Наилучшее приведение матриц к блочно-треугольному виду для задач иерархической декомпозиции
Изложено решение задачи о приведении нескольких комплексных (вообще говоря) n×n-матриц к одинаковому блочно-треугольному виду с максимально возможным количеством блоков на главной диагонали с помощью преобразования подобия. Полученное решение можно использовать для применения методов иерархической д...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2017 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2017
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144739 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Наилучшее приведение матриц к блочно-треугольному виду для задач иерархической декомпозиции / Ю.Н. Базилевич // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 3. — С. 145–153. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859942188458180608 |
|---|---|
| author | Базилевич, Ю.Н. |
| author_facet | Базилевич, Ю.Н. |
| citation_txt | Наилучшее приведение матриц к блочно-треугольному виду для задач иерархической декомпозиции / Ю.Н. Базилевич // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 3. — С. 145–153. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Изложено решение задачи о приведении нескольких комплексных (вообще говоря) n×n-матриц к одинаковому блочно-треугольному виду с максимально возможным количеством блоков на главной диагонали с помощью преобразования подобия. Полученное решение можно использовать для применения методов иерархической декомпозиции при анализе сложных систем.
Розглянуто розв’язання задачі про зведення декількох комплексних (взагалі кажучи) n×n-матриць до однакового блочно-трикутного вигляду з максимально можливою кількістю блоків на головній діагоналі за допомогою перетворення подібності. Отриманий розв’язок можна використовувати для застосування методів ієрархічної декомпозиції при аналізі складних систем.
The author solves the problem of reducing several complex (generally speaking) n×n-matrices to the same block triangular form by a similarity transformation with maximum possible number of blocks on the main diagonal. The obtained solution may be used to apply the methods of hierarchical decomposition in the analysis of complex systems.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:12:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 512.643:512.552.12
Þ.Í. ÁÀÇÈËÅÂÈ×
ÍÀÈËÓ×ØÅÅ ÏÐÈÂÅÄÅÍÈÅ ÌÀÒÐÈÖ Ê ÁËÎ×ÍÎ-ÒÐÅÓÃÎËÜÍÎÌÓ
ÂÈÄÓ ÄËß ÇÀÄÀ× ÈÅÐÀÐÕÈ×ÅÑÊÎÉ ÄÅÊÎÌÏÎÇÈÖÈÈ
Àííîòàöèÿ. Èçëîæåíî ðåøåíèå çàäà÷è î ïðèâåäåíèè íåñêîëüêèõ êîìïëåê-
ñíûõ (âîîáùå ãîâîðÿ) n n� -ìàòðèö ê îäèíàêîâîìó áëî÷íî-òðåóãîëüíîìó
âèäó ñ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûì êîëè÷åñòâîì áëîêîâ íà ãëàâíîé äèàãîíàëè
ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîäîáèÿ. Ïîëó÷åííîå ðåøåíèå ìîæíî èñïîëüçî-
âàòü äëÿ ïðèìåíåíèÿ ìåòîäîâ èåðàðõè÷åñêîé äåêîìïîçèöèè ïðè àíàëèçå
ñëîæíûõ ñèñòåì.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìàòðèöà, áëî÷íî-òðåóãîëüíûé âèä, ïðåîáðàçîâàíèå ïîäî-
áèÿ, öåíòðàëèçàòîð, àëãåáðà íàä ïîëåì, ðàäèêàë.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Äåêîìïîçèöèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì, îïèñûâàåìûõ íåñêîëüêèìè ìàòðèöàìè êîýô-
ôèöèåíòîâ, ñâîäèòñÿ ê îäíîâðåìåííîìó ïðèâåäåíèþ ýòèõ ìàòðèö ê áëî÷íî-äèà-
ãîíàëüíîìó èëè ê áëî÷íî-òðåóãîëüíîìó âèäó. Ïðèìåðàìè òàêèõ ñèñòåì ÿâëÿþò-
ñÿ ìåõàíè÷åñêèå ñèñòåìû, íå ïðèâîäèìûå ê îáû÷íûì ãëàâíûì êîîðäèíàòàì,
à òàêæå ýêîíîìè÷åñêèå ñèñòåìû, îïèñûâàåìûå ìàòðèöàìè ïðÿìûõ çàòðàò è ïîë-
íîé ïðèðîñòíîé êàïèòàëîåìêîñòè.
Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé, êîãäà ÷èñëî ìàòðèö d � 2.
Äàíû äâå êâàäðàòíûå ìàòðèöû: B1 è B2 , íàä ïîëåì � êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.
Íåîáõîäèìî íàéòè ïðåîáðàçîâàíèå ïîäîáèÿ
~
~ ~ ~
~ ~
~
B S B S
B B B
B B
B
l
l
l
� �
� � �
� �
�
� ��1
11 12 1
22 20
0 0 0
�
�
� � � �
l
�
�
�
�
�
�
�
�, ,� 1 2 , (1)
ïðèâîäÿùåå îáå ìàòðèöû ê îäèíàêîâîìó áëî÷íî-òðåóãîëüíîìó âèäó. Çäåñü
~
B ij� —
ýòî áëîê ìàòðèöû
~
B� , ñòîÿùèé â i-ì ñòîëáöå è j-é ñòðîêå áëî÷íî-òðåóãîëüíîé
ìàòðèöû, äèàãîíàëüíûå áëîêè
~
B ii� — êâàäðàòíûå ïîäìàòðèöû. Íóæíî ÷òîáû
êîëè÷åñòâî l äèàãîíàëüíûõ áëîêîâ áûëî ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûì.
Èäåÿ ìåòîäà ïðåäñòàâëåíà â [1]. Â ðàáîòàõ [2, 3] èçëîæåíû ñîîòâåòñòâóþùèå
âû÷èñëèòåëüíûå àëãîðèòìû è ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïî ðåøåíèþ ïðèêëàäíûõ çà-
äà÷.  íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðèâåäåíî ïîäðîáíîå òåîðåòè÷åñêîå îáîñíîâàíèå ðàçðà-
áîòàííûõ ìåòîäîâ. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è íå ñäåëàíî ïðåäïîëîæåíèé î ïîëóïðîñ-
òîòå öåíòðàëèçàòîðà ìàòðèö, î êîìïàêòíîñòè ãðóïïû ñèììåòðèè è ò.ä.
Îòìåòèì, ÷òî ãîòîâîå ðåøåíèå ñóùåñòâóåò òîëüêî äëÿ ñëó÷àÿ îäíîé ìàòðè-
öû, êîòîðóþ ìîæíî ïðèâåñòè ê åå æîðäàíîâîé ôîðìå. Ñîçäàíèå êàíîíè÷åñêîé
ôîðìû äëÿ ïàðû ìàòðèö — èçâåñòíàÿ íåðåøåííàÿ çàäà÷à; ïîñëåäíþþ è ýêâèâà-
ëåíòíûå åé çàäà÷è íàçûâàþò äèêèìè çàäà÷àìè [4].
1. ÎÁÙÀß ÑÕÅÌÀ ÐÀÑ×ÅÒÎÂ
Èñïîëüçóþòñÿ ìåòîä êîììóòèðóþùåé ìàòðèöû è ìåòîä èíâàðèàíòíîãî ïîä-
ïðîñòðàíñòâà. Ïåðâûé ïîçâîëÿåò íàéòè ïðåîáðàçîâàíèå ïîäîáèÿ, ïðèâîäÿùåå
îáå ìàòðèöû ê áëî÷íî-äèàãîíàëüíîìó âèäó ñ äâóìÿ (êàê ìèíèìóì) áëîêàìè
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3 145
© Þ.Í. Áàçèëåâè÷, 2017
íà ãëàâíîé äèàãîíàëè, ëèáî óñòàíîâèòü, ÷òî òàêîå ïðèâåäåíèå äàííûõ ìàòðèö
íåâîçìîæíî. Âòîðîé ìåòîä ïðåäíàçíà÷åí äëÿ òîãî, ÷òîáû îáå ìàòðèöû, íå
ïðèâîäÿùèåñÿ ê áëî÷íî-äèàãîíàëüíîìó âèäó, ïðèâåñòè ê áëî÷íî-òðåóãîëüíîìó
âèäó ëèáî óñòàíîâèòü, ÷òî îíè íå ïðèâîäÿòñÿ è ê «ñòðîãî» áëî÷íî-òðåóãîëü-
íîìó âèäó. Èñïîëüçóåòñÿ òàêæå ñïîñîá ïðåîäîëåíèÿ îñîáîãî ñëó÷àÿ.
Ýòîò ïîäõîä ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèìåíÿåòñÿ âíà÷àëå ê èñõîäíîé ïàðå ìàòðèö,
à çàòåì ê ïàðàì áëîêîâ, ïîÿâëÿþùèìñÿ íà ãëàâíîé äèàãîíàëè. Ïðîöåññ ïðîäîë-
æàåòñÿ äî ïîëó÷åíèÿ òàêèõ ïàð áëîêîâ, êîòîðûå óæå íåâîçìîæíî ïðèâåñòè
ê áëî÷íî-òðåóãîëüíîìó âèäó. Íà îñíîâàíèè òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè
óòâåðæäàåì, ÷òî ýòî è åñòü ðåøåíèå çàäà÷è.
2. ÌÅÒÎÄ ÊÎÌÌÓÒÈÐÓÞÙÅÉ ÌÀÒÐÈÖÛ
Î âîçìîæíîñòè ïðèìåíåíèÿ êîììóòèðóþùåé ìàòðèöû äëÿ ðàñùåïëåíèÿ ñèñ-
òåì óðàâíåíèé äàâíî íàïèñàíî â ó÷åáíèêàõ ïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå (ñì., íà-
ïðèìåð, [5]). Ìåòîä êîììóòèðóþùåé ìàòðèöû ïðåäëîæåí îäíîâðåìåííî
À.Ê. Ëîïàòèíûì [6] è Å.Ä. ßêóáîâè÷ [7].
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî �( )B� âñåõ ìàòðèö, êîììóòèðóþùèõ ñ äàííûìè
ìàòðèöàìè B1, B2 . Ýòî ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé íàä ïîëåì � êîìïëåêñíûõ
÷èñåë è íàçûâàåòñÿ öåíòðàëèçàòîðîì ìàòðèö { }B� .
Òåîðåìà 1. Äëÿ âîçìîæíîñòè îäíîâðåìåííîãî ïðèâåäåíèÿ äâóõ ìàòðèö
ê áëî÷íî-äèàãîíàëüíîìó âèäó íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû öåíòðàëèçàòîð
ýòèõ ìàòðèö ñîäåðæàë ìàòðèöó X ñ íåîäèíàêîâûìè ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè.
Äîêàçàòåëüñòâî âûòåêàåò èç òåîðåìû 3 â [8, ãë. VIII] (ñì. òàêæå [1, § 2.5]). �
Öåíòðàëèçàòîð (òî÷íåå, åãî áàçèñ) ìîæíî íàéòè, ïðèíÿâ, ÷òî âñå ýëåìåíòû
ìàòðèöû X íåèçâåñòíû, è ñîñòàâèâ ñèñòåìó ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ àëãåáðàè÷åñ-
êèõ óðàâíåíèé, ñîîòâåòñòâóþùóþ ìàòðè÷íûì óðàâíåíèÿì
B Õ ÕB B Õ ÕB1 1 2 2� �, . (2)
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì 2 2n óðàâíåíèé ñ n2 íåèçâåñòíûìè. Ìíîæåñòâî âñåõ
ðåøåíèé òàêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé (ïðè íåáîëüøîì n) ìîæíî ïîëó÷èòü èçâåñ-
òíûìè ìåòîäàìè. Âû÷èñëèòåëüíûé ìåòîä ïðåîäîëåíèÿ ïðîáëåì ïðè áîëüøîì n
ïðèâåäåí â [9].
Îáîçíà÷èì W W Wr1 2, , ,� áàçèñ öåíòðàëèçàòîðà �( )B� . Åñëè ðàíã r öåíòðà-
ëèçàòîðà ðàâåí 1, òî âåñü öåíòðàëèçàòîð ñîñòîèò èç ìàòðèö, êðàòíûõ åäèíè÷íîé
ìàòðèöå.  ýòîì ñëó÷àå ïðèâåäåíèå ìàòðèö B� ê áëî÷íî-äèàãîíàëüíîìó âèäó íå-
âîçìîæíî. Åñëè r
1, òî â êà÷åñòâå ìàòðèöû X , èñïîëüçóåìîé äëÿ íàõîæäåíèÿ
ïðåîáðàçîâàíèÿ, âûáèðàåì ìàòðèöó áàçèñà Wk , èìåþùóþ õîòÿ áû äâà ðàçëè÷íûõ
ñîáñòâåííûõ ÷èñëà. Âåêòîðû åå êàíîíè÷åñêîãî áàçèñà ÿâëÿþòñÿ ñòîëáöàìè èñêî-
ìîé ìàòðèöû ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîäîáèÿ.
Îñîáûé ñëó÷àé, êîãäà r
1, íî âñå ìàòðèöû áàçèñà íå èìåþò ðàçëè÷íûõ ñîá-
ñòâåííûõ ÷èñåë, ðàññìîòðåí â ðàçä. 5.
3. ÌÅÒÎÄ ÈÍÂÀÐÈÀÍÒÍÎÃÎ ÏÎÄÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ
Èäåÿ ìåòîäà ïðåäëîæåíà â [1, ãë. 7]. Ðàññìàòðèâàþòñÿ ìàòðèöû B� (� �1 2, ),
êîòîðûå íå ïðèâîäÿòñÿ îäíîâðåìåííî ê áëî÷íî-äèàãîíàëüíîìó âèäó (åñëè áû
îíè ïðèâîäèëèñü, òî ýòî ìîæíî áûëî îñóùåñòâèòü ñ ïîìîùüþ ìåòîäà êîììó-
òèðóþùåé ìàòðèöû). Òðåáóåòñÿ âûÿñíèòü, ïðèâîäÿòñÿ ëè îíè ê áëî÷íî-òðåó-
ãîëüíîìó âèäó.
Ïîñòðîåíèå àëãåáðû ñ åäèíèöåé � �( )B , ïîðîæäåííîé äàííûìè ìàòðèöà-
ìè, — ïåðâûé øàã ìåòîäà. Âíà÷àëå âûáèðàåì ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ýëåìåíòû
ìíîæåñòâà ìàòðèö { ,E B1, B2 } è íàçûâàåì èõ «ïðåäïîëàãàåìûì áàçèñîì» [2]. Çà-
146 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3
òåì ðàññìàòðèâàåì âñå âîçìîæíûå ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ ìàòðèö. Êàê òîëüêî î÷å-
ðåäíîå ïðîèçâåäåíèå íå ïðèíàäëåæèò ëèíåéíîé îáîëî÷êå ïðåäïîëàãàåìîãî áàçè-
ñà, äîáàâëÿåì åãî ê ýòîìó ìíîæåñòâó è ðàññìàòðèâàåì ïðîèçâåäåíèÿ ýëåìåíòîâ íî-
âîãî ïðåäïîëàãàåìîãî áàçèñà. Ïðîäîëæàåì äî òåõ ïîð, ïîêà íå ïîëó÷èì, ÷òî íè îäíî
èç ïðîèçâåäåíèé íå âûõîäèò çà ïðåäåëû ëèíåéíîé îáîëî÷êè. Ïðèçíàêîì íåïðèíàä-
ëåæíîñòè ýëåìåíòà ëèíåéíîé îáîëî÷êå ïðåäïîëàãàåìîãî áàçèñà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî äî-
áàâëåíèå íîâîãî âåêòîðà äàåò ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñîâîêóïíîñòü âåêòîðîâ. Ïðî-
âåðêà ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè ïðîâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðîãðàììû SLAU5 [1].
Êðèòåðèé âîçìîæíîñòè ïðèâåäåíèÿ ìàòðèö ê áëî÷íî-òðåóãîëüíîìó âèäó
(ïðèâîäèìîñòè àëãåáðû): ðàíã r àëãåáðû � �( )B ìåíüøå, ÷åì n2 (n — ïîðÿäîê
ìàòðèö). Ýòî âûòåêàåò èç òåîðåìû Áåðíñàéäà [10] (ñì. òàêæå òåîðåìó 1� â [6]).
Âû÷èñëåíèå ðàäèêàëà àëãåáðû — âòîðîé øàã ìåòîäà.
Òåîðåìà 2. Åñëè äëÿ äàííûõ ìàòðèö { }B� ðàíã r àëãåáðû � �( )B ìåíüøå,
÷åì n2 , è öåíòðàëèçàòîð �( )B� íå ñîäåðæèò íè îäíîé ìàòðèöû X ñ ðàçëè÷íûìè
ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè, òî àëãåáðà � �( )B íåïîëóïðîñòàÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Óñëîâèå r n� 2 îçíà÷àåò, ÷òî àëãåáðà � �( )B ïðèâîäèìà
[10, 11]. Ïðèâîäèìàÿ àëãåáðà ìîæåò áûòü ïîëóïðîñòîé èëè íåïîëóïðîñòîé.
 ïåðâîì ñëó÷àå ìàòðèöû àëãåáðû (â òîì ÷èñëå è { }B� ) ìîæíî ïðèâåñòè ê áëî÷-
íî-äèàãîíàëüíîìó âèäó. Òîãäà ìíîæåñòâî �( )B� ñîäåðæèò ìàòðèöû ñ ðàçëè÷íûìè
ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ òåîðåìû. Âòîðîé ñëó÷àé — íå-
ïîëóïðîñòàÿ àëãåáðà. �
Íåïîëóïðîñòàÿ àëãåáðà èìååò íåòðèâèàëüíûé ðàäèêàë, êîòîðûé îïðåäåëÿåò-
ñÿ ñ ïîìîùüþ ðàñ÷åòíûõ ôîðìóë [11]: êîîðäèíàòû � � �[ , , , ]� � �1 2 r
T ëþáîãî
ýëåìåíòà ðàäèêàëà â áàçèñå àëãåáðû óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ
D� � 0, D dij� { }, (3)
ãäå d W Wij i j� Sp ( ), Sp — ñëåä ìàòðèöû, { }Wi — áàçèñ àëãåáðû.
Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèé (3) ìîæíî ïîëó÷èòü èçâåñòíûìè ìåòîäàìè. Ñëå-
äîâàòåëüíî, ìîæíî íàéòè áàçèñ ðàäèêàëà.
Íàõîæäåíèå èíâàðèàíòíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà è ïîñòðîåíèå ìàòðèöû
ïðåîáðàçîâàíèÿ — òðåòèé øàã ìåòîäà.
Òåîðåìà 3. Îäíîâðåìåííîå ïðèâåäåíèå ïàðû ìàòðèö ê áëî÷íî-òðåóãîëüíî-
ìó âèäó âîçìîæíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò èíâàðèàíòíîå îòíîñè-
òåëüíî îáåèõ ìàòðèö ïîäïðîñòðàíñòâî U n� � ðàçìåðíîñòè k è 0� �k n. Â êà-
÷åñòâå ïåðâûõ k ñòîëáöîâ ìàòðèöû ïðåîáðàçîâàíèÿ S ìîæíî âûáðàòü âåêòîðû
áàçèñà ïîäïðîñòðàíñòâà U , â êà÷åñòâå ïîñëåäóþùèõ — âåêòîðû, äîïîëíÿþùèå
ýòîò áàçèñ äî áàçèñà �
n .
Ýòîò ðåçóëüòàò ñ÷èòàåòñÿ îáùåèçâåñòíûì, îí âûòåêàåò, íàïðèìåð, èç òåîðå-
ìû 2 â [6]. �
Íàçîâåì Z-ìíîæåñòâîì ïåðåñå÷åíèå âñåõ ÿäåð ýëåìåíòîâ ðàäèêàëà àëãåá-
ðû � �( )B . Èíûìè ñëîâàìè, ýòî ìíîæåñòâî, îáðàùàåìîå â íóëü âñåìè ìàòðèöà-
ìè ðàäèêàëà.
Òåîðåìà 4. Ðàññìàòðèâàåìîå Z-ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì ïðîñ-
òðàíñòâà �
n .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ýòî ìíîæåñòâî — îáùåå ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé ñèñòåìû
ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ò.å. ïîäïðîñòðàíñòâî. �
Òåîðåìà 5. Åñëè àëãåáðà íåïîëóïðîñòàÿ, òî Z-ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ íåòðèâè-
àëüíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3 147
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåíóëåâîé ðàäèêàë ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñåìåéñòâî ìàòðèö
G( )� , ãäå � — âåêòîð ïàðàìåòðîâ. Ðàäèêàë ÿâëÿåòñÿ íèëüïîòåíòíîé ïîäàëãåáðîé,
ïîñêîëüêó âñå åãî ýëåìåíòû íèëüïîòåíòíû (ñì. òåîðåìó 2 â [11, § 7]). Ñëåäîâà-
òåëüíî, � � �k G k1 0: ( )� , G k� �1 0( )� . Ïóñòü G1 — íåíóëåâàÿ ìàòðèöà èç ìíî-
æåñòâà G k ( )� , à �1 — åå íåíóëåâîé ñòîëáåö. Òîãäà G( )� �1 � 0 �� , ïîñêîëüêó
G G k( )( ( ))� � � 0. Èòàê, óðàâíåíèå G( )� � � 0 èìååò íåíóëåâûå ðåøåíèÿ. �
Òåîðåìà 6. Ðàññìàòðèâàåìîå Z-ìíîæåñòâî èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ìàò-
ðèö { }B� .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü � — ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò Z-ìíîæåñòâà, ò.å. �� �Z
� � �{ }� �� �: ( )G 0 . Íóæíî äîêàçàòü, ÷òî B Z� �� èëè ÷òî G B( ) ( )� �� � 0 �� .
Èìååì: B B� ��� ( ), ðàäèêàë G( )� àëãåáðû � �( )B ÿâëÿåòñÿ åå èäåàëîì. Ïîýòîìó
G B G( ) ( )� �� � èëè èíà÷å G B G( ) ( )� �� � 2 . Îòñþäà G B G( ) ( ) ( )� �� �� � �2 0. �
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ìàòðèöû íå ïðèâîäÿòñÿ ê áëî÷íî-äèàãî-
íàëüíîìó âèäó, íî ðàíã àëãåáðû � �( )B ìåíüøå, ÷åì n2 , ñîçäàí ìåòîä ïîñòðîåíèÿ
íåòðèâèàëüíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà, èíâàðèàíòíîãî îòíîñèòåëüíî ýòèõ ìàòðèö.
Ïðÿìîå äîïîëíåíèå ê ïîäïðîñòðàíñòâó ìîæíî íàéòè êàê îáùåå ðåøåíèå x
ñèñòåìû ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé s xj j mT � �0 1, , , ãäå
T — çíàê òðàíñïîíèðîâàíèÿ. Äëÿ íàõîæäåíèÿ îáùåãî ðåøåíèÿ ìîæíî âîñïîëü-
çîâàòüñÿ ïðîãðàììîé SLAU5 [1].
Íà ðèñ. 1 ïðâåäåíà áëîê-ñõåìà ìåòîäà èíâàðèàíòíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà.
4. ÒÅÎÐÅÌÀ ÅÄÈÍÑÒÂÅÍÍÎÑÒÈ
Âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè.
Òåîðåìà 7. Ïóñòü ìàòðèöû Bi , i �1 2, , íåêîòîðûì ïðåîáðàçîâàíèåì ïîäîáèÿ
ïðèâîäÿòñÿ ê áëî÷íî-òðåóãîëüíîìó âèäó
~
B S B S
B B B
B B
B
i i
i i i l
i i l
il l
� ��
1
1
1
11 12 1
22 2
1
1
1
0
0 0
�
�
� � � �
�
1
�
�
�
�
�
�
�
, i � 1 2, ,
148 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3
Âû÷èñëåíèå
öåíòðàëèçàòîðà
�(B�)
Ñîñòàâëÿåì ìàòðèöó S
èç âåêòîðîâ êàíîíè÷åñêîãî
áàçèñà T
�T � �(B�): �1 � �2
Âû÷èñëÿåì àëãåáðó
ñ åäèíèöåé, ïîðîæäåííóþ
ìàòðèöàìè {Bi}
Äà Íåò
ÍåòÄà
r � n
2
Âû÷èñëÿåì ðàäèêàë,
Z-ìíîæåñòâî, ìàòðèöó S
Ïðèâåäåíèå
íåâîçìîæíî
Âûïîëíÿåì ïðåîáðàçîâàíèå
ïîäîáèÿ
Ðèñ. 1. Ýòàï ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà èíâàðèàíòíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà
~
B S B Si i� �1
ïðè÷åì äëÿ êàæäîé ïàðû áëîêîâ { , }B Bkk kk1 2 äàëüíåéøåå óïðîùåíèå íåâîç-
ìîæíî. Åñëè ñóùåñòâóåò äðóãîå ïðåîáðàçîâàíèå ïîäîáèÿ òàêîå, ÷òî äëÿ ïîëó-
÷åííûõ áëîêîâ äàëüíåéøåå óïðîùåíèå íåâîçìîæíî:
~
� � �
� � �
� ��B S B S
B B B
B B
i i
i i i l
i i l
2
1
2
11 12 1
22 2
2
2
0
0 0
�
�
� � � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
Bil l2 2
, i �1 2, ,
òî l l1 2� è ìîæíî óñòàíîâèòü ñîîòâåòñòâèå ìåæäó íîìåðàìè áëîêîâ òàêîå, ÷òî
áëîêè Bikk ïîäîáíû áëîêàì �Bij k j k( ) ( ) , ò.å. B S B Sikk k ij k j k k� ��1
( ) ( ) .
Ýòà òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òåîðåìû Æîðäàíà–Ãåëüäåðà (ñì. òàêæå òå-
îðåìó 1 â [12]). �
5. ÏÐÅÎÄÎËÅÍÈÅ ÎÑÎÁÎÃÎ ÑËÓ×Àß
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà áàçèñ öåíòðàëèçàòîðà ñîäåðæèò áîëåå îäíîé ìàòðè-
öû (r
1), íî êàæäàÿ èç íèõ íå èìååò ðàçëè÷íûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë. Òîãäà
âîçíèêàåò ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî âñå ìàòðèöû öåíòðàëèçàòîðà íå èìåþò ðàçëè÷-
íûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë è, ñëåäîâàòåëüíî, èñõîäíûå ìàòðèöû íå ïðèâîäÿòñÿ
ê áëî÷íî-äèàãîíàëüíîìó âèäó îäíîâðåìåííî. Îêàçûâàåòñÿ, ýòî ïðåäïîëîæåíèå
ñïðàâåäëèâî, åñëè àëãåáðà �(B j ) èìååò ðàíã r � 3, è íåñïðàâåäëèâî ïðè r � 4
(ñì. òåîðåìó 6.6 â [1]).
Äàëåå ïîêàçàíî, êàê â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ïðèâåñòè ìàòðèöû ê áëî÷íî-òðå-
óãîëüíîìó âèäó, íå èçó÷àÿ âîïðîñ î âîçìîæíîñòè ïðèâåäåíèÿ èõ ê áëî÷íî-äèàãî-
íàëüíîìó âèäó.
Òåîðåìà 8. Åñëè ðàíã öåíòðàëèçàòîðà �(B� ) ìàòðèö { }B� áîëüøå åäèíèöû:
r
1, òî ìàòðèöû { }B� ïðèâîäÿòñÿ ê áëî÷íî-òðåóãîëüíîìó âèäó.
Äîêàçàòåëüñòâî. Âûáåðåì òàêîé áàçèñ W Wr1, ,� öåíòðàëèçàòîðà �( )B� ,
â êîòîðîì W E1 � . Åñëè ìàòðèöà W2 èìååò åäèíñòâåííîå ñîáñòâåííîå ÷èñëî � , òî
ìàòðèöà G W E� �2 � íèëüïîòåíòíà. Ïîäïðîñòðàíñòâî L G� �{ : }� � 0 íåòðèâè-
àëüíîå, ïîñêîëüêó ìàòðèöà G íèëüïîòåíòíàÿ è íåíóëåâàÿ. Êðîìå òîãî, G B( )� � �
� � �B G B� �� 0 0 � �� L, ò.å. ïîäïðîñòðàíñòâî L èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ìàò-
ðèö { }B� . Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò ïðåîáðàçîâàíèå, ïðèâîäÿùåå ìàòðèöû { }B�
ê áëî÷íî-òðåóãîëüíîìó âèäó (òåîðåìà 3). �
Çàìå÷àíèå 1. Óñëîâèå r
1 íå ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì äëÿ ïðèâåäåíèÿ ìàò-
ðèö ê áëî÷íî-òðåóãîëüíîìó âèäó.
6. ÈËËÞÑÒÐÀÖÈß ÌÅÒÎÄÎÂ
Ïðèìåð 1. Äëÿ ìàòðèö
B B1 2
0 0 0
0 0 0
0 0 5
3 2 1
32 3 4
8 2 5
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
,
èñïîëüçóåì ìåòîä êîììóòèðóþùåé ìàòðèöû. Âñå ýëåìåíòû xij ìàòðèöû X
ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå íåèçâåñòíûõ. Ñîñòàâèì ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâ-
íåíèé, ñîîòâåòñòâóþùóþ ìàòðè÷íûì óðàâíåíèÿì B Õ ÕB1 1� , B Õ ÕB2 2� . Åå
îáùåå ðåøåíèå ñëåäóþùåå:
x x x x x x x x x x x12 21 22 11 33 11 21 13 23 31 32
1
16
; ;
1
4
; 0� � � � � � � � ,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3 149
ãäå x11 è x21 — ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå. Èëè èíà÷å
X x E x� �
�
�
�
�
�
�
�
11 21
0 0 0625 0
1 0 0
0 0 0 25
.
.
.
Ïðè x11 0� , x21 1� ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû X òàêîâû: � �1 2� � � 0.25;
� 3 � 0.25. Äàëåå ïîëó÷èì ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû X è ïîñòðîèì ìàò-
ðèöó ïðåîáðàçîâàíèÿ
S �
��
�
�
�
�
�
0 0 25 0 25
0 1 1
1 0 0
. .
.
Ïðåîáðàçîâàíèåì ïîäîáèÿ èñõîäíûå ìàòðèöû ïðèâåäåì ê áëî÷íî-äèàãîíàëüíî-
ìó âèäó
(4)
Äàëåå ðàññìîòðèì áëîêè B111
5 0
0 0
�
�
�
�
�
, B211
5 4
4 5
�
�
�
�
�
�
�
. Äëÿ íèõ ìíîæåñòâî
âñåõ êîììóòèðóþùèõ ìàòðèö �(B� ) ðàâíî �E , ãäå ãäå � — ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî.
Çíà÷èò, ïðèâåäåíèå ýòèõ áëîêîâ ê áëî÷íî-äèàãîíàëüíîìó âèäó íåâîçìîæíî
(òåîðåìà 1).
Ïðîâåðèì âîçìîæíîñòü óïðîùåíèÿ ïî ìåòîäó èíâàðèàíòíîãî ïîäïðîñòðàí-
ñòâà. Ìàòðèöû E , B111 è B211 ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Ðàññìîòðèì ïðîèçâåäåíèå
U B B� 111 211. Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé óáåæäàåìñÿ, ÷òî èç ðàâåíñòâà
� � � �E B B U� � � �111 211 0 âûòåêàåò � � � �� � � � 0, ò.å. ìàòðèöà U íå ïðè-
íàäëåæèò ëèíåéíîé îáîëî÷êå ïåðâûõ òðåõ ìàòðèö. Ïîëó÷àåì, ÷òî r � 4, è óñëî-
âèå r n� 2 íå âûïîëíÿåòñÿ. Äàëüíåéøåå óïðîùåíèå ìàòðèö íåâîçìîæíî. Ñëåäî-
âàòåëüíî, îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò — ýòî ìàòðèöû (4).
Ïðèìåð 2. Ðàññìîòðèì ìàòðèöû B1
1 0
1 2
�
�
�
�
�
, B2
7 4
7 4
�
� �
�
�
�
�
.
Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé óáåæäàåìñÿ, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèé öåíòðàëè-
çàòîð ñîñòîèò òîëüêî èç ìàòðèö âèäà �E . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðèâåäåíèå ê äèàãî-
íàëüíîìó âèäó ìàòðèö { }B� íåâîçìîæíî.
Ñîñòàâèì àëãåáðó � �( )B . Ìàòðèöû E, B1, B2 ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Îáîçíà-
÷èì èõ ñîîòâåòñòâåííî W1, W2 , W3 . Ðàññìîòðèì âñå âîçìîæíûå ïðîèçâåäåíèÿ
ìàòðèö W Wk j è ïðîâåðèì, ÿâëÿþòñÿ ëè ïîëó÷åííûå ìàòðèöû ëèíåéíîé êîìáèíà-
öèåé èñõîäíûõ. Ïîñêîëüêó óìíîæåíèå íà W E1 � íå èçìåíÿåò ìàòðèö, ðàñ-
ñìîòðèì ïðîèçâåäåíèÿ W Wk j äëÿ k j, ,� 2 3. Âû÷èñëèì W
2
2 1 0
3 4
�
�
�
�
�
. Ïðîâåðèì,
ÿâëÿåòñÿ ëè ýòà ìàòðèöà ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ïåðâûõ äâóõ W W W
2
2
1 2� �� � .
Ýòî ðàâåíñòâî ñîîòâåòñòâóåò ñèñòåìå óðàâíåíèé, èç êîòîðîé ïîëó÷èì � � 3,
� � �2. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöà W
2
2 ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ìàòðèö W1
è W2 . Äàëåå âû÷èñëèì
W W W2 3 3
7 4
7 4
�
� �
�
�
�
�
� , W W E W W3 2 2 3
11 8
11 8
6 3 2�
� �
�
�
�
�
� � � � ,
150 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3
~
B1
5 0 0
0 0 0
0 0 0
�
�
�
�
�
�
�
,
~
B2
5 4 0
4 5 0
0 0 11
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
W W
3
2
3
21 12
21 12
3�
� �
�
�
�
�
� .
Ïîëó÷åíî, ÷òî âñå ïðîèçâåäåíèÿ ïðèíàäëåæàò ëèíåéíîé îáîëî÷êå ìàòðèö
W1, W2 , W3 . Ñëåäîâàòåëüíî, ýòè ìàòðèöû îáðàçóþò áàçèñ àëãåáðû � �( )B , ïîðîæ-
äåííîé ìàòðèöàìè { }B� . ×èñëî ýëåìåíòîâ áàçèñà r � 3, ò. å. r n� �2 22 . Ýòî îçíà-
÷àåò, ÷òî ïðèâåäåíèå ê òðåóãîëüíîìó âèäó âîçìîæíî.
Ñîñòàâèì ìàòðèöó D W Wj k� {Sp }( ) . Âñå ïðîèçâåäåíèÿ W Wj k óæå âû÷èñëå-
íû. Ïîëó÷èì
D �
�
�
�
�
�
�
2 3 3
3 5 3
3 3 9
.
Ñîñòàâèì ñèñòåìó óðàâíåíèé D� � 0, îáùåå ðåøåíèå êîòîðîé ñëåäóþùåå:
� �1 36� � , � �2 33� , ãäå � 3 — ñâîáîäíàÿ ïåðåìåííàÿ. Ïîëîæèâ � 3 1� , ïî-
ëó÷èì � � �[ ]6 3 1 T . Âû÷èñëèì ìàòðèöó G :
G � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�6
1 0
0 1
3
1 0
1 2
1
7 4
7 4
4 4
4 4
�
.
Óðàâíåíèÿ G� � 0 èìåþò âèä
4 4 0
4 4 0
1 2
1 2
� �
� � �
�
�
�
,
.
Îòñþäà 1 2� � . Ïîëîæèâ
2 �1, ïîëó÷èì, ÷òî áàçèñ âî ìíîæåñòâå ðåøåíèé ýòîé ñèñòåìû ñîñòîèò èç âåê-
òîðà s1 1 1� � �� [ ]T .  êà÷åñòâå äîïîëíåíèÿ äî áàçèñà âñåãî ïðîñòðàíñòâà âûáè-
ðàåì âåêòîð e1 1 0� [ ]T . Ïîýòîìó S �
��
�
�
�
1 1
1 0
. Äàëåå ïîëó÷èì
S � �
�
�
�
�
1 0 1
1 1
;
~
B S ES E1
1� �� ;
~
B2
0 1
1 1
1 0
1 2
1 1
1 0
1 1
0 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
;
~
B3
0 1
1 1
7 4
7 4
1 1
1 0
3 7
0 0
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
��
�
�
�
�
��
�
�
�
.
7. ÎÁÎÁÙÅÍÈß
Ïîíÿòíî, ÷òî èñõîäíûõ ìàòðèö ìîæåò áûòü áîëüøå äâóõ. Õîä ðåøåíèÿ ïðè
ýòîì ïðàêòè÷åñêè íå èçìåíÿåòñÿ. Ëèøü óâåëè÷èâàåòñÿ ÷èñëî ìàòðè÷íûõ óðàâ-
íåíèé (2) èëè êîëè÷åñòâî èñõîäíûõ ìàòðèö ïðè ñîñòàâëåíèè àëãåáðû � �( )B .
Çàäà÷ó î ïîëó÷åíèè íàèëó÷øåãî áëî÷íî-òðåóãîëüíîãî âèäà ìîæíî ïîñòàâèòü
è ïî-äðóãîìó: íàéòè òàêóþ ìàòðèöó ïðåîáðàçîâàíèÿ S , ïðè êîòîðîé ìàêñèìàëü-
íûé èç ïîðÿäêîâ äèàãîíàëüíûõ áëîêîâ áóäåò ìèíèìàëüíî âîçìîæíûì. Èç òåîðå-
ìû åäèíñòâåííîñòè ñëåäóåò ÷òî, ðåøàÿ çàäà÷ó î ïîëó÷åíèè ìàêñèìàëüíîãî êîëè-
÷åñòâà áëîêîâ, îäíîâðåìåííî ïîëó÷èì áëîêè ìèíèìàëüíî âîçìîæíîãî ïîðÿäêà.
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó î ïðèâåäåíèè ìàòðèö B� , � �1, d , ê áëî÷íî-òðåóãîëüíîìó
âèäó ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ �B HB S� �� , áîëåå îáùåãî, ÷åì ïðåîáðàçîâàíèå
ïîäîáèÿ (1). Çäåñü H è S — íåîñîáåííûå êâàäðàòíûå ìàòðèöû. Ýòó çàäà÷ó óäà-
ëîñü ðåøèòü â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà îäíà èç èñõîäíûõ ìàòðèö íåîñîáåííàÿ.
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ. Ïóñòü �l B S( )� , — êîëè÷åñòâî áëîêîâ íà ãëàâíîé
äèàãîíàëè ìàòðèö
~
B S B S� �� �1 , ïðèâåäåííûõ ê áëî÷íî-òðåóãîëüíîìó âèäó,
à l B( )� � max ( , )
:detS S
l B S
�
�
0
� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3 151
Òåîðåìà 9. Äàíû ìàòðèöû B� , � �1, d , ïðè÷åì B E1 � , òîãäà l NB l B( ) ( )� �� ,
ãäå N — ëþáàÿ íåîñîáåííàÿ ìàòðèöà. �
Ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ �B HB S� �� ñ ìàêñèìàëüíî
âîçìîæíûì êîëè÷åñòâîì áëîêîâ íà ãëàâíîé äèàãîíàëè äîñòàòî÷íî ðåøèòü òàêóþ
çàäà÷ó ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîäîáèÿ äëÿ âñïîìîãàòåëüíûõ ìàòðèö
C B B� �� �
�1
1
1, �
�1, ,
� �d 1. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà ìàòðèöà Â1 íå-
îñîáåííàÿ.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Èòàê, çàäà÷à ïîëíîñòüþ ðåøåíà. Ðàçðàáîòàí ìåòîä, ïîçâîëÿþùèé ïðèâåñòè íà-
áîð íåñêîëüêèõ êîìïëåêñíûõ (âîîáùå ãîâîðÿ) ìàòðèö ê íàèëó÷øåìó áëî÷-
íî-òðåóãîëüíîìó âèäó.  îòëè÷èå îò [14, 15] â íàñòîÿùåé ðàáîòå íå íàêëàäû-
âàåòñÿ íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé íà ñòðóêòóðó èëè ñâîéñòâà èñõîäíûõ ìàòðèö.
Ýòîò ðåçóëüòàò èìååò ïðèêëàäíîå çíà÷åíèå. Òàêèì ìåòîäîì ìîæíî óïðî-
ùàòü ñèñòåìû ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ñîäåðæàùèå íåñêîëüêî
ìàòðèö êîýôôèöèåíòîâ [1, 13]. Ðàçäåëåíèå óðàâíåíèé íà íåçàâèñèìûå ïîäñèñòå-
ìû ñîîòâåòñòâóåò ïðèâåäåíèþ ìàòðèö ê áëî÷íî-äèàãîíàëüíîìó âèäó, à ïðèâåäå-
íèå ê áëî÷íî-òðåóãîëüíîìó âèäó ñîîòâåòñòâóåò èåðàðõè÷åñêîé (âåðòèêàëüíîé)
äåêîìïîçèöèè. Ïîñëå òàêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðâàÿ ïîäñèñòåìà íå ñîäåðæèò ïå-
ðåìåííûõ äðóãèõ ïîäñèñòåì. Âî âòîðîé ïîäñèñòåìå èìåþòñÿ òîëüêî ïåðåìåííûå
ïåðâîé è âòîðîé ïîäñèñòåì è ò.ä. ×èñëî òàêèõ ïîäñèñòåì ìîæåò áûòü á�ëüøèì,
÷åì ïðè îáû÷íîé äåêîìïîçèöèè.
Òåìà äåêîìïîçèöèè ìàòðèö ñòàëà åùå àêòóàëüíåé â ñâÿçè ñ ïðîáëåìîé óïðî-
ùåíèÿ çàäà÷ ïîëóîïðåäåëåííîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ [16].
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Áàçèëåâè÷ Þ.Í. ×èñëåííûå ìåòîäû äåêîìïîçèöèè â ëèíåéíûõ çàäà÷àõ ìåõàíèêè. Êèåâ: Íàóê.
äóìêà, 1987. 156 ñ.
2. Áàçèëåâè÷ Þ.Í., Êîðîòåíêî Ë.Ì., Øâåö È.Â. ×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷ èåðàðõè÷åñêîé äåêîì-
ïîçèöèè ëèíåéíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé. ̳æäåðæàâíà íàóêîâà-ìåòîäè÷íà êîíôåðåíö³ÿ.
Êîìï’þòåðíå ìîäåëþâàííÿ. Äí³ïðîäçåðæèíñüê: ÄÄÒÓ, 2001. Ñ. 45–46.
3. Áàçèëåâè÷ Þ.Í. Òî÷íàÿ äåêîìïîçèöèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì. Ýëåêòðîííûé æóðíàë «Èññëåäîâàíî
â Ðîññèè». 2006. 018. C. 182–190. URL: http://elibrary.lt/resursai/Uzsienio%20leidiniai/MFTI/
2006/018.pdf.
4. Äðîçä Þ.À. Î ðó÷íûõ è äèêèõ ìàòðè÷íûõ çàäà÷àõ. Ìàòðè÷íûå çàäà÷è. Êèåâ: Èí-ò ìàòåìàòè-
êè ÀÍ ÓÑÑÐ, 1977. Ñ. 104–114.
5. Ôåðìè Ý. Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà. Ìîñêâà: Ìèð, 1968. 367 ñ.
6. Ëîïàòèí À.Ê. Îá àëãåáðàè÷åñêîé ïðèâîäèìîñòè ñèñòåì ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå-
íèé. Äèôôåðåíö. óðàâíåíèÿ. 1968. Ò. 4, ¹ 3. Ñ. 439–445.
7. ßêóáîâè÷ Å. Ä. Ïîñòðîåíèå ñèñòåì çàìåùåíèÿ äëÿ íåêîòîðîãî êëàññà ìíîãîìåðíûõ ëèíåéíûõ
ñèñòåì àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ. Èçâ. âóçîâ. Ðàäèîôèçèêà. 1969. Ò. 12, ¹ 3. Ñ. 362–377.
8. Ãàíòìàõåð Ô. Ð. Òåîðèÿ ìàòðèö. Ìîñêâà: Íàóêà, 1967. 576 ñ.
9. Áàçèëåâè÷ Þ.Í., Áóëäîâè÷ À.Ë. Àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ îáùåãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ
îäíîðîäíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé â ñëó÷àå ñâåðõáîëüøîé ðàçðåæåííîé ìàòðèöû êîýô-
ôèöèåíòîâ. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè è ñîâðåìåííûå òåõíîëîãèè: Ñá. íàó÷. òð. Èí-ò ìàòåìà-
òèêè ÍÀÍ Óêðàèíû. Êèåâ, 1998. Ñ. 12–13.
10. Âàí äåð Âàðäåí. Àëãåáðà. Ìîñêâà: Íàóêà, 1976. 648 ñ.
11. ×åáîòàðåâ Í.Ã. Ââåäåíèå â òåîðèþ àëãåáð. Ìîñêâà: URSS, 2008. 88 ñ.
152 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3
12. Áåëîçåðîâ Â.Å., Ìîæàåâ Ã.Â. Î åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷ äåêîìïîçèöèè è àãðåãèðîâàíèÿ
ëèíåéíûõ ñèñòåì àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ. Òåîðèÿ ñëîæíûõ ñèñòåì è ìåòîäû èõ ìîäåëè-
ðîâàíèÿ. Ìîñêâà: ÂÍÈÈÑÈ, 1982. Ñ. 4–13.
13. Ïàâëîâñêèé Þ.Í., Ñìèðíîâà Ò.Ã. Ïðîáëåìà äåêîìïîçèöèè â ìàòåìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè.
Ìîñêâà: ÔÀÇÈÑ, 1998. 266 ñ.
14. Øàâàðîâñêèé Á.3. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîäîáèÿ ðàçëîæèìûõ ìàòðè÷íûõ ìíîãî÷ëåíîâ è íåêîòî-
ðûå èõ ñâÿçè. Æóðíàë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. 2009. Ò. 49,
¹ 9. Ñ. 1539–1553.
15. Èêðàìîâ Õ.Ä. Îäíîâðåìåííîå ïðèâåäåíèå ê áëî÷íî-òðåóãîëüíîìó âèäó è òåîðåìû î ïàðàõ
êîìïëåêñíûõ èäåìïîòåíò. Æóðíàë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.
2011. Ò. 51, ¹ 6. Ñ. 979–982.
16. de Klerk E., Dobre C., Pasechnik D.V. Numerical block diagonalization of matrix *-algebras with
application to semidefinite. Math. Program. Ser. B. 2011. Vol. 129. P. 91–111.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 16.06.2016
Þ.Ì. Áàçèëåâè÷
ÍÀÉÊÐÀÙÅ ÇÂÅÄÅÍÍß ÌÀÒÐÈÖÜ ÄÎ ÁËÎ×ÍÎ-ÒÐÈÊÓÒÍÎÃÎ ÂÈÃËßÄÓ
ÄËß ÇÀÄÀ× ²ªÐÀÐÕ²×Íί ÄÅÊÎÌÏÎÇÈÖ²¯
Àííîòàö³ÿ. Ðîçãëÿíóòî ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³ ïðî çâåäåííÿ äåê³ëüêîõ êîìïëåêñ-
íèõ (âçàãàë³ êàæó÷è) n n� -ìàòðèöü äî îäíàêîâîãî áëî÷íî-òðèêóòíîãî âèãëÿäó
ç ìàêñèìàëüíî ìîæëèâîþ ê³ëüê³ñòþ áëîê³â íà ãîëîâí³é ä³àãîíàë³ çà äîïîìîãîþ
ïåðåòâîðåííÿ ïîä³áíîñò³. Îòðèìàíèé ðîçâ’ÿçîê ìîæíà âèêîðèñòîâóâàòè äëÿ çà-
ñòîñóâàííÿ ìåòîä³â ³ºðàðõ³÷íî¿ äåêîìïîçèö³¿ ïðè àíàë³ç³ ñêëàäíèõ ñèñòåì.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ìàòðèöÿ, áëî÷íî-òðèêóòíèé âèãëÿä, ïåðåòâîðåííÿ ïîä³á-
íîñò³, öåíòðàë³çàòîð, àëãåáðà íàä ïîëåì, ðàäèêàë.
Yu.N. Bazilevich
BEST REDUCTION OF MATRICES TO THE BLOCK TRIANGULAR FORM
FOR HIERARCHICAL DECOMPOSITION PROBLEMS
Abstract. The author solves the problem of reducing several complex (generally
speaking) n n� -matrices to the same block triangular form by a similarity
transformation with maximum possible number of blocks on the main diagonal.
The obtained solution may be used to apply the methods of hierarchical
decomposition in the analysis of complex systems.
Keywords: matrix, block-triangular form, similarity transformation, the centralizer,
algebra over the field, radical.
Áàçèëåâè÷ Þðèé Íèêîëàåâè÷,
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò ÃÂÓÇ «Ïðèäíåïðîâñêàÿ ãîñóäàðñòâåííàÿ àêàäåìèÿ ñòðîèòåëüñòâà
è àðõèòåêòóðû», Äíåïð, e-mail: bazilevich@yandex.ru.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3 153
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-144739 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:12:21Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Базилевич, Ю.Н. 2019-01-02T20:05:46Z 2019-01-02T20:05:46Z 2017 Наилучшее приведение матриц к блочно-треугольному виду для задач иерархической декомпозиции / Ю.Н. Базилевич // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 3. — С. 145–153. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144739 512.643:512.552.12 Изложено решение задачи о приведении нескольких комплексных (вообще говоря) n×n-матриц к одинаковому блочно-треугольному виду с максимально возможным количеством блоков на главной диагонали с помощью преобразования подобия. Полученное решение можно использовать для применения методов иерархической декомпозиции при анализе сложных систем. Розглянуто розв’язання задачі про зведення декількох комплексних (взагалі кажучи) n×n-матриць до однакового блочно-трикутного вигляду з максимально можливою кількістю блоків на головній діагоналі за допомогою перетворення подібності. Отриманий розв’язок можна використовувати для застосування методів ієрархічної декомпозиції при аналізі складних систем. The author solves the problem of reducing several complex (generally speaking) n×n-matrices to the same block triangular form by a similarity transformation with maximum possible number of blocks on the main diagonal. The obtained solution may be used to apply the methods of hierarchical decomposition in the analysis of complex systems. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системний аналіз Наилучшее приведение матриц к блочно-треугольному виду для задач иерархической декомпозиции Найкраще зведення матриць до блочно-трикутного вигляду для задач ієрархічної декомпозиції Best reduction of matrices to the block triangular form for hierarchical decomposition problems Article published earlier |
| spellingShingle | Наилучшее приведение матриц к блочно-треугольному виду для задач иерархической декомпозиции Базилевич, Ю.Н. Системний аналіз |
| title | Наилучшее приведение матриц к блочно-треугольному виду для задач иерархической декомпозиции |
| title_alt | Найкраще зведення матриць до блочно-трикутного вигляду для задач ієрархічної декомпозиції Best reduction of matrices to the block triangular form for hierarchical decomposition problems |
| title_full | Наилучшее приведение матриц к блочно-треугольному виду для задач иерархической декомпозиции |
| title_fullStr | Наилучшее приведение матриц к блочно-треугольному виду для задач иерархической декомпозиции |
| title_full_unstemmed | Наилучшее приведение матриц к блочно-треугольному виду для задач иерархической декомпозиции |
| title_short | Наилучшее приведение матриц к блочно-треугольному виду для задач иерархической декомпозиции |
| title_sort | наилучшее приведение матриц к блочно-треугольному виду для задач иерархической декомпозиции |
| topic | Системний аналіз |
| topic_facet | Системний аналіз |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144739 |
| work_keys_str_mv | AT bazilevičûn nailučšeeprivedeniematrickbločnotreugolʹnomuvidudlâzadačierarhičeskoidekompozicii AT bazilevičûn naikraŝezvedennâmatricʹdobločnotrikutnogoviglâdudlâzadačíêrarhíčnoídekompozicíí AT bazilevičûn bestreductionofmatricestotheblocktriangularformforhierarchicaldecompositionproblems |