналог метода переноса краевых условий. Приводятся результаты численных экспериментов. Розглянуто клас обернених задач для параболічного рівняння. Зокрема, до цього класу зводяться крайові задачі з нелокальними умовами. Запропонований чисельний підхід базується на застосуванні методу прямих для зведення до системи звичайних диференціальних рівнянь, для розв’язання якої застосовують аналог методу перенесення крайових умов. Наведено результати чисельних экспериментів. A class of inverse problems for parabolic equation is considered. In particular, boundary value problems with nonlocal conditions are reduced to such class of problems. The proposed numerical approach is based on the method of lines to reduce the problem to a system of ordinary differential equations. To solve this system, the analogue of the transfer method for boundary conditions is applied. The results of numerical experiments are given. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системний аналіз О численном решении одного класса обратных задач для параболического уравнения Про чисельне розв'язання одного класу обернених задач для параболічного рівняння Numerical solution to a class of inverse problems for parabolic equation Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О численном решении одного класса обратных задач для параболического уравнения |
| spellingShingle |
О численном решении одного класса обратных задач для параболического уравнения Рагимов, А.Б. Системний аналіз |
| title_short |
О численном решении одного класса обратных задач для параболического уравнения |
| title_full |
О численном решении одного класса обратных задач для параболического уравнения |
| title_fullStr |
О численном решении одного класса обратных задач для параболического уравнения |
| title_full_unstemmed |
О численном решении одного класса обратных задач для параболического уравнения |
| title_sort |
о численном решении одного класса обратных задач для параболического уравнения |
| author |
Рагимов, А.Б. |
| author_facet |
Рагимов, А.Б. |
| topic |
Системний аналіз |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| publishDate |
2017 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про чисельне розв'язання одного класу обернених задач для параболічного рівняння Numerical solution to a class of inverse problems for parabolic equation |
| description |
Рассматривается класс обратных задач для параболического уравнения. В частности, к данному классу приводятся краевые задачи с нелокальными условиями. Предлагаемый численный подход основан на применении метода прямых для сведения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, к решению которой применяется аналог метода переноса краевых условий. Приводятся результаты численных экспериментов.
Розглянуто клас обернених задач для параболічного рівняння. Зокрема, до цього класу зводяться крайові задачі з нелокальними умовами. Запропонований чисельний підхід базується на застосуванні методу прямих для зведення до системи звичайних диференціальних рівнянь, для розв’язання якої застосовують аналог методу перенесення крайових умов. Наведено результати чисельних экспериментів.
A class of inverse problems for parabolic equation is considered. In particular, boundary value problems with nonlocal conditions are reduced to such class of problems. The proposed numerical approach is based on the method of lines to reduce the problem to a system of ordinary differential equations. To solve this system, the analogue of the transfer method for boundary conditions is applied. The results of numerical experiments are given.
|
| issn |
0023-1274 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144731 |
| citation_txt |
О численном решении одного класса обратных задач для параболического уравнения / А.Б. Рагимов // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 3. — С. 73–84. — Бібліогр.: 30 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT ragimovab očislennomrešeniiodnogoklassaobratnyhzadačdlâparaboličeskogouravneniâ AT ragimovab pročiselʹnerozvâzannâodnogoklasuobernenihzadačdlâparabolíčnogorívnânnâ AT ragimovab numericalsolutiontoaclassofinverseproblemsforparabolicequation |
| first_indexed |
2025-11-26T00:12:33Z |
| last_indexed |
2025-11-26T00:12:33Z |
| _version_ |
1850596225981612032 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.633
À.Á. ÐÀÃÈÌÎÂ
Î ×ÈÑËÅÍÍÎÌ ÐÅØÅÍÈÈ ÎÄÍÎÃÎ ÊËÀÑÑÀ ÎÁÐÀÒÍÛÕ ÇÀÄÀ×
ÄËß ÏÀÐÀÁÎËÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÓÐÀÂÍÅÍÈß
Àííîòàöèÿ. Ðàññìàòðèâàåòñÿ êëàññ îáðàòíûõ çàäà÷ äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ.  ÷àñòíîñòè, ê äàííîìó êëàññó ïðèâîäÿòñÿ êðàåâûå çàäà÷è ñ íå-
ëîêàëüíûìè óñëîâèÿìè. Ïðåäëàãàåìûé ÷èñëåííûé ïîäõîä îñíîâàí íà ïðè-
ìåíåíèè ìåòîäà ïðÿìûõ äëÿ ñâåäåíèÿ ê ñèñòåìå îáûêíîâåííûõ äèôôåðåí-
öèàëüíûõ óðàâíåíèé, ê ðåøåíèþ êîòîðîé ïðèìåíÿåòñÿ àíàëîã ìåòîäà ïåðå-
íîñà êðàåâûõ óñëîâèé. Ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: îáðàòíàÿ çàäà÷à, íåëîêàëüíûå óñëîâèÿ, ìåòîä ïðÿìûõ,
ïàðàáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå, ïàðàìåòðè÷åñêàÿ èäåíòèôèêàöèÿ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Èññëåäîâàíèå îáðàòíûõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè ïðîâîäèòñÿ â ðàçëè÷-
íûõ íàïðàâëåíèÿõ, è â ïîñëåäíèå ãîäû êîëè÷åñòâî ðàáîò, íà÷èíàÿ îò òåîðåòè-
÷åñêèõ äî êîíêðåòíûõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷, ñóùåñòâåííî âîçðîñëî [1–19]. Ê èñ-
ñëåäóåìûì êîýôôèöèåíòíî-îáðàòíûì çàäà÷àì ïðèâîäèò ðàññìîòðåííûé â ðà-
áîòå âàæíûé êëàññ êðàåâûõ çàäà÷ ñ íåëîêàëüíûìè óñëîâèÿìè [16–23].
Íåëîêàëüíîñòü óñëîâèé îáóñëîâëåíà íåâîçìîæíîñòüþ íà ïðàêòèêå ïðîâîäèòü
çàìåðû èçìåðÿåìûõ ïàðàìåòðîâ ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà (ïðîöåññà) ìãíîâåííî èëè
â åãî îòäåëüíî âçÿòûõ òî÷êàõ.
Îäíèì èç íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ ïîäõîäîâ ê ðåøåíèþ îáðàòíûõ çàäà÷
ÿâëÿåòñÿ ïðèâåäåíèå èõ ê âàðèàöèîííûì ïîñòàíîâêàì ñ äàëüíåéøèì èñïîëüçîâàíè-
åì ìåòîäîâ îïòèìèçàöèè è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ [8–10]. Ïðèìåíåíèå ýòîãî
ïîäõîäà ñâÿçàíî âî-ïåðâûõ, ñ ïðîáëåìàìè ïîëó÷åíèÿ ôîðìóë äëÿ ãðàäèåíòà
ôóíêöèîíàëà âàðèàöèîííîé çàäà÷è, à âî-âòîðûõ, ñ íåîáõîäèìîñòüþ èñïîëüçîâà-
íèÿ èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà.
Äðóãîé ïîäõîä çàêëþ÷àåòñÿ â èñïîëüçîâàíèè ïîñòðîåíèÿ ôóíäàìåíòàëüíîãî
ðåøåíèÿ çàäà÷è è ïðèâåäåíèÿ åå ê èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ.  ñëó÷àå, êîãäà
ôèãóðèðóþùèå â çàäà÷å ôóíêöèè èìåþò îáùèé âèä, èñïîëüçîâàíèþ òàêîãî ïîä-
õîäà ïðåïÿòñòâóåò ðÿä òðóäíîñòåé [6, 14–16].
Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ òàêæå ïðèìåíåíèå ìåòîäà ñåòîê (ÿâíûõ èëè íåÿâ-
íûõ) [24]. Íåäîñòàòêîì òàêîãî ïîäõîäà ÿâëÿåòñÿ áîëüøàÿ ðàçìåðíîñòü ïîëó÷àå-
ìîé ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàññìàòðèâàþòñÿ êëàññ êîýôôèöèåíòíî-îáðàòíûõ çàäà÷
è ïðèâîäèìûå ê ýòîìó êëàññó êðàåâûå çàäà÷è ñ íåëîêàëüíûìè óñëîâèÿìè. Íàè-
áîëåå ñóùåñòâåííûì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ïðåäëàãàåìûé ïîäõîä ê ÷èñëåííîìó ðåøå-
íèþ èññëåäóåìîãî êëàññà îáðàòíûõ çàäà÷ íå èñïîëüçóåò èòåðàöèîííûõ àëãîðèò-
ìîâ. Îòìåòèì, ÷òî ðàíåå â ðàáîòàõ [8–10] äëÿ ðåøåíèÿ òàêèõ çàäà÷ áûëè èñïîëü-
çîâàíû àïïàðàò òåîðèè îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ è ñîîòâåòñòâóþùèå ÷èñëåííûå
èòåðàöèîííûå ìåòîäû îïòèìèçàöèè ïåðâîãî ïîðÿäêà.
Äðóãàÿ ñïåöèôèêà ðàññìàòðèâàåìûõ êëàññîâ îáðàòíûõ çàäà÷ çàêëþ÷àåòñÿ
â òîì, ÷òî, âî-ïåðâûõ, âîññòàíàâëèâàåìûå êîýôôèöèåíòû íàõîäÿòñÿ ïðè ñâîáîä-
íîì ÷ëåíå, è, âî-âòîðûõ, îíè çàâèñÿò èëè òîëüêî îò âðåìåííîé, èëè òîëüêî îò
ïðîñòðàíñòâåííîé êîîðäèíàòû. Ýòà ñïåöèôèêà ïîçâîëÿåò ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ïðÿ-
ìûõ [25–27] ñâåñòè ðåøåíèå èñõîäíûõ çàäà÷ ê ðåøåíèþ ñïåöèàëüíî ïîñòðîåí-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3 73
� À.Á. Ðàãèìîâ, 2017
íûõ çàäà÷ Êîøè [28, 29] îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëü-
íûõ óðàâíåíèé.  íàñòîÿùåé ñòàòüå ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ
ýêñïåðèìåíòîâ è èõ àíàëèç.
1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×
Ðàññìîòðèì êîýôôèöèåíòíî-îáðàòíóþ çàäà÷ó îòíîñèòåëüíî ïàðàáîëè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
v x t
t
a x t
v x t
x
a x t
v x t
x
a x
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( ,
2
2 1 2 t v x t f x t F x t) ( , ) ( , ) ( , )� � ,
( , ) ( , ) : , }x t x t x l t T� � � � � � { 0 0 , (1)
ãäå
F x t B x t C xs s
s
L
( , ) ( , ) ( )�
�
1
, (2)
ïðè ñëåäóþùèõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ óñëîâèÿõ è äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ:
v x x x l( , ) ( ), [ , ]0 00� �� , (3)
v t t v l t t t T( , ) ( ), ( , ) ( ), [ , ]0 00 1� � �� � , (4)
v x t x x l t T s Ls s s( , ) ( ), [ , ], ( , ], , , .� � � ��1 0 0 1 � (5)
Çäåñü L � 0 — çàäàííîå öåëîå ÷èñëî; t Ts �( , ]0 , s L�1, ,� , — çàäàííûå ìîìåí-
òû âðåìåíè; çàäàííûå ôóíêöèè a x t0 0( , ) � , a x t1 ( , ), a x t2 ( , ), f x t B x ts( , ), ( , ) ,
�0 ( )x , � 0 ( )t , �1 ( )t , �1s x( ), s L�1, ... , ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíû è îãðàíè÷åíû
ïî x è t; B x ts ( , ) — ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ôóíêöèè, äèôôåðåíöèðóåìûå ïî t,
ïðè÷åì a x t2 0( , ) � , B x ts ( , ) � 0,
�
�
�
B x t
t
s ( , )
0. Ôóíêöèè �0 ( )x , �1s x( ), � 0 ( )t ,
�1 ( )t óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì ñîãëàñîâàíèÿ:
� �0 00 0( ) ( )� , � �0 1 0( ) ( )l � , � �1 00s st( ) ( )� , � �1 1s sl t( ) ( )� , s L�1, ,� .
Çàäà÷à (1)–(5) çàêëþ÷àåòñÿ â îïðåäåëåíèè íåèçâåñòíîé íåïðåðûâíîé L-ìåð-
íîé âåêòîð-ôóíêöèè C x C x C xL( ) ( ( ), , ( ))*� 1 � è ñîîòâåòñòâóþùåãî ðåøåíèÿ
êðàåâîé çàäà÷è v x t( , ) — äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé ïî x è îäèí ðàç
íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé ïî t ïðè ( , )x t � , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì
(1)–(5). Èçâåñòíî, ÷òî ïðè ñäåëàííûõ âûøå ïðåäïîëîæåíèÿõ îáðàòíàÿ çàäà÷à
(1)–(5) èìååò ðåøåíèå, ïðè÷åì îíî ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì [11, 12].
Âîçìîæåí ñëó÷àé êîýôôèöèåíòíî-îáðàòíîé çàäà÷è, êîãäà â óðàâíåíèè (1)
ôóíêöèÿ F x t( , ) èìååò âèä
F x t C x t B ts s
s
L
( , ) ( , ) ( )�
�
1
,
(6)
ãäå ôóíêöèè C x ts ( , ) — çàäàíû, êîýôôèöèåíòû B ts ( ) èäåíòèôèöèðóþòñÿ, à
âìåñòî äîïîëíèòåëüíîãî óñëîâèÿ (5) ìîæåò áûòü çàäàíî, íàïðèìåð, óñëîâèå
v x t t x ls s s( , ) ( ), ( , )� �� 2 0 , t T�[ , ]0 , s L�1, , .� (7)
Ê ÷àñòíîìó ñëó÷àþ çàäà÷è (1)–(5) ïðèâîäèòñÿ ñëåäóþùàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à ñ
íåëîêàëüíûì (èíòåãðàëüíûì) íà÷àëüíûì óñëîâèåì:
74 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3
�
�
�
�
�
�
�
�
�
u x t
t
a x
u x t
x
a x
u x t
x
a x u x
( , )
( )
( , )
( )
( , )
( ) ( ,
2
2 1 2 t f x t)
~
( , )� , ( , )x t � , (8)
k u x e u x d xk
T
1
0
00( , ) ( , ) ( )� �
� � � � , x l�[ , ]0 , (9)
u t t( , )
~
( )0 0� � , u l t t( , )
~
( )� �1 , t T�[ , ]0 , (10)
ãäå k k, 1 — çàäàííûå ïîñòîÿííûå,
~
( , )f x t , �0 ( )x ,
~
( )� 0 t ,
~
( )�1 t — çàäàííûå
ôóíêöèè. Íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè çàäà÷è (8)-(10) ðàññìàòðèâàëèñü, íàïðè-
ìåð, â ðàáîòàõ [17, 18].
Äëÿ ñâåäåíèÿ çàäà÷è (8)–(10) ê çàäà÷å (1)–(5) ââåäåì ôóíêöèþ
v x t k u x e u x dk
t
( , ) ( , ) ( , )� �
1
0
0 � � �. (11)
Äèôôåðåíöèðóÿ (11) ïî t, èìååì
u x t e
v x t
t
kt( , )
( , )
�
�
�
� .
(12)
Èç (9)–(12) ïîëó÷èì
v x k
v x
t
( , )
( , )
0
0
1�
�
�
,
v t k e d tk
t
( , )
~
( )
~
( ) ( )0 01 0 0 2
0
� � �
� � � � �� ,
v x T x( , ) ( )� �0 ,
v l t k e d tk
t
( , )
~
( )
~
( ) ( )� � �
1 1 1 1
0
0� � � � �� . (13)
Äèôôåðåíöèðóÿ u x t( , ) èç (12) îäèí ðàç ïî t è äâàæäû ïî x è ïîäñòàâëÿÿ ðåçóëü-
òàòû â óðàâíåíèå (8), ïîñëå íåêîòîðûõ íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì
�
�
�
�
� �
�
�
� �
�
2
2
3
2 1
2v x t
t
a x
v x t
t x
a x
v x t
t x
a
( , )
( )
( , )
( )
( , )
( 2 0( ) )
( , ) ~
( , ) .x k
v x t
t
e f x tkt�
�
�
� � (14)
Èíòåãðèðóÿ îáå ÷àñòè (14) ïî t, ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî ñ òî÷íîñòüþ äî íåêîòî-
ðîé ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè C x( ):
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
v x t
t
a x
v x t
x
a x
v x t
x
a x k
( , )
( )
( , )
( )
( , )
( ( ) )
2
2 1 2 v x t f x t C x( , ) ( , ) ( ),� � (15)
ãäå f x t e f x dk
t
( , )
~
( , )�
� � �
0
. Ôóíêöèè v x t C x( , ), ( ) äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óðàâ-
íåíèþ (15) è óñëîâèÿì (13).
Çàäà÷à (13), (15) îòëè÷àåòñÿ îò çàäà÷è ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè
(1)–(5) ëèøü íà÷àëüíûì óñëîâèåì ïðè t � 0.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3 75
Ê âèäó çàäà÷è (1), (3), (4), (6), (7) ïðèâîäèò, íàïðèìåð, ñëåäóþùàÿ çàäà÷à ñ
íåëîêàëüíûì êðàåâûì óñëîâèåì:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
u x t
t
a t
u x t
x
a t
u x t
x
a t u x
( , )
( )
( , )
( )
( , )
( ) ( ,
2
2 1 2 t f x t x t)
~
( , ), ( , ) ,� � (16)
u t t e u t d t t Tk
l
( , ) ( ), ( , ) ( ), [ , ]0 02
0
1� � �
� � � �� , (17)
u x x x l( , ) ~ ( ), [ , ]0 00� �� . (18)
Ðåøåíèå çàäà÷è âèäà (16)–(18) ðàññìîòðåíî, íàïðèìåð, â ðàáîòàõ [16, 17].
Äëÿ ïðèâåäåíèÿ çàäà÷è (16)–(18) ê âèäó (1), (3), (4), (6), (7) ââåäåì ôóíêöèþ
v x t e u t dk
x
( , ) ( , )�
� � �
0
. (19)
Äèôôåðåíöèðóÿ (19) ïî x, ïîëó÷àåì
u x t e
v x t
x
kx( , )
( , )
�
�
�
� .
(20)
Äèôôåðåíöèðóÿ (20) îäèí ðàç ïî t è äâàæäû ïî x è ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå
â (16), ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé èìååì
�
� �
�
�
�
� �
�2 3
3 1
2
2
v x t
t x
a t
v x t
x
a t ka t
v x t( , )
( )
( , )
( ( ) ( ))
( , )
�
�
x 2
� � �
�
�
�( ( ) ( ) ( ))
( , ) ~
( , )k a t ka t a t
v x t
x
e f x tkx2
1 2 .
Èíòåãðèðóÿ îáå ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ ïî x, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ñ òî÷íîñòüþ
äî ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè B t( ):
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
v x t
t
a t
v x t
x
a t ka t
v x t
x
( , )
( )
( , )
( ( ) ( ))
( , )2
2 1 2
� � � � �( ( ) ( ) ( )) ( , ) ( , ) ( )k a t ka t a t v x t f x t B t2
1 2 , (21)
ïðè ýòîì èñïîëüçîâàíî îáîçíà÷åíèå
f x t e f t dk
x
( , )
~
( , )�
� � �
0
.
Èç (17)–(20) èìååì ñëåäóþùèå íà÷àëüíûå è êðàåâûå óñëîâèÿ:
v t v l t t t T( , ) , ( , ) ( ), [ , ]0 0 01� � �� ; (22)
v x x x l( , ) ( ), [ , ]0 00� �� , (23)
ãäå
� � � ��
0 0
0
( ) ~ ( )x e dk
x
�
;
�
�
� �
v t
x
t t T
( , )
( ), [ , ]
0
02� . (24)
76 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3
Ïîëó÷åííàÿ êîýôôèöèåíòíî-îáðàòíàÿ çàäà÷à (21)–(24) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì
ñëó÷àåì çàäà÷è (1), (3), (4), (6), (7).
2. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ïðåäëàãàåòñÿ ïîäõîä ê ÷èñëåííîìó ðåøåíèþ çàäà÷ (1)–(5)
è (1), (3), (4), (6), (7), îñíîâàííûé íà èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà ïðÿìûõ. Íàïðè-
ìåð, çàäà÷à (1)–(5) ñâîäèòñÿ ê ñèñòåìå îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé ñ íåèçâåñòíûìè ïàðàìåòðàìè.
 îáëàñòè ïðîâåäåì ïðÿìûå x ihi x� , i N� 0 1, , ,� , h l Nx � / . Íà ýòèõ ïðÿ-
ìûõ îïðåäåëèì ôóíêöèè v ti ( ) � v x ti( , ) t T�[ , ]0 , i N� 0 1, , ,� , äëÿ êîòîðûõ ñî-
ãëàñíî (3)–(5) ñïðàâåäëèâû
v x i Ni i i( ) ( ) , , ,0 00 0� � �� � � , (25)
v t t v t t t TN0 0 1 0( ) ( ), ( ) ( ), [ , ]� � �� � , (26)
v t x t T s L i Ni s s i s i s( ) ( ) , ( , ], , , , , ,,� � � � �� �1 1 0 1 0� � . (27)
Íà ïðÿìûõ x xi� àïïðîêñèìèðóåì ïðîèçâîäíûå � �v x/ , � �2 2v x/ ñ èñïîëü-
çîâàíèåì öåíòðàëüíûõ ðàçíîñòíûõ ñõåì:
�
�
�
�
�
�
� �v x t
x
v t v t
h
O h
x x
i i
x
x
i
( , ) ( ) ( )
( )1 1 2
2
, i N� �1 1, ,� , (28)
�
�
�
� �
�
�
� �
2
2
1 1
2
22
2
v x t
x
v t v t v t
h
O h
x x
i i i
x
x
i
( , ) ( ) ( ) ( )
( ), i N� �1 1, ,� . (29)
Äàëåå èñïîëüçóåì îáîçíà÷åíèÿ
a t a x ti i( ) ( , )� , f t f x ti i( ) ( , )� , a t a x ti i1 1( ) ( , )� , a t a x ti i2 2( ) ( , )� ,
B t B x tsi s i( ) ( , )� , C C xsi s i� ( ), s L�1, ,� , i N�1 1, , –� .
Ïîäñòàâëÿÿ (28), (29) â (1), ïîëó÷àåì ñèñòåìó îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöè-
àëüíûõ óðàâíåíèé ( )N �1 -ãî ïîðÿäêà ñ íåèçâåñòíûì (èäåíòèôèöèðóåìûì) âåêòî-
ðîì ïàðàìåòðîâ C C Cs s s N� �( , , ),1 1�
T :
� � � � �� �v t
a t
h
v t v t v t
a t
h
i
i
x
i i i
i
x
( )
( )
[ ( ) ( ) ( )]
( )
[
2 1 1
12
2
v t v ti i� �� �1 1( ) ( )]
� � �
�
a t v t f t B t Ci i i si si
s
L
2
1
( ) ( ) ( ) ( ) , i N�1 2 1, , ..., – .
Ýòó ñèñòåìó ñ ó÷åòîì (25), (26) ìîæíî çàïèñàòü â âåêòîðíî-ìàòðè÷íîì âèäå
�( ) ( ) ( ) ( ) , ( , ]( )v t A t v t f t E C t TsB t s
s
L
� � � �
�
1
0 , (30)
v( )0 0� � , (31)
v ts s( ) � �1 , s L�1, ,� , (32)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3 77
ãäå v t v t v tN( ) ( ( ), , ( ))� �1 1�
T , B t B t B ts s s N( ) ( ( ), , ( )),� �1 1�
T , � �0 01� ( ,�
� , ),�0 1N �
T , � � �1 1 1 1 1s s s N� �( , , ), ,�
T , EsB t( ) — ( )N �1 -ìåðíàÿ êâàäðàòíàÿ
ìàòðèöà, â êîòîðîé i-é ýëåìåíò ãëàâíîé äèàãîíàëè ðàâåí i-é êîìïîíåíòå âåê-
òîðà B ts ( ), ò.å. B tsi ( ); âñå îñòàëüíûå ýëåìåíòû ðàâíû íóëþ. Íåíóëåâûå ýëå-
ìåíòû êâàäðàòíîé ( )N �1 -ìåðíîé òðåõäèàãîíàëüíîé ìàòðèöû A èìåþò âèä
~ ( ) [ ( ) ( )]a t
h
a t h a tii
x
i x i� � �
1
2
2
2
2 , i N�1 1, , –� ,
~ ( ) [ ( ) ( )],a t
h
a t
h
a ti i
x
i
x
i� � �1 2 1
1
2
, i N�1 2, , –� ,
~ ( ) [ ( ) ( )],a t
h
a t
h
a ti i
x
i
x
i� � �1 2 1
1
2
, i N� 2 1, , –� .
Âåêòîð f t( ) îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
f t f t
a t
h
a t
h
t f t
x x
( ) ( )
( ) ( )
( ), ( ),� � �
�
�
�
�
�
�
�
�1
1
2
11
0 2
2
� � , ( ), ( )f t f tN N� � �
�
�
�
� 2 1
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �a t
h
a t
h
tN
x
N
x
1
2
1 1
1
2
( ) ( )
( )
,
�
T
.
Çàäà÷à (30)–(32) ïðè íàëàãàåìûõ óñëîâèÿõ íà êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ (1) è
ôóíêöèè â íà÷àëüíî-êðàåâûõ óñëîâèÿõ àïïðîêñèìèðóåò çàäà÷ó (1)–(5) ñ òî÷-
íîñòüþ O hx( )2 (âîïðîñû ñõîäèìîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è (30)–(32) ê ðåøåíèþ çàäà÷è
(1)–(5) è îöåíêè ïîãðåøíîñòè ðàññìîòðåíû â ðàáîòå [30]). Îòìåòèì, ÷òî ïîãðåø-
íîñòü O hx( )2 ìîæíî óëó÷øèòü çà ñ÷åò èñïîëüçîâàíèÿ ñõåì àïïðîêñèìàöèè ïðîèç-
âîäíûõ ïî x áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà [26, 27].
Îáîçíà÷èì 0 1 1( ) ( )N N� � � íóëåâóþ ( )N �1 -ìåðíóþ êâàäðàòíóþ ìàòðèöó.
Òåîðåìà. Ïóñòü � s t( ), s L�1, ,� , — êâàäðàòíàÿ ìàòðè÷íàÿ, à � ( )t — âåêòîð-
íàÿ ôóíêöèè ðàçìåðíîñòè ( )N �1 ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷ Êîøè:
� ( ) ( ) ( ) ( )� �s s sB tt A t t E� � , s L�1, ,� , (33)
� s N N( ) ( ) ( )0 0 1 1� � � � , s L�1, ,� , (34)
� ( ) ( ) ( ) ( )� �t A t t f t� � , (35)
� �( )0 0� . (36)
Òîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïîñòîÿííîãî ( )N �1 -ìåðíîãî âåêòîðà Cs ðåøåíèåì
çàäà÷è Êîøè (30), (31) áóäåò ñëåäóþùàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ:
v t t C ts s
s
L
( ) ( ) ( )� �
�
� �
1
. (37)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñ ó÷åòîì (34), (36) î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ v t( ), îïðåäåëåí-
íàÿ èç (37), äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà C Rs
N� �1, s L�1, ,� , óäîâëåòâîðÿåò íà-
78 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3
÷àëüíîìó óñëîâèþ (31). Äèôôåðåíöèðóÿ îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (37) ñ ó÷åòîì (33),
(35), èìååì
�( ) � ( ) � ( ) [ ( ) ( ) ]( )v t t C t A t t E Cs s
s
L
s sB t s
s
L
� � � �
� �
� � �
1 1
� � �[ ( ) ( ) ( )]A t t f t�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
� �
A t t C t E C f ts s
s
L
sB t s
s
L
( ) ( ) ( ) ( )( )� �
1 1
� � �
�
A t v t E C f tsB t s
s
L
( ) ( ) ( )( )
1
.
Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ v t( ) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (30).
Ðåøèâ íåçàâèñèìî ìàòðè÷íóþ çàäà÷ó Êîøè (33), (34) äëÿ îïðåäåëåíèÿ � s t( ),
s L�1, ,� , è çàäà÷ó Êîøè (35), (36) îòíîñèòåëüíî âåêòîðíîé ôóíêöèè � ( )t è èñ-
ïîëüçîâàâ óñëîâèå (32) è ïðåäñòàâëåíèå (37), ïîëó÷èì ðàâåíñòâî
v t t C ts s s s s
s
L
s( ) ( ) ( )� � �
�
� � �1
1
, s L�1, ,� , (38)
ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé àëãåáðàè÷åñêóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ïîðÿäêà ( )N �1 , èç
êîòîðîé ìîæíî îïðåäåëèòü èäåíòèôèöèðóåìûé âåêòîð C s Ls, , ,�1 � .
Äàëåå, èñïîëüçóÿ çíà÷åíèÿ êîìïîíåíò âåêòîðà Ñ C x C xs s s N� �( ( ), , ( ))1 1�
T ,
s L�1, ,� , è ïðèìåíÿÿ îïðåäåëåííûé ìåòîä èíòåðïîëÿöèè èëè àïïðîêñèìàöèè,
ìîæíî âîññòàíîâèòü èñêîìóþ ôóíêöèþ C xs ( ), s L�1, ,� , íà çàäàííîì êëàññå
ôóíêöèé.
 ñëó÷àå íåîáõîäèìîñòè îïðåäåëåíèÿ ñàìîãî ðåøåíèÿ v x t( , ) êðàåâîé çàäà÷è
(1)–(5) äîñòàòî÷íî ðåøèòü çàäà÷ó Êîøè (30), (31). Ïðåäëîæåííûé ïîäõîä ìîæíî
àíàëîãè÷íûì îáðàçîì èñïîëüçîâàòü äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (1), (3), (4), (6), (7).
3. ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ ×ÈÑËÅÍÍÛÕ ÝÊÑÏÅÐÈÌÅÍÒÎÂ
Ïðèâåäåì ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ ñëåäóþùèõ çàäà÷ ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôè-
êàöèè.
Çàäà÷à 1. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó
�
�
�
�
�
�
v x t
t
x
v x t
x
e C xt( , ) ( , )
( )2
2
2
, ( , ) ( , ) : ,x t x t x t� � � � � � { }0 1 0 1 ,
v x x x v x ex x x( , ) cos , ( , ) cos , [ , ]0 1 0 12 2� � � ,
v t( , )0 0� , v t et( , ) cos1 1� , t �[ , ]0 1 .
Òî÷íûì ðåøåíèåì äàííîé çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè
C x x x x x x( ) ( )cos sin� � �2 2 31 4 , v x t e x xt( , ) cos� 2 .
×èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû ïðîâîäèëèñü ïðè ðàçëè÷íûõ ÷èñëàõ N ïðÿìûõ
x xi� , i N�1, ,� . Äëÿ ðåøåíèÿ âñïîìîãàòåëüíûõ çàäà÷ Êîøè èñïîëüçîâàëñÿ ìå-
òîä Ðóíãå–Êóòòà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ïðè ðàçëè÷íûõ øàãàõ ht . Áûëè ïðîâåäåíû
ðàñ÷åòû ïðè íàëè÷èè ñëó÷àéíûõ ïîìåõ â ôóíêöèè v x( , )1 , êîòîðûå îïðåäåëÿëèñü
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
v x v x� �( , ) ( , )( )1 1 1� � rand ,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3 79
ãäå � — ïðîöåíò óðîâíÿ øóìà, rand — ñëó÷àéíûå ÷èñëà, ñãåíåðèðîâàííûå
ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè MATLAB rand äëÿ ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà èí-
òåðâàëå [– 1, 1].
 òàáë. 1 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ çàäà÷è 1 ïðè N � 20, ht � 0001. äëÿ
óðîâíåé øóìà, ðàâíûõ � �1%, � � 3 % è � � 5 %, à òàêæå áåç íàëè÷èÿ øóìà, ò.å.
� � 0 %. Íà ðèñ. 1 äàíû ãðàôèêè òî÷íîãî (àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå) è ïîëó÷åííîãî
÷èñëåííûìè ìåòîäàìè (ïðèâåäåííûìè â ðàçä. 2) êîýôôèöèåíòà C x( ) ïðè ðàçëè÷-
íûõ óðîâíÿõ øóìà � íà îñíîâå äàííûõ òàáë. 1 äëÿ çàäà÷è 1.
80 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3
i xi
Çíà÷åíèå C x( ) äëÿ çàäà÷è 1
Òî÷íîå
çíà÷åíèå
Ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå äëÿ � (%)
�
�
� ��
�
�
� ��
1 0.05 �0.002466 �0.002459 �0.002474 �0.002504 �0.002535
2 0.10 �0.009451 �0.009427 �0.009610 �0.009978 �0.010345
3 0.15 �0.019729 �0.019675 �0.020085 �0.020904 �0.021724
4 0.20 �0.031277 �0.031182 �0.031389 �0.031803 �0.032217
5 0.25 �0.041309 �0.041165 �0.039985 �0.037625 �0.035264
6 0.30 �0.046326 �0.046126 �0.041688 �0.032811 �0.023934
7 0.35 �0.042170 �0.041910 �0.032199 �0.012779 0.006641
8 0.40 �0.024100 �0.023778 �0.007624 0.024685 0.056993
9 0.45 0.013128 0.013510 0.035243 0.078708 0.122173
10 0.50 0.075166 0.075603 0.098996 0.145783 0.192570
11 0.55 0.167971 0.168454 0.186165 0.221585 0.257006
12 0.60 0.297694 0.298211 0.300125 0.303952 0.307779
13 0.65 0.470558 0.471092 0.446190 0.396386 0.346582
14 0.70 0.692733 0.693263 0.632543 0.511105 0.389666
15 0.75 0.970201 0.970703 0.870646 0.670534 0.470421
16 0.80 1.308624 1.309067 1.174817 0.906317 0.637817
17 0.85 1.713198 1.713549 1.560817 1.255352 0.949888
18 0.90 2.188515 2.188739 2.043520 1.753082 1.462644
19 0.95 2.738424 2.738473 2.633984 2.425005 2.216027
Ò à á ë è ö à 1
Ðèñ. 1. Ãðàôèêè òî÷íîãî (Exact) è ïîëó÷åííîãî ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè êîýôôèöèåíòà C x( ) ïðè
ðàçëè÷íûõ óðîâíÿõ øóìà äëÿ çàäà÷è 1
C
x(
)
x
Exact
� �1
� 3 %
� ��
Çàäà÷à 2. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó
�
�
�
�
�
� �� �v x t
t
a x
v x t
x
e x C xt x( , )
( )
( , )
( ) ( )
2
2
2 1 22 1 ,
( , ) ( , ) : ,x t x t x t� � � � � � { }0 1 0 1 ,
v x e x x xx( , ) (sin )0 21 2� � �� , v x e x x xx( , ) (sin )1 23 2� � �� , x �[ , ]0 1 ,
v t( , )0 0� , v t e t( , ) (sin )1 1 12 2� �� , t �[ , ]0 1 ,
ãäå a x ex( ) /� 2. Òî÷íûì ðåøåíèåì äàííîé çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè
C x
x x x a x x x x
x
( )
(sin ) ( )( cos )
�
� � � � � �
�
2 2 2 2 2
2 1
2 2
2
,
v x t e x x xt x( , ) (sin )� � �� �2 1 22 .
 òàáë. 2 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ çàäà÷è 2 ïðè N � 20, ht � 0001.
äëÿ óðîâíåé øóìà, ðàâíûõ � �1%, � � 2 % è � � 3 %, à òàêæå áåç íàëè÷èÿ øóìà,
ò.å. � � 0 %. Íà ðèñ. 2 äàíû ãðàôèêè òî÷íîãî (àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå) è ïîëó÷åí-
íîãî ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè êîýôôèöèåíòà C x( ) ïðè ðàçëè÷íûõ óðîâíÿõ øóìà �
íà îñíîâå äàííûõ òàáë. 2 äëÿ çàäà÷è 2.
Òî÷íîñòü ðåøåíèÿ îáðàòíûõ çàäà÷, êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, ñóùåñòâåííî
çàâèñèò îò ÷èñëà èñïîëüçóåìûõ ïðÿìûõ N â ìåòîäå ïðÿìûõ äëÿ àïïðîêñèìàöèè
èñõîäíîé êðàåâîé çàäà÷è.
 çàäà÷å îïðåäåëåíèÿ C x( ) óâåëè÷åíèå ÷èñëà ïðÿìûõ ïðèâîäèò ê óâåëè÷å-
íèþ ïîðÿäêà ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ îáûêíîâåííûìè ïðîèç-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3 81
i xi
Çíà÷åíèå C x( ) äëÿ çàäà÷è 2
Òî÷íîå
çíà÷åíèå
Ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå äëÿ � (%)
� �0 0 � �10 � �2 0 � �3 0
1 0.05 �1.743674 �1.743183 �1.926269 �2.109355 �2.292442
2 0.10 �1.479520 �1.478955 �1.618075 �1.757195 �1.896315
3 0.15 �1.214737 �1.214098 �1.273793 �1.333488 �1.393183
4 0.20 �0.955937 �0.955225 �0.913545 �0.871866 �0.830186
5 0.25 �0.708616 �0.707837 �0.560934 �0.414031 �0.267128
6 0.30 �0.476853 �0.476010 �0.239053 �0.002096 0.234860
7 0.35 �0.263224 �0.262322 0.033230 0.328783 0.624335
8 0.40 �0.068919 �0.067964 0.243995 0.555953 0.867911
9 0.45 0.106028 0.107033 0.389588 0.672144 0.954699
10 0.50 0.262461 0.263511 0.474531 0.685552 0.896572
11 0.55 0.401822 0.402913 0.510222 0.617531 0.724840
12 0.60 0.525907 0.527034 0.512829 0.498623 0.484418
13 0.65 0.636672 0.637834 0.500783 0.363731 0.226679
14 0.70 0.736099 0.737293 0.492252 0.247210 0.002169
15 0.75 0.826093 0.827316 0.502910 0.178504 �0.145902
16 0.80 0.908433 0.909689 0.544241 0.178792 �0.186656
17 0.85 0.984738 0.986000 0.622436 0.258872 �0.104693
18 0.90 1.056458 1.057802 0.738219 0.418636 0.099053
19 0.95 1.124878 1.126169 0.886732 0.647295 0.407859
Ò à á ë è ö à 2
âîäíûìè, ðàâíîé N 2 . Ýòî âûçûâàåò ñóùåñòâåííîå óâåëè÷åíèå îáúåìà âû÷èñëå-
íèé, à ñëåäîâàòåëüíî è óâåëè÷åíèå ïîãðåøíîñòè âû÷èñëèòåëüíîãî õàðàêòåðà.
Ïîýòîìó ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíîé çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè êîýôôèöèåíòà C x( )
äëÿ âûáîðà ÷èñëà ïðÿìûõ íåîáõîäèìî ïðîâåñòè äîïîëíèòåëüíûé ÷èñëåííûé
àíàëèç.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ïðåäëàãàåìûå â íàñòîÿùåé ðàáîòå ÷èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ ïàðàìåò-
ðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ öåëåñîîáðàçíû, ïî-
ñêîëüêó îíè ïðèâîäÿòñÿ ê ðåøåíèþ âñïîìîãàòåëüíûõ, õîðîøî èññëåäîâàííûõ
çàäà÷ Êîøè è íå òðåáóþò ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííûõ ïðîöåäóð. Äëÿ ýòîãî ìî-
æåò áûòü èñïîëüçîâàíî ñòàíäàðòíîå ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå, â ÷àñòíîñòè
MATLAB. Ê ðàññìîòðåííûì êëàññàì çàäà÷ ñâîäÿòñÿ ÷àñòî âñòðå÷àþùèåñÿ íà
ïðàêòèêå çàäà÷è ñ íåëîêàëüíûìè íà÷àëüíûìè è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè.
Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ïðåäëàãàåìàÿ ìåòîäèêà ïîñòðîåíèÿ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ
ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ äðóãèõ òèïîâ óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíû-
ìè ñ äðóãèìè çàäàííûìè âèäàìè íà÷àëüíî-êðàåâûõ óñëîâèé.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Cannon J.R., Duchateau P. Structural identification of an unknown source term in a heat equation.
Inverse Problems. 1998. V. 14. P. 535–551.
2. Fatullayev A.G. Numerical solution of the inverse problem of determining an unknown source term
in a two-dimensional heat equation. Appl. Math. Comput. 2004. Vol. 152. P. 659–666.
3. Liu C.-S. An two-stage LGSM to identify time dependent heat source through an internal
measurement of temperature. Int. J. Heat Mass Transfer. 2009. Vol. 52. P. 1635–1642.
4. Liu C.-S. A Lie-group shooting method for reconstructing a past time-dependent heat source. Int. J.
Heat Mass Transfer. 2012. Vol. 55. P. 1773–1781.
82 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3
Ðèñ. 2. Ãðàôèêè òî÷íîãî (Exact) è ïîëó÷åííîãî ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè êîýôôèöèåíòà C x( ) ïðè
ðàçëè÷íûõ óðîâíÿõ øóìà äëÿ çàäà÷è 2
C
x(
)
x
Exact
� �1
� 2 %
�
�
5. Yang L., Deng Z.-C., Yu J.-N., and Luo G.-W. Optimization method for the inverse problem of
reconstructing the source term in a parabolic equation. Math. Comput. Simul. 2009. Vol. 80.
P. 314–326.
6. Farcas A. and Lesnic D., The boundary-element method for the determination of a heat source
dependent on one variable. J. Eng. Math. 2006. Vol. 54. P. 375–388.
7. Ling L., Yamamoto M., and Hon Y.C. Identification of source locations in two-dimensional heat
equations. Inverse Problems. 2006. Vol. 22. P. 1289–1305.
8. Johansson T. and Lesnic D. A variational method for identifying a spacewise-dependent heat source.
IMA J. Appl. Math. 2007. Vol. 72. P. 748–760.
9. Hasanov A. Identification of spacewise and time dependent source terms in 1D heat conduction
equation from temperature measurement at a final time. Int. J. Heat Mass Transfer. 2012. Vol. 55.
P. 2069–2080.
10. Hasanov A. An inverse source problem with single Dirichlet type measured output data for a linear
parabolic equation. Appl. Math. Lett. 2011. Vol. 24. P. 1269–1273.
11. Ïðèëåïêî À.È., Êîñòèí À.Á. Î íåêîòîðûõ îáðàòíûõ çàäà÷àõ äëÿ ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé
ñ ôèíàëüíûì è èíòåãðàëüíûì íàáëþäåíèåì. Ìàòåì. ñá. 1992. Ò. 183, ¹ 4. Ñ. 49–68.
12. Ñàâàòååâ Å.Ã. Î çàäà÷å èäåíòèôèêàöèè êîýôôèöèåíòà ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ. Ñèá. ìà-
òåì. æóðí. 1995. Ò. 36, ¹ 1. Ñ. 177–185.
13. Ivanchov M.I. The inverse problem of determining the heat source power for a parabolic equation
under arbitrary boundary conditions. Journal of Mathematical Sciences. 1998. Vol. 88, N 3.
P. 432–436.
14. Yan L., Fu C.L., and Yang F.L. The method of fundamental solutions for the inverse heat source
problem. Eng. Anal. Boundary Elements. 2008. Vol. 32. P. 216–222.
15. Ahmadabadi M. Nili, Arab M., Maalek Ghaini F.M. The method of fundamental solutions for the
inverse space-dependent heat source problem. Eng. Anal. Bound. Elem. 2009. Vol. 33.
P. 1231–1235.
16. Ismailov M.I., Kanca F., and Lesnic D., Determination of a time-dependent heat source under
nonlocal boundary and integral overdetermination conditions. Appl. Math. Comput. 2011. Vol. 218.
P. 4138–4146.
17. Ïóëüêèíà Ë.Ñ. Îá îäíîì êëàññå íåëîêàëüíûõ çàäà÷ è èõ ñâÿçè ñ îáðàòíûìè çàäà÷àìè.
Òð. Òðåòüåé Âñåðîñ. íàó÷. êîíô. «Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ è êðàåâûå çàäà÷è. Ìàòåìàòè-
÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå è êðàåâûå çàäà÷è». ×. 3. Ñàìàðà: Èçä. ÑàìÃÒÓ, 2006. C. 190–192.
18. Êàìûíèí Â.Ë. Îá îáðàòíîé çàäà÷å îïðåäåëåíèÿ ïðàâîé ÷àñòè â ïàðàáîëè÷åñêîì óðàâíåíèè ñ
óñëîâèåì èíòåãðàëüíîãî ïåðåîïðåäåëåíèÿ. Ìàòåì. çàìåòêè. 2005. Ò. 77, ¹ 4, C. 522–534.
19. Ïðèëåïêî À.È., Òêà÷åíêî Ä.Ñ. Êîððåêòíîñòü îáðàòíîé çàäà÷è îá èñòî÷íèêå äëÿ ïàðàáîëè÷åñ-
êèõ ñèñòåì. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. 2004. Ò. 40, ¹ 11. Ñ. 1540–1547.
20. Mohebbia A., Abbasia M. A fourth-order compact difference scheme for the parabolic inverse
problem with an overspecification at a point. Inverse Problems in Science and Engineering. 2015.
Vol. 23, N 3. P. 457–478.
21. Èîíêèí Í.È. Ðåøåíèå îäíîé êðàåâîé çàäà÷è òåîðèè òåïëîïðîâîäíîñòè ñ íåêëàññè÷åñêèì êðà-
åâûì óñëîâèåì. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. 1977. Ò. 13, ¹ 2. Ñ. 294–304.
22. Bouziani A., Benouar N.-E. Probleme mixte avec conditions integrales pour une classe d’equations
paraboliques. C. R. Acad. Sci. Paris. Serie 1. 1995. Vol. 321. P. 1177–1182.
23. Âîäàõîâà Â.À. Êðàåâàÿ çàäà÷à ñ íåëîêàëüíûì óñëîâèåì À.Ì. Íàõóøåâà äëÿ îäíîãî ïñåâäîïà-
ðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. 2004. Ò. 40, ¹ 4. Ñ. 547–564.
24. Ñàìàðñêèé À.À., Íèêîëàåâ Å.Ñ. Ìåòîäû ðåøåíèÿ ñåòî÷íûõ óðàâíåíèé. Ìîñêâà: Íàóêà,
1978. 592 ñ.
25. Schiesser W.E. The numerical method of lines: Integration of partial differential equations.
San Diego: Academic Press, 1991. 326 p.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3 83
26. Ñàìóñåíêî À.Â., Ôðîëîâà Ñ.Â. Ìíîãîòî÷å÷íûå ñõåìû ïðîäîëüíîãî âàðèàíòà ìåòîäà ïðÿìûõ
ïîâûøåííîé òî÷íîñòè äëÿ ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Âåñöi ÍÀÍ Áå-
ëàðóñi. Ñåð. ôiç.-ìàò. íàâóê. 2009. ¹ 3. Ñ. 31–39.
27. Ëèñêîâåö Î.À. Ìåòîä ïðÿìûõ. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. 1965. Ò. 1, ¹ 12. Ñ. 1662–1678.
28. Aida-zade K.R., Rahimov A.B. An approach to numerical solution of some inverse problems for
parabolic equations. Inverse Problems in Science and Engineering. 2014. Vol. 22, N 1. P. 96–111.
29. Àéäà-çàäå Ê.Ð., Ðàãèìîâ À.Á. Ðåøåíèå êëàññîâ êîýôôèöèåíòíî-îáðàòíûõ çàäà÷ è çàäà÷ ñ íåëî-
êàëüíûìè óñëîâèÿìè äëÿ ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. 2015.
Ò. 51, ¹ 1. Ñ. 84–94.
30. Áóäàê Á.Ì. Î ìåòîäå ïðÿìûõ äëÿ íåêîòîðûõ êâàçèëèíåéíûõ êðàåâûõ çàäà÷ ïàðàáîëè÷åñêîãî
òèïà. Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. 1961. Ò. 1, ¹ 6. Ñ. 1105–1112.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 20.10.2016
À.Á. Ðàã³ìîâ
ÏÐÎ ×ÈÑÅËÜÍÅ ÐÎÇÂ'ßÇÀÍÍß ÎÄÍÎÃÎ ÊËÀÑÓ
ÎÁÅÐÍÅÍÈÕ ÇÀÄÀ× ÄËß ÏÀÐÀÁÎ˲×ÍÎÃΠвÂÍßÍÍß
Àíîòàö³ÿ. Ðîçãëÿíóòî êëàñ îáåðíåíèõ çàäà÷ äëÿ ïàðàáîë³÷íîãî ð³âíÿííÿ.
Çîêðåìà, äî öüîãî êëàñó çâîäÿòüñÿ êðàéîâ³ çàäà÷³ ç íåëîêàëüíèìè óìîâàìè.
Çàïðîïîíîâàíèé ÷èñåëüíèé ï³äõ³ä áàçóºòüñÿ íà çàñòîñóâàíí³ ìåòîäó ïðÿìèõ
äëÿ çâåäåííÿ äî ñèñòåìè çâè÷àéíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü, äëÿ ðîçâ’ÿçàí-
íÿ ÿêî¿ çàñòîñîâóþòü àíàëîã ìåòîäó ïåðåíåñåííÿ êðàéîâèõ óìîâ. Íàâåäåíî
ðåçóëüòàòè ÷èñåëüíèõ ýêñïåðèìåíò³â.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: îáåðíåíà çàäà÷à, íåëîêàëüí³ óìîâè, ìåòîä ïðÿìèõ, ïàðà-
áîë³÷íå ð³âíÿííÿ, ïàðàìåòðè÷íà ³äåíòèô³êàö³ÿ.
A.B. Rahimov
NUMERICAL SOLUTION TO A CLASS OF INVERSE PROBLEMS
FOR PARABOLIC EQUATION
Abstract. A class of inverse problems for parabolic equation is considered. In
particular, boundary value problems with nonlocal conditions are reduced to
such class of problems. The proposed numerical approach is based on the
method of lines to reduce the problem to a system of ordinary differential
equations. To solve this system, the analogue of the transfer method for
boundary conditions is applied. The results of numerical experiments are given.
Keywords: inverse problem, nonlocal conditions, method of lines, parabolic
equation, parametric identification.
Ðàãèìîâ Àíàð Áåéáàëà îãëû,
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò, âåäóùèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà ñèñòåì óïðàâëåíèÿ ÍÀÍ
Àçåðáàéäæàíà, Áàêó; Óíèâåðñèòåò Ýêñ-Ìàðñåëü, Èíñòèòóò Ôðåíåëÿ, Ìàðñåëü, Ôðàíöèÿ,
e-mail: anar_r@yahoo.com; anar.rahimov@fresnel.fr.
84 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3
|